526 pp. 526-534

int6gration James ROBERTS **

Mod61es de t616trafic pour le r6seau de services du satellite TELECOM 1"

Analyse

Cet article concerne la moddlisation de rdseaux de tdldcommunication multiservices d commutation de circuits oil, en particulier, la nature de la liaison deman- dee (par exemple, son ddbit binaire) ddpend du type d'appeL Deux modes d'dtablissement des communica- tions sont considdrds : avec appels perdus en cas de blocage et ~< par rdservation >>. Duns ce dernier mode, la capacitd de transmission est rdservde clans une phase prdalable pour des appels programmds. Ce mode fait l'objet d'une description gdndrale, avec moddlisation par des processus de naissance ou de files d'attente << multiservices >> clans des cas particuliers. Les modules de tdldtrafic ont dtd mis au point pour permettre l'dva- luation du rdseau de communications d'affaires de TELECOM 1, mais les rdsultats exacts et approximatifs obtenus seront utiles pour l'dtude d'autres r~seaux d intdgration de services.

Mots d6s : T616communication par satellite, Communi- cation affaires, T616trafic, Syst6me avec perte, R6servation, Encombrement trafic, R6seau multiservice, Commutation circuit, Mod61e stochastique, File attente, Th6orie trafic.

and, for particular cases, we suggest interpretations leading to birth process and multiservice queue models. The models have been studied for evaluating the per- formance of the TELECOM 1 business communication network but derived exact and approximate results should be useful in other applications.

Key words : Satellite telecommunication, Business commu- nication, Teletraffic, Loss system, Reservation, Traffic con- gestion, Multiservice network, Circuit switching, Stochastic model, Queue, Traffic theory.

Sommaire

1. Introduction.

2. TELECOM I.

3. SystEmes d appels perdus.

4. Systbmes de rdservation.

Bibliographic (11 rEf.).

1. I N T R O D U C T I O N

TELETRAFFIC M O D E L S F O R T H E T E L E C O M 1

I N T E G R A T E D SERVICES NETWOR K

Abstract

The author discusses models of multiservice circuit switched communications systems where, in particular, the amount of transmission capacity (e.g. bit rate) depends on the call type. Two modes of call set up are considered : << on demand>> with blocked calls cleared and << reservation >> where capacity is previously reserved for planned calls. The latter mode is described generally

TELECOM 1 est le satellite de t616communications frangais qui a 6t6 lanc6 en 1984. L 'une des fonctions du satellite est de fournir un r6seau de transmission num6rique couvrant la France et certaines parties des pays voisins et permettant l ' introduction rapide de nouveaux services de t616matique professionnelle pour les abonn6s d'affaires.

Le satellite fournit des services de transmission de base en utilisant la technique de commutat ion de circuits. Des liaisons de communication peuvent 8tre 6tablies avec appels perdus en cas de blo- cage, comme dans le r6seau t616phonique actuel ou, exploitant de nouvelles possibilit6s offertes par le r6seau satellite, les utilisateurs peuvent r6server /~ l 'avance une certaine capaeit6 pour des appels

* D'apr6s la communication pr6sent6~ en anglais au 10 e Congress international sur le t616trafic en juin 1983 h Montr6al. ** Au CNET-PAA-ATR-F-92131 Issy-les-Moulineaux.

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programm6s. On peut 6galement utiliser la proc6dure de r6servation pour affecter une certaine capacit6 de transmission sur une base p6riodique pour l'6tablis- sement de liaisons semi-permanentes.

Cet article pr6sente des modules de t616trafic mis au point pour I'6valuation des performances de syst6mes multiservices tels que TELECOM 1. Par sys- t6me multiservices, nous entendons ici, d'une faqon g6n6rale, une ressource finie partag6e entre flux de trafic qui sont diff6rents dans leur processus d'arriv6e, la distribution de leur temps de service ou la localisa- tion et Ia quantit6 de la ressource demand6e.

Les applications de tels mod61es s'6tendent au- delh de notre motivation initiale portant sur l'6tude d'un r6seau ~t int6gration de services particulier pour inclure tout syst6me de service dont les usagers appartiennent h des classes diff6rentes. Nous avons par cons6quent essay6 de pr6senter les mod61es de t616trafic d'une fa~on aussi g6n6rale que possible, insistant sur les m6thodes plut6t que sur les r6sultats num6riques.

Les mod61es pr6sent6s ne sont en aucune fa~on une r6ponse compl6te aux probl6mes de trafic pos6 par TELECOM l , et encore moins h ceux du futur r6seau terrestre ~t int6gration de services. Cependant, nous pensons que certains r6sultats analytiques ou approximatifs relativement simples pourraient servir dans le dimensionnement du RNIS. Un probl~me particuli~rement int6ressant qui pourrait ~tre abord6 en utilisant un module d6velopp6 pour des syst~mes de r6servation est celui de la conception optimale d'un r6seau terrestre de visioconf6rence.

Avant de pr6senter les mod61es de t616trafic, nous donnons une br~ve description du syst~me TELECOM 1 qui est ~t leur origine. Le syst~me est d6crit avec davantage de d6tails dans [1] ofa sont 6galement pr6sent6s les premiers r6sultats de l'application des modules.

2. TELECOM 1

Le secteur spatial du r6seau multiservices de TELECOM 1 est constitu6 de 5 r6p&eurs de 25 Mbit/s. Les utilisateurs acc6dent au satellite via une station terrienne 6quip6e d'une petite antenne, plac6e proximit6 de leurs installations. Le syst6me peut supporter quelque 300 stations terriennes et, en g6n6- ral, chacune d'elles rassemble le trafic de plusieurs abonn6s.

Une station terrienne ne peut transmettre que vers un r6p6teur, mais regoit les signaux relay6s par tous les cinq. Les utilisateurs ont ainsi accessibilit6 res- treinte ~t la capacit6 de transmission du satellite mais la connexit~ du r~seau est assur~e.

La capacit6 de transmission est partag6e dynamique- ment entre utilisateurs au moyen de la technique d'acc6s multiple par r6partition dans le temps.

L'affectation des ressources est effectu6e par un centre de gestion avec lequel les utilisateurs dialoguent en passant par des canaux de signalisation du satellite.

Pour 6tablir une communication ordinaire, l'abonn6 demandeur indique les adresses des terminaux parti- cipants et les capacit6s des canaux demand6s. Si une capacit6 suffisante est disponible, le centre de gestion &ablit les liaisons demand6es et supervise la commu- nication jusqu'h ce que les utilisateurs y mettent fin. En cas de blocage, la demande d'appel est rejet6e et l'utilisateur dolt ult6rieurement essayer de nouveau.

Pour faire une r6servation, en plus des informa- tions pr6c6dentes, l'abonn6 demandeur dolt 6galement indiquer l'heure de d6but demand6e ainsi que la dur6e de la communication. Le centre de gestion tient un registre des r6servations accept6es pr6c6demment et contr61e chaque demande nouvelle par rapport ~ la capacit6 disponible. Si cette capacit6 est insutiisante, une autre heure de d6part peut, 6ventuellement, 6tre propos6e. Les communications r6serv6es sont 6tablies par le centre de gestion h leur heure de d6but deman- d6e, lequel lib~re aussi les liaisons ~ l'expiration de la dur~e r6serv~e.

Le service de r6servation servira notamment l'6tablissement de visio-conf6rences entre deux ou plusieurs studios ou, pour certaines applications de transmission de donn6es. La r6servation est n6ces- saire, en particulier, pour des communications entre terminaux n'ayant pas la possibilit6 X21 et, par cons6quent, ne pouvant pas utiliser l'autre mode d'6tablissement.

Les liaisons de transmission pour les divers services offerts sont diff6rentes quant all nombre de terminaux participants et au d6bit binaire des canaux requis. TELECOM 1 permet un grand nombre de d6bits binaires correspondant /t des services allant de communica- tions de donn6es h faible vitesse jusqu'h la transmission d'images de visioconf~rences. Les d6bits binaires sont de : 2,4, 4,8, 9,6, 48 kbit/s, n • 64 kbit/s, l ~< n ~< 30, 2 Mbit/s. II est commode d'imaginer le satellite comme une ressource fournissant un hombre fini d'unit6s de transmission avec des canaux ayant des d6bits binaires diff6rents occupant des nombres diff6rents d'unit6s.

Les services diff6rents ne partagent pas tous la m~me capacit6 du satellite. En particulier, au moyen de limitations quant au d6bit binaire total affect6

chaque type, nous pouvons consid6rer de mani~re ind6pendante les appels r6serv6s et les appels ordi- naires, comme s'ils utilisaient des moyens de trans- mission distincts. En outre, une zone de capacit6 (jusqu'h 8 Mbit/s sur chaque r6p&eur) est sp~cialis6e uniquement pour les canaux r~serv6s h 2 Mbit/s, principalement pour le service de visioconf6rence.

Ce cloisonnement effectif des ressources de trans- mission du satellite, n6cessaire pour prot6ger la qualit6 de service de certains types d'appels, nous permet de consid6rer s6par6ment le syst~me multiservice avec perte et diff~rents syst~mes de r6servation appropri6s

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pour la moddlisation des services de visioconf6rence et de communications de donndes.

3. SYSTEMES A APPELS PERDUS

Avec des hypothdses de caractdre assez gdndral sur la forme des processus d'arrivde des appels, des distributions des durdes de service et sur les critdres qui ddfinissent les &ats d'occupation possibles, le systdme avec pertes multiservices peut ~tre moddlis6 comme un rdseau de files d'attente avec contraintes de population ayant une solution en forme de produit pour les probabilitds d'occupation, h l'dtat station- naire.

3.1. La loi d'occupation.

Le trafic est ddfini par les paramStres suivants :

m :nombre de types d'appels,

Kj(t) : nombre d'appels de type j prdsents au temps t.

kj(K) : intensit6 d'arrivde poissonnienne des appels de type j lorsque K appels de ce type sont ddjh pr6sents.

hj : durde moyenne de service d 'un appel de type j.

Par type d'appel nous entendons des caractdris- tiques telles que la localisation et les caractdristiques de la capacit6 de transmission requise (nombre de voies, ddbits, ...).

Les lois de rdpartition des durdes de service sont supposdes avoir une transformde de Laplace ration- nelle de sorte que nous pouvons appliquer directe- merit l'extension de Lam au thdorSme BCMe (Baskett, Chandy, Muntz, Palacios) sur les rdseaux de files d'attente [2], bien que les rdsultats doivent de fait ~tre vrais pour des lois gdndrales. Nous supposerons que les Kj(t) ont une distribution stationnaire.

Ddfinissons l'6tat du syst~me par le vecteur : K = (Kl(t)... K,,(t)). Lorsqu'aucune contrainte n'est imposde ~t Kj(t), on peut considdrer le syst~me comme un rdseau ouvert de files d'attente b. nombre de serveurs infini (une file par type d'appel) et la forme produit est 6vidente car les files sont inddpen- dantes les unes des autres.

L'extension de Lain nous permet d'imposer des contraintes de population rdalistes correspondant, par exemple, h la taille finie de la ressource partagde ou

des mdcanismes de prdvention d'encombrement, tout en conservant cette forme produit. Soit ej le vecteur ~ m composantes avec 1 dans la position j e t 0 ailleurs. Les conditions suffisantes sont, succinctement, que si un 6tat donn6 k ne peut 8tre atteint par une arrivde alors que le syst~me est darts l'dtat k - - e j , alors l '&at k - - ej ne peut 8tre atteint par un ddpart de l '&at k et vice-versa, pour j = 1, ..., m.

En gdndral, ces contraintes de population ddfinissent un sous-espace d'dtats possibles darts lequel des transitions se produisent entre 6tats voisins dans les deux sens ou pas du tout. Elles prdservent les pro- pridtds de balance locale des probabilitds d '&at du systSme qui justifient la forme produit.

Soit P(k) la probabilit6 en rdgime stationnaire d 'un 6tat possible k. Nous avons :

1 r a kj

H 1-[ (Zj(k - - 1) hj/k), (I) P(h) = ~ J=~ k = i

oh G est la constante de normalisation telle que Y, P(k) = I, la somme 6tant prise sur l'ensemble de t o u s l e s &ats possibles.

L'application de l'extension de Lain au probl~me prgsent rut remarqu6e par Kaufman [3] (voir 6gale- ment [4]). Ant6rieurement, Aein [5] avait montr6 que la forme produit s'applique, darts le cas de dur6es de service exponentielIes, lorsque l'espace d'6tat est de coordonnEe convexe. Dans de tels espaces, seules les arrivdes sont bloqudes de sorte que, si k est pos- sible, k - - ej l'est alors aussi. La plupart des contraintes pratiques, y compris celles imposdes darts le systdme TELECOM l , rentrent dans cette catdgorie et, dans ce qui suit, nous ne considdrons pas la possibilit6 de ddparts bloquds.

3.2. Probabilit~s de blocage.

Jusqu'ici, nous n'avons rien dit sur la capacit6 (e.g. ddbit binaire) demandde par les appels d 'un type donnd. Cette capacit6 n'apparait pas explicite- merit dans l'expression (1) mais est prise en compte darts la ddtermination de l'dtendue de l'espace d'dtats possibles. Considdrons d 'abord le systSme le plus simple dans lequel une ressource unique consistant de NC unitds (par exemple, circuits, octets de mdmoire) est partagde entre les m types d'appels avec des appels de type j occupant dj unit~s pendant tout leur temps de service.

La taille de la ressource impose une contrainte physique :

(2) Ek jd j <~ NC.

Pour des raisons de prdvention d'encombrement ou d'optimisation 6conomique, nous pourrions aussi imposer des contraintes suppldmentaires, telles que :

(3) kj ~< K j , j = 1 ... m,

OH

(4) 1~ k,d, <~ L j , j = 1... m.

Dans (3), le hombre maximal d'appels du type j est limit6 ; darts (4), au contraire, nous rdservons toujours un espace suttisant pour acheminer au moins Ljld: appels de ce type.

Soit Ej l 'encombrement dans le temps (time con- gestion) des appels de type j, alors :

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E~ = Y, P(k), ke Fj

o~z F~ est l'ensemble d'~tats possibles k tel que k + ej n'est pas possible.

Le blocage des appels (call congestion) d~pend de la nature de la d6pendance de l'intensit~ d'arriv~e vis-a-vis du nombre des appels prisents. Suivant Delbrouck [6], nous consid6rons trois possibilit~s :

Bernoulli : Zj(k) = 0, k > S j ,

Poisson : Zj(k) = Z~, k >/0,

Pascal : 7.~(k) = % + ~jk, ~ >~ 0, 0 < [Sj < h~- t.

La premi+re correspond h u n trafic g6n6r6 par un nombre fini de sources alors que la derni~re est une approximation commode pour le trafic de d6borde- ment. Dans les trois cas, le blocage B peut ~tre d6duit de l 'encombrement dans le temps d 'un syst~me voisin, obtenu par modification de l'intensit6 d'arriv6e du type d'appel consid6r6 :

Bernoulli : Bj(Sj , ",(j) = E j ( S j - 1, yj),

Poisson : Bj(;~j) = Ej(Zj),

Pascal : B~(~, ~j) = E j(% + ~j, ~j).

Les m~mes contraintes de population s'appliquent clans les deux syst6mes.

3.4. Loi d'occupation globale.

Si la seule contrainte est (2), nous parlons d 'un partage complet. D6finissons la loi d'occupation globale :

Q(n) -- P r ( ~ k f l j = n),

de sorte que : Ej = ~ Q(n).

n>NC-dj

Pour des arriv6es poissonniennes pour t ous l e s j , Kaufman [3] et l 'auteur [4] obtiennent ind~pendam- ment la relation de r~currence simple suivante pour Q ( n ) :

(5) n Q(n) = Y, Xjhflj Q(n - - dj), n <~ NC. J

Cela peut &re v6rifi6 facilement en rempla~ant le facteur n du premier membre par Y.kjdj et ensuite kj P(k) par Xjhj P(k - - ej) dans le d~veloppement de Q(n).

Delbrouck [7] a obtenu r6cemment une r6currence plus g6n6rale qui est 6galement applicable ~t Ber- noulli, Pascal, ou aux arriv6es mixtes. En 6crivant Xl(k ) = ~tj + ~3jk pour tous les processus d'arriv6e (~j = 0 pour Poisson) ; ( - - 0b/~), entier positif pour Bernoulli), nous avons la relation g6n6rale :

In/d j] (6) n Q(n) = ~ o~jhjdj Y, (~hj) '-~ Q(n - - idj),

J 1=1

oh la notation [x] d6signe la partie enti+re de x.

Dans le cas d 'un partage restreint avec des con- traintes telles que (3) ou (4), ces simples relations de r6currence ne s'appliquent plus et la fagon la plus efficace de calculer les probabilit6s de blocage semble ~tre d'utiliser la m6thode de convolution emprunt6e

la th6orie des r6seaux de files d'attente, comme indiqu6 en [3] et [9].

3.5. Une approximation pour Q(n).

Nous avons not6 empiriquement que, pour un partage complet, la loi Q(n) est approximativement la m~me pour diff6rents trafics offerts avec moyenne et variance donn6es, celles-ci 6tant identifi6es avec la moyenne et la variance du nombre total d'unit6s de ressource occupies dans un syst~me infini (Fig. 1).

1,0-

0 , 1 '

0,01

........ �9 ~. . . .o~, ........ .§ ..... ,v..A-....~....~.*. .............

..... �9 ~ . . . ~ o ....... .+.# .... ix..#.....A....~..+. .............

+ § . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..h~i .. . . . ix ..... ",l/M

Fie. 1. - - Encombrement dans le temps d'un trafic multiservice en fonction de sa survariance (V]M).

.......... Approximation par loi de Pascal.

Time congestion of multiservice traffic as a function of peakedness (VIM).

Symbole dl vl/mt

o 1 1 A 1 1 + 1 1

(12 F2/m2

2 1 3 1,4 4 0,8

d3 vdm3

4 1 5 1,1 8 0,8

NC = 30, M = 20,5�9

Soit mj et vj la moyenne et la variance du nombre d'appels de type j 6coul6s dans un syst~me infini. Ecrivant Zj(k) = 0cj + ~jk, nous avons :

mj= 1-- jhj' rj O_ jhj)2.

La moyenne et la variance du trafic total offert sont :

M = ~ m j d j et V = ~ v j d f .

Nous observons alors qu 'on peut obtenir une valeur approch6e de Q(n) calcul6 par (6) en fonction d.~s seules variables M et V. Comme nous avons g6n6rale-

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ment V > M, nous avons essay6 d'ajuster une loi de Pascal par extension de l 'approximation pour le trafic de d6bordement.

La figure 1 repr6sente l 'encombrement dans le temps pour des appels fictifs n6cessitant respective- ment 1, 4 et 8 unit6s, en fonction du rapport V/M, (la survariance ou, en anglais, peakedness), pour divers trafics multiservices.

Chaque point est obtenu avec un ensemble de composants du trafic (c'est4t-dire dj et vJmj fixes), repr6sent6 par le symbole utilis6. Pour chaque ensemble, nous faisons varier m~ pour produire une suite de valeurs diff6rentes pour V tout en maintenant M constant.

L'approximation est tr6s bonne pour les trafics de Poisson et de Pascal mais donne des estimations inf6rieures h la r6alit6 dans le cas des arriv6es Ber- noulli. On notera aussi que l 'encombrement dans le temps varie lentement lorsque la variance croit,

3.6. Appfications ~t T E L E C O M 1.

Les ressources du satellite sont segmentdes par la r6partition des terminaux des utilisateurs sur les cinq r6p&eurs et par le syst~me de gestion du r6seau TELECOM 1 [1]. Un type d'appel est ici identifi6 par la capacit6 requise dans chaque segment.

Soit n le nombre de segments et supposons que les appels de type j n6cessitent dl(i ) unit6s dans le segment i, i = 1... n. Soit Rl = XKjdj(i) le nombre total d'uni- t6s occup6es dans le segment i et d6finissons la loi d'occupation :

Q(rl . . . . , r,) = Pr (Rt = r i , i = 1... n).

Des appels sont bloqu6s en fonction uniquement de la valeur de (rx, ..., r,) au moment de l'arriv6e. L'espace d'6tats possibles est donc de coordonn6e convexe et les probabilit6s d '&at sont donn6es par (1).

Supposons des arriv6es poissonniennes pour tous les types d'appels. Q satisfait alors les relations :

(7) ri Q(rl . . . . , r,) = ~ Xjhjd 1 (i) Q ( r ~ - dl(l), ..., r , - -d j (n) ), i = 1... n,

Celles-ci peuvent &re v6rifi6es en rempla~ant ri dans le premier membre par ~ kflj(i) et en proc6dant aux substitutions appropri6es, comme pour (5).

3.7. Optimisation de l'utilisation des ressources.

Consid6rons de nouveau le syst~me simple de partage d'une ressource de NC unit6s. L'application de contraintes telles que (3) et (4) nous permet d'agir sur la qualit6 de service offert aux appels des diff6- rents types. Nous pourrions souhaiter, par exemple, minimiser la probabilit6 de blocage maximal de n'importe quel type d'appel ou bien de maximiser

le revenu quand des types diff6rents ont des tarifs particuliers [8], [9].

Dans [9], il est prouv6 que dans le cas particulier de deux types d'appel avec des besoins identiques (disons, une unit6 de ressource par appel), la politique optimale, dans la classe des politiques de coordonndes convexes, consiste ~t restreindre le nombre maximal d'appels de juste un type (contraintes (3) avec, disons, KI < NC et K2 = NC).

De fait, il existe une politique qui est g6n6ralement meilleure mais qui ne donne pas lieu ~t la forme produit (1). C'est la politique de rdservation priori- taire (priority reservation ou trunk reservation, en anglais) par laquelle des appels de type j sont refus6s lorsque moins de tr(j) unit6s restent disponibles. On peut v6rifier facilement que les conditions de Lam ne sont pas satisfaites pour cette politique.

On peut calculer n6anmoins facilement les pro- babilit6s de blocage lorsque tous les types d'appel ont la m~me loi exponentielle du temps de service (h~ = h), les m~mes besoins de ressource (dj = d) et les arriv6es sont poissonniennes. La distribution d'occupation globale satisfait alors les 6quations d'6tat :

(8) n Q(n) = 2~ klhDj(n - - d) Q(n - - d), J

l d, n <~ N C - - t r ( j ) oia : Dj(n) = 0, n > N C - - t r ( j ) .

Les probabilit6s de blocage sont :

Bj = 2~ Q(n) , j = 1... m. n > N C - t r ( J )

Comparant ce syst~me avec les politiques dites coordonn6es convexes optimales d6crites ell [9], nous avons trouv6 des r6sultats sensiblement meilleurs tant pour la valeur de la fonction objective (par exemple, revenu total) que pour la stabilit6 des para- m&res (choix optimal de Kj et tr(j)).

En g6n6ral, pour un trafic multiservices non homo- g~ne avec r6servation prioritaire, nous n'avons aucune solution analytique simple pour des probabilit6s d'~tat. Cependant, la similarit6 de (5) et (8) sug#re une approximation 6vidente dans le cas des arriv6es poissonniennes. Nous approchons la loi Q(n) par la fonction Q'(n) satisfaisant :

(9) n Q'(n) = ~ kjhjDj(n - - dj) Q'(n - - dj), J

oit : Dj(n) = t d j , n <~ N C - tr(j), ( O, n > N C - - tr(j),

et : ~ Q'(n) = 1.

Nous avons v6rifi6 cette approximation par rapport la vraie loi estim6e par simulation. Les r6sultats

sont tr6s bons comme indiqu6 ~t titre d'exemple dans le tableau I. Nous comparons des probabilit6s de blocage simul6es et calcul6es lorsqu'une ressource de 30 unit6s est partag6e parmi des types d'appel n6cessitant respectivement 1, 2, 4 et 8 unit6s. La

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TABL. 1. - - R6servation prioritaire - probabilit6s de blocage obtenues par simulation (intervalles de confiance de 95 ~) et par l'approximation (9).

Trunk reservation - blocking probabilities obtained by simulation (95 ~ confidence intervals) and by approximation (9).

531

l di, i>~ 2 tr(i) = d~, i i> 1 tr(i) = dz, i = 1 tr(i) = I d~, i /> 3

da, i < 3 tr(i) = d~, i /> 1

a~ h~ X~

1 10,25 1 2,56 1 0,77 1 0,26

Valeurs exactes

0,021 0,046 0,109 0,290

Simul.

0,0394- 0,004 0,0394- 0,004 ~,1054- 0,006 ~2844- 0,009

Approx. Simul.

0,038 0,069 4- 0,005 0,038 0,069 4- 0,005 0,101 0,069 4- 0,005 0,284 0,263 • 0,009

NC = 30 Y. Xjhjdj = 20,5

Approx.

0,070 0,070 0,070 0,259

Simul.

0,151 -[- 0,005 0,151 4- 0,005 0,151 4- 0,005 10,151 4- 0,005

Approx.

0,144 0,144 0,144 0,144

premi6re colonne (tr(i) = d l , i >~ 1) correspond, en effet, h l'absence de pr6vention d'encombrement et (9) est exact. On notera que le probl6me de la minimisa- tion de la probabilit6 de blocage maximal consid6r6e en [8] est r6solu imm6diatement en posant tr(i) = max (dj), i = 1... m (voir derni6re colonne du tableau I).

4. SYST~MES DE RI?SERVATION

demand6 (T). Comme le service est n6cessairemcnt clans l 'ordre d'arriv6e d:s d:mand~.s, il est manifeste- ment dangereux d'int6grer d:s services ayant des distributions diff6rentes de cet intervalle de pr6avis. En particulier, si un service de r6servation partage des moyens de transmission avec des services ~t appels perdus ordinaires, la qualit6 de service de ces derniers peut largement varier en fonction des fluctuations al6atoires du trafic de r6servation. C'est la raison pour laquelle, dans TELECOM 1, des parties distinctes des ressources du satellite sont mises de c6t6 unique- ment pour le trafic de r6servation [1].

Ce type de syst6me est caract6ris6 par l'6change suivant :

Demande de l'utilisateur (au temps t) : je souhaite 6tablir une communication C, de dur6e D, commen- qant b. T ;

R~ponse du syst~me : (a) capacit~ disponible h T', ou (b) capacit6 non disponible ;

R6action de l'utilisateur : accepte, abandonne ou modifie C, D ou T, et r~p~te sa demande.

