modélisation et diagnostic de la machine asynchrone en présence

FACULTE DES SCIENCES & TECHNIQUES

U.F.R Sciences & Techniques : S.T.M.I.AEcole Doctorale : Informatique Automatique Electrotechnique Electronique MathematiquesDepartement de Formation Doctorale : Electrotechnique Electronique

These

presentee pour l’obtention du titre de

Docteur de l’Universite Henri Poincare, Nancy-I

Specialite : Genie electrique

par Gaetan DIDIER

Modelisation et diagnostic de la machine

asynchrone en presence de defaillances

Soutenue publiquement le 29 Octobre 2004 devant la commission d’examen composee de

President : A. Rezzoug Professeur a l’Universite Henri Poincare - Nancy I

Rapporteurs : G. Barakat Maıtre de conferences a l’Universite du Havre - HDR

J. C. Trigeassou Professeur a l’Universite de Poitiers

Examinateurs : H. Razik Directeur de These

Maıtre de conferences a l’IUFM de Lorraine - HDR

A. Richard Professeur a l’Universite Henri Poincare - Nancy I

H. Henao Maıtre de conferences a l’Universite d’Amiens

Groupe de Recherche en Electrotechnique et Electronique de Nancy

Faculte des Sciences et Techniques - B.P. 239 - 54506 Vandoeuvre-les-Nancy

Remerciements

Je tiens à remercier tout d’abord le Professeur Abderrezak REZZOUG, directeur du

Groupe de Recherche en Electrotechnique et Electronique de Nancy, pour m’avoir accueilli

au sein de son laboratoire et pour m’avoir fait l’honneur de présider mon jury.

Je remercie également Monsieur Jean Claude TRIGEASSOU, Professeur à l’Univer-

sité de Poitiers, et Monsieur Georges BARAKAT, Maître de conférences HDR à l’Uni-

versité du Havre, pour l’intérêt qu’ils ont porté au travail effectué en acceptant d’être

rapporteurs de cette thèse.

Merci à Monsieur Alain RICHARD, Professeur à l’Université Henri Poincaré - Nancy I

et à Monsieur Humberto HENAO, Maître de conférences à l’Université d’Amiens, pour

avoir accepté de participer à ma soutenance en tant qu’examinateurs.

Je remercie aussi Monsieur Hubert RAZIK, mon directeur de thèse, pour ses remarques

pertinentes, nos longues discussions scientifiques et pour le temps qu’il a su me consacrer

tout au long de ces trois années passées au GREEN.

Je ne pourrai jamais remercier suffisamment Olivier CASPARY et Eric TERNISIEN,

Maîtres de conférences au Centre de Recherche en Automatique de Nancy, pour leur gen-

tillesse, leur soutien moral et scientifique, leurs idées et le temps qu’ils ont su m’accorder

tous les lundis matins à l’IUT de Saint Dié des Vosges. Je leur dois énormément, et dans

tous les cas cette page.

Merci à Denis NETTER pour m’avoir appris les subtilités de l’enseignement supérieur

lors de mes premières heures aux fonctions de moniteur du CIES de Lorraine. Je tiens

à remercier aussi Francis WEINACHTER pour avoir développé divers programmes et

utilitaires qui m’ont permis de gagner un temps précieux tout au long de ma thèse.

Je ne peux oublier les personnes qui ont su m’aider à un moment ou à un autre pour les

formalités administratives. Je pense plus particulièrement à Sandrine VANZO et Sandra

KLEIN. Merci aussi à tous mes collègues et amis du laboratoire qui se reconnaîtront ici

(en particulier, les expatriés du 4éme étage). Je leur exprime ma profonde sympathie et

leur souhaite beaucoup de chance pour les années futures.

Un grand merci à toute ma famille et plus particulièrement à mon père, ma mère, ma

soeur et mon frère pour m’avoir soutenu et aidé tout au long de mes études.

Merci enfin à mes amis, Anne-Laure Marchal (Monique ou Brigitte as you want),

Olivier Munsch et Stéphane Munier (Polo) pour qui faire une thèse consiste à se lever

tard, faire acte de présence au bureau, et repartir le plus tôt possible. Ce n’est pas grave,

qu’ils en soient excusés.

Pour terminer ces premières pages, merci à Mathworks pour avoir développé Matlab

et à Donald E. Knuth et Leslie Lamport pour avoir créé Tex et LaTex.

Rêves de grandes choses, cela te permettra

d’en faire au moins de toutes petites.

Jules Renard, Nouvelles

Table des matières

Introduction générale 5

I Etat de l’art 9Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I.1 Eléments de constitution de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . 9I.1.1 Stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.1.2 Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.1.3 Paliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I.2 Les défaillances de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I.2.1 Défaillances d’ordre mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

I.2.1.1 Défaillances des roulements . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.2.1.2 Défaillances du flasque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.2.1.3 Défaillances de l’arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

I.2.2 Défaillances d’ordre électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14I.2.2.1 Défaillances des circuits électriques statoriques . . . . . . . 14I.2.2.2 Défaillances des circuits électriques rotoriques . . . . . . . 15

I.3 Méthodes de traitement des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.3.1 Transformée de Fourier discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.3.2 Transformée de Fourier rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17I.3.3 Périodogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

I.3.3.1 Périodogramme simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17I.3.3.2 Périodogramme modifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.3.3.3 Biais et variance du périodogramme . . . . . . . . . . . . 19

I.3.4 Estimateurs spectraux à variance réduite . . . . . . . . . . . . . . . 19I.3.4.1 La méthode de Bartlett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20I.3.4.2 La méthode de Welch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

I.3.5 Analyse spectrale en ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21I.3.5.1 Transformée de Fourier glissante . . . . . . . . . . . . . . 21I.3.5.2 Effet zoom en analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.4 Méthodes de diagnostic actuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23I.4.1 Analyse temps-fréquence et temps-échelle . . . . . . . . . . . . . . . 23

I.4.1.1 Analyse temps-fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23I.4.1.2 Analyse temps-échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

I.4.2 Analyse cepstrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.4.3 Analyse spectrale à haute résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.4.4 Diagnostic des défauts par estimation paramétrique . . . . . . . . . 26I.4.5 Diagnostic des défauts par reconnaissance des formes . . . . . . . . 27

2 Table des matières

I.4.6 Diagnostic des défauts par analyse du vecteur de Park . . . . . . . 27I.4.7 Diagnostic des défauts par le suivi des grandeurs mesurables . . . . 30

I.4.7.1 Analyse fréquentielle des courants statoriques et du fluxde dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

I.4.7.2 Analyse fréquentielle du couple électromagnétique et de lavitesse rotorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

I.4.7.3 Analyse fréquentielle de la tension de neutre . . . . . . . . 31I.4.7.4 Analyse fréquentielle de la puissance instantanée . . . . . 32

I.4.8 Technique additionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Objectif de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II Modélisation de la machine asynchrone 37Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

II.1 Méthodes de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II.1.1 Méthode des éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II.1.2 Méthode des réseaux de perméance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39II.1.3 Méthode des circuits électriques magnétiquement couplés . . . . . . 39

II.2 Modèle de la machine en absence de défaillance . . . . . . . . . . . . . . . 40II.2.1 Hypothèses de départ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40II.2.2 Structure du stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41II.2.3 Structure du rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42II.2.4 Equations différentielles associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

II.2.4.1 Equations différentielles du stator . . . . . . . . . . . . . . 44II.2.4.2 Equations différentielles du rotor . . . . . . . . . . . . . . 45II.2.4.3 Equations mécaniques de la machine . . . . . . . . . . . . 47

II.2.5 Prise en compte des harmoniques d’espace dans le calcul des induc-tances de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48II.2.5.1 Induction d’entrefer statorique . . . . . . . . . . . . . . . 48II.2.5.2 Induction d’entrefer rotorique . . . . . . . . . . . . . . . . 51

II.2.6 Calcul des inductances du modèle de la machine . . . . . . . . . . . 51II.2.6.1 Inductance de magnétisation d’une phase statorique . . . . 51II.2.6.2 Inductance mutuelle entre phases statoriques . . . . . . . 52II.2.6.3 Inductances mutuelles entre les phases statoriques et les

boucles rotoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52II.2.6.4 Inductance de magnétisation d’une boucle rotorique . . . . 53II.2.6.5 Inductances mutuelles entre les boucles rotoriques . . . . . 53II.2.6.6 Synthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

II.2.7 Détermination des paramètres de la machine asynchrone en vue desa simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

II.2.8 Alimentation de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.2.8.1 Modélisation du convertisseur statique . . . . . . . . . . . 56II.2.8.2 Méthode des départements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57II.2.8.3 Couplage de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . 57

II.2.9 Exploitation du modèle de la machine asynchrone en absence dedéfaillances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

II.3 Modèle de la machine asynchrone en présence de défaillances . . . . . . . . 64

Table des matières 3

II.3.1 Exploitation du modèle en présence de barre(s) rotorique(s) cassée(s) 68II.3.1.1 Alimentation de la machine par le réseau triphasé . . . . . 68II.3.1.2 Alimentation de la machine par un convertisseur statique . 72

II.3.2 Analyse harmonique du vecteur de sortie . . . . . . . . . . . . . . . 72II.3.2.1 Analyse des spectres dans la plage [0 - 100] Hz . . . . . . 74II.3.2.2 Analyse des spectres dans la plage [100 - 1000] Hz . . . . . 78

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

IIIDiagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances 83Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

III.1 Étude théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84III.1.1 Analyse du courant statorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84III.1.2 Analyse de la puissance instantanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

III.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95III.2.1 Banc d’essai et mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95III.2.2 Alimentation de la machine par le réseau triphasé . . . . . . . . . . 96

III.2.2.1 Calcul du glissement de la machine . . . . . . . . . . . . . 100III.2.2.2 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102III.2.2.3 Méthodes complémentaires pour le calcul du glissement de

la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124III.2.3 Alimentation de la machine par un variateur de vitesse . . . . . . . 128

III.2.3.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129III.2.3.2 Calcul du glissement de la machine . . . . . . . . . . . . . 132III.2.3.3 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134III.2.3.4 Approche complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

IV Diagnostic de défaut sans référence 147Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

IV.1 Phase du spectre du courant statorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148IV.1.1 Influence d’un défaut rotorique sur la phase du spectre du courant

statorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148IV.1.2 Utilisation de la phase pour le diagnostic de défaut rotorique . . . . 156

IV.1.2.1 Méthode de diagnostic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156IV.1.2.2 Critère de détection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157IV.1.2.3 Calcul du glissement de la machine asynchrone . . . . . . 157

IV.1.3 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159IV.1.3.1 Alimentation de la machine par le réseau triphasé . . . . . 160IV.1.3.2 Alimentation de la machine par un variateur de vitesse . . 164

IV.1.4 Bilan de cette approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167IV.2 Transformée de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

IV.2.1 Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168IV.2.2 De la transformée de Hilbert à la théorie de modulation . . . . . . . 170IV.2.3 La transformée de Hilbert pour le diagnostic de défaut rotorique . . 171IV.2.4 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

IV.2.4.1 Alimentation de la machine par le réseau triphasé . . . . . 179IV.2.4.2 Alimentation de la machine par un variateur de vitesse . . 184

4 Table des matières

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Conclusion générale 189

Annexes 193

A Analyse des forces électromotrices en présence d’un défaut rotorique 195A.1 Énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196A.2 Couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197A.3 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197A.4 Force électromotrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198A.5 Analyse des expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

B Description et identification du banc d’essai et mesure 201B.1 Description du banc d’essai et mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201B.2 Identification des paramètres de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . 203

B.2.1 Essais classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203B.2.2 Essai en continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Bibliographie 215

Contribution personnelle 221

Introduction générale

Le diagnostic des machines électriques s’est fortement développé dans le monde indus-

triel car la volonté d’obtenir une chaîne de production de plus en plus sure devient, pour

certaines applications, indispensable. Les chaînes de production doivent être dotées de

systèmes de protection fiables car une quelconque défaillance, même la plus anodine, peut

mener à un dommage matériel ou corporel inévitable. C’est pour éviter ces problèmes que

la recherche, sur le plan mondial, s’emploie depuis plusieurs dizaines d’années à élaborer

des méthodes de diagnostic. Celles-ci ont pour premier objectif de prévenir les utilisateurs

d’un risque possible pouvant apparaître en un point particulier du système.

Le travail proposé s’attarde sur le diagnostic des machines asynchrones triphasées à

cage d’écureuil. La croissance de ce type de machine électrique, essentiellement due à sa

simplicité de construction, son faible coût d’achat et de fabrication, sa robustesse méca-

nique ou encore sa quasi-absence d’entretien, est telle que nous la trouvons maintenant

dans tous les domaines industriels et en particulier dans les secteurs de pointe comme l’aé-

ronautique, le nucléaire, la chimie ou encore les transports ferroviaires. A titre d’exemple,

aux Etats-Unis, 70 millions de moteurs asynchrones sont fabriqués chaque année pour

une population d’environ 300 millions de personnes. Toute proportion gardée, il est clair

ces moteurs nous conduisent à porter une attention de plus en plus sérieuse quant-à leur

fonctionnement et leur disponibilité.

En effet, l’apparition d’un défaut conduit le plus souvent à un arrêt irrémédiable de

la machine asynchrone entraînant, en conséquence, un coût de réparation non négligeable

pour l’entreprise (cas des machines de fortes puissances) sans oublier la perte de produc-

tion occasionnée. Dans le domaine nucléaire, par exemple, il est indispensable d’assurer

le sécurité des personnes et du matériel car aucun système, qu’il soit simple ou complexe,

n’est à l’abri d’un dysfonctionnement.

6 Introduction générale

Le premier chapitre de ce document rappelle le contexte de l’étude : le diagnostic de

défaut rotorique dans les machines asynchrones à cage d’écureuil. Nous présentons dans

un premier temps les éléments de constitution de ce type de machine en précisant les

différents défauts pouvant survenir sur chacun d’eux (causes et effets). Dans un deuxième

temps, nous énumérons quelques outils nécessaires à l’analyse de signaux temporels dans le

domaine fréquentiel, domaine de prédilection pour la détection des défauts de la machine

asynchrone. Nous terminons ce chapitre par une analyse des différentes techniques de

diagnostic existantes en présentant leurs points faibles et leurs points forts.

Le deuxième chapitre est consacré à la présentation du modèle de simulation. Nous

utilisons un modèle basé sur le couplage magnétique des circuits électriques pour analyser

le comportement de la machine en absence et en présence de défaillances. Ce type d’ap-

proche offre un modèle de machine flexible, un temps de calcul raisonnable et ne nécessite

aucun recours au calcul de champ. Les inductances de la machine prennent en compte

les harmoniques d’espace les plus importants dans le but d’obtenir des résultats encore

plus proche de la réalité. Nous analysons ensuite l’influence du défaut sur les grandeurs

temporelles de la machine pour permettre de développer des méthodes de surveillance et

de diagnostic appropriées.

Le troisième et le quatrième chapitres de ce document sont consacrés à la description

de trois nouvelles méthodes de diagnostic. La première méthode est basée sur l’évaluation

d’un indice de défaillance pour détecter la présence du défaut au sein de la cage rotorique.

Cet indice est calculé à partir de l’amplitude des composantes créées par le défaut rotorique

dans les spectres fréquentiels du courant statorique et de la puissance instantanée d’une

phase de la machine. Une comparaison de l’évolution de cet indice avec celui obtenu lorsque

cette dernière présente une cage saine permet d’effectuer un diagnostic de l’état du rotor

de la machine asynchrone. La deuxième et la troisième méthodes utilisent respectivement

l’information donnée par la phase du spectre du courant statorique et l’information donnée

par la phase de la transformée de Hilbert du module du spectre du courant statorique

pour diagnostiquer la présence d’une barre rotorique cassée. Ces méthodes, contrairement

aux approches habituelles, ont la particularité de n’utiliser aucune référence - référence

habituellement obtenue avec le rotor sain - pour détecter la présence du défaut au sein de

la cage d’écureuil.

Introduction générale 7

Un banc d’essai et mesure, composé de plusieurs machines asynchrones, permet de

valider les trois méthodes de diagnostic proposées. Deux niveaux de défaillances sont ana-

lysés, une barre partiellement cassée et une barre complètement cassée lorsque la machine

est alimentée, soit par le réseau triphasé, soit par un variateur de vitesse industriel.

Nous terminons ce mémoire par une conclusion portant sur les travaux effectués et

par une présentation des perspectives de recherche pouvant être envisagées.

Chapitre I

Etat de l’art

Introduction

Dans ce chapitre, nous décrivons le système étudié qui se limite, dans notre cas, à

la machine asynchrone triphasée à cage d’écureuil. Après avoir rappelé les éléments de

constitution de cette machine, nous effectuons une analyse des différents défauts pouvant

survenir sur chacun d’eux. Nous présentons ensuite divers outils issus des techniques de

traitement du signal pouvant être utilisés pour la détection d’un défaut électrique et/ou

mécanique. Pour finir, nous discutons des méthodes de diagnostic actuellement appliquées

à la machine asynchrone en précisant leurs avantages et leurs inconvénients.

I.1 Eléments de constitution de la machine asynchrone

On se propose, dans cette partie, de donner quelques précisions sur les éléments de

constitution des machines asynchrones. Cette description va nous permettre de com-

prendre de quelle façon le système est réalisé physiquement. Les machines asynchrones

triphasées peuvent se décomposer, du point de vue mécanique, en trois parties distinctes :

– le stator, partie fixe de la machine où est connectée l’alimentation électrique ;

– le rotor, partie tournante qui permet de mettre en rotation la charge mécanique ;

– les paliers, partie mécanique qui permet la mise en rotation de l’arbre moteur.

10 Chapitre I : Etat de l’art

I.1.1 Stator

Le stator de la machine asynchrone est constitué de tôles d’acier dans lesquelles sont

placés les bobinages statoriques. Ces tôles sont, pour les petites machines, découpées

en une seule pièce alors qu’elles sont, pour les machines de puissance plus importantes,

découpées par sections. Elles sont habituellement recouvertes de vernis pour limiter l’effet

des courants de Foucault. Au final, elles sont assemblées les unes aux autres à l’aide de

boulons ou de soudures pour former le circuit magnétique statorique.

Une fois cette étape d’assemblage terminée, les enroulements statoriques sont placés

dans les encoches prévues à cet effet. Ces enroulements peuvent être insérés de manière im-

briqués, ondulés ou encore concentriques [1]. L’enroulement concentrique est très souvent

utilisé lorsque le bobinage de la machine asynchrone est effectué mécaniquement. Pour les

grosses machines, les enroulements sont faits de méplats de cuivre de différentes sections

insérés directement dans les encoches. L’isolation entre les enroulements électriques et les

tôles d’acier s’effectue à l’aide de matériaux isolants qui peuvent être de différents types

suivant l’utilisation de la machine asynchrone.

Le stator d’une machine asynchrone est aussi pourvu d’une boîte à bornes à laquelle

est reliée l’alimentation électrique. Nous représentons sur la figure I.1 les différentes parties

de constitution du stator d’une machine asynchrone. Nous pouvons visualiser la présence

d’ailettes de ventilation assurant le refroidissement la machine lorsque celle-ci fonctionne

en charge.

I.1.2 Rotor

Tout comme le stator, le circuit magnétique rotorique est constitué de tôles d’acier qui

sont, en général, de même origine que celles utilisées pour la construction du stator. Les

rotors de machines asynchrones peuvent être de deux types : bobinés ou à cage d’écureuil.

Les rotors bobinés sont construits de la même manière que le bobinage statorique (in-

sertion des enroulements dans les encoches rotoriques). Les phases rotoriques sont alors

disponibles grâce à un système de bagues-balais positionné sur l’arbre de la machine. En

ce qui concerne les rotors à cage d’écureuil, les enroulements sont constitués de barres

de cuivre pour les gros moteurs ou d’aluminium pour les petits. Ces barres sont court-

circuitées à chaque extrémité par deux anneaux dit "de court-circuit", eux aussi fabriqués

I.1 : Eléments de constitution de la machine asynchrone 11

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[2]


en cuivre ou en aluminium. Il existe différentes structures de rotor à cage qui dépendent

principalement de la taille du moteur et de l’application qu’il en sera faite [3]. Nous don-

nons à la figure I.1 les différents éléments de constitution d’un rotor à cage d’écureuil.

Nous pouvons visualiser l’arbre sur lequel les tôles sont empilées, les deux anneaux de

court-circuit ainsi que les barres d’aluminium formant la cage d’écureuil. Très souvent,

ces barres sont uniformément inclinées pour limiter les harmoniques et ainsi diminuer très

fortement le bruit lors de l’accélération de la machine asynchrone. L’isolation des barres

avec les tôles magnétiques n’est en général pas nécessaire du fait de la faible tension in-

duite aux bornes de chacune d’entre elles. De plus, la résistivité de l’alliage utilisé pour

la construction de cette cage est suffisamment faible pour que les courants ne circulent

pas à travers les tôles magnétiques, sauf lorsque la cage rotorique présente une rupture

de barre [4]. Le rotor de la machine asynchrone est aussi pourvu d’ailettes de ventilation

pour permettre un refroidissement de la cage le plus efficace possible comme le montre la

figure I.1.

I.1.3 Paliers

Les paliers, qui permettent de supporter et de mettre en rotation l’arbre rotorique, sont

constitués de flasques et de roulements à billes insérés à chaud sur l’arbre. Les flasques,

moulés en fonte, sont fixés sur le carter statorique grâce à des boulons ou des tiges de

serrage comme nous pouvons le visualiser sur la figure I.1. L’ensemble ainsi établi constitue

alors la machine asynchrone à cage d’écureuil.

I.2 Les défaillances de la machine asynchrone

Bien que la machine asynchrone à cage d’écureuil soit réputée robuste, elle peut parfois

présenter différents types de défauts. Ces défauts peuvent être soit d’origine électrique,

soit d’origine mécanique. Un problème minime à l’étape de fabrication peut être à l’origine

d’un défaut tout comme une utilisation non conforme de la machine. Certaines fois, nous

pouvons aussi incriminer le milieu dans lequel la machine est utilisée (milieux corrosifs

et/ou chimiques hostiles).

I.2 : Les défaillances de la machine asynchrone 13

I.2.1 Défaillances d’ordre mécanique

Les défaillances d’ordre mécaniques sont, en général, les plus rencontrées parmi tous

les défauts que compte la machine asynchrone. Ces défauts peuvent apparaître au niveau

des roulements à billes, des flasques ou encore de l’arbre moteur. Nous énumérons, dans

la suite du document, certains de ces défauts sans pour autant en donner les détails. Nous

pouvons trouver dans la littérature des ouvrages très complets qui traitent de ces divers

problèmes [5] [6] [7].

I.2.1.1 Défaillances des roulements

Les roulements à billes jouent un rôle très important dans le fonctionnement de tout

type de machines électriques. Les défauts de roulements peuvent être causés par un mau-

vais choix de matériau à l’étape de fabrication. Les problèmes de rotation au sein de la

culasse du roulement, causés par un roulement abîmé, écaillé ou fissuré, peuvent créer des

perturbations au sein de la machine. Nous savons que des courants électriques circulent

au niveau des roulements d’une machine asynchrone ce qui, pour des vitesses importantes,

peut provoquer la détérioration de ces derniers. La graisse, qui permet la lubrification et

la bonne rotation des roulements peut, dans certaines applications, se rigidifier et causer

une résistance à la rotation. L’analyse vibratoire de la machine ou l’analyse harmonique

des courants statoriques permet de détecter ce type de défaillances.

I.2.1.2 Défaillances du flasque

Les défauts créés par les flasques de la machine asynchrone sont le plus généralement

causés à l’étape de fabrication. En effet, un mauvais positionnement des flasques provoque

un désalignement des roulements à billes, ce qui induit une excentricité au niveau de l’arbre

de la machine. Il est possible de détecter ce type de défaillance par une analyse vibratoire

ou une analyse harmonique des courants absorbés par la machine.

I.2.1.3 Défaillances de l’arbre

L’arbre de la machine peut laisser paraître une fissure due à l’utilisation d’un mau-

vais matériau lors de sa construction. A court ou long terme, cette fissure peut mener à


une fracture nette de l’arbre provoquant ainsi un arrêt irrémédiable de la machine asyn-

chrone. Les milieux corrosifs peuvent aussi affaiblir la robustesse de l’arbre de la machine.

Par exemple, l’humidité peut provoquer des micro-fissures et conduire à une destruction

complète de la machine. Une excentricité statique, dynamique ou mixte peut induire des

efforts considérables sur l’arbre moteur, amenant ainsi une fatigue supplémentaire. Une

analyse vibratoire, une analyse par ultrason, une analyse fréquentielle des courants ab-

sorbés ou simplement une analyse visuelle de l’arbre de la machine permet de détecter ce

type de défaillance.

I.2.2 Défaillances d’ordre électrique

Les défaillances d’origine électrique peuvent, dans certain cas, être la cause d’un arrêt

de la machine (au même titre que les défaillances d’ordre mécanique). Ces défaillances

se séparent en deux catégories bien distinctes. Nous pouvons citer les défaillances qui

apparaissent au niveau des circuits électriques statoriques et celles qui apparaissent au

niveau des circuits électriques rotoriques [8].

I.2.2.1 Défaillances des circuits électriques statoriques

L’apparition d’un défaut au niveau des circuits électriques statoriques de la machine

asynchrone peut avoir des origines diverses. Nous pouvons citer, par exemple, les défauts

de type courts-circuits inter-spires qui apparaissent à l’intérieur des encoches statoriques.

Ce type de défaut peut être causé par une dégradation des isolants des spires du bobinage

statorique. Nous pouvons citer aussi les courts-circuits apparaissant entre une phase et

le neutre, entre une phase et la carcasse métallique de la machine ou encore entre deux

phases statoriques. Ces défauts ont le plus souvent une origine mécanique. En effet, des

vibrations excessives peuvent mener à un desserrement des boulons de la plaque à bornes

de la machine créant ainsi le court-circuit. Une cosse mal serrée à la jonction du câble

d’alimentation et des bornes de la machine peut être à l’origine d’une ouverture de phase.

Le défaut le plus couramment rencontré reste encore la fusion d’un fusible de protection.

Ces défauts peuvent être détectés par une analyse harmonique des courants absorbés par

la machine.

I.2 : Les défaillances de la machine asynchrone 15

I.2.2.2 Défaillances des circuits électriques rotoriques

Deux types de défaillances peuvent apparaître au rotor d’une machine asynchrone à

cage d’écureuil. La cage étant composée de barres et d’anneaux de court-circuit d’alu-

minium ou de cuivre, une rupture partielle ou totale d’un de ces composants peut être

considérée comme un défaut électrique rotorique. L’apparition de ce type de défaut peut

être d’origine diverse. En effet, la rupture d’une barre ou d’un segment d’anneau de court-

circuit peut être due à plusieurs phénomènes qui sont souvent indépendants les uns des

autres. Nous pouvons citer par exemple une mauvaise utilisation de la machine asynchrone

(charge trop importante) ou encore l’environnement hostile dans lequel elle fonctionