modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04 1 /26 modélisation du tir à l’arc optimisation...
TRANSCRIPT
1 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Modélisation du tir à l’arc
Optimisation d’une branche dans le cadre des milieux
curvilignes
2 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Plan
I. Présentation de l'arc et de sa modélisation
II. Démarches et résultats numériques
III. Validation expérimentale
3 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Caractéristiques à optimiser :
- la raideur
- la forme de l’arc sans corde
- la longueur de la corde
Présentation du problème
Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Objectif : maximiser l’énergie susceptible d’être transmise à la flèche
4 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Description de l’arc
5 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Hypothèses des milieux curvilignes
• Nous négligeons les déformations des sections
• Nous effectuons l’hypothèse de Navier Bernoulli
• Nous considérons le milieu comme inextensible
6 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
La modélisation• Nous supposons que la branche est un matériau élastique
• On ne tient pas compte des masses de la corde et de l’arc
• On ne considère que des actions de flexion
X
x(L)
Lcorde
yF=0(L) y(L)
ΔL
Y F
7 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Calcul de l’énergie potentielle
PE PE PE
PE
)()(y-y(L). 22
0F LxLLF corde
L
initial dssssk0
2
)(.2
1
∆L
W(φ)
• On applique le théorème du minimum de l’énergie potentielle
ΔL
8 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
La discrétisation
• Utilisation de solveurs numériques sans succès
• Nous devons discrétiser pour minimiser l’énergie
• Introduction de nouvelles hypothèses :
– Branche modélisée par une réunion de segments
– Raideur constante sur chaque segment
– Pas constant
9 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Ecriture dans le fichier Excel
On dispose d’un programme…
Pour chaque k
Pour chaque φinitial
Traçage de la courbe de pesée
Appelfonc.sci
Foncarc.sci
CostEP.sci
Traçage de l’arc sans corde
Calcul de l’Ep de cet arc
Programme initial
Initialisation des variables
Pour une force F variant de 80 à 5 N
Calcul des coordonnées des points de discrétisation de
l’arc solution
Traçage de l’arc
Calcul grâce à CostEP du φsolution qui minimise l’Ep
Que l’on adapte à nos besoins
10 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Plan
I. Présentation de l'arc et de sa modélisation
II. Démarches et résultats numériques
III. Validation expérimentale
11 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Critères d’évaluation
Courbe de pesée d’un arc à poulies
Ep
• Une éventuelle dérivée nulle ou négative de la fonction F=f(ΔL)
• Énergie disponible utilisable
12 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Optimisation paramètre par paramètre
• On fournit au programme la 1ère valeur d’itération φ0
de la suite (φk) créée par l’algorithme d’optimisation
et censée converger vers la solution du problème
• Vérification que φ0 n’a pas d’influence sur les
résultats finaux
L’approximation de la solution : φ0
13 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Optimisation paramètre par paramètre
• Variation de la répartition de la raideur
tout en conservant une somme globale fixe
sur une branche ayant la forme de celle d’un arc mongol
• On aboutit à : k = [3 11 13 15 26 9 5 3 5]
• On retrouve le pic de raideur au milieu de chaque demi branche
La raideur
Arc mongol
14 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Optimisation paramètre par paramètre
La longueur de la corde
La longueur optimale
dépend de la force avec
laquelle on tire
15 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Optimisation paramètre par paramètre
Nous ne pouvons tester que quelques familles de forme d’arc, par soucis de temps de calcul…
La forme à l’état naturel : tableau φinitial
Forme à l’état initial optimale obtenue
16 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Variation simultanée de tous les paramètres
• Démarche obligatoire car chacune des précédentes optimisations dépendait des paramètres fixés
• Cette méthode n’a pas abouti mais nous a cependant permis de mieux comprendre le fonctionnement du programme
17 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Bilan des problèmes rencontrés
• L’optimisation se révèle irréalisable avec la méthode précédente en terme de temps de calcul
• Lorsque la force F est trop faible, l’algorithme renvoie un arc non retourné, qui ne correspond pas à la pratique
Problèmes de retournement de l’arc
18 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Pourquoi l’arc n’est-il pas retourné ?
Minima locaux et globaux de l’Ep Mise en évidence du « problème »
• 2 façons de placer la corde en obtenant un minimum local d’énergie potentielle :
– soit entre les deux extrémités des branches vers l’intérieur
– soit vers l’extérieur (vers le haut)
• L’algorithme choisit toujours le minimum global
2 tentatives de parade :
• Limitation du domaine de recherche du tableau φ minimisant l’Ep
• Majoration du gradient de l’ Ep qu’utilise l’algorithme
19 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Pourquoi est-ce un problème ?
Partie non retournée
Partie retournée
F
Déplacement
Courbe de pesée dans le cas d’un arc non retourné
• La courbe de pesée est faussée :
démarche d’optimisation difficile
• On ne dispose pas de la forme de
l’arc quand la force est nulle
• Dans une position intermédiaire où l’arc est presque plat, la
corde peut être trop courte pour relier les 2 branches
L’exécution s’interrompt
20 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Plan
• Présentation de l'arc et de sa modélisation
• Démarches et résultats numériques
• Validation expérimentale
21 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Mise en conformité du modèle avec la réalité
• φinitial(0) ≠ 0
• Nécessité de la poignée
• Diminution le pas de discrétisation afin d’obtenir une meilleure approximation pour : - Modéliser la poignée
- Tenir compte des variations rapides de la courbure en fin de branche
Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
22 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Mesures expérimentales• Mesure de la matrice des φinitial
• Obtention de la courbe de pesée expérimentale : – On paramètre la machine de traction
Courbe de pesée de l'arc (32 lbs 68")
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0
12,4
27,9
43,3
58,7 74
89,4
105
120
136
151
167
182
197
213
228
244
259
274
290
305
321
336
351
367
382
398
413
428
444
459
475
Déplt(mm)
Fo
rce(
N)
– On retrouve bien le changement de concavité typique de l’arc de type classique
Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
23 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Calcul des raideurs
• Pour déterminer les k, on utilise la formule := k( )JbJfc
( )EbVbEfcVfc
VbVfc
• La branche est composée de deux matériaux disposés en lamelles
• Malheureusement, Eb et Efc sont inconnus, et les déterminer conduirait à altérer la branche
• Donc on obtient des k adimensionnés
24 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Bilan de l’expérience
• Utilisation de la simulation pour déterminer Eb et Efc
• Mesure de la matrice φF=0 sur l’arc
• On paramètre le programme pour qu’il simule cette valeur
• Avec le φinitial voulu, la solution obtenue ne correspond à la solution physique qu’à partir d’une force F trop grande pour pouvoir poser φF ≈ φF=0
25 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
Perspectives
• Il existe des méthodes d’optimisation plus efficaces
• Le programme actuel donne des résultats valables à une constante près (yF=0)
•Il faudrait également trouver un moyen de rendre le programme capable de choisir la solution physiquement acceptable
26 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04
FIN