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Modèles de morphogenèse tissulaire à partir de dynamiques cellulaires intégrées

Application principale à la croissance radiale secondaire des conifères

7 décembre 2005

Loïc Forest(TIMC – IMAG)

sous la direction de Jacques Demongeot

2

Introduction

• Morphogenèse = processus générateur de forme.

• 1917. D’Arcy Thompson. On growth and form. Théorie des transformations. Importance des lois physiques et mathématiques.

• 1952. C. H. Waddington. The epigenetics of birds. Facteurs génétiques – épigénétiques.

• 1972. R. Thom. Stabilité Structurelle et Morphogenèse. Existence de formes de référence

Paysage épigénétique de Waddington

Thompson, W. Sir D'Arcy. (1917). On growth and form. Waddington, C.H. (1952). The epigenetics of birds. Thom, R. (1972). Stabilité structurelle et morphogenèse. Essai d'une théorie générale des modèles.

Approche globale de la biologie

Immense complexité de la morphogenèse

3

Introduction : modèles mathématiques et morphogenèse

1. Modèles continus 2. Modèles discretsEquations aux dérivées partielles (EDP)

- Mécanique des milieux continus Réseaux d’interaction - Réaction-Diffusion (morphogène) Automates cellulaires

3. Systèmes complexes – Systèmes multi-agents

De Kepper, P., Dulos E., De Wit A., Dewel G. and Borckmans P. (1998). Taches, rayures et labyrinthes. La Recherche.Mendoza, L. and Alvarez-Buylla E.R. (1998). Dynamics of the genetic regulatory network for Arabidopsis thaliana flower morphogenesis. J. Theor. Biol.

4

Introduction

Objectif

Comprendre la morphogenèse tissulaire par l’intégration des dynamiques cellulaires.

Dynamiques cellulaires• Division• Croissance• Différenciation• Migration• Elimination

Contrôle • Génétique• Chimique • Mécanique

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Système multi-agents

Méthode : système multi-agents couplé avec des EDP

Applications

• Croissance radiale secondaire des conifères (division, croissance, élimination)

• Invagination épithéliale (migration)

• Différenciation

EDP

C

Morphogène

6

La croissance radiale secondaire des conifères

Contexte

Modélisation

Résultats

Validation

Conclusion

7

Structure du bois

Zimmermann, M. and Brown C. (1971). Trees : structure and function. Webb, D. (2005). http://www.botany.hawaii.edu/faculty/webb. University of Hawaii.

zone médullaire

xylème

zone cambiale

phloème

écorce

cellules initiales du cambium

cellule fusiforme

cellule de rayon

8

Dynamiques cellulaires

Phloème

Xylème

Division périclinale Division anticlinale

+ Croissance

+ Elimination

9

Contrôle hormonal

- L’hormone IAA (acide indole-3-acétique, de la famille de auxine) contrôle la croissance cellulaire

- Morphogène

- Production apicale permanente

- Transport actif polarisé via les cellules cambiales

- Diffusion anisotropique

- Gravitropisme

Uggla, C., Magel E., Moritz T. and Sunderg B. (2001). Function and Dynamics of Auxin and Carbohydrates during Earlywood / Latewood Transition in Scots Pine. Plant Physiology Estelle, M. (1998). Polar Auxin Transport : New Support for an Old Model. Plant Cell.

10

Patterns de croissance radiale : croissance concentrique

Formation concentrique du xylème

vers l’écorce

Alternance de densités cellulaires

Les images macroscopiques sont issues d’une étude sur le terrain menée par F. Padilla en 2001.Les observations microscopiques ont été réalisées au TIMC à l’aide de F. Giroud.

Padilla, F. (2001). Estudio de la deformación del fuste causada por polilla del brote rhyacionia buoliana en Pinus radiata en la décima región. Universidad de Chile.

