model matematika sacr penyebaran virus hepatitis c
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
1/44
MODEL MATEMATIKA SACR PENYEBARAN VIRUS HEPATITIS C
PADA PENGGUNA NARKOBA SUNTIK
Disusun oleh:
Zul!"#i$%&'%&()
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
*URUSAN MATEMATIKA
+AKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI PADANG
&'%,
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
2/44
BAB I
PENDAHULUAN
A- L!.!# Bel!/!n0
Hepatitis merupakan penyakit yang menyerang organ hati manusia.
Di sini hati atau liver mengalami peradangan sehingga membuat fungsi
hati, yang sebagai tempat penyaring racun-racun dalam darah, menjadi
terganggu. Dengan terganggunya fungsi hati tersebut, maka terganggu pula
fungsi organ yang lain, sehingga membuat kesehatan seseorang akan
hancur secara keseluruhan. Akibat lainnya adalah hati menolak darah yang
mengalir sehingga tekanan darah menjadi tinggi dan pecahnya pembuluh
darah. Penyebab kerusakan fungsi hati atau liver ini bisa karena seseorang
mengkonsumsi alkohol secara berlebihan atau karena termakan racun yang
membebani kerja liver dan mengakibatkan fungsi hati menjadi rusak.
Tetapi, pada kebanyakan kasus, hepatitis disebabkan oleh virus yang
ditularkan penderita hepatitis. Ada macam virus hepatitis yang dinamai
sesuai abjad. !elima virus itu adalah virus hepatitis A "#HA$, virus
hepatitis % "#H%$, virus hepatitis & "#H&$, virus hepatitis D "#HD$ dan
virus hepatitis ' "#H'$. #irus-virus ini terus berkembang dan bahkan
diperkirakan sedikitnya masih ada ( virus lagi yang dapat menyebabkan
hepatitis.
)alah satu penyakit hepatitis yang sangat berbahaya adalah
hepatitis &, karena penyakit hepatitis & dapat menjadi kronis dan
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
3/44
menimbulkan cirrhosis dan lalu kanker hati. Hepatitis & adalah salah satu
jenis penyakit hepatitis yang menginfeksi organ hati. Hepatitis &
disebabkan oleh virus hepatitis & "H$. H pertama kali ditemukan
pada tahun *++, dan menjadi penyebab kasus hepatitis A% "non-A
non-%$ pasca transfusi. amun pada tahun *+, penyakit ini dikenal
sebagai kasus-kasus pasca transfusi. H merupakan jenis virus /A dari
0 keluarga Flaviviridae genus Hepacivirus "Dir1en PP 2P3 !ementrian
!esehatan, 04*0$.
Hepatitis & seringkali tidak memberikan gejala, namun infeksi
kronis dapat menyebabkan parut "eskar$ pada hati, dan setelah menahun
menyebabkan sirosis. Dalam beberapa kasus, orang yang mengalami
sirosis juga mengalami gagal hati, kanker hati, atau pembuluh yang sangat
membengkak di esofagus dan lambung, yang dapat mengakibatkan
perdarahan hingga kematian. )eseorang terutama terkena hepatitis &
melalui kontak darah, penggunaan narkoba suntik, peralatan medis yang
tidak steril, dan transfusi darah. )ekira *(45*4 juta orang di dunia
menderita hepatitis &. Para ilmu6an mulai meneliti H pada tahun
*+4-an, dan memastikan keberadaan virus tersebut pada tahun *++.
#irus Hepatitis & merupakan virus paling berbahaya bila
dibandingkan dengan virus hepatitis yang lainnya, karena 47-47
penderita terinfeksi dapat berkembang menjadi infeksi menahun dan
berkelanjutan menjadi hepatitis kronik. Hepatitis & merupakan penyebab
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
4/44
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
5/44
Hepatitis & melalui penggunaan narkoba suntik tergolong cukup besar.
8leh sebab itu, pembahasan mengenai penyebaran virus hepatitis & sangat
penting untuk diperhatikan.
penyakit "carrier $ "!eeling dan
Pejman, 044$. Pada umumnya, model ini dapat diterapkan pada
penyebaran virus Hepatitis &, karena seorang yang terinfeksi "acute
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
6/44
infection$ virus Hepatitis & bisa berkembang menjadi Hepatitis kronik
maupun akan sembuh dengan sendirinya "meskipun dengan persentase
yang kecil$.
