model plošnog generatora toplinskih obrazaca
TRANSCRIPT
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE
SVEUČILIŠNI STUDIJ KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE
Marko Ukrainczyk
D I P L O M S K I R A D
Zagreb, veljača 2004.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE
SVEUČILIŠNI STUDIJ KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE
Smjer: Kemijsko inženjerstvo
Marko Ukrainczyk
MODEL PLOŠNOG GENERATORA TOPLINSKIH OBRAZACA
D I P L O M S K I R A D
Voditelj rada: dr. sc. Juraj Božičević, red. prof.
Članovi ispitnog povjerenstva: dr. sc. Juraj Božičević, red. prof.dr. sc. Antun Glasnović, red. prof.
dr. sc. Zoran Gomzi, red. prof.
Zagreb, veljača 2004.
ZAHVALA
Zahvaljujem se svome mentoru prof. dr. sc. Juraju Božičeviću i Denisu Stjepanu Vedrini,
dipl. ing. na dragocjenoj pomoći, korisnim savjetima i raspravama pri izradi ovog rada, kao i
svim članovima Zavoda za mjerenja i automatsko vođenje procesa.
Zahvaljujem se i prof. dr. sc. Seadu Berberoviću s Fakulteta elektrotehnike i računarstva
što je našao vremena da pregleda dio ovog rada koji se odnosi na metodu konačnih elemenata i
mr. sc. Nini Stirmer s Građevinskog fakulteta na pomoći pri izradi simulacije u programskom
paketu COSMOS/M.
Posebno se zahvaljujem roditeljima, Nevenki i Velimiru na velikoj potpori tokom mog
studija.
SADRŽAJ
SAŽETAK
1. UVOD 1
2. OPĆI DIO 2
2.1. Polazište 2
2.2. Matematički model procesa izmjene topline 6
2.3. Numeričko rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi 10
2.4. Metoda konačnih elemenata 17
2.5. Simulacija procesa 25
3. EKSPERIMENTALNI DIO 27
3.1. Eksperimentalni uređaj 27
3.2. Eksperimentalno određivanje koeficijenta prijelaza topline konvekcijom 30
4. REZULTATI 32
4.1. Rezultati određivanja koeficijenta prijelaza topline konvekcijom 32
4.2. Plan istraživanja 34
4.3. Rezultati simulacijskog i eksperimentalnog istraživanja 35
5. RASPRAVA 39
6. ZAKLJUČAK 41
7. LITERATURA 42
8. PRILOZI 43
A. Popis simbola 43
B. Simulacijski program 45
C. Karakteristike mjerne opreme 48
ŽIVOTOPIS
SAŽETAK
Izložena je ideja i opisana je izvedba plošnog generatora toplinskih obrazaca,
laboratorijskog uređaja namijenjenog pružanju eksperimentalne potpore učenju i primjeni
termografskih mjerenja.
Izveden je statički matematički model procesa izmjene topline u elementima generatora i
izrađena je programska simulacija u kojemu je primjenjena metoda konačnih elemenata.
Valjanost modela je provjerena usporedbom rezultata simuliranja s rezultatima eksperimentalnih
istraživanja. Utvrđena je dobra podudarnost rezultata.
SUMMARY
Idea and construction of planar heat pattern generator is presented. The purpose of the
apparatus is better understanding and interpretation of the results in thermographic
measurements, but it will also serve as demonstration apparatus for student experimental work.
Mathematical model of heat transfer process in elements of the generator is developed
and studied. Simulation model base on the finite element method has been validated through
experimental results. The result of simulation and laboratory experiments are in good agreement.
1. UVOD
U ovom radu teorijski je i eksperimentalno proučena izvorna zamisao generatora
toplinskih obrazaca prof. Juraja Božičevića izvedenog u pojednostavljenom obliku matričnog
polja od 4 4 plošnih grijaćih tijela.
Dobio sam tako izazovan inženjerski zadatak u kojem valja proučiti toplinski proces s
trodimenzijski distribuiranom temperaturom T(x, y, z) i oblikovati izoterme u obliku obrazaca ili
kontura. Sve sa svrhom da se dobije pribor za eksperimente u tehničkoj dijagnostici, što će
poučiti iskustva i vještine za termovizijska dijagnostička mjerenja procesnih posuda i uređaja.
Generiranje definiranih toplinskih obrazaca omogućava pravilno tumačenje rezultata dobivenih
termografskim mjerenjima.
U prvom dijelu rada detaljno su obrađene teorijske osnove i izveden je matematički
model plošnog generatora toplinskih obrazaca, a dobivena parcijalna diferencijalna jednadžba je
rješena numerički, metodom konačnih elemenata. Zatim su ostvareni eksperimenti na primjeru
laboratorijskog generatora.
Vizualna podudarnost rezultata ostvarenih eksperimentom i simuliranjem najbolji je
dokaz uspješno izvršenog zadatka.
2. OPĆI DIO
2.1. Polazište
Svaku tvar možemo predočiti česticama, odnosno dijelovima materije međusobno
povezanim oprugama koje oponašaju sile privlačenja i sile odbijanja 1. Svaki dio materije titra
oko svog ravnotežnog položaja, a frekvencija titranja ovisna je o količini toplinske energije koja
je akumulirana u promatranoj tvari. Kao mjera titranja, odnosno toplinske energije, uvodi se
temperatura, veličina proporcionalana srednjoj kinetičkoj energiji:
T = (2.1)
Apsolutna temperatura nula tako odgovara stanju kad dijelići tvari miruju.
Toplina je energija koja zbog razlike temperatura prelazi iz područja više temperature u
područje niže temperature 2 . Prijelaz topline između tvari različitih temperatura odvija se na dva
fizikalno različita načina. Kondukcija i konvekcija pojmovi su koji označuju prijenos topline
vezan za materiju, a toplinskom zračenje posljedica je elektromagnetskog zračenja, koje je
funkcija temperature tvari.
Kondukcija i konvekcija topline odvijaju se sudaranjem molekula različite brzine, koja je
to veća što je temperatura viša. Brze se molekule pri sudaru usporavaju i predaju dio energije
sporijim molekulama. Na taj način postupno se izjednačuje temperatura kao posljedica prijelaza
topline.
Kondukcija je molekulni mehanizam prijenosa topline pri kojem su čestice tvari u
direktnom dodiru 2, 3. U krutim tijelima toplina se širi isključivo kondukcijom, odnosno titranjem
atoma ili kretanjem elektrona, što ovisi o tome da li je tvar električni izolator ili vodič.
Kondukcija je opisana prvim Fourierovim zakonom:
(2.2)
gdje je:
q - gustoća toplinskog toka (toplinski fluks), [W/m2]
- koeficijent toplinske vodljivosti, [W/mK]
- jedinični vektor normale na plohu kroz koju prolazi toplina
U jednadžbi 2.2 predstavlja derivaciju temperaturnog polja u smjeru normale ,
a q je gustoća toplinskog toka u tom smjeru. Koeficijent toplinske vodljivosti λ (u
anglosaksonskoj literaturi ovaj parametar obično se označava simbolom k) toplinska je
karakteristika određenog materijala koja opisuje sposobnost stanovite tvari da provodi toplinu, a
ovisi o temperaturi i tlaku. Često se, pogotovo ako se radi o čvrstim tijelima i malim
temperaturnim intervalima, ta ovisnost može zanemariti i računati sa srednjom vrijednošću u
promatranom intervalu.
U kapljevinama i plinovima toplina se prenosi uglavnom konvekcijom, tj. strujanjem
fluida s jednog mjesta na drugo. Kondukcija je u fluidima vrlo slaba i stoga zanemariva kad je
prisutna konvekcija. Također, kada promatramo prijelaz topline između tvari različitih
agregatnih stanja, govorimo o konvektivnom prijelazu topline. U oba slučaja razlikujemo dvije
vrste konvektivnog prijenosa topline: prirodnom i prisilnom konvekcijom. Prirodna konvekcija
posljedica je lokalne razlike gustoće uslijed razlike temperatura, a intenzitet konvekcije ovisi o
toplinskim uvjetima, o svojstvima fluida te o volumenu i obliku prostora u kojem se odvija
proces. Prisilna konvekcija posljedica je stanovitog vanjskog djelovanja na fluid, a ovisna je o
brzini fluida, dimenzijama i obliku putova kojim struji.
