modelagem das equações de fluxo, bidimensional, para...
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RELATÓRIO FINAL
Modelagem das equações de fluxo,
bidimensional, para reservatórios de óleo leve
Aluno: Bruno Augusto Gomes
Orientadora:Prof. Dra. Jennys Lourdes Meneses Barillas
NATAL/RN DEZEMBRO /2012
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
PROGRAMA DE RECURSOS HUMANOS DA AGÊNCIA NACIONAL DO PETRÓLEO
Programa de Recursos Humanos em Engenharia de Petróleo
Sumário 1‐ Introdução ................................................................................................................................. 1
2‐ Revisão Bibliográfica ................................................................................................................. 4
2.1 Fluxo em meios porosos ...................................................................................................... 4
2.2 Equação da Continuidade ................................................................................................... 5
2.3 Equação de Darcy ................................................................................................................ 6
2.4 Equações de Estado ............................................................................................................. 6
2.5 Soluções da Equação da Difusividade ................................................................................. 7
2.5.1 Fluxo Linear .................................................................................................................. 8
2.5.2 Fluxo Radial .................................................................................................................. 9
2.6 Condições de contorno .................................................................................................... 10
2.7 Simulação numérica de reservatórios ............................................................................... 10
2.7.1 Etapas da Simulação Numérica de Reservatórios .......................................................... 12
2.8 Classificações do óleo .................................................................................................... 12
3‐ Discretização das variáveis .............................................................................................. 13
3.1 Discretização das equações de fluxo ............................................................................. 13
3.2 Discretização do Tempo ............................................................................................... 17
3.3 Formulação Explicita .................................................................................................... 18
3.4 Matriz de transmissibilidade ......................................................................................... 18
3.5 Resoluções das equações de transmissibilidade: .......................................................... 20
4‐ Estudo de Caso ‐ Montagem de um reservatório sintético e homogêneo ............................. 21
5‐ Análises de Resultados ............................................................................................................ 23
5.1 Analises e resultados do simulador BPrh‐43 ................................................................. 23
5.2 Validação de resultados do simulador BPRh – 43 ......................................................... 24
6‐ Conclusões .............................................................................................................................. 27
7‐ Bibliografias ............................................................................................................................. 28
8‐ Programa ................................................................................................................................. 30
1-Introdução: Na última década, a simulação numérica de reservatórios tornou-se uma
ferramenta amplamente utilizada para realização de previsões de comportamento de
reservas petrolíferas sob diferentes aspectos físicos do reservatório (dimensões,
formas, variações de propriedades), podem também serem obtidas informações
quanto o comportamento atual e futuro da reserva, em termos de pressão, vazão de
produção, ou até mesmo, desenvolver soluções para diversas situações em que os
reservatórios podem se encontrar. (Leitão, 1998)
Além disto, tem proporcionado uma melhoria da descrição dos reservatórios
através do ajuste de histórico de produção e um entendimento mais apurado dos
mecanismos de produção e padrões gerais de fluxo.
A simulação numérica de fluxo de fluidos em reservatórios de petróleo já
demonstrou ser um instrumento de extrema importância na avaliação e
desenvolvimento de áreas existentes e recém-descobertas. Utilizando modelos
matemáticos e computacionais é possível aperfeiçoar o processo de produção e
prever o comportamento do reservatório. Geralmente, isto é dificultado pelo tamanho
do reservatório, pelo número de poços, pela qualidade e quantidade dos dados que
garanta a confiabilidade da simulação e isso freqüentemente esbarra nos limites
impostos pelo equipamento computacional disponível.
Motivação para a realização deste trabalho:
- A crescente descoberta de jazidas com grande potencial de produção,
- Demanda de modelos computacionais e matemáticos capazes de retratar
parâmetros dos reservatórios com qualidade e eficiência.