(C se rapporte ~t la localisation et ~t la capacit6 des liaisons demand6es.)

Cela couvre une large plage de possibilit6s com- prenant, par exemple, des syst~mes /L file d'attente classique (m~me C pour toutes les demandes, T = t) avec la discipline premier arriv6, premier servi. D et T peuvent prendre n' importe quelle valeur positive ou, comme cela est le cas de TELECOM l, ~tre limit6s ~t des multiples d 'un intervalle de temps de M minutes. Dans ce dernier cas, nous parlerons de syst~mes de r6servation /t temps discret.

4.2. Trafic de r&servation en tant que processes stochastique.

L'6volution d 'un syst6me de r6servation pourrait &re mod61is6e par le processus al6atoire vectoriel K(t, u) o~ l'616ment Kj(t, u) est le nombre d'appels de type j d6j~t r6serv6s au temps t pour un intervalle comprenant u. Les types d'appels se distinguent par la communication C demand6e ou par les lois du temps de service et de l'intervalle de pr6avis. La connaissance de ce processus fournirait tous les renseignements n6cessaires permettant de d6terminer la qualitd de service exprim6e, par exemple, en termes de la probabilit6 qu'une demande serait refus6e en fonction de C, D et de l'intervalle T - t.

Le probl6me est d'identifier quelles hypoth6ses conduiront h d~s mod61es maniables permettant l'6tude de ce processus. Nous examinons ci-d:ssous deux exemples dans lesquels les hypoth6ses r6duisent essentiellement la d6pendance temporelle ~ une seule variable.

4.1. Integration de services.

Une caract6ristique essentielle du trafic de r6serva- tion est la r6partition de l'intervalle s6parant l '6poque de la demande (t) et le temps de d6but de service

4.3. Syst~mes ~t temps discret.

Ce module s'applique h u n syst6me de r~servation comme le service de visioconf6rence de TELECOM 1. Les r~servations sont faites, un temps relativem:nt long

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532 J. ROBERTS. - TI~LE'TRAFIC P O U R LE RI~SEAU A I N T E G R A T I O N DE SERVICES D U SATELLITE TELECOM 1

avant le temps de commencement demand6, pour une dur6e de nM minutes (par exemple, M = 30, n ~< 8), commen~ant ~t une heure appartenant ~ un ensemble limit6 de temps de commencement possibles s6par6s de M minutes (par exemple, 8 h, 8 h 30, 9 h...). Nous consid6rons l'6volution de l'6tat d'occu- pation de tousles intervalles de longueur M dans une p6riode fixe P (par exemple un jour) en fonction de l'arriv6e des r6servations. Soit Tp l'instant de com- mencement de P.

Les intervalles de temps sont assimil6s ~ une dimension des ressources du syst6me de service et nous &endons l'ensemble de types d'appel pour inclure un membre pour chaque triplet (C, D, T). Soit K~(t) le nombre d'appels de type j d6jA r6serv6s

t. Nous supposons, pour simplifier, que les appels bloqu6s sont perdus de sorte que K(t) repr6sente l '&at du syst6me ~t t.

Supposons que les arriv&s des appels de type j se produisent suivant un processus de Poisson d'inten- sit6 instantan6e :

~.j(K(t)) f~(T~ - - t),

off f~ est la densit6 de la distribution de l'intervalle de pr6avis et ),j l'intensit6 des appels d6pendant de l'6tat actuel. En particulier, nous d6finissons k~(k) = 0 si k est un 6tat bloquant pour les appels de type j.

Le processus K(t) est alors un processus de nais- sance non homo#ne ~t plusieurs dimensions. Soit Pt(k) la distribution de If(t). Pt satisfait les 6quations :

dP~ (10) ~ (k) = Z )~#(k - - ei) f#(T~ - - t) Pt(k - - ej) - -

J

Z )~3(k) f#(T, - - t) P,(k),

off e# est le vecteur avec 1 darts la position j e t 0 ailleurs.

Le mod61e se simplifie si la distribution des inter- valles de prdavis est la m~me pour tous les types d'appel, c'est-A-dire : f~ = f , j = 1... m. Notons que l'hypoth6se que le prdavis est long par rapport ~ la longueur de P semble ndcessaire ici. Appliquons le changement de variable :

I t

u = f (T~ - - s ) ds . -oo

Le processus If(u) est alors homo#ne avec les 6quations :

(11)

dP, du (k) = ~ Zj(k - - e j) P,(k - - e~) - - Z kj(k) P,(k).

J J

Lorsque les lois de pr6avis sont identiques, nous pouvons aussi &udier le processus inclus K(n) o/1 Kj(n) est le nombre d'appels de type j r6serv6s apr6s l'arriv6e de la n-i6me demande de n'importe quel type. Les 6quations d'&at prennent la forme :

z / k - - e j) (12) P,(k) = Z P,_l(k - - ej).

j ~ z~ (k - - e j ) f

On notera que ce dernier processus est ind@en- dant de f . I1 est, en fait, trivial dans les syst~mes les plus simples (par exemple, apr6s n arriv6es, n appels sont pr6sents).

Applications. Darts l'6valuation de la capacit6 du service de visio-

conf6rence de TELECOM 1, nous avons 6tudi6 le pro- cessus inclus (12) par simulation [1].

