modèle dynamique d'un robot
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UFR des Sciences, Département EEA
M1 EEAII Parcours ViRob
Fabio MORBIDI
E-mail: [email protected]!
Année Universitaire 2014/2015
http://home.mis.u-picardie.fr/~fabio/Teaching.html
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Plan du cours
Chapitre 1 : Généralités
1.1 Définitions
1.2 Constituants d’un robot
1.3 Classification des robots
1.4 Caractéristiques d’un robot
1.5 Les générations de robot
1.6 Programmation des robots
1.7 Utilisation des robots
Chapitre 2 : Degrés de liberté - Architecture
2.1 Positionnement
• Rotation et représentation de la rotation
• Attitude et matrices homogènes
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Plan du cours
Chapitre 3 : Modélisation d’un robot
2.2 Cinématique
• Vitesse d’un solide
• Vecteur vitesse de rotation
• Mouvement rigide
• Torseur cinématique
3.1 Modèle géométrique
• Convention de Denavit-Hartenberg
• Modèle géométrique direct
• Modèle géométrique inverse
3.2 Modèle cinématique
• Jacobien direct d’un robot
• Jacobien inverse d’un robot
3.3 Modèle dynamique
• Equation d’Euler-Lagrange
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• Le modèle dynamique d’un manipulateur est important pour: • La simulation du mouvement
• Analyser la structure d’un robot
• Le développement d’algorithmes de contrôle
Modèle dynamique d’un robot
• Il y a deux méthodes pour déterminer les équations du mouvement d’un manipulateur dans l’espace articulaire:
1. La méthode basée sur la formulation de Lagrange • Conceptuellement simple et systématique
2. La méthode basée sur la formulation de Newton-Euler (on trouve la résultante des forces qui s'exercent sur un segment générique du manipulateur)
• Elle produit un modèle de façon récursive • Plus avantageuse du point de vue computationnel que la formulation de Lagrange
• De manière similaire au cas cinématique, on peut encore définir: • Un problème dynamique direct (trouver les accelerations )
• Un problème dynamique inverse (trouver les couples articulaires ) τ (t)
q̈(t)
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• Le modèle dynamique d’un manipulateur nous permet de décrire la relation entre les couples des actionneurs sur les articulations et le mouvement de la structure.
• Lorsque les variables
• Avec la formulation de Lagrange les équations de mouvement peuvent être déterminées d’une façon systématique et indépendamment du référentiel que nous avons choisi.
Modèle dynamique: formulation de Lagrange
ont été fixées (elle décrivent la position des segments d’un manipulateur à n DDL), le lagrangien du système peut être défini en fonction des coordonnées généralisées, de la manière suivante:
qi, i ∈ {1, . . . , n} “coordonnées généralisées”
Énergie potentielle totale Énergie cinétique totale
L
L = T − U
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• Les équations de Lagrange (ou d’Euler-Lagrange) sont exprimées par:
• Sous une forme compacte, nous pouvons réécrire les équations de Lagrange comme:
où
Modèle dynamique: formulation de Lagrange
• Les contributions aux forces généralisées sont données par les forces non-conservatives dans le système:
• Les couples des actionneurs sur les articulations • Les forces de frottement sur les articulations • Les couples sur les articulations générées par les forces de contact de l’effecteur avec l’environnement
d
dt
∂ L∂ q̇i
− ∂ L∂ qi
= ξi, i ∈ {1, . . . , n}
ξi qiest la force généralisée associée à la coordonnée généralisée
où, pour un manipulateur (à chaîne ouverte), les coordonnées généralisées sont réunies dans le vecteur des variables articulaires q
d
dt
�∂ L∂ q̇
�T
−�∂ L∂ q
�T
= ξ
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• Les équations de Lagrange:
• Ces équations nous permettent de déterminer le modèle dynamique d’un robot à partir de l’énergie cinétique et potentielle du système
nous fournissent une relation entre les forces généralisées appliquées au manipulateur, et les positions, vitesses et accelerations des variables articulaires, c’est-à-dire
Modèle dynamique: formulation de Lagrange
d
dt
∂ L∂ q̇i
− ∂ L∂ qi
= ξi, i ∈ {1, . . . , n}
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
qi, q̇i, q̈i, i ∈ {1, . . . , n}
ξi
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Modèle dynamique: formulation de Lagrange
θ
θmmoteur
: longueur de la tige
: moment d'inertie du servomoteur autour de l’axe de rotation et son coefficient de frottement visqueux
: moment d'inertie de la tige et son coefficient de frottement visqueux
r
rm
: rayon des engrenages côté tige et côté moteur
: position angulaire de l’axe du moteur et de l’axe de la tige (si , la tige pointe vers le bas)
: couple engendrée par le moteur
: masse de la tige et accélération de la pesanteur
�Im, Fm
I, F
r, rm
θ, θm
m, g
cm
kr = r/rm : braquet
θ = 0
Exemple [Pendule inversé actionné par un moteur électrique]
F
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Exemple [Pendule inversé actionné par un moteur électrique]
Modèle dynamique: formulation de Lagrange
θ
θmmoteur
Si on choisit comme coordonnée généralisée, l’énergie cinétique du système est:
r
rm
θ
T =1
2I θ̇2 +
1
2Im k2r θ̇
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En outre, l’énergie potentielle du système (définie à une constante près) est:
U = mg � (1− cos θ)
F
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Modèle dynamique: formulation de Lagrange
Le lagrangien du système est donc:
Si on utilise cette expression dans l’equation de Lagrange suivante (nous avons une seule coordonnée généralisée, l’angle ):
L = T − U =1
2I θ̇2 +
1
2Im k2r θ̇
2 − mg � (1− cos θ)
d
dt
∂ L∂ θ̇
− ∂ L∂ θ
= ξ
on trouve:
θ
(I + Im k2r) θ̈ + mg � sin θ = ξ
La force généralisée est donnée par plusieurs de contributions: la couple d’actionnement au côté tige, et les couples de frottement visqueux , (la dernière couple a été reportée au côté tige):
ξ−F θ̇ −Fm k2r θ̇
ξ = τ − F θ̇ − Fm k2r θ̇
Exemple [Pendule inversé actionné par un moteur électrique]
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Exemple [Pendule inversé actionné par un moteur électrique]
Modèle dynamique: formulation de Lagrange
Conclusion: Nous trouvons ainsi le modèle dynamique complet du système, sous la forme d’une équation différentielle ordinaire du second ordre:
On verra la prochaine leçon comment calculer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle d’un un manipulateur générique avec n segments rigides, pour trouver son modèle dynamique (les “équations du mouvement’’) avec la formulation de Lagrange.
(I + Im k2r) θ̈ + (F + Fm k2r) θ̇ + mg � sin θ = τ