- Gerar uma ferramenta para ajudar na tomada de decisão da escolha da melhor
maneira de recuperação do óleo, quando o interesse se concentra em uma
determinada região do reservatório;
2- Revisão Bibliográfica 2.1 Fluxo em meios porosos O conhecimento das leis que regem os movimentos dos fluidos nos meios porosos
é fundamental para a obtenção de informação a respeito de uma acumulação de
petróleo após a sua descoberta.
Desta forma, adicionalmente, ao descobrir uma acumulação de petróleo deve-se
estimar a quantidade de hidrocarbonetos e o tempo de produção desta jazida, sendo
necessário o conhecimento das leis que regem o movimento dos fluidos nos meios
porosos. Para as diversas situações em que os reservatórios se encontram são
desenvolvidas soluções que se baseiam em uma equação conhecida como equação
da difusividade hidráulica ou simplesmente equação da difusividade. Ela é obtida a
partir da associação de três equações: da equação da continuidade, que é uma
equação de conservação de massa; da equação de Darcy, que é uma equação de
transporte de massa; e, de uma equação de estado, que tanto pode ser uma lei dos
gases como a equação da compressibilidade para o caso dos líquidos.
Para a obtenção da equação da difusividade hidráulica admitiu-se a hipótese de o
meio poroso ser homogêneo e isotrópico. Além disso, o fluxo deve ser estritamente
horizontal e isotérmico, o poço deve penetrar totalmente a formação, a permeabilidade
deve ser constante, deve haver pequenos gradientes de pressão, o fluido e a rocha
devem ter compressibilidade pequena e constante, a viscosidade do fluido deve ser
constante, as forças gravitacionais desprezíveis e, por fim, fluidos e rochas não
reagentes entre si.
Para o desenvolvimento das equações será utilizado um elemento de meio poroso
através do qual está ocorrendo o fluxo de um fluido, cuja saturação é igual a 100%, ou
seja, é o único fluido presente no meio. O elemento em questão tem a forma de um
paralelepípedo com dimensões Δx, Δy e Δz, e o fluxo através do mesmo será
estudado durante um intervalo de tempo Δt (ROSA et al., 2006).
Figura 1- Elemento de um meio poroso. (Fonte: ROSA et al., 2006)
2.2 Equação da Continuidade A equação da continuidade afirma, basicamente, que a diferença entre a massa que
entra e a massa que sai nas três direções de fluxo é igual à variação de massa dentro
do meio poroso no Δt considerado.
Ela é descrita por:
( ) ( ) ( ) ( )ϕρρρρt
Vzz
Vyy
Vxx ∂
∂−=
∂∂
+∂∂
+∂∂
(1)
onde νx , νy , e νz são as velocidades aparentes do fluido nas direções x , y e z
respectivamente, ρ é a massa específica e φ é a porosidade. As velocidades
aparentes do fluido são descritas por:
zy
qxVxΔΔ
= (2)
zxqyVyΔΔ
= (3)
yx
qzVzΔΔ
= (4)
onde qx, qy e qz são as vazões de entrada e de saída nas três direções.
2.3 Equação de Darcy Em 1856, em Dijon, França, Henry Darcy a partir de uma das suas experiências
apresentou uma relação matemática que se tornou a base para a compreensão do
fenômeno do escoamento de fluidos através de meios porosos. Em seus
experimentos, Darcy estudou o fluxo de água através de um filtro de areia horizontal. A
formulação geral dessa lei é usualmente feita na forma diferencial, deste modo:
dldpkV
μ= (5)
onde ν é a velocidade macroscópica do fluxo, µ é a viscosidade do fluido, k é a
constante de permeabilidade do meio e dp/ dl é o gradiente de pressão na direção do
fluxo.
Para os casos em que os efeitos gravitacionais sobre o fluxo são desprezíveis, a
seguinte equação diferencial para o escoamento do fluido pode ser obtida:
( )ϕρμ
ρμ
ρμ
ρtz
pkzzy
pkyyx
pkxx ∂
∂=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
(6)
onde kx , ky , kz são as permeabilidades do meio poroso nas direções x , y e z
,respectivamente.
