1

MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài

Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọng trong giải tích. Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, được chứng minh bởi nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652-1719) đối với đa thức vào năm 1691. Định lý này xuất hiện lần đầu trong cuốn sách Methode pour resoudre les égalitez không có chứng minh và không có nhấn mạnh đặc biệt nào. Định lý Rolle được sự công nhận khi Joseph Lagrange (1736-1813) trình bày định lý giá trị trung bình trong cuốn sách của mình Theorie des functions analytiques váo năm 1797. Nó nhận thêm được sự công nhận khi Augustin Louis Cauchy (1789-1857) chứng minh định lý giá trị trung bình của ông trong cuốn sách Equationnes differentielles ordinaires. Hầu hết các kết quả trong cuốn sách của Cauchy sử dụng định lý giá trị trung bình hoặc định lý Rolle một cách gián tiếp. Do sự khám phá định lý Rolle (hoặc định lý giá trị trung bình Lagrange), nhiều bài báo đã xuất hiện trực tiếp hoặc gián tiếp bàn về định lý Rolle. Gần đây, nhiều phương trình hàm được nghiên cứu xuất phát từ các định lý giá trị trung bình và các suy rộng của chúng. Các suy rộng của định lý giá trị trung bình Lagrange cho vi phân và tích phân đã đem lại nhiều kết quả bất ngờ và lý thú trong giải tích vào cuối thế kỷ 20 và là nguồn động lực để các nhà toán học tập trung nghiên cứu trong những năm gần đây. Cụ thể là các suy rộng vi phân của Flett (1958), McLeod (1964), Trahan (1966), Sanderson (1972), Samuelsson (1973), Evard-Jafari (1992), Clarke-Ledyaev (1994), Furi-Martelli (1995); các suy rộng tích phân của Waymen (1970), Walter (1985), Bullen-Mitrinovic-Vasis (1988), Kranz-Thews (1991), Bressoud (1994), Sayrafiezadeh (1995).

2

Xuất phát từ tính thời sự của định lý giá trị trung bình và các suy suy rộng của nó cho trường hợp tích phân và vi phân và nhu cầu muốn tìm hiểu về các suy rộng của định lý giá trị trung bình Lagrange cùng các ứng dụng của chúng trong phương trình hàm, hai vấn đề quan trọng trong chương trình THPT, đặc biệt là dành cho khối chuyên toán, chúng tôi quyết định chọn đề tài với tên gọi: Các định lý giá trị trung bình vi phân và tích phân để tiến hành nghiên cứu. Vấn đề này luôn mang tính thời sự trong giải tích. Chúng tôi hy vọng tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về định lý giá trị trung bình và một số suy rộng của nó với các ứng dụng trong phương trình hàm và hy vọng tìm ra được một số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này. 2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các định lý giá trị trung bình, một số suy rộng định lý giá trị trung bình cho trường hợp vi phân và tích phân và các phương trình hàm xuất phát từ chúng và có thể tạo được tài liệu tham khảo bổ ích cho những người muốn tìm hiểu về lĩnh vực này. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các định lý giá trị trung bình và các suy rộng của nó cho vi phân và tích phân. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các định lý giá trị trung bình Lagrange, tỉ sai phân, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng định lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan đến chúng cho trường hợp vi phân và định lý giá trị trung bình tích phân và các suy rộng của nó. 4. Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến các suy rộng của định lý giá trị trung bình

3

vi phân, tích phân và các ứng dụng của chúng. - Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi

các kết quả nghiên cứu. Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia về các định lý gia trị trung bình vi phân, tích phân và các ứng dụng của chúng. 5. Bố cục đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm hai chương :

- Ở chương 1, chúng tôi sẽ bàn về định lý giá trị trung bình Lagrange và ba mở rộng cổ điển của nó là định lý giá trị trung bình tỉ sai phân, định lý giá trị trung bình Cauchy, định lý giá trị trung bình Pompeiu cùng với nhiều ví dụ minh họa liên quan đến phương trình hàm. Chúng tôi cũng khảo sát suy rộng của định lý giá trị trung bình Lagrange và Cauchy cho hàm hai biến, đồng thời giới thiệu các phương trình hàm kiểu giá trị trung bình.

