množiny, funkcie - umat.fekt.vut.czhlinena/plain/ima/prednasky/funkcie.pdf · reálne čísla...
TRANSCRIPT
Množiny, Funkcie
February 27, 2020
IMA1 2020
Množiny
IMA1 2020
Číselné obory
N−Prirodzené čísla,
Z−Celé čísla,Q−Racionálne čísla,R−Reálne čísla,C−Komplexné čísla.
IMA1 2020
Číselné obory
N−Prirodzené čísla,Z−Celé čísla,
Q−Racionálne čísla,R−Reálne čísla,C−Komplexné čísla.
IMA1 2020
Číselné obory
N−Prirodzené čísla,Z−Celé čísla,Q−Racionálne čísla,
R−Reálne čísla,C−Komplexné čísla.
IMA1 2020
Číselné obory
N−Prirodzené čísla,Z−Celé čísla,Q−Racionálne čísla,R−Reálne čísla,
C−Komplexné čísla.
IMA1 2020
Číselné obory
N−Prirodzené čísla,Z−Celé čísla,Q−Racionálne čísla,R−Reálne čísla,C−Komplexné čísla.
IMA1 2020
Reálne čísla
Intervaly
uzavretý interval 〈a, b〉 = {x; a ≤ x ≤ b}otvorený interval (a, b) = {x; a < x < b}zľava otvorený a sprava uzavretý interval(a, b〉 = {x; a < x ≤ b}sprava otvorený a zľava uzavretý interval〈a, b) = {x; a ≤ x < b}
Pozor, a < b !Nevlastné body reálnej osi: −∞,∞
IMA1 2020
Reálne čísla
Intervalyuzavretý interval 〈a, b〉 = {x; a ≤ x ≤ b}
otvorený interval (a, b) = {x; a < x < b}zľava otvorený a sprava uzavretý interval(a, b〉 = {x; a < x ≤ b}sprava otvorený a zľava uzavretý interval〈a, b) = {x; a ≤ x < b}
Pozor, a < b !Nevlastné body reálnej osi: −∞,∞
IMA1 2020
Reálne čísla
Intervalyuzavretý interval 〈a, b〉 = {x; a ≤ x ≤ b}otvorený interval (a, b) = {x; a < x < b}
zľava otvorený a sprava uzavretý interval(a, b〉 = {x; a < x ≤ b}sprava otvorený a zľava uzavretý interval〈a, b) = {x; a ≤ x < b}
Pozor, a < b !Nevlastné body reálnej osi: −∞,∞
IMA1 2020
Reálne čísla
Intervalyuzavretý interval 〈a, b〉 = {x; a ≤ x ≤ b}otvorený interval (a, b) = {x; a < x < b}zľava otvorený a sprava uzavretý interval(a, b〉 = {x; a < x ≤ b}
sprava otvorený a zľava uzavretý interval〈a, b) = {x; a ≤ x < b}
Pozor, a < b !Nevlastné body reálnej osi: −∞,∞
IMA1 2020
Reálne čísla
Intervalyuzavretý interval 〈a, b〉 = {x; a ≤ x ≤ b}otvorený interval (a, b) = {x; a < x < b}zľava otvorený a sprava uzavretý interval(a, b〉 = {x; a < x ≤ b}sprava otvorený a zľava uzavretý interval〈a, b) = {x; a ≤ x < b}
Pozor, a < b !Nevlastné body reálnej osi: −∞,∞
IMA1 2020
Reálne čísla
Intervalyuzavretý interval 〈a, b〉 = {x; a ≤ x ≤ b}otvorený interval (a, b) = {x; a < x < b}zľava otvorený a sprava uzavretý interval(a, b〉 = {x; a < x ≤ b}sprava otvorený a zľava uzavretý interval〈a, b) = {x; a ≤ x < b}
Pozor, a < b !