2.4 Equações de Estado As equações de estado são aquelas que representam as compressibilidades dos
fluidos e da rocha, para o caso dos líquidos.
A compressibilidade dos fluidos é dada por:
dpdCf ρ
ρ1
= (7)
e a compressibilidade da rocha é dada por:
dpdCr ϕ
ϕ1
= (8)
Assim, a compressibilidade total do meio é dada pela soma dessas duas
compressibilidades:
CrCfCt += (9)
A introdução das equações (7), (8) e (9) na equação diferencial do escoamento (6) e a
consideração de que a compressibilidade e a viscosidade do fluido são constantes,
permitem a conclusão:
tpCt
zpkz
zypky
yxpKx
x ∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ϕμ (10)
A equação (10) pode ser também escrita em termos da pressão do fluido no
reservatório:
tpCt
zpkz
zypky
yxpKx
x ∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ϕ (11)
Para um meio poroso homogêneo e isotrópico, as permeabilidades nas três
direções são iguais, ou seja, kx=ky=kz=k. Além disso, tanto a compressibilidade do
líquido como os gradientes de elevação são, em geral, valores muito pequenos, de
modo que, quando elevados ao quadrado, resultam em termos muito menores ainda.
Assim, mostram-se desprezíveis quando comparados com os outros termos da
equação, o que está de acordo com o desenvolvimento deste trabalho, onde se
considera o fluido incompressível. Assim, a equação da difusividade hidráulica pode
ser escrita de forma mais compacta como:
tp
zp
yp
xp
∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
η1
²²
²²
²²
(12)
onde η é a constante de difusividade hidráulica e é dada por:
Ct
kϕμ
η = (13)
2.5 Soluções da Equação da Difusividade As soluções da equação da difusividade podem ser dadas para sistemas lineares
e radiais. Nesse trabalho, o único regime de fluxo tratado é o permanente, assim só
serão apresentadas soluções nesse regime. Deve ser salientado que as soluções a
serem apresentadas foram todas obtidas considerando-se que a vazão no ponto de
coordenada x = 0 para o caso de fluxo linear, ou r = rw (raio do poço) no fluxo radial, é
constante.
2.5.1 Fluxo Linear Para um sistema de fluxo linear, ou seja, quando há apenas uma direção de fluxo,
a direção x, por exemplo, os termos referentes às direções y e z são iguais a zero e a
equação da difusividade se reduz a:
tp
kCt
xp
∂∂
=∂∂ ϕ
²²
(14)
As equações para fluxo linear permanente descrevem o movimento de um fluido em
um meio poroso linear limitado, de comprimento L e área aberta ao fluxo A.
Figura 2- Fluxo linear em um reservatório com alimentação no limite externo. (Fonte: ROSA et al.,
2006)
Nesse regime de fluxo, tanto a vazão quanto a pressão não variam com o tempo.
Assim, a equação da difusividade toma o aspecto:
0²
²=
∂∂
xp
(15)
Assim, inserindo as condições de contorno para as pressões e resolvendo para
pressão e para a vazão, a solução da equação da difusividade para regime de fluxo
linear e permanente pode ser escrita, de forma reduzida, como:
PL
kAq Δ=μ
(16)
Onde:
PwPeP −=Δ (17)
2.5.2 Fluxo Radial Admitindo-se que não há fluxo no sentido vertical, a equação da difusividade pode ser
escrita, em coordenadas cilíndricas, como:
tp
kCt
rpr
rr ∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ϕμ1
(18)
As equações para regime permanente descrevem o movimento do fluido em um meio
poroso cilíndrico, de raio da base igual a re e altura h, com um poço de raio rw situado
no seu centro.