- Ở chương 2, chúng tôi sẽ bàn về định lý giá trị trung bình tích phân và các suy rộng của nó. Một số ứng dụng của các định lý này được đưa ra, như là việc tìm ra các biểu diễn tích phân của các trung bình số học, hình học, lôgarit, identric và các mở rộng của chúng. Ở đây, chúng tôi cũng bàn luận tính lặp lại của các trung bình số học và hình học và một định lý của Kranz và Thews phát biểu rằng nếu các giá trị trung bình từ định lý giá trị trung bình tích phân và định lý giá trị trung bình vi phân xảy ra ở cùng một điểm thì hàm được cho có dạng affine mũ. Chương này cũng bao gồm một số bài toán mở. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

- Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến Định lý giá trị trung bình Lagrange, các suy rộng của nó cho trường hợp vi phân cùng với các phương trình hàm liên quan và

4

các định lý giá trị trung bình tích phân cùng với các ứng dụng cho việc biểu diễn tích phân nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về các định lý giá trị trung bình vi phân, tích phân và các ứng dụng.

- Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa ra một số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập.

5

CHƯƠNG 1 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VI PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG

Chương này sẽ trình bày định lý giá trị trung bình của phép tính vi phân và một số ứng dụng của nó. Hơn nữa sẽ bàn đến nhiều phương trình hàm được phát triển bằng cách sử dụng định lý giá trị trung bình. Tất cả các phương trình hàm đề cập trong chương này được sử dụng theo đa thức đặc trưng. Chương này cũng khảo sát định lý giá trị trung bình đối với tỷ sai phân và đưa ra một số ứng dụng trong việc xác định trung bình hàm, chứng minh định lý giá trị trung bình của Cauchy, định lý giá trị trung bình của Pomeiu và chỉ ra các phương trình hàm khác nhau có thể là động lực sử dụng các định lý này nói chung. 1.1. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Một trong những định lý quan trọng nhất của phép tính vi phân là định lý giá trị trung bình Lagrange. Định lý này được phát hiện lần đầu tiên bởi Joseph Louis Lagrange (1736-1813) nhưng ý tưởng của việc áp dụng định lý Rolle vào một hàm bổ trợ thích hợp được đưa ra bởi Bonnet Ossian (1819-1892). Tuy nhiên, công bố đầu tiên của định lý này xuất hiện trong một bài báo của nhà vật lý nổi tiếng Andre – Marie Ampère (1775-1836). Nhiều kết quả của giải tích thực cổ điển là hệ quả của định lý giá trị trung bình. Chứng minh định lý Rolle được dựa trên hai kết quả sau. Mệnh đề 1.1.1. Nếu một hàm khả vi :f →¡ ¡ đạt cực trị tại một

điểm c trong khoảng mở (a,b) thì '( ) 0f c = .

Mệnh đề 1.1.2. Một hàm liên tục :f →¡ ¡ đạt cực trị trên một

khoảng đóng và bị chặn bất kỳ [a,b].

6

Định lý Rolle được phát biểu như sau.

Định lý 1.1.1. Nếu f liên tục trên 1 2[ , ]x x và khả vi trên 1 2( , )x x

với 1 2( ) ( )f x f x= thì tồn tại một điểm 1 2( , )x xη ∈ sao

cho '( ) 0f η = .

Định lý trung bình Lagrange được tổng quát hóa từ định lý Rolle. Định lý 1.1.2. Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên một khoảng I và

với mọi cặp 1 2x x≠ trong I, tồn tại một điểm η phụ thuộc vào x1

và x2 sao cho

1 21 2

1 2

( ) ( ) '( ( , )).f x f x f x xx x

η−

=−

Chú ý 1.1. Một số ứng dụng của định lý trung bình Lagrange trong

phương tình hàm. Bổ đề 1.1.1. Bổ đề 1.1.2. Bổ đề 1.1.3. Bổ đề 1.1.4.

Tiếp theo là một số ví dụ ứng dụng của định lý. Ví dụ 1.1.1. Định lý giá trị trung bình có thể sử dụng để chứng minh

bất đẳng thức Bernoulli : Nếu 1x > − , thì (1 ) 1nx nx+ ≥ +

với mọi \ (0,1).n ∈ ¡

Chứng minh: Đầu tiên, ta giả sử 0x ≥ và đặt ( ) (1 )nf t t= + ,

với [0, ]t x∈ .

