modelagem matemática de sistemas elétricos. analogias...

Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos. Analogias Eletromecânicas1

1 INTRODUÇÃO

Os sistemas elétricos são compoum controlador de um driver de necessitam de certos circuitoscircuitos elétricos como sinônimElétricos, onde o estudo é feitoseja suficiente para a compreeneletromecânicas, eletro-hidráulieletromecânicos a serem estuda

2 ELEMENTOS ELÉTRICO

Para modelar um sistema elétric

As relações elementares de vol

Resistor (Lei de Ohm)

(1) eA

Indutor

(2)

Capacitor

(3)

onde R, L e C são a resistência, a

08

eA

-eA

Modelagem Matemática deSistemas Elétricos.

Analogias Eletromecânicas

nentes essenciais de muitos sistemas dinâmicos complexos. Por exemplo,disco de um computador ou o controlador da velocidade de um automóvel elétricos para funcionar. Usaremos os termos sistemas elétricos eos. Tendo em vista que existe no currículo uma disciplina de Circuitos com muito mais profundidade, aqui faremos apenas uma abordagem quesão das analogias que existem entre certos sistemas dinâmicos (analogiascas, eletro-pneumáticas, eletrotérmicas, etc.), assim como dos sistemasdos posteriormente.

S PASSIVOS

o precisamos conhecer os seus componentes elétricos passivos.

tagens são:

– eB = R iR

indutância e a capacitância, respectivamente.

dtdi

L e - LB =

dtiC1 e

t

0CB ∫=


As relações elementares de correntes são:

Resistor (Lei de Ohm)

(4)

Indutor

(5)

Capacitor

(6)

3 MODELAGEM DE CIRCUITOS ELÉTRICOS. LEIS DE KIRCHHOFF

A modelagem matemática de um sistema elétrico simples é feita aplicando-se as Leis de Kirchhoff: a Leidos Nós e/ou a Lei das Malhas.

Modelagem Matemática pelo Método dos Nós

Aplica-se a Lei dos Nós a cada nó do circuito elétrico:

Exemplo 1

No circuito da fig. 1, o interruptor S é fechado no instante t = 0. Achar o modelo matemático, sendo E aentrada e as tensões eA e eB as saídas.Considerar: 2R1 = R2 = R3

R3C = 1 E = 12 v

Re -e i BA

R =

dt)ee(L1 i B

t

0AL −= ∫

dt)ee(dC i BA

L−

=

A soma das correntes que entram em um nó de um circuito elétrico é igual àsoma das correntes que saem do mesmo nó

Fig. 1


Solução

Referência para voltagem: no nó D eD = 0

Lei dos Nós aplicada ao nó A:(a) i1 = i2 + i3

Usando as equações das correntes:

Levando essas três últimas equações na eq. (a):

(b)

Por outro lado, temos no ponto B:

logo(c)

Substituindo os dados do enunciado na

(d)

Analogamente, levando na eq. (c):(e)

Eliminando eA nas eqs. (d) e (e), chega

(f)

Assim, o modelo matemático é compos

Modelagem Matemática pelo Método d

Aplica-se a Lei dos Malhas a cada ma

1

A1 R

eE i −=

2

A

2

DA2 R

eR

ee i =

−=

3

BA3 R

ee i −=

BAAA eeeeE −−

i3

A soma das quedas de voltagsoma das voltagen

eq. (b), chegamos a

4eA – eB = 24

m

to

a

lh

321 RR

R+=

dtde

Cdt

)ee(dC BDB =

−=

dtde

CRee B3BA =−

.

es

os à EDOL de primeira ordem

pela EDOL (f) e pela equação algébrica (d).

s Malhas

a do circuito elétrico:

BAB eee −=

6e75,0e B.B =+

m em uma malha de um circuito elétrico é igual à que são introduzidas na mesma malha


Exemplo 2

No circuito RL série da fig. 2 o interruptor S é fechado no instante t = 0. Achar o modelo matemático,sendo E a entrada e i(t) a saída.

Fig. 2

Solução

Lei das Malhas: eL + eR = E

Usando as equações das voltagens, chegamos a

(a)

Vemos que se trata de uma EDOL de primeira

4 ANALOGIAS ELETROMECÂNICAS

Até agora, estudamos os sistemas mecânicomatemáticas. Vamos, a seguir, estabelecer cque permite definir o que chamamos analogia

Dois sistemas físicos são análogos (duais) seja, pelo mesmo conjunto de equações difere

Os sistemas análogos caracterizam-se posubmetidos a excitações do mesmo tipo. Essanálise e projeto, trabalhar experimentalmenmecânico que está sendo projetado, antes dmais caro). O dimensionamento do circuito Dimensional e Semelhança.

