VIII CONGRESO COLOMBIANO DE METODOS NUMERICOS: Simulacin en Ciencias y Aplicaciones Industriales 8CCMN 2011, Agosto. 10-12, 2011, Medelln, Colombia 2011 Universidad EAFIT

Modelacin de consolidacin primaria en suelos por medio del mtodo numrico de autmatas celulares.

Andrs Eraso Baena1, Antonio Gens 2. 1 I.C. Magster Geotecnia (UNAL-COL.) Master Mt. Numricos (CIMNE-U.P.C. ESP.) Director I+D+i

Geotecnia y Cimentaciones S.A. Bogot Colombia. 2 I.C. PhD in Civil Eng. (Imperial College, University of London). Professor U.P.C., Barcelona Espaa. correo-e: andres.eraso@cimentar, aebsuelos@gmail.com, antonio.gens@upc.es.

Abstract: A model of cellular automata as an alternative way to solve the differential equation for the parabolic problem of consolidation of saturated soils, described by Terzaghi & Frohlich, for which use the Chapman-Enskog expansion and applying the rules evolution of the model scheme for the Lattice Gas. The model was developed through C ++ using the Linux operating system. This work contributes to the state of the art in the topic of consolidation of saturated soils, introducing a new approach to solving it Key words: Consolidation, cellular automata, Terzaghi & Frohlich, numerical methods, Chapman-Enskog expansion, saturated soils.

Resumen: Se presenta un modelo de autmatas celulares como una forma alternativa para la resolucin de la ecuacin diferencial para el problema parablico de consolidacin en suelos saturados, descrita por Terzaghi & Frohlich, para lo cual se utiliza la Expansin de Chapman-Enskog y aplicando las reglas de evolucin del modelo correspondientes al esquema Lattice Gas. El modelo, se desarrolla por medio de un programa en el lenguaje C++ utilizando el sistema operativo linux. Por medio de este trabajo se contribuye al estado del arte en el tema de consolidacin en suelos saturados, introduciendo un nuevo enfoque en la resolucin del mismo. Palabras Clave: Consolidacin, autmatas celulares, Terzaghi & Frohlich, mtodos numricos, expansin de Chapman-Enskog, suelos saturados.

1 INTRODUCCIN Posterior a la formulacin del principio de los esfuerzos efectivos, en 1925 Terzaghi aplic la teora a la

solucin del problema de consolidacin, a travs de un modelo sencillo que supone los granos infinitamente rgidos, de manera que las deformaciones se deben exclusivamente a la expulsin gradual del agua del suelo y a la reacomodacin consecuente de los granos [1]. Se presenta un modelo de autmatas celulares como una forma alternativa para la resolucin de la ecuacin diferencial para el problema parablico de consolidacin primaria en suelos saturados [2], [3].

2 MTODO NUMERICO DE AUTMATAS CELULARES El autmata celular puede definirse como la discretizacin de una ecuacin diferencial parcial, en el espacio y

en le tiempo. Los elementos necesarios para predecir el comportamiento de un autmata celular en un paso de tiempo despus de cada actualizacin son los siguientes: a. La red: Consiste de un conjunto de celdas yuxtapuestas distribuidas en filas y columnas, en una, dos o tres dimensiones, en donde de antemano se ha establecido el tamao de cada celda y el nmero de stas que componen la red. b. La vecindad: Se define como el conjunto de celdas, que rodean cualquier posicin de la red, de la celda de estudio, para el caso particular de la modelacin de la ecuacin diferencial de consolidacin, se us la tcnica de Lattice gas en donde no se analiza la vecindad, sino el nmero de partculas (mximo 4) y la direccin al llegar a cada nodo de la red [2]. c. Las reglas de evolucin: Son las condiciones especficas, que predicen de acuerdo al estado del sistema en cualquier momento. En cada nodo pueden entrar mximo cuatro partculas; debido a que obedecen un movimiento completamente aleatorio, es posible que interacten con las siguientes cuatro posibilidades: Que no colisionen y prosigan con las trayectorias iniciales con probabilidad P0, Que al colisionar cambien sus direcciones formando 90 grados respecto de la incidencia, rotando CW (en sentido de las manecillas del reloj) con probabilidad P1, Que roten 270 grados respecto