Do đó hàm f thỏa mãn giả thuyết của định lý giá trị trung

bình và ta có một điểm (0, )xη ∈ với

7

( ) (0) ( 0) '( )f x f x f η− = − .

Vậy ta có

1(1 ) 1 (1 )n nx xn nxη −+ − = + ≥ ,

suy ra (1 ) 1nx nx+ ≥ + .

Khi chọn 1 0x− < < ta làm tương tự, đặt hàm

( ) (1 ) nf t t= + , với [ , 0]t x∈ .Ta cũng thu được

(1 ) 1nx nx+ ≥ + .

Vậy, nếu 1x > − , thì (1 ) 1nx nx+ ≥ + với mọi

\ (0,1)n ∈ ¡ .

Ví dụ 1.1.2. Ví dụ 1.1.3. Ví dụ 1.1.4. Ví dụ 1.1.5. Ví dụ 1.1.6. Ví dụ 1.1.7. Định lý giá trị trung bình được sử dụng để giới

thiệu một họ vô hạn của các trung bình, gọi là trung bình Stolarsky (theo Stolarsky (1975)).

- Trung bình số học

1 21 2

. . .( , , . . . , ) nn

x x xA x x xn

+ + +=

- Trung bình hình học

1 2 1 2( , , . . . , ) . . .nn nG x x x x x x=

- Trung bình logarit 11

1 21

( , , ..., ) ( 1) ! ,n

n

n i ii

L x x x n t x d t−−

=Γ

= − ∑∫

8

trong đó

1 21 1

( , , . . . , ) / 0 , 1 , 1 ,n n

n n i i n ii i

t t t t t t t= =

Γ = ≥ ≤ = −

∑ ∑

1 2 1. . . .nd t d t d t d t −=

1.2. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI TỈ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Trong phần này, chúng ta chứng minh định lý trung bình đối với tỉ sai phân và trình bày một số ứng dụng đối với việc nghiên cứu các trung bình. Chúng ta bắt đầu với một biểu diễn tích phân của tỉ sai phân. Một số kết quả của phần này có thể tìm thấy trong sách của

Isaacson và Keller (1966) và Ostrowski (1973). Trong mục này ( )nf

biểu diễn đạo hàm cấp n của hàm f trong khi 'f biểu diễn đạo hàm

cấp một của f .

Trước hết ta định nghĩa tỉ sai phân của hàm :f →¡ ¡ như sau

Định nghĩa 1.2. Với các số thực phân biệt 1 2, , . . . , nx x x , tỉ sai

phân của hàm :f →¡ ¡ được định nghĩa là

[ ] ( )i if x f x=

và 1 2 1 2 31 2

1

[ , , ..., ] [ , , ..., ][ , , ..., ] n nn

n

f x x x f x x xf x x xx x− −

=−

với mọi n ≥ 2. Tiếp theo chúng tôi xin giới thiệu định lý giá trị trung bình đối với tỉ sai phân. Định lý 1.2.1. Giả sử :f →¡ ¡ có đạo hàm cấp n liên tục trong

khoảng min 0 1{ , ,..., }nx x x ≤ x ≤ max 0 1{ , ,..., }nx x x .

Nếu các điểm 0 1, ,..., nx x x là phân biệt, thì

9

111( )

1 2 0 1 0 110 0 0

... ( ( )) [ , ,..., ]ntt n

nk k k n n

kdt dt f x t x x dt f x x x

−

−=

+ − =∑∫ ∫ ∫

trong đó 1.n ≥

Định lý 1.2.2. Cho : [ , ]f a b → ¡ là một hàm giá trị thực với đạo

hàm cấp n liên tục và 0 1, ,..., nx x x trong [a,b]. Khi đó tồn tại một

điểm η trong khoảng [min 0 1{ , ,..., }nx x x , max 0 1{ , ,..., }nx x x ]

sao cho ( )

0 1( )[ , , ..., ]!

n

nff x x x

nη

=

Chú ý 1.2. Một trung bình hàm ( , )nfM a b theo a và b xác định như

sau (2 1) 1 [ ] [ ]( , ) ( ) {(2 1)! [ , ]}n n n n

fM a b f n f b a− −= −

trong đó [n] [n][ , ] [ , , ..., , , ..., ]f b a f b b a a a=

Ví dụ 1.2.1. Nếu ( ) mf x x= , trong đó m là một số nguyên dương lớn

hơn hoặc bằng n, khi đó ( , )2

nf

a bM a b += .