O conceito de sistemas análogos é bemeletrotérmica, eletropneumática, etc.

No que diz respeito à analogia eletromecânicLei de Kirchhoff dos nós, e a analogia força-v

di

ordem bastante simples.

s e os sistemas elétricos, apresentando suas modelagensertas características comuns aos dois tipos de sistemas, oeletromecânica.

quando são descritos pelo mesmo modelo matemático, ounciais ou pela mesma função de transferência.

r apresentarem a mesma forma de resposta quandoe fato é de extrema importância, pois permite, nas fases dete com o circuito elétrico (mais barato) análogo do sistemaa implementação do protótipo do sistema mecânico (muitoelétrico análogo é feito com base na Teoria da Análise

mais amplo: podemos ter analogias eletro-hidráulica,

a, temos dois tipos: a analogia força-corrente, com base naoltagem, amparada na Lei de Kirchhoff das malhas.

ERidt

L =+


5 ANALOGIA FORÇA-VOLTAGEM

Vamos considerar o sistema mecânico massa-mola-amortecedor com um GDL e o sistema elétricoresistor-indutor-capacitor série, mostrados na fig. 3:

Sistema mecânico Circuito elétrico

Fig. 3

Os modelos matemáticos dos dois sistemas, conforme já vimos, são:

Sistema Mecânico Sistema Elétrico

(a) Sistema translacional:

)t(fkxxcxm...

=++

(b) Sistema rotacional:

)t(TKCJ...

=θ+θ+θ

)t(eidtC1Ri

dtdiL

t

0=++ ∫

ou, como dtdqi = ⇒ q

tdqd

dtdi ..

2

2==

⇒ ∫ =t

0qidt

então )t(eqC1qRqL

...=++

Examinando os modelos matemáticos dos sistemas mecânico e elétrico, verificamos que os mesmos sãocompostos pelas mesmas equações diferenciais, a menos dos símbolos utilizados. Pela posição que ocupamnas equações, podemos facilmente estabelecer as quantidades análogas dos dois sistemas:



Força f (ou Torque T)Massa m (ou Inércia J)

Coef. Amortecimento Viscoso c (ou C)Rigidez k (ou K)

Deslocamento x (ou θ)Velocidade ,.

ou x θ

Aceleração,...

ou x θ

Voltagem eIndutância LResistência R

Inverso da Capacitância 1/CCarga elétrica q

Corrente elétrica iVariação di/dt

6 ANALOGIA FORÇA-CORRENTE

Vamos considerar, agora, o mesmo sistema mecânico massa-mola-amortecedor com um GDL e o sistemaelétrico resistor-indutor-capacitor paralelo, mostrados na fig. 4:

Sistema mecânico Circuito elétrico

Fig. 4

Semelhantemente ao caso anterior, podemos ter os dois modelos matemáticos:



(a) Sistema translacional:

)t(fkxxcxm...

=++

(b) Sistema rotacional:

)t(TKCJ...

=θ+θ+θ

iC + iR + iL = i

iedtL1

Re

dtdeC

t

0=++ ∫

ou, como dtde ψ

= onde ψ = fluxo magnético

⇒ ψ=..

dtde e ψ=∫

t0edt

então )t(iL1

R1C

...=ψ+ψ+ψ

Analogamente, podemos facilmente estabelecer as quantidades análogas dos dois sistemas:


Força f (ou Torque T)Massa m (ou Inércia J)

Coef. Amortecimento Viscoso c (ou C)Rigidez k (ou K)

Deslocamento x (ou θ)Velocidade ,.

ou x θ

Aceleração,...

ou x θ

Corrente elétrica iCapacitância C

Inverso da Resistência 1/RInverso da Indutância 1/L

Fluxo magnético ψVoltagem e

Variação de/dt

Portanto, podemos concluir que:

sistemas análogos ⇒ mesma equação diferencialmesma função de transferência

7 OBTENÇÃO DO CIRCUITO ELÉTRICO ANÁLOGO POR INSPEÇÃO

Comparando as figuras anteriores, podemos observar que:

(1) Analogia força-voltagem: k e c em paralelo análogos C e R em sériek e c em série análogos C e R em paralelo

(2) Analogia força-corrente: k e c em paralelo análogos 1/L e 1/R em paralelok e c em série análogos 1/L e 1/R em série


Os fatos acima permitem construir o circuito elétrico análogo a um dado sistema mecânico simplesmentepor inspeção.