Za određivanje gustoće toplinskog toka između fluida i plohe uz koju se fluid giba, rabi se
Newtonov zakon hlađenja 4 :
(2.3)
gdje je:
- koeficijent prijelaza topline, [Wm-2 K-1]
Tp - temperatura čvrste plohe uz koju struji fluid
Tf - temperatura fluida
Koeficijent prijelaza topline (u anglosaksonskoj lieraturi još i h, hc) ovisi o
hidrodinamičkim i toplinskim uvjetima procesa, ali i o parametrima kao što su oblik i položaj
površine na kojoj se odvija prijelaz topline, vrsta fluida, itd. Radi toga se koeficijent prijelaza
topline često određuje eksperimentalno, a može se izračunati i iz empirijskih izraza 2. Kada je
prisutan mehanizam prijelaza topline prirodnom konvekcijom, koeficijent prijelaza topline se
računa iz sljedeće empirijske korelacije 2, 3, 4:
(2.4)
gdje je:
Nu – Nusseltova značajka :
(2.5)
Gr – Grashoffova značajka:
(2.6)
Pr – Prandtlova značajka:
(2.7)
gdje je:
L – karakteristična dimenzija sustava, npr. debljina ravne ploče
f- koeficijent toplinske vodljivosti fluida
g – akceleracija sile teže
- koeficijent toplinske ekspanzije fluida
- kinematička viskoznost fluida
Nu značajka predstavlja omjer ukupne prenešene topline i topline prenešene kondukcijom, Gr
značajka predstavlja omjer sile uzgona i sile viskoznosti pomnožen sa Re značajkom ( omjer sile
inercije i sile trenja), Pr značajka predstavlja omjer kinematičke viskoznosti i difuzije topline.
Empirijske korelacije 2.4 imaju općenit oblik:
(2.8)
pri čemu koeficijenti koeficijenti k, m i n ovise o navedenim uvjetima i parametrima
procesa 2, 4, 5. Ako se radi o vertikalnoj ploči s koje se toplina odvodi prirodnom konvekcijom
koeficijent prijelaza topline određuje se iz empirijskog izraza:
(2.9)
Fizikalna svojstva fluida ćemo izračunati pri atmosferskom tlaku i srednjoj vrijednosti
temperature:
(2.10)
Koeficijent prijenosa topline prirodnom konvekcijom izračunat prema jednadžbi 2.9 pri
temperaturi Tsr = 341 K iznosi = 8.17 Wm-2 K-1.
Prijenos topline zračenjem za razliku od prijenosa topline konvekcijom i kondukcijom ne
treba sredstvo za prijenos topline, te se toplinsko zračenje može širiti u zrakopraznom prostoru.
Prijelaz topline kondukcijom i konvekcijom ostvaruje se isključivo u smjeru nižih temperatura, a
zračenje je moguće i kroz područja temperature, koje su niže i više nego što su temperature tijela
između kojih se prijelaz topline vrši zračenjem. Zračenje je svojstvo tvari i svaka tvar s
temperaturom većom od apsolutne nule kontinuirano zrači energiju. Energija zračenja koja
dolazi do stanovitog tijela, biti će u općem slučaju djelomično apsorbirana, dijelomično
reflektirana, a dijelom propuštena kroz zračeno tijelo. Apsorbirani dio energije pretvara se u
toplinu. Reflektiranu i propuštenu energiju konačno će apsorbirati tijela u okolini. Prema tome,
svaka tvar ne samo da kontinuirano zrači nego i istodobno apsorbira energiju zračenja. Gustoću
toplinskog toka, koju tijelo izrači u čitav poluprostor iznad te površine, znamo iz Stefan-
Boltzmannovog zakona koji kaže da je ta energija proporcionalna četvrtoj potenciji apsolutne
temperature 6:
(2.11)
gdje je:
- faktor zračivnosti (stupanj crnoće tijela), definiran omjerom emitiranog toplinskog
zračenja tijela i zračenja crnog tijela iste površine pri istoj temperaturi
- Stefan-Boltzmannova konstanta, = 5.67 10-8 Wm-2K-2
Pri razmatranju prijenosa topline zračenjem treba uzeti u obzir energiju koju tijelo zrači i
energiju što je apsorbira, te rezultantnu gustoću toplinskog toka dobiti kao razliku tih dvaju
gustoća toplinskih tokova. Kada se tijelo temperature T1 i koeficijenta emisije 1 nalazi unutar
šupljine čije stijenke imaju temperaturu T2 i ako je površina stijenki šupljine velika u usporedbi s
površinom tijela, odnosno ako je površina stijenki savršen apsorber, izmjena topline dana je
jednadžbom:
(2.12)
2.2. Matematički model procesa izmjene topline
Stanoviti fizikalni problem (npr. nestacionarno vođenje topline) može biti definiran na
dva različita načina. Prvi način je preko parcijalne diferencijalne jednadžbe izvedene iz
promatranja infinitezimalnog elementa kontinuuma, a drugi je putem varijacijskog principa.
Slika 2.1. Infinitezimalan element kontinuuma
Ako promatramo infinitezimalan element kontinuuma i nestacionarno vođenje topline u
smjeru osi x, možemo postaviti jednadžbu bilance topline u smjeru osi x:
akumulacija = ulaz – izlaz + generacija
(2.13)
gdje je Q poznati intenzitet toplinskog izvora ili ponora, a V = dxdydz volumen elementa
kontinuuma. Uz:
, (2.14)
i (2.15)
(2.16)
dobiva se:
(2.17)
odnosno (2.18)
Sumiranjem po ostalim osima dobiva se izraz za nestacionarno vođenje topline uz prisutan izvor
ili ponor topline (drugi Fourierov zakon):
(2.19)
gdje su , i koeficijenti toplinske vodljivosti u smjerovima koordinata x, y, i z
(anizotropna toplinska vodljivost materijala), gustoća, a cP toplinski kapacitet. U slučaju
izotropnog materijala ( = = ), gornji izraz postaje:
(2.20)
odnosno
(2.21)
gdje je Laplaceov operator; (2.22)
Izraz 2.21 može se napisati na sljedeći način
(2.23)
gdje je koeficijent toplinske difuzivnosti materijala (ponekad se naziva i koeficijent
temperaturne vodljivosti).
(2.24)
Ako promatramo proces u stacionarnom stanju, te ukoliko unutar promatranog volumena nema
generacije topline, izraz 2.24 postaje:
(2.25)
Da bi se mogao modelirati ograničeni dio kontinuuma, tj. plošni generator toplinskih
obrazaca, potrebno je na rubovima promatranog dijela nadomjestiti djelovanje odbačenog dijela
kontinuuma. Time će se nadomjestiti djelovanje plošnih grijala, kojima se postiže generiranje
toplinskih obrazca, kao i utjecaj okoline (slika 2.2.).
Slika 2.2. Model plošnog generatora toplinskih obrazaca
Rubni uvjeti dani su izrazima:
(2.26)
(2.27)
(2.28)
(2.29)
(2.30)
gdje je:
Tokoline – temperatura okoline, K
d – udaljenost grijala od ruba
Pi,j – snage plošnih grijala raspoređenih u matricu
lg – dimenzija plošnih grijala
Ag – površina plošnih grijala (lg lg)
Lx, Ly, Lz – dimenzije plošnog generatora toplinskih obrazaca
Rubni uvjet 2.26 proizlazi iz pretpostavke da je toplinska izolacija idealna, odnosno da je
gustoća toplinskog toka jednaka nula jer nema provođenja topline kroz izolaciju. Plošna grijala
su priljubljena na ploču generatora toplinskih obrazaca, a na njih je postavljena toplinska
izolacija. Pri tome sva toplina generirana u plošnom grijalu prelazi na ploču i vrijedi rubni uvjet
2.27. Pri prijelazu topline s ploče na zrak formira se temperaturni gradijent u tankom sloju,
odnosno granični sloj zraka uz samu površinu ploče. U stacionarnim uvjetima postiže se
ravnoteža: gustoća toplinskog toka koja prođe kroz ploču je jednaka gustoći tolinskog toka koja
prođe kroz granični sloj zraka i gustoći toplinskog toka koja je emitirana zračenjem u okolinu.
Na taj način su definirani rubni uvjeti 2.28-2.30.
Proces izmjene topline plošnog generatora toplinskih obrazaca, u stacionarnim uvjetima,
opisan je jednadžbama 2.25-2.30.
2.3. Numeričko rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi
Analitičko (egzaktno) rješenje jednadžbe 2.25 postoji samo u slučaju jednostavnih
geometrijskih oblika i jednostavnih rubnih uvjeta, te za pretpostavljeno stacionarno vođenje
topline. U slučaju nestacionarnog vođenja topline, mogućnosti za analitičko rješenje iscrpljuju se
već i pri početnim uvjetima. Razvojem digitalnih računala omogućen je razvoj numeričkih
metoda koje kontinuum zamjenjuju nizom diskretnih prostora i točaka nad kojima je tada
moguće izvršiti potrebnu analizu. Najčešće korištene numeričke metode su tako npr. metoda
konačnih razlika, metoda kontrolnih volumena, metoda konačnih elemenata i druge.
