modelamiento y simulación de la temperatura promedio en...

1

Seminario de proyectos:

“Modelamiento y simulación de la temperatura promedio en un

freidor con simetría cilíndrica”

Elaborado por:

Arnulfo Gómez Muñoz

202317756

Asesor:

M. C. Rodolfo Vázquez Rodríguez

Vo. Bo. ASESOR Vo. Bo. COORDINADOR _____________________________________ _____________________________ M. C. RODOLFO VÁZQUEZ RODRÍGUEZ DR. JUAN JOSE AMBRIZ GARCÍA Fecha:14-12-2006

2

There is no learning without confusion.

It is by the organization of this confusion that… you will progress. Pucciani and Hammel

No hay aprendizaje sin confusión.

Es por la organización de esta confusión que… tú progresaras Pucciani and Hammel

3

Este documento no pudo haberse realizado sin el apoyo incondicional que siempre me han dado mis padres.

Por toda la confianza, amor, apoyo y compresión que me han brindado para llegar a cumplir todas mis metas, muchas, pero muchas gracias.

4

AGRADEZCO AL M. C. RODOLFO VAZQUEZ RODRIGUEZ POR LA INFORMACION PROPORCIONADA Y APOYO INCONDICIONAL PARA EL DESARROLLO DE ESTE

PROYECTO

5

ÍNDICE Página

Capítulo I Introducción…………………………………………………………………………….6 Capítulo II Antecedentes teóricos…………………………………………………………………....8

Discontinuidad Mecánica……………………………………………………………9 Discontinuidad Termodinámica……………………………………………………..9 Discontinuidad Multifásica…………………………………………………………10 Solución de la discontinuidad Mecánica……………………………………………11 Solución de la discontinuidad Termodinámica……………………………………..14 Solución de la discontinuidad Multifásica………………………………………….18

Capítulo III Planteamiento del problema…………………………………………………………… 24 Capítulo IV Simulación del sistema térmico y análisis de resultados………………………………..34

Obtención de valores………………………………………………………………..35 Caso A: Temperatura de superficie (TS) constante en el tiempo…………………....36 Caso B1: Temperatura de superficie (TS) variable en el tiempo ( ( )tb

MS eTT ⋅−−= 1 )….37 Caso B2: Temperatura de superficie (TS) variable en el tiempo ( tb

S eaT ⋅⋅= )……...41 Capítulo V Conclusiones y recomendaciones…………………………………………………….. 46 Bibliografía…………………………………………………………………………… 48 Apéndice A Análisis de orden de magnitud……………………………………………………….. 51 Apéndice B El teorema de transporte de Reynolds………………………………………………… 61 Apéndice C El teorema del promedio espacial…………………………………………………….. 67

6

CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN

7

En el comercio y la industria existen diversos dispositivos ineficientes en el uso de la

energía térmica para la cocción de alimentos. Hoy en día es grande la necesidad de ahorrar

combustible y por lo tanto, dinero. Es por eso que existe la necesidad de contar con

dispositivos eficientes para realizar dichas actividades. Lo novedoso de este trabajo es la

propuesta de calentar el aceite a través de las paredes laterales de un freidor con simetría

cilíndrica.

El siguiente trabajo tiene por objetivo desarrollar un modelo que describa el

comportamiento de la temperatura promedio de un líquido (que esta contenido en un

sistema cilíndrico) como función del tiempo.

Para obtener el modelo, primero se debe de conocer el Método del Volumen Promedio, la

teoría de este método se encuentra en el apéndice A. Para comprender mejor este método,

se incluye el Teorema del Promedio Espacial y el Teorema de Transporte de Reynolds, ya

que en base a estos teoremas, es como se obtiene el Método del Volumen Promedio.

En el capítulo II se discuten las discontinuidades mecánica, termodinámica y multifásica.

También se muestra como es posible obtener modelos matemáticos para cantidades

promedio en sistemas heterogéneos.

En el capítulo III, se aplica el método del volumen promedio a la ecuación de temperatura.

Se obtiene un modelo que es aplicable para dos fases que se están moviendo a diferentes

velocidades. Sin embargo, mediante hipótesis, se obtiene un modelo que es para una fase

fluida. Como no se conoce el comportamiento de la temperatura de superficie, se proponen

tres comportamientos.

Por último, en el capítulo IV se simula el comportamiento de la temperatura promedio del

líquido para cada uno de los tres casos.

8

CAPÍTULO II ANTECEDENTES TEÓRICOS

9

2.-EL MÉTODO DEL VOLUMEN PROMEDIO EN LOS FENOMENOS DE TRANSPORTE, (Whitaker, 1999b).

Discontinuidad Mecánica.

La segunda ley de newton matemáticamente se escribe como:

→→

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Fvm

dtd (2.1)

La ecuación (2.1) solo puede aplicarse para una partícula. ¿Qué pasa cuando se quiere aplicar (2.1) al flujo de un fluido, en donde hay miles de partículas moviéndose? Para este tipo de problemas, (2.1) puede escribirse como:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

controlde

volumenelen

momentode

nacumulaciódetasa

controldevolumen

alentrando

momentodetasa

controldevolumen

delsaliendo

momentodetasa

controldevolumen

elsobreactuando

fuerzasdesuma (2.2)

Discontinuidad Termodinámica.

Una gran variedad de problemas de fluidos incompresibles pueden resolverse haciendo uso de la ecuación de Navier-Stokes y de la ecuación de continuidad. Las cuales pueden ser escritas como

→→→→

∇++−∇=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛∇•+

∂∂ vgpvv

tv 2µρρ (2.3)

0=•∇→

v (2.4) Mientras que el cálculo de presión se puede llevar a cabo aplicando una ecuación de estado. La ecuación de estado para un gas ideal está dada por

RTVnp = (2.5)

Esta expresión pareciera no tener ninguna relación con la presión que uno determinaría de las ecuaciones (2.3) y (2.4), esto sugiriere que existe una presión mecánica (usada en la

10

solución de ciertos problemas de flujo de fluidos) y una presión termodinámica usada en problemas de termodinámica.

Es mejor pensar que la presión debe ser determinada mediante una ecuación de estado, y pensar que la presión determinada mediante (2.3) y (2.4) es una buena aproximación de la presión. Aunque si la aproximación no es buena, las ecuaciones (2.3) y (2.4) no deben de ser utilizadas.

El conflicto entre las ecuaciones (2.3), (2.4) y la ecuación de estado (2.5) se basa en la hipótesis de Birkhoff, “pequeñas causas generan pequeños efectos, y causas infinitesimales producen efectos infinitesimales” (Birkhoff, 1960 ). Discontinuidad Multifásica Diversos procesos de interés para la ingeniería envuelven sistemas multifásicos, como los que ocurren en el sistema mostrado en la figura 2.1: En este caso existe un contacto liquido-gas, y si queremos encontrar el perfil de temperaturas radial y axial, o si deseamos calcular la temperatura promedio axial, se pueden atacar mediante ecuaciones (2.3) y (2.4), y con la ecuación de energía térmica

TkTvtTc p

2∇=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇•+∂∂ →

ρ (2.6)

Figura 2.1. Sistema en donde existe contacto liquido-gas Y con la ecuación de continuidad de especies podemos encontrar perfiles de concentraciones

( ) NARvct

cAAA

A ,...,2,1==∇+∂∂ (2.7)

11

Cuando el proceso mostrado en la en la figura (2.1) toma la forma de la figura 2.2, la ecuación (2.7) es reemplazada por

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

líquidafasela

haciaatransferid

Ademasa

gasfase

laadejando

Ademasa

gasfase

laenentrando

Ademasa (2.8)

Figura 2.2. Modelo simplificado del intercambio de masa en un dispositivo en donde existe

contacto liquido-gas La solución para este tipo de problemas puede ser lograda usando el método de promedio volumétrico. Solución de la discontinuidad Mecánica. Una idea central de la mecánica del medio continuo es que las leyes de la física pueden aplicarse a un cuerpo o a partes o secciones del mismo, esta idea se le atribuye a Euler y Cauchy y es denominada como el principio de corte. Si aceptamos esta idea, se puede cortar u obtener un cuerpo arbitrario de una masa de fluido que se está moviendo y deformando, y establecer los axiomas para la conservación de la masa y del momento como sigue:

12

Masa

( )

0=∫tmV

dVdtd ρ (2.9)

Momento Lineal: primera ley de Euler

( ) ( )

( )( )

∫∫∫→→→

+=tmtmtm A

nVV

dAtdVbdVvdtd ρρ (2.10)

Momento Angular: segunda ley de Euler

( ) ( )

( )( )

∫∫∫→→→→→→

×+×=×tmtmtm A

nVV

dAtrdVbrdVvrdtd ρρ (2.11)

Donde

( )tmV , es la región dependiente del tiempo ocupada por un cuerpo, ρ , es la densidad másica, →

v , es la velocidad del fluido, →

b , es la fuerza de cuerpo por unidad de masa,

( )→

nt , es el vector de tensión y, →

r , es el vector de posición. →

v y →

r son medidos relativos a un marco inercial. Si aplicamos el teorema de transporte de Reynolds, la ecuación (2.9) puede ser representada como

( ) ( ) ( )0=⋅•⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⋅ ∫∫∫→→

tAtVmtV mm

dAnvdVt

dVdtd ρρρ (2.12)

Ahora, aplicando el teorema de la divergencia resulta que

( )0=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛•∇+

∂∂

∫→

tVm

dVvt

ρρ (2.13)

13

Suponiendo que el integrando es continuo y que los limites de integración son arbitrarios obtenemos la ecuación de continuidad

0vtρ ρ

→∂ ⎛ ⎞+∇• =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ (2.14)

Para extraer las ecuaciones diferenciales asociadas con los principios de momento lineal y angular, uno se basa en el trabajo de Cauchy donde se prueba que

CauchydeLema

( ) ( )→

−

→

−= nn tt (2.15)

CauchydelfundamentaTeorema

( )→→→

•= Tnt n (2.16) El uso de las ecuaciones (2.15) y (2.16), el teorema de transporte de Reynolds, y las ecuaciones (2.10) y (2.11) nos permiten obtener las siguientes ecuaciones de Cauchy.