Nevlastné body reálnej osi: −∞,∞
IMA1 2020
Reálne čísla
Intervalyuzavretý interval 〈a, b〉 = {x; a ≤ x ≤ b}otvorený interval (a, b) = {x; a < x < b}zľava otvorený a sprava uzavretý interval(a, b〉 = {x; a < x ≤ b}sprava otvorený a zľava uzavretý interval〈a, b) = {x; a ≤ x < b}
Pozor, a < b !Nevlastné body reálnej osi:
−∞,∞
IMA1 2020
Reálne čísla
Intervalyuzavretý interval 〈a, b〉 = {x; a ≤ x ≤ b}otvorený interval (a, b) = {x; a < x < b}zľava otvorený a sprava uzavretý interval(a, b〉 = {x; a < x ≤ b}sprava otvorený a zľava uzavretý interval〈a, b) = {x; a ≤ x < b}
Pozor, a < b !Nevlastné body reálnej osi: −∞,∞
IMA1 2020
Funkcie
IMA1 2020
Základné pojmy
DefiníciaNech f ⊆ A×B je binárna relácia. Túto reláciu f nazývamezobrazením z množiny A do množiny B vtedy, keď o nej platí:
[a, b] ∈ f ∧ [a, c] ∈ f ⇒ b = c.
Obraz množiny:
f(M) = {b;∃a ∈M f(a) = b}.
Úplný vzor množiny:
f−1(P ) = {a; ∃b ∈ P f(a) = b}.
IMA1 2020
Základné pojmy
DefiníciaNech f ⊆ A×B je binárna relácia. Túto reláciu f nazývamezobrazením z množiny A do množiny B vtedy, keď o nej platí:
[a, b] ∈ f ∧ [a, c] ∈ f ⇒ b = c.
Obraz množiny:
f(M) = {b; ∃a ∈M f(a) = b}.
Úplný vzor množiny:
f−1(P ) = {a; ∃b ∈ P f(a) = b}.
IMA1 2020
Základné pojmy
DefiníciaNech f ⊆ A×B je binárna relácia. Túto reláciu f nazývamezobrazením z množiny A do množiny B vtedy, keď o nej platí:
[a, b] ∈ f ∧ [a, c] ∈ f ⇒ b = c.
Obraz množiny:
f(M) = {b; ∃a ∈M f(a) = b}.
Úplný vzor množiny:
f−1(P ) = {a; ∃b ∈ P f(a) = b}.
IMA1 2020
Základné pojmy
DefiníciaDefiničný obor
Df = f−1(B).
Obor hodnôtHf = f(Df ).
IMA1 2020
Základné pojmy
DefiníciaDefiničný obor
Df = f−1(B).
Obor hodnôtHf = f(Df ).
IMA1 2020
Základné pojmy
rovnosť zobrazení
f = g ⇐⇒ Df = Dg ∧ ∀x ∈ Df ; f(x) = g(x).
zúženie zobrazenia na množinu A1 ⊆ Df
f/A1 = {[x, y] ∈ f ;x ∈ A1}.
IMA1 2020
Základné pojmy
rovnosť zobrazení
f = g ⇐⇒ Df = Dg ∧ ∀x ∈ Df ; f(x) = g(x).
zúženie zobrazenia na množinu A1 ⊆ Df
f/A1 = {[x, y] ∈ f ;x ∈ A1}.
IMA1 2020
Operácie s funkciami
súčet
(f + g)(x) = f(x) + g(x); Df+g = Df ∩Dg,
rozdiel
(f − g)(x) = f(x)− g(x); Df−g = Df ∩Dg,
súčin(f · g)(x) = f(x) · g(x); Df ·g = Df ∩Dg,
podiel
f
g(x) = f(x)
g(x) ; D fg
= {x ∈ Df ∩Dg; g(x) 6= 0},
IMA1 2020
Operácie s funkciami
súčet
(f + g)(x) = f(x) + g(x); Df+g = Df ∩Dg,
rozdiel
(f − g)(x) = f(x)− g(x); Df−g = Df ∩Dg,
súčin(f · g)(x) = f(x) · g(x); Df ·g = Df ∩Dg,
podiel
f
g(x) = f(x)
g(x) ; D fg
= {x ∈ Df ∩Dg; g(x) 6= 0},
IMA1 2020
Operácie s funkciami
súčet
(f + g)(x) = f(x) + g(x); Df+g = Df ∩Dg,
rozdiel
(f − g)(x) = f(x)− g(x); Df−g = Df ∩Dg,
súčin(f · g)(x) = f(x) · g(x); Df ·g = Df ∩Dg,
podiel
f
g(x) = f(x)
g(x) ; D fg
= {x ∈ Df ∩Dg; g(x) 6= 0},
IMA1 2020
Operácie s funkciami
súčet
(f + g)(x) = f(x) + g(x); Df+g = Df ∩Dg,
rozdiel
(f − g)(x) = f(x)− g(x); Df−g = Df ∩Dg,
súčin(f · g)(x) = f(x) · g(x); Df ·g = Df ∩Dg,
podiel
f
g(x) = f(x)
g(x) ; D fg
= {x ∈ Df ∩Dg; g(x) 6= 0},IMA1 2020
Operácie s funkciami
c−násobok
(c · f) (x) = c · f(x); Dc·f = Df ,
skladanief ◦ g(x) = f (g (x)) ,
inverzná relácia
f−1 = {[x, y]; [y, x] ∈ f}.