U analizi temperaturnih polja se naročito primjenjuje metoda konačnih elemenata, prvi
puta uvedena u mehanici krutih tijela sredinom 1950. g., u strukturnoj analizi. Osnovni cilj pri
tome je bio opis relacija između pomaka i unutrašnjih sila u čvorovima, koji definiraju elemente
analizirane strukture. Metoda je dalje razvijana i proširena i na druge probleme polja kao npr. u
mehanici kontinuuma, vođenju topline, strujanju fluida itd. Spada među najvažnije numeričke
postupke za rješavanje različitih problema tehnike i fizike, u kojima se kao objekt promatranja
javlja kontinuum, polje ili mreža, a primjenjuje se kada je analitičko rješavanje egzaktnih
jednadžbi problema složeno ili nemoguće 7. Suština metode sastoji se u tome da se objekt zamisli
rastavljen u konačni broj područja (konačnih elemenata) koja su međusobno vezani samo u
određenom konačnom broju točaka (čvorova). Raspodjela nepoznate veličine unutar elementa
prikazuje se prikladnom matematičkom funkcijom, u kojoj se parametri izražavaju čvornim
vrijednostima nepoznate veličine. Te čvorne vrijednosti uzimaju se kao osnovne nepoznanice,
koje se izračunavaju iz dobivenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Tako se npr.
raspodjela temperature unutar nekog tijela, kojemu su poznate temperature samo u nekim
točkama, može odrediti zamišljenim dijeljenjem tijela u određen broj konačnih elemenata
međusobno povezanih u čvornim točkama. Za svaki element pretpostavi se funkcija raspodjele
temperature , npr. u obliku polinoma određenog stupnja kojemu se koeficijenti izraze pomoću
temperature u čvorovima. Zadovoljavanjem zakona o provođenju topline 2.25 dobiva se sustav
jednadžbi s temperaturama u čvorovima kao nepoznanicama. Rješavanjem tih jednadžbi dobiju
se tempereture u čvorovima, kojima je tako određena i pretpostavljena raspodjela unutar
elementa. Budući da se raspodjela nepoznate veličine unutar elementa aproksimira funkcijom
(obično polinomom), metoda je približna, a točnost raste s brojem odabranih elemenata i
čvorova, te stupnjem funkcije aproksimacije. U praktičnoj primjeni moraju se obično riješiti
sustavi s mnogo jednadžbi, što je moguće samo primjenom elektroničkih računala, pa je i
matematička formulacija metode konačnih elemenata prilagođena takvu računanju. Izborom
istog oblika konačnog elementa za diskretizaciju cijelog područja, problem se svodi na
rješavanje problema na jednom elementu, dok se na ostalim ponavlja, što je također prikladno za
primjenu računala.
Osnovna zamisao sastoji se u tome da se područje razdjeli na konačne elemenate, te da se
približno rješenje nad svakim elementom može izraziti pomoću interpolacijskih funkcija
elementa 8, 9. Interpolacijske funkcije se izabiru iz klase polinoma, najčešće Lagrangeovih, tako
da se na elementu pojavljuju interpolacijski čvorovi, te nepoznati parametri postaju jednaki
vrijednostima rješenja u tim točkama.
Funkcija (tražena temperaturna polja) se gradi nad cijelim područjem iz dijelova,
odnosno prema elementima. Na rubovima elemenata, tj. spojevima elemenata mogu se
postavljati različiti uvjeti, npr. neprekinutost funkcije, neprekinutost funkcije i njene derivacije
itd., što utječe na izbor interpolacijskih funkcija.
Postupak kojim se iz interpolacijskih funkcija na konačnim elementima gradi
odgovarajuća baza definirana na cijelom području, prikazati će se na primjeru određivanja
funkcionalnog približenja funkcije jedne varijable. Na slici 2.3.a prikazano je područje i
stanoviti zamišljeni graf funkcije f(x). Diskretiziranje područja na konačne elemente prikazana je
slikom 2.3.b Konačni elementi čine kompatibilnu konfiguraciju, tj. unija konačnih elemenata
daje područje bez preklapanja elemenata.
Slika 2.3. Lokalizirane bazne funkcije
Za bazu svakog konačnog elementa, tj. interpolacijske funkcije izabrat će se linearne
funkcije N1 i N2 kako pokazuje slika 2.3.c. To su zapravo Lagrangeovi polinomi prvog stupnja,
čije se interpolacijske točke 1 i 2 nalaze na rubovima elementa. Kažemo da su to lokalni čvorovi
na elementu. Povezani elementi i njihovi lokalni čvorovi daju ukupno n globalnih čvorova, pri
čemu se neki čvorovi ponavljaju, tj. zajednički su susjednim elementima. Svakom globalnom
čvoru može se pridružiti jedna bazna funkcija koja se gradi iz interpolacijskih funkcija elemenata
kojima je taj čvor zajednički, na slici 2.3.d i 2.3.e prikazane su bazne funkcije čvorova j i j+1.
Funkcija se definira na cijelom području, s time da je intenzivna na ograničenom području, tj. na
elementima koji sadrže taj čvor, a izvan toga jednaka je nuli. Takve bazne funkcije, globalno
definirane nazivaju se lokaliziranim bazama. Očigledno je da lokalizirane baze ovog tipa, tj. one
koje su izgrađene iz interpolacijskih funkcija, osiguravaju neprekinutost funkcije na cijelom
području. Na slici 2.3.f prikazano je približenje kao linearna kombinacija lokaliziranih baznih
funkcija:
(2.31)
Dakle, lokalizirana baza jednaka je nuli u svim čvorovima osim u čvoru pridruženja, gdje
ima vrijednost jedan. Iz tog razloga parametri linearne kombinacije j imaju značenja vrijednost
funkcije približenja u čvoru j (sliku 2.3.f).
U lokalnom koordinatnom sustavu element je definiran na standardnom jedniničnom
odsječku (Slika 2.4.). Na taj način se dobiju interpolacijske funkcije, odnosno Lagrangeovi
polinomi izraženi u lokalnom koordinatnom sustavu na odsječku –1 1.
Slika 2.4. Odnos globalnih i lokalnih čvorova
Transformacija koordinata se vrši na slijedeći način:
(2.32)
gdje je:
Ni() – interpolacijska funkcija, odnosno Lagrangeov polinom za i-ti čvor u
koordinatnom sustavu
xi – x koordinata čvora
Parametar (koordinata elementa) povezuje temperaturu T s fizikalnim položajem x. x() daje
vezu između matematičkog prostora –1 1 i fizikalnog prostora xi x xi+1.
Interpolacijska funkcija se izražava Lagrangeovim polinomom prema izrazu:
(2.33)
gdje je:
nl - broj lokalnih čvorova u koordinatnom sustavu
i su koordinate čvorova u koordinatnom sustavu. U središtu elementa postavlja se ishodište
koordinatnog sustava . Konačni elementi, definirani u lokalnom koordinatnom sustavu na
intervalu nazivaju se jediničnim elementima e. Stvarni položaj konačnog elementa u
globalnom koordinatnom sustavu dobije se transformacijom 2.32.
Osim prikazivanja stanovitog fizikalnog problema putem parcijalne diferencijalne
jednadžbe, kako je to već rečeno, moguć je i prikaz putem varijacijskog principa, pri čemu se
rješenje traži preko minimuma funkcionala1 koji je definiran određenim integralom nad čitavim
analiziranim područjem.
Pronalaženje nepoznate podintegralne funkcije za koju integral poprima maksimum ili
minimum zadatak je varijacijskog principa. U metodi konačnih elemenata rabi se varijacijski
princip, a rješenje se traži aproksimativno preko minimizacije funkcionala (Ritzova metoda,
Galjerkinova metoda i druge).
Metoda konačnih elemenata se temelji na varijacijskom principu 8. Varijacijska
formulacija problema nalaženja toplinskog polja opisanog jednadžbom 2.26 glasi:
(2.34)
gdje je:
R – ostatak;
w – bazna (težinska) funkcija
U našem jednodimenzionalnom primjeru:
(2.35)
11Pojam funkcional. Funkcije su u matematici vrlo općeniti pojmovi i podudaraju se s pojmom preslikavanja. Za neka preslikavanja upotrebljavaju se umjesto naziva funkcija neki drugi nazivi (npr. niz je naziv za preslikavanje x : N X, gdje je N skup prirodnih brojeva, a X bilo kakav skup). Kada je područje definicije skup elemenata koji su sami funkcije, i kada se tim elementima jednoznačno pridružuju brojevi, onda se to preslikavanje zove funkcional. Npr. kada se računa duljina luka krivulje koja ima jednadžbu y = f(x), gdje je f derivabilna funkcija, npr. u intervalu [0,1], onda je duljina luka dana sa:
Time je svakoj funkciji derivabilnoj u intervalu [0,1] pridružen neki broj L i takvo pridruživanje predstavlja funkcional. Ako su i područje definicije i područje vrijednosti skupovi funkcija, tada se preslikavanje naziva operator.
za test funkciju biramo w = Nj (Galjerkinova pretpostavka) 8, 9. To prisiljava da ostatak R bude
okomit na bazne funkcije. Time je osigurano da ostatak (pogreška) monotono opada porastom
broja elemenata.
