modélisation du capital économique : le risque de souscription non-vie yu pei isfa promotion 2008...

Modélisation du capital économique : Le risque de souscription Non-Vie

Yu PEIISFA Promotion 2008Tutrices: Marie MEIGNIE Esterina MASIELLO

2 Avril 2010 Présentation de mémoire d'actuariat

Calendrier général de Solvabilité II

2008

2009

2010

2011

2012

2013 Entrée en vigueur du nouveau régime prudentiel Solvabilité II

Processus d’approbationpar le Parlement et le Conseil Européen

de la Directive de niveau 1

Transposition de la Directive de niveau 1en droit local

Avis du CEIOPS pour les mesuresd’application (niveau 2)

Préparation desmesures de niveau 2

et de niveau 3

Spécifications du QIS 5

Résultats du QIS 4

QIS 5

Résultats du QIS 5

Adoption desmesures de niveau 2

et de niveau 3

QIS 4

Spécifications du QIS 4


Risque de souscription Non-Vie

► Définition :Le risque de souscription en Non-Vie est le risque d’assurance spécifique qui résulte des contrats d’assurance. Il a trait aux incertitudes relatives aux résultats des souscriptions de l’assureur (TS.XIII.A.1)

► Compositions :► Risque de prime (premium risk) : risque que le coût des futurs sinistres soit supérieur aux primes perçues; ► Risque de réserve (reserve risk) : risque lié à la nature aléatoire de l’évaluation des sinistres et à leur mauvaise estimation;► Risque catastrophe (CAT risk) : risque résultant d’événements extrêmes ou irréguliers non capturés par les risques de tarification et de provisionnement;


Présentation générale Risque de souscription non vie

► Formule de perte du portefeuille

P: Prime sur [N,N+1] S: Sinistralité sur la période Y: Règlement des sinistres sur la

période ∆R: Différence entre les

réserves N et N+1► Capital économique

En Solvabilité II, α=99.5%► Ratio combiné

X: Ratio combiné du portefeuille V: Volume du portefeuille

► « RunOff » et « New »

RunOff : sinistres des années de survenance passées

New : sinistres de l’année de survenance à venir

► Risque de prime et Risque de réserve

L(réserve) : risque de réserve L(prime) : risque de prime R : provision

L S P Y R P

1

1

runoff new

runoff new

runoff run off run offN N

new new newN N

Y Y Y

R R R

R R R

R R R

1 1N N

N

Y R P RLX

V P R

NV P R

1

1

run off run off run offN N

new new newN N

L Y R P

Y R R

Y R R P

L réserve L prime

LSCR EC L VaR L VaR V

V


► Définitions Le Best Estimate est égal à la valeur actuelle attendue de tous les futurs flux de trésorerie potentiels (moyenne pondérée en fonction des probabilités des résultats distributionnels), basée sur des informations actuelles et crédibles, compte tenu de toutes les informations disponibles et conformes aux caractéristiques du portefeuille d’assurance ou de réassurance sous-jacent.

► Étapes d’évaluation► Estimer les charges ultimes par une méthode actuarielle ► Déduire les cash flows pour les années futures► Actualiser les cash flows futurs en utilisant la courbe de taux fournie par QIS 4 (avec l’hypothèse que les paiements s’effectuent en milieu d'année)► Déduire le BE (somme de tous les cash flows futurs actualisés)

► Méthode déterministe► Chain Ladder

► Méthode stochastique► Bootstrap► Bootstrap + Mack► GLM

Travaux préliminaires Calcul de Best Estimate

Fréquence de simulation par Bootstrap

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0 2000000 4000000 6000000 8000000 10000000 12000000

Fréquence de simulation par Bootstrap+Mack 1

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

2000000 3000000 4000000 5000000 6000000 7000000 8000000 9000000


► Mesurer les volumes et les volatilités dans chaque LoB► Mesure de volume : V

► Mesure de volume du risque de tarification : Vprem = Max (primes nettes acquises(n+1), primes nettes émises(n+1),