V akom vzťahu je graf f a f−1? Je f−1 vždy funkcia?
IMA1 2020
Operácie s funkciami
c−násobok
(c · f) (x) = c · f(x); Dc·f = Df ,
skladanief ◦ g(x) = f (g (x)) ,
inverzná relácia
f−1 = {[x, y]; [y, x] ∈ f}.
V akom vzťahu je graf f a f−1? Je f−1 vždy funkcia?
IMA1 2020
Operácie s funkciami
c−násobok
(c · f) (x) = c · f(x); Dc·f = Df ,
skladanief ◦ g(x) = f (g (x)) ,
inverzná relácia
f−1 = {[x, y]; [y, x] ∈ f}.
V akom vzťahu je graf f a f−1? Je f−1 vždy funkcia?
IMA1 2020
Operácie s funkciami
c−násobok
(c · f) (x) = c · f(x); Dc·f = Df ,
skladanief ◦ g(x) = f (g (x)) ,
inverzná relácia
f−1 = {[x, y]; [y, x] ∈ f}.
V akom vzťahu je graf f a f−1? Je f−1 vždy funkcia?
IMA1 2020
Vlastnosti funkcií
DefiníciaAk o zobrazení f platí
∀a, b ∈ D(f); a 6= b⇒ f(a) 6= f(b),
hovoríme, že je prosté, alebo injekcia.
Nech f : A→ B. Ak platí, že H(f) = B hovoríme, že f jezobrazenie z množiny A na (surjekcia) množinu B. AkD(f) = A hovoríme, že f je zobrazenie množiny A domnožiny B. Ak platí, že D(f) = A,H(f) = B hovoríme, že fje zobrazenie množiny A na (surjekcia) množinu B.Prosté zobrazenie množiny A na množinu B nazývamevzájomne jednoznačným zobrazením A na B alebobijekciou A na B.Každé prosté zobrazenie je bijekciou svojho definičného oboruna svoj obor hodnôt.
IMA1 2020
Vlastnosti funkcií
DefiníciaAk o zobrazení f platí
∀a, b ∈ D(f); a 6= b⇒ f(a) 6= f(b),
hovoríme, že je prosté, alebo injekcia.Nech f : A→ B. Ak platí, že H(f) = B hovoríme, že f jezobrazenie z množiny A na (surjekcia) množinu B. AkD(f) = A hovoríme, že f je zobrazenie množiny A domnožiny B. Ak platí, že D(f) = A,H(f) = B hovoríme, že fje zobrazenie množiny A na (surjekcia) množinu B.
Prosté zobrazenie množiny A na množinu B nazývamevzájomne jednoznačným zobrazením A na B alebobijekciou A na B.Každé prosté zobrazenie je bijekciou svojho definičného oboruna svoj obor hodnôt.
IMA1 2020
Vlastnosti funkcií
DefiníciaAk o zobrazení f platí
∀a, b ∈ D(f); a 6= b⇒ f(a) 6= f(b),
hovoríme, že je prosté, alebo injekcia.Nech f : A→ B. Ak platí, že H(f) = B hovoríme, že f jezobrazenie z množiny A na (surjekcia) množinu B. AkD(f) = A hovoríme, že f je zobrazenie množiny A domnožiny B. Ak platí, že D(f) = A,H(f) = B hovoríme, že fje zobrazenie množiny A na (surjekcia) množinu B.Prosté zobrazenie množiny A na množinu B nazývamevzájomne jednoznačným zobrazením A na B alebobijekciou A na B.