Figura 3 - Fluxo radial permanente. (Fonte: ROSA et al., 2006)
Novamente, em regime de fluxo permanente, tanto a vazão quanto a pressão não
variam com o tempo. Assim, a equação da difusividade toma o aspecto:
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
rpr
rr1
0 (19)
Assim, inserindo as condições de contorno para as pressões e resolvendo para
pressão e para a vazão, a solução da equação da difusividade para regime de fluxo
radial e permanente pode ser escrita, de forma reduzida, como:
( ) Prw
rekhq Δ
Π=
ln2
μ (20)
2.6 Condições de contorno Para que as equações de Darcy e da continuidade sejam utilizadas é necessário
estabelecer as condições de contorno inicias e de contorno.
Para modelar o reservatório, o estado inicial (condições iniciais) e a interação deste
com a sua vizinhança devem ser conhecidos (Aziz e Settari,1979). Em muitas
situações um conhecimento detalhado destas condições é requerido para obter
estimativas reais. As condições de contorno podem ser de dois tipos:
• Condições de contorno Dirichlet: quando a pressão de fluido é especificada na
fronteira do reservatório ou no poço.
• Condições de contorno Neumann: neste caso a taxa de fluxo na fronteira é
conhecida.
2.7 Simulação numérica de reservatórios O principal objetivo de um estudo de engenharia de reservatório é prever o
desempenho futuro da jazida, definindo métodos e meios para aumentar, da forma
mais econômica possível, sua recuperação final.
Os métodos clássicos, empregados desde os primórdios da Engenharia de Petróleo
e ainda importantes nos dias de hoje, tratavam o reservatório como um todo
homogêneo através da utilização de propriedades médias, não levando em
consideração variações espaciais e temporais.
O advento da simulação numérica proporcionou a possibilidade de detalhar-se esta
análise através da subdivisão do reservatório em blocos menores com propriedades
individualizadas. Este fato propiciou a incorporação do modelo geológico permitindo a
definição de regiões com propriedades de fluido e rocha distintas. Dentro deste
enfoque a resposta do problema passou a ser obtida pela solução das equações de
fluxo para cada elemento.
Esta tecnologia encontra-se em constante evolução de modo a propiciar uma
melhoria da caracterização dos reservatórios estudados. Este ganho de qualidade é
obtido a partir do desenvolvimento de simuladores mais completos, técnicas
computacionais otimizadas, computadores mais rápidos, facilidades gráficas, etc.
(Pizarro, 1992).
Os simuladores de reservatórios são programas de computador para a resolução
de equações de fluxo de massa e calor em meios porosos, que obedecem a
determinadas condições iniciais e de contorno.
A Simulação de Reservatórios é uma ferramenta muito importante para modelar
fluxo em meios porosos, auxiliar na caracterização de reservatórios e identificação de
barreiras e de propriedades próximas aos poços. Deste modo, através do uso de um
simulador pode-se obter um ajuste de histórico e uma previsão de produção para o
reservatório. A análise dos resultados de uma simulação permite definir um plano de
desenvolvimento para o reservatório que aperfeiçoe uma função-objetivo econômica
ou técnica. Possibilita também avaliar o comportamento do reservatório com maior
confiabilidade.
O número e tipo de equações que serão resolvidas pelo simulador são função de:
características geológicas do reservatório, características do fluido, processo de
recuperação, do tempo e capacidade computacional disponíveis e dos recursos
financeiros disponíveis.
Ao construir o modelo de simulação devem ser considerados os seguintes fatores:
objetivos do estudo, complexidade do problema, qualidade desejada para a descrição,
quantidade e qualidade dos dados de produção, precisão requerida, tempo e custo. As
principais limitações impostas são: capacidade computacional (número e tamanho dos
blocos e número de componentes) e quantidade e qualidade das informações
disponíveis (dados geológicos e de produção).
O modelo de simulação resulta da combinação de 4 modelos que serão descritos a
seguir.
· Modelo Físico: engloba as características do reservatório (rochas/fluidos), o
processo de recuperação, a aplicação da conservação de massa, energia e
quantidade de movimento, o número de componentes presentes;
· Modelo Matemático: representa através de equações os processos observados no
modelo físico;
· Modelo Numérico: que será aplicado para a discretização, solução aproximada, das
equações matemáticas;
· Modelo Computacional: tradução do modelo numérico em linguagem de máquina.
(Schiozer, 1995).
2.7.1 Etapas da Simulação Numérica de Reservatórios
Antes de qualquer sistema físico ser modelado ele deve ser adequadamente
definido. Os principais passos neste sentido são:
• Caracterização do Modelo Geológico: Utilização de dados sísmicos, mapas,
perfis, testemunhos, conhecimento dos sistemas posicionais, estudo de
afloramentos, etc.
• Caracterização do Modelo Hidráulico: Investigação da continuidade dos
reservatórios, existência de fraturas, direções preferenciais de fluxo, barreiras
de transmissibilidade, etc. Grande parte destas informações pode ser obtida
pela análise dos dados de produção e pressão e através de testes de formação
planejados e interpretados.
• Coleta e Tratamento dos dados de rocha e fluidos.
De posse destas informações pode-se passar para a etapa seguinte:
• Escolha do simulador mais apropriado.
• Definição da modelagem a ser adotada: Malha de simulação, número de
camadas, regiões de fluido e rocha, etc.
• Ajuste do histórico de produção e pressões: São realizados ajustes no modelo
de simulação, de modo que os resultados obtidos por meio da simulação se
tornem bem próximos dos dados reais de produção do reservatório.
• Previsão do comportamento futuro: Tem como principal objetivo determinar as
condições de operação ótimas que serão utilizadas na recuperação de
hidrocarbonetos do reservatório.
2.8 Classificações do óleo O Grau API é uma escala hidrométrica criada pelo American Petroleum Institute
(API), ela é utilizada para medir a densidade relativa de óleos e derivados, e como o
petróleo se trata de um óleo viscoso, podemos usá-la para classificá-lo. A escala API é
medida em graus e permite definir o petróleo como:
• Petróleo leve: Possui ºAPI maior que 30, constituído basicamente por alcanos, e uma
porcentagem de 15 a 25% de cicloalcanos.
• Petróleo médio: Grau ºAPI de 22 a 30. Além de alcanos, contém de 25 a 30% de
hidrocarbonetos aromáticos.
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4 Estudo de Caso Montagem de um reservatório sintético e homogêneo
Este capítulo tem como objetivo a aplicação das equações de escoamento bifásico
em um reservatório de petróleo bidimensional e hipotético.
Para reproduzir o fenômeno físico do escoamento de fluidos em meio poroso de
forma similar aos reservatórios reais, para avaliar a eficiência de simuladores e seus
resultados, o modelo criado para este projeto leva em consideração um grande
número de homogeneidades nos seus parâmetros, como espessura das camadas,
porosidade, permeabilidade, produtividade entre outros.
4.1 Dados de entrada do modelo de simulação As propriedades do fluido e da rocha utilizadas neste modelo têm como objetivo
validar o simulador criado.
4.2 Propriedades da Rocha A tabela 1 abaixo representa as propriedades mais importantes relativas à rocha
reservatório que foram modelo utilizado pelo simulador:
Parâmetros Dados
Porosidade 20%
Permeabilidade 90 mD
Compressibilidade da Rocha 3,5E-06 psi-1
Profundidade 2000 ft
Tabela 1 – Propriedades da rocha
4.3 Propriedades do Fluido A tabela abaixo apresenta as propriedades do fluido que foram utilizadas para
inicializar o modelo, considerando que as mesmas variam com o tempo e a produção.