L'6valuation des probabilit& P,(k) nous permet de d&erminer la probabilit6 qu'un appel de type donn6 sera refus6 en fonction de l'6tat &occupation du syst6me. Dans ce syst6me, la taille de la ressource est fix6e et le probl6me est de d&erminer quel niveau d'occupation peut ~tre atteint tout en offrant une qualit6 de service acceptable. Dans le r&eau terrestre, par contre, nous avons le probl6me usuel du dimen- sionnement des liaisons de transmission pour satisfaire une qualit6 de service donn6e en fonction du trafic offert.

En supposant une utilisation 61ev6e des studios, imaginons que le r6seau dolt &re dimensionn6 de sorte que la probabilit6 qu'aucune voie de trans- mission n'est disponible entre deux studios libres quelconques doit &re faible. Nous pourrions m~me exiger que le service soit sans blocage, mais cela pour- rait conduire ~ un r6seau inutilement cher.

Consid6rons deux communaut6s contenant N1 et N2 studios, respectivement. Nous souhaitons ffimen- sionner la liaison de transmission s6parant ces commu- naut6s.

Les visioconf6rences sont r6serv&s, pendant une p&iode donn6e, entre paires de studios situ& dans la m~me communaut6 ou clans des communaut6s diff6rentes. D6finissons 3 types de demandes de visio- conf&ence d6pendant de l'emplacement des studios participants : type 1, les deux studios clans la com- munaut6 1 ; type 2, les deux studios dans la com- munaut6 2 ; type 3, un studio dans chaque commu- naut& Supposons que l'intensit6 des arriv6es des demandes est proportionnelle au nombre de paires de studios libres dans les cat6gories respectives, c'est-~- dire que les taux d'arriv6e sont :

;%(k) = 711(N1 - - 2 k~ - - ka) ( N t - - 2 k l - - ka - - 1),

~2( /~) = Y 2 2 ( N 2 - - 2 k 2 - - k 3 ) ( N 2 - - 2 k 2 - - ka - - 1),

~3(k) = y:2(N~ - - 2 kl - - k3) (N2 - - 2 k2 - - ka).

Supposons d 'abord qu'aucune demande n'est blo- qu&. On peut utiliser les 6quations (12) pour 6valuer P,(k) de fafon r6cursive en commengant avec Po(0, 0, 0) = 1.

Pz(k), off z = [(N1 + N2)]2], donne les probabilit6s de l'6tat du syst6me lorsque tousles studios (ou tous saul un si Nx + N2 est impaire) sont occup6s. Pour satisfaire la contrainte de qualit6 de service, nous dimensionnons la liaison pour acheminer un maximum de L visioconf6rences off :

Z az(/z) < r k3> L

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J. ROBERTS. - TF, LETRAFIC POUR LE RIS, SEAU A INTI~GRATION DE SERVICES DU SATELLITE TELECOM 1 533

Notons que ce rfseau 616mentaire serait sans blocage avec L = min (N~, Nz).

4.4. Fi les d'attente multiservice.

Une seconde possibilit6 de simplification du sys- t6me g6n6ral de r&ervation est de supposer qu'aucun pr6avis n'est donn6 (c'est4t-dire, T = t) et que les demandes bloqu&s sont programm6es avec un temps de commencement T' le plus t6t possible. Ce mod61e pourrait &re une approximation raisonnable pour certaines applications de communication de donn6es utilisant TELECOM 1 (par exemple, appels entre ter- minaux n 'ayant pas la possibilit6 X21), n6gligeant la nature discr6te des temps de commencement des appels et des dur6es.

Si tous les appels sont du m~me type, ce syst6me de r6servation est 6quivalent h une file d'attente classique avec service en ordre d'arriv6e : le retard T' - - t e s t identique au temps d'attente dans la file d'attente avec le m~me processus d'arriv& et la m~me loi de dur& de service ; la longueur de la file d'attente ~t t, y compris les appels en train d'etre servis, est 6quivalent au nombre d'appels programm6s pour &re servis h ou avant t et pas encore termin&. La connaissance pr6alable de la dur6e des appels ne change en aucune fa9on l'6volution du syst6me.

Lorsque les besoins des utilisateurs ne sont pas homog6nes (par exemple, d6bit binaire diff6rent, origine et destination diff6rentes dans un r&eau), le syst6me est beaucoup plus compliqu& Nous limi- terons notre attention ~t l'&ude d'une seule ressource de N C unit6s /l accessibilit6 totale partag&s entre appels n6cessitant un nombre variable &unit&.

Le syst6me peut &re vu comme une file d'attente multiservice avec une discipline de service particu- li6re : chaque appel est servi d6s que possible mais des arriv6es ult6rieures peuvent &re servies avant si leurs besoins (plus petits) peuvent &re accept6s. Cette discipline est plus efficace que le service dans l'ordre strict des arriv6es off les retards sont n6cessai- rement au moins aussi longs, mais exige une con- naissance pr6alable des dur6es des appels.

L'&ude des files d'attente multiservice avec toute discipline de service autre que celle d'appels perdus est tr6s difficile. Des mod61es markoviens peuvent &re construits, mais il n'est gu6re possible de r6soudre les 6quations d'&at sauf dans les cas les plus simples. L. Green a trouv6 une solution exacte h u n probl6me apparent6 et compare diff6rentes disciplines de ser- vice [10], [11]. Nous proposons ci-dessous une approxi- mation tir~e des r6sultats du chapitre pr6c6dent sur les syst6mes avec perte.