Každé prosté zobrazenie je bijekciou svojho definičného oboruna svoj obor hodnôt.
IMA1 2020
Vlastnosti funkcií
DefiníciaAk o zobrazení f platí
∀a, b ∈ D(f); a 6= b⇒ f(a) 6= f(b),
hovoríme, že je prosté, alebo injekcia.Nech f : A→ B. Ak platí, že H(f) = B hovoríme, že f jezobrazenie z množiny A na (surjekcia) množinu B. AkD(f) = A hovoríme, že f je zobrazenie množiny A domnožiny B. Ak platí, že D(f) = A,H(f) = B hovoríme, že fje zobrazenie množiny A na (surjekcia) množinu B.Prosté zobrazenie množiny A na množinu B nazývamevzájomne jednoznačným zobrazením A na B alebobijekciou A na B.Každé prosté zobrazenie je bijekciou svojho definičného oboruna svoj obor hodnôt.
IMA1 2020
Vlastnosti funkcií
ohraničenosťFunkcia je ohraničená zhora, ak
∃c ∈ R ∀x ∈ Df ; f(x) ≤ c.
Funkcia je ohraničená zdola, ak
∃d ∈ R ∀x ∈ Df ; f(x) ≥ d.
Funkcia je ohraničená, ak
∃c, d ∈ R ∀x ∈ Df ; d ≤ f(x) ≤ c.
IMA1 2020
Vlastnosti funkcií
monotónnosťFunkcia je rastúca na M
∀x1, x2 ∈M ;x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2),
Funkcia je klesajúca na M
∀x1, x2 ∈M ;x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2),
Funkcia je neklesajúca na M
∀x1, x2 ∈M ;x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2),
Funkcia je nerastúca na M
∀x1, x2 ∈M ;x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2).
IMA1 2020
Vlastnosti funkcií
paritaFunkcia je párna (sudá)
∀x ∈ Df ; f(−x) = f(x),
Funkcia je nepárna (lichá)
∀x ∈ Df ; f(−x) = −f(x).
Pozor, definičný obor musí byť symetrický, teda
x ∈ Df ⇐⇒ −x ∈ Df .
IMA1 2020
Vlastnosti funkcií
periodicita
∃p ∈ R \ {0}∀x ∈ Df ; f(x± p) = f(x).
IMA1 2020
Elementárne funkcie
IMA1 2020
Polynomické funkcie
f(x) = a0 + a1 · x+ a2 · x2 + a3 · x3 + · · ·+ an · xn.
konštantné funkcie, n = 0,lineárne funkcie, n = 1,kvadratické funkcie, n = 2,polynomické funkcie pre n > 2.
IMA1 2020
Polynomické funkcie
Konštantná funkcia: y = 2.
-6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99
-5-5
-4-4
-3-3
-2-2
-1-1
11
22
33
44
55
00
ff
IMA1 2020
Polynomické funkcie
Lineárna funkcia: y = 2x+ 3.
-6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99
-2-2
-1-1
11
22
33
44
55
00
ff
IMA1 2020
Polynomické funkcieKvadratická funkcia:y = (x+ 1)2, y = −(x+ 1)2, y = x2 − 3x+ 2.
-6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99
-5-5
-4-4
-3-3
-2-2
-1-1
11
22
33
44
55
00
ff
gg
hh
IMA1 2020
Polynomické funkcie
Polynomická funkcia, n = 3: y = x3 − 2x2 − x+ 2.
-6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99
-5-5
-4-4
-3-3
-2-2
-1-1
11
22
33
44
55
00
ff
IMA1 2020
Racionálne lomené funkcie
y = Pm(x)Qn(x) ,
Pm− polynóm stupňa m, Qn− polynóm stupňa n.
IMA1 2020
Racionálne lomené funkcie
Racionálna lomená funkcia: y = x−1x+3 .