Chứng minh : Nếu ( ) mf x x= thì có thể chứng tỏ rằng

0 1 1 0 1 1[ , ,..., ] ... .m mf x x x x x x− −= + + +

Cho 0 1 12 , ... nm n x x x a−= = = = = và

1 2 1 ...n n nx x x b+ −= = = = trong phương trình trên, ta được [n] [n][ , ] ( ).f b a n a b= +

10

Khi đó (2 1) 1 [ ] [ ]( , ) ( ) {(2 1)! [ , ]}n n n n

fM a b f n f b a− −= −

1 (2 1)! ( )(2 )!

2

n n a bn

a b

= − +

+=

Ví dụ 1.2.2. Nếu 1( )f xx

= , thì ( , )nfM a b ab=

Chứng minh : Nếu 1( )f xx

= thì ta có thể chứng tỏ rằng

0 1 10 1 1

( 1)[ , , . . . , ]. . .

n

nn

f x x xx x x−

−

−=

Do đó 2 1

[n ] [n ] ( 1)[ , ] .n

n nf b aa b

−−=

Vì 2 1

( 2 1 )2

( 1) ( 2 1) !( ) ,n

nn

nf xx

−− − −

=

nên ta có

( 2 1 ) 1 [ ] [ ]

12

( , ) ( ) {( 2 1) ! [ , ]}

( )

.

n n n nf

n n n

M a b f n f b a

a b

a b

− −= −

=

=

11

1.3. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CAUCHY VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Augustine – Louis Cauchy (1789-1857) đưa ra một suy rộng dưới đây của định lí giá trị trung bình mà hiện nay mang tên của ông. Định lý 1.3.1. Với mọi hàm giá trị thực f và g khả vi trên khoảng số

thực I và với mọi cặp 1 2x x≠ trong I, tồn tại một điểm η phụ

thuộc vào 1x và 2x sao cho

1 2 1 2[ ( ) ( )] '( ) [ ( ) ( )] '( ).f x f x g g x g x fη η− = −

Chú ý 1.3. Định lý 1.3.2. Cho , : [ , ]f g a b → ¡ là những hàm giá trị thực

có đạo hàm cấp n liên tục và ( )( ) 0ng t ≠ trên [a,b]. Hơn nữa, cho

0 1, ,..., nx x x trong [a,b]. Khi đó tồn tại một điểmη ∈

[min 0 1{ , ,..., }nx x x , max 0 1{ , ,..., }nx x x ] sao cho ( ) ( )

0 1 0 1[ , ,..., ] ( ) [ , ,..., ] ( )n nn nf x x x g t g x x x f η=

1.4. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Vào năm 1946, Pompeiu giới thiệu một biến thể của định lý giá trị trung bình Lagrange và ngày nay gọi là định lý giá trị trung bình Pompeiu. Định lý 1.4.1. Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên một khoảng

[ , ]a b không chứa 0 và với mọi cặp 1 2x x≠ trong [ , ]a b , tồn tại

điểm 1 2( , )x xξ ∈ sao cho

1 2 2 1

1 2

( ) ( ) ( ) '( ).x f x x f x f fx x

ξ ξ−

= −−

12

Chú ý 1.4. Chú ý 1.5. Định lý 1.4.2. Hàm , :f h →¡ ¡ thỏa mãn phương trình hàm

{ , } ( , ), ,f x y h x y x y= ∀ ∈¡ với x y≠

khi và chỉ khi

( )f x ax b= + và ( )h x b=

trong đó a, b là các hằng số tùy ý. Bổ đề 1.4. Hệ quả 1.4. Định lý 1.4.3. Cho s và t là các tham số thực. Các hàm , :f h →¡ ¡

thỏa mãn ( ) ( ) ( )xf y yf x h sx ty

x y−

= +−

với mọi ,x y ∈ ¡ , x y≠ khi và chỉ khi

( )f x ax b= +

( )h x=

trong đó a, b là các hằng số tùy ý. 1.5. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM HAI BIẾN

Định lý này xuất hiên trong cuốn sách của Courant (1964).

Định lý 1.5. Với mỗi hàm 2:f →¡ ¡ có hai đạo hàm thành

phần xf và yf liên tục và với mọi cặp điểm ( , )x y , ( , )u v phân

tùy ý với (0)b h= nếu 0s t= =

b nếu , 0s t x= − ≠

b trong trường hợp còn lại,

13

biệt trong 2¡ , thì khi đó tồn tại một điểm trung gian ( , )η ξ trên

đoạn thẳng nối hai điểm ( , )x y và ( , )u v sao cho

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ).x yf u v f x y u x f v y fη ξ η ξ− = − + −

Ý nghĩa hình học của định lý trên là sai phân giữa giá trị của hàm số tại điểm ( , )x y và ( , )u v bằng với vi phân tại điểm trung

gian ( , )η ξ nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm đó.

1.6. PHƯƠNG TRÌNH HÀM KIỂU GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Bổ đề 1.6.1. Bổ đề 1.7.2. Bổ đề 1.6.3.

Định lý 1.6.1. Cho 21 2, , :f g g →¡ ¡ thỏa mãn

( , ) ( , )f u v f x y−

1 2( ) ( , ) ( ) ( , ),u x g x u y v v y g x u y v= − + + + − + +

với mọi , , ,x y u v ∈ ¡ và 2 2( ) ( ) 0u x v y− + − ≠ , thì f có

dạng 2 2( , ) ( , ) ,f x y B x y ax bx cy dy α= + + + + +

trong đó 2:B →¡ ¡ là hàm song cộng tính, và , , , ,a b c d α là

các hằng số bất kỳ. Định lý 1.6.2. Nếu đa thức bậc hai

2 2( , )f x y ax bx cy dy exy α= + + + + +

với 24 0,ac e− ≠ là một nghiệm của phương trình vi phân hàm

( , ) ( , )f x h y h f x y+ + −

( , ) ( , ),x yhf x h y k kf x h y kθ θ θ θ= + + + + + (*)

14

giả sử với mọi , , ,x y h k ∈ ¡ và 2 2 0h k+ ≠ , thì 1 .2

θ =

Ngược lại, nếu một hàm f thỏa mãn (*) với 1 ,2

θ = thì nghiệm

duy nhất là một đa thức có bậc cao nhất bằng hai. 1.7. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CAUCHY ĐỐI VỚI CÁC HÀM HAI BIẾN

Định lý giá trị trung bình đối với hàm hai biến có thể được tổng quát hóa bao gồm hai hàm số như sau :

Định lý 1.7. Với mọi hàm số giá trị thực f và g trong 2¡ có các

đạo hàm thành phần , ,x x yf g f và yg liên tục và với mọi cặp

điểm phân biệt ( , )x y và ( , )u v trong 2¡ , khi đó tồn tại một

điểm trung gian ( , )η ξ trên đoạn thẳng nối hai điểm ( , )x y và

( , )u v sao cho

[ ( , ) ( , )][( ) ( , ) ( ) ( , )]x yf u v f x y u x g v y gη ξ η ξ− − + −

[g( , ) ( , )][( ) ( , ) ( ) ( , )].x yu v g x y u x f v y fη ξ η ξ= − − + −

1.8. MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ Phương trình xuất hiện trong định lý trên cho ta một phương

trình hàm với η và ξ như đã cho. Giả sử ( , )x u x uη = + và

( , )v y v yξ = + , và thay đổi đạo hàm thành phần của f và

g bởi các hàm số , , ,h l k m như đã biết trong phương trình

trên, ta thu được [ ( , ) ( , )][( ) ( , ) ( ) ( , )]f u v f x y u x h u x v y v y k u x v y− − + + + − + +

[g( , ) ( , )][( ) ( , ) ( ) ( , )]u v g x y u x l u x v y v y m u x v y= − − + + + − + +với mọi , , ,x y u v ∈ ¡ và 2 2( ) ( ) 0u x v y− + − ≠ . Nghiệm tổng

15

quát của phương trình hàm này là chưa thể biết. Hơn nữa, phương trình hàm

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )f u v f x y

u x g u x v y v y h u x v y−

= − + + + − + +

có thể được tổng quát hóa thành ( , ) ( , )f u v f x y−

[ ( ) ( )] ( , ) [ ( ) ( )] ( , ),l u l x g u x v y l v l y h u x v y= − + + + − + +

với mọi , , ,x y u v ∈ ¡ và 2 2( ) ( ) 0u x v y− + − ≠ . Trong đó

:l →¡ ¡ là một hàm liên tục và đơn điệu ngặt. Phương trình này cũng rất cần thiết cho nhiều nghiên cứu.