de la direccin o CCW (en sentido contrario al de las manecillas del reloj) con probabilidad P1, Que se devuelvan o roten 180 grados respecto de la direccin incidente. Con probabilidad P2 = (1 - (2P1 + P0)). Cada una de las situaciones referidas, pueden suceder con una cierta probabilidad. El coeficiente de consolidacin Cv se escoge usando la ecuacin 1, resultado de la expansin de Chapman-Enskog [3], de tal forma que coincida con el valor experimental Cv [4].

( )[ ]

+

+=

PoPPPCv O

1

12

14*

(1)

3 RESULTADOS Se realiz un modelo de los Autmatas Celulares con el fin de validar el modelo unidimensional terico

planteado por Terzagui [5]. Para la validacin del modelo se aplica un modelo de Autmatas Celulares bidimensionales, con las siguientes caractersticas: Tamao de la red: 500 * 500, Numero de intervalos de tiempo: 734, Numero de elementos: 500, = tamao de cada (paso en el espacio): 0.020, = Paso en el tiempo: 0.00004, Po: 0.10, P1: 0.25, P2: 0.55, Cv es el Coeficiente de consolidacin: 1.34 m2/ao. En la Figura 1, se presenta el Grado de Consolidacin (U%) con el Factor Tiempo (T) para los resultados analticos y los obtenidos por el modelo de Autmatas Celulares.

CURVA CONSOLIDACIN

0

1020

30

40

5060

70

8090

100

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

FACTOR TIEMPO T

GRA

DO

C

ON

SOLI

DA

CIO

N U

%

AUTOMATA TEORICO

Figura 1. Grado de consolidacin en funcin T, con doble drenaje.

4 CONCLUSION Por medio de los resultados de este trabajo, se aporta en el estado del arte, en lo referente al anlisis del

problema de consolidacin, aplicando el mtodo numrico de autmatas celulares para la resolucin del problema de consolidacin primaria, descrito por Terzaghi & Frohlich; con las reglas de evolucin del modelo correspondientes al esquema Lattice Gas que segn la expansin de Chapman-Enskog.

5 RECONOCIMIENTOS Esta investigacin hace parte trabajo de tesis del Ingeniero Andrs Eraso, para la obtencin del ttulo de Master

en Mtodos Numricos del CIMNE UPC Espaa, dirigido por el Dr. Antonio Gens [6].

6 REFERENCIAS

[1] Bowles, J., Foundation Analysis and design, Mc. Graw Hill Companies, Inc. United States, p.p. 1134, 1997. [2] Avella O.J., Simulacin de la Sinapsis inhibidora mediada por GABA utilizando Autmatas Celulares, Trabajo de Tesis

Magister de Ciencias Fsicas, Director Jos Daniel Muoz Castao, Departamento de Fsica, Universidad Nacional, Bogot D.C., Colombia, p.p. 70. 2006.

[3] Avella O.J. Fayad R., y J.D. Muoz, Simulacin De Potenciales De Placa En Miniatura Utilizando Autmatas Celulares, Revista Colombiana de Fsica, Vol. 38, No. 3, p.1291-1294, 2006.

[4] B. Chopard & M. Droz, Cellular Automata Model for the Diffusion Equation, Journal of Statistical Physics, Vol. 64, Nos 3/4, 1991.

[5] De Boer, R.; Shiffman, R. L.; Gibson, R. E. The origins of the theory of consolidation: the Terzaghi Fillunger dispute. Geotechnique, Vol. 47, No. 4, pgs. 893-895, (1997).

[6] Eraso B., Andrs, Modelacin del problema de consolidacin unidimensional por medio del modelo numrico de autmatas celulares, Tesis de Maestra en mtodos numricos en Ingeniera, CIMNE (International Center For Numerical Methods In Engineering) UPC, dirigido por el Dr. Antonio Gens, Espaa 2010.