8leh karena itu, pada makalah ini akan dibahas mengenai
pembentukan dan analisa model matematika terhadap penyebaran virus
Hepatitis &.
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
7/44
0.
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
8/44
C
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
9/44
Problem Dunia NyataProblem Matematika Membuat Asumsi
Solusi Dunia NyataInterpretasi Model
Formulasi Persamaan/Pertidaksamaan
Analisis/Penyelesaian Persamaan
Pengujian Model
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
10/44
*
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
11/44
pertumbuhan biomasa rumput laut gracillaria dengan carrying capacity
bergantung 6aktu.
Adapun tujuan penyusunan model menurut susanta dan soedijono "*++(
*.;$ adalah, guna
a
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
12/44
Deinisi )
Persamaan diferensial parsial "PDP$ adalah suatu persamaan yang memuat
turunan parsial dari satu variabel terikat terhadap lebih dari satu variabel
bebas.
"/oss, *++0$
Con.oh &:
∂2u
∂ x2
+∂
2u
∂ y2+
∂2
u
∂ z2
=0
%erdasarkan kelinearan, persamaan diferensial dapat dibagi
menjadi dua, yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial
non linear, seperti yang didefinisikan sebagai berikut
Deinisi 3
)uatu persamaan diferensial linear orde-n, dalam variabel terikat y dan
variabel bebas x, adalah suatu persamaan yang berbentuk
a0 ( x ) d
n y
d xn
+a1( x ) d
n−1 y
d xn−1 +⋯+an−1 ( x )
dy
dx+ an ( x ) y=b ( x)
dimanaa
0≠ 0
.
"/oss, *++($
Persamaan diferensial biasa dikatakan linear jika memenuhi tiga
kondisi berikut "/oss, *++($
*. Turunan atau variabel terikatnya berpangkat satu.
0. Tidak mengandung perkalian antara variabel terikat dengan turunannya.
(. Tidak mengandung fungsi transeden dalam variabel terikat maupun
turunannya.
Con.oh ):
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
13/44
d2 x
d y2+
dx
dy−2 x=0
Persamaan diferensial yang tidak termasuk kriteria persamaan
diferensial linear disebut persamaan diferensial nonlinear.
Con.oh 3:
d2 y
d x
2+ y
dy
dx+ 6 y=0
&- Sis.e1 Pe#s!1!!n Die#ensi!l
)ebanyak n persamaan diferensial yang saling terkait akan
membentuk suatu sistem yang disebut dengan sistem persamaan
diferensial. )istem persamaan diferensial juga dapat dikelompokkan
berdasarkan bentuk persamaannya, yaitu sistem persamaan diferensial
linear dan sistem persamaan diferensial nonlinear. Definisinya akan
dijelaskan sebagai berikut
Deinisi ,
Diberikan )istem persamaan diferensial linear orde satu berikut
d x
dt =´ x= A x+b (t ) ,
Dimana A adalah matriks koefisien berukuran n x n dan b(t )
fungsi kontinu. )istem tersebut dinamakan sistem persamaan diferensial
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
14/44
linear orde satu. 1ika b ( t )=0 maka sistem dikatakan homogen dan jika
b(t )≠ 0 maka sistem dikatakan nonhomogen.
"Perko, *++CC4$
Deinisi 4
)istem persamaan diferensial nonlinear orde satu dinyatakan sebagai
berikut´ x=f (t , x)
dengan x=(
x1(t )
x2(t )
⋮
xn(t )) , dan
f 1 (t , x1 , … , xn)n
t , x1
, … , x¿¿¿¿ ⋮
f 2(¿f n(t , x1 , … , xn)¿¿)f ( t , x )=¿
jika f (t , x) fungsi nonlinear pada x1 , … , xn maka sistem disebut
sebagai sistem persamaan diferensial nonlinear.