A p p r o x i m a t i o n .

Notre point de d6part est la r6currence (5) donnant la loi de probabilit6 du nombre d'unit6s occup6es dans un syst~me avec perte. Nous avons d6jh adapt6 ces relations dans (9) pour se rapprocher de la loi

d'occupation lorsque la r&ervation prioritaire est employ6e. Consid6rons maintenant la fonction Q(n) d6finie par :

(13) n Q(n) = ~;~jhjd~ O(n - - d~), n <~ N C ,

N C Q(n) = ]~?~jh~d~ Q(n - - dj), n > N C ,

Y~ Q(n) = 1. n~>O

L'approximation consiste ~t supposer que Q(n) ainsi d6finie repr6sente la fonction de r6partition des besoins totaux en ressources des appels en service ou en attente ~t un instant quelconque lorsque les processus d'arriv6e sont du type Poisson (;~j, h j , dj tels que d6finis pour (5)). Dans le syst6me de r6ser- vation, cela correspond aux besoins totaux en res- sources de t o u s l e s appels programm& mais non termin6s ~t l 'instant en question.

L'approximation est inspir6e par la ressemblance de (5) et (13) aux 6quations d'&at des files d'attente classiques 6quivalentes. En figure 2, nous la compa-

1,0-

0,1 -

alle onfiance

0,01 -

I I I I

12 16 20 24 ~ hdi

FIG. 2. -- File d'attente multiservice avec r~servation : la probabilit6 que la << longueur de la file >> N soit sup6rieure h 29,

26 ou 22 unit6s.

Multiservice queue with reservation : probability << queue length >~, N, is greater than 29, 26 and 22 units.

dj

~jdj

1 1

0,5

2 1

0,25

4 1

0,15

8 1

0,1

| Pr(N > 22). @ Pr(N > 26). @ Pr(N > 29).

N C = 30

rons aux r6sultats de simulations d 'un syst6me de r6servation de 30 unit& de ressources auxquelles est offert le trafic multiservice indiqu6 : 50 ~o du trafic de type 1, 25 ~ du type 2, 15 ~o du type 3, 10 ~ d.u type 4. Trois courbes donnent, respectivement, la probabilit6 que les besoins totaux en ressources sont sup6rieurs ~ 29, 26 et 22 unit&, comme le donne

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534 J. ROBERTS. - TI~LI~TRAFIC POUR LE Rt~SEAU A INTI~GRATION DE SERVICES DU SATELLITE TELECOM 1

approximat ivement l '6quat ion (13). Les r6sultats de la simulation sont repr6sent6s avec des intervalles de cortfiance de 95 % pour les estimations de ces probabilit~s pour quatre valeurs du trafic.

La concordance est bonne et assez typique des r~sultats pour d 'au t res configurations &udi6es : taille diff6rente des ressources, trafic different (Xj, hj ou dj), temps de service constants ou exponentiels, discipline de service par r6servation ou en ordre d'arriv6e. On notera qu ' avec la discipline premier

arriv6, premier servi, les probabilit6s repr6sent6es dans la figure correspondent , en effet, aux probabilit6s de blocage d 'appe l n6cessitant respectivement 1, 4 ou 8 unit6s. Cependant , clans le syst6me de r6serva- tion, ces probabilit6s peuvent 8tre net tement inf6- rieures, l '6cart &ant fonct ion du nombre d 'unit6s et de la dur6e demand6s et du m61ange du trafic global.

Manuscri t regu le 10 janvier 1984, accept~ le 28 novembre 1984.

B I B L I O G R A P H I E

ll] HOANG (V. A.), ROBERTS (J.). Dynamic resource allocation in the aXLECOM 1 satellite system. 1CC-83, Boston (June 1983).

[2] LAM ($. S.). Queueing networks with population cons- traints. IBM J Res. Develop., USA (1977).

[3] KAUFMAN (J. S.). Blocking in a shared resource environ- ment. 1EEE Trans. COM USA (1981), 29, n ~ 10.

[4] ROBERTS (J.). A service system with heterogeneous user requirements. Performance of data dommunications sys- tems and their applications. G. Pujolle (ed.), North Holland Pub Co, (1981).

[5l AmN (J. M.). A multi-user, blocked calls cleared demand access system. IEEE Trans. COM USA (1978), 26, n ~ 3.

[6] DELBROUCK (L. E. S.). A unified approximate evaluation of congestion functions for smooth and peaky traffics. IEEE Trans COM, USA (1981), 29, n ~ 2, pp. 85-91.

[71 DELBROUCK (L. E. N.). On the steady state distribution in a service facility with different peakedness factors and capacity requirements. IEEE Trans. COM, USA (1983), 31, n ~ 11, pp. 1205-1211.

[8] BARBERYE (G.), BRmNOLO (R.). Capacity allocation in a DAMA satellite system. IEEE Trans. COM USA (1982), 30, n ~ 7.

[9] FoscrtINi (G. J.), GOI'INATH (B.), HAYES (J. F.). Optimum allocation of servers to two types of competing customers. IEEE Trans COM, USA (1981), 29, n ~ 7, pp. 1051-1055.

[10l GREEN (L. A.). Queueing system in which customers require a random number of servers. Operations Res. USA (1980) 28, n ~ 6, pp. 1335-1346.

Ill] GREEN (L.). Comparing operating characteristics of queues in which customers require a random number of servers. Management Science, USA (1981), 27, n ~ 1, pp. 65-74.

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