11Exemple de Pinus radiata déformés

par attaque parasitaire

Etude sur le terrain de F. Padilla (2001)

Déformation Perte en valeur économique du bois

Patterns de croissance radiale : croissance excentrée

12

Patterns de croissance radiale : croissance excentrée

Croissance différentielle :production asymétrique de xylème

Cominetti R., Padilla F., San Martín J. (2002). Field methodology for reconstruction of a Radiata Pine log. N.Z. Journal of Forestry Science

Reconstruction de l’historique de croissance par la méthode de Cominetti et al. (2002)

13

Patterns de croissance radiale : croissance concave

Réaction suite à l’élagage d’une branche

Formation d’une concavité Récupération progressive d’une concavité

Somerville, A. (1980). Resin pockets and related defects of Pinus radiata grown in New Zealand. New Zealand Journal of Forestry Science

14

Etat de l’art

Croissance radialeLoi empirique de E. Kramer (2001) : le taux de production de xylème est proportionnel à la concentration d’auxine.

Transport d’auxine1D : MGGM (Mitchison en 1980 et Goldsmith, Goldsmith et Martin en 1981). Equation de diffusion-transport de l’auxine dans une colonne verticale de cellules cambiales fusiformes.

2D : Kramer (2002).Equation de diffusion-transport bidimensionnelle dans un plan vertical.Couplage avec une équation d’orientation des directions des axes principaux des cellules.

Autres étudesL-systèmes (A. Lindenmayer, J. Lück, H. Lück), Modèles globaux d’architecture végétale, Phyllotaxie.

Mitchison, G.J. (1980a). The dynamics of auxin transport. Proc. R. Soc. Lond. BGoldsmith, M.H.M, Goldsmith T.H. and Martin M.H. (1981). Mathematical analysis of the chemosmotic polar diffusionof auxin through plant tissues. Proc. Natl. Acad. Sci. Kramer, E.M. (2001). A Mathematical Model of Auxin-mediated Radial Growth in Trees. J. Theor. Biol.Kramer, E.M. (2002). A Mathematical Model of Pattern Formation in the Vascular Cambium of Trees. J. Theor. Biol.

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Contexte

Modélisation

Résultats

Validation

Conclusion

Partie discrète : Système multi-agents

Modèle de prolifération cellulaire

Partie continue : Equations aux dérivées partiellesModèle de transport de l’auxine

Simulation de la croissance tridimensionnelle

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- Hypothèses

Production de xylème uniquement Les cellules rayons ne sont pas considéréesLe cambium est réduit au tissu des initialesDifférenciation en xylème très simplifiée

- Structures

Cellule cambiale :Cambium :Xylème :

- Activités cellulaires

Lois d’évolution Evénements- croissance - division (périclinale et anticlinale)- maintien de la forme - élimination du cambium

- Mise à jour asynchrone aléatoire des cellules.

Modèle discret de prolifération cellulaire

Phloème

Xylème

iX 1iX -1iX +

1iC -

1iA -1iB -

1iD -iC

iAiB

iD

1iA +1iB +

1iC +1iD +

( ) ( ) ( )[ ]{ }/ 1,...,it X t i N tG = Î( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , ,i i i i iX t A t B t C t D t=

( )W t

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La transition globale est entièrement décrite par :

Nombre de cellules cambiales au temps Fonction de répartition de l’auxine, calculée par la partie continueGénérateur de permutations aléatoires Paramètres des lois du modèle

Décomposition de la transition globale :

Transitions

( )N t

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )11 , 1 , 1 , , , , ,ttt W t N t t W t f t c N t N tt s+G + + + = Á G

csf

( )tt

1 1 1 1 1, t t t t tt t t t tt d e m c+ + + + +" Î Á = Á Á Á Á¥ o o o

t

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- La croissance en aire de chaque cellule entre et est une fraction de la croissance en aire totale du cambium entre et .

Equation de couplage :

Croissance

- Adaptation à l’échelle cellulaire de la loi de Kramer (2001).

- Modèle continu

répartition tridimensionnelle de l’auxine

répartition unidimensionnelle

Lois d’évolution

( )A tD

f

( )

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( ),

1

i iC t D t

i N t

jj

f s dsG t A t

p t=

æ ö÷ç ÷ç ÷è ø= D

ò

å

f

1t+t( )iG t1t+t

iAiB

iDiC+

iC

iD+

iG

( )iX t

i i ip C D=uuuur

19

Maintien de la forme

- Les cellules redistribuent une partie de l’aire de croissance de manière à maintenir leur forme.

- La forme d’une cellule est caractérisée par

son angle .

- La forme de référence est .

- La redistribution incompressible suit la loi :

Partie mécanique du modèle

Lois d’évolution

0ia <

iD

iDiC

iC

iA

iAiB

iB

0ia >

iX

iX

( ),i i i i iAC B Da =uuuur uuuur

( ) ( ) ( )( )01i i it t k ta a a a+ = - -

0a

20

Elimination

Lorsqu’une cellule cambiale est privée d’échange vers l’extérieur :

- Si son périmètre utile est trop petit (inférieur au seuil d’élimination ).

- Ses voisines dans le cambium entrent en contact.

Une cellule est éliminée lorsque :

Division

Critère de Thom : une cellule se divise lorsqu’elle ne peut plus subvenir à ces besoins.

Une cellule se divise lorsque :

Evénements

Et

( ) ( )1 1 ou i E i ip X Xt - +< ¹ ÆI

Thom, R. (1972). Stabilité structurelle et morphogenèse. Essai d’une théorie générale des modèles.

i i ip C D=uuuur

Ci

ii

pt t

æ ö÷ç = < ÷ç ÷ç ÷Dè ø

21

Diffusion +

Transport

Diffusion

wur

gr

ur

Sur la surface cambiale paramétrée par une fonction . Repère local .

Equation de Diffusion-Transport

Flux d’auxine (de concentration ) au niveau d’une cellule cambiale d’axe :

- dans la direction de l’axe principal :

- dans la direction transversale :

Diffusion anisotrope :

Equation de la conservation de la masse,

Modèle de transport hormonal

2tur

{ ( )transport

diffusion

D Cu uv uC Ñ ×- P

r r1444442

r444443

( )diffusion

D C w w^- Ñ ×ur ur

1444442444443

( )( ) ( )( )CvC D C u u D C w w

t ^

¶= - Ñ × - Ñ × - Ñ ×

¶ P

r r ur ur

D D^>P

H¶W

B¶W

1tur

2tur

nr

W

( )1 2, ,t t nur ur r

ur C

( ),r s qr

W

22

2tur

H¶W

B¶W

1tur

2tur

nr

W

Equation d’orientation

Equation d’évolution de l’angle (généralisation de (Kramer, 2002)) :

Chaque terme exprime la tendance d’orientation des cellules cambiales selon :

leurs voisinesle flux d’auxinela direction de la gravité

Par exemple,

( ){

( )

( )( )1 2 3

,K C w h gtf

f m f¶

= D - Ñ × +¶

ur r144424443 1442443

( )1

( )3( )2

( ), .g

h g wg

f aæ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø

rr ur

r

Modèle de transport hormonal

1 2u cos t sin tff= +ur urr

Conditions aux limites

0

2

J j z

pfìï = -ïïíïï = -ïîur r

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Simulation de la croissance radiale tridimensionnelle

- Implémentation discrète par marche aléatoire d’une simplification du modèle continu

- Calcul de la concentration tridimensionnelle d’auxine

- Loi de croissance de la forme :

- Par exemple :

( )dM

G Cdt

=

uurur

( ) ( )1 2G C C na a= +ur r

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Connexions entre les modèles

Modèle de transport d’auxineCambium superficielContinuEDPFemlab© 3.0 - Matlab© 6.5Méthode aux éléments finis

Simulation de répartition de croissance 3DCambium superficielDiscretMarches aléatoires -ItérationsMatlab© 6.5

Modèle de prolifération cellulaireCoupe transversale 2DDiscretSystème complexe – multi-agentsMatlab© 6.5

25


Contexte

Modélisation

Résultats

Validation

Conclusion

26

Croissance concentrique

a

b

b

a

b

mm

27

Répartition d’hormone pour des géométries déformées

1er exemple de géométrie :