Ključna ideja Galjerkinove metode konačnih elemenata je izbor težinskih (test) funkcija
koje su okomite na jednadžbu ostatka. Ova ideja 9 je ilustrirana na slici 2.5.
Na slici 2.5.a egzaktan vektor ue (leži u 3D prostoru) je aproksimiran s vektorom
u = u1 N1, gdje je N1 bazni vektor duž prve koordinatne osi (jedan stupanj slobode sustava).
Razlika egzaktnog vektora ue i približnog vektora u je ostatak ili pogreška r = ue - u (crtkana
linija na slici 2.5.a).
Slika 2.5. Osiguravanje okomitosti vektora ostatka r i baznih vektora Nj Galjerkinovom
metodom, povećanjem j od (a) 1, (b) 2 do (c) 3.
Galjerkinova metoda minimizira ovaj ostatak, čineći ga okomitim na Nj a stoga i na
približni vektor u. Ako je dodan drugi stupanj slobode (druga koordinatna os na slici 2.5.b),
približni vektor je u = u1 N1 + u2 N2, gdje je ostatak također okomit na N2 i stoga na u. S tri
stupnja slobode (treća koordinatna os na slici 2.5.c), približni vektor je u = u1 N1 + u2 N2 + u3 N3
koji rezultira s pogreškom (koja je također okomita na N3 smanjenom na nulu u = ue. Za 3D
vektorski prostor potrebne su samo tri bazna vektora (tri osi) koji reprezentatiraju egzaktni
vektor u. Međutim, u beskonačno-dimenzijskom vektorskom prostoru pridjeljenom prostornom
kontinuiranom polju u(x), treba nametnuti ekvivalent uvjetu okomitosti za svaku
baznu funkciju N rabljenu za aproksimaciju u(x). Tom analogijom ostatak je postavljen okomito
na dane bazne funkcije, čime je on minimiziran (u smislu najmanjih kvadrata) za dati broj
stupnjeva slobode. Povećanjem broja stupnjeva slobode (ili porastom broja elemenata) pogreška
monotono opada.
2.4. Metoda konačnih elemenata
Varijacijska formulacija problema nalaženja toplinskog polja opisanog jednadžbom 2.25 prema
jednadžbi 2.34 glasi:
(2.36)
i naziva se jaka formulacija 8, 10 za rješavanje diferencijalne jednadžbe provođenja topline 2.25,
zbog toga što se traži rješenje T(x,y,z) koje ujedno zadovoljava i rubne uvjete prema
jednadžbama 2.26-2.30. Prema varijacijskom računu, funkcija T(x,y,z) koja zadovojava
jednadžbu 2.36 je ujedno i rješenje jednadžbe 2.25. Primjenom Gaussovog teorema 11 dobije se
nejaka formulacija 8, 10 provođenja topline:
(2.37)
koja rubne 2.26-2.30 zadovoljava preko same varijacijske formulacije, dakle uključeni su u
jednadžbi 2.37. Pojedini rubni uvjeti se definiraju jednadžbama koje vrijede na danom rubnom
području 2.26-2.30. Na desnoj strani jednadžbe 2.37 u integralnom izrazu se uvrštavaju desne
strane jednadžba 2.26-2.30 koje se integriraju po rubnom području , za koje vrijede ti rubni
uvjeti. Kako rješenje T(x,y,z) prikazujemo kao približenje u obliku linearnih kombinacija
lokaliziranih interpolacijskih funkcija:
(2.38)
gdje je n - broj čvorova, a za test funkciju biramo w = Nj (Galjerkinova pretpostavka), što
prisiljava da ostatak R bude okomit na bazne funkcije.
Jednadžbu 2.37 pišemo u obliku:
(2.39)
pri čemu je:
(2.40)
Cijelo ploča plošnog generatora toplinskih obrazaca biti će imaginarno rastavljeno na
jednake konačne elemente. Izborom istog oblika konačnog elementa za diskretizaciju cijelog
područja, problem se svodi na rješavanje problema na jednom elementu, dok se na ostalim
ponavlja. Dakle, riješimo najprije problem na jednom elementu. Kao trodimenzionalni konačni
element izabran je osmeročvorni kuboid (slika 2.6.). Uzmimo da je područje volmena V u obliku
kuboida definirano s , gdje su Lx, Ly, Lz dimenzije tog područja.
Ako su čvorovi elementa smješteni na kutovima područja, tada to područje možemo zamjeniti s
osmeročvornim elementom e, definiranim na području .
(a) (b)
Slika 2.6. Područje volumena V (a) i osmeročvorni element kuboid, područje e (b)
U trodimenzionalnom prostoru interploacijske funkcije se definiraju Lagrangeovim
polinomom prema (33) kao:
(2.41)
pri čemu su kordinate u lokalnom koordinatnom sustavu. Za osmeročvorni element
kuboid interpolacijske funkcije su sljedeće :
(2.42)
Transformacija koja opisuje vezu između (x, y, z) i ( ) koordinatnog sustava je:
(2.43)
budući da su se za navedeni slučaj (prema slici 5.), kod raspisivanja suma, primjenili sljedeći
izrazi:
(2.44)
Približno rješenje prema jednadžbi 2.38 je stoga definirano parametarski prema
izrazu:
(2.45)
Uvrstivši jednadžbu 2.45 u jednadžbu 2.39 dobiva se izraz:
(2.46)
odnosno, kako su interpolacijske funkcije definirane u lokalnom koordinatnom sustavu:
(2.47)
gdje je Jacobijeva determinanta za transformaciju u lokalni koordinatni sustav:
(2.48)
Podintegralni izraz na lijevoj strani jednadžbe 2.47 se izračuna na sljedeći način:
(2.49)
gdje su derivacije nađene iz inverzne Jakobijeve matrice 11:
(2.50)
Uvrstivši dobivene izraze iz jednadžba 2.48 i 2.49 u jednadžbu 2.47 dobijemo sustav jednadžbi:
(2.51)
Sustav od osam jednadžbi 2.51 može se napisati u matričnom obliku:
(2.52)
gdje se matrica Ke naziva matricom provođenja topline:
(2.53)
(2.54)
a vektori Te i qe, od kojih se vektor qe naziva vektorom rubnog toplinskog dotoka, su:
(2.55)
Integrali u jedandžbi 2.53 računaju se numeričkom integracijom. Najčešće se primjenjuje Gauss-
Legendre-ova kvadratura 8.
Primjenimo opisani postupak za jedan element na m- elemenata kojima se imaginarno rastavi
cijelo području plošnog generatora toplinskih obrazaca (slika 2.7.).
Slika 2.7. Element e s lokalnim i globalnim čvorovima
Postupak slaganja globalne matrice i vektora lako se automatizira ako se uvedu stanovita
topološka svojstva, a to je prije svega tablica veza svih elemenata, tj. lista veza svih čvorova
(tablica 2.1.). Naime, svaki element ima svoje indekse lokalnih čvorova, koji odgovaraju
lokalnoj bazi. Svakom lokalnom čvoru pripada jedan indeks globalnog čvora, koji odgovara
globalnoj bazi. Tablica 2.1. omogućuje rekonstrukciju položaja konačnih elemenata u poznatom
rasporedu globalnih čvorova.
Tablica 2.1. Tablica veza (lista svih elementnih čvorova)
Element
br.
Indeksi čvorova
lokalni 1 lokalni 2 lokalni 3 lokalni 4 lokalni 5 lokalni 6 lokalni 7 lokalni 8
1 1 2 7 6 11 12 17 16
2 2 3 7 6 11 12 17 16
3 3 4 9 8 13 14 19 18
... I J K L M N O P
m ... ... ... ... ... ... ... ...