Pr imera ecuación de Cauchy

→→→→→

•∇+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛•∇+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ Tgvvvt

ρρρ (2.17)

CauchydeecuaciónSegunda

T

TT→→

= (2.18) Integrando la ecuación (2.17) sobre un volumen de control arbitrario y en movimiento, se obtiene

( ) ( ) ( ) ( )

∫∫∫∫→→→→→

•∇+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛•∇+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

tatatata VVVV

dVTdVbdVvvdVvt

ρρρ (2.19)

14

Usando el teorema transporte de Reynolds y el teorema de la divergencia, se obtiene

( ) ( ) ( )

( )( )

∫∫∫∫→→→→→→→

+=•⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

tatatata An

VAV

dAtdVbdAnwvvdVvdtd ρρρ (2.20)

En donde ecuación (2.20) es la representación matemática de las palabras contenidas en (2.2) Solución de la discontinuidad Termodinámica Las ecuaciones que describen a un proceso que utiliza un flujo compresible son las siguientes: Ecuación de variación para ρ

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛•∇+

∂∂ →

vt

ρρ (2.21)

Ecuación de variación para →

v

→→→

→

∇++−∇=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛∇•+

∂∂ vgpvv

tv 2µρρ (2.22)

Ecuación de variación para →

T

→→→

→

∇=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛∇•+

∂∂

⋅ TkTvtTcp

2ρ (2.23)

Ecuación de variación para p

( )Tpp ,ρ= (2.24) El concepto asociado a un flujo incompresible es que la variación de la densidad es pequeña por lo que ρ puede ser reemplazada por una constante 0ρ en (2.21), con lo cual se obtiene

0=•∇→

mv (2.25)

15

→→→→

∇++−∇=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛∇•+

∂∂

mmmmm vgpvvtv 2

00 µρρ (2.26)

→→→

→

∇=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛∇•+

∂∂

⋅ mmmm

p TkTvt

Tc 20ρ (2.27)

En donde el subíndice m indica que las variables de las ecuaciones (2.25), (2.26) y (2.27) difieren de las variables de las ecuaciones (2.22), (2.23) y (2.24), ya que son obtenidas al suponer un fluido incompresible. Se desea obtener las condiciones que son necesarias para que

→→

→→

→→→→ mm TTppvv 00ρρ (2.28) Obtener las condiciones generales es un proceso difícil de desarrollar, sin embargo, puede trabajarse un caso en donde se ha alcanzado el estado estacionario isotérmicamente, al hacer esto, se obtienen las condiciones para que

0ρρ → (2.29) Cuando los efectos de la temperatura son insignificantes, se puede invertir la ecuación (2.24) para obtener

( )pρρ = (2.30) Y una expansión de Taylor alrededor de 0ρ lleva a

( ) ( ) ⋅⋅⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−+=TT p

ppp

pp 2

22

000 21 ρρρρ (2.31)

En donde 0ρ es la densidad determinada por (2.10) a la presión de referencia 0p . Utilizando el análisis de orden de magnitud, se obtiene una estimación del cambio de la densidad que ocurre en el proceso, por lo que se usa el primer término de la expansión para obtener

0T

O ppρρ ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂− = ∆⎢ ⎥⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.32)

16

Donde p∆ es el cambio máximo de presión que ocurre en el sistema. De un análisis termodinámico, se sabe que

2

1cp S

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ρ (2.33)

Donde c es la velocidad del sonido. Como una aproximación se usa

2

1cp T

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ρ (2.34)

Por lo que ecuación (2.32) toma la forma de

⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∆=− 20 c

pOρρ (2.35)

Usando ecuación (2.22) se consigue una estimación del cambio de presión

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇•+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇+=∇

→→→

vvOvOgOp ρµρ 2 (2.36)

Lo que indica que p∇ debe ser del mismo orden de magnitud que los demás términos, pero puede ser que p∇ sea menor en orden de magnitud, con lo cual, la ecuación (2.36) daría una sobreestimación del gradiente de presión. Por ejemplo, en una capa limite laminar creada por un flujo uniforme pasando por una placa plana, el gradiente de presión es esencialmente hidrostático Flujo en la capa limite laminar

gp ρ≈∇ (2.37) Mientras que los términos viscosos e inerciales son iguales y mucho más grandes que

gp ρ−∇ , es decir,

gpvOvv ρµρ −∇>>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇=∇•

→→→2 (2.38)

Solo en este caso, la primer estimación dada por la ecuación (2.36) es válida, y ésta da a entender que se debe de tener una idea clara sobre el flujo que se esta considerando si se desea usar (2.36) con confianza.

Si 0u representa la velocidad característica del proceso, se puede usar el análisis de orden de magnitud para obtener las estimaciones

17

( )[ ]ggOg λρρ = (2.39.1)

2 02uv O

L µµ

µµ λ→ ⎡ ⎤⎛ ⎞⋅

∇ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.39.2)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=∇•

→→

ρρ

λρρLuOvv

20 (2.39.3)

Donde, µL representa una longitud característica viscosa y ρL representa una longitud

característica inercial, mientras ρµ λλλ ,,g son vectores unitarios que son paralelos a los términos gravitacional, viscoso e inercial respectivamente. Para el caso de la capa laminar

del ejemplo, ρµ λλ y son paralelos, y gλ es un vector unitario arbitrario. Si se escribe el gradiente de presión como

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆=∇

LpOp (2.40)

Una vez hecho lo anterior, se sustituye (2.40) y (2.39) en (2.36) para obtener

( )[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+=∆ L

LuOL

LuOLgOp

u ρ

ρµρ2

02

0 (2.41)

Sustituyendo este resultado en (2.35)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ⋅+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

−2

20

220

20

cLuLO

cLLuO

cgLO

u ρρµ

ρρρ (2.42)

Definiendo al número de Reynolds y al número de Mach como

cuM

Lu 00Re =⋅⋅

=µ

ρ µ (2.43)

Las estimaciones dadas por (2.42) toman la forma

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

− −

ρρρρ

LLMO

LLMO

cgLO

u

2212

0 Re (2.44)

18

De este resultado se concluye que

00 1 ρρ

ρρρ

→<<− o (2.45)

Cuando las siguientes restricciones son satisfechas

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<<⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<<<<

LL

MLL

McgL p22

2 Re1 µ (2.46)

Hay que tener cuidado en la aplicación de estos resultados y estar siempre alertas de que estas restricciones se cumplan para poder decir que se esta trabajando con un fluido que se asemeja a un fluido incompresible. Solución de la discontinuidad Multifásica La ecuación de continuidad de especies esta dada por

( ) NARvct

cAAA

A ,...,2,1==•∇+∂∂ (2.47)

Para obtener el balance macroscópico de (2.47) se siguen los mismos pasos que se utilizaron para resolver la discontinuidad mecánica, una vez hecho lo anterior se obtiene lo siguiente

( ) ( ) ( )

NAdVRdAnwvcdVcdtd

tatata VA

VAA

VA ,...,2,1==•⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ ∫∫∫

→→→

(2.48)

Ecuaciones (2.47) y (2.48) son poderosas herramientas para resolver una gran variedad de problemas, sin embargo, su aplicación en sistemas multifásicos es problemática. Para sistemas multifásicos, se necesita hacer un promedio volumétrico local sobre la ecuación (2.47). Para lograr esto, se asocia un volumen promedio a cada punto en la región en la que se esta trabajando. Esto permite definir una concentración volumétrica promedio donde sea. En la figura 2.3 se muestra un sistema bifásico y un volumen promedio esférico teniendo su centroide en el punto identificado por el vector de posición x. Para este sistema, la concentración puntual de la especie A en la fase-γ se identifica como γAc y se define la concentración volumétrica promedio como

19

( )∫=

txVAxA dVc

Vc

,

1

γγγ (2.49)

Donde ( )txV ,γ es el volumen de la fase-γ contenida dentro del volumen promedio, V.

Figura 2.3. Sistema bifásico con una fase sólida y una fase fluida.

En general, la concentración promedio intrínseca es más utilizada en el análisis de procesos multifásicos, y está definida por

( ) ( )∫=

txVA

xA dVc

txVc

,,1

γγ

γ

γ

γ (2.50)

La concentración intrínseca y la volumétrica están relacionadas por

γ

γγγ ε AA cc = (2.51) En donde γε es la fracción de volumen de la fase-γ definida explícitamente por

( )V

txV ,γγε = (2.52)

En la figura D.4 se muestra un sistema para el cual se requiere desarrollar la ecuación de diseño de la concentración de A. La fase-γ es la fase liquida y la fase-σ es la fase sólida.

20

La ecuación diferencial que gobierna la concentración de la especie A en la fase-γ está dada por

γγγγ

AAAA Rvct

c=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛•∇+

∂

∂ →

(2.53)

Figura 4. Transferencia de masa en un sistema bifásico

Realizando un promedio volumétrico local sobre (2.7) se obtiene

( ) ( ) ( )

dVRV

dVvcV

dVt

cV

txtxtx VA

VAA

V

A ∫∫∫ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛•∇+

∂

∂ →

,,,

111

γγγ

γγγγ (2.54)

Utilizando el teorema de transporte de Reynolds, el primer término puede transformarse en

( ) ( ) ( )

∫∫∫→→

•−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

∂

∂

txtxtx AA

VA

V

A dAnwcV

dVcVdt

ddVt

cV

,,,

111

γσγγ

γσγγγ (2.55)

Donde →

γσn es el vector normal dirigido desde la fase-γ hacia la fase-σ y →→

• γσnw representa la velocidad de desplazamiento de la interfase σλ − .

21

Haciendo uso del teorema de promedio espacial de un gradiente, el segundo término de la izquierda de la ecuación (2.54) queda como sigue

( ) ( ) ( )

∫∫∫→→→→

•+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛•∇=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛•∇

txtxtx AAA

VAA

VAA dAnvc

VdVvc

VdVvc

V,,,

111

γσγγ

γσγγγγγγ (2.56)

Sustituyendo (2.55) y (2.56) en (2.54) lleva a

( ) ( ) ( ) ( )

dVRV

dAnwvcV

dVvcV

dVcVdt

d

txtxtxtx VA

AAA

VAA

VA ∫∫∫∫ =•⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛•∇+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ →→→→

,,,,

1111

γγσγγ

γγσγγγγγ (2.57)

Haciendo uso de la definición de promedio volumétrico dada por (2.49)

( ),

1

x t

A A A A A AA

c c v c v w n dA Rt V

γσ

γ γ γ γ γ γσ γ

→ → → →∂ ⎛ ⎞+ ∇• + − • =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫ (2.58)

Acumulación --- --- Transporte en la fase –γ --- -----Transporte Interfacial----- ---Reacción Homogénea---- Debe de quedar en claro que las cantidades promedio están asociadas con el centroide del volumen promedio identificado por el vector de posición x. Además, la acumulación se ha expresado en términos de la derivada parcial temporal, ya que γAc esta asociada con un punto fijo en el espacio. El primer y el último término de (2.58) pueden ser expresados en términos de promedios intrínsecos haciendo uso de (2.51), con lo que se llega a

( )( ),

1

x t

A A A A A AA

c c v c v w n dA Rt V

γσ

γ γ

γ γ γ γ γ γ γσ γ γε ε→ → → →∂ ⎛ ⎞+∇• = − − • +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫ (2.59)

Para simplificar el término de transporte convectivo se utiliza el teorema del promedio espacial y el teorema de la divergencia, para obtener

( )

∫→→→

•−=•∇txeA

eAAAA dAnvcV

vc,

1

γ

γγγγγ (2.60)

En donde ( )txA e ,γ representa el área de salidas y entradas asociadas con el volumen

( )txV ,γ . En muchas aplicaciones prácticas, el transporte difusivo es despreciable comparado con el transporte convectivo en las entradas y salidas, por lo que se puede hacer lo siguiente

22

→→

•∇=•∇ γγγγ vcvc AAA (2.61)

Donde →

γv es la velocidad promedio másica. Haciendo uso de la descomposición espacial de Gray para la concentración y la velocidad (Gray, W.G. ,1975; Gray, W.G. y Lee, P.C.Y., 1977)

~

~

γ

γ

γγγγ

γ

→→→

+=+= vvvccc AAA (2.62)

Y siguiendo el trabajo de Zanotti y Carbonell para expresar el transporte convectivo en la forma (Zanotti, F., y Carbonell, R.G., 1984)

~~ →→→

+= γγ

γ

γ

γ

γγγγ ε AAAAAA vcvcvc (2.63)

Promedio volumétrico Transporte del transporte convectivo dispersivo Mientras que la concentración promedio intrínseca es preferida para la descripción de procesos multifásicos de transferencia de masa, muchas personas son partidarias del uso de la velocidad promedio volumétrica

γ

γγγ ε→→

= vv (2.64)

Con lo cual, ecuación (2.63) se puede expresar como

~~ →→→

+= γγγ

γ

γγγ AAAAA vcvcvc (2.65)

Usando este resultado y la aproximación dada por (2.61) nos lleva a

( )

( ),

~~ 1

x t

A A

A A A A AA

c c vt

c v c v w n dA RV

γσ

γ γ

γ γ γ γ

γ

γ γ γ γ γσ γ γ

ε

ε

→

→ → → →

∂ ⎛ ⎞+∇• =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

⎛ ⎞−∇• − − • +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

(2.66)

Suponiendo válido el modelo difusivo para una dispersión, el flux dispersivo puede ser expresado como

γ

γγγ AAA cDvc ∇•−=→~

~ (2.67)

23

Por lo que la ecuación promedio volumétrica de transporte toma la forma de

( )A Ac c vt

γ γ

γ γ γ γε→∂ ⎛ ⎞+∇• =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Acumulación Promedio volumétrico del transporte convectivo

( )( )

γ

γγγσγγ

γ

γ εγσ

AA

AAA RdAnwvcV

cDtx

∫ +•⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−∇••∇

→→→

,

1 (2.68)

Transporte Transporte Reacción Dispersivo Interfacial Homogénea Finalmente resta decir que el tratamiento del transporte interfacial depende del tipo de proceso que se lleva a cabo en la fase-σ , pero lo importante es que la ecuación (2.68) es una ecuación de diseño básica deducida a partir de la ecuación (2.47), aplicando el método del promedio volumétrico.

24

CAPÍTULO III PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

25

Se desea aplicar el método de promedio volumétrico a la ecuación de variación de la

temperatura a un sistema bifásico, la cual es:

( ) TkTvtTc fpf f

2∇=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∇•+∂∂

⋅→

ρ (3.1)

Si fpf

ff c

k⋅

=ρ

α , entonces la ecuación (3.1) queda como

( ) TTvtT

f2∇⋅=∇•+

∂∂ →

α (3.2)

El segundo término de la izquierda puede escribirse como

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛•∇=∇•

→→

vTTv

Ya que

( )TvvTvT ∇•+•∇⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛•∇

→→→

Pero para flujos incompresibles

0=•∇→

v Por lo tanto

( )TvvT ∇•=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛•∇

→→

De este modo, la ecuación (3.2) puede escribirse como

TvTtT

f2∇⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛•∇+

∂∂ →

α (3.3)

Se necesita desarrollar la ecuación de variación para la temperatura en la fase liquida γ , por lo que se aplica el método de promedio volumétrico local en la fase-γ a la ecuación (3.3), con lo que se obtiene

26

( ) ( )

( )( )

dVTV

dVvTV

dVt

TV

txtxtx V

f

VV∫∫∫ ∇=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛•∇+

∂∂ →

,,,

211

γγγ

αγγ

γ (3.4)

Utilizando el teorema general de transporte, el primer término puede transformarse en

( ) ( ) ( )

∫∫∫→→

•−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

∂

∂

txtxtx AVV

dAnwTV

dVTVdt

ddVt

TV

,,,

111

γσγγ

γσγγγ (3.5)

Donde →

γσn es el vector normal dirigido desde la fase-γ hacia la fase-σ y →→

• γσnw representa la velocidad de desplazamiento de la interfase σλ − Haciendo uso del teorema de promedio volumétrico de una divergencia, el segundo término de la izquierda de la ecuación (3.4) queda como sigue

( ) ( ) ( )

∫∫∫→→→→

•+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛•∇=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛•∇

txtxtx AVV

dAnvTV

dVvTV

dVvTV

,,,

111

γσγγ

γσγγγγγγ (3.6)

El término de la derecha de la ecuación (3.4) puede escribirse como

( )( )

( )( )

∫∫ ∇•∇=∇txtx V

f

V

f dVTV

dVTV

,,

2

γγ

αα (3.7)

Aplicando ahora a la ec. (3.7) el promedio volumétrico para una divergencia se obtiene

( )( )

( )( )

( )( )

∫∫∫→

•∇+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∇•∇=∇•∇

txtxtx A

f

V

f

V

f dAnTV

dVTV

dVTV

,,, γσγγ

γσγγ

ααα (3.8)

Aplicando el promedio volumétrico para un gradiente, el primer término de la derecha en la ec. (3.8) puede escribirse como

27

( )( ) ( ) ( )

∫∫∫→

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∇=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∇

txtxtx A

f

V

f

V

f dAnTV

dVTV

dVTV

,,, γσγγ

γσγγγ

ααα (3.9)

Sustituyendo (3.9) en (3.8) lleva a

( )( ) ( ) ( )

( )( )

∫∫∫∫→→

•∇+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∇•∇=∇•∇

txtxtxtx A

f

A

f

V

f

V

f dAnTV

dAnTV

dVTV

dVTV

,,,, γσγσγγ

γσγγσγγ

αααα (3.10)

Sustituyendo este resultado junto con las ecuaciones (3.5) y (3.6) en (3.4) se llega a

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

∫∫∫

∫∫∫

→→

→→→→

•∇+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∇•∇

=•⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛•∇+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

txtxtx

txtxtx

A

f

A

f

V

f

AVV

dAnTV

dAnTV

dVTV

dAnwvTV

dVvTV

dVTVdt

d

,,,

,,,

111

γσγσγ

γσγγ

γσγγσγγ

γσγγγγγ

ααα

(3.11)

Haciendo uso de la definición de promedio volumétrico

∫=V

BdVV

B 1 (3.12)

La ecuación (3.11) puede escribirse como

( )

( )

( )( )

∫∫

∫

→→

→→→→

•∇+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡•∇+∇

=•⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+•∇+

txtx

tx

A

f

A

ff

A

dAnTV

dAnTV

T

dAnwvTV

vTTdtd

,,

,

2

1

γσγσ

γσ

γσγγσγγ

γσγγγγγ

ααα

(3.13)

28

Haciendo uso del promedio intrínseco, el primer y el segundo términos de la derecha y el primero de la izquierda, la ecuación (3.13) puede escribirse como

( )( )

( )( )

( )( )

∫∫

∫

→→

→→→→

•∇+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡•∇+∇

=•⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+•∇+

txtx

tx

A

f

A

ff

A

dAnTV

dAnTV

T

dAnwvTV

vTTdtd

,,

,

2

1

γσγσ

γσ

γσγγσγ

γ

γγ

γσγγγγ

γ

γγ

ααεα

ε

(3.14)

Utilizando la descomposición espacial de Gray para la concentración para la temperatura y la velocidad

~~

γ

γ

γγγγ

γ

→→→

+=+= vvvTTT (3.15)

Siguiendo el trabajo de Carbonell y Whitaker para expresar el transporte convectivo en la forma

~~

T v T v T v

γγ γ

γ

γ γ γ γ γ γ

→ → →

= + (3.16)

Sustituyendo este valor en la ecuación (3.14) se obtiene

( )( )

( )( )

( )( )

∫∫

∫

→→

→→→→→

•∇+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡•∇+∇

=•⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+•∇+

txtx

tx

A

f

A

ff

A

dAnTV

dAnTV

T

dAnwvTV

vTvTTdtd

,,

,

2

~~ 1

γσγσ

γσ

γσγγσγ

γ

γγ

γσγγγγγ

γ

γ

γ

γγ

ααεα

ε

(3.17)

29

Pero ~

~T v

γ

γ γ

→

puede expresarse como

~

~

tT v T

γ

γ

γ γ γα→ →

= − •∇ (3.18)

Sustituyendo este valor en la ecuación (3.17) se obtiene

( )( )

∫→→→→

•⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛•∇+txA

dAnwvTV

vTTdtd

,

1

γσ

γσγγγ

γ

γ

γ

γγε

(3.19)

( )( )

( )( )

∫∫→→→

•∇+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡•∇+∇+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇•−•∇−

txtx A

f

A

fft dAnT

VdAnT

VTT

,,

2

γσγσ

γσγγσγ

γ

γγ

γ

γγ

ααεααε

Desarrollando

( )( )

( )

( )( )

∫∫

∫

→→→

→→→→

•∇+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡•∇+∇+∇

•⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛•∇+

txtx

tx

A

f

A

fft

A

dAnTV

dAnTV

TT

dAnwvTV

vTTdtd

,,

,

22

1

γσγσ

γσ

γσγγσγ

γ

γγ

γ

γγ

γσγγγ

γ

γ

γ

γγ

αααεαε

ε

(3.20)

Si

→

+= tfeff ααα (3.21) Por lo que la ecuación de variación de la temperatura promediada queda como sigue

( ) γ

γγγ

γ

γ

γ

γγ αεε TvTTdtd

eff2∇=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛•∇+→

(3.22)

( ) ( )

( )( )

∫∫∫→→→→→

•∇+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡•∇+•⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

txtxtx A

f

A

f

A

dAnTV

dAnTV

dAnwvTV

,,,

1

γσγσγσ

γσγγσγγσγγ

αα

30

Si el tamaño del volumen promedio se extiende a una escala del orden del sistema, el segundo término del lado izquierdo y el primero del lado derecho, son iguales a cero porque γT ya no varía con la posición. El segundo término de la derecha es igual a cero

porque la superficie que encierra al sistema no se mueve ( 0=→

w ), i.e., no hay movimiento interfacial, y al promediar sobre todo el sistema la velocidad de la fase líquida es igual a

cero, sobre las paredes del recipiente ( 0=→

γv , sobre Aγσ). Por lo que la ecuación (3.22) queda como sigue

( )( )

( )( )

∫∫→→

•∇+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡•∇=

txtx A

f

A

f dAnTV

dAnTV

Tdtd

,, γσγσ

γσγγσγ

γ

γγ

ααε

(3.23)

Considerando sólo una fase a la que se le transfiere calor, la ec. (3.23) se simplifica a:

( )∫∫→→

•∇+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡•∇=

VV A

f

A

f dAnTV

dAnTVdt

Td αα (3.24)

Donde:

VA = Área del sistema sobre el cual se hace el promedio →

n = vector normal unitario Ahora, para una temperatura de pared constante en toda la superficie del sistema resulta:

( )∫→

•∇=VA

f dAnTVdt

Td α (3.25)

Consideremos ahora un sistema de forma cilíndrica con un radio R y una altura L que contiene líquido en su interior. Este sistema esta siendo calentando a través de la superficie lateral por un quemador de gas. Ambas superficies, inferior y superior, están aisladas térmicamente (figura 3.1).

31

Figura 3.1 Sistema Cilíndrico

En la figura 3.1 se observa que el termino →

•∇ nT es igual a cero en las superficies aisladas (A1 y A2) y en la superficie lateral (A3) es igual a

( )FSS

TTkhnT −−=•∇

→

Donde h = coeficiente de transferencia de calor por convección

Sk = conductividad térmica de la superficie

ST = temperatura de la superficie

FT = temperatura de flama adiabática

01 =•∇→→

nTA

( )FSS

TTkhnTA −−=•∇→

→

3

02 =•∇→→

nTA

Aislante Térmico

R

L

32

Esto es fácil de visualizar si consideramos que en la superficie del sistema el flux de calor por conducción es igual al flux de calor por convección, es decir,

( )FSS TThnTk −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ •∇−

→

.

Considerando lo anterior, la ecuación (3.25) queda como

( )∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

3AFS

S

f dATTkh

VdtTd α

(3.26)

Si consideramos constante tanto al coeficiente de transferencia de calor por convección como la conductividad térmica, la ecuación (3.26) queda como

( )∫ −⋅⋅

−=3A

FSS

f dATTkVh

dtTd α

(3.27)

Caso A: Temperatura de superficie (TS) constante en el tiempo Si se considera que la temperatura de la superficie no cambia en el tiempo, la solución de la ecuación (3.27) es

( ) 03 TtTT

kVAh

T FSS

f +⋅−⋅⋅⋅

−=α

(3.28)

Donde T0 es la temperatura a t = 0. Simplificando se obtiene

( ) 0

2TtTT

kRh

T SFS

f +⋅−⋅⋅⋅

=α

(3.29)

Caso B: Temperatura de superficie (TS) variable en el tiempo Para el caso en que la temperatura de la superficie es una función del tiempo, se consideran dos posibles comportamientos de la temperatura de la superficie, es decir,

( )tbMS eTT ⋅−−= 1 (3.30)

33

Y

tbS eaT ⋅⋅= (3.31)

Considerando que la temperatura de la superficie tiene la funcionalidad dada por la ecuación (3.30), la solución de la ecuación (3.27) es

( ) 0112Tte

bTtT

kRh

T btMF

S

f +⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−+⋅

⋅⋅⋅

= −α (3.32)

Donde 0T es la temperatura a t = 0. Si ahora consideramos que la temperatura de la superficie tiene la funcionalidad dada por la ecuación (3.31), la solución de la ecuación (3.27) es

( ) 012

TebatT

kRh

T btF

S

f +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+⋅

⋅⋅⋅

=α

(3.33)

34

CAPÍTULO IV “SIMULACIÓN DEL SISTEMA TÉRMICO Y ANÁLISIS DE

RESULTADOS”

35

Obtención de valores Suposiciones:

• El sistema cilíndrico se llena con aceite vegetal. En la literatura se encuentra que la difusividad térmica del aceite vegetal es igual a 1.6 x 10-7 m2/s a una temperatura de

100 °C, por lo tanto, s

mxf

27106.1 −=α .

• El Cilindro tiene una radio mR 3.0= .

• La superficie del sistema esta hecha de acero inoxidable. De tablas se obtiene que la

conductividad térmica del acero a 25 °C es igual a Km

W⋅

15 ; a 200 °C, Km

W⋅

20 .

Promediando los valores anteriores se obtiene que Km

WkS ⋅= 5.17 .

• El combustible utilizado es Propano. La temperatura de flama del propano (cuando

el combustible, el aire y el ambiente se encuentran a 25 °C a una presión de 1 Bar)

es igual a 2394.35 K. Por lo tanto, KTF 35.2394=

• La temperatura inicial del sistema es la temperatura ambiente, es decir,

KT 2980 = .

• El coeficiente de transferencia de calor por convección, h, tiene una valor de

KmW⋅20.105

Como no se conocen los valores de las constantes a y b, se suponen los siguientes valores:

• Ka 100,100.1,1.0,01.0=

• 1100,100.1,1.0,01.0 −= sb

36

Caso A: Temperatura de superficie (TS) constante en el tiempo La siguiente gráfica se obtiene a partir de la ecuación (3.29) suponiendo que la temperatura de la superficie es igual a 600 K.

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500t@sD300

310

320

330

340XT\@KD Temperatura promedio

Gráfica 4.1.- Temperatura Promedio del líquido

Se observa que cuando la temperatura de la superficie es constante, la temperatura

promedio del líquido aumenta conforme el tiempo aumenta. Esto tiene una respuesta

sencilla: como la temperatura de pared es constante y menor que la temperatura de flama

adiabática, el sistema siempre ganará energía, y por lo tanto, la temperatura del líquido

siempre aumentará.

37

Caso B1: Temperatura de superficie (TS) variable en el tiempo ( ( )tbMS eTT ⋅−−= 1 )

Las siguientes gráficas fueron obtenidas a partir de la ecuación (3.32).

0.2 0.4 0.6 0.8 1t@sD

298.002298.004298.006298.008

298.01298.012298.014

XT\@KD Temperatura Promediob=0.01 s−1;b=0.1 s−1

b=1 s−1

b=10 s−1

b=100 s−1


0.5 1 1.5 2t@sD

298.005

298.01

298.015

298.02

298.025

298.03

298.035XT\@KD Temperatura Promedio

b=0.01 s−1

b=0.1 s−1

b=1 s−1

b=10 s−1

b=100 s−1


38

2 4 6 8 10t@sD

298.025

298.05

298.075

298.1

298.125

298.15

XT\@KD Temperatura Promediob=0.01 s−1

b=0.1 s−1

b=1 s−1

b=10 s−1;b=100 s−1


10 20 30 40 50t@sD

298.1

298.2

298.3

298.4

298.5

298.6

298.7


b=0.1 s−1

b=1 s−1;b=10 s−1;b=100 s−1


39

100 200 300 400 500t@sD

299

300

301

302

303

304


b=0.1 s−1;b=1 s−1;b=10 s−1;b=100 s−1


1000 2000 3000 4000 5000t@sD300

310

320

330

340

350

XT\@KD Temperatura Promedio

b=0.01 s−1;b=0.1 s−1;b=1 s−1

b=10 s−1;b=100 s−1


40

De la gráfica 4.2 a la 4.7 se observa que la temperatura promedio del líquido aumenta

conforme el tiempo aumenta. Esto es debido a que la temperatura de la superficie tiende a

un valor ( MT ) menor que la temperatura de flama adiabática, dando como resultado, la

ganancia de energía por parte del sistema.

En las gráficas 4.2, 4.3, 4.4, 4.5 y 4.6 se observa que para tiempos pequeños, existe una

pequeña diferencia en la temperatura promedio del líquido para diferentes valores de b. Se

observa que conforme b aumenta, la temperatura del líquido disminuye. También se

observa que conforme el tiempo aumenta, las temperaturas obtenidas con diferentes valores

de b, convergen a la temperatura promedio calculada con el valor de b más pequeño.

En la gráfica 4.7 se observa que no existe una diferencia significativa entre las

temperaturas obtenidas con diferentes valores de b.

41

Caso B2: Temperatura de superficie (TS) variable en el tiempo ( tbS eaT ⋅⋅= )

Las siguientes gráficas fueron obtenidas a partir de la ecuación (3.33).

200 400 600 800 1000 1200 [email protected]

300

302.5

305

307.5

310

312.5

315

XT\@KD Temperatura Promedioa=0.01 K

a=0.1 K

a=1 K

a=10 K

a=100 K

Gráfica 4.8.- Temperatura Promedio del líquido (b = 0.01 s-1)

20 40 60 80 100 120 140t@sD

298.25

298.5

298.75

299

299.25

299.5

299.75


a=0.1 K

a=1 K

a=10 K

a=100 K


42

2 4 6 8 10 12 14t@sD

298.025

298.05

298.075

298.1

298.125

298.15

298.175


a=0.1 K

a=1 K

a=10 K

a=100 K


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4t@sD

298.003

298.005

298.008

298.01

298.013

298.015

298.018


a=0.1 K

a=1 K

a=10 K

a=100 K

Gráfica 4.11.- Temperatura Promedio del líquido (b = 10 s-1)

43

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14t@sD

298

298.001

298.001

298.001

298.001

298.002

298.002


a=0.1 K

a=1 K

a=10 K

a=100 K


0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014t@sD

298

298

298

298

298

298

298


a=0.1 K

a=1 K

a=10 K

a=100 K


44

200 400 600 800 1000 1200 1400t@sD

300

302.5

305

307.5

310

312.5

315


b=0.1 s−1

Gráfica 4.13.- Temperatura Promedio del líquido (a = 0.01 K)

2 4 6 8 10 12 14t@sD

298.025

298.05

298.075

298.1

298.125

298.15

298.175

XT\@KD Temperatura Promediob=1 s−1

b=10 s−1


45

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14t@sD

298

298.001

298.001

298.001

298.001

298.002

298.002

XT\@KD Temperatura Promediob=100 s−1

b=1000 s−1


De la gráfica 4.8 a la 4.15 se observa que la temperatura promedio del líquido alcanza un

valor máximo. Esto se debe a que se consideró que la temperatura de la superficie crece

exponencialmente sin un límite. Conforme la temperatura de pared va aumentando, en

algún tiempo t*, la temperatura de pared superara la temperatura de flama adiabática y a

partir de ese instante el sistema va a perder energía en lugar de ganarla. Este fenómeno se

ve reflejado en la disminución de la temperatura promedio del líquido.

De la gráfica 4.8 a la 4.15 se observa que cuando a o b aumenta el tiempo necesario para

alcanzar la máxima temperatura del líquido disminuye.

De la gráfica 4.8 a la 4.15 se observa que cuando a o b aumenta la máxima temperatura que

alcanza del líquido disminuye.

En las gráficas 4.12 y 4.13 se observa que cuando los coeficientes a y b son grandes, la

temperatura promedio del líquido tiende a disminuir instantáneamente.

46

CAPÍTULO V “CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES”

47

Los modelos obtenidos describen correctamente la temperatura promedio de un

freidor cuando se opera a temperaturas por debajo de la temperatura de ebullición

de un aceite vegetal.

El modelo depende fuertemente de las condiciones de frontera del sistema,

específicamente, de la temperatura de la superficie del freidor. Por lo tanto, si la

temperatura del aceite vegetal tiende a su temperatura de ebullición, la superficie

del freidor también debe tender a un valor asintótico, es decir, cuando el tiempo

tiende a infinito, la temperatura del sistema puede ser aproximada por la

temperatura de ebullición del aceite vegetal. Este caso también puede ser atacado

aplicando la metodología propuesta en este trabajo.

Para trabajos futuros, se recomienda hacer experimentos de medición de la

temperatura de la superficie de un freidor, para verificar el comportamiento

asintótico. Asimismo, se recomiendan experimentos para encontrar la temperatura

promedio de un freidor usando termistores de inmersión en el intervalo de 100 a 200

° C.

48

“BIBLIOGRAFÍA”

49

Whitaker, Stephen, Discontinuities in Chemical Engineering Education, Chemical

Engineering Education, 1999 33 (1): 18-25.

Whitaker, Stephen (1977), Fundamental principles of heat transfer, Pergamon Press

Bird, R.B., Stewart, W.E., Lightfoot, E.N., (1960)., Transport Phenomena., John Wiley.

