modélisation et calcul scientifique jocelyne erhel equipe sage - inria et irisa - rennes Équipe...
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Modélisation et calcul scientifique
Jocelyne Erhel
Equipe SAGE - INRIA et IRISA - Rennes
Équipe commune avec le CNRS et l’université de Rennes 1
Travail en collaboration avec Géosciences Rennes
(CNRS et université de Rennes 1)
avec le laboratoire PPRIME (CNRS et université de Poitiers)
Avec le laboratoire CDCSP (CNRS et université de Lyon)
Comprendre (ex: astrophysique) Prédire (ex: météo) Gérer (ex: ressources pétrolières) Décider (ex: finances)
Modélisation et simulation
http://www.surfrider.eu/uploads/pics/Cycle-de-l-eau.jpg
©Yves Chaux
L’eau potable en Bretagne:
70% eaux de surface
Quelques captages profonds
©http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html
©http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html
©http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html
Modélisation
Variables physiques Lois de conservation Lois de comportement
Charge hydraulique H
Puits artésien : l'eau jaillit par pression.Cascade: l’eau tombe par gravité
H = P/ρg + zP pression, ρ densité, g constante de gravité, z profondeur
Gradient de charge hydraulique
© http://www.u-picardie.fr/~beaucham/cours.qge/du-7.htm
Gradient de charge hydraulique
• En dimension 1: position x et fonction H(x)
Points x et x+dx
H’(x) est le gradient de H au point x
dx
xHdxxHxH dx
)()(lim)(' 0
Gradient de charge hydraulique
• En dimension 2: position (x,y) et fonction H(x,y)
Points (x,y) et (x+dx,y); points (x,y) et (x,y+dy)
Vecteur gradient Grad(H)
y
Hx
H
HH
dy
yxHdyyxHyx
y
Hdx
yxHydxxHyx
x
H
dy
dx
)Grad(
),(),(lim),(
),(),(lim),(
0
0
Vitesse de l’eau
Loi de la conservation de la masse:
Ce qui sort du tuyau y est entré
En dimension 1: position x; vitesse V(x); source Q(x)
Conservation de la masse: V’(x)=Q(x)
Arrosage : les bons tuyaux ! | © Olivier Desvaux
Vitesse de l’eau
En dimension 2 : vecteur V(x,y) avec deux composantesDivergence de V: flux de vitesse en un point
),(),(.),(div
),(
yxy
Vyx
x
VVyxV
V
VyxV
yx
y
x
Notion de perméabilité
perméabilité
Type de roche
Perméabilité (m/s)
graviers 3 10-1
sables 6 10-4
limons 3 10-8
vase argileuse 5 10-10
1m=3 s
1m=28 mn
1m=386 j
1m=63 ans
Loi de Darcy
V = -K * grad(H)
La vitesse est proportionnelle au gradient de charge
Le coefficient K est la perméabilité de l’aquifère
HISTOIRE DES FONTAINES PUBLIQUES DE DIJON. APPENDICE. - NOTE D.
Détermination des lois d'écoulement de l'eau à travers le sable.
HENRY DARCY
INSPECTEUR GENERAL DES PONTS ET CHAUSSEES.
1856
Modèle de l’écoulement
Flux nul
Flux nul
H=
1
H=
0
Conservation de la masse
div(V) = Q
Loi de Darcy
V = -K * grad(H)
Conditions aux limites
Il existe une solution H
et elle est unique
En général, on ne sait pas calculer la solution H
H = charge Hydraulique ; V = vitesse ; K = perméabilité
On sait calculer une
solution approchée
Discrétisation numérique
Discrétisation du domaine Problème approché Analyse de convergence
Solution approchée :discrétisation spatiale
On superpose une grille de calcul, comme les pixels d’une photo numérique
Plus la grille est fine,
plus la solution approchée
est précise
Et plus le volume de
données et le temps de
calcul augmentent
div(V) = Q
V = -K * grad(H)
Conditions aux limites
Modélisation de l’écoulement :système d’équations approché
On écrit les équations dans chaque petit carré de la grille
On obtient un système d’équations linéaire
H1 H2
H3 H4
Les inconnues sont H1,H2,H3,H4
4
3
2
1
4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
Z
Z
Z
Z
H
H
H
H
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
4444343242141
3434333232131
2424323222121
1414313212111
ZHaHaHaHa
ZHaHaHaHa
ZHaHaHaHa
ZHaHaHaHa
Simulation numérique
Algorithme de résolution Développement d’un logiciel Validation
système d’équations linéaires
N mailles :
N équations avec N inconnues
Algorithme de résolution
par éliminations successives
des inconnues
Stocker 8N2 octets
Faire N3 opérations (Flops)
N=1000 : 8 Mega-octets et 1 Giga-Flops
N=100000=105 : 80 Giga-octets et 1015 Flops (1 Peta-Flops)
Système d’équations linéaires
0 + a = a et 0 x a = 0
On ne stocke que les éléments non nuls de la matrice
On ne fait les opérations qu’avec ces éléments non nuls
Une matrice creuse Les algorithmes sont plus compliqués
Temps de calcul en fonction de la taille N
1,0E-01
1,0E+00
1,0E+01
1,0E+02
1,0E+03
1,0E+04
1,0E+05
1,0E+06
1,0E+07
1,6E+04 6,5E+04 2,6E+05 1,0E+06 2,1E+06
c N3temps en secondes
Calcul parallèle et distribué
16,8 millions d’inconnues en 76 secondes
avec 32 processeurs
Grappe de PC
Inria
Grid’5000
©INRIA/Photo Jim Wallace
Modèle
numérique
Validation et visualisation
Cas simple homogène Cas compliqué hétérogène
Charge H et vitesse V dans un milieu homogène
Charge H et vitesse V dans un milieu hétérogène
Charge dans un réseau 3D de fractures
http://www.eaubretagne.fr/article/les-eaux-souterraines
http://www.cnrs.fr/cw/dossiers/doseau/decouv/rubrique.html
http://www.brgm.fr/divers/nappes.htm
http://www.u-picardie.fr/~beaucham/
http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html
http://ga.water.usgs.gov/edu/watercyclefrench.html
http://www.irisa.fr/sage
http://www.geosciences.univ-rennes1.fr/
Pour en savoir plus