Transformacija koja opisuje vezu između (x, y, z) i ( ) koordinatnog sustava je:
(2.56)
budući da su se za navedeni slučaj (prema slici 2.7.), kod raspisivanja suma, primjenili sljedeći
izrazi:
(2.57)
Približno rješenje prema jednadžbi 2.38 je stoga definirano parametarski prema
izrazu:
(2.58)
Dakle, rješavanje parcijalne diferencijalne jednadžbe provođenja topline 2.25 se svodi na
rješavanje sustava algebarskih jednadžbi:
(2.59)
gdje se matrica provođenja topline Ke izračuna prema izrazu 2.53, a vektori Te i qe su:
(2.60)
U unutarnjim čvorovima gustoća toplinskog toka je uvijek nula, jer su tokovi susjednih
elemenata suprotnih smjerova pa se poništavaju (slika 2.8.). Matematički gledano, ne prolazi
kroz unutarnje čvorove, te je gustoće toplinskog toka nula:
(2.61)
Slika 2.8. Poništavanje tokova unutarnjih čvorova
2.5. Simulacija procesa
Matematički model proces izmjene topline plošnog generatora toplinskih obrazaca opisan
je jednadžbama 2.25 – 2.30, a osnova je za izradu simulacijskog programa. Na slici 8. dan je
sustavski prikaz plošnog generatora toplinskih obrazaca. Snage grijala (P1, P2, P3,. . . P16) i
temperatura okoline Tokoline su ulazne veličine, a temperaturno polje je izlazna veličina (T (x,y,z),
gradT(x,y,z)).
Slika 8. Sustavski prikaz toplinskog generatora toplinskih obrazaca
Simulacijom će se istražiti izgled temperaturnog polja za određenu kombinaciju
vrijednosti snaga grijala. Simulacijski program je napravljen u programskom paketu
COSMOS/M. Na slici 9. je prikazan dijagram toka simulacijskog programa, a kod simulacijskog
programa nalazi se u prilogu. Prvo se unesu dimenzije plošnog generatora toplinskih obrazaca.
Zatim se definiraju parametri modela, odnosno toplinska vodljivost aluminija (), stupanj crnoće
površine aluminija koja je premazana grafitom () i koeficijent prijelaza topline s površine na
zrak (). U sljedećem koraku se definiraju parametri simulacije, a to su vrsta i broj konačnih
elemenata. Simulacija će se raditi s osmeročvornim elementom kuboidom. Zatim se definiraju
rubni uvjeti na cijelom rubnom području , pomoću poznatih vrijednosti gustoća toplinskih
tokova, koje se dobiju iz pretpostavke da je izolacija idealna 2.26 i iz zadanih snaga grijala 2.27,
odnosno u obliku funkcije nepoznate temperature 2.28-2.30. pri čemu je poznata temperatura
okoline. Snage grijala i temperatura okoline su ulazne veličine jer se pomoću njih generiraju
različita temperaturna polja (izlazna veličina). Parcijalna diferencijalna jednadžba 2.25 se riješi
numerički metodom konačnih elemenata i dobiveno temperaturno polje se prikaže grafički.
Rezultati simuliranja u usporedbi s eksperimentalnim rezultatima upućuju na valjanost
matematičkog modela procesa izmjene topline plošnog generatora toplinskih obrazaca.
Slika 9. Dijagram toka simulacijskog programa
3. EKSPERIMENTALNI DIO
3.1. Eksperimentalni uređaj
Osnovna ideja pri izgradnji plošnog generatora toplinskih obrazaca bila je pružanje
eksperimentalne potpore učenju i radu na termografskim mjerenjima. Generiranje definiranih
toplinskih obrazaca, pri kontroliranim uvjetima i poznatim karakteristikama površine generatora,
omogućava pravilno tumačenje rezultata dobivenih termografskim mjerenjima, odnosno
dobivanje spoznaja o pojavama koje se mogu javiti u realnim situacijama prilikom mjerenja i o
njihovim utjecajima na rezultate mjerenja.
Nastojeći razviti eksperimentalni uređaj za generiranje različitih toplinskih obrazaca na
prednjoj površini uređaja projektiran je i izgrađen plošni izvor topline. Pri projektiranju smo se
oslonili na matematički model procesa, pri čemu su osnovni kriteriji bili karakteristike mjernih
pretvornika (termografske kamere i termoparova, prilog C) i već opisana svrha uređaja.
Optimalne karakteristike generatora toplinskih obrazaca odabrane su tako iz podataka o statičkoj
osjetljivosti i vremenskoj konstanti kamere, a neke od značajnih karakteristika su:
- duljina, širina i debljina ploče
- materijal ploče
- maksimalna snaga grijala po jedinici površine
- toplinski otpor izolacije ploče, [K/W]
- dimenzije grijala
- maksimalna dopustiva temperatura grijala (ovisi o materijalu izolacije
otporničkih žica grijala)
- maksimalna dopustiva temperatura za termoparove (ovisi o materijalu
izolacije žica termopara)
Duljina i širina ploče ovise o vidnom polju kamere, o razlučivosti kamere te o udaljenosti
kamere i ploče (prilog C), što direktno utječe na rezoluciju toplinskih obrazaca. Debljina ploče
odabrana je na temelju postavljenog modela i željene raspodjele temperatura, a pri tome se
vodilo računa i o vremenskoj konstanti eksperimentalnog uređaja, koja bi trebala biti što manja.
Na vremensku konstantu utječu također i materijal od kojega je ploča izrađena, toplinski otpor
izolacije ploče, i maksimalna snaga grijala. Na raspodjelu temperatura utječu debljina ploče,
dimenzije grijala, materijal ploče i toplinski otpor izolacije, a maksimalne dopustive temperature
grijala i termoparova predstavljaju ograničenja koje su se morala uvažiti pri projektiranju
uređaja.
Na temelju izloženih razmatranja izgrađen je eksperimentalni uređaj, generator toplinskih
obrazaca 12. S stražnje strane metalne ploče, duljine i širine 1,10 m, debljine 8 mm, pričvršćeno
je 16 grijala kvadratnog oblika u matricu 4x4, slika 3.1. Ploča je valjana iz aluminija, čija su
svojstva dana u tablici 3.1, i pričvršćena je na okvir u samo 12 točaka, tj. na način koji sprečava
odvođenje topline na okvir, slika 3.2. Grijala karakterizira jednolik raspored otporničkih žica po
njihovoj površini, a smještena su jedno do drugoga, bez razmaka, slika 3.1.
Slika 3.1. Raspored grijala (B) i termoparova (C) na aluminijskoj ploči (A) s stražnjestrane generatora toplinskih obrazaca
Bitan utjecaj na prijelaz topline s grijala na ploču ima sila kojom dvije površine naliježu
jedna na drugu. Grijala su na ploču pričvršćena putem pritezne rešetke, kruto vezane za okvir,
upravo stoga kako bi se osigurao jednak pritisak svih grijala na ploču. Ovu stegu čine još i
azbestna ploča i šperploča što je prikazano slikom 3.2. Stražnja strana ploče toplinski je dobro
izolirana od okolice debelim slojem kamene vune.
Tablica 3.1. Svojstva materijala ploče
Svojstvo Iznos (norm. uvj.) Jedinicekoef. toplinskevodljivosti 204 W/m2K
gustoća 2707 kg/m3
emisivnost 0,04 -emisivnost površine presvučene grafitom 0,95 -
Slika 3.2. Detaljan prikaz eksperimentalnog uređaja1 – Al ploča, 2 – silikonska grijala, 3 – azbestna ploča,
4 – vijak za učvršćivanje uređaja na nosač (ujedno i pritezni vijak), 5 – nosač, 6 - šperploča, 7 – pritezna rešetka, 8 – kamena vuna, 9 – stezne matice, 10 – stezni vijak
Temperatura površine na stražnjoj strani ploče mjeri se NiCr/Ni termoparovima posebne
izvedbe koja omogućuje dobro prianjanje uz površinu. Termoparovi su postavljeni na kutevima
grijala, zbog nastojanja da grijala cijelom površinom naliježu na ploču generatora toplinskih
obrazaca. Postavljanje termopara npr. između ploče i sredine grijala uzrokovalo bi šupljine
ispunjene zrakom duž žica termopara, a time slabiji i neravnomjeran prijenos topline s grijala na
ploču uređaja. Mjerni signali termopara dovodi se preko multipleksera do akvizicijske kartice,
gdje se pretvaraju u digitalni oblik i zatim u iznose temperature. Informacije o temperaturama na
mjestima gdje su postavljeni termoparovi rabe se za vođenje procesa izmjene topline, tj. za
upravljanje snagama grijala.
Slika 3.3. Snimka generatora toplinskih obrazaca
3.2. Eksperimentalno određivanje koeficijenta prijelaza topline konvekcijom
Kako je naglašeno u poglavlju 2.2, konvektivno odvođenje topline ovisi o
hidrodinamičkim i toplinskim uvjetima, te o geometriji sustava kojeg promatramo. Odvođenje
topline s ploče odvija se prirodnom konvekcijom i zračenjem, jednadžbe 2.28 i 2.29, pri čemu su
svi parametri poznati osim koeficijenta prijelaza topline konvekcijom,
Kako bi odredili ovaj parametar, osmišljen je eksperiment u kojemu će se kroz sustav
sličan generatoru toplinskih obrazaca toplina provoditi samo u smjeru normale na površinu
ploče, slika 3.4. Grijalo je prislonjeno na ploču koja duljinom i širinom odgovara grijalu, a zatim
su ploča i grijalo obloženi toplinskom izolacijom sa svih strana osim s prednje površine ploče.