Parâmetros Dados
Saturação de água 0.2
Saturação de óleo 0.8
Viscosidade da água 1.0 cP
Grau API do óleo 41⁰
Densidade da água 1000 kg/m3
Densidade do óleo 820 kg/m3
Fator volume de formação da água 1.03 m3 std/m3
Fator Volume de formação do óleo 1.30 m3 std/m3
Tabela 2 – Propriedades dos fluidos
5 Análises de Resultados
5.1 Analises e resultados do simulador BPrh43 O histórico de produção apresentado na Figura 5 abaixo mostra que, após os 10
anos de produção, a vazão de óleo cai quase que 100% do seu valor inicial,
declinando de 800 bbl/d para 4.37 bbl/d. Tal resultado já mostra certa coerência em
relação ao conhecimento teórico sobre declínio.
Figura 5 – Vazão de óleo durante 10 anos
Figura 6 – Produção acumulada óleo durante 10 anos
0,00100,00200,00300,00400,00500,00600,00700,00800,00900,00
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
Vazão
de óleo
(bbl/d)
Tempo (anos)
Vazão de óleo
0,00E+00
2,00E+05
4,00E+05
6,00E+05
8,00E+05
1,00E+06
1,20E+06
1,40E+06
1,60E+06
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Np (bbl)
Tempo (anos)
Produção acumulada de óleo
5.2 Validação de resultados do simulador BPRh – 43 Para verificar se o modelo matemático utilizado no simulador BPRh-43 é coerente,
este etapa irá comparar alguns resultados do simulador criado com um simulador
comercial que é bastante utilizado pelas companhias de petróleo. O software é o
Petrel 2010.1 e o simulador é o ECLIPSE 2010.1. Ambos pertencentes à empresa
Schlumberger.
Abaixo segue o as etapas de simulação por simuladores comercias:
Figura 7 – Etapas realizadas No caso do BPRh-43, a entrada de dados, bem como a simulação é feita no
próprio programa. Vale ressaltar ainda que, o ECLIPSE simula pelo método das
diferenças finitas o mesmo método utilizado na programação feita no BPRh-43.
Entretanto, a solução das diferenças finitas utilizada na programação do BPRh-43 foi a
solução explicita, já no simulador comercial, é utilizado o método das diferenças finitas
de solução implícita. As simulações realizadas em ambos simuladores foram baseadas na estrutura do
reservatório, nas propriedades do fluido, da rocha e nas condições iniciais pré-
estabelecidas.
Petrel (entrada de dados)
• Modelo Geológico
• Propriedades da rocha
• Propriedades dos fluidos
Eclipse
• Equações de fluxo
• Aplicação do método das diferenças finitas
Petrel (Visualizar resultados)
• Vazão
• Produção acumulada
Todavia, a validação será feita comparando a coerência dos resultados em cinco
anos de simulação. Serão mostrados os resultados obtidos no BPRh-43 e no Eclipse,
respectivamente. As comparações aqui feitas serão com base:
• Vazão de produção Óleo;
• Produção Acumulada de Óleo
Na figura 8 abaixo que representa a Vazão de óleo versus Tempo entre os dois
simuladores, podemos perceber que ocorre uma diferença numérica entre as vazões,
porém as curvas simuladas possuem comportamentos similares, divergindo apenas
por uma queda de vazão após o segundo ano de simulação do Eclipse que depois se
mantém em um patamar constante, assim como no BPRh-43.
Figura 8 – Comparação de vazão óleo versus tempo
0,00
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
700,00
800,00
900,00
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
Vazão
(bbl/d)
Tempo (anos)
Comparação Vazão x Tempo
Eclipse
BPRh‐43
Figura 9 – Comparação de Produção acumulada de óleo
A figura 9 acima compara a coerência dos resultados entre o simulados BPRh-43 e
o simulador comercial. A comparação entre as curvas geradas pelo ECLIPSE e pelo
BPRh-43 nos mostra uma tendência de comportamento similar, levando-se em
consideração a diferença no método de diferenças finitas empregado nos simuladores.