16

CHƯƠNG 2 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG

Định lý giá trị trung bình của phép tính vi phân có ý nghĩa rất quan trọng như chúng ta đã biết trong chương 1. Một định lý quan trọng nữa đối với phép tính là định lý giá trị trung bình tích phân. Mục đích chính của chương này là trình bày định lý giá trị trung bình tích phân và một vài tổng quát hóa của định lý này. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày sự tổng quát hóa định lý giá trị trung bình Bonnet và định lý giá trị trung bình Sayrafiezadeh. Hơn nữa chúng tôi còn trình bày chính xác kết quả của Wayment (1970) kết quả này là bản dịch tích phân của định lý giá trị trung bình Flett. Sử dụng định lý giá trị trung bình tích phân chúng tôi trình bày các biểu diễn tích phân của các trung bình số học, hình học, logarit và identric. Tiếp đến,

trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tỉ mỉ bản chất của hàm f

với ý nghĩa liên kết giữa định lý giá trị trung bình của phép tính vi phân và phép tính tích phân. Cuối cùng là một số bài toán mở liên quan đến sự lặp lại của các trung bình và các suy rộng của nó. 2.1. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN VÀ CÁC SUY RỘNG

Định lý giá trị trung bình tích phân được thiết lập dựa trên việc

sử dụng hai nguyên tắc cơ bản của phép tính , đó là nếu ( )f x liên

tục trên khoảng [ , ]a b và ( ) ( )x

aF x f t dt= ∫ với [ , ],t a b∈ thì

'( ) ( )F x f x= với mọi ( , )x a b∈ . Kết quả này do Issac Barrow

(1630-1677) là người đầu tiên nhận ra rằng phép lấy vi phân và phép lấy tích phân là một phép toán ngược.

17

Định lý giá trị trung bình của phép tính tích phân được phát biểu như sau

Định lý 2.1.1. Nếu ( )f x liên tục trên khoảng [ , ]x y , thì tồn tại một

điểm ξ trong khoảng ( , )x y phụ thuộc vào x và y sao cho

( )( ( , )) .

y

xf t dt

f x yy x

ξ =−

∫

Định lý 2.2.2. Nếu f và g liên tục trên khoảng [ a ,b ] và g không

bao giờ bằng không trên ( , )a b , thì khi đó tồn tại một số ξ trong

khoảng ( , )a b phụ thuộc vào a và b sao cho

( ) ( )( ( , )) .

( )

b

ab

a

g t f t dtf a b

g t dtξ = ∫

∫

Định lý 2.2.3. Nếu f liên tục trên khoảng đóng [a ,b ] và

( ) ( )f a f b= , thì khi đó tồn tại một số η trong khoảng (a,b) phụ

vào a và b sao cho

( ) ( ) ( ) .a

a f f x d xη

η η− = ∫

Bây giờ chúng tôi giới thiệu một tổng quát hóa nữa của định lý giá trị trung bình tích phân. Đây là tổng quát hóa của Sayrafiezadeh (1995).

Trước hết định nghĩa một số khái niệm. Định nghĩa 2.1.1. Định nghĩa 2.1.2. Định nghĩa 2.1.3.

18

Định lý 2.2.4. Giả sử : [ , ]f a b → ¡ là một hàm số liên tục.

Gọi 0 1{ , , . ., }n nP x x x= là một phân hoạch cố định của

[ , ]a b . Với (0,1)t ∈ , các điểm mẫu được cho bởi 1i i ic x t x−= + ∆

trong đó 1i i ix x x −∆ = − . Thì khi đó tồn tại một điểm (0,1)η ∈

sao cho

( ) ( ) .b

n aR f x dxη = ∫

Định lý 2.2.5. Cho f khả tích và g là hàm tăng trong khoảng đóng

[ , ]a b và không âm. Thì khi đó tồn tại ít nhất một điểm

( , )a bη ∈ sao cho

( ) ( ) ( ) ( ) .b b

af t g t d t g b f t d t

η=∫ ∫

2.2. ỨNG DỤNG: BIỂU DIỂN TÍCH PHÂN CỦA CÁC TRUNG BÌNH

Chúng ta thấy rằng định lý giá trị trung bình Lagrange của phép tính vi phân có thể sử dụng làm phương pháp để tìm ra các trung bình khác nhau giữa hai số thực dương a và b. Trong mục này, chúng ta minh họa định lý giá trị trung bình của phép tính tích phân theo cách có thể sử dụng để tìm ra sự biểu diễn tích phân của các trung bình khác nhau. Sự biễu diễn này được sử dụng để tổng quát hóa sự tồn tại lớp các trung bình.