-9-9 -8-8 -7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66
-4-4
-3-3
-2-2
-1-1
11
22
33
44
55
66
77
00
ffgg
r1r1
IMA1 2020
Mocninné funkcie
y = xa; a ∈ {0, 1, 2, 3}
-7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88
-3-3
-2-2
-1-1
11
22
33
44
55
00
hh
ggff
pp
IMA1 2020
Mocninné funkcie
y = xa; a ∈ {−1,−2}
-7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88
-3-3
-2-2
-1-1
11
22
33
44
55
00ffgg
IMA1 2020
Mocninné funkcie
y = xa; a ∈{1
2 ,13
}
-7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88
-3-3
-2-2
-1-1
11
22
33
44
55
00ff
gg
IMA1 2020
Exponencionálne funkcie
y = ax, a > 0, a ∈{
1, 12 , 2
}
-12-12 -11-11 -10-10 -9-9 -8-8 -7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212
-6-6
-5-5
-4-4
-3-3
-2-2
-1-1
11
22
33
44
55
66
00
ff
gg
IMA1 2020
Logaritmické funkcie
y = loga x, 0 < a < 1 ∨ a > 1, (a = e).
-12-12 -11-11 -10-10 -9-9 -8-8 -7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212
-6-6
-5-5
-4-4
-3-3
-2-2
-1-1
11
22
33
44
55
66
00ff
gg
IMA1 2020
Goniometrické funkcie
y = sin x, y = cosx.
-7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88
-3-3
-2-2
-1-1
11
22
33
44
55
00
ff
gg
IMA1 2020
Goniometrické funkcie
y = tg x.
-12-12 -11-11 -10-10 -9-9 -8-8 -7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212
-10-10
-9-9
-8-8
-7-7
-6-6
-5-5
-4-4
-3-3
-2-2
-1-1
11
22
33
44
55
66
00
ff
r2r2 r3r3 r4r4r5r5r6r6
IMA1 2020
Goniometrické funkcie
y = cotgx.
-12-12 -11-11 -10-10 -9-9 -8-8 -7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212
-10-10
-9-9
-8-8
-7-7
-6-6
-5-5
-4-4
-3-3
-2-2
-1-1
11
22
33
44
55
66
00
ff
r1r1 r2r2 r3r3r4r4r5r5r6r6
IMA1 2020
Cyklometrické funkcie
y = sin x, y = arcsin x.
-3-3 -2.5-2.5 -2-2 -1.5-1.5 -1-1 -0.5-0.5 0.50.5 11 1.51.5 22 2.52.5 33 3.53.5
-2-2
-1.5-1.5
-1-1
-0.5-0.5
0.50.5
11
1.51.5
22
00
ff
gg
IMA1 2020
Cyklometrické funkcie
y = cosx, y = arccosx.
-2-2 -1.5-1.5 -1-1 -0.5-0.5 0.50.5 11 1.51.5 22 2.52.5 33 3.53.5 44 4.54.5
-1-1
-0.5-0.5
0.50.5
11
1.51.5
22
2.52.5
33
00
ff
gg
IMA1 2020
Cyklometrické funkcie
y = tg x, y = arctg x.
-12-12 -11-11 -10-10 -9-9 -8-8 -7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212
-6-6
-5-5
-4-4
-3-3
-2-2
-1-1
11
22
33
44
55
66
00
ff
IMA1 2020
Cyklometrické funkcie
y = cotgx, y = arccotgx.
-12-12 -11-11 -10-10 -9-9 -8-8 -7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212
-6-6
-5-5
-4-4
-3-3
-2-2
-1-1
11
22
33
44
55
66
00
gg
ff
hh
IMA1 2020
Dôležité funkcie
celá časť: [x] ≤ x < [x] + 1
charakteristická funkcia množiny M : χ(x) ={
0 x 6∈M1 x ∈M
sgn(x) =
1 x > 00 x = 0−1 x < 0
IMA1 2020
Dôležité funkcie
celá časť: [x] ≤ x < [x] + 1
charakteristická funkcia množiny M : χ(x) ={
0 x 6∈M1 x ∈M
sgn(x) =
1 x > 00 x = 0−1 x < 0
IMA1 2020
Dôležité funkcie
celá časť: [x] ≤ x < [x] + 1
charakteristická funkcia množiny M : χ(x) ={
0 x 6∈M1 x ∈M
sgn(x) =
1 x > 00 x = 0−1 x < 0
IMA1 2020