Podemos então perceber uma coerência relevante nos resultados obtidos no
programa criado, chamado de BPRh-43, como pudemos ver na análise de vazão e
produção acumulada de óleo.
0,00E+00
2,00E+05
4,00E+05
6,00E+05
8,00E+05
1,00E+06
1,20E+06
1,40E+06
1 2 3 4 5
NP (bbl)
Tempo (anos)
Comparação Produção Acumulada Óleo
BPRh ‐ 43
Eclipse
6 Conclusões A simulação de reservatórios é sem duvida um importante passo para a exploração
de campos de petróleo. O modelo proposto por este presente projeto mostrou
resultados extremamente positivos no que diz respeito à resultados de vazão e
produção acumulada de óleo.
Existem muitos desafios para a continuação deste projeto, como: reservatório
anisotrópico, grid tridimensional.
Este é o início de um trabalho. O modelo matemático (método das diferenças
finitas) é coerente como pode se verificar e agora as sofisticações podem começar a
ser feitas, já que, na Engenharia de Petróleo os aperfeiçoamentos devem ser
contínuos, tendo em vista o melhoramento do simulador para tornar os resultados
cada vez mais precisos e confiáveis.
Após comparar dois parâmetros vazão e produção acumulada de óleo, podemos
concluir que o simulador denominado BPRh – 43 e válido, tendo poucas variações nos
resultados quando comparado com um simulador comercial. Para estudos mais
precisos, é necessário realizar um estudo de estabilidade do método de diferenças
finitas, com a solução explícita, para avaliar as limitações do simulador criado.
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ROSA, A. J. et al., Engenharia de Reservatórios de Petróleo. Editora Interciência, Rio
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USA, 6-9 October.
8 Programa C******************************************************************* C**** NATAL 29.11.11 **** C**** SIMULATION OF ONE-PHASE FLOW IN A HORIZONTAL **** C**** ONE-DIMENSIONAL **** C**** **** C**** BUILDER:BRUNO GOMES **** C**** ORIENTADORA:JENNYS BARRILHAS **** C******************************************************************* PROGRAM BLACK OIL C-----EXPLICIT PROGRAM C C-----DECLARATIONS C REAL P(25),PNEW(25),X(25),A(25),B(25),C(25),D(25) REAL POR,PERM,VISC,COMPR,L,PL,PR,PINIT,DT,TMAX,PI,DX C C-----INITIALISATION OF PARAMETERS C DATA POR/0.2/,PERM/1.0/,VISC/1.0/,COMPR/0.0001/,L/100./,PL/2.0/ *,PR/1.0/PINIT/1.0/,DT/0.0005/,N/10/,TMAX/0.01/,IPRINT/1/ INTEGER ISW,I,N,J DATA PI/3.14159/ C 31 DX=L/N T=0. CONST=DT/DX/DX*PERM/POR/VISC/COMPR ALPHA=1./CONST ISW=0 DO 5 I=1,N P(I)=PINIT PNEW(I)=PINIT 5 X(I)=L*I/N-L/N/2. C C-----OPEN OUTPUT FILE C OPEN(10,FILE=OUT,STATUS='UNKNOWN') C C-----TIME LOOP C DO 200 J=1,1000 ISW=ISW+1 T=T+DT C-----------------------------------TRANSMISSIBILITIES IF(I.NE.1)THEN TXOM(I)=2.