. Ti.i/ E/uili2#iu1Titik ekuilibrium merupakan titik tetap yang tidak berubah
terhadap 6aktu. )ecara matematis, titik ekuilibrium didefinisikan sebagai
berikut
Deinisi &-5 "9iggins, *++4$
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
15/44
Diberikan sistem persamaan diferensial x=f(x). itik disebut titik
ekuilibrium dari Sistem x=f(x)!ika memenu"i f(x)=#.
Con.oh &-6
Diberikan sistem persamaan diferensial
{ ´ x1= x1 x2+ x1´ x2=2 x12− x2
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
16/44
2 x12− x2=0
2− x2=0
x2=2
Diperoleh titik ekuilibrium "-*,0$
)ehingga diperoleh dua titik kesetimbangan yaitu "4,4$ dan "-*,0$.
BAB III
PEMBAHASAN
A. +o#1ul!si Mo"el M!.e1!.i/!
)ecara umum, istilah hepatitis berarti peradangan hati yang
disebabkan virus, bahan kimia, obat-obatan dan alkohol. amun,
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
17/44
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
18/44
menggunakan jarum suntik secara bersama-sama akan lebih berisiko untuk
terinfeksi hepatitis &.
Penderita hepatitis & berada dalam fase akut sekitar C-*4 minggu.
)ebagian besar penderita infeksi akut akan berkembang menjadi kronis,
sedangkan sebagian kecil akan sembuh dengan sendirinya ataupun
meninggal. Penderita hepatitis & akut yang berkembang menjadi kronis
akan mengalami sirosis hati "pengerasan hati$ dalam 6aktu *-04 tahun
atau dapat pula menjadi kanker hati setelah 04-(4 tahun, atau akan
meninggal. Hampir semua kematian dari penderita Hepatitis &
berhubungan dengan komplikasi sirosis dan kanker hati, sehingga
kematian karena infeksi virus hepatitis & sangat kecil.
menghilangkan
virus hepatitis & dari dalam tubuh dengan sendirinya. )edangkan individu
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
19/44
yang termasuk dalam subpopulasi recovered adalah individu yang telah
benar-benar sembuh atau 45 terbebas dari virus hepatitis &.individu yang
mengalami sirosis maupun kanker hati dapat dikatakan telah terbebas dari
virus hepatitis &.
=ntuk mempermudah proses memodelkan penyebaran virus
Hepatitis & khususnya pada pengguna narkoba melalui jarum suntik,
diperlukan asumsiasumsi. %erikut asumsi-asumsi yang digunakan
*. Populasi penduduk bersifat konstan dan tertutup, artinya
bah6a pertambahan atau pengurangan populasi terjadi hanya
karena rekrutmen dan kematian, dimana laju rekrutmen sama
dengan laju kematian,
0. Populasi bersifat homogen, artinya bah6a setiap orang
memiliki resiko yang sama untuk tertular virus dan frekuensi
pengggunaan jarum suntik secara bersama-sama "tidak steril$
adalah konstan,
(. :ndividu yang belum terserang penyakit masuk ke dalam kelas
susceptible,
;. !ematian akibat terinfeksi virus hepatitis & diabaikan, hanya
terjadi kematian alami pada setiap subpopulasi.
$. penyakit menular melalui kontak langsung antara individu
Susceptible dengan individu Acute infection dan atau individu
%"ronic carrier dengan melalui penggunaan jarum suntik yang
tidak steril,
C. individu pada kelas Acute &nfection dapat mengalami
perkembangan infeksi menjadi pemba6a "kronis$ yang
kemudian masuk menjadi individu %"ronic carrier , namun ada
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
20/44
sebagian kecil yang langsung sembuh masuk ke dalam kelas
'ecovered ,. individu yang telah sembuh dari penyakit Hepatitis &, tidak
akan tertular lagi dan menjadi kebal terhadap virus Hepatitis &.