Između ploče i grijala smješteno je osjetilo toplinskog toka (prilog C), koje je povezano na
mjerni pretvornik s zaslonom na kojem je očitavana vrijednost toplinskog toka koji prolazi kroz
ploču.
Slika 3.4. Eksperimentalni uređaj za određivanje koeficijenta prijelaza topline prirodnom konvekcijom
Slika 3.5. Snimka eksperimentalnog uređaja za određivanje koeficijentaprijelaza topline prirodnom konvekcijom
Koeficijent prijelaza topline određen je iz:
(3.1)
(3.2)
4. REZULTATI
4.1. Određivanje koeficijenta prijelaza topline konvekcijom
Izmjerena je temperatura okoline Tokoline = 293,20 K. Koeficijent zračivnosti grafita, kojim
je premazana površina aluminija iznosi = 0,95. Otpor plošnih grijala je R = 22,5 . Gustoća
toplinskog toka mjerena je komercijalnim mjerilom gustoće toplinskog toka tvrtke Omega
(prilog C). Temperatura površine je mjerena termografskom kamerom (prilog C).
Tablica 4.1. Mjerni podaci za određivanje koeficijenta prijelaza topline konvekcijom
U/V
qmj/ Wm-2
Tpov /K
0,0 0,0 293,2
10,0 89,8 300,2
20,0 372,0 321,1
30,0 858,3 352,6
40,0 1545,3 389,0
Koeficijenti prijelaza topline konvekcijom računati su prema izrazu 3.2 i dani su u tablici 4.2.
Tablica 4.2. Izračunate vrijednosti koeficijenta prijelaza topline konvekcijom, , i iskorištenje grijala,
U/V Pid/Wqid
Wm-2qmj
Wm-2 Tpov / K Wm-2K-1 Wm-2K-1%
%
0,0 0,0 0,0 0,0 293,2 -
7,2
-
84,010,0 4,4 111,1 89,8 300,2 7,20 80,820,0 17,7 444,4 372,0 321,1 7,08 83,730,0 40,0 1000,0 858,3 352,6 7,14 85,840,0 71,1 1777,8 1545,3 389,0 7,42 86,9
Slika 4.1. Termograf eksperimentalnog uređaja za određivanje koeficijenta prijelaza topline konvekcijom
Sli
ka 4.2. Prikaz ovisnosti gustoće toplinskog toka, q, o naponu na grijalu, U.
4.2. Plan istraživanja
Plan eksperimenta zamišljen je ovako: četiri grijala po dijagonali, od lijevo gore prema
desno dolje, biti će uključena, dok će ostala grijala biti isključena. Mijenjati će se snaga grijala
promjenom napona na varijcima od manjih vrijednosti prema većima, zbog skraćivanja vremena
trajanja eksperimenta.
Simuliracija procesa obavljena je nakon provedbe eksperimenata, zbog toga što je u
model potrebno unijeti iste veličine stanja (temperatura okoline i snage grijala) kakve su bile pri
mjerenjima. Ovo je važno stoga kako bi bila moguća kasnija usporedba rezultata simuliranja i
eksperimentalnih rezultata.
Napravljena su tri eksperimenta s narinutim naponima na grijalima od 25 V, 35 V i 45 V.
Pri tome je izmjerena temperatura okoline Tokoline = 289,60 K i relativna vlažnost zraka
= 76 %. Koeficijent zračivnosti grafita, kojim je premazana površina aluminija iznosi
= 0,95.
4.3. Rezultati simulacijskog i eksperimentalnog istraživanja
Eksperiment 1
Slike 4.3. i 4.4. Rezultati simulacije procesa i mjerenja za napon na grijalima U = 25 V
Eksperiment 2
Slike 4.5. i 4.6 Rezultati simulacije procesa i mjerenja za napon na grijalima U = 35 V
Eksperiment 3
Slike 4.7.i 4.8. Rezultati simulacije procesa i mjerenja za napon na grijalima U = 45 V
Usporedba rezultata simulacije procesa s različitim brojem elemenata
Slika 4.9. Prikaz temperaturnog polja dobivenog simulacijom uz 1352 elemenata
Slika 4.10. Prikaz temperaturnog polja dobivenog simulacijom uz 14112 elemenata
5. RASPRAVA
Zamišljanje građe izmjenjivača bio je prvi korak pri ostvarenju projektnog zadatka.
Izveden je približni statički matematički model procesa izmjene topline, pa je poslužio za
konstruiranje i izvedbu plošnog izmjenjivača topline, generatora toplinskih obrazaca.
Simulacijski program, u kojemu je primjenjena metoda konačnih elemenata, je izrađen u
programskom paketu COSMOS/M. Osnovne pretpostavke razvijenog modela su konstantna
temperatura okoline i idealna toplinska izolacija stražnje strane izmjenjivača.
Eksperimentalni uređaj izrađen je uz stručnu pomoć djelatnika Zavoda za mjerenja i
automatsko vođenje procesa, a opremljen je suvremenim mjernim pretvornicima i izvršnim
spravama. Najsofisticiraniji mjerni uređaj rabljen prilikom eksperimentalnih mjerenja jest
termografska kamera ThermaCAM 695 tvrtke FLIR Systems.
Izloženi plan eksperimenta odabran je tako da smanji broj potrebnih mjerenja, a da ipak
pokaže karakteristična međudjelovanja veličina u procesu, kao i da ukaže na nedostatke u
modelu. Promatrano ja ponašanje generatora uz uvjet da su uključena grijala po dijagonali
plošnog generatora. Izrazitije nedostatke modela pokazuju područja bliža gornjem kraju ploče.
Ova pojava javlja se uslijed strujanja toplog zraka uz površinu ploče i nije mogla biti obuhvaćena
modelom, jer nam je nedostajalo znanja za to, a najbolje je vidljiva na eksperimentima 2 i 3.
Prije pristupanja eksperimentiranju na plošnom generatoru, eksperimentalno je određen
koeficijent prijelaza topline konvekcijom (tablica 4.2.), koji je od onog dobivenog pomoću
empirijske jednadžbe (jednadžba 2.9) manji za 0,97.
Kako bi ustanovili stupanj podudarnosti modela procesa i samog procesa, odredili smo
sljedeće kriterije:
- maksimalna postignuta temperatura
- temperatura na uglovima ploče generatora
- raspodjela temperatura (kvalitativna usporedba)
Na slici 4.2. se vidi kako se mjerena gustoća toplinskog toka razlikuje od gustoće
toplinskog toka izračunate preko snage grijala (idealne snage). Budući su snage grijala ulazne
veličine modela plošnog generatora toplinskih obrazaca preko kojih se računaju gustoće
toplinskih tokova grijala, potrebno je odrediti iskorištenje grijala kako bi se ispravilo to
odstupanje. Iskorištenje grijala je izračunato u tablici 4.2.
Maksimalna postignuta temperatura u eksperimentu 1 veća je od one dobivene
simulacijom za 0,5 K, u eksperimentu 2 za 0,8 K, a u eksperimentu 3 za 0,7 K. Temperature u
uglovima ploče postignuta u eksperimentu 1 razlikuju se od onih dobivenih simulacijom za 0,4 K
manja u lijevom donjem kutu; manja za 0,5 K u desnom donjem kutu; veća za 0,9 K u desnom
gornjem kutu i veća za 0,8 K u lijevom gornjem kutu. Razlike za eksperiment 2 iznose (istim
redoslijedom): -1,0 K,-0,8 K, +0,4 K i +0,6 K, a za eksperiment 3: -0,6 K, -0,7 K, +1,3 K i +0,9
K.
Iz eksperimentalnih rezultata vidljiva je nejednolika raspodjela temperatura koja je
uzrokovana nejednolikom debljinom sloja grafita na površini ploče. Grafit je nanošen prskanjem,
a jednoliku debljinu sloja nije moguće postići bez obzira na vještinu mjeritelja.
Kvantitativno određivanje razlike u raspodjelama temperatura složen je i zahtjevan
zadatak, pogotovo zbog utjecaja nejednolike debljine sloja grafita, pa je stoga ovo odstupanje
određeno samo kvalitativno. Iz rezultata je vidljivo da porastom snaga grijala dolazi do
povećanja odstupanja u raspodjelama temperatura. Ovdje je najveći utjecaj strujanja zraka do
kojeg dolazi zbog promjene u gustoći zraka pri konvekcijskom prijelazu topline s ploče.
Zagrijani zrak struji naviše i utječe na toplinsku bilancu gornjih područja.
