Luka Pantić, VIII/1

MNOGOUGAO1) Pojam i vrste mnogouglova

a) Osnovni pojmovi:

• Tačka, prava i ravan su osnovni geometrijski pojmovi, što znači da se ne definišu

• Geometrijske figure ili geometrijski objekti su podskupovi ravni, npr: prava, duž, ugao, krug, kružnica...

• Prava je određena sa dve tačke

A B p

• Tačke koje pripadaju jednoj pravoj su kolinearneA B C D

p

• Poluprava je deo prave koja sadrži taču O i sve tačke prave p sa jedne strane tačke O

O p

• Deo prave koji sadrži dve različite tačke A i B i sve tačke između A i B je duž AB

A B

b) Izlomljena linija, mnogougao

• Ako duži AB i CD imaju jednu zajedničku krajnju tačku, onda kažemo da su AB i CD nadovezane duži

D B

B=C A D

A=C

• Ako dve nadovezane duži ne pripadaju istoj pravoj onda obrazuju

izlomljenu liniju

• Tri ili više duži, koje su redom nadovezane jedna na drugu, obrazuju izlomljenu liniju ako su svake dve uzastopne duži nekolinearne i ne postoje tri duži sa zajedničkim krajem

• Ovo nisu izlomljene linije D C B G

KH

F

AE

I J

• Proste izlomljene linijeC E D

A CD

F C B A B

A B

su one kod kojih nesusedne duži nemaju zajedničkih tačaka D D

A

• Izlomljenje linije sa samopresecanjem A C

B C B

E

ako neke nesusedne duži izlomljene linije imaju zajedničke tačke

• Mnogougaona linija je prosta zatvorena izlomljena linija

C B A A D

C E

A F F B

A B D

E E C B C

D

• Unija mnogougaone linije i njene unutrašnje oblasti naziva se mnogougao

unutrašnja oblast

unutrašnja oblast

mnogougaona linija

mnogougaona linija

Konveksni mnogougao Nekonveksni mnogougao

b) Osnovni elementi mnogouglaA B

F C * unutrašnji ugao

* spoljašnji ugaoE

D * Temena A, B, C, D, E, F

* Stranica AB, BC, CD, DE, EF, FA

• Vrste mnogougla (prema broju stranica)

trougao (3 stranice) petougao (5 stranica)

šestougao (6 stranica)

četvorougao (4 stranice)

n-tougao (n-stranica)

- Koji su od slededih mnogouglova konveksni?

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7.

2. Broj dijagonala mnogougla

D C AC dijagonale mnogougla spajaju dva

BD nesusedna temena mnogougla

A B

Iz jednog temena šestougla možemo povudi 6 – 3 = 3 dijagonalaIz jednog temena n- tougla možemo povudi (n – 3) dijagonala

A

dn = n – 3 od n-temena možemo izuzeti dva susedna

temena i samo teme

br.dijag.iz jed.temena

Dn = n x dn Ukupan broj dijagonala

2

dn = broj dijagonala iz jednog temenan = broj temena

(delimo sa dve jer dijagonala spaja dva temena)

3. Zbir unutrašnjih uglova mnogougla

n=3 S3 = 180ₒ

Trougao

n=4 Četvorougao S4 = 2 x 180ₒ= 360 ₒ

n=5 Petougao S5 = 3 x 180ₒ= 540 ₒ

• Četvorougao se može razložiti na dva trougla• Petougao se može razložiti na tri trougla• n-tougao se može razložiti na n-2 trougla

Sn= (n-2) x 180 ₒ zbir unutrašnjih uglova n-tougla

4. Zbir spoljašnjih uglova četvorougla

γ δ zbir unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla kod

temena svakog mnogougla iznosi 180 ₒ

α ϕ

βkod n-tougla imamo n temena

Sn + S’n = n x 180 ₒ

S’n = n x 180ₒ

- Sn

S’n = n x 180ₒ

- (n – 2)x 180ₒ

S’n = n x 180ₒ

- n x 180ₒ

+ 2 x 180ₒ

S’n = 360ₒ