Chúng ta bắt đầu mục này với định nghĩa của các trung bình.

Định nghĩa 2.2. Một hàm số liên tục 2:M + →¡ ¡ được gọi

là trung bình của hai số a và b nếu và chỉ nếu

(M1) min{ ,a b } ( , )M a b≤ ≤ max{ ,a b }

(M2) ( , ) ( , )M a b M b a=

19

(M3) ( , ) ( , )M a b M b aλ λ λ=

với mọi , .a b +∈ ¡

Ta có được sự biểu diễn tích phân của các trung bình như sau Trung bình indentric

( ) lnln ( ( , ))

( )

b

ag b

a

g x xdxI a b

g x dx= ∫

∫

Trung bình số học

( )( , )

( )

b

ag b

a

g x xdxA a b

g x dx= ∫

∫

Trung bình lôgarit 1( )1

( , ) ( )

b

ab

ga

g x dxx

L a b g x dx=

∫∫

Trung bình hình học

2

2

1( )1 .( , ) ( )

b

ab

ga

g x dxx

G a b g x dx=

∫∫

2.3. SỰ TRÙNG NHAU CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Trong mục này, chúng tôi mô tả tất cả các hàm số có các giá

trị trung bình như nhau bằng đạo hàm của chúng. Để chứng minh sự mô tả của định lý, kết quả sau đây là điều cần thiết. Kết quả này được gọi là Định Lý Bernstein và chúng tôi chỉ dẫn cho độc giả trong

20

cuốn sách của Walter ( 1985) thay thế cho việc chứng minh định lý này. Định lý 2.3.1. Cho g khả vi vô hạn trên khoảng ( , )I r r= − sao

cho với mọi n đủ lớn hoặc ( ) 0nD g x ≥ với mọi x I∈ hoặc

( 1) ( ) 0n nD g x− ≥ với mọi x I∈ , thì g được xác định duy nhất bởi

nó khai triển được chuỗi Taylor trên khoảng I. (Ở đây ( )nD g x

được ký hiệu là đạo hàm cấp n của g. ) Tiếp theo định lý chúng tôi nói đến sự cần thiết phải đưa ra sự

trùng nhau đối với hàm số :f →¡ ¡

(i) f khả vi liên tục đến cấp hai,

(ii) sign 1( '( ))f x c= với mọi x, trong đó

1 { 1,1}c ∈ − ,

(iii) sign 2( ''( ))f x c= với mọi x, trong đó 2 { 1,1}.c ∈ −

Sau đây là định lý về sự trùng nhau của các trung bình Định lý 2.3.2. Cho :f →¡ ¡ thỏa mãn (i),(ii) và (iii) ở trên.

Nếu với mọi ,x a ∈ ¡ ta có điều sau

( , ) ( , )W x a w x a= ,

thì khi đó có , 0α β ≠ và µ ∈ ¡ sao cho

( ) .xf x eβα µ= +

2.4. MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ Trong mục 3, chúng ta đã thảo luận ngắn gọn tính lặp lại của

trung bình số học và hình hoc. Độc giả mong muốn hiểu rõ hơn về chủ đề này có thể tham khảo kỷ hơn trong cuốn sách Borwein và Borwein (1987). Borwein và các đồng nghiệp đã đưa ra một số bài

21

toán mở trong năm 1992 đối với tính lặp lại của các trung bình. Tong mục này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số bài toán mở dạng này.