%erikut ini didefinisikan variabel dan parameter yang digunakan
dalam
model penyebaran virus hepatitis & melalui jarum suntik disajikan dalam
Tabel * berikut
Tabel *. #ariabel dan parameter yang digunakan
Simbol Deenisi
S(t) %anyaknya individu susceptible
A(t) %anyaknya individu acute infection
%(t) %anyaknya individu c"ronic carrier
'(t) %anyaknya individu recovered
(t) %anyaknya individu dalam populasi
laju rekrutmen individu yang selanjutnya masuk menjadi
individu susceptible! 3aju infeksi
k rata-rata laju penggunaan jarum suntik yang tidak steril
ba Peluang transmisi akibat adanya kontak antara individu
susceptible dengan individu acute infection
bc Peluang transmisi akibat adanya kontak antara individu
susceptible dengan individu c"ronic carrier " laju kematian alami
σ 1 tingkat perpindahan individu acute infection menjadi
individu c"ronic carrier
σ 2 tingkat perpindahan individu c"ronic carrier menjadi
individu recovered
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
21/44
# proporsi acute infection yang menjadi c"ronic carrier
$%& #' proporsi acute infection yang sembuh total "masuk
kompartemen recovered $
%erdasarkan karakteristik penyebaran penyakit dan masalah yang
diasumsikan, dapat dibentuk skema penyebaran hepatitis & pada pengguna
narkoba suntik seperti berikut
%erdasarkan diagram alir diatas dapat dideskripsikan hal-hal yang
mempengaruhi proses penyebaran penyakit Hepatitis & terutama pada
pengguna narkoba suntik
""
!B
A(ute
Ine(tionSus(eptibl
e
(1− ρ)σ 1 ρ σ 1
""
σ 2
)*roni(
(arrier
+e(o,ered
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
22/44
a. Perubahan banyaknya individu susceptible terhadap 6aktu
Pertambahan banyaknya individu kelas susceptible dipengaruhi
oleh adanya recruitment atau bertambahnya pengguna narkoba suntik per
satuan 6aktu " $. )ementara itu, pengurangan banyaknya individu
dipengaruhi oleh kematian alami dari individu susceptible per satuan
6aktu " *S $ dan banyaknya individu susceptible yang terinfeksi Hepatitis &
per satuan 6aktu " +S $. 8leh karena itu diperoleh persamaan diferensial
berikut I
dS(t )dt
=B− λ S ( t )−µS (t )(3.1)
3aju infeksi per satuan 6aktu dipengaruhi oleh laju kontak yang
berupa penggunaan>peminjamaan alat suntik secara bersama-sama dengan
frekuensirata-rata tertentu ", $, oleh individu susceptible dengan individu
acute infection (ba A( t ) N (t )) dan atau individu c"ronic carrier
(bc C (t ) N (t )) )ecara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut
λ (t )=(ba A (t ) N ( t )+bc C (t ) N (t ))
b. Perubahan banyaknya individu Acute infection terhadap 6aktu
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
23/44
:ndividu susceptible yang mulai terinfeksi virus hepatitis & per satuan
6aktu " +S $ mempengaruhi pertambahan populasi acute infection.
%anyaknya individu yang mati alami per satuan 6aktu " *A$ dan
banyaknya individu yang berubah menjadi individu c"ronic infection per
satuan 6aktu "- A$ mempengaruhi pengurangan populasi acute infection.
)ehingga diperoleh persamaan diferensial berikut
dA ( t )dt
= λS ( t )− ρσ 1 A ( t )−(1− ρ ) σ 1 A ( t )−µA ( t )
¿ λS (t )−σ 1 A (t )−µA (t )(3.2)
c. Perubahan banyaknya individu c"ronic carrier terhadap 6aktu
)elanjutnya, individu yang terinfeksi akut "acute infection$ virus
hepatitis & cukup lama akan berkembang menjadi kronis "c"rinic carrier $,
laju perkembangan per satuan 6aktu " A) ini akan mempengaruhi
bertambahnya populasi c"ronic carrier . Populasi c"ronic carrier
berkurang karena adanya kematian alami individu c"ronic carrier per
satuan 6aktu " *% $ dan adanya individu c"ronic carrier yang bebas dari
virus Hepatitis & per satuan 6aktu "- /% $. Didapat persmaan diferensial
berikut
dC (t )d (t )
= ρσ 1 A ( t )−σ 2
C ( t )− μC ( t )(3.3)
d. Perubahan banyaknya individu recovered terhadap 6aktu
:ndividu acute infection yang telah sembuh total "(01)- A$ dan
individu c"ronic carrier yang bebas dari virus hepatitis & "- /% $ akan
masuk sebagai populasi recovered akan menambah populasi recovered .