Slattery, John C. (1972), Momentum, Energy, and Mass Transfer in Continua, McGraw-

Hill

Welty, James R., Wicks, Charles E., Wilson ,Robert E. (1984), Fundamentals of

momentum heat and mass transfer, John Wiley

50

“APÉNDICES”

51

A. ANÁLISIS DE ORDEN DE MAGNITUD

El análisis de orden de magnitud se utiliza para determinar bajo que condiciones es posible aproximar u omitir un término en una ecuación para poder transformar un problema difícil en uno fácil de resolver. En el análisis se busca estimar el orden de magnitud de una función sobre una región de interés. Por ejemplo, el flujo volumétrico en una tubería de 1 cm2 de área transversal es de 100 cm3/s, mediante la relación:

VAQ •=•

(A.1.1) Donde:

=•

Q Flujo volumétrico (cm3/s) =A Área transversal (cm2) =V Velocidad del fluido (cm/s)

Se obtiene que el valor promedio de la velocidad es igual a 100 cm/s. La aproximación del orden de magnitud se expresaría como:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= scmOVz /100 (A.1.2)

Que se lee como: La velocidad Vz es del orden de 100 m/s. Si el orden de magnitud de una función es µ, el valor promedio absoluto de la función se encuentra entre 0.1µ y 10µ. El orden de magnitud de una función se define como el promedio del valor absoluto de la función. Para la función f(x) en la región Lx ≤≤0 , se escribe:

{Orden de magnitud de f(x)} dxxfL

L

⋅≡ ∫0

)(1 (A.1.3)

Para la función g(x, y) en la región Lx ≤≤0 y ly ≤≤0 , se escribe:

{Orden de magnitud de g(x, y)} ∫ ∫ ⋅⋅⋅

≡l L

dydxyxglL 0 0

),(1 (A.1.4)

El cálculo del orden de magnitud de una función es relativamente sencillo mientras que el de una derivada es otro asunto, que explicaremos a continuación.

52

Considérese la derivada dxdf en la región Lx ≤≤0 . De acuerdo con la definición:

{Orden de magnitud de dxdf } dx

dxdf

L

L

⋅≡ ∫0

1 (A.1.5)

Si f es monotónica e incrementa con x

dxdf

dxdf

= (i)

Si f decrementa con x

dxdf

dxdf

−= (ii)

Ya que no importa el signo, se sustituye (i) en (A.1.5) con lo que se obtiene:

{Orden de magnitud de dxdf } ( ))0()(11

0

fLfL

dxdxdf

L

L

−=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≡ ∫ (A.1.6)

Si se mantiene la restricción de que f es monotónica, la ecuación (A.1.3) quedaría como:

{Orden de magnitud de f(x)} ( ))0()(1)(1

0

FLFL

dxxfL

L

−=⋅≡ ∫

Aplicando el teorema del valor medio:

),´(0

)0()( εFL

FLF=

−− L≤≤ ε0

Pero como F´=f, entonces:

{Orden de magnitud de f(x)} ( ) ( )εfFLFL

dxxfL

L

=−=⋅≡ ∫ )0()(1)(1

0

(A.1.7)

Si f(x) es una función razonablemente suave, se supone que f (L) y f (0) son del mismo orden de magnitud como f (ε ) y el orden de magnitud se calcularía como:

)()}({)( ffOLf == ε (A.1.8.1) )()}({)0( fOfOf == ε (A.1.8.2)

53

De esto se concluye que:

)()0()( fOfLf =− Por lo que el orden de magnitud de la derivada se calcula como:

LfO

dxdf )(

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ (A.1.9)

Es importante que se tenga alguna imagen razonable de la función f(x). Por ejemplo si se considera el problema de flujo en una tubería, se estimaría a Vz como:

Vz= O ( )zV (A.1.10) Y la derivada seria:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

0rV

Odr

dV zz (A.1.11)

Donde zV es el valor promedio de la velocidad y 0r es el radio de la tubería.

Si el flujo es laminar, la derivada varia desde cero en la línea central hasta ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

4rVz en la

pared y la ecuación (A.1.11) no seria una mala estimación. Pero si el fluido es turbulento, se tiene que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

0rV

drdV zz , en la región central (A.1.12)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

0rV

drdV zz , en la región viscosa (A.1.13)

Bajo esas circunstancias, la ecuación (A.1.11) no es una estimación satisfactoria del orden

de magnitud de dr

dVz . Es necesario conocer el comportamiento de la función antes de hacer

una buena estimación. El orden de magnitud de la segunda derivada se define como:

{Orden de magnitud de 2

2

dxfd } dx

dxfd

L

L

⋅≡ ∫0

2

21 (A.1.14)

54

Si la función tiene derivadas monotónicas, se puede descartar el signo del valor absoluto en la ecuación (A.1.14).

{Orden de magnitud de 2

2

dxfd } ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−≡

== 0

1

xLx dxdf

dxdf

L (A.1.15)

Haciendo uso de (A.1.9), se tiene:

LfO

dxdf

Lx

)(=

=

LfO

dxdf

x

)(

0

==

Por lo que la estimación del orden de magnitud de la segunda derivada seria de:

22

2 )(L

fOdx

fd=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (A.1.16)

Y generalizando se obtiene:

nn

n

LfO

dxfd )(

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (A.1.17)

Para probar este método de la estimación del orden de magnitud, se aplicaran las ecuaciones (A.1.9) y (A.1.16) a las cuatro funciones mostradas en la Figura A.1.

Figura A.1. Distintas funciones para estimar el orden de magnitud

55

# de función Función

1 f(x)=A 2 f(x)=2A(x/L) 3 f(x)=6A[(x/L)-(x/L)2] 4 f(x)=A[1+sen2π(x/L)]

En cada caso el valor promedio de la función es A y las estimaciones del orden de magnitud de la primera y la segunda derivadas son:

LA

LfO

dxdf

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ )( (A.1.18)

222

2 )(LA

LfO

dxfd

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (A.1.19)

Tabla A.1. Comparación entre los valores estimados y los valores reales

Curva ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dxdf ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

2

dxfd

Orden de Magnitud

Estimación del orden de magnitud

Orden de magnitud

Estimación del orden de magnitud

1 0 (A/L) 0 (A/L2) 2 2(A/L) (A/L) 0 (A/L2) 3 3(A/L) (A/L) 12(A/L2) (A/L2) 4 4(A/L) (A/L) 8π(A/L2) (A/L2)

Si se observa la tabla A.1, notamos que las estimaciones no son malas, sin embargo, si se tiene más información acerca de la forma de la función, las estimaciones se pueden mejorar. Por ejemplo, la estimación de la curva 4 se mejora si se sabe que en x= L/4 la primera derivada cambia de signo y que la segunda derivada cambia de signo en x=L/2, bajo esas circunstancias el orden de magnitud de esas estimaciones toma la forma: Curva 4:

LA

LfO

dxdf ⋅

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 4

4/)(

222

2 4)2/()(

LA

LfO

dxfd ⋅

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

56

En la estimación del orden de magnitud, uno puede distinguir dos términos que difieren por un factor de 100, es decir, dos órdenes de magnitud; sin embargo, si la estimación indica que esos dos valores difieren por un factor de 10, se puede decir que son iguales en magnitud. Una aplicación del análisis de orden de magnitud

Considérese el bloque de la figura A.2, de espesor b y ancho L son infinitos en la dirección z, por lo que la temperatura es sólo función de “y” y “x”. Si L es mucho mayor que b (L>>b) el flux de calor se puede expresar como

( )10 TTbkqY −= (A.2.1)

Figura A.2. Dominio de solución para un problema de transferencia de calor.

Pero se desea justificar este hecho mediante un análisis de orden de magnitud. Si se supone que la conductividad térmica es constante, el problema matemático es el siguiente:

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yT

xT (A.2.2)

57

Sujeto a las condiciones de frontera CF1 0TT = , y=0, Lx ≤≤0 (A.2.3.a) CF2 1TT = , y=b, Lx ≤≤0 (A.2.3.b)

CF3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−−=b

ysenTTTT2

3)( 010π , x=0 , by ≤≤0 (A.2.3.c)

CF4 2

010 )( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

byTTTT , x=L , by ≤≤0 (A.2.3.d)

El análisis del orden de magnitud es mucho más fácil sí se emplean variables adimensionales, por lo que se definen las siguientes variables adimensionales:

01

0

TTTT

−−

=Θ , bxX = ,

byY = ,

bL

=β

Y rescribiendo ecuaciones (A.2.2) y (A.2.3) se obtiene:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

1β

02

2

2

2

=∂Θ∂

+∂Θ∂

YX (A.2.4)

CF1´ 0=Θ , 0=Y , β≤≤ X0 (A.2.5.a) CF2´ 1=Θ , 1=Y , β≤≤ X0 (A.2.5.b)

CF3´ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅

=Θ2

3 Ysen π , 0=X , 10 ≤≤ Y (A.2.5.c)

CF4´ 2Y=Θ , β=X , 10 ≤≤ Y (A.2.5.d) Utilizando el análisis de orden de magnitud, se obtiene que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Θ=

∂Θ∂

222

2 1)(ββ

OOX

)1(1

)(22

2

OOY

=Θ

=∂Θ∂

58

Para el caso en que 1>>β , es atractivo (pero incorrecto) decir:

2

2

2

2

YX ∂Θ∂

<<∂Θ∂ , para 1>>β (A.2.6)

Con lo cual, simplificando ecuación (A.2.4), se obtiene

02

2

=∂Θ∂

Y (A.2.7)

Sujeta a CF1´´ 0=Θ , 0=Y , (A.2.8.a) CF2´´ 1=Θ , 1=Y , (A.2.8.b) La desigualdad dada por (A.2.6) es una contradicción para (A.2.4), la cual indica que

2

2

2

2

YX ∂Θ∂

−=∂Θ∂ (A.2.9)

Claramente 2

2

X∂Θ∂ no puede ser mucho menor que 2

2

Y∂Θ∂ si este es igual a 2

2

Y∂Θ∂

− . Como el

análisis de orden de magnitud no le importa el signo, por lo que las ecuaciones (A.2.4) o (A.2.9) requieren

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Θ∂

=∂Θ∂

2

2

2

2

YO

X (A.2.10)

Si Θ es esencialmente linear en Y, la estimación del orden de magnitud se leería como

)1(2

2

OY

<<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Θ∂

Cuando β >>1 se concluye que 2

2

Y∂Θ∂ y 2

2

X∂Θ∂ son mucho menores que uno. Aun no se

puede descartar 2

2

X∂Θ∂ para llegar a la ecuación (A.2.7), existe otra forma de llegar a este

resultado. Para esto se integra con respecto a Y mediante el uso de variables mudas como sigue

59

∫=

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Θ∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Θ∂ Y

CdXY

η

η

η0

12

2

(A.2.11)

Integrando otra vez se obtiene

20 0

12

2

CYCddX

Y

++⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Θ∂

−=Θ ∫ ∫=

=

=

=

τ

τ

τη

η

τη (A.2.12)

Sujeto a

0=Θ , 0=Y , 1=Θ , 1=Y ,

Aplicando la primera condición de frontera

0

00

2

2

0

0 012

2

=∴

+⋅+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Θ∂

−= ∫ ∫=

=

=

=

C

CCddX

τ

τ

τη

η

τη

YCddX

Y

∫ ∫=

=

=

=

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Θ∂

−=Θτ

τ

τη

η

τη0 0

12

2

Aplicando la segunda condición de frontera

∫ ∫

∫ ∫

=

=

=

=

=

=

=

=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Θ∂

+=

∴

⋅+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Θ∂

−=

1

0 02

2

1

1

0 012

2

1

11

τ

τ

τη

η

τ

τ

τη

η

τη

τη

ddX

C

CddX

Sustituyendo estos valores en (A.2.12) se obtiene

∫ ∫∫ ∫=

=

=

=

=

=

=

=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Θ∂

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Θ∂

⋅+=ΘY

ddX

ddX

YYτ

τ

τη

η

τ

τ

τη

η

τητη0 0

2

21

0 02

2

(A.2.13)

Estimando el orden de magnitud de la segunda derivada por medio del análisis de orden de magnitud se obtiene

( ) ( )001 2

2

2

2

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Θ∂

+−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Θ∂

⋅+=Θ YX

demagnituddeOrdenX

demagnituddeOrdenYY

60

Pero

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Θ∂

22

2 1β

OX

demagnituddeOrden

Con lo cual se llega a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+=Θ 2

1β

OYY

Factorizando

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=Θ 2

11β

OY (A.2.14)

Si L>>b o β>>1, (A.2.14) se simplifica a

Y=Θ (A.2.15) Que con variables dimensiones es igual a

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

byTTTT )( 010 (A.2.16)

De la cual ecuación (A.2.1) puede ser fácilmente obtenida. Debe mantenerse en mente que el resultado obtenido con el análisis de orden de magnitud que se desarrolló en la sección anterior resultó

)1(2

2

OY

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Θ∂

Mientras que el obtenido mediante (A.2.14) condujo a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Θ∂

22

2 1β

OY

Debido a estos resultados, no se debe de confiar en los resultados obtenidos mediante el análisis de orden de magnitud. Estos resultados deben compararse con experimentos o con una teoría más completa.

61

B. EL TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS, (Slattery,1972).

Considere un observador que se mueve a una velocidad w que es diferente a la velocidad v del fluido. El observador está midiendo una propiedad B del fluido, en donde B puede ser cualquier escalar. Se desea conocer el significado de la tasa de cambio de B con respecto el tiempo medido por el observador. La derivada total está dada por

0

lim t t t

t

B BdBdt t

+∆

∆ →

⎡ − ⎤= ⎢ ⎥∆⎣ ⎦

(B.1)

Pero ( , , , )B B x y z t= Como las coordenadas espaciales dependen del tiempo, la ecuación (B.1) queda como

( ) ( ) ( ){ }, , ,dB d B x t y t z t tdt dt

= ⎡ ⎤⎣ ⎦ (B.2)

Utilizando la regla de la cadena para la diferenciación

, , , , , ,, ,y z t x y t x y zx z t

dB dB dx dB dy dB dz dBdt dx dt dy dt dz dt dt

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(B.3)

Las derivada parcial se refiere a la derivación con respecto a una variable dejando a las demás constantes, por lo que ecuación (B.3) queda como

dB B dx B dy B dz Bdt x dt y dt z dt t

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (B.4)

Donde dtdx es la tasa de cambio de la coordenada x del observador con respecto el tiempo,

es decir, es la componente x de la velocidad w del observador, así

dtdzw

dtdyw

dtdxw

z

y

x

=

=

=

62

Por lo que (B.4) quedaría de la siguiente forma

x y zdB B B B Bw w wdt t x y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (B.5)

Que en notación vectorial es

dB B w Bdt t

→ →∂⎛ ⎞= + •∇⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (B.6)

Si la velocidad w es igual a v, entonces la derivada es llamada la derivada material que es denotada por

dB B v Bdt t

→ →∂⎛ ⎞= + •∇⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (B.7)

Si el observador se queda inmóvil, w=0, la derivada total es igual a la derivada parcial temporal

dB Bdt t

∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠, para w = 0 (B.8)

Ahora se considera la derivada temporal total de la integral de volumen de B sobre ( )tVa . Donde ( )tVa representa un volumen arbitrario moviéndose a través del espacio de un modo especifico. La derivada temporal que buscamos esta dada por

( )

( ) ( )0

( ) ( )

lim a t t a t

a

V V

tV t

B t t dV B t dVd B dVdt t

+∆

∆ →

⎡ ⎤+ ∆ ⋅ − ⋅⎢ ⎥

⎢ ⎥⋅ = ⎢ ⎥∆⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫∫ (B.9)

63

Para poder ver esto físicamente, considérese un volumen, moviéndose a través del espacio por lo que la velocidad de cada punto sobre la superficie del volumen esta dada por w. La velocidad w puede ser función de las coordenadas espaciales (si el volumen está deformándose) y del tiempo (si el volumen está acelerando o desacelerando). En cada instante alguna cantidad, denotada por B, es medida en toda la región ocupada por el volumen ( )tVa . La integral de volumen puede ser evaluada en cada punto en el tiempo para después obtener la derivada temporal dada por (B.9). En la figura B.1 se muestra un volumen en los tiempos t y t + ∆t que se mueve y deforma en el espacio. Durante el intervalo de tiempo ∆t el volumen barre una nueva región designada por ( )tVII y deja atrás una vieja región designada por ( )tVI . Claramente se puede expresar el volumen ( )ttVa ∆+ como

( ) ( ) ( ) ( )tVtVtVttV IIIaa ∆−∆+=∆+ (B.10)

64

Por lo que la integral de ( )B t t⋅ + ∆ en (B.9) se puede poner en la forma

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )a t t a I tII

II IV V t VV t

B t t dV B t t dV B t t dV B t t dV+∆ ∆∆

+ ∆ ⋅ = + ∆ ⋅ + + ∆ ⋅ + + ∆ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ (B.11)

Sustituyendo la ecuación (B.11) en (B.10)

( )

( ) ( )

( ) ( )

0

0

( ) ( )

lim

( ) ( )

lim

a a

a

II I

V t V t

tV t

II IV t V t

t

B t t dV B t dVd B dVdt t

B t t dV B t t dV

t

∆ →

∆ ∆

∆ →

⎡ ⎤+ ∆ ⋅ − ⋅⎢ ⎥

⎢ ⎥⋅ = ⎢ ⎥∆⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤+ ∆ ⋅ − + ∆ ⋅⎢ ⎥

⎢ ⎥+ ⎢ ⎥∆⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫∫

∫ ∫

(B.12)

En el primer término de la derecha se nota que los límites de integración son los mismos por lo que los dos términos pueden ser combinados para obtener

( ) ( ) { }( )

0 0

( ) ( )1lim lim ( ) ( )a a

a

V t V t

t tV t

B t t dV B t dV

B t t B t dVt t∆ → ∆ →

⎡ ⎤+ ∆ ⋅ − ⋅⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ = + ∆ − ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥∆ ∆⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫∫ (B.13)

Como los límites de integración son independientes de ∆t, el límite puede ser tomado adentro del signo de integral, por lo (B.13) toma la forma de

( ) ( ) { }( )

0 0

( ) ( )( ) ( )

lim lima a

a

V t V t

t tV t

B t t dV B t dVB t t B t

dVt t∆ → ∆ →

⎡ ⎤+ ∆ ⋅ − ⋅⎢ ⎥

+ ∆ −⎡ ⎤⎢ ⎥ = ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥∆ ∆⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫∫ (B.14)

65

Se ha reconocido que ( )B t t+ ∆ y ( )B t son evaluados en el mismo punto en el espacio por lo que el termino de la derecha es la integral de una derivada parcial, por lo que (B.14) toma la forma de

( ) ( )

( )0

( ) ( )

lim a a

a

V t V t

tV t

B t t dV B t dVB dV

t t∆ →

⎡ ⎤+ ∆ ⋅ − ⋅⎢ ⎥

∂⎢ ⎥ =⎢ ⎥∆ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫∫ (B.15)

Sustituyendo ecuación (B.15) en ecuación (B.12)

( ) ( )

( ) ( )0

( ) ( )

lim II I

a a

II IV t V t

tV t V t

B t t dV B t t dVd BB dV dVdt t t

∆ ∆

∆ →

⎡ ⎤+ ∆ ⋅ − + ∆ ⋅⎢ ⎥

∂⎛ ⎞ ⎢ ⎥⋅ = +⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ∆⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫∫ ∫ (B.16)

De la figura B.1, se puede observar que los elementos diferenciales de volumen de la nueva y vieja regiones pueden ser expresadas como:

IIII dAtnwdV ⋅∆•+=→→

(B.17)

II dAtnwdV ⋅∆•−=→→

(B.18) Sustituyendo las ecuaciones (B.17) y (B.18) en (B.16)

( ) ( )

0

( ) ( )lim

a a

II I

V t V t

II IA A

t

d BB dV dVdt t

B t t w n t dA B t t w n t dA

t

→ → → →

∆ →

∂⎛ ⎞⋅ = ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

⎡ ⎤+ ∆ ⋅ • ∆ ⋅ + + ∆ ⋅ • ∆ ⋅⎢ ⎥

⎢ ⎥+ ⎢ ⎥∆⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫ (B.19)

66

En el último término de la derecha, se puede cancelar t∆ , y se nota que

( )tAAA aIII →+ Conforme 0→∆t Por lo que (B.19) toma la forma de

( ) ( ) ( )a a aV t V t A t

d BB dV dV B w n dAdt t

→ →∂⎛ ⎞⋅ = + ⋅ • ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (B.20)

La ecuación (B.20) es conocida como el teorema generalizado de transporte. Si el volumen ( )tVa se mueve a la misma velocidad v que el fluido, el volumen ( )tVa se volvería un

volumen material ( )tVm , y la derivada total se convertiría en la derivada material, denotada por

( ) ( ) ( )m m mV t V t A t

D BB dV dV B v n dADt t

→ →∂⎛ ⎞⋅ = + ⋅ • ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (B.21)

La cual es llamada el teorema de transporte de Reynolds.

67

C. EL TEOREMA DEL PROMEDIO ESPACIAL, (Slattery, 1972)

Promedio volumétrico local En el caso de un medio poroso, es necesario asociar a cada punto del medio poroso un promedio volumétrico local de la ecuación diferencial de continuidad

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

∂∂ →

vdivt

ρρ (C.1)

En donde un punto puede estar tanto en la fase sólida como en la liquida o en la interfase sólido-liquido. En la figura C.1, se asocia una superficie cerrada S al punto z que se encuentra en el medio poroso. El volumen que encierra S es V. Se supone que z se encuentra dentro de S, aunque esto no es importante.

Figura C.1 Un volumen conteniendo dos fases.

Los poros que contienen fluido en el interior de S serán denotados por ( )fV , en general, la forma y el volumen de ( )fV cambiarán de punto a punto. La superficie cerrada ( )fS de ( )fV es la suma de eS y wS , en donde eS coincide con S y wS coincide con las paredes del poro. eS representa tanto las superficies de entrada como las de salida a través las cuales el fluido pasa adentro y afuera de ( )fV . Se necesita hacer un balance de masa para el fluido que se encuentra adentro de la superficie S, la manera más conveniente para hacer esto, es integrando la ecuación diferencial de continuidad sobre ( )fV , que es la región ocupada por el fluido adentro de S.

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( )

0=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

∂∂

∫→

dVvdivt

fV

ρρ (C.2)

Se puede intercambiar la integral de volumen con la derivada parcial en el primer término de la izquierda para obtener

( ) ( )

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅

∂∂

∫∫→

dVvdivdVt

ff VV

ρρ (C.3)

O también

( )

01=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

∂∂

∫→

−

dVvdivVt

fV

ρρ (C.4)

Si B es cualquier escalar, vector espacial o un tensor de segundo orden asociado con el fluido, se define

( )

dVBV

BfV∫ ⋅≡

− 1 (C.5)

En donde −

B es un promedio volumétrico local sobre V de una cantidad B asociada con el fluido. Esta definición fue aplicada en la ecuación (C.4). En ésta ecuación no se puede intercambiar la integral del volumen por la divergencia, ya que los limites sobre la integral de volumen dependen de la geometría del poro encerrado por S y deben ser función de la posición z. De nuevo, si B es cualquier escalar, vector espacial o un tensor de segundo orden asociado con el fluido. Entonces

( )

dVBV

BfV∫ ⋅∇≡∇

1 (C.6)

La pregunta es, bajo que circunstancias se puede intercambiar el promedio volumétrico con el operador gradiente para obtener

( )

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅∇≡∇ ∫ dVB

VB

fV

1 (C.7)

Si se asocia una superficie S a cada punto en el medio poroso considérese una curva arbitraria pasando a través del medio poroso como se muestra en la figura C.2., “s” será un

69

parámetro tal como la longitud de arco medido a lo largo de esta curva. Se puede identificar con cada punto a lo largo de esta curva un volumen denotado por ( )fV compuesto por los poros conteniendo fluido encerrado por la superficie S. Se puede pensar que ( )fV es una función del parámetro s a lo largo de esta curva. Ahora, si se reemplaza el parámetro tiempo por s en el teorema de transporte de Reynolds, dado por la ecuación (B.21), se tiene que

( ) ( ) ( )∫∫∫ ⋅•⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⋅→

→

fSfVfV

dSnds

pdBdVsBdVB

dsd (C.8)

Figura C.2 Puntos sobre una trayectoria “s” y su asociación con un volumen V(f)(s).

Aquí p es la posición del campo vectorial. Si B es solo función de la posición (y el tiempo), entonces

0=∂∂

sB (C.9)

Como función de s, el sistema artificial de partículas claramente se mueven tangencialmente a la pared del poro fijado sobre wS

70

0: =•→

→

nds

pdSEn w (C.10)

Si ( )sr0 es el vector de posición localizando al punto s sobre la curva arbitraria y ( )sr es el vector de posición localizando puntos sobre ( )fS relativos al punto (que está al centro de las esferas ilustradas en las figuras C.2 y C.3). Siempre que S sea trasladada sin rotación a lo largo de esta curva arbitraria identificándola con cada punto en el medio poroso, tenemos que

0 0:edr drdp drEn S

ds ds ds ds= + = (C.11)

Figura C.3

Con las ecuaciones (C.9), (C.10) y (C.11) se puede reescribir (C.8) como

( ) ( )∫ ∫∫ ⋅•⋅=⋅∇•=⋅

→→

fV SfV e

dSndS

rdBdVBdsdrdVB

dsd 00 (C.12)

y dado que dsdr0 es independiente de la posición sobre eS ,

71

( ) dSrddSnBdVB

dsdr

fV Se

→→

•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅∇• ∫ ∫ 00 (C.13)

Lo anterior es válido para cualquier curva arbitraria pasando a través del medio poroso, entonces

( )

∫∫ ⋅=⋅∇ef SV

ndSBdVB (C.14)

Usando el teorema de la divergencia en (C.6) se obtiene

( )

dSnBV

dVBV

wef SSV∫∫+

⋅⋅=⋅∇11 (C.15)

Con lo cual se obtiene el siguiente resultado

( ) ( )

dSnBV

B

dSnBV

dVBV

dVBV

B

Sw

SwVV ff

∫

∫∫∫

⋅⋅+∇=

⋅⋅+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅∇=⋅∇≡∇

1

111

(C.16)

Al cual uno se referiría como el teorema del promedio volumétrico para un gradiente. Un caso especial de (C.16) es

( )

dSnBV

Bdiv

dVBdivV

Bdiv

Sw

V f

∫

∫

⋅•+=

=⋅⋅≡

→→→

→→

1

1

(C.17)

Aquí →

B deber ser interpretado como un campo vectorial o un campo tensorial de segundo orden. Por lo que ecuación (C.17) deber ser referida como el teorema para el promedio volumétrico de una divergencia. Ahora, aplicando (C.17) a

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( )

01=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

∂∂

∫→

−

dVvdivVt

fV

ρρ

Se obtiene

0=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+∂∂ →

−

vdivt

ρρ

Para obtener el anterior resultado se aplicó la condición de no deslizamiento, es decir, la velocidad del fluido es cero sobre las paredes del poro wS . El promedio volumétrico del

flux de materia, →

vρ , para el caso de densidad constante es igual a →

⋅ vρ . Entonces, para un fluido incompresible en un medio poroso

0=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛→vdiv

modelamiento y simulación de la temperatura promedio en...

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