model coxa przy za ozeniu proporcjonalnego hazardu -...

Model Coxacoxph

Model Coxa przy założeniu proporcjonalnegohazardu - wstęp.

Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski

Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego

29 października 2008

Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp.

Model Coxacoxph

WstępPostać ModeluWłaściwości modeluObliczanie współczynników βiWyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa

Plan prezentacji

1 Model CoxaWstępPostać ModeluWłaściwości modeluObliczanie współczynników βiWyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa

2 coxphskładniaformulamethod


Model Coxacoxph


Wstęp

Model proporcjonalnego hazardu Coxa jest często stosowaną technikąstatystycznej analizy danych przeżycia. Dzięki niemu możemy wyizolowaćposzczególne elementy (zmienne niezależne/objaśniające) mające wpływna prognozę „failure time”.

Model można stosować nawet gdy niedziałają klasyczne modele regresji z dwóch powodów:

zmienna zależna nie ma rozkładu normalnego (podczas gdy takiezałożenie jest czynione w klasycznych modelach),

mamy do czynienia z obserwacjami uciętymi wykluczonymi wprzypadku klasycznej analizy regresji.


Model Coxacoxph


Wstęp

Model proporcjonalnego hazardu Coxa jest często stosowaną technikąstatystycznej analizy danych przeżycia. Dzięki niemu możemy wyizolowaćposzczególne elementy (zmienne niezależne/objaśniające) mające wpływna prognozę „failure time”. Model można stosować nawet gdy niedziałają klasyczne modele regresji z dwóch powodów:

zmienna zależna nie ma rozkładu normalnego (podczas gdy takiezałożenie jest czynione w klasycznych modelach),

mamy do czynienia z obserwacjami uciętymi wykluczonymi wprzypadku klasycznej analizy regresji.


Model Coxacoxph


Plan prezentacji




Model Coxacoxph


Postać funkcji hazardu w modelu Coxa

h(t, x1(t), · · · , xn(t)) = h0(t)exp(β1x1(t) + · · ·+ βnxn(t))

Gdzie h(t, x1(t), · · · , xn(t)) oznacza funkcję hazardu w momencie t przydanych n zmiennych objaśniających - pewnych cechach badanegoobiektu.

Jak widać funkcja hazardu jest iloczynem dwóch składników:1 pierwszy z nich to nieujemna funkcja hazardu h0(t) zwana hazardemodniesienia lub hazardem bazowym. Nie zależy ona od żadnegoparametru, jedynie od czasu t,

2 drugi człon ma postać log-liniowej funkcji i zależy jedynie odwartości zmiennych objaśniających x1(t), · · · , xn(t).


Model Coxacoxph


Postać funkcji hazardu w modelu Coxa

h(t, x1(t), · · · , xn(t)) = h0(t)exp(β1x1(t) + · · ·+ βnxn(t))

Gdzie h(t, x1(t), · · · , xn(t)) oznacza funkcję hazardu w momencie t przydanych n zmiennych objaśniających - pewnych cechach badanegoobiektu. Jak widać funkcja hazardu jest iloczynem dwóch składników:1 pierwszy z nich to nieujemna funkcja hazardu h0(t) zwana hazardemodniesienia lub hazardem bazowym. Nie zależy ona od żadnegoparametru, jedynie od czasu t,

2 drugi człon ma postać log-liniowej funkcji i zależy jedynie odwartości zmiennych objaśniających x1(t), · · · , xn(t).


Model Coxacoxph


Plan prezentacji




Model Coxacoxph


Zalety modelu proporcjonalnego hazardu Coxa

Z takiej postaci funkcji hazardu wynikają następujące własności orazzalety modelu:

funkcja hazardu przyjmuje wartości większe lub równe 0,

model coxa jest modelem nieparametrycznym, tzn. wprzeciwieństwie do modeli parametrycznych nie ma koniecznościzałożenia z góry pewnego rozkładu zmiennej zależnej,


Model Coxacoxph


Zalety modelu proporcjonalnego hazardu Coxa cd.

założenie proporcjonalności: praktycznie rzecz biorąc, zakłada się,że dla dwóch obserwacji o różnych wartościach dla zmiennychniezależnych x = (x1, · · · , xn) i x̃ = (x̃1, · · · , x̃n), stosunek funkcjihazardu dla tych dwóch obserwacji nie zależy bezpośrednio od czasu,a jedynie od zmiennych objaśniających, tzn:

h(t,x1(t),··· ,xn(t))h(t,x̃1(t),··· ,x̃n(t)) = exp(β1(x1(t)− x̃1(t)) + · · ·+ βn(xn(t)− x̃n(t))

Oznacza to, że jeśli przypatrzymy się dwóm niezwiązanym ze sobąobiektom w tym samym czasie, to różnice w natężeniu zdażeń będązależały jedynie od różnic między zmiennymi objaśniającymi. Należypamiętać że same cechy są zmienne w czasie.


Model Coxacoxph


Zalety modelu proporcjonalnego hazardu Coxa cd.

znając współczynniki βi jesteśmy w stanie, bez jakiejkolwiek wiedzyo h0(t), określić wrażliwość funkcji hazardu na zmiany i-tej cechy.Mianowicie gdy i-ta zmienna zależna wzrośnie o jednostkę (apozostałe będą bez zmian), to funkcja hazardu wzrośnie exp(βi )razy.

taka postać h(t) pozwala wyznaczyć współczynniki βi przyminimalnych założeniach o hazardzie bazowym.


Model Coxacoxph


Sprawdzanie założenia proporcjonalności

Założenie proporcjonalności nie musi być zawsze spełnione (czasami przywspółczynnikach βi pojawia się jawnie zależność od czasu), aby tosprawdzić możemy użyć dwóch metod:

Metoda graficzna. Polega ona na narysowaniu wykresów funkcjihazardu w zależności od czasu dla kilku grup obserwacji. Jeśliwykresy się przecinają to spełnione jest założenie proporcjonalności.

Zastosowanie modelu poszerzonego hazardu Coxa dlazmiennych zależnych od czasu. Następnie po wykonaniu estymacjisprawdzamy, czy współczynnik tej dodatkowej zmiennej okaże sięnieistotny. Jeżeli tak, to założenie niezależności do czasu jestspełnione.


Model Coxacoxph


Plan prezentacji




Model Coxacoxph


Zakładając, że h0(t) jest dowolne nie możemy dostać żadnych informacjio współczynnikach βi na podstawie badań okresów, w których nie zaszłożadne zdażenie, ponieważ w tych przedziałach funkcja h0(t) może byćrówna zero. Dlatego musimy rozważać prawdopodobieństwa warunkowe:P(T = t(i)|R(t(i))) wystąpienia zdażenia w momencie t(i) na zbiorzeR(t(i)) wszystkich takich obserwacji, dla których „failure time” lub czas„ocenzurowania” jest co najmniej równy t(i).


Model Coxacoxph


Przypadek ciągły

Dla przypadku ciągłego niech t(1), · · · , t(k) oznaczają różne czasy zdażeńtzn., że żadne dwa z nich nie występują jednocześnie (w przypadkudyskretnym założenie to nie jest prawdziwe). Na zbiorze dyskretnymR(t(i))

ozn.= Ri .

P(T = t(i)|R(t(i))) =P(T = t(i)|T >= t(i))∑

j∈Ri

P(T = t(j)|T >= t(j))=

=h(t(i), x(i))∑

j∈Ri

h(t(j), x(j))=

exp(βx(i))∑j∈Ri

exp(βx(j))=

=exp(β1x(i)1 + · · ·+ βnx(i)n)∑

j∈Ri

exp(β1x(j)1 + · · ·+ βnx(j)n)

Gdzie x(j) to j-ta obserwacja, której „failure time” (lub czas ucięcia)przypadł na t(j).


Model Coxacoxph


Estymacja współczynników

Znajdując maksimum funkcji log-wiarygodności można obliczyć estymatorwspółczynników ai .

L(β) =k∑i=1

βx(i) −k∑i=1

log[∑j∈Ri

exp(βx(j))],

gdzie i = 1 · · · k to wszystkie momenty wystąpienia zdażenia (niebierzemy pod uwagę obserwacji ocenzurowanych).


Model Coxacoxph


Zdażenia jednoczesne

Jeżeli możliwe jest wystąpienie zdażeń w tym samym czasie mamy:

P(T = t(i)|R(t(i))) =exp(βs(i))∑

j∈(Ri ,mi )

exp(βs(j)),

gdzie s(i) jest sumą wszystkich obserwacji x , których „failure time” jestrówny t(i), natomiast suma w mianowniku ułamka brana jest powszystkich, różnych podzbiorach m(i) ze zbioru R(t(i)). Przez m(i)

rozumiemy wszystkie obserwacje, których czas zajścia zdażenia przypadana moment t(i).


Model Coxacoxph


Funkcja log-wiarygodności będzie miała wówczas postać:

L(β) =k∑i=1

βs(i) −k∑i=1

log[∑j∈Ri

exp(βs(j))],

Współczynniki modelu estymujemy metodą największej wiarogodności.


Model Coxacoxph


Plan prezentacji




Model Coxacoxph


Po wyznaczeniu współczynników βi możemy przystąpić do wyznaczaniahazardu bazowego. Cox w swojej oryginalnej pracy z 1972 roku rozważaczas dyskretny i kładzie prawdopodobieństwa w punktach różnych zdażeńt(1), · · · , t(k) (nie ma wśród nich czasów obcięcia a jedynie czasy „failuretime”). Prawdopodobieństwa te są połączone równaniem

pi (x)

1− pi (x)= exp(βx)

pi1− pi

Gdzie pi (x) = P(T = t(i)|x ,T t(i))ozn.= π(i) oraz

pi (x) = P(T = t(i)|x ,T t(i)) = h0|t=t(i) Po przekształceniachotrzymujemy:

h0|t=t(i) =π(i)exp(−βx̃)

1− π(i) + π(i)exp(−βx̃)

Gdzie x̃ jest wybrany dowolnie, najlepiej tak aby zminimalizować drugiczłon w kolejnych równaniach. Następnie szukamy maksimum funkcjilog-wiarygodności. Można pokazać, że szukanie rozwiązania dla wartościzmiennych niezależnych różnych od zera (równych x(t(j))) spełnianastępujące równanie.


Model Coxacoxph


π̂(i) =m(i)

r(i)−π̂(i)(1− π̂(i))

r(i)

∑j∈R(t(i))

exp(−β̂(x(t(j))− x̃(t(j)))− 11− π̂(i) + π̂(i)exp(−β̂(x(t(j))− x̃(t(j)))

Rozwiązania takich równań można znaleźć inercyjnie.


Model Coxacoxph

składniaformulamethod

Plan prezentacji




Model Coxacoxph


coxph(model , data = dane,method =

”efron””breslow””exact”

, . . .)

model - opis modelu, jak funkcjach lm czy glm

data - dane do analizy (opcjonalne)

method - wybór metody radzenia sobie z jednoczesnymi zdarzeniami


Model Coxacoxph


Plan prezentacji




Model Coxacoxph


Model formułuje się za pomocą wyrażenia:

modelowana ∼ modelujca

gdzie w wypadku modelu Cox’a, czy regresji krzywych przeżycia mamy:

modelowana jest to obiekt typu Surv . np: Surv(time, state).

modelujca to zbiór zmiennych przedzielonych “+” które chcemyużyć w modelu jako zmienne przewidujące.

Dla przykładu:

Surv(data, stan) ∼ waga + wzrost + ilosc .czulkow

zbada czas przebywania na ziemi kosmitów pod kątem ich ilości czułków.


Model Coxacoxph


Jeśli użyjemy zmiennej jakościowej (płeć, typ itp.) zostaną dodane domodelu zmienne zero-jedynkowe dla każdej z wartości oddzielnie.np:Jeśli użyjemy plec która ma wartości M, K , N, to model weźmie poduwagę 2 zmienne plecM i plecK , które przyjmą 1 odpowiednio dla M i K(plecN była by zależna - więc nie jest uwzględniana)Wyrażenie a : b dla zmiennych jakościowych będzie oznaczało wzięciekażdej pary wartości oddzielnie pod uwagę.Przykład:

Surv(okrazenie, stan) ∼ rozgrzewka + plec

rozpatrzy oddzielnie wpływ rozgrzewki i wpływ płci na ilość okrążeń.

Surv(minuta, stan) ∼ rozgrzewka : plec

rozpatrzy wpływ rozgrzewki oddzielnie dla każdej z płci.


Model Coxacoxph


strata(a, b, . . .)

strata jest przydatną funkcją do używania w modelu Cox’a zmiennychjakościowych numerowanych.

Dla przykładu strata(a) wygeneruje nam zmienną o wartościachtekstowych ”a = 1”, ”a = 2”, itd.

Funkcję strata można też stosować do większej ilości zmiennych. np:strata(a, b, shortlabel = TRUE ) wygeneruje nam teksty ”1, 2” ”2, 4”itd.

Przykład:

Surv(godzina, stan.ostrza) ∼ strata(metal , ostrze) + obroty

oceni niezawodność ostrza w grupach metal-ostrze przy założeniu żeobroty zawsze identycznie wpływają na zniszczenie.


Model Coxacoxph


Interakcje miedzy zmiennymi (tak jak a : b) można także badać dlazmiennych ciągłych.W modelu a : b dla zmiennych ilościowych oznacza poprostu ich iloczyn.Jeśli zaś napiszemy a ∗ b, do modelu zostanie włączone zarówno a, b jak ia : b.Przykład:

Surv(minuta, praca.oddana) ∼ IQ ∗ frekwencja

oceni wpływ IQ, frekwencji na zajęciach i ich interakcji na czas pisaniapracy. Może się okazać, że frekwencja pływa na wynik np. tylko dlawysokiego IQ.


Model Coxacoxph


Plan prezentacji




Model Coxacoxph


Argument method opisuje sposób postępowania, gdy dwa lub więcejwyrażeń nastąpi jednocześnie. W przeciwnym przypadku wszystkie 3metody działają identycznie.

efron Jeśli m zdarzeń nastąpiło w jednym momencie, to k-te zdażeniema wagę m−km i liczone są jak w metodzie “breslow”.

breslow Wszystkie m przypadków liczymy tak jak by wystąpiły wmomencie gdy, żyją wszystkie inne przypadki jeszcze żyły.

exact Metoda ta liczy “dokładny” udział wszystkich m przypadków,uśredniając po możliwościach ułożenia ich w czasie.


Model Coxacoxph


Inaczej niż w wielu pakietach domyślnie wybierany jest efron, ponieważbierze on z dobrym przybliżeniem pod uwagę pokrywające się przypadki.Najdokładniejszy jest exact, lecz jest kosztowny obliczeniowo. Zaśbreslow jest najbardziej rozpowszechnioną metodą - szybką i zakładającąże żadne dwa czasy się nie pokryją.


Model Coxacoxph


Możemy przejść do R i pooglądać wykresiki.

survfit(coxph(. . .))

da nam dopasowaną według modelu Cox’a krzywą przeżycia. Zaś

basehaz(coxph(. . .))

da nam funkcje hazardu bazowego h0 naszego modelu.

predict(coxph(. . .), type = ”risk”)

da nam ryzyko dla każdego pacjenta. Oczywiście sensowniej jestprzywidywać ryzyko dla nowych (jeszcze żywych) pacjentów:

predict(coxph(. . .), nowi .pacjenci , type = ”risk”)


model coxa przy za ozeniu proporcjonalnego hazardu -...

Documents