2ème exemple de géométrie :

cm

cm

28

Fonctions de répartition unidimensionnelles associées

Concentration normalisée d’auxine sur différentes coupes transversales

Résultattridimensionnel

10 2q p

1

1.2

0.8

1

2

3

4

0q=1

1.2

0.8

0 2q p

1 2

3 4

1

1.2

0.8

0 2q p

1

1.2

0.8

0 2q p

cm

29

Répartition d’hormone pour des géométries déformées

cm

Géométrie avec pente ascendante Géométrie avec portion concave

cm

cm

30

Croissance excentrée

a b

a

b

a

c d

c d

mm

31

Elagage d’une branche

mm

mm

mm

32

Animation

33


- La loi est itérée

jusqu’à ce que le volume de croissance

atteigne la valeur du volume expérimental

annuel.

- Intérêt : répartition de la croissance, pas la

quantité de croissance

( )1 2

dMC n

dta a= +

uurr

cm

34


Contexte

Modélisation

Résultats

Validation

Conclusion

35

Modèle de répartition d’auxine

- Cohérence avec les données expérimentales existantes.

- Données de Funada, répartition de l’auxine pour des arbres déformés.

- Absence de données en zone concave.

Validation

Funada, R., Mizukami E., Kubo T., Fushitani M. and Sigiyama T. (1990). Distribution of Indole-3-acetic acid and compression wood formation in stems of inclined Cryptomeria japonica. Holzforschung

a

bc

2.ngcm-

36

Validation

vers l’écorce

0.25 mm

Modèle de prolifération cellulaire

- Validation macroscopique : cohérence avec les évolutions de forme des anneaux de croissance.

- Validation microscopique : observation des arrangements cellulaires du xylème pour valider les lois de comportement.

37

Validation


Tronc présentant une faible déformation

Reconstruction de la croissance.

Itérations de la loi de croissance tridimensionnelle

Valide aussi les répartitions d’auxine calculées.

cm cm

38


Contexte

Modélisation

Résultats

Validation

Conclusion

39

Conclusion

Croissance des conifères

Modèle hybride pour la croissance radiale respectant les principales caractéristiques des phénomènes :- prise en compte de la croissance cellulaire, du maintien de la forme, des divisions et des éliminations.- généralisation du contrôle hormonal pour des géométries tridimensionnelles.

Obtention de patterns de croissance cambiale tridimensionnelle.

Modèles adaptés à différents cas de croissance (concentrique, parasitaire, concave).

Prédiction des répartitions de croissance, validation des résultats.

Générale

Méthode de couplage entre un système multi-agents et un système d’EDP.

Adaptation de cette méthode à d’autres processus de migration ou différenciation. Niveau de contrôle mécanique et chimique. Action précise des morphogènes.

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Perspectives

Croissance des conifères

Confrontation des résultats de répartition de l’auxine avec des données plus précises et plus adaptées à nos études.

Etude plus poussée des configurations cellulaires expérimentales.

« Raffiner » la dimension radiale.- pour le transport de l’auxine (hétérogénéités radiales).- pour le modèle de prolifération en construisant un cambium multi-colonnes pour notamment intégrer la différenciation cellulaire, la production de phloème, les cellules rayons.

Réaliser les connexions manquantes entre les trois composantes.

Générales

Généricité des modèles par EDP.

Frontière libre, croisement d’ondes.

1 2 3 4 5in Dv C Df E Mt

a a a a a¶

= + + + +¶

Collaborations :

Groupe forestier du Centre de Modélisation Mathématique (C.M.M.). Université du Chili. Fernando Padilla, Jaime San Martin, Salomé Martinez.

Juan Asenjo, Centre de Biotechnologies de Santiago du Chili (C.I.B.Y.B.). Université du Chili.

Equipe TIMB au grand complet.

Nancy Hitschfeld, Département d’Informatique (D.C.C.). Université du Chili.

Nicolas Glade, postdoctorant C.M.M.

Françoise Giroud, TIMC, équipe RFMQ.

Fabrice Chassat, postdoctorant C.M.M.

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