modele de decizie aplicate in economie.pdf
TRANSCRIPT
1
FACULTATEA DE FINANŢE, BĂNCI ŞI CONTABILITATE BRAŞOV
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A
PROCESELOR ECONOMICE
TEMA 2
MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU
Facultatea de Finanţe, Bănci şi Contabilitate Braşov
Universitatea Creştină “Dimitrie Cantemir”
2.1 DEFINIREA PROBLEMEI DE DECIZIE
2.1.1 Contextul problemei de decizie
În activitatea de management din cele mai diverse domenii de activitate (cum ar fi cele
politice, economice, militare, tehnologice sau administrative) unul din elementele de bază îl
reprezintă rezolvarea problemelor de luare a deciziilor. Importanţa deciziilor ce trebuie
adoptate, dar şi complexitatea şi dificultatea alegerii acestora, impun o abordare coerentă a
problemelor de decizie. Teoria deciziei reprezintă în esenţă atitudinea ştiinţifică faţă de
procesul de adoptare a deciziilor. Componentele de bază ale acestui proces pot fi analizate în
mod sistematic pentru a evidenţia legităţile acestui proces. Ignorarea sau încălcarea acestor
legităţi rezultate din analiza aspectelor concrete al problemelor de decizie poate genera
adoptarea unor decizii empirice, incorecte sau neadecvate. Teoria matematică a deciziei, ale
cărei principale noţiuni le vom prezenta în cadrul acestui capitol, se bazează pe conceptele din
teoria probabilităţilor şi din statistica matematică, completate de o disciplină mai nouă,
respectiv teoria utilităţii. Abordarea problematicii riscului într-o manieră riguroasă implică şi
rezolvarea unor probleme de decizie care să conducă la minimizarea riscului şi a pierderilor
de orice natură asociate diferitelor decizii adoptate şi acţiunilor aplicate.
Într-o problemă de decizie, un decident individual (de obicei un manager) sau colectiv
(un comitet sau un board de conducere) trebuie să aleagă din mai multe alternative, în funcţie
de anumite criterii sau reguli de decizie, astfel încât decizia aleasă să fie – din anumite puncte
de vedere – „cea mai bună”. Alternativele pe care le are decidentul sunt constituite dintr-un
spaţiu de acţiune, care conţine toate acţiunile posibile pe care decidentul le are la dispoziţie.
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
2
În general, în majoritatea problemelor de decizie, spaţiul de acţiune este o mulţime finită, dar
există şi probleme de decizie cu spaţiul de acţiune infinit. Un alt element care defineşte o
problemă de decizie îl constituie spaţiul de parametri, sau spaţiul stărilor naturii, care
reprezintă starea adevărată a lumii reale. Consecinţele fiecărei acţiuni depind de evenimente
incerte, reprezentate de starea naturii. Într-o problemă de decizie, decidentul poate să aibă, sau
nu, la dispoziţie informaţii privind incertitudinile ce caracterizează problema de decizie.
Aceste informaţii suplimentare rezultă de obicei pe baza efectuării unor experimente,
înţelegând prin aceasta sensul cel mai larg de definire a experimentelor de natură statistică,
respectiv, activităţile de culegere şi prelucrare a informaţiei referitoare la un anumit fapt. Dacă
decidentul nu foloseşte informaţii din experimente pentru adoptarea deciziei, spunem că avem
o problemă de decizie fără experimentare. Dacă însă în procesul de adoptare a deciziei sunt
utilizate informaţiile provenite din experimente, spunem că avem o problemă de decizie cu
experimentare. Informaţia este de cele mai multe ori de natură statistică, furnizând modelul
probabilistic ataşat problemei de decizie. Informaţiile din experimente se referă la variabilele
aleatoare care definesc spaţiul de eşantionare al problemei de decizie.
Deciziile în care probabilitatea de apariţie a fiecărei stări a naturii este cunoscută (sau
poate fi estimată) sunt definite ca fiind decizii luate în condiţii de incertitudine sau de risc. În
asemenea situaţii, decidentul poate evalua gradul de risc în termenii unei distribuţii de
probabilitate. Astfel, probabilităţile în adoptarea deciziei pot fi văzute ca un mijloc de a
exprima convingerea decidentului asupra evenimentelor viitoare, care sunt însă incerte.
Probabilităţile care evaluează stările naturii sunt obiective şi subiective. Probabilităţile
obiective pot fi determinate pe baza datelor istorice sau ca urmare a experimentelor şi trebuie
să fie actuale, numărabile sau observabile. Probabilităţile subiective măsoară gradul de
convingere în verosimilitatea apariţiei viitoare a unui anumit rezultat şi se utilizează atunci
când probabilităţile obiective nu sunt accesibile sau nu pot fi utilizate.
Pentru fiecare problemă de decizie se defineşte o funcţie de pierdere, care cuantifică
pierderea asociată fiecărei consecinţe a acţiunilor adoptate, pentru fiecare stare a naturii.
Pierderea este cel mai adesea exprimată în termeni monetari, dar pot fi şi alte modalităţi de
măsurare a pierderii. Pe baza funcţiei de pierdere, se poate determina funcţia de risc, ca fiind
valoarea medie sau valoarea aşteptată a pierderii, definiţie ce implică utilizarea
probabilităţilor.
Criteriile sau regulile de decizie se împart în două categorii. Este vorba despre criteriul
minimax şi despre criteriul Bayes. Criteriul minimax se aplică mai ales deciziilor fără
experimentare, în care se evaluează pierderile maxime datorate acţiunilor adoptate şi apoi se
alege decizia care are o pierdere minimă. Acest criteriu de decizie este unul conservator,
pesimist, care ne asigură protecţia asupra unor variaţii crescute ale riscului, respectiv
minimizează riscul maxim.
Criteriul de decizie Bayes ia în considerare şi alte informaţii de care dispune decidentul
în legătură cu stările naturii care este posibil să apară. În aceste situaţii, decidentul ţine seama
de convingerile sale privind starea naturii, reprezentate sub forma unei distribuţii de
probabilitate, respectiv aşa-numita distribuţie a convingerii. Funcţia de risc de tip Bayes
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
3
exprimă pierderea medie pentru decizia considerată, condiţionată de adevărata stare a naturii,
calculată în funcţie de densitatea de probabilitate a convingerii. Procedura de decizie Bayes
indică decidentului alegerea acţiunii care minimizează pierderea medie, pierdere evaluată în
funcţie de valorile distribuţiei de probabilitate iniţiale considerate pentru toate stările posibile
ale naturii. Această alegere se poate face fără utilizarea unor informaţii suplimentare rezultate
ca urmare a experimentării. Dacă însă decidentul poate dispune de aceste informaţii
suplimentare, atunci ele trebuie aplicate pentru adoptarea deciziei.
În cadrul experimentării, decidentul analizează variabilele aleatoare care conţin valorile
spaţiului de eşantionare. El va stabili o procedură de decizie sau o strategie, care să-i indice
acţiunile pe care trebuie să le aplice pentru fiecare valoare a variabilei aleatoare, urmărind
alegerea funcţiei de decizie optimale. Funcţia de risc, calculată cu ajutorul probabilităţilor
iniţiale oferă un mijloc de a defini optimalitatea, respectiv minimizarea riscului pentru fiecare
stare a naturii. Dar în majoritatea cazurilor, această funcţie optimală nu există şi atunci va
trebui să găsim o modalitate de găsire a deciziei optimale cu ajutorul probabilităţilor
posterioare, care înseamnă de fapt încorporarea în modelul de decizie a tuturor informaţiilor
disponibile despre starea naturii.
Înainte de a proceda la utilizarea experimentelor statistice, care de cele mai multe ori au
costuri semnificative, este necesar însă să evaluăm valoarea potenţială pe care o aduc aceste
experimente. Pentru acesta vom evalua mai întâi valoarea „informaţiei perfecte” a
experimentului, respectiv valoarea pe care decidentul este dispus să o plătească pentru această
informaţie perfectă. Abordările minimax şi Bayes conduc, în general, la rezultate diferite
privind alegerea deciziei optimale, cu toate că anumite alegeri ale distribuţiei convingerii
poate conduce la soluţii similare ale problemei de decizie.
Un alt element important într-o problemă de decizie o constituie problema „asumării
riscului”, respectiv a atitudinii faţă de risc a decidentului. Aceasta înseamnă decizia de a
rămâne într-o stare neschimbată (status-quo) sau decizia de a intra într-o situaţie de
incertitudine, care poate duce la câştig sau la pierdere. O abordare a acestei probleme este dată
de funcţia de utilitate, care poate fi văzută ca o „pierdere negativă”, urmărindu-se
maximizarea utilităţii printr-o decizie optimală. Dacă funcţia de utilitate marginală este
descrescătoare, atunci decidentul are aversiune la risc, iar atunci când funcţia de utilitate este
crescătoare, suntem în cazul unui decident care îşi asumă riscul.
În fine, o problemă de decizie secvenţială cu stadii multiple poate fi analizată şi cu
ajutorul arborilor de decizie, metodă care are avantajul de a furniza o reprezentare grafică
clară a alternativelor şi a cronologiei evenimentelor problemei de decizie. Un arbore de
decizie este alcătuit din noduri şi din ramuri. Există două tipuri de noduri, respectiv noduri de
decizie (reprezentate printr-un pătrat) şi noduri de incertitudine (reprezentate printr-un cerc).
Ramurilor de incertitudine li se ataşează probabilităţi, în funcţie de condiţionările pentru
fiecare ramură a arborelui de decizie.
Cele două metode de rezolvare a problemei de decizie, cea analitică şi cea grafică au
fiecare avantaje şi cel mai bine se utilizează împreună pentru determinarea soluţiei optimale a
problemei de decizie.
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
4
2.1.2 Scurt istoric al teoriei deciziei
Încercând o scurtă schiţă istorică a evoluţiei conceptelor din teoria deciziei, care are de
fapt o istorie recentă de circa 50 de ani, să remarcăm faptul că teoria probabilităţilor,
statistica, teoria utilităţii şi teoria jocurilor sunt principalele domenii ale matematicii care se
utilizează pentru rezolvarea problemelor de decizie.
Primele idei de teoria probabilităţilor se consideră că au fost introduse de Cardano, în
anul 1550, în lucrarea „Liber de Ludo Aleae” (Carte asupra jocurilor de noroc). Tot de
jocurile de noroc şi de numele lui Pascal şi Fermat se leagă principiile de bază ale teoriei
probabilităţilor, conţinute într-un schimb de scrisori între cei doi în anul 1654, ca rezolvare a
unei probleme din jocul de zaruri. Omul de ştiinţă olandez Christian Huygens, pe baza
conceptelor lui Pascal şi Fermat, a publicat în anul 1657 prima carte de teoria probabilităţilor,
intitulată „De Ratiociniis in Ludo Aleae” (Asupra raţionamentelor în jocurile de noroc). În
secolul al XVIII-lea, teoria probabilităţilor devine din ce în ce mai populară, contribuţii
importante având Jacob Bernoulli („Ars Conjectandi” – 1713) şi Abraham de Moivre
(„Doctrine of Chances” – 1713). Bernoulli este primul care demonstrează prima teoremă
limită a probabilităţilor, respectiv legea numerelor mari. Secolul al XIX-lea constituie
începutul abordării moderne în teoria probabilităţilor şi în statistica matematică. Carl
Friederich Gauss arată, în anul 1809, că repartiţia normală (celebrul „clopot” al lui Gauss)
reprezintă un model matematic adecvat pentru distribuţia erorilor de măsurare. În anul 1812,
Pierre de Laplace în lucrarea „Théorie Analytique des Probabilités” dezvoltă noi idei şi noi
domenii de aplicare a probabilităţilor în afara jocurilor de noroc, cum sunt teoria erorilor (la
care contribuţii importante a adus şi Gauss), matematicile actuariale, mecanica statistică ş.a.
În a doua jumătate a secolului XIX, se pot consemna numele lui Chebyshev şi Markov în
domeniul probabilităţilor şi ale lui Galton şi Pearson în statistica matematică.
Ca şi în alte domenii ale matematicii, dezvoltarea teoriei probabilităţilor a fost stimulată
de diversitatea aplicaţiilor sale. Statistica matematică este unul din cele importante domenii
aplicare a probabilităţilor. Statistica era la începuturile sale o ştiinţă politică cu originile în
Germania şi este destul de dificil de apreciat când termenul a fost utilizat în sens matematic
pur. De la primele sale obiective, de a sistematiza informaţiile despre stare societăţii (deci o
„matematică a statului”), statistica şi-a dovedit în ultimele două secole aplicaţiile sale în toate
domeniile ştiinţifice şi sociale.
Ultimul secol a consemnat dezvoltările teoretice importante ale lui von Mises, Keynes,
de Finetti, Borel şi Kolmogorov, ultimul având o contribuţie remarcabilă în axiomatizarea
modernă a teoriei probabilităţilor. Evident că lista celor care şi-au adus aportul la dezvoltarea
teoriei probabilităţilor este departe de a fi completă şi conţine numai o parte din marile nume
în domeniu. Şi în statistica matematică pot fi menţionate, cum ar fi cele aduse de Fisher,
Pearson, Neymann etc. În ultimele decenii, teoria probabilităţilor a fost integrată într-o
disciplină mai generală şi anume în teoria măsurii. Şi şcoala românească de teoria
probabilităţilor şi statistică matematică are în ultima jumătate de secol rezultate teoretice şi
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
5
practice importante, datorate îndeosebi academicienilor Octav Onicescu, Gheorghe Mihoc şi
Marius Iosifescu. Teoria probabilităţilor şi statistica matematică se studiază sistematic în toate
facultăţile de matematică din ţară.
Conceptele de teoria utilităţii au fost introduse iniţial de von Neumann şi Morgerstern în
lucrarea Theory of Games and Economic Behaviour (1947). Contribuţia principală la
construirea unei adevărate teorii a deciziei este adusă de Abraham Wald prin lucrarea
fundamentală Statistical Decision Functions (1950). Wald abordează problemele
fundamentale ale statisticii matematice ca fiind probleme de decizie. Generalizând problemele
de estimaţie şi de verificare a ipotezelor statistice, Wald a formulat modelul general al
problemei de decizie.
În anii ’60 – ‘70, contribuţii semnificative la dezvoltarea teoriei deciziei au adus L. J.
Savage, D. Luce, H. Raifa, K. Arrow şi alţii. Eforturile s-au concentrat pe rezolvarea unor
probleme de decizie complexe ale societăţii contemporane, cu o mare cantitate de informaţie,
pe care numai calculatoarele electronice – care au cunoscut şi ele o dezvoltare explozivă în
această perioadă – o pot prelucra pe baza algoritmilor şi a modelelor dezvoltate în teoria
deciziei.
În literatura de specialitate din ţara noastră, direcţiile de cercetare în domeniul teoriei
deciziei s-au concentrat asupra abordării probabiliste şi statistice datorată profesorilor M.