)ementara, individu recovered yang mati secara alami akan mengurangi
populasi recovered . Diperoleh persamaan diferensial berikut
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
24/44
dR(t )dt
=(1− ρ ) σ 1 A ( t )+ σ 2
C (t )−µR ( t )(3.4)
%erdasarkan deskripsi di atas dan dari persamaan "(.*$ 5 "(.;$
maka penyebaran penyakit Hepatitis & pada pengguna narkoba suntik
dapat dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan diferensial nonlinear
orde satu seperti berikut
dS(t )
dt =B− λ S (t )−µ S (t )
dA ( t )dt
= λS ( t )−σ 1 A ( t )−µ A ( t )(3.5)
dC (t )d (t )
= ρσ 1 A ( t )−σ 2
C ( t )− μC (t )
dR(t )dt =(1− ρ ) σ 1 A ( t )+ σ 2 C (t )−µ R (t )
dengan laju infeksi per satuan 6aktu adalah
λ (t )=(ba A (t ) N ( t )+bc C (t ) N (t ))
%erdasarkan asumsi pertama, jumlah populasi total konstan>tetap,
sehingga
N (t )=S ( t )+ A (t )+C (t )+ R ( t )(3.6)
)elanjutnya dengan mendiferensialkan persamaan "(.C$, diperoleh
d
d (t ) N (t )=
d
d ( t ) (S (t )+ A (t )+C (t )+ R ( t ) )
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
25/44
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
26/44
Dengan λ ( t )=(ba
A (t ) N ( t )
+bcC (t ) N (t )) , dan s ( t )+a ( t )+c ( t )+r (t )=1
%. Ti.i/ E/uili2#iu1
Titik (s2a2c2r) merupakan titik-titik ekuilibrium dari )istem "(.$ jika
memenuhi persamaands
dt +
da
dt +
dc
dt +
dr
dt =0 . Titik-titik ekuilibrium dari sistem
"(.$ disajikan dalam teorema berikut
Teo#e1! )-&-%-
(i) 3ika 4=# 2 maka sistem (5.6) memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu
E0= (s , a , c , r )=(1,0,0,0)
.
.
(ii) 3ika 47#2 maka sistem (5.6) memiliki titik ekuilibrium endemik
E1=( s , a , c , r )
dengan
ŝ= (σ 1+ μ)
k
(ba+bc ρ σ 1(σ 2+ μ) )
â=
μ(k (ba+bc ρ σ 1( σ 2+ μ) )−(σ 1+ μ ))k (ba+ bc ρ σ 1(σ 2+ μ ) )( σ 1+ μ)
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
27/44
ĉ= ρ σ
1
(σ 2+ μ) â
r̂=( σ 2+ (1− ρ ) μ ) σ 1
μ ( σ 2 + μ) â
%ukti
)istem "(.$ akan mencapai titik ekuilibrium jika
ds(t )dt
=da (t )
dt =
dc( t )dt
=dr (t )
dt =0 , maka )istem "(.$ dapat ditulis
B
N − λs− μs=0
μ− λs− μs=0(3.8)
λs−σ 1 a− μa=0(3.9)
ρ σ 1 a−σ 2 c− μc=0(3.10)
(1− ρ ) σ 1
a+σ 2
c − μr =0(3.11)
Dengan λt =k (ba a+bc c )
"i$ 1ika α =0 , maka dari persamaan "(.*4$ diperoleh
σ
(¿¿ 2+ μ)c=0 ρ σ 1 a−¿
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
28/44
σ
(¿¿ 2+ μ) c=0
−¿
c=0 (3.12)
%erdasarkan persamaan "(.*0$ diperoleh c = #. 1ika a = # dan c = #, maka dari
persamaan "(.$ diperoleh
μ−( λ+ μ)s=0
μ−(k (ba a+bc c )+ μ)s=0
μ− μs=0
s=1(3.13)
dan dari persamaan "(.**$ diperoleh
(1− ρ ) σ 1
a+σ 2
c − μr =0
− μr =0
r=0(3.14)
8leh karena itu diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit
E0= (s , a , c , r )=(1,0,0,0)
. 1adi terbukti bah6a jika a = # 2 maka sistem "(.$
memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu E
0= (s , a , c , r )=(1,0,0,0)
.