Na slikama 4.9. i 4.10. dana je usporedba rezultata simulacije pri čemu je mijenjan broj
konačnih elemenata. Opsežnim simuliranjem određen je optimalan broj elemenata, odnosno
najmanji broj elemenata za koje se rezultati više ne razlikuju. Uporabom nedovoljnog broja
elemenata rezultati pokazuju diskontinuitete toplinskih polja, jer dolazi do pogreške
diskretizacije.
6. ZAKLJUČAK
1. Razvijen je matematički model plošnog izmjenjivača topline - generatora
toplinskih obrazaca.
2. Opsežnim eksperimentiranjem utvrđena je podudarnost vladanja procesa i modela
procesa u granicama od –0,7 K do +1,3 K u radnom području izmjenjivača.
3. Stečena su znanja s područja prijenosa topline, konstruiranja izmjenjivača topline,
iz mjerenja i vođenja procesa, a posebice znanja iz područja termografije.
3. Stečena su znanja numeričkog rješavanja parcijalnih diferencijalnih jednadžbi
metodom konačnih elemenata i temeljne vještine primjene.
7. LITERATURA
1. Atkins, P. W.: Physical Chemistry, Sixth Edition, Oxford Uinversity Press, Oxford, 1999.
2. Byron Bird, R., Stewart, W. E., Lightfoot, E. N.: Transport Phenomena, John Wiley & Sons Inc.,New York 1960.
3. Carslaw, H., S., Jaeger, J., C.: Conduction of Heat In Solids, Second Edition, Oxford Uinversity Press, Oxford, 1959.
4. Holman, J., P.:Thermodynamics, Fourth Edition, McGraw-Hill Book Co., New York, 1988.
5. Požar, H.: Osnove energetike, prvi svezak, Školska knjiga, Zagreb, 1976.
6. Kulušić, P.: Mehanika i toplina, VII izdanje, Školska knjiga, Zagreb, 1995.
7. Cook, R., D., Malkus, D., S., Plasha, M., E., Witt, R., J.: Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Fourth Edition, John Wiley & Sons Inc., New York 2002.
8. Jović, V.: Uvod u inženjersko numeričko modeliranje, Aquarius engineering, Split, 1993.
9. Hunter, P., Pullan, A.: The Finite Element Method/Boundry Element Method (FEM/BEM) notes, Department of Engineering Science The University of Auckland, New Zealand 2003. (http://www.esc.auckland.ac.nz/Academic/Texts/fembemnotes.pdf)
10. Lewis, R., W., Morgan, K.,Thomas, H., R., Seetharamu, K., N.: The Finite Element Method in Heat Transfer Analysis, John Wiley & Sons Ltd., Chichester, 1996.
11. Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, Second Edition, John Wiley & Sons Inc., New York 1967
12. J. Božičević: Generator toplinskih obrazaca, patentna prijava, Zagreb 2004.
Prilog A. Popis oznaka
Ag – površina plošnih grijala
cP - toplinski kapacitet
d – udaljenost grijala od ruba
e – element
- funkcija približenja
g – akceleracija sile teže
Gr – Grashoffova značajka:
, , - dimenzije konačnog elementa
- Jacobijeva determinanta
Ke - matricom provođenja topline
L – karakteristična dimenzija sustava, npr. debljina ravne ploče
lg – dimenzija plošnih grijala
Lx, Ly, Lz – dimenzije plošnog generatora toplinskih obrazaca
m – masa, kg
- Lagrangeovi polinomi
n – broj čvorova
- jedinični vektor normale na plohu kroz koju prolazi toplina
N1 i N2 - Lagrangeovi polinomi prvog stupnja, odnosno oblikovne funkcije
Nu – Nusseltova značajka :
P – snage plošnih grijala
Pr – Prandtlova značajka:
q - gustoća toplinskog toka (toplinski fluks), W/m2
Q - poznati intenzitet toplinskog izvora ili ponora
- toplinski tok, W
qe - vektor rubnog toplinskog dotoka
R – ostatak
U - narinuti napon grijala
v – brzina
V - volumen
T – temperatura, K
Te – vektor temperature
Tf - temperatura fluida
Tokoline – temperatura okoline
Tp - temperatura čvrste plohe uz koju struji fluid
- približno rješenje, odnosno temperaturno polje
- koeficijent prijelaza topline, Wm-2 K-1
j - parametri linearne kombinacije
- koeficijent toplinske ekspanzije fluida
- faktor zračivnosti (stupanj crnoće tijela), definiran omjerom emitiranog toplinskog zračenja
tijela i zračenja crnog tijela iste površine pri istoj temperaturi
- iskorištenje grijala
- relativna vlažnost zraka
- rubno područje
- koeficijent toplinske vodljivosti, W/mK
f- koeficijent toplinske vodljivosti fluida
- kinematička viskoznost fluida
- gustoća
- Stefan-Boltzmannova konstanta, 5.67 10-8 Wm-2K-2
w – bazna (težinska) funkcija
- kordinate u lokalnom koordinatnom sustavu
Prilog B. Simulacijski program
C* C* COSMOS/M Geostar V2.50 C* Problem : PLOŠNI GENERATOR TOPLINSKIH OBRAZACA C* Marko Ukrainczyk Date : 02-08-2004 Time : 12:22:36 C* C* Definiranje geometrije plošnog generatora toplinskih obrazaca C* PT,1,0,0,0 PT,2,0,0,0.2 CRLINE,1,1,2 SFEXTR,1,1,1,Y,0.2 SFEXTR,4,4,1,Z,0.2 SFEXTR,5,5,1,Z,0.2 SFEXTR,8,8,1,Z,0.2 SFEXTR,2,13,1,Y,0.2 SFEXTR,14,22,1,Y,0.2 SFEXTR,23,31,1,Y,0.2 PT,26,0,0.95,0.95 PT,27,0,0.8,0.95 PT,28,0,0.95,0.8 PT,29,0,0,0.95 PT,30,0,0.95,-.1 PT,31,0,0.8,-.1 PT,32,0,0.95,0 PT,33,0,-.1,0.8 PT,29,0,0.95,-.15 PT,30,0,0.95,0 PT,31,0,0.8,-.15 PT,32,0,0,-.15 PT,33,0,-.15,-.15 PT,34,0,-.15,0 PT,35,0,-.15,0.8 PT,36,0,-.15,0.95 PT,37,0,0,0.95 SF4PT,35,28,30,21,25,0 SF4PT,36,26,28,27,25,0 SF4PT,37,27,25,37,9,0 SF4PT,38,37,9,36,35,0 SF4PT,39,9,35,1,34,0 SF4PT,40,1,34,32,33,0 SF4PT,41,1,32,21,31,0 SF4PT,42,30,29,21,31,0 VLEXTR,1,1,1,X,.008 VLEXTR,2,2,1,X,.008 VLEXTR,12,12,1,X,.008 VLEXTR,4,4,1,X,.008 VLEXTR,5,5,1,X,.008 VLEXTR,10,10,1,X,.008 VLEXTR,13,13,1,X,.008
VLEXTR,16,16,1,X,.008 VLEXTR,17,17,1,X,.008 VLEXTR,21,21,1,X,.008 VLEXTR,23,23,1,X,.008 VLEXTR,25,25,1,X,.008 VLEXTR,26,26,1,X,.008 VLEXTR,30,30,1,X,.008 VLEXTR,32,32,1,X,.008 VLEXTR,34,34,1,X,.008 VLEXTR,35,35,1,X,.008 VLEXTR,36,36,1,X,.008 VLEXTR,37,37,1,X,.008 VLEXTR,38,38,1,X,.008 VLEXTR,39,39,1,X,.008 VLEXTR,40,40,1,X,.008 VLEXTR,41,41,1,X,.008 VLEXTR,42,42,1,X,.008C*C* Parametri modelaC*EGROUP,1,SOLID,0,1,0,0,0,0,0,0 RCONST,1,1,1,9,0.008,0,0,0,0.008,0,0,0,0.008 PICK_MAT,1,ALUMINUM,SI C* MATL:ALUMINUM : ALUMINUM ALLOY C* EX 0.69E+11 Pascals C* NUXY 0.33 C* GXY 0.27E+11 Pascals C* ALPX 0.24E-04 /Kelvin C* DENS 0.27E+04 Kgm/m**3 C* KX 0.20E+03 W/m/K C* C (Cp) 0.90E+03 J/kgm/K C*C* Parametri simulacije C* M_VL,1,16,1,8,15,15,2,1,1,1 M_VL,17,17,1,8,60,12,2,1,1,1 M_VL,21,21,1,8,12,60,2,1,1,1 M_VL,19,19,1,8,15,80,2,1,1,1 M_VL,19,19,1,8,12,60,2,1,1,1 M_VL,23,23,1,8,12,60,2,1,1,1 M_VL,24,24,1,8,12,12,2,1,1,1 M_VL,18,18,1,8,12,12,2,1,1,1 M_VL,20,20,1,8,12,12,2,1,1,1 M_VL,22,22,1,8,12,12,2,1,1,1 NMERGE,1,23832,1,0.0001,0,0,0 NCOMPRESS,1,23832 C*C* Definiranje rubnih uvjeta C* CESF,1,7.2,289.6,2,1,0 CESF,4,7.2,289.6,5,1,0 CESF,34,7.2,289.6,42,1,0 CESF,105,7.2,289,106,1,0 CESF,32,7.2,289,42,1,0