Maliţa şi C. Zidăroiu (abordare de tipul celei prezentate în cadrul acestui capitol), dar şi
aspecte de decizie din teoria jocurilor (abordare pe care nu o vom discuta aici). Nu vom
discuta, de asemenea, în cadrul acestui capitol, nici procesele de decizie stocastice care
implică utilizarea lanţurilor Markov şi care necesită un aparat probabilistic mai avansat.
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
6
2.2 MODELUL MATEMATIC AL PROBLEMEI DE DECIZIE
2.2.1 Elementele generale ale modelului
Elementele de bază ale modelului general al unei probleme de decizie pot fi formalizate
matematic astfel:
Definim o mulţime A, denumită spaţiu de acţiune, alcătuită din toate acţiunile posibile
Αa de care dispune decidentul;
Definim o mulţime , denumită spaţiu de parametri, alcătuită din toate “stările
naturii” posibile . O singură stare a naturii şi numai una va apărea, dar starea
“adevărată” nu este cunoscută de decident în momentul în care el alege o acţiune;
Definim o funcţie L, denumită funcţie de pierdere, cu domeniul Α şi cu valori în
mulţimea R (mulţimea numerelor reale). L este constituită din perechile ordonate
Α,,, aa , denumite consecinţe (ale alegerii acţiunii a, atunci când starea
adevărată a naturii este );
Considerăm variabila aleatoare X, care are valorile posibile Xx , denumit spaţiu de
eşantionare. Variabila aleatoare X are funcţia de densitate de probabilitate în familia
;xf ;
Definim mulţimea D, denumită spaţiu de decizie, alcătuită din toate aplicaţiile d din X în
A.
Interpretarea modelului de mai sus este următoarea. În momentul în care decidentul îşi
alege acţiunea, el nu cunoaşte “adevărata” stare a naturii şi deci nu cunoaşte consecinţa
actuală a acţiunii sale (dacă el alege Aa , atunci consecinţa actuală a, este
necunoscută, deoarece starea este necunoscută). Decidentul ştie totuşi “pierderea” care
ar rezulta pentru fiecare din consecinţele posibile a, , corespunzătoare cu alegerea acţiunii
Aa şi starea naturii . Desigur, “pierderea” poate fi şi “câştig”, caz în care valoarea
lui aL , va fi negativă. Ca alternativă la funcţia de pierdere, putem să lucrăm cu o funcţie
de “câştig” sau o funcţie de “utilitate”. Pentru a reduce incertitudinea asupra stării ,
decidentul culege informaţie sub forma observării unei variabile aleatoare X, a cărui
distribuţie de probabilitate depinde de parametrul . Ştiind că xX şi ştiind forma lui
xf , decidentul poate extrage “informaţie” despre parametrul , care să îl ajute în
alegerea unei “strategii” generale, care defineşte, pentru fiecare xX , alegerea acţiunii a.
Sintetizând modelul general al problemei de decizie, decidentul alege o acţiune Aa ,
pe baza observaţiilor asupra valorilor variabilei aleatoare Xx . Alegerea unei “strategii”
generale, care defineşte pentru fiecare xX , alegerea lui a, este echivalentă cu alegerea
funcţiei de decizie Dd . După ce a fost aleasă, funcţia de decizie d specifică acţiunile care
trebuie să fie aplicate pentru toate valorile posibile xX .
Teoria deciziei poate fi văzută ca fiind studiul selectării deciziei d din mulţimea D.
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
7
Aceasta implică două tipuri diferite de probleme. Prima, de natură “filosofică”, este problema
criteriului utilizat pentru compararea elementelor din D; a doua, de natură “tehnică”, priveşte
modul de determinare a unei decizii optime, pe baza criteriului ales.
O problemă de decizie poate fi văzută şi ca fiind un “joc împotriva naturii”. Aceasta
însemnă că “natura” alege un element şi apoi decidentul, fără a cunoaşte starea
aleasă de natură, alege, la rândul lui, un element Aa . Rezultatul acestor două alegeri este
pierderea de către decident a cantităţii aL , , pierdere care poate fi măsurată într-o unitate
de măsură adecvată (nu neapărat în bani). Posibilitatea observării unei variabile aleatoare X,
cu densitatea de probabilitate xf , furnizează decidentului o informaţie limitată despre
alegerea naturii. Alegerea funcţiei de decizie poate fi văzută însă ca o “strategie de joc”.
Să notăm, de asemenea, că două din domeniile majore ale statisticii inferenţiale –
respectiv estimarea şi testarea ipotezelor – sunt ambele cazuri speciale ale modelului general
de decizie prezentat mai sus. Vom detalia aceste cazuri în cursul acestui capitol.
2.2.2 Regulile de decizie minimax şi Bayes
La prima impresie, s-ar putea crede că alegerea funcţiei de decizie optime este relativ
simplă, deoarece vom alege o funcţie Dd astfel încât pierderea să fie minimizată,
indiferent de starea naturii care apare. Totuşi, acest lucru nu este posibil dacă nu ştim
adevărata stare a naturii, caz în care nu suntem de fapt în faţa unei probleme de decizie.
Pentru a ilustra acest lucru, să presupunem că dorim estimarea unui parametru
necunoscut real, cu o funcţie de pierdere pătratică de forma 2aaL , . Să
presupunem că am observat variabila aleatoare xX şi că xda este estimarea lui
specificată de d. Dacă valoarea adevărată a parametrului este , vom avea o pierdere
2xd . Dacă, în fapt, 0 , va trebui să luăm 0xd pentru a minimiza pierderea;
dacă însă 1 , va trebui să luăm 1xd . Dar deoarece nu ştim valoarea lui , nu vom
putea selecta xd pentru minimizarea pierderii. Din punct de vedere matematic, problema
nu este bine definită.
O metodă posibilă pentru alegerea unei funcţii de decizie d “cât mai bune”, în termenii
unei cantităţi care să poată fi calculată, este găsirea unei măsuri care să evalueze “în medie ”
strategia de decizie aleasă.
Fie funcţia R, definită pe D cu valori reale, definită prin
X
,, dxxfxdLdR (X continuă) (2.1)
şi
X
,,x
xfxdLdR (X discretă). (2.2)
Funcţia R se numeşte funcţia de risc a lui d, evaluată pentru .
Riscul dR , măsoară deci valoarea medie a pierderii (sau valoarea aşteptată a
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
8
pierderii), utilizând funcţia de decizie d, dacă starea adevărată a naturii este şi în raport cu
distribuţia specificată xf .
Notând operatorul pentru valoarea medie cu X
M , putem scrie
xdLMdRX
,,
. (2.3)
Operatorul X
M poate fi aplicat pentru orice funcţie ,xg a cărei valoare medie în
raport cu X există, astfel încât
X
,, dxxfxgxgMX
. (2.4)
Putem utiliza de asemenea şi operatorul pentru varianţă X
V , definit ca
22
,,, xgMxgMxgVXXX
. (2.5)
Exemplul 2.1 Să analizăm problema estimării parametrului , utilizând funcţia de pierdere
pătratică
2aaL , , (2.6)
şi un eşantion aleator nXXXX ,,, 21 dintr-o distribuţie normală cu media 0 şi
abaterea standard 1, 10,N . Considerăm următoarele reguli de decizie:
XXXXn
XXXd nn 21211
1,,, , (2.7)
nn XXXmedianaXXXd ,,,,,, 21212 , (2.8)
0213 nXXXd ,,, . (2.9)
Conform relaţiilor de mai sus, 1d este media eşantionului, 2d este mediana
eşantionului, iar 3d este o regulă de decizie care statuează că “se ignoră orice valoare a
eşantionului şi întotdeauna se estimează ca fiind 0”. Calculând funcţiile de risc pentru
aceste decizii obţinem
n
XVXMdRXX
12
1 , . (2.10)
(în acest caz X are o distribuţie normală nN 1, .
Ţinând cont că mediana are o distribuţie normală nN 2 , obţinem
nn
XXmedianaMdR nX
571
2
2
12
,,,,
. (2.11)
Pentru 3d obţinem
222
3 0
XX
MMdR , . (2.12)
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
9
Funcţiile de risc pentru 21 dd , şi 3d sunt reprezentate în Figura 2.1
Figura 2.1 – Funcţiile de risc pentru deciziile d1, d2 şi d3
În condiţiile problemei noastre (distribuţie normală şi funcţie de pierdere pătratică), se
observă că mediana nu este un estimator acceptabil, având în vedere că funcţia de risc a
mediei are toate valorile mai mici decât ale medianei, pentru orice . În acelaşi timp, media
nu este în mod necesar un estimator mai bun decât 3d , ţinând cont că în vecinătatea lui 0,
funcţia de risc a lui 3d are valorile de risc cele mai mici. Din acest exemplu observăm că
funcţiile de risc în sine nu ne furnizează un criteriu de alegere între 1d şi 3d .
Exemplul următor ilustrează tocmai dificultatea alegerii regulilor de decizie.
Exemplul 2.2 Fie nXXXX ,,, 21 un eşantion aleator din distribuţia normală
,N , cu 0 , adică o distribuţie normală având media şi dispersia egale cu . Vom
estima parametrul utilizând aceeaşi funcţie de pierdere pătratică 2aaL , .
Considerăm funcţiile de decizie
XXXXn
XXXd nn 21211
1,,, , (2.13)
şi
n
iin XX
nXXXd
1
2
2121
1,,, , (2.14)
Calculând funcţiile de risc, obţinem
n
XVXMdRXX
2
1, , (2.15)
şi
XdVXdMdRXX 2
2
22 , , (2.16)
dar deoarece
2
2 XdMX
, obţinem
1
2 2
2
n
dR
, . (2.17)
n
571,
n
1
0
dR ,
1d
2d
3d
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
10
dR ,
1d
2d
Rezultă că 21 dRdR ,, dacă n
n
2
1 şi 21 dRdR ,, dacă
n
n
2
1 ,
egalitatea având loc dacă n
n
2
1 . Graficele funcţiilor de risc corespunzătoare deciziilor 1d
şi 2d pentru 2n sunt reprezentate în Figura 2.2.
Figura 2.2 – Funcţiile de risc pentru deciziile d1, şi d2
Analizând figura de mai sus, observăm că dacă ştim că 41 , atunci decizia 2d este
optimă, dar dacă ştim că 41 atunci decizia este 1d optimă. Problema este că nu ştim
valoarea lui şi astfel trebuie să găsim şi alte criterii care să ne ajute să alegem. În general, o
problemă de decizie conduce la un mare număr de funcţii de decizie posibile (mulţimea D are
un număr foarte mare de elemente) şi modelele grafice prezentate anterior nu mai pot fi
aplicate. De aceea, va trebui să căutăm criterii generale, care să ne permită selecţia regulilor
“optimale” din spaţiul de decizie D. Prin termenul “optimal” vom înţelege în continuare cea
mai bună soluţie pe care o alegem într-un context dat.
Vom analiza în cele ce urmează două astfel de criterii, cunoscute sub denumirea de
criteriul (regula) minimax şi criteriul Bayes. Pentru a detalia aceste concepte, să considerăm
două funcţii de risc ipotetice corespunzătoare regulilor de decizie 1d şi 2d pentru o problemă
de decizie cu spaţiul de parametri , reprezentate în Figura 2.3.
Figura 2.3 – Două funcţiile de risc ipotetice
1/4
dR ,
1d
2d
1/8
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
11
Pentru majoritatea valorilor lui , 2d are un risc mai mic decât 1d , dar există valori ale
lui pentru care 2d are un risc considerabil mai mare. Ce se poate face în asemenea situaţii?
Sunt posibile două abordări ale acestei probleme:
a) Alegerea lui 1d , care ne protejează asupra unor variaţii crescute ale riscului, respectiv
minimizează riscul maxim;
b) Considerarea şi a altor informaţii de care dispunem şi analizarea valorilor lui care
este probabil să apară. Dacă suntem convinşi că valorile lui vor fi în intervalul în care
2d are riscul maxim, atunci vom alege 1d . Dacă, pe de altă parte, avem convingerea că
este puţin probabil ca valorile lui să fie în intervalul de risc maxim, atunci vom alege
2d . În ambele cazuri, în analiză am introdus convingerile noastre privind valorile lui .
Aceste exemple intuitive ne conduc la următoarea formalizare. Pentru a), vom alege
decizia *d astfel încât
dRdRDd
,supinf*,sup
. (2.18)
Cu alte cuvinte, vom alege funcţia de decizie al cărui risc maxim este cel mai mic, dintre toate
valorile posibile de riscuri maxime corespunzătoare deciziilor d din D. *d se numeşte funcţie
de decizie minimax. Pentru b), presupunem că convingerile noastre referitoare la pot fi
reprezentate sub forma unei funcţii de densitate de probabilitate p cu domeniul . De
exemplu, în Figura 2.4 sunt reprezentate două distribuţii posibile 1p şi 2p pentru distribuţia
convingerii (în engleză belief distribution) p pe care le asumăm pentru .
Am văzut că funcţia de risc dR , exprimă pierderea medie pentru decizia d,
condiţionată de faptul că este adevărata stare a naturii. Considerând dR , o funcţie de
, pentru d fixat, putem să calculăm valoarea sa medie în raport cu distribuţia convingerii
p .
Definim riscul Bayes dB pentru o funcţie de decizie d ca fiind
dpdRdB , , ( continuă) (2.19)
sau
pdRdB , , ( discretă) (2.20)
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
12
Figura 2.4 – Forme posibile ale distribuţiei convingerii
Este natural să căutăm acum o funcţie de decizie care minimizează pierderea totală,
adică
xdLMMdBX
, . (2.21)
*d este, prin definiţie, o funcţie de decizie Bayes dacă
dBdBDd
inf* . (2.22)
Să remarcăm că, dată fiind o problemă de decizie, *d nu este unică deoarece ea
depinde de alegerea lui p . Spunem că *d este o funcţie de decizie Bayes în raport cu
p .
Exemplul următor ilustrează abordările minimax şi Bayes.
Exemplul 2.3 Pentru problema de decizie din Exemplul 2.1 avem
n
dR1
1 ,sup
, (2.23)
n
dR571
2
,,sup
, (2.24)
3dR ,sup
, (2.25)
Să presupunem acum că suntem siguri că variază în intervalul
10
1
10
1, şi în acest
interval avem convingerea că nu există valori ale lui care să fie mai plauzibile decât altele.
Convenim deci să reprezentăm această convingere printr-o distribuţie uniformă pe intervalul
10
1
10
1, şi avem
5
10
1
10
1
1
p . (2.26)
dR ,
p 1p 2
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
13
dR ,
d 1
d 2
d 3
d 4
Atunci funcţiile de risc Bayes sunt
n
dn
dB1
51
101
101
1
, (2.27)
n
dn
dB571
5571
101
101
2
,,
, (2.28)
300
15
101
101
2
3
ddB , (2.29)
Rezultă că dacă 300n , funcţia de decizie Bayes este 1d , dacă 300n atunci 1d şi
3d au acelaşi risc Bayes, iar dacă 300n atunci 3d este decizia cu riscul Bayes cel mai
mic. Totuşi, dacă convingerea noastră stabilită a priori ar fi fost diferită, de exemplu o
distribuţie uniformă pe intervalul 1 1, , urmând aceeaşi procedură ca mai sus, cele trei
valori ale riscului Bayes ar fi fost
n
dB1
1 , n
dB571
2
, ,
3
13 dB , (2.30)
şi deci pentru 3n , 1d este decizia preferată din punct de vedere Bayes.
Am analizat până acum două abordări posibile pentru alegerea regulilor de
decizie, respectiv abordarea minimax şi abordarea Bayes. Din exemplele anterioare, a rezultat
că aceste abordări conduc, în general, la răspunsuri diferite privind alegerea funcţiei de
decizie optimale (deşi pentru anumite alegeri a priori ale distribuţiilor de probabilitate ale
convingerii privind starea naturii, cele două abordări pot conduce la acelaşi rezultat).
2.2.3 Decizii admisibile
Să considerăm funcţiile de risc din Figura 2.5. Este clar că funcţiile 1d şi 2d vor fi
eliminate de la început din analiză. Funcţiile 3d şi 4d au un risc relativ similar şi rămâne să
alegem între ele.
Figura 2.5 – Funcţiile de risc pentru diferite funcţii de decizie
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
14
Fiind dată o funcţie de decizie Dd , dacă există o altă funcţie Dd care satisface
proprietăţile
dRdR ,, pentru orice valori , (2.31)
şi
dRdR ,, 00 pentru anumite valori 0 , (2.32)
atunci decizia d este dominată de decizia d sau d domină d .
O funcţie de decizie care este dominată de o altă funcţie de decizie se numeşte
inadmisibilă. În caz contrar, decizia se numeşte admisibilă.
În Figura 2.5 considerând spaţiul de decizie 4321 ddddD ,,, , rezultă că 1d şi 2d
sunt dominate de 3d şi 4d şi deci sunt inadmisibile, iar 3d şi 4d sunt admisibile deoarece
nici una nu o domină pe cealaltă. Utilitatea conceptului de admisibilitate este naturală,
deoarece ne permite eliminarea deciziilor inadmisibile şi concentrarea eforturilor pentru
alegerea deciziilor celor mai bune dintre cele admisibile.
2.2.4 Interpretarea geometrică
Pentru reprezentarea şi interpretarea geometrică a problemei de decizie, vom considera
cazul 2k pentru spaţiul de parametri k-dimensional k ,,, 21 . Fie o problemă de
decizie cu spaţiul de acţiune 321 aaa ,,A , cu spaţiul parametrilor 21 , şi cu
funcţia de pierdere definită în Tabelul 2.1:
Tabelul 2.1 – Funcţia de pierdere
tabelară
1a 2a 3a
1 4 1 3
2 1 4 3
La prima vedere acţiunea 3a este preferabilă, deoarece dacă 1 este adevărată, atunci
3a este preferabilă lui 1a , iar dacă 2 este adevărată, atunci 3a este preferabilă lui 2a .
Să considerăm acum o acţiune aleatoare corespunzătoare aruncării unei monede,
respectiv alegerea lui 1a dacă apare “capul” şi a lui 2a dacă apare “pajura”. Atunci, pentru
această acţiune aleatoare, dacă 1 este adevărată, pierderea medie este dată de
2
51
2
14
2
1
2
1
2
12111 aLaL ,, , (2.33)
şi dacă 2 este adevărată, de
2
54
2
11
2
1
2
1
2
12212 aLaL ,, , (2.34)
Deoarece 32
5 , în ambele cazuri acţiunea aleatoare este preferabilă lui 3a .
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
15
Exemplul de mai sus sugerează faptul că procedeul aleator se poate aplica şi regulilor de
decizie Dd şi vom scrie
21 1 dd , 10 , (2.35)
pentru a indica o decizie aleatoare care alege 1d cu probabilitatea şi 2d cu probabilitatea
1 . Vom defini riscul pentru decizia aleatoare ca fiind
21 1 dRdRR ,,, . (2.36)
Mai general, dacă m ,,, 21 , cu 0121 im , , putem
defini decizia aleatoare
mmddd 2211 , (2.37)
ca fiind o combinaţie aleatoare a elementelor lui D. Corespunzător, riscul va fi
mm dRdRdRR ,,,, 2211 . (2.38)
Considerând combinaţiile aleatoare ale tuturor elementelor lui D, obţinem mulţimea
tuturor regulilor de decizie aleatoare *D . Avem evident *DD şi notăm cu un element
general al lui *D .
Definim mulţimea de risc S pentru cazul k ,,, 21 ca fiind
*,,,,,,,S DkjRyyy jjk
k pentru 1încât astfel 1 R . (2.39)
Spaţiul k-dimensional k
R reprezintă mulţimea k-uplurilor ordonate kyy ,,1 de
numere reale. S este o submulţime a lui k
R alcătuită din punctele ale căror coordonate sunt
componentele j ale riscului ,jR , corespunzătoare deciziei aleatoare . Să remarcăm
faptul că S este o mulţime convexă, adică orice dreaptă care uneşte două puncte din S nu
iese în afara lui S . Această proprietate este ilustrată şi în Figura 2.6, pentru 2k . Toate
punctele de pe dreapta care uneşte punctele de risc pentru 1d şi 2d , corespund punctului de
risc pentru combinaţia aleatoare a lui 1d şi 2d . Toate punctele cu această proprietate aparţin
lui S şi S este convexă.
Figura 2.6 – Forma generală convexă a mulţimii de risc S
,2R
,1R
S
Punctul de risc
pentru d 1
Punctul de risc
pentru d 2
Punctele de risc pentru
combinaţia aleatoare a
deciziilor d 1 şi d2
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
16
Vom folosi această proprietate pentru a da o interpretare geometrică abordărilor
minimax şi Bayes.
Abordarea minimax. Pentru *D , cantitatea
,sup R
devine, pentru mulţimea
stărilor k ,,, 21 , chiar jymax , unde kyyy ,,1 este punctul de risc
corespunzător lui .
Abordarea minimax compară regulile de decizie în termenii jymax , astfel încât toate
regulile de decizie care conduc spre aceeaşi valoare sunt egale din punct de vedere al
criteriului minimax. În două dimensiuni, locul geometric al punctelor 21 yy , cu proprietatea
.,max constyy 21 (o anumită valoare specificată) are forma unui “echer”. Deoarece
abordarea minimax urmăreşte minimizarea valorii jymax , regula de decizie minimax este,
din punct de vedere geometric, punctul (sau punctele) în care echerul de 90 atinge marginea
inferioară (limita inferioară de sud-vest, notată S-E) a lui S . Această proprietate este ilustrată
în Figura 2.7. Să notăm şi faptul că regula minimax poate să nu fie unică, ea depinzând de
forma lui S , care la rândul ei depinde de problema de decizie.
,2R
,1R
S
Punctul de risc pentru
decizia minimax
Figura 2.7 – Interpretarea geometrică a abordării minimax
Abordarea Bayes. Pentru k ,,, 21 să considerăm distribuţia iniţială (a
priori) a convingerii dată de kpppp ,,, 21 , astfel încât kipi ,,, 10 şi
121 kppp . Riscul Bayes pentru regula de decizie aleatoare este dat de
k
j
k
jjjjj ypRpB
1 1
, . (2.40)
Acesta defineşte un hiperplan în spaţiul k-dimensional. Pentru simplificare, dacă 2k ,
toate punctele 21 yyy , care dau aceeaşi valoare de risc Bayes, aparţin unei drepte de
forma
.constypyp 2211 (2.41)
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
17
,1R
=y 1
,2R
=y 2
d 1
d 4
d 2
d 5
d 3
S
Deoarece 10 21 pp , şi 121 pp , această dreaptă va avea o orientare NV – SE. Dar
abordarea Bayes urmăreşte minimizarea 2211 ypyp ; rezultă că regula de decizie Bayes are
punctul de risc în punctul în care dreapta Bypyp inf 2211 este tangentă la marginea
inferioară a lui S , aşa cum se poate observa în Figura 2.8.
Figura 2.8 – Interpretarea geometrică a abordării Bayes
Exemplul 2.4 Presupunem că pentru o problemă de decizie cu spaţiul stărilor 21 , şi
spaţiul de decizie 54321 dddddD ,,,, , funcţia de risc ji dR , este definită de valorile
din Tabelul 2.2, după cum urmează:
Tabelul 2.2 – Funcţia de risc pentru Exemplul 2.4
d1 d2 d3 d4 d5
1 0 4 2 1 5
2 4 5 0 1 4
Cele 5 puncte de risc corespunzătoare elementelor lui D şi mulţimea S sunt
reprezentate în Figura 2.9. S este alcătuită din toate punctele de risc care pot fi obţinute din
combinarea aleatoare a celor 5 puncte de risc iniţiale.
Figura 2.9 – Mulţimea S corespunzătoare funcţiei de risc din Tabelul 2.4
,2R
,1R
S
Punctul de risc pentru
decizia Bayes Bypyp inf 2211
=y 1
=y 2
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
18
Regulile de decizie admisibile corespund punctelor din S care nu au puncte situate la S
– E de ele; aceasta înseamnă că nu putem să găsim un care să reducă o componentă de risc
fără a o creşte pe cealaltă.
În cazul nostru, mulţimea regulilor admisibile corespunde punctelor situate între 1d şi
4d , cât şi 4d şi 3d . Cu alte cuvinte, ea este alcătuită din combinarea aleatoare a 1d şi 4d sau
a 4d şi 3d .
Rezultă că regula minimax este 4d , deoarece echerul de 90 intersectează S în mod
unic în punctul 4d .
Regula Bayes depinde de alegerea perechii 21 pp , . Plecând de la verticală ( 11 p ) şi
variind valorile lui 1p până la orizontală ( 01 p ), obţinem deciziile Bayes din Tabelul 2.3.
Analizând rezultatele din tabelul menţionat, observăm că avem situaţii în care regulile
de decizie nu sunt unice.
Tabelul 2.3 – Regulile de decizie Bayes pentru Exemplul 2.4
1p Decizia Bayes
431 p 1d (unică)
431 p Orice combinaţie aleatoare a lui 1d şi 4d
2143 1 p 4d (unică)
211 p Orice combinaţie aleatoare a lui 4d şi 3d
211 p 3d (unică)
2.2.5 Câteva teoreme de bază
Rezultatele care urmează stabilesc relaţiile între conceptele de admisibilitate şi regulile
de decizie minimax şi Bayes. Să remarcăm mai întâi că este posibil să avem două funcţii de
decizie *, D21 astfel încât 21 , dar 21 ,, RR . În acest caz spunem că 1
şi 2 sunt egale până la echivalenţă.
Teorema 2.1 Pentru o problemă de decizie cu LA,, arbitrare şi X spaţiul de eşantionare
al variabilei aleatoare continue X, dacă o funcţie de decizie Bayes * cu o distribuţie
iniţială p este unică până la echivalenţă, atunci * este admisibilă.
Demonstraţie. Presupunem că * este inadmisibilă. Atunci există *D astfel încât
*,, RR , pentru toate valorile , (2.42)
şi
*,, 00 RR , pentru valoarea 0 , (2.43)
Pentru cazul continuu şi densitatea de probabilitate p rezultă
**,,
BdpRdpRB . (2.44)
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
19
Dar relaţia nu poate fi < deoarece ar contrazice faptul că * este Bayes, iar relaţia nu
poate fi deoarece ar contrazice faptul că * este unică până la echivalenţă. Avem o
contradicţie şi deci * este admisibilă ■
Cazul discretă se demonstrează similar.
Următoarea teoremă se referă la proprietatea că pentru o decizie Bayes cu finită şi
probabilităţile iniţiale 0ip rezultă că decizia este admisibilă.
Teorema 2.2 Dacă k ,,, 21 şi ** D este decizia Bayes pentru
kppp ,,, 21 , unde kjp j ,,, 1 0 , atunci * este admisibilă .
Demonstraţie. Să presupunem mai întâi că * nu este admisibilă. Atunci există *D
astfel încât:
*,, jj RR , pentru toate valorile kj ,,1 , (2.45)
şi
*,, ii RR , pentru valoarea i, (2.46)
(adică există care domină * ). Rezultă
*,, BpRpRBk
jjj
k
jjj
11
, (2.47)
inegalitatea strictă fiind datorată faptului că 0jp , pentru toate valorile lui j. Dar
BB inf* , (2.48)
deci avem o contradicţie şi rezultă că * este admisibilă ■
Pentru problemele cu finită, clasa deciziilor admisibile este o submulţime a clasei
deciziilor Bayes, proprietate ilustrată de teorema următoare.
Teorema 2.3 Dacă k ,,, 21 este finită şi ** D este admisibilă, atunci există
kpppp ,,, 21 , unde jp j 0, şi 121 kppp , astfel încât * este o
decizie Bayes în raport cu p.
Demonstraţie (cazul 2k ). Fie x punctul de risc corespunzător lui * şi fie xQ mulţimea
punctelor din planul situat la S – V de x. Fie xQQ xx . Deoarece * este admisibilă,
nu există puncte ale lui S la S – V de x. Atunci S şi xQ sunt mulţimi disjuncte, ele fiind şi
convexe. O proprietate cunoscută (cea a hiperplanurilor de separaţie) arată că există dreapta
.constypyp 2211 cu 021 pp , şi 121 pp . Această dreaptă este tangentă la S şi
* este o decizie Bayes în raport cu 21 pp , ■
Teoremele anterioare ne-au prezentat o imagine a tipului de legătură care există între
deciziile admisibile şi deciziile Bayes.
Următoarele teoreme ne vor arăta conexiunile dintre deciziile admisibile şi deciziile
minimax.
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
20
Teorema 2.4 Dacă pentru o problemă de decizie dată * este unica decizie minimax, atunci
* este admisibilă .
Demonstraţie. Să presupunem că * nu este admisibilă. Atunci există *D astfel încât
*,, RR , pentru toate valorile , (2.49)
şi
*,, 00 RR , pentru valoarea 0 . (2.50)
În continuare avem
*,sup,sup
RR
. (2.51)
Inegalitatea strictă ar contrazice faptul că * este minimax; egalitatea ar contrazice
faptul că * este unică.
Rezultă că ipoteza iniţială a inadmisibilităţii este falsă şi teorema este demonstrată ■
Teorema 2.5 Dacă pentru o problemă de decizie dată * este admisibilă şi
.*, constR pentru orice , atunci * este minimax.
Demonstraţie. Presupunem contrariul. Atunci există că *D astfel încât
*,sup,sup
RR
. (2.52)
Dar dacă .*, constR , atunci *,, RR , pentru toate valorile .
Aceasta contrazice faptul că * este admisibilă şi teorema este demonstrată ■
Teorema anterioară ne sugerează o strategie pentru determinarea funcţiilor de decizie
minimax: mai întâi se identifică o regulă admisibilă şi apoi se verifică dacă ea are riscul
constant.
Cea mai importantă teoremă de clasificare din teoria deciziei arată că, în general, pentru
a fi admisibilă, o regulă de decizie trebuie să fie Bayes.
Aceasta motivează căutarea unei metode mai simple de calcul a regulilor de decizie
Bayes, în loc de a căuta direct minimizarea pierderii medii posterioare
xdLMMX
D
,inf
, (2.53)
pentru orice xX .
Teorema 2.6 Funcţia Bayes de decizie * corespunzătoare convingerii iniţiale p este
determinată de ** ax , unde *a minimizează
dxpaL , , (2.54)
şi
dpxf
pxfxp . (2.55)
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
21
Demonstraţie. Scriind expresia riscului Bayes rezultă
dpdxxfxL
dpRB
X
,
,
, (2.56)
de unde, schimbând ordinea de integrare, obţinem
X
, dxxfdxpxLB
, (2.57)
ştiind că din definiţia funcţiei de densitate de probabilitate condiţionate avem
xfxppxf . (2.58)
Determinarea unei valori * care să minimizeze B este echivalentă cu minimizarea
integralei din enunţul teoremei ■
Din teorema a cărei demonstraţie am schiţat-o mai sus, rezultă că determinarea
deciziilor Bayes se poate realiza în două etape: în prima, se determină probabilitatea
condiţionată xp utilizând teorema lui Bayes; în a doua etapă, se minimizează pierderea
medie posterioară.
Modelul statistico-matematic al problemei de decizie analizat în această secţiune a
pus în evidenţă două stadii în utilizarea informaţiei statistice pentru decizie. Primul stadiu este
decizia fără experimentare, respectiv decizia în care decidentul nu utilizează nici un fel de
informaţii rezultate din efectuarea unor experimente statistice asupra condiţiilor problemei
sale. Abordarea minimax sau abordarea Bayes numai cu probabilităţi iniţiale pentru distribuţia
convingerii sunt exemple de decizie fără experimentare. Al doilea stadiu îl reprezintă decizia
cu experimentare, respectiv decizia în care decidentul utilizează probabilităţi condiţionate
posterioare pentru modelul de decizie. Procedurile Bayes sunt exemple de decizie cu
experimentare
Aceste două stadii de decizie fără sau cu informaţie rezultată din experimente statistice
legate de problema de decizie, evidenţiază legătura directă între teoria deciziei şi statistică,
elemente pe care le vom detalia în secţiunile următoare.
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
22
2.3 TEORIA DECIZIEI ŞI STATISTICA
2.3.1 Estimarea
Aşa cum am arătat anterior, problema estimării unui parametru necunoscut poate fi
văzută ca un caz special al unei probleme generale de decizie în care A , adică acţiunea
necesară este alegerea unui element din spaţiul de parametri. De altfel, dacă este vorba de
funcţii de decizie Bayes, Teorema 2.6 din secţiunea anterioară stabileşte că o astfel de funcţie
de decizie, , este definită prin alegerea, pentru fiecare xX , a acţiunii xa care
minimizează pierderea medie posterioară
dxpxL , . (2.59)
Următoarea teoremă stabileşte forma generală a estimării Bayes pentru diferite forme
ale funcţiei de pierdere aL , .
Teorema 2.7 Dacă 2aaL , denumită funcţia de pierdere pătratică, estimarea
Bayes este dată de media distribuţiei posterioare.
Demonstraţie. Trebuie să alegem xa pentru a minimiza
dxpa 2. (2.60)
Diferenţiind în raport cu a şi egalând cu 0, obţinem
dxpdxp
dxp
a , (2.61)
deoarece
1
dxp ■ (2.62)
Teorema 2.8 Dacă aaL , denumită funcţia de pierdere absolută, estimarea Bayes
este dată de mediana distribuţiei posterioare.
Demonstraţie. Considerăm cazul R . Trebuie să alegem a pentru a minimiza pierderea
medie posterioară
a
a
dxpadxpadxpa . (2.63)
Diferenţiind în raport cu a şi egalând cu 0 şi ţinând cont că
a
agdxxgda
d şi
a
agdxxgda
d, (2.64)
obţinem
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
23
2
1
a
a
dxpdxp , (2.65)
(deoarece suma celor două integrale este 1). Rezultă deci că a este mediana distribuţiei
posterioare ■
2.3.2 Verificarea ipotezelor statistice
Să analizăm problema de decizie reprezentată de verificarea ipotezelor statistice. Dacă
00 : H este ipoteza nulă şi 11 : H este ipoteza alternativă, atunci spaţiul
parametrilor va avea două elemente 10 , , iar spaţiul de acţiune va avea, de asemenea,
două elemente 10 aa ,A , cu următoarea semnificaţie: 0a reprezintă respingerea ipotezei
1H , iar 1a reprezintă respingerea ipotezei 0H .
Considerăm funcţia de pierdere definită de Tabelul 2.4 şi valorile variabilei aleatoare X,
cu densitatea xf .
Tabelul 2.4 Funcţia de
pierdere
1 2
0a 0 01L
1a 10L 0
Vom analiza mai întâi forma deciziei Bayes, fiind date probabilităţile iniţiale cu
condiţiile 00 p , 11 p , 110 . Conform Teoremei 2.6, pentru valorile
xX , decizia Bayes poate fi determinată alegând acţiunea care minimizează pierderea
medie posterioară. Pierderea medie posterioară dacă adoptăm 0ax este
1100
1101
10100
xfxf
xfLxpLxp
, (2.66)
iar dacă adoptăm 1ax avem
1100
0010
1010 0
xfxf
xfLxpxpL
, (2.67)
În relaţiile de mai sus am folosit teorema lui Bayes pentru funcţiile a scrie xp 0 şi
xp 1 . Atunci ax va fi decizia care ar trebui să fie aleasă dacă
11010010 xfLxfL , (2.68)
adică dacă
001
110
1
0
L
L
xf
xf . (2.69)
Relaţia de mai sus are următoarea semnificaţie: respingem 0H dacă raportul de
verosimilitate al lui 0 şi 1 este mai mic decât o anumită valoare.
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
24
2.3.3 Lema Neyman - Pearson
Considerând 11001 LL , calculăm mai întâi riscul ,R , unde este definită
pentru 10 X,XX şi
iax pentru 21,,X i ix . (2.70)
Atunci
1
010
000
Prob X
X
X~
,,
Xdxxf
dxxfxLR
, (2.71)
care este , adică probabilitatea de a respinge 0H când de fapt 0H este adevărată. Se ştie că
este probabilitatea erorii de tipul I. De asemenea,
0
101
111
Prob X
X
X~
,,
Xdxxf
dxxfxLR
, (2.72)
care este , adică probabilitatea de a accepta 0H când de fapt 0H este falsă. Se ştie că
este probabilitatea erorii de tipul II. Punctele de risc de coordonate 1 0, şi 0 1, ale
mulţimii S sunt atinse de testele care întotdeauna acceptă sau resping 0H , independent de x ;
aceste puncte aparţin lui S. Având în vedere simetria şi convexitatea lui S, reprezentarea
geometrică a lui pentru această problemă de testare a ipotezelor statistice este redată în Figura
2.11. Testele admisibile sunt date de punctele de risc situate pe marginea inferioară (SV) a lui
S. Dar aceste puncte sunt caracterizate de abordarea Neyman – Pearson:
Lema Neyman – Pearson. Cu o funcţie de pierdere 0–1, testele admisibile pentru ipoteza
00 :H faţă de 11 :H sunt definite de
Rkkxf
xfaxD pentru dacă
1
0
1 ,*;
. (2.73)
Figura 2.11 – Mulţimea de risc pentru H0 faţă de H1
1
1
S
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
25
2.4 ATITUDINI FAŢĂ DE RISC ŞI TEORIA UTILITĂŢII
2.4.1 Aversiunea la risc
Vom analiza în continuare din punct de vedere matematic problema „asumării riscului”.
Aceasta înseamnă problema deciziei de a rămâne într-o stare neschimbată (status quo) sau de
a intra într-o situaţie de incertitudine, care poate să ducă la „câştig” sau la „pierdere”.
Principalele exemple practice de asemenea probleme sunt cele din asigurări (primele de
asigurare conduc la câştig, dar plata despăgubirilor pentru accidente sau dezastre poate
conduce la pierdere); din agricultură (plata pentru recoltă poate duce la câştig, dar seceta,
bolile sau alte dezastre naturale pot duce la pierdere) sau de la jocurile de noroc (o sumă
iniţială este plătită de jucător şi rezultatul jocului poate fi câştig sau pierdere, în funcţie de
tipul de joc şi de regulile acestuia: curse, joc de cărţi, joc de zaruri, ruletă ş.a.).
În Figura 2.12 este prezentată în mod schematic o problemă de decizie simplă, care
sintetizează elementele unei probleme de asumare a riscului. Este vorba de problema unui joc
de noroc, în care fără incertitudine implică menţinerea stării de status quo (jucătorul nu joacă),
iar cealaltă conduce la o situaţie de incertitudine prin faptul că jucătorul participă la joc cu o
sumă iniţială. Cu notaţiile anterioare, spaţiul de acţiune 21 aa ,A este alcătuit din acţiunile:
1a : jucătorul nu joacă,
2a : jucătorul joacă,
spaţiul parametrilor 321 ,, este constituit din stările:
1 : status quo,
2 : câştig,
3 : pierdere,
iar consecinţele sunt:
11 a, : suma jucătorului rămâne neschimbată,
22 a, : suma jucătorului creşte cu valoarea premiului,
23 a, : suma jucătorului descreşte cu suma jucată.
Să remarcăm faptul că, în anumite situaţii, chiar dacă se obţine câştig, acesta poate fi
mai mic decât suma jucată, dar nu vom considera acest caz în problema noastră. Vom detalia
această problemă din perspectiva abordării Bayes a luării deciziilor. Pentru aceasta va trebui
să specificăm mai întâi probabilităţile pentru 321 ,, , fiind date 1a sau 2a şi apoi
determinarea valorii consecinţelor.
Am definit anterior funcţia de pierdere RA:L , atribuind valori consecinţelor,
astfel încât ji aL , este pierderea pentru acţiunea aleasă ja , dacă rezultatul ar fi i .
Introducem acum funcţia de utilitate RA:U , în care ji aU , este „valoarea
pozitivă” sau „utilitatea” obţinută pentru o consecinţă alcătuită din acţiunea ja şi rezultatul
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
26
i . Putem considera „utilitatea” ca o „pierdere negativă”. Într-o serie de probleme de decizie
o asemenea abordare este naturală, având în vedere că urmărim maximizarea utilităţii printr-o
decizie optimală.
Acţiuni Rezultate posibile Consecinţe
Nici o schimbare
Status quo
1
Nu joacă 11 a,
Recuperarea sumei
Câştig jucate plus
Joacă 2 suma câştigată
22 a,
Pierderea
Pierdere sumei
jucate
3 23 a,
Figura 2.12 – Schema unei probleme simple de asumare a riscului
Pentru problema de joc considerată anterior, să notăm cu C suma curentă de care
dispune jucătorul, cu S suma jucată şi cu P suma netă câştigată sau premiul câştigat. Să
presupunem, de asemenea că, dată fiind 1a , 11 p (ceea ce înseamnă că dacă jucătorul nu
joacă, în mod sigur nu va pierde şi va rămâne în status quo), iar dată fiind 2a , atunci
2
132 pp (respectiv dacă jucătorul joacă, probabilităţile de câştig sau de pierdere le
putem considera la fel de probabile).
În termeni monetari, consecinţele sunt
Ca 11 , , PCa 22 , , SCa 23 , , (2.74)
şi rezultă că utilităţile sunt determinate pentru orice valori C, P şi S, prin definirea unei funcţii
de utilitate RXU : , unde X conţine toate consecinţele care pot apărea din problema de
joc.
Atunci utilităţile medii ale celor două acţiuni sunt date de relaţiile de mai jos, în care am
utilizat valorile probabilităţilor de câştig sau de pierdere definite anterior pentru acţiunile 1a
(jucătorul nu joacă) şi respectiv 2a (jucătorul joacă):
Acţiunea Utilitatea medie
1a CU
2a SCUPCU
2
1
2
1
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
27
Pentru a maximiza utilitatea medie, acţiunea optimală este definită de următoarea schemă:
Joacă ( 2a )
dacă SCUPCUCU
2
1
2
1 Indiferent
Nu joacă ( 1a )
Această schemă este ilustrată în Figura 2.13, în care am considerat SPS ,0 .
Să considerăm acum cazul special SP , respectiv în termeni monetari, un joc
echilibrat. Avem
SCSCC 2
1
2
1. (2.75)
Ne punem problema să vedem în ce circumstanţe decidentul va alege – sau nu – acţiunea 2a
(să joace). Observăm că 2a va fi aleasă dacă
SCUCUCUSCU , (2.76)
iar 1a va fi aleasă dacă
SCUCUCUSCU , (2.77)
egalitatea însemnând indiferenţa de a juca sau nu.
C-S C C+Px
U (x )
U (C-S )
U (C+P )
U (C )
U (C ) pentru a 1
U (C ) pentru a 2
Figura 2.13 – Utilitatea medie pentru acţiunile a1 şi a2
Să considerăm acum forma continuă a funcţiei de utilitate, astfel încât pentru orice
valori ale lui C şi S, decidentul alege fie 1a , fie 2a , fie este indiferent, aşa cum este
reprezentată în Figura 2.14 (a), (b) şi (c).
Forma funcţiei de utilitate din Figura 2.14(a) reprezintă utilitatea marginală
descrescătoare, ceea ce înseamnă că la creşterea cu o cantitate fixă (a lui C, de exemplu)
produce o utilitate adiţională din ce în ce mai mică, dacă se adaugă la o sumă iniţială din ce în
ce mai mare (de exemplu de la SC la C vom avea o utilitate adiţională mai mare decât de
la C la SC ). O asemenea formă a funcţiei de utilitate determină decidentul să aleagă
întotdeauna C în loc de SC sau SC . Un decident care are o asemenea funcţie de
utilitate se spune că are aversiune la risc, adică starea de status quo este preferată unei situaţii
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
28
de incertitudine, al cărei rezultat aşteptat este egal cu situaţia de status quo. Pentru ca un joc
cu SC sau SC să fie preferat lui C de un decident cu aversiune la risc, probabilitatea
rezultatului pentru SC trebuie să fie mărită. Dacă notăm această probabilitate cu ,
decidentul va prefera să joace dacă
SCUSCUCU 1 , (2.78)
sau cu alte cuvinte dacă
1
1
CUSCU
SCUCU
. (2.79)
Inegalitatea de mai sus reflectă faptul că decidentul cu aversiune la risc va prefera un raport
superior în favoarea sa şi depăşirea creşterii raportului de utilitate.
Forma funcţiei de utilitate din Figura 2.14(b) reprezintă utilitatea marginală
crescătoare, ceea ce înseamnă că la creşterea cu o cantitate fixă (a lui S, de exemplu) produce
o utilitate adiţională din ce în ce mai mare, dacă se adaugă la o sumă iniţială din ce în ce mai
mare (de exemplu de la C la SC produce o utilitate adiţională mai mare decât de la SC
la C). O asemenea formă a funcţiei de utilitate determină decidentul să aleagă întotdeauna să
joace, în loc să rămână în C pentru siguranţă. Un astfel de decident se spune că îşi asumă
riscul. Se observă că decidentul care îşi asumă riscul va juca dacă
SCUSCUCU 1 , (2.80)
ceea ce implică numai
CUSCU
SCUCU
1, (2.81)
şi din Figura 2.14(b) se observă că membrul drept al inegalităţii este mai mic decât 1. Aceasta
implică existenţa valorilor 21 pentru care decidentul preferă să joace decât să rămână în
status quo. Situaţia descrisă în Figura 2.14(c) implică indiferenţa de a juca sau nu. Să
remarcăm faptul că pentru valori ale lui S suficient de mici în raport cu C, curbele din Figura
2.14(a) şi (b) vor avea aproximativ forma din Figura 2.14(c), respectiv curbele vor fi suficient
de bine aproximate printr-o dreaptă. Aceasta explică de ce un decident cu aversiune la risc
preferă să nu joace dacă suma jucată (şi câştigul) sunt suficient de mici.
C-S C C+Sx
U (x )
U (C+S ) U (C )
U(C) U (C-S )
(a )
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
29
C-S C C+Sx
U (x )
U (C+S ) U (C )
U(C) U (C-S )
(b )
C-S C C+Sx
U (x )
U (C+S ) U (C )
U(C) U (C-S )
(c )
Figura – 2.14 Forme ale funcţiei de utilitate:
(a) nu joacă; (b) joacă; (c) indiferent
2.4.2 Proprietăţile funcţiilor de utilitate
Vom detalia în continuare proprietăţile funcţiilor de utilitate prezentate anterior,
considerând, pentru exemplificare, cazul utilităţii marginale descrescătoare.
Presupunând continuitatea funcţiei de utilitate şi ţinând cont de relaţia
SCUSCUCU 2
1
2
1, (2.82)
rezultă că există cantitatea SCC 0, , astfel încât
SCUSCUCU C 2
1
2
1 , (2.83)
proprietate ilustrată în Figura 2.15.
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
30
C S C C+Sx
U (x )
C c
U (C S )
U (C c )
U (C+S )
U (C )
Figura 2.15 Definiţia lui C
Numărul C poate fi interpretat ca o „primă de asigurare” pe care decidentul trebuie să
o plătească în scopul de evita schimbarea stării de status quo C pentru un joc echilibrat între
SC şi SC .
Să considerăm funcţia de utilitate marginală descrescătoare pentru orice joc care implică
deplasarea de la C la XC , unde X este o variabilă aleatoare cu media 0 (în cazurile
anterioare am avut SX cu probabilităţile egale cu 21 ). Prima de asigurare este definită
de ecuaţia
XCUMCU C , (2.84)
unde valoarea medie M este considerată în raport cu distribuţia de probabilitate a lui X.
Pentru a înţelege natura lui C , care el însuşi furnizează o măsură a aversiunii la risc, să
presupunem că dispersia lui X, pe care o notăm 2 , este suficient de mică, astfel încât
tranzacţiile au loc într-o vecinătate a lui C (implicând de asemenea că la rândul său C este
suficient de mic). Dacă dezvoltăm în serie Taylor ambii termeni ai egalităţii (2.84) obţinem:
CUCUCU CC , (2.85)
CUCUCUXCUXCUMXCUM
22
2
1
2
1 , (2.86)
unde în relaţia (2.85) am ignorat termenii în 2
C şi următorii, iar în relaţia (2.86) termenii care
conţin 3XM şi următorii. Egalând cele două expresii, obţinem:
CU
dC
d
CU
CUC log22
2
1
2
1 . (2.87)
Cantitatea
CU
CU
defineşte deci o măsură (locală) a aversiunii la risc. Cu cât această
cantitate este mai mare, cu atât prima C pe care decidentul o are de plătit creşte (indicând
nivelul înalt de aversiune la risc). Forma lui C ne poate ajuta să determinăm expresia
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
31
matematică pentru U. De exemplu, să presupunem că pentru un anumit rezultat X, aversiunea
la risc nu depinde de C, ceea ce implică
(const.) k
CU
CU
. (2.88)
Rezolvând ecuaţia diferenţială de mai sus şi considerând punctele 00 U şi
U , obţinem soluţia
kxexU 1 , x0 . (2.89)
Rezultă că dacă decidentul consideră o utilitate marginală descrescătoare şi are o
aversiune constantă la risc, atunci există o funcţie de utilitate definită, pentru care trebuie
specificată doar o constantă. Pe măsură ce această constantă creşte, funcţia de utilitate are o
pantă din ce în ce mai mare, plecând din origine, aşa cum se poate observa din Figura 2.16.
x
U (x )
k 1
k 2
k 3
Figura 2.16 Funcţia de utilitate pentru k1 < k2 < k3
Forma de mai sus a funcţiei de utilitate ne arată că decidentul apare ca având o
aversiune la risc descrescătoare; într-adevăr, C descreşte dacă C creşte.
2.4.3 Evaluarea funcţiilor de utilitate
Forma funcţiei de utilitate poate să fie diferită în funcţie de problema de decizie şi de
abordarea decidentului şi este nevoie de o metodă operaţională pentru a evalua forma funcţiei
de utilitate. Să presupunem că decidentul dispune de suma curentă C (de exemplu în euro, €)
şi urmăreşte să evalueze forma funcţiei de utilitate în intervalul C până la 1000C , având
următoarea problemă de decizie: Decidentul are un bilet de loterie cu valoarea C, care îi
permite să joace un joc care îi aduce un câştig de 1000€ sau 0 (dacă pierde). I se cere
decidentului să stabilească o sumă 2S cu care ar vinde biletul. De asemenea, i se cere să
stabilească o sumă 1S dacă loteria ar fi constat din câştigul 2S şi 0, respectiv 3S dacă loteria
ar fi cu un câştig de 1000 şi respectiv 2S .
Stabilim o scală pentru funcţia de utilitate, respectiv 0CU şi 1001000 CU .
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
32
Pentru o abordare bayesiană şi funcţia de utilitate U , obţinem
5002
1100
2
1
2
11000
2
12
CUCUSCU
. (2.90)
Rezultă că 2S este suma pentru care 2SC are utilitatea 50 pe scala de utilitate. În
mod similar,
2502
150
2
1
2
1
2
121
CUSCUSCU
. (2.91)
şi
75502
1100
2
1
2
11000
2
123
SCUCUSCU
. (2.92)
Reprezentând grafic în Figura 2.17 valorile calculate pentru funcţia de utilitate, rezultă o
curbă care trece prin aceste puncte şi care ne sugerează o funcţie de utilitate marginală
descrescătoare.
0
25
50
75
100
x
U (x )
C+S 1C C+S 3C+S 2 C+ 1000
Figura 2.17 Evaluarea funcţiei de utilitate
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
33
2.5 DECIZII SECVENŢIALE
2.5.1 Concepte de bază
Să considerăm următoarea problemă de decizie cu două stadii. O acţiune iniţială 1a
este aplicată şi după aceea starea naturii (incertă) este 1 ; în continuare este aplicată
acţiunea 2a , starea (incertă) fiind
2 şi rezultând consecinţa finală 2121 aa ,;, .
În Figura 2.18 este reprezentată problema de decizie cu două stadii de mai sus, în care
printr-un pătrat am reprezentat un punct sau nod de decizie (în care decidentul alege o
acţiune), iar printr-un cerc am reprezentat un punct de incertitudine (în care apare o stare a
naturii incertă, necontrolabilă). Presupunem că utilitatea ataşată consecinţei finale este
2121 aaU ,;, . Reprezentând grafic această problemă se obţine un „arbore”, care are
forma din figura următoare.
1a 1
2a 2
2121 aaU ,;,
Figura 2.18 – Reprezentarea unei probleme de decizie cu două
stadii
Într-o problemă de decizie secvenţială nu putem decide ce să facem în stadiul iniţial
până nu am analizat toate consecinţele posibile 2121 aa ,;, . Ne punem întrebarea ce
vom face în al doilea nod de decizie dacă iniţial am ales acţiunea 1a şi rezultatul a fost
1 .
Arborele corespunzător este reprezentat în Figura 2.19.
( 1a , 1 )
2a
2121 aaU ,;,
Figura 2.19 – Reprezentarea unei probleme de decizie
ştiind că rezultatul a fost 1
Pentru o anumită alegere a lui 2a , distribuţia de probabilitate pentru un anumit rezultat
incert 2 va avea forma
2112 aap ,, , iar acţiunea optimală şi funcţia de utilitate
medie sunt definite de:
22121211211
2
daaUaapaUa
,,,,,max,* . (2.93)
Aceasta este utilitatea maximizată, dată fiind 1 şi
1a . Situaţia pe care o are de rezolvat
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
34
decidentul în primul stadiu este reprezentată în Figura 2.20.
Soluţia completă a problemei este definită de
11111
1
daUapa
,*max . (2.94)
1a 1
11 aU ,*
Figura 2.20 – Decizia în primul stadiu presupunând
o acţiune optimală în al doilea stadiu)
Dacă problema de decizie secvenţială este cu n stadii, se observă că structura soluţiei
rămâne aceeaşi. Începând din partea dreaptă a arborelui şi trecând succesiv prin nodurile de
decizie, vom repeta procesul de a considera utilitatea medie şi de a o maximiza.
Procedura prezentată aici este dificil de implementat din două motive: primul, procedura
implică considerarea tuturor combinaţiilor de acţiuni care se pot aplica şi a tuturor rezultatelor
posibile; al doilea, distribuţiile de probabilitate ale rezultatelor sunt probabilităţi condiţionate
şi sunt, în general, greu de calculat. În cazul mulţimilor finite de acţiuni şi de rezultate,
problemele de decizie pot fi formulate şi rezolvate utilizând metoda arborilor de decizie.
2.5.2 Arbori de decizie
Vom exemplifica metoda arborilor de decizie printr-o problemă de decizie specifică.
Presupunem că o companie producătoare doreşte să investească într-o linie de fabricaţie a
unui produs. Investiţia va fi profitabilă dacă cererea pieţei pentru produsul respectiv va creşte,
dar ea va produce pierderi dacă cererea pieţei va scădea. Alternativele pe care le are compania
sunt: să investească; să nu investească; să achiziţioneze un studiu de cercetare de piaţă, care
să-i furnizeze informaţii suplimentare despre evoluţia cererii pentru produsul respectiv. Să
presupunem că studiul de piaţă va furniza o predicţie de tipul cererea în creştere sau cererea în
scădere, iar rezultatul final (starea naturii) va fi cererea actuală în creştere sau cererea actuală
în descreştere. Structura arborelui de decizie pentru această problemă de investiţie este
reprezentată în Figura 2.21. Formalizarea problemei de decizie este următoarea:
1a : Studiu de piaţă,
321 aa ,,aA , unde 2a : Investeşte,
3a : Nu investeşte.
21 , , unde 1 : Cererea creşte,
2 : Cererea descreşte.
21 xxX , , unde 1x : Predicţie cererea creşte,
2x : Predicţie cererea descreşte.
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
35
Se ştie, de asemenea, că firma care realizează studiul de piaţă a înregistrat 80% succese
atunci când a prognozat creşterea cererii şi 70% succese atunci când a prognozat scăderea
cererii. Rezultă următoarele probabilităţi condiţionate
8011 ,xp , 2012 ,xp , (2.95)
3021 ,xp , 7022 ,xp . (2.96)
creşte
Investeşte cererea
descreşte
creşte
Nu investeşte cererea
descreşte
creşte
Investeşte cererea
descreşte
Studiu
de piaţă creşte
Nu investeşte cererea
descreşte
creşte
Investeşte cererea
descreşte
creşte
Nu
investeşte
cererea
descreşte
Figura 2.21 Arborele de decizie pentru problema de investiţie
Să presupunem de asemenea că, fără a ţine cont de concluziile studiului de piaţă,
compania producătoare a făcut propriile evaluări ale evoluţiei cererii, stabilind că sunt 60%
şanse ca cererea să crească şi deci avem probabilităţile
601 ,p , 402 ,p . (2.97)
Evaluarea directă a rezultatului incert în situaţia în care compania achiziţionează studiul
de piaţă este dată de probabilităţile
6040306080
2211111
,,,,,
pxppxpxp, (2.98)
406011 12 ,, xpxp . (2.99)
În continuare, pentru evaluarea convingerii despre 1 şi 2 pe baza informaţiilor din
studiul de piaţă (decizie cu experimentare), folosim teorema lui Bayes şi obţinem
Predicţie
cererea
creşte
Predicţie
cererea
descreşte
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
36
80600,60,8
111111
,,
xppxpxp , (2.100)
208011 1112 ,, xpxp . (2.101)
30400,60,2
211221
,,
xppxpxp , (2.102)
703011 2122 ,, xpxp . (2.103)
În Figura 2.22 este reprezentat arborele de decizie al problemei, completat cu valorile
probabilităţilor şi ale utilităţilor.
1 1200 C
2 800 C
1 1000 C
2 1000 C
1 1200 C
2 800 C
1 1000 C
2 1000 C
1 1200
2 800
1 1000
2 1000
Pentru evaluarea utilităţii diferitelor rezultate, să presupunem că funcţia de utilitate este
aproximativ liniară. Să presupunem, de asemenea, că unitatea monetară este UM = 1000€ şi
dacă cererea creşte compania aşteaptă să facă un profit net de 1200 UM, iar dacă cererea
descreşte, profitul net va fi de 800 UM, în condiţii de investiţie. Dacă nu investeşte, compania
aşteaptă un profit net de 1000 UM, iar costul studiului de piaţă este C.
În continuare, începând din partea dreaptă a arborelui de decizie, conform procedurii
menţionate anterior, calculăm utilităţile medii. Pentru ramura de decizie 1a rezultă:
CCCaxU 11202080080120021 ,,, , (2.104)
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
37
CCCaxU 100020100080100031 ,,, , (2.105)
CCCaxU 9207080030120022 ,,, , (2.106)
CCCaxU 100070100030100032 ,,, , (2.107)
Rezultatele de mai sus sunt reprezentate în Figura 2.23.
2a 1 1120 C
1a 0,6 1x 3a 2 1000 C
0,4 2x 2a 1 920 C
3a 2 1000 C
Figura 2.23 Utilităţile medii iniţiale pentru ramura a1
Aplicând acum principiul maximizării utilităţii medie, se observă că dat fiind 1x ,
acţiunea optimală este 2a , în timp ce dacă este dat 2x , acţiunea optimală este 3a , aşa cum
rezultă din Figura 2.24.
1120 C
1a 0,6 1x
0,4 2x
1000 C
Figura 2.24 A doua maximizare pentru ramura a1
Aplicăm acum încă o dată calculul utilităţilor medii pentru 1a , 2a şi 3a de pe ultimul
nivel al arborelui de decizie. Obţinem:
CCCaU 10724010006011201 ,, , (2.108)
1040408006012002 ,,aU , (2.109)
10004010006010003 ,,aU , (2.110)
cu reprezentarea din Figura 2.25.
1a 1072 C
2a
1040
3a
1000
Figura 2.25 Utilităţile pe ultimul nivel al arborelui de decizie
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
38
Decizia iniţială pentru această problemă a devenit acum clară: decidentul nu trebuie să
aleagă niciodată 3a , iar decizia 1a va fi adoptată numai dacă costul studiului de piaţă este
32C .
Procedura pentru aplicarea metodei arborilor de decizie poate fi sintetizată astfel:
(1) Se descrie logica arborelui în ordine cronologică, respectiv se descriu nodurile de
decizie şi nodurile de incertitudine, precum şi toate ramurile care apar în fiecare nod;
(2) Se ataşează probabilităţile ramurilor de incertitudine, ţinând cont de condiţionările
corespunzătoare pentru fiecare ramură;
(3) Se ataşează valorile utilităţilor ramurilor finale;
(4) Plecând de la dreapta la stânga arborelui de decizie, se calculează valorile medii ale
utilităţilor în nodurile de incertitudine şi se maximizează în nodurile de decizie,
determinându-se acţiunile optimale şi utilităţile lor medii;
(5) Se continuă procedura până la nodul de decizie iniţial, determinându-se acţiunea
optimală iniţială şi apoi secvenţa de acţiuni optimale care rezolvă problema de decizie.
Metoda arborilor de decizie reprezintă o alternativă viabilă la metodele analitice de
decizie prezentate la începutul acestui capitol. În acelaşi timp, arborii de decizie, prin
reprezentarea grafică a problemei de decizie constituie un instrument util şi accesibil pentru
considerarea tuturor alternativelor, atât în nodurile de decizie, cât şi în cele de incertitudine.
Cele două metode, grafică şi analitică, pot fi utilizate cel mai bine împreună, deoarece
ne furnizează, fiecare, informaţii privind problema de decizie, aşa cum vom vedea în
aplicaţiile următoare.
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
39
2.6 APLICAŢII
Vom detalia şi aplica în continuare conceptele prezentate în secţiunile anterioare prin
două probleme de decizie, care ne vor ajuta să fixăm noţiunile de teoria deciziei. De
asemenea, vom sistematiza printr-un algoritm paşii de rezolvare a unei probleme de decizie.
2.6.1 Problema forajului
O companie de îmbuteliere deţine un teren care se presupune că va conţine surse
subterane de apă minerală. Compania a clasificat terenul în patru categorii, după debitul de
apă minerală care se aşteaptă să fie obţinut din sursa forată, respectiv 1.000.000 litri, 500.000
litri, 100.000 litri sau 0 litri (sursa nu conţine apă minerală). Alternativele asupra cărora
trebuie să decidă compania sunt următoarele:
(1) forajul pentru găsirea de apă minerală;
(2) închirierea necondiţionată a terenului către o altă companie de foraj;
(3) închirierea condiţionată a terenului, în funcţie de cantitatea de apă minerală găsită.
Costul forajului pentru o sursă care va produce apă minerală este de 10.000€, în timp ce costul
forajului fără găsirea de apă minerală este de 6.000€. Profitul pentru o sursă de apă minerală
este de 0,10€/litru (după deducerea costurilor de producţie). Costul închirierii necondiţionate
este de 8.000€, în timp ce compania ar primi 0,03€ pentru fiecare litru extras în cazul
închirierii necondiţionate, dacă sursa forată pe terenul închiriat va produce mai mult de
250.000 litri. Cu elementele definite până acum, compania de îmbuteliere ar obţine
următoarele profituri posibile (Tabelul 2.5):
Tabelul 2.5 – Profiturile companiei de îmbuteliere
1.000.000
litri/sursă
500.000
litri/sursă
100.000
litri/sursă
0
litri/sursă
(1) Foraj 90.000 40.000 0 6.000
(2) Închiriere
necondiţionată
8.000 8.000 8.000 8.000
(3) Închiriere condiţionată 30.000 15.000 0 0
A. DECIZIA FĂRĂ EXPERIMENTARE
Problema de decizie constă din următoarele acţiuni:
1a : Forajul pentru găsirea de apă minerală,
2a : Închirierea necondiţionată a terenului,
3a : Închirierea condiţionată a terenului,
şi deci spaţiul de acţiune este 321 aaa ,,A .
Stările naturii pentru această problemă sunt:
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
40
1 : 1.000.000 litri apă minerală / sursă,
2 : 5000.000 litri apă minerală / sursă,
3 : 100.000 litri apă minerală / sursă,
4 : 0 litri apă minerală / sursă.
Rezultă spaţiul stărilor 4321 ,,, .
Am văzut anterior că stările naturii sunt caracterizate printr-un parametru al unei familii
de distribuţii de probabilitate. În contextul problemei noastre de foraj, rezultatul potenţial al
forajului poate fi văzut ca fiind valoarea medie a unei variabile aleatoare. Astfel, modelul
statistic pentru problema de foraj este constituit dintr-o variabilă aleatoare reprezentată de
cantitatea de apă minerală găsită în urma forajului, cu valoarea medie necunoscută. În lipsa
datelor de experimentare, compania va aproxima valoarea medie a rezultatelor prin cele patru
valori estimate iniţial, respectiv 1.000.000, 500.000, 100.000 şi 0. În exemplul nostru, stările
naturii sunt deci valorile posibile ale mediei variabilei aleatoare reprezentate de cantitatea de
apă minerală rezultată în urma forajului. Funcţia de pierdere jaL ,1 pentru această
problemă de decizie o obţinem direct din Tabelul 2.5 de profituri estimate, cu menţiunea că
valorile negative ale pierderii reprezintă, de fapt, profit (în Tabelul 2.6).
Tabelul 2.6 – Funcţia de pierdere pentru problema forajului
1 :
1.000.000
litri/sursă
2 :
500.000
litri/sursă
3 :
100.000
litri/sursă
4 :
0
litri/sursă
1a : Foraj 90.000 40.000 0 6.000
2a : Închiriere
necondiţionată
8.000 8.000 8.000 8.000
3a : Închiriere condiţionată 30.000 15.000 0 0
Regula de decizie minimax
Dacă adevărata stare a naturii ar fi cunoscută, ar fi simplu să alegem acţiunea corectă,
respectiv acţiunea cu cea mai mică pierdere. Din păcate, adevărata stare a naturii nu este în
general cunoscută, iar alegerea acţiunii corecte nu este simplă. În problema noastră de foraj,
dacă 1 , adică 1.000.000 litri/sursă, atunci, pe baza datelor de pierdere din Tabelul 2.5,
cea mai bună acţiune este 1a , adică forajul, în timp ce dacă 4 , cea mai bună acţiune este
2a , închirierea necondiţionată a terenului.
Aplicarea regulii minimax cere decidentului să găsească pierderea maximă pentru
fiecare din acţiunile sale şi să aleagă acţiunea cu cea mai mică pierdere maximă. Utilizând
deci regula minimax, considerăm mai întâi maximul funcţiei de pierdere pentru fiecare
acţiune (maximul pe fiecare linie din Tabelul 2.6) şi obţinem valorile 00061 .,max aL ,
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
41
00082 .,max aL şi 03 ,max aL . Luând în continuare minimul acestor valori,
avem 00080 8.000; 6.000; .min . Rezultă că aplicând regula minimax, decidentul
trebuie să aleagă acţiunea 2a închiriere necondiţionată, cu o pierdere negativă (profit) de
8.000€.
Regula de decizie Bayes
În anumite situaţii, decidentul poate să aibă anumite informaţii despre starea naturii, pe
care să le transforme într-o distribuţie de probabilitate a convingerii sale privind starea naturii.
Această distribuţie de probabilitate a convingerii, denumită distribuţie iniţială (sau a priori)
este adesea subiectivă şi depinde de experienţa sau de intuiţia decidentului. Să presupunem că
compania dispune de experienţă şi informaţii anterioare din care a concluzionat că la foraje
similare, circa 10% au fost foraje de 1.000.000 litri/sursă, 15% au avut ca rezultat 500.000
litri/sursă, 25% au dus la 100.000 litri/sursă şi circa 50% din foraje nu au găsit apă minerală.
Aceste date pot fi transformate într-o distribuţie de probabilitate după cum urmează:
100Prob 11 , p , (2.111)
150Prob 22 , p , (2.112)
250Prob 33 , p , (2.113)
500Prob 44 , p . (2.114)
Procedura de decizie Bayes indică decidentului să aleagă acea acţiune care minimizează
pierderea medie evaluată în funcţie de distribuţia iniţială pentru toate stările posibile ale
naturii. În cazul distribuţiilor discrete (aşa cum este şi cazul problemei noastre), funcţia de
pierdere este dată de
k
kpkaLaLMaL ,, . (2.115)
Pierderea medie pentru fiecare acţiune ia este dată de
0001250000062500150000401000009011 .,.,,.,., aLMaL ,
(2.116)
0008500000825000081500008100000822 .,.,.,.,., aLMaL ,
(2.117)
250550002500150000151000003033 .,,,.,., aLMaL ,
(2.118)
Rezultă că, utilizând regula de decizie Bayes şi convingerea sa asupra distribuţiei de
probabilitate a stării naturii, decidentul va alege acţiunea 1a de foraj pentru găsirea de apă
minerală, cu o pierdere medie (profit) de 12.000€.
B. DECIZIA CU EXPERIMENTARE
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
42
Consideraţiile făcute până acum au presupus că decidentul a adoptat deciziile sale fără a
utiliza informaţii rezultate din efectuarea unor experimente statistice privind problema de
decizie. Totuşi, dacă decidentul dispune de informaţii suplimentare rezultate din experimente,
atunci aceste informaţii trebuie aplicate în procesul de adoptare a deciziei.
Revenind la problema forajului, să presupunem că compania poate să achiziţioneze un
studiu geologic, al cărui cost este de 2.500€. Informaţiile conţinute în studiul geologic permit
clasificarea terenului în patru categorii. Categoria (1) se referă la o structură geologică extrem
de favorabilă prezenţei apei minerale. Categoria (2) reprezintă o structură care este probabil să
conţină apă minerală. Categoria (3) este o structură puţin favorabilă prezenţei apei minerale,
în timp ce categoria (4) denotă o structură geologică cu o probabilitate extrem de mică de a
conţine apă minerală.
Pe baza examinării şi a altor zone geologice similare (100 de astfel de examinări),
compania a obţinut datele din Tabelul 2.7 de mai jos.
Tabelul 2.7 – Frecvenţele clasificării geologice
Clasificarea
geologică 1 :
1.000.000
litri/sursă
2 :
500.000
litri/sursă
3 :
100.000
litri/sursă
4 :
0
litri/sursă
(1) 128 1610 2410 4810
(2) 123 163 247 4812
(3) 121 162 243 4817
(4) 120 161 244 489
Valorile din tabelul anterior pot fi interpretate astfel: dacă forajul este de 500.000
litri/sursă (starea naturii 2 ), atunci 163 este probabilitatea condiţionată ca să avem
categoria (2) de clasificare geologică; dacă forajul nu găseşte apă minerală (starea naturii 4 ),
atunci 4817 este probabilitatea condiţionată ca nivelul de clasificare geologică să fie (3).
Notăm cu X informaţia obţinută prin experimentare dintr-un eşantion aleator. X este o
variabilă aleatoare şi poate fi văzută ca o funcţie a eşantionului de date. Decidentul trebuie să
aleagă o procedură de decizie sau o strategie, care, pe baza informaţiilor furnizate de
experiment, să-i indice ce acţiune să aplice pentru fiecare valoare xX . Notăm această
funcţie cu xd , astfel încât dacă variabila aleatoare X ia valoarea x, atunci xda va fi
acţiunea aleasă. Decidentul este interesat bineînţeles să aleagă funcţia de decizie optimală.
Pentru a evalua funcţia de decizie, trebuie să-i explorăm consecinţele. Deoarece acţiunea
aplicată a este o funcţie care depinde de rezultatul variabilei aleatoare X, atunci Xd este şi
ea o variabilă aleatoare şi pierderea asociată acestei acţiuni depinde de asemenea de
rezultatele lui X. Ştim că o măsură a consecinţelor aplicării acţiunii Xda , atunci când
adevărata stare a naturii este , este dată de valoarea medie a pierderii, cuantificată prin
funcţia de risc dR , , care în cazul discret are expresia
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
43
,, XdLMdR . (2.119)
Să aplicăm abordarea de mai sus exemplului nostru. Să presupunem că evaluăm regula
de decizie 1d , conform căreia dacă rezultatul studiului geologic este (1) aplicăm acţiunea 1a ,
dacă rezultatul este (2) sau (3), aplicăm acţiunea 3a , iar dacă rezultatul este (4) aplicăm 2a .
Aceasta înseamnă
11 axd , pentru 1x
21 axd , pentru 4x
31 axd , pentru 2x sau 3x .
Atunci funcţiile de risc corespunzătoare sunt
50067500212
1
12
30003000008
12
80009011 .....,
dR , (2.120)
68827500216
2
16
300030
16
10008
16
100004012 .....,
dR , (2.121)
1671500224
3
24
70
24
40008
24
10013 ...,
dR , (2.122)
2502500248
17
48
120
48
90008
48
10000614 ....,
dR . (2.123)
În relaţiile de mai sus, valoarea de 2.500 a fost costul studiului geologic. Rezultă că
acţiunea care minimizează riscul este 11 axd , respectiv forajul pentru găsirea apei
minerale, dar această acţiune nu este optimală.
Observăm că funcţia de risc furnizează un mijloc de a defini optimalitatea. O funcţie de
decizie optimală este aceea care minimizează riscul pentru fiecare valoare a lui . Dar, în
majoritatea cazurilor, funcţia de decizie optimală nu există şi va trebui să considerăm o altă
modalitate de găsire a deciziei optimale, furnizată de procedurile Bayes.
Procedurile Bayes
Dacă decidentul dispune de o informaţie anterioară despre starea naturii, informaţie ce
poate fi descrisă în termenii unei distribuţii de probabilitate iniţiale, atunci funcţiei de risc i se
poate aplica principiul Bayes, care, pentru o distribuţie discretă, arată că riscul Bayes
corespunzător unei funcţii de decizie d şi unei distribuţii de probabilitate iniţiale a lui ,
kp , este dat de
k
kpkdRdB , , (2.124)
iar dacă mulţimea stărilor este continuă şi funcţia de densitate iniţială este xp , atunci
riscul Bayes este
dxxpxdRdB , . (2.125)
Principiul Bayes impune decidentului să aleagă funcţia d, denumită procedură de decizie
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
44
Bayes, care minimizează dB .
Atunci când nu sunt disponibile date suplimentare, procedura Bayes ne conduce la
selectarea acţiunii care minimizează pierderea medie, evaluată în funcţie de distribuţia iniţială
a lui . Dar dacă sunt disponibile date despre starea naturii, acestea vor fi încorporate în
modelul de decizie.
De exemplu, dacă datele geologice clasifică terenul în categoria (4), probabilitatea de a
găsi surse de 1.000.000 litri sau de 500.000 litri este extrem de redusă. Totuşi, după analiza
datelor experimentale, vom actualiza distribuţia iniţială pe baza datelor despre starea naturii.
Această informaţie actualizată ne furnizează distribuţia posterioară a lui , pe baza
distribuţiei iniţiale şi a datelor de experimentare. Distribuţia posterioară a lui este
reprezentată deci de probabilităţile condiţionate ale lui , date fiind valorile xX .
Calculul distribuţiei posterioare
Fie X, o variabilă aleatoare bidimensională discretă, cu distribuţia de probabilitate
jkp X , . Fie kp distribuţia de probabilitate iniţială a lui . Definim probabilitatea
condiţionată
kjXjkX
Prob . (2.126)
Pentru distribuţia bidimensională a lui X, expresia
kpjjkpkXX
, , (2.127)
poate fi utilizată pentru evaluarea distribuţiei de probabilitate a lui X, respectiv
k kkXXX kpjjkpj , . (1.128)
Să evaluăm acum distribuţia de probabilitate posterioară a lui , notată jX
f
, dat
fiind jX , din expresia
jkfjkp XjXX
, . (2.129)
Egalând cele două forme ale expresiei pentru Xp , respectiv relaţiile (2.127) şi (2.129) şi
considerând xj (rezultatul experimentului), obţinem distribuţia posterioară
x
kpkf
X
kX
xX
. (2.130)
În sinteză, pentru calculul distribuţiei posterioare considerăm kp distribuţia iniţială
şi xxX distribuţia de probabilitate a variabilei aleatoare X evaluată pentru xX .
Funcţia xX este distribuţia variabilei X, obţinută din
kkXX kpxx
, (2.131)
iar pentru xf X avem
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
45
kkXX kfxf
. (2.132)
Revenind la problema noastră, valorile distribuţiei iniţiale de clasificare geologică a
terenului kp au fost date în relaţiile (1.111) (1.114). Să presupunem acum că studiul
geologic a clasificat terenul ca fiind din categoria (3). Va trebui să evaluăm expresiile
4321 3
,,,,
kkfX
, unde
4321
3
3
3,,,,
k
kpkf
X
kX
X
. (2.133)
Avem
kXkX
3Prob3 , (2.134)
probabilitatea ca terenul să fie clasificat din punct de vedere geologic în categoria (3), date
fiind stările k şi aceste valori se obţin din Tabelul 2.7 ca fiind
12
13
1
X,
16
23
2
X,
24
33
3
X,
48
173
4
X. (2.135)
Atunci distribuţia variabilei X evaluată pentru 3X rezultă
4333231334321 pppp
XXXXX
2354050048
17250
24
3150
16
2100
12
1 ,,,,, . (2.136)
Valorile complete ale probabilităţilor condiţionate kpxkX
şi ale distribuţiei
marginale xX sunt calculate în Tabelul 2.8.
Tabelul 2.8 – Probabilităţile kpxkX
şi distribuţia
marginală xX
Clasificarea
geologică
kpxkX
xX
1 2 3 4
(1) 0,0667 0,0938 0,1042 0,1042 0,3688
(2) 0,0250 0,0281 0,0729 0,1250 0,2510
(3) 0,0083 0,0188 0,0313 0,1771 0,2354
(4) 0,0000 0,0094 0,0417 0,0938 0,1448
Putem să calculăm acum distribuţia posterioară pentru 3X , aplicând relaţia (2.133)
şi obţinem:
035023540
1001211
3,
,
,
Xf , (2.137)
080023540
1501522
3,
,
,
Xf , (2.138)
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
46
133023540
2502433
3,
,
,
Xf
, (2.139)
752023540
50048174
3,
,
,
Xf . (2.140)
Valorile complete ale distribuţiei posterioare a lui pentru problema noastră de decizie
sunt calculate în Tabelul 2.9.
Tabelul 2.9 – Distribuţia posterioară a lui
Clasificarea
geologică
kfxX
1 2 3 4
(1) 0,181 0,254 0,282 0,282
(2) 0,100 0,112 0,290 0,498
(3) 0,035 0,080 0,133 0,752
(4) 0,000 0,065 0,288 0,647
În continuare, pentru a determina procedura de decizie Bayes, decidentul – având
calculată distribuţia posterioară – va alege acţiunea care minimizează pierderea medie aB f
(inclusiv costul experimentării), care este de fapt riscul Bayes estimat în funcţie de distribuţia
posterioară f a lui , date fiind valorile xX , unde
continuă dacă
discretă dacă
,,
,,
,dyyfyaL
kfkaL
aLMaB
xX
kxX
f . (2.141)
Acum, pentru clasificarea geologică (3), procedura Bayes pentru 3X conduce la
642500275200006
1330008000004003500009011
.,.
,,.,.,aLMaB f, (2.142)
5005500275200008
13300008080000080350000822
..,.
,.,.,.,
aLMaB f, (2.143)
243500275200
1330008000001503500003033
.,
,,.,.,aLMaB f. (2.144)
Rezultă că procedura Bayes pentru cazul 3X determină alegerea acţiunii 2a –
închiriere necondiţionată, pentru care pierderea medie este minimă.
Aplicând procedura şi relaţiile de mai sus pentru toate valorile 4321 ,,,X , obţinem
valorile riscului Bayes pentru distribuţia posterioară (Tabelul 2.10).
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
47
Tabelul 2.10 – Valorile riscului Bayes pentru distribuţia
posterioară
1x 2x 3x 4x
1aB f -22.246 -7.956 642 3.795
2aB f -5.500 -5.500 -5.500 -5.500
3aB f -6.737 -2.168 243 1.529
Sintetizând valorile calculate pentru procedura Bayes se obţin datele din Tabelul 2.11
Tabelul 2.11 – Procedura Bayes pentru problema forajului
x Acţiunea
Bayes
Riscul Bayes Distribuţia
marginală
1 a1 22.246 0,369
2 a1 7.956 0,251
3 a2 5.500 0,235
4 a2 5.500 0,145
Rezultă că pentru categoriile de teren (1) şi (2) acţiunea optimă este 1a – forajul, iar
pentru categoriile de teren (3) şi (4) acţiunea optimă este 2a – închirierea necondiţionată a
terenului.
Valoarea experimentării
Înainte de a apela la experimente privind starea naturii (care în majoritatea cazurilor au
costuri semnificative), va trebui să determinăm valoarea potenţială pe care o pot aduce aceste
experimente. Să presupunem că experimentul ne poate furniza o „informaţie perfectă”
despre starea naturii. Dar care este valoarea acestei „informaţii perfecte”? În aplicaţia noastră
a problemei de foraj, studiul geologic furnizează o informaţie „imperfectă” care costă 2.500€.
Ţinând cont de probabilităţile iniţiale, pierderea medie cu informaţie perfectă, pe care o
notăm cu IPM , este dată de
00021500000825000081500004010000090 .,.,.,.,. IPM . (2.145)
Regula de decizie Bayes (fără experimentare) a condus la o pierdere medie de 12.000
şi la acţiunea 1a , respectiv o pierdere mult mai mare decât în cazul pierderii medii cu
informaţie perfectă. Făcând diferenţa între cele două valori de mai sus, obţinem o valoare de
9.000, care este de fapt costul informaţiei perfecte.
Considerând datele din Tabelul 2.10 şi Tabelul 2.11, suma ponderată a pierderilor
Bayes, denumită pierderea medie necondiţionată cu experimentare este dată de
29212145050051450500525109567369024622 .,.,.,.,.~
fB . (2.146)
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
48
Atunci valoarea experimentării (fără costul de 2.500) este dată de diferenţa între suma
ponderată definită în relaţia (2.146) şi pierderea Bayes fără experimentare, adică
2920001229212 ..min~
exp if aLBL , (2.147)
care reprezintă economia (pierdere negativă) rezultată în urma adoptării unei proceduri de
decizie optimale cu experimentare.
În fine, pentru a evalua diferenţa dintre adoptarea decizie după proceduri Bayes
optimale şi neoptimale, calculăm riscul mediu ponderat pentru procedura neoptimală,
utilizând valorile date de relaţiile (2.120) (2.123) şi valorile probabilităţilor iniţiale,
obţinând
4869500250225016711506882710050067 .,.,.,.,.~
B . (2.148)
Scăzând valorile date de relaţiile (2.146) şi 2.148) obţinem
8052496929212 ...~~
BBL fopt , (2.149)
adică o economie (pierdere negativă) de 2.805€, ca urmare a utilizării procedurii Bayes
optimale în locul procedurii neoptimale.
Arborele de decizie
Arborele de decizie pentru problema forajului est reprezentat în Figura 2.26. Ramura
iniţială superioară reprezintă decizia fără experimentare, respectiv decizia fără utilizarea
studiului geologic. Ramura iniţială inferioară reprezintă decizia cu experimentare, respectiv
cu date geologice.
Utilităţile afişate în nodurile de decizie şi de incertitudine ale arborelui corespund
valorilor calculate anterior. În nodurile de decizie au fost aplicate procedurile Bayes (optimale
şi neoptimale) de minimizare a riscului Bayes. Acţiunile respinse au fost barate cu semnul .
Decizia adoptată este achiziţionarea studiului geologic.
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
49
DECIZIE FĂRĂ EXPERIMENTARE 90.000
40.000
12.000
0
12.000
6.000
8.000
5.250
27.746
27.746
8.000
-12.292 6.737
x1
10.456
2.500 10.456
8.000
x2
4.668
1.858
8.000
x3
8.000
2.257
x4
1.295
8.000
8.000
971
DECIZIE CU EXPERIMENTARE
Figura 2.26 Arborele de decizie pentru problema forajului
Fără date
geologice
a
1
a
3
Închiriere
necondiţionată
Închiriere
condiţionată
1
(0,
10
)
2
(0,1
5) 3
(0,
25) 4
(0,
50)
a
2
a
3
a
1
a
1
a
2
a
2
a
2
Foraj
a1
a1
a1
a1
a2
a2
a2
a2
a3
a3
a3
a2
a3
a
3
Cu date
geologice a3
a1 14.792
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
50
2.6.2 Algoritm de rezolvare a unei probleme de decizie
Vom sintetiza modul de rezolvare a problemelor de decizie de tipul prezentat anterior,
respectiv cu funcţia de pierdere tabelară şi cu A , şi X finite şi discrete, în algoritmul care
urmează. În general, majoritatea problemelor de decizie pot fi formalizate cu ajutorul
modelului prezentat în cadrul algoritmului. Algoritmul are o organizare matriceală pentru a
facilita utilizarea programelor de calcul tabelar.
A. DECIZIE FĂRĂ EXPERIMENTARE
Pasul 1. Definirea problemei de decizie.
P1.1: Se defineşte spaţiul de acţiune la,,aA 1 .
P1.2: Se defineşte spaţiul stărilor k ,,1 .
P1.3: Se definesc consecinţele ljkia ji ,,,,,,, 11 .
P1.4: Se asociază costurile corespunzătoare consecinţelor şi alte costuri ale
problemei de decizie.
Pasul 2. Definirea funcţiei de pierdere.
P2.1: Funcţia de pierdere se defineşte într-un tabel de forma:
Starea naturii
Acţiunea 1 2 ... k
1a 11 aL , 12 aL , ... 1aL k ,
2a 21 aL , 22 aL , ... 2aL k ,
... ... ... ... ...
la laL ,1 laL ,2 ... lk aL ,
Pasul 3. Regula de decizie minimax.
P3.1: Se bordează tabelul funcţiei de pierdere cu o coloană care conţine maximul
valorilor funcţiei de pierdere din fiecare linie:
Starea naturii
Acţiunea 1 2 ... k jaL ,max
1a 11 aL , 12 aL , ... 1aL k , 1aL ,max
2a 21 aL , 22 aL , ... 2aL k , 2aL ,max
... ... ... ... ... ...
la laL ,1 laL ,2 ... lk aL , laL ,max
P3.2: Se aplică regula de decizie minimax, respectiv se calculează minimul
valorilor din ultima coloană a tabelului de mai sus:
ljaL jil
,,,,maxmin 1 . (2.150)
P3.3: Se alege acţiunea corespunzătoare liniei pentru care s-a obţinut minimul.
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
51
Dacă nu sunt disponibile informaţii despre distribuţia de probabilitate iniţială,
algoritmul se opreşte la acest pas. Dacă sunt cunoscute valorile probabilităţilor iniţiale
pentru distribuţia convingerii, algoritmul continuă cu Pasul 4.
Pasul 4. Definirea probabilităţilor iniţiale.
P4.1: Se definesc probabilităţile iniţiale
kiipi ,,, 1Prob , (2.151)
într-un tabel de forma:
Starea
naturii 1 2 ... k
Probabilităţi
iniţiale 1p 2p ... kp
P4.2: Probabilităţile iniţiale trebuie să verifice condiţiile de definire a probabilităţilor,
respectiv valori pozitive subunitare şi suma egală cu 1, condiţii reflectate şi de relaţiile
următoare:
1
1 10
1
k
i
ip
kiip
,,,
. (2.152)
Pasul 5. Regula de decizie Bayes.
P5.1: Se calculează pierderea medie pentru fiecare acţiune ja
k
ijijj ipaLaLMaL
1 ,, , (2.153)
într-un tabel de forma:
Starea naturii
Acţiunea 1 2 ... k aL
1a 111 paL , 212 paL , ... kpaL k 1, 1aL
2a 121 paL , 222 paL , ... kpaL k 2, 2aL
... ... ... ... ... ...
la 11 paL l, 22 paL l, ... kpaL lk , laL
P5.2: Se aplică regula de decizie Bayes, calculând minimul valorilor din ultima coloană
a tabelului de mai sus, respectiv ljaL j ,,,min 1 .
P5.3: Se alege acţiunea Bayes, corespunzătoare liniei pentru care s-a obţinut minimul.
Dacă pentru problema de decizie nu se utilizează informaţii rezultate din experimentare,
algoritmul se opreşte la acest pas. În caz contrar, se continuă cu Pasul 6.
B. DECIZIE CU EXPERIMENTARE
Pasul 6. Definirea experimentului.
P6.1: Se defineşte spaţiul de eşantionare X şi variabila aleatoare X, cu valorile k,,, 21 .
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
52
P6.2: Se specifică probabilităţile condiţionate kiiXi
,,, 1 , într-un tabel de
forma:
x 1 2 ... k
1 11 X
12 X ... 1Xk
2 21 X
22 X ... 2Xk
... ... ... ... ...
k kX 1
kX 2 ... kXk
P6.3: Se stabileşte costul experimentului C.
Pasul 7. Procedura Bayes cu probabilităţi iniţiale.