1.05*primes nettes émises(n))► Mesure de volume du risque de provisionnement :

Vres = Best Estimate des sinistres à payer dans chacune des branches;► Mesure de volume de risque de souscription: V = Vprem + Vres

► Mesure de volatilité : σ ► Mesure de volatilité du risque de tarification : un mix de crédibilité d’une

estimation spécifique à l’entreprise et d’une estimation à l’échelle du marché

► Agréger la mesure de volatilité (tarification & provisionnement) dans chacune des branches:

Remarque : α = 0.5, c’est-à-dire qu’une corrélation de 50% est supposée entre le risque de tarification et le risque de provisionnement

2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( . ) ( , ) ( . ) ( , ) ( , )

( )( , ) ( , )

2prem lob prem lob prem lob res lob prem lob res lob res lob res lob

lobprem lob res lob

V V V V

V V

Calcul SCRNL Formule standard QIS 4

2 2( ) ( , ,) ( , )1prem lob U prem lob M premc ( c )

2( , ,)U prem 2

( , ,)M prem


► Déduire le capital économique pour le risque de tarification et de provisionnement► Formule standard: SCRNL = ρ(σ) * V

► ρ(σ) est fixée de manière à produire un chargement en capital conforme au standard de VaR de 99,5 % dans l’hypothèse d’une distribution lognormale du risque sous-jacent:

► Approximation : ρ(σ) = 3* σ SCRNL = 3*σ* V

► La diversification géographique est prise en compte dans le QIS4, avec un seuil de matérialité de 5%.

► Cas pratique

20.995

2

exp( log( 1)) ( ) 1

1

N

Calcul SCRNL Formule standard QIS 4

Premiums and reserve risk Volume Premiums and reserve risk

Sub risks calculation

Bootstrap 25 687 862 9.1405% 26.008% 6 680 906

Bootstrap+Mack 1 25 541 324 9.1513% 26.042% 6 651 363

Bootstrap+Mack 2 25 489 859 9.1552% 26.054% 6 641 021


Calcul de provisions, vision à un an Risque de provision► Pourquoi une vision à un an

► Sous Solvabilité II, mesure du capital sur un horizon d’un an► Étude du AISAM-ACME

► Only a few members were aware of the inconsistency between their assessment on the ultimate costs and the Solvency II framework which uses a one-year horizon

► The calibration of the reserve risk needs to reflect strictly the one year horizon rather than a full run-off approach

► QIS 3 seems to be consistent with a full run-off approach rather than a one-year horizon volatility

► Méthodes et solutions► Méthode de Wüthrich : vision de Mack sur un horizon d’un an

► Méthode de simulation : Bootstrap, Bootstrap + Mack, Mack, etc.c

i j

1 n-j n

1 … … j … …n 1 … … j … …n j

i

1 n-j n

1, 1 1( 1) t t

i i t i n i i tCDR t E R D X E R D


Calcul des provisions, vision à un an Risque de provision : cas pratique


Sub risks calculation(Vol Wüthrich un an)

Bootstrap 25 687 862 10.791% 31.234% 8 023 239

Mack Bootstrap 1 25 541 324 10.773% 31.178% 7 963 152

Mack Bootstrap 2 25 489 859 10.767% 31.158% 7 942 109

Sub risks calculation(Vol Bootstrap un an)

Bootstrap 25 687 862 11.2904% 32.848% 8 438 026

Mack Bootstrap 1 25 541 324 11.2646% 32.764% 8 368 477

Mack Bootstrap 2 25 489 859 11.2555% 32.735% 8 344 118

Erreur de Processus Erreur d’Estimation Erreur de Prédiction

Calcul Mack 820 091 15.57% 486 829 9.24% 953 705 18.10%

Calcul Wüthrich un an 773 634 14.68% 452 933 8.60% 896 470 17.02%

Bootstrap - - - - 998 048 19.83%

Bootstrap sur un an - - - - 957 281 19.02%

► Erreur de prédiction des différentes méthodes

► Résultats


Modèle de portefeuille pondéré Variante du QIS4► Risque de prime

► Taux moyen de perte des nouveaux sinistres et

► Volatilité relative au risque de prime

► Risque de réserve► Taux moyen de provisions du portefeuille et

► Volatilité relative au risque de réserve

► Calcule du risque de réserve et risque de prime► Estimation du risque de souscription

► Volatilité relative au risque de souscription

1ˆ

nnew new

k k kk

p

Y R Pµ

P

2

1( )

1 1

ˆnew new RunOffn

k k k k k k klob

k k k

P R Y R P R Yµ

P R P R

1 1ˆ

n nnew new RunOff

k k k k kk k

Y R P R Yµ

P R

1

n

kk

P P

11

n

kk

R R

2

( ; )1

ˆnew newn

k k k kprem lob p

k k

P Y R Pµ

P P

1ˆ

nRunOff

k kk

r

R Yµ

R

2

1( ; )

1 1

ˆRunOffn

k k kres lob r

k k

R R Yµ

R R


Modèle de portefeuille pondéré Variante du QIS4: cas pratique

2003 2004 2005 2006 2007

new newk kY R

kP

2003 2004 2005 2006 2007

1run off run off

NY R

run offNR

RMSSinistres

Grave

Risque de réserve Risque de prime


Bootstrap 25 687 862 30.20% 7 757 734

Mack Bootstrap 1 25 541 324 30.20% 7 713 480

Mack Bootstrap 2 25 489 859 30.20% 7 697 937

Volatilité de Tarification

Volatilité de Provision

10.64% 24.89% 10.47%


Méthode par simulation Méthodologie générale

Dépendance

Risque de Prime/Tarification Risque de Provision/Réserve

►Formule générale:

►Méthode stochastique► Simulation des

Loss Ratios

►Distribution usuelle► Normale► Log Normale► Gamma

1( )run off run off run offN NT Y R R

►Formule générale:

►Méthode stochastique► Bootstrap sur un an► Bootstrap + Mack sur un an► GLM

►Distribution usuelle► GEV► Normale

1( )new new newN NT Y R R P


Méthode par simulation Back Modeling N-1, Calibration de la dépendance

Méthode de Bootstrap + Mackpour construire les triangles

« historiques »

……

Triangle N*N

Triangle (N-1)*(N-1)

Triangle original

Modèle de prime en

fonction des sinistralités

passées

Prime modélisée par les

sinistralités simulés

Calcul de réserve pour

triangle (N-1)*(N-1)

1. Préparation des données et triangle2. Simulation 1000 fois triangles

supérieurs avec une méthode stochastique

3. Calcul des provisions pour un triangle N*N et un sous triangle N-1*N-1 simulé, le sous triangle doit commencer à la même année de survenance et terminer à la fin de l’année de survenance N-1

4. Modélisation de la prime avec les triangles simulés

5. Calcul du risque de provision en appliquant la formule de risque

6. Calcul du risque de prime en appliquant la formule de risque

7. Calibration de la dépendance entre deux risques

Étapes de « Back Modeling »

Calcul de réserve pour

triangle (N)*(N)


Méthode par simulation Back Modeling N-1, Calibration de la dépendance

Calibration de la dépendance

Branche IRD SHAM

Branche Auto Branche IARD

► Dépendance non linéaire

► Sélection de la copule

►AIC

►Fonction K(u), L(u) et R(u)

► Calibration des paramètres

►Méthode des moments

►Maximum de Vraisemblance

►Inférence sur les Marginales

►CML


Méthode par simulation Back Modeling N-1, Calibration de la copule

► Sélection de la copule

► Calibration des paramètres

Copule Paramètre par Tau de Kendall Paramètre AIC test

Copule Normale 0.584205 4173.41

Copule Gumbel 1.658889 3809.67

Copule Clayton 1.317778 2137.48

sin( )2

r

2

1

1

1

Copule Distance L(u) Distance R(u)

Copule Normale 0.017964 0.019172

Copule Gumbel 0.068262 0.414691

Copule Clayton 1.682411 0.899983

Méthode MM ML IFM CML

Copule Normale 0.58420 0.58169 0.58471 0.58439


Méthode par simulation Risque de souscription pour l’année N

► Simulation du risque de provision d’un an

► Bootstrap sur un an

► Simulation de Mack sur un an

Méthode Bootstrap

Test de Kolmogorov-Smirnov

Conclusion

Loi Normale P-value < 0.0001 Refuse H0

Loi Gamma P-value = 0.009 Refuse H0

Loi Weibull P-value < 0.0001 Refuse H0

Loi GEV P-value = 0.713 Accepte H0

Triangle historique Projection d’un an Calcule risque de provision après la projection

Méthode Mack Test de Kolmogorov-Smirnov Conclusion

Loi Normale P-value = 0.992 Accepte H0

Loi Gamma P-value < 0.0001 Refuse H0

Loi Weibull P-value = 0.006 Refuse H0

Loi GEV P-value = 0.164 Accepte H0

Histogramme

0

0.00000005

0.0000001

0.00000015

0.0000002

0.00000025

0.0000003

0.00000035

0.0000004

-4000000 -2000000 0 2000000 4000000 6000000

Bootstrap

Den

sité

Bootstrap GEV(0.133,9.652E+5,-4.403E+5)

Histogramme

0

0.0000001

0.0000002

0.0000003

0.0000004

0.0000005

0.0000006

-4E+06 -3E+06 -2E+06 -1E+06 0 1000000

2000000

3000000

4000000

Simulation de Mack

Densité

Simulation de Mack Normal(-1196.284,7.982E+5)



► Risque de prime► Calibration d’une distribution de Loss Ratio historique

► Retraitement du modèle de simulation

Loss Ratio Historique Test de Kolmogorov-Smirnov Conclusion

Loi Normale 0.689 Accepte H0

Loi Log Normale 0.818 Accepte H0

Loi Gamma 0.870 Accepte H0

Loi Weibull < 0.0001 Refuse H0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Simulation de Loss Ratio avant retraitement

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Simulation de Loss Ratio après retraitement

Avant le retraitement Après le retraitement



Calibration de Provision CopuleRisque de

ProvisionRisque de Prime

Loi calibrée pour risque de souscription

VaR (99.5%) par Simulation

Bootstrap

Normale GEV Normale GEV/Normale 5 490 036

Normale GEV Log Normale GEV 8 418 248

Normale GEV Gamma GEV 7 484 500

Simulation de Mack

Normale GEV Normale GEV/Normale 5 649 591

Normale GEV Log Normale GEV 8 236 933

Normale GEV Gamma GEV 7 795 037

Normale Normale Normale GEV/Normale 5 807 744

Normale Normale Log Normale GEV 8 173 672

Normale Normale Gamma GEV 7 586 445

Histogramme

0

0.00000002

0.00000004

0.00000006

0.00000008

0.0000001

0.00000012

0.00000014

-20000000 -15000000 -10000000 -5000000 0 5000000 10000000 15000000 20000000

Risque de souscription

Den

sité

Risque de Souscription GEV(0.089,2.853E+6,-4.229E+6)

Scattergram (Risque de Souscription)

99.5-quantile

Median

-15000000

-10000000

-5000000

0

5000000

10000000

15000000

20000000

Ris

que d

e S

ouscri

ption


Structure de modélisation de risque de souscription Non-Vie► Avantages du modèle

► Calibration de la dépendance plus fine que QIS4

► Un horizon d’un an pour le risque de réserve

► Construction d’une vision dynamique sur provision et prime

► Limites du modèle► Sensible à la règlement

N-1► Modéliser la dépendance

sans les graves ► Développement futur

► Calibration de la dépendance sur plusieurs années

► Modélisation de la structure de dépendance entre différentes branches


Questions?

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