CESF,105,7.2,289,106,1,0 CESF,109,7.2,289,109,1,0 CESF,113,7.2,289,114,1,0 CESF,119,7.2,289,119,1,0 CESF,122,7.2,289,123,1,0 CESF,127,7.2,289,127,1,0 CESF,131,7.2,289,131,1,0 CESF,129,7.2,289,129,1,0 CESF,100,7.2,289,100,1,0 CESF,32,7.2,289,32,1,0 CESF,30,7.2,289,30,1,0 CESF,26,7.2,289,26,1,0 CESF,25,7.2,289,25,1,0 CESF,13,7.2,289,13,1,0 CESF,10,7.2,289,10,1,0 CESF,12,7.2,289,12,1,0 CESF,16,7.2,289,16,1,0 CESF,17,7.2,289,17,1,0 CESF,21,7.2,289,21,1,0 CESF,23,7.2,289,23,1,0
RESF,1,0.95,1,289.6,2,1,0 RESF,4,0.95,1,289.6,5,1,0 RESF,34,0.95,1,289.6,42,1,0 RESF,105,0.95,1,289.6,106,1,0 RESF,109,0.95,1,289.6,109,1,0 RESF,113,0.95,1,289.6,114,1,0 RESF,119,0.95,1,289.6,119,1,0 RESF,122,0.95,1,289.6,123,1,0 RESF,127,0.95,1,289.6,127,1,0 RESF,131,0.95,1,289.6,131,1,0 RESF,129,0.95,1,289.6,129,1,0 RESF,100,0.95,1,289.6,100,1,0 RESF,32,0.95,1,289.6,32,1,0 RESF,30,0.95,1,289.6,30,1,0 RESF,26,0.95,1,289.6,26,1,0 RESF,25,0.95,1,289.6,25,1,0 RESF,16,0.95,1,289.6,17,1,0 RESF,12,0.95,1,289.6,13,1,0 RESF,10,0.95,1,289.6,10,1,0 RESF,21,0.95,1,289.6,21,1,0 RESF,23,0.95,1,289.6,23,1,0
HXSF,96,350,96,1 HXSF,80,350,80,1 HXSF,64,350,64,1 HXSF,43,350,43,1
SB_CONST,5.67E-8 C* R_THERMAL C* TEMPPLOT,0,1,14112,1
Prilog C. Karakteristike mjerne opreme
C.1 ThermaCAM® PM 695 termografska kamera
Slika 8.1. Termografska kamera Therma CAM PM 695
Prikaz termografske slike
Field of view(FOW)/minimalni fokus:24° x 18°/ 0.3 m
Frekvencija: 50/60 Hz
Temperaturna osjetljivost:0.08 °C kod 30 °C
Razlučivost (IFOV):1.3 mrad
Elektronički zoom:1 – 4 puta, kontinuirano
Fokusiranje:Automatsko ili ručno
Vizualna slika
Ugrađena digitalna kamera:640 X 480 full color, optional B & W
Osjetilo
Vrsta:Žarišna plošna matrica osjetila (FPA), mikrobolometar 320 X 240 piksela
Spektar valnih duljina:7.5 to 13 µm
Prikaz slike
Video izlaz:RS 170 EIA/NTSC or CCIR/PAL composite video and S-video
Prikaznik:Ugrađen, visoke-rezolucije LCD (TFT), dodatna mogućnost-LCD panel
Mjerenje
Temperaturno područje:-40 °C do +120 °C (-40 °F do +248 °F) područje 10 °C do +500 °C (+32 °F do +932 °F) područje 2
Optimalno temperaturno područje:do +1500 °C (2732 °F)do +2000 °C (3632 °F)
Moduli za mjerenja:Točke (do 5), područja (do 5), izotermna, linijski profili, razlika temperature
Preciznost:+/- 2 °C, +/- 2%
Automatska korekcija emisivnosti:Varira od 0.1 do 1.0 ili se može odrediti iz liste za različite materijale
Atmosferska korekcija transmisije:Automatska, na temelju udaljenosti, atmosferska temperatura i relativna vlažnost
Optička korekcija transmisivnosti:Automatska, na temelju vanjskog osjetila
Spremanje slike
Vrsta:Visokog kapaciteta PC-kartica, ATA kompatibilna (160 MB min)
Datoteka –termografska:14-bit radiometric IR digital Image (IMG) ukljućujući zaglavlje s važnim podacima za termografska mjerenja.8-bit standard bitmap (BMP).
Datoteka – vizualna:Standard bitmap (BMP); vizualne slike povezane s odgovarajućim termografima
Zvučni zapis:Do 30 sekundi digitalnog zvuka povezanog s termografom ili vizualnom slikom
Tekstualni zapis:Spreman zajedno s slikom. Do 12 dokumenta s tekstom za jednu sliku
Leće
Field of view(FOW)/minimalni fokus:7° x 5.3°/4 m12° X 9°/1.2 m45° x 34°/ 0.1 m80° x 60°/0.1 m200 mikrona ( 64 mm X 48 mm/150 mm)
100 mikrona (34 mm x 25 mm/80 mm)50 mikrona (14 mm x 11 mm/45 mm)
Identifikacija leća:Automatska
Okolišni uvjeti
Vlažnost:radni i skladišni, 10% do 95%, nezasićen zrak vodenom parom
Radno temperaturno područje:-15 °C do 50 °C (5 °F do 122 °F)
Skladišno temperaturno područje:-40 °C do +70 °C (-40 °F do 158 °F)
Transport:IP 54 IEC 529 (metalni kovčeg)
Udarci:Radni: 25 G, IEC 68-2-29
Vibracije:Radne: 2 G, IEC 68-2-6
Fizičke karakteristike
Montaža na stalak (tronožac):¼» – 20
Veličina:220 mm x 133 mm 140 mm (8.7» X 5.2» X 5.5»)
Težina:1.9 kg (4.4 lbs.), bez baterije2.4 kg (5.3 lbs.), s baterijom
Sučelje
Više namjenski konektor:External power, S-VHS output, RS 232 remote control
Video izlaz:Vanjskil video izlaz
Mikrofon:Za snimanje zvučnog zapisa uz sliku.
Korisničko sučelje
4 tipke i palica za direktne funkcije i padajući izbornik
C.2 Mjerilo gustoće toplinskog toka HFS (Heat Flux Sensor) OMEGA
Slika 8.2. Mjerilo gustoće toplinskog toka s digitalnim indikatorom OMEGA DP41-E
Mjerilo gustoće toplinskog toka projektirano je za precizna mjerenja prijenosa topline kroz
materijal i može se postaviti na ravne i zakrivljene površine, te ima vrlo mali temperaturni gradijent.
Može biti izvedeno sa ili bez integriranog termopara za diskretno mjerenje temperature.
Bitan element je diferencijalni termopar. Osnovica mu je tanka folija na koju je u seriju spojeno
40 termoparova s obje strane granice od materijala poznatih toplinskih svojstva ( KAPTON).
Slika 8.3. Dimenzije mjerila gustoće toplinskog toka
Mjerilo je smješteno u bliski kontakt s površinom kojoj se mjeri gustoća toplinskog toka. Isti
energetski tok prolazi i kroz mjerilo i kroz površinu na koju mjerilo prijanja. Duž toplinske barijere
formira se tradijent temperature koji je razmjeran brzini prijenosa topline. Veličinu tog gradijenta
mjerimo dvostrukim termoparovim koji daju naponski signal.
Karakteristike:Gornja temperaturna granica: 2000C
Otpor osjetila: 300
Dimenzije: 35.1*28.5 mm
Maksimalno preporučljiva gustoća toplinskog toka: 63000 Wm-2
Broj termoparova: 40
Vremenska konstanta: 0.18 s
Vrsta podloge: Polymide (KAPTON)
Nazivna debljina: 0.23 mm
C.3 Temperaturna osjetila, samoljepljivi termoparovi K tipa SA1-K (Self-Adhesive) OMEGA
Slika 8.4. Termoparovi SA1-K OMEGA i njihove dimenzije
Termoparovi su K tipa, odnosno načinjeni od zastičenih legura chromega (80% Ni, 10% Cr) i alomega (95% Ni, 2% Mn, 2% Al) izolirani teflonom.
Karakteristike:
Temperaturno područje:-60 0C do +175 0C
Izolacija:Teflon
Vremenska konstanta:0,3 s