*LAMOM/(DX(I)/PERM(I)+DX(I-1)/PERM(I-1))/DX(I) TXWM(I)=2.*LAMWM/(DX(I)/PERM(I)+DX(I-1)/PERM(I-1))/DX(I) ELSE TXOM(I)=2.*LAMOM/DX(I)*PERM(I)/DX(I) TXWM(I)=2.*LAMWM/DX(I)*PERM(I)/DX(I) C----------------------------INJECTION OF WATER AT LEFT SIDE C----------------------------REQUIRES SUM OF TRANSMISSIBILITIES TXWM(I)=TXWM(I)+TXOM(I) ENDIF C IF(I.NE.N)THEN TXWP(I)=2.*LAMWP/(DX(I+1)/PERM(I+1)+DX(I)/PERM(I))/DX(I) TXOP(I)=2.*LAMOP/(DX(I+1)/PERM(I+1)+DX(I)/PERM(I))/DX(I) ELSE
TXOP(I)=2.*LAMOP/DX(I)*PERM(I)/DX(I) TXWP(I)=2.*LAMWP/DX(I)*PERM(I)/DX(I) ENDIF C-----------------------------------STORAGE COEFFICIENTS CPOO(I)=(1.-SW(I))*PHI(I)*(CR*BO(I)+DBO(I))/DT CSWO(I)=-PHI(I)*BO(I)/DT CPOW(I)=SW(I)*PHI(I)*(CR*BW(I)+DBW(I))/DT CSWW(I)=PHI(I)*BW(I)/DT-CPOW(I)*DPCOW(I) C-----------------------------------MATRIX COEFFICIENTS ALFA=-CSWO(I)/CSWW(I) A(I)=TXOM(I)+ALFA*TXWM(I) C(I)=TXOP(I)+ALFA*TXWP(I) IF(I.NE.1)THEN B(I)=-(TXOP(I)+TXOM(I)+CPOO(I)) * -(TXWP(I)+TXWM(I)+CPOW(I))*ALFA ENDIF IF(I.NE.N.AND.I.NE.1)THEN D(I)=-(CPOO(I)+ALFA*CPOW(I))*PO(I) * +ALFA*(TXWP(I)*(PCOW(I+1)-PCOW(I)) * +TXWM(I)*(PCOW(I-1)-PCOW(I))) ENDIF IF(I.EQ.1.AND.IBC.EQ.2)THEN D(I)=-(CPOO(I)+ALFA*CPOW(I))*PO(I) * +ALFA*(TXWP(I)*(PCOW(I+1)-PCOW(I))+QWI/DX(I)/AREA) B(I)=-(TXOP(I)+CPOO(I)) * -(TXWP(I)+CPOW(I))*ALFA ENDIF IF(I.EQ.1.AND.IBC.EQ.1)THEN D(I)=-(CPOO(I)+ALFA*CPOW(I))*PO(I) * +ALFA*(TXWP(I)*(PCOW(I+1)-PCOW(I))+TXWM(I)*(PL+PCOW(1))) B(I)=-(TXOP(I)+CPOO(I)) * -(TXWP(I)+TXWM(I)+CPOW(I))*ALFA ENDIF IF(I.EQ.N)THEN D(I)=-(CPOO(I)+ALFA*CPOW(I))*PO(I) * -(TXOP(I)+ALFA*TXWP(I))*PR * +ALFA*TXWM(I)*(PCOW(I-1)-PCOW(I)) ENDIF C C-----EXPLICIT SOLUTION C PNEW(1)=P(1)+CONST*(P(2)-3.0*P(1)+2.0*PL) PNEW(N)=P(N)+CONST*(2.0*PR-3.0*P(N)+P(N-1)) DO 7 I=2,N-1 7 PNEW(I)=P(I)+CONST*(P(I+1)-2.0*P(I)+P(I-1)) C C-----PRINT (?) C IF(ISW.NE.IPRINT)GO TO 99 ISW=0 WRITE(10,100)T,PL,(PNEW(I),I=1,N),PR 100 FORMAT(50F10.4) 99 CONTINUE C C-----END (?) C IF(T.GE.TMAX)STOP C
C-----UPDATING OF PRESSURES C 13 DO 14 I=1,N 14 P(I)=PNEW(I) 200 CONTINUE END