P7.1: Se stabilesc regulile de decizie xdn şi acţiunile ij
a care se adoptă pentru
fiecare valoare kx ,,, 21 , unde liaaaa lji,,,,,A 1 21 , într-un tabel de
forma:
X 1 2 ... k
nd 1j
a 2j
a ... kj
a
P7.2: Se determină funcţia de risc mediu jndR , , la care se adaugă costul
experimentului C, cu relaţiile:
k
jjXjinjn CaLCxdLMCdR
i1
,,, . (2.154)
Datele se organizează într-un tabel de forma:
x 1 2 ... k C CdR jn ,
1,ndR 11
11
XjaL
, 21
12
XjaL
, ... kXjk
aL
1
1 , C CdR n 1,
2,ndR 12
11
XjaL
, 22
12
XjaL
, ... kXjk
aL
1
2 , C CdR n 2,
... ... ... ... ... ... ... kndR ,
111
Xjk aL
, 212
Xjk aL
, ...
kXjk kaL
1 , C CdR kn ,
P7.3: Se determină riscul mediu minim:
kidR ini
,,,min 1 . (2.155)
P7.4: Decizia Bayes (neoptimală) constă din alegerea acţiunii pentru care s-a obţinut
riscul mediu minim.
Dacă pentru problema de decizie nu se utilizează probabilităţi posterioare, algoritmul se
opreşte la acest pas. În caz contrar, se continuă cu Pasul 8.
Pasul 8. Calculul probabilităţilor posterioare.
P8.1: Se calculează probabilităţile condiţionate posterioare kpxkX
şi
distribuţia marginală xX . Datele sunt organizate ca în tabelul de mai jos, care
conţine produsul elementelor din tabelele de la P6.2 şi P4.1, iar în ultima coloană
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
53
suma probabilităţilor condiţionate pe fiecare linie.
k kpxkX
xX
x 1 2 … k
1 11 X 1p
12 X 2p ... 1Xk
kp 1X
2 21 X 1p
22 X 2p ... 2Xk
kp 2X
… ... ... ... ... …
k kX 1 1p
kX 2 2p ... kXk
kp kX
P8.2: Se calculează distribuţia posterioară
x
kpkf
X
kX
xX
, (2.156)
aplicând relaţia de mai sus pentru elementele din tabelele de la P6.2, P4.1 şi P8.2,
obţinându-se tabelul de forma de mai jos:
k kfxX
x 1 2 … k
1 11X
f
21X
f
... kfX 1
2 12X
f
22X
f
... kfX 2
… … … … …
k 1kX
f
2kX
f
... kfkX
Pasul 9. Procedura Bayes cu probabilităţi posterioare.
P9.1: Se determină riscul Bayes în funcţie de distribuţia posterioară, date fiind valorile
xX , cu relaţia de mai jos, în care se ţine cont şi de costul experimentului, iar datele
se organizează într-un tabel de forma de mai jos:
liCkfkaLCaLMCaBk
xXiiif ,,,, 1 . (2.157)
1x 2x kx
CaB jf 1
CfaL j 111 , CfaL j 22
1 , … CkfkaL j ,1
CaB jf 2
CfaL j 112 , CfaL j 22
2 , … CkfkaL j ,2
… … … … …
CaBkjf CfaL
kj11 , CfaL
kj22 , … CkfkaL
kj ,
P9.2: Se stabileşte decizia privind acţiunile Bayes, considerând minimul valorilor pe
coloană din tabelul de mai sus. Se obţine un tabel de forma:
x Acţiunea
Bayes
Riscul Bayes Distribuţia
marginală
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
54
1 1j
a CaB jfk
1
min 1X
2 2ja CaB jf
k
2min 2X
… … …
k kja CaB
kjfk
min kX
Pasul 10. Valoarea experimentului.
P10.1: Se determină pierderea medie cu informaţie perfectă disponibilă:
k
kk kpaLIPM , . (2.158)
P10.2: Se calculează costul informaţiei perfecte:
IPMaLIPC j min . (2.159)
P10.3: Se calculează pierderea medie necondiţionată cu experimentare:
k
Xjff kaBBk
~. (2.160)
P10.4: Se determină valoarea experimentului (fără costul acestuia):
jf aLBL min~
exp . (2.161)
P10.5: Se calculează riscul mediu ponderat (cu regula neoptimală):
k
kn kpCdRB ,~
. (2.162)
P10.6: Se calculează economia ca urmare a aplicării procedurii Bayes optimale cu
probabilităţi posterioare, faţă de regula Bayes neoptimală:
BBL fopt
~~ . (2.163)
Pasul 11. Arborele de decizie.
P11.1: Se construieşte arborele de decizie, conform procedurii prezentate anterior.
P11.2: Se alocă în nodurile de incertitudine, valorile de risc calculate.
Pasul 12. Concluzii.
P12.1: Se trage concluzia asupra deciziei optimale iniţiale care trebuie adoptată, precum
şi asupra secvenţei de acţiuni care trebuie adoptate pentru rezolvarea problemei de
decizie.
2.6.3 Problema festivalului
Vom aplica paşii algoritmului descris anterior pentru aşa-numita problemă a
festivalului, care este exemplificată şi rezolvată în continuare.
Un festival în aer liber este planificat să fie organizat într-un oraş la o anumită dată.
Profiturile care se estimează că se vor obţine în urma desfăşurării festivalului depind în cea
mai mare măsură de starea vremii. Astfel, dacă vremea este ploioasă, organizatorii festivalului
vor înregistra o pierdere de 30.000€, datorită numărului foarte redus de participanţi; dacă pe
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
55
durata festivalului cerul va fi înnorat, pierderile vor fi de 10.000€, iar dacă timpul va fi frumos
şi însorit, festivalul va aduce un profit de 20.000€. Costul instalării echipamentului tehnic
necesar desfăşurării festivalului este de 2.000€, pierdere care s-ar înregistra dacă
echipamentul ar fi instalat, iar festivalul ar fi anulat. La momentul respectiv, organizatorii vor
putea beneficia de un buletin meteo pentru prognoza vremii în perioada festivalului, de la o
filială a unui institut meteorologic, care a sintetizat datele de predicţie a vremii. Să remarcăm
faptul că suntem în faţa unei probleme de decizie fără experimentare (cazul A) dacă
organizatorii festivalului (decidentul) nu utilizează prognoza meteo sau o problemă de decizie
cu experimentare (cazul B), dacă vor lua în considerare prognoza din buletinul meteo.
A. DECIZIE FĂRĂ EXPERIMENTARE
Pasul 1. Definirea problemei de decizie.
P1.1: Spaţiul de acţiune: 21 aa ,A , unde:
1a : Instalare echipament şi organizare festival;
2a : Neinstalare echipament şi anulare festival.
P1.2: Spaţiul stărilor: 321 ,, , , unde:
1 : Ploaie;
2 : Nori;
3 : Soare.
P1.3: Consecinţe:
Consecinţe Acţiuni Stări
11 ,a Organizare festival – instalare echipament Ploaie
21 ,a Organizare festival – instalare echipament Nori
31 ,a Organizare festival – instalare echipament Soare
12 ,a Anulare festival – neinstalare echipament Ploaie
22 ,a Anulare festival – neinstalare echipament Nori
32 ,a Anulare festival – neinstalare echipament Soare
P1.4: Costuri (UM = €):
Consecinţe Costuri Profit
11 ,a –30.000
21 ,a –10.000
31 ,a 20.000
12 ,a 2.000
22 ,a 2.000
32 ,a 2.000
Pasul 2. Definirea funcţiei de pierdere.
P2.1: Funcţia de pierdere:
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
56
Starea naturii
Acţiunea 1 2 3 jaL ,max
1a 30.000 10.000 –20.000 30.000
2a 2.000 2.000 2.000 2.000
Pasul 3. Regula de decizie minimax.
P3.1: S-a bordat tabelul funcţiei de pierdere cu o coloană care conţine maximul
valorilor funcţiei de pierdere din fiecare linie.
P3.2: Regula de decizie minimax:
0002.,maxmin jaL .
P3.3: Decizia minimax: Acţiunea 2a – Neinstalare echipament şi anulare festival.
Pasul 4. Definirea probabilităţilor iniţiale.
P4.1: Probabilităţile iniţiale sunt:
Starea naturii 1 2 3
Probabilităţi iniţiale 0,10 0,30 0,40
P4.2: Probabilităţile iniţiale verifică condiţiile de definire a probabilităţilor (valorile sunt
cuprinse între 0 şi 1, iar suma lor este egală cu 1).
Pasul 5. Regula de decizie Bayes.
P5.1: Pierderile medii pentru fiecare acţiune ja :
Starea naturii
Acţiunea 1 2
3 jaL
1a 3.000 3.000 –12.000 –6.000
2a 200 600 1.200 2.000
P5.2: Regula de decizie Bayes:
0006.min jaL .
P5.3: Decizia Bayes: Acţiunea 1a – Instalare echipament şi organizare festival.
B. DECIZIE CU EXPERIMENTARE
Pasul 6. Definirea experimentului.
P6.1: Spaţiul de eşantionare X , variabila aleatoare X, cu valorile:
1x – Prognoză ploaie;
2x – Prognoză nori;
3x – Prognoză soare.
P6.2: Probabilităţile condiţionate ca urmare a experimentului sunt date în tabelul
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
57
următor.
P6.3: Costul experimentului €5001.C (costul studiului de prognoză meteo).
iXi
x 1 2 3
1 7/10 2/10 1/10
2 2/10 6/10 2/10
3 1/10 2/10 7/10
Pasul 7. Procedura Bayes cu probabilităţi iniţiale.
P7.1: Regula de decizie xdn şi acţiunile:
X 1 2 3
nd 2a 2a 1a
Aceasta înseamnă că se va adopta acţiunea 2a , respectiv anularea festivalului,
dacă prognoza meteo indică ploaie sau nori şi acţiunea 1a , adică ţinerea
festivalului, dacă prognoza meteo indică timp însorit.
P7.2: Calculul riscului mediu:
x 1 2 3 C CdR jn ,
1,ndR 1.400 400 3.000 1.500 6.300
2,ndR 400 1.200 2.000 1.500 5.100
3,ndR 200 400 –14.000 1.500 –11.900
P7.3: Riscul mediu minim:
90011.,min ini
dR .
P7.4: Decizia Bayes (neoptimală): Acţiunea 1a – organizarea festivalului.
Pasul 8. Calculul probabilităţilor posterioare.
P8.1: Probabilităţile condiţionate posterioare şi distribuţia marginală:
k kpxkX
xX
x 1 2 3
1 0,07 0,06 0,06 0,19
2 0,02 0,18 0,12 0,32
3 0,01 0,06 0,42 0,49
P8.2: Distribuţia posterioară:
k kfxX
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
58
x 1 2 3
1 0,368 0,316 0,316
2 0,063 0,563 0,375
3 0,020 0,122 0,857
Pasul 9. Procedura Bayes cu probabilităţi posterioare.
P9.1: Riscul Bayes în funcţie de distribuţia posterioară:
x x = 1 x = 2 x = 3
CaB f 1 9.395 1.500 –13.806
CaB f 2 3.500 3.500 4.000
P9.2: Decizia privind acţiunile Bayes:
x Acţiunea Bayes Riscul Bayes Distribuţia
marginală
1 2a 3.500 0,19
2 1a 1.500 0,32
3 1a –13.806 0,49
Pasul 10. Valoarea experimentului.
P10.1: Pierderea medie cu informaţie perfectă disponibilă:
20011., k
kk kpaLIPM .
P10.2: Costul informaţiei perfecte:
2005.min IPMaLIPC j .
P10.3: Pierderea medie necondiţionată cu experimentare:
6205.~
k
Xjff kaBBk .
P10.4: Valoarea experimentului (fără costul acestuia):
0006.min~
exp jf aLBL .
P10.5: Riscul mediu ponderat (cu regula neoptimală):
9804.,~
k
kn kpCdRB .
P10.6: Economia ca urmare a aplicării procedurii Bayes optimale cu probabilităţi
posterioare, faţă de regula Bayes neoptimală:
640 BBL fopt
~~.
TEMA 2: MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE
59
Pasul 11. Arborele de decizie.
P11.1: Arborele de decizie pentru problema festivalului este reprezentat în Figura 2.27.
În prima parte a acestui arbore de decizie este reprezentată decizia fără experimentare,
respectiv fără date meteo. Se observă că această decizie nu este acceptabilă (ramura este
barată). În a doua parte a arborelui de decizie, este reprezentată decizia cu
experimentare, respectiv decizia care are la bază informaţiile furnizate de studiul meteo.
P11.2: Valorile de risc calculate în cadrul algoritmului sunt reprezentate în nodurile de
incertitudine.
Pasul 12. Concluzii.
P12.1: Valorile funcţiilor de risc calculate conduc la concluzia că pentru problema
noastră, decizia optimală o constituie alegerea unei proceduri de decizie fără
experimentare şi a acţiunii de organizare a festivalului.
În condiţiile unei proceduri de decizie cu experimentare, regula de decizie Bayes
neoptimală a condus la aceeaşi acţiune de instalare echipament şi organizare a festivalului. De
asemenea, şi utilizarea procedurii Bayes cu probabilităţi posterioare duce la aceeaşi decizie
optimală. Analizând însă informaţiile furnizate de valoarea experimentului, rezultă că costul
studiului de prognoză meteo nu justifică opţiunea pentru o decizie cu experimentare.
Algoritmul prezentat aici pentru acest tip de probleme de decizie (respectiv pentru acele
probleme de decizie în care avem distribuţii de probabilitate discrete) are avantajul organizării
tabelare, ceea ce permite utilizarea rapidă a unor programe de calcul tabelar. Vom vedea în
Capitolul 4 că acest algoritm, cu unele completări, este aplicabil şi pentru situaţiile unor
probleme de decizie bazate pe distribuţii de probabilitate continue.
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
60
DECIZIE FĂRĂ EXPERIMENTARE3 0 . 0 0 0
- 6 . 0 0 0
1 0 . 0 0 0
- 6 . 0 0 0 - 2 0 . 0 0 0
2 . 0 0 0
2 . 0 0 0
N e i n s t a l a r e 2 . 0 0 0
2 . 0 0 0
- 6 . 0 0 0 9 . 3 9 5
3 . 5 0 0
1 . 5 0 0 3 . 5 0 0
1 . 5 0 0
- 7 . 1 2 0 1 . 5 0 0
3 . 5 0 0
- 1 3 . 8 0 6
- 1 3 . 8 0 6
4 . 0 0 0
D E C I Z I E C U E X P E R I M E N T A R E
Fără date m e t e o
Cu date
meteo
Instalare
a 1
a 2
1 (0,10)
2 (0,30)
3 (0,60)
x = 1 (0,190)
x = 2 (0,320)
a 1
a 2
x = 3 (0,490)
a 1
a 1
a 2
a 2
1 (0,10)
2 (0,30)
3 (0,60)
Figura 2.27 Arborele de decizie pentru problema festivalului