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
29/44
)elanjutnya, jika 47# "disimbolkan dengan â $, maka dari persamaan
"(.*4$ diperoleh
ρ σ 1
â−σ 2
ĉ− μ ĉ=0
ρ σ 1 â=(σ 2+ μ) ĉ
ĉ=
ρ σ 1
(σ 2+ μ)
â(3.15)
%erdasarkan persamaan "(.*$ diperolehĉ=
ρ σ 1
(σ 2+ μ)
â. 1ika 47# dan
ĉ= ρ σ
1
(σ 2+ μ)
â., maka dari persamaan "(.+$ diperoleh
λ ŝ−σ 1
â− μ â=0
k (ba â+bc ĉ ) ŝ−(σ 1− μ) â=0
k (ba â+bc ĉ= ρ σ 1(σ 2+ μ) â) ŝ−(σ 1− μ) â=0
(k (ba â+ bc ĉ= ρ σ
1
( σ 2+ μ) â) ŝ−( σ 1− μ)) â=0(3.16)
!arena 47# , maka persamaan "(.*C$ menjadi
k (ba â+bc ĉ= ρ σ 1( σ 2+ μ ) â) ŝ−( σ 1− μ)=0
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
30/44
k
(ba â+bc ĉ=
ρ σ 1
( σ 2+ μ ) â
) ŝ=( σ 1− μ)
ŝ= (σ 1− μ )
k (ba+bc ρ σ 1(σ 2+ μ) )(3.17)
dan dari persamaan "(.**$ diperoleh
(1− ρ ) σ 1
â+σ 2
ĉ− μ r̂=0
(1− ρ ) σ 1
â+σ 2
ρ σ 1
(σ 2+ μ)
â− μ r̂ =0
(1− ρ ) σ 1
â+σ 2
ρ σ 1
(σ 2+ μ)
â= μ r̂
Diperoleh
(1− ρ ) σ 2+ μ
ρ(σ 2+ μ)
r̂=¿$
σ 1
â "(.*$
)ehingga diperoleh titik ekuilibrium endemik E
1=( s , a , c , r )
. Dengan
s , a , c , r seperti pada persamaan "(.*$, "(.C$, "(.*$ dan "(.*$. 1adi terbukti
bah6a , 1ika 47# maka sistem "(.$ memiliki titik ekuilibrium endemik
E1=( s , a , c , r )
. dengan
ŝ= (σ 1− μ )
k
(ba+bc
ρ σ 1
(σ
2
+ μ) )
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
31/44
ĉ= ρ σ
1
(σ 2+ μ)
â
( 1− ρ ) σ 2+ μ
ρ(σ 2+ μ)
r̂=¿$
σ 1
â
C- Bil!n0!n Re7#o"u/si D!s!# 8 R09
%ilangan reproduksi dasar merupakan harga harapan dari suatu kasus baru
"sekunder$ yang disebabkan oleh individu yang terinfeksi "kasus primer$ dalam
suatu populasi individu rentan. 1ika '# 8 penyakit tidak menyerang populasi,
namun jika '#
9 maka penyakit sangat mungkin untuk menyebar.
Penentuan bilangan reproduksi dasar " '#$ digunakan metode next
generation matrix dari )istem "(.$. Pada model ini, kelas terinfeksi adalah acute
infection dan c"ronic carrier , sehingga persamaan diferensial yang digunakan
sebagai berikut
da
dt
= λs−σ 1
a− μa
dc
dt = ρσ
1a−σ
2c− μc
maka diperoleh
=[ λs0 ]=[k (ba a+bc c ) s0 ]
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
32/44
Dan
! =[ ρ σ 1 a+ μa
− ρσ 1a+ σ
2c+ μc ]
!emudian dan ! dilinierisasi. Hasil masing-masing linierisasinya adalah
" =[kba s k bc s0 0 ]dan# =[ σ 1+ μ 0− ρ σ 1
σ 2+ μ]
)elanjutnya akan dicari # −1
# −1=
1
(σ 1+ μ) (σ 2+ μ ) [σ
2+ μ 0
ρ σ 1
σ 1+ μ]
¿
[
1
(σ 1+ μ) (σ 2+ μ )σ
2
+ μ 0
1
( σ 1+ μ ) (σ 2 + μ) ρ σ 1
1
( σ 1+ μ ) (σ 2+ μ) σ 1+ μ
]¿[
1
(σ 1+ μ) ❑0
ρ σ 1
(σ 1+ μ) (σ 2+ μ)1
( σ 2+ μ )1]
Diperoleh next generation matrix berikut
$ = " # −1=[kba s k bc s0 0 ][ 1
(σ 1+ μ)❑0
ρ σ 1
(σ 1+ μ ) (σ 2+ μ )1
( σ 2+ μ ) 1](3.19)
Pada a6al kemunculan virus dalam populasi, hampir semua individu rentan
terhadap penyakit, sehingga nilai s pada persamaan "(.*+$ dapat didekati
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
33/44
menggunakan titik ekuilibrium s saat bebas penyakit. Dengan mensubtitusi
persamaan "(.*($ ke dalam persamaan "(.*+$, diperoleh
$ = " # −1=[ kba
(σ 1+ μ )+
k bc ρ σ 1
( σ 1 + μ) (σ 2+ μ)k bc s
( σ 2+ μ )0 0
]
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
34/44
(ii) 3ika R
0>1
maka titik ekuilibrium bebas penyakit
E0= (s , a , c , r )=(1,0,0,0)
tidak stabil.
%ukti
)istem "(.$ didefinisikan sebagai
f 1 (s , a , c , r )=µ− λs−µs
f 2(s , a , c , r )= λs−σ
1a−µa
f 3 ( s , a , c , r )= ρσ
1a−σ
2c−µc
f 4 (s , a , c , r )=(1− ρ)σ
1a+σ
2c−µr
Dengan λt =k (ba a+bc c )
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
35/44
−k (ba a+bc c )− μ−kba s
−kbc s0
k (ba a+ bc c )kba s−σ 1− μ
kbc s
¿0 0 ρσ
1 −σ
2− μ
0 0 1− ρ ¿ σ ¿ ¿1 ¿ ¿¿ ¿ ¿ ¿
¿ ¿
"(.0*$
Akan ditunjukkan bah6a jika R
0
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
36/44
ilai eigen dari matriks ( E0 ) , dapat dicari dengan menentukan
d't (& ( E0 )−() )=0 , dengan ( adalah nilai eigen dan & adalah matriks
identitas. )ehingga diperoleh
d't (& ( E0 )−() )=0
− μ−(
−kba−kbc
0
0
kba−σ 1− μ−( kbc
¿0 0 ρσ
1 −σ
2− μ−(
0 0 1− ρ ¿ σ ¿ ¿1 ¿ ¿=0
¿ ¿ ¿ ¿¿
kba−σ 1− μ−( kbc
0
ρσ 1
−σ 2− μ−( 0
1− ρ
¿¿ σ ¿ ¿ 1¿ ¿=0 ¿¿ ¿ ¿
−( μ +( )¿
−( μ+ ( ) (− μ−( ) (kba−σ 1− μ−( ) (−σ 2− μ−( )− ρσ 1 kbc ¿=0
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
37/44
σ 1+ μ
−kba−(¿)( − ρσ 1 kbc −kba (σ 2+ μ)+( σ 2+ μ) (σ 1+ μ)=0(3.22)( 2+¿
( μ+( )2 ¿
Persamaan "(.00$ dapat ditulis menjadi
( 2+*1 ( +*2=0(3.23)
( μ+( )2 ¿
Dengan
*1=−kba (σ 2+ μ)+ (σ 1+ μ)
*2=− ρσ
1kbc−kba (σ 2+ μ )+(σ 2+ μ ) ( σ 1+ μ )
%erdasarkan persamaan "(.00$, diperoleh nilai eigen yaitu(
1 dan(
2 dengan
( 1=(
2=− μ