Cho a và b là hai số thực dương. Tính lặp lại một liên kết trung bình Gauss với hai trung bình U và V là hai số hạng lặp lại

1

1

( , )( , )

n n n

n n n

a U a bb V a b

+

+

=

=

với giá trị ban đầu 0a a= và 0b b= . Giới hạn chung của { }na

và { }nb tồn tại được gọi là đa hợp Gauss của U và V và được kí

hiệu như sau ( , ).U V U V a b⊗ = ⊗

Một trong những bài các toán mở của Borwein và Borwein (1992) là đồng nhất hóa, ở dạng đóng, đa hợp Gauss liên kết với

trung bình số học ( , )A a b và trung bình bậc hai

2 2

( , )2

a bQ a b += . Tương tự, dạng đóng của đa hợp Gauss liên

kết với trung bình số học ( , )A a b và trung bình Lehmer 2 2

2 ( , ) a bL a ba b

+=

+đã được giải đáp bởi Stieltjes (1891).

Cuối cùng, chúng ta kết thúc mục này với những vấn đề sau đây. Phương trình hàm

( , ) ,2

a bM a b M ab+ =

là một phương trình hàm lý thú. Một biến thức của nó là một phương trình như sau :

22

2, ( , ),2

a b abf f a ba b

+ = + (*)

trong đó : f + +× →¡ ¡ ¡ . Haruki và Rassias (1995) đã xem

xét rất cẩn thận phương trình hàm này. Họ đã trình bày rằng nếu f có thể được biểu diễn như sau

2

0

1( , ) ( ) ,2

f a b g s dπ

θπ

= ∫

trong đó 2 2sin cos ,s a bθ θ= + :g + →¡ ¡ là hàm số sao

cho "( )g x liên tục trên +¡ , thì nghiệm duy nhất của (*) là

( , ) ,Af a b Bab

= +

trong đó A và B là hai hằng số bất kỳ. Haruki và Rassias (1995)

đã đưa ra một bài toán sau đây. Cho : f + +× →¡ ¡ ¡ là một

hàm số liên tục trên + +ס ¡ . Nghiệm duy nhất liên tục của

phương trình hàm (*) có phải là ( , ) ( , )f a b a bφ= , trong đó

:φ + →¡ ¡ là một hàm số liên tục bất kỳ hay không?

23

KẾT LUẬN

Qua một thời gian tìm hiểu, tiếp cận và nghiên cứu về các định lý giá trị trung bình vi phân và tích phân cũng như một số ứng dụng của chúng, luận văn đã hoàn thành và đạt được mục tiêu nghiên cứu của đề tài với những kết quả cụ thể sau:

1. Tổng quan và hệ thống một cách đầy đủ định lý giá trị trung bình Lagrange và ứng dụng trong phương trình hàm cũng như ba mở rộng cổ điển của nó là định lý giá trị trung bình đối với tỉ sai phân, định lý giá trị trung bình Cauchy, định lý giá trị trung bình Pompeiu cùng với các ứng dụng trong việc nghiên cứu phương trình hàm. Chúng tôi cũng đã khảo sát một số suy rộng của định lý giá trị trung bình Lagrange và Cauchy cho các hàm hai biến, đồng thời cũng đã đưa ra các phương trình hàm kiểu giá trị trung bình, cũng như một số bài toán mở đối với các phương trình hàm liên quan.

2. Trình bày đầy đủ, rõ ràng, chi tiết về các định lý giá trị trung bình tích phân và các suy rộng của nó. Một số ứng dụng của các định lý này cũng đã được đưa ra, với việc tìm ra các biểu diễn tích phân của các trung bình số học, hình học, lôgarit, identric và các mở rộng của chúng. Chúng tôi cũng đã bàn luận tính lặp lại của các trung bình số học và hình học, và cũng đã đưa ra định lý của Kranz và Thews về sự trùng nhau giữa giá tri trung bình vi phân và giá trị trung bình tích phân. Bên cạnh đó chúng tôi cũng đã đưa ra một số bài toán mở cho các phương trình hàm liên quan.

Với những gì đã khảo sát và đạt được, luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích cho bản thân khi tiếp tục đi sâu nghiên cứu sau này và hi vọng cũng là nguồn tư liệu tốt cho những ai quan tâm nghiên cứu về các định lý giá trị trung bình vi phân và tích phân cũng như các ứng dụng của chúng.

24

Trong quá trình làm luận văn, mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song do điều kiện khách quan và năng lực có hạn của bản thân nên luận văn khó tránh những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý chân thành của quí thầy cô và bạn đọc để có thể tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu và phát triển luận văn sau này.