Assim, na figura do sistema mecânico colocamos um ponto (P, Q, S, etc.) em cada um dos seguintes locais:massas, pontos de aplicação de forças e pontos de ligação entre elementos flexíveis (molas eamortecedores). A quantidade de pontos assim definidos nos informa a quantidade de GDL do sistemamecânico.

Para a construção do circuito elétrico levamos em conta que a quantidade de GDL do sistema mecânico éigual à quantidade de malhas do circuito elétrico e que cada ponto do sistema mecânico (P, Q, S, etc.)corresponde a uma malha do circuito elétrico.

Com essas informações, podemos construir o circuito elétrico análogo, conforme ilustram os exemplos dasfigs. 5 e 6:

Exemplo 3 (fig. 5):

Exemplo 4 (fig. 6):

Fig. 5

Fig. 6


8 OBTENÇÃO DO CIRCUITO ELÉTRICO ANÁLOGO A PARTIR DASEQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Mostraremos a seguir, através de um exemplo, uma maneira mais rigorosa de obter o circuito elétricoanálogo a um dado sistema mecânico, a partir do modelo matemático desse último.

Exemplo 5

Usando a analogia força-voltagem, obter o circuito elétrico análogo do sistema mecânico da fig. 7.

Solução

Inicialmente, vamos achar o modelo matemático do sistema mecânico. Para isso, construímos o diagramade corpo livre (fig. 8) e aplicamos a Segunda Lei de Newton:

Fig. 8

massa m1:

massa m2:

Ordenando:

1..

11.

1111.

2.

2122 xmxcxk)xx(c)xx(k =−−−+−

2..

21.

2.

2122 xm)xx(c)xx(k =−−−−

0)xx(k)xx(cxm

0)xx(k)xx(cxkxcxm

1221.

2.

22..

2

2122.

1.

2111.

11..

1

=−+−+

=−+−+++

Fig. 7


Usando a analogia força-voltagem, obtemos as equações do circuito elétrico análogo:

Vemos, nas equações acima, que o termo de acoplamento, i1 - i2, está presente nas duas equações. Logo,ele deve pertencer simultaneamente às duas malhas do circuito elétrico, ou seja, deve estar presente noramo comum a ambas as malhas. Assim, podemos construir o circuito elétrico análogo:

Comparando as figs. 7 e 9, podemos comprovar que a cada grau de liberdade no sistema mecânicocorresponde uma malha no circuito elétrico.

Fig. 9


EXERCÍCIOS

1 Representar o modelo matemático do Exemplo 1 do texto pelas funções de transferência

)s(E)s(E

)s(G e )s(E)s(E)s(G B

2A

1 ==

2 Dado o circuito RLC série da figura, determinar:(a) modelo matemático;(b) freqüência natural;(c) fator de amortecimento;(d) função de transferência EC(s)/E(s), onde eC(t) é a saída (tensão no capacitor) e(t) é a entrada.

Resp.: (a) dtde

L1i

LC1

dtdi

LR

dtid2

2=++ (b)

(c) LCR

21 2

=ς (d) )

LC1s

LRLC(s

1)s(E)s(E

2C

++=

3 Dado o circuito da figura, deduzir o modelo matemático e obter as funções de transferênciaI1(s)/E(s) e I2(s)/E(s).

Resp.: Modelo matemático: 0dt)ii(

C1iR

dtdiL

Edt)ii(C1iR

12222

2111

=−++

=−+

∫

∫

LC1

n =ω


4 Obter o circuito elétrico análogo do sistemamecânico da figura, usando a analogiaforça-voltagem e as equações diferenciaisdo sistema mecânico (a serem deduzidas previamente).

5 Resolver o Exercício 4 por inspeção. Deu o mesmo resultado?

6 Obter o circuito elétrico análogo do sistemamecânico da figura, usando a analogiaforça-voltagem e as equações diferenciaisdo sistema mecânico (a serem deduzidas previamente).

7 Resolver o Exercício 6 por inspeção. Deu o mesmo resultado?

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