. !arena * bernilai positif, maka bagian real dari kedua nilai eigen
tersebut adalah negatif. )ementara untuk nilai eigen yang lainnya, akan digunakan
kriteria /outh-Hur6itJ untuk melihat tipe kestabilan dari persamaan karakteristik
( 2+*1 ( +*2=0(3.24)
Persamaan*
1=−kba (σ 2+ μ)+ (σ 1+ μ) dapat dinyatakan menjadi
*1=− R
0 (σ 2+ μ )+( σ 1+ μ)b❑ (σ 2+ μ )
ba
+(σ 2+ μ )+ (σ 1+ μ)
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
38/44
ba (σ 2+ μ)+bc ρ σ 1¿
¿ba (σ 2+ μ )+bc ρ σ 1+ba ( σ 2+ μ)+( σ 1+ μ )+bc ρ σ 1
ba ( σ 2+ μ )+bc ρ σ 1 R
0 (σ 2+ μ)+ (σ 1+ μ ) ba+( σ 2+ μ)¿¿−¿¿
)elanjutnya persamaan*
2=− ρσ
1kbc−kba (σ 2+ μ )+(σ 2+ μ ) ( σ 1+ μ ) dapat
dinyatakan menjadi
*2=−( R
0+1)( σ 2+ μ ) (σ 1+ μ)
Dengan R
0=k (
ba
(σ 1+ μ)+
bc ρ σ 1
( σ 2+ μ) (σ 1+ μ ))
Apabila diketahui R
00
dan*
2
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
39/44
BAB IV
PENUTUP
3-% Kesi17ul!n
Pada makalah ini telah dibahas mengenai model penyebaran virus
Hepatitis & pada pengguna narkoba khususnya melalui jarum suntik. Adapun
kesimpulan yang dapat diambil dari pembahasan model ini yaitu
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
40/44
;.*.*
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
41/44
â=
μ
(k
(ba+bc
ρ σ 1
(σ
2
+ μ) )
−(σ 1+ μ )
)k (ba+ bc ρ σ 1(σ 2+ μ ) )( σ 1+ μ)
ĉ= ρ σ
1
(σ 2+ μ) â
r̂=( σ 2+ (1− ρ ) μ ) σ 1
μ ( σ 2 + μ) â
;.*.(
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
42/44
untuk jangka 6aktu yang lama, populasi penderita hepatitis & akan
semakin berkurang atau bahkan menghilang sehingga virus tidak ada lagi
dalam populasi.
)ementara itu, pada saat R
0>1
titik ekuilibrium bebas penyakit tidak
stabil dan titik ekuilibrium endemik stabil asimtotik lokal. Hal ini
menunjukkan bah6a untuk jangka 6aktu tertentu, virus Hepatitis & akan
tetap ada.
;.*. %erdasarkan hasil simulasi, terlihat bah6a semakin tinggi frekuensi
penggunaan jarum secara bersama-sama pada pengguna narkoba suntik,
maka penderita hepatitis & akut dan kronis dan individu yang bebas dari
hepatitis & semakin meningkat, sedangkan banyaknya individu rentan
akan semakin menurun. Peningkatan dan penurunan banyaknya individu
sebanding dengan frekuensi penggunaan jarum suntik secara bersama-
sama.
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
43/44
DA+TAR PUSTAKA
Anton, Ho6ard. "044($. Al!abar :inear ;lementer "Alih %ahasa /efina
:ndriasari$, 1akarta 'rlangga
Diekmann, 8 dan Heesterbeek. "0444$. irus.
!ementrian !esehatan /:
Dont6i et al. "04*4$. ? >scihub.org>A1):/>PD>04*4>*>A1):/-*-*-;*-;C.pdf pada *+
ovember 04*(, 1am 4C(4
Driessche and 9atmough. "0440$. /eproduction numbers and sub-threshold
endemic eLuilibria for compartmental models of disease transmission.
-
8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c
44/44
!retJschmar, < and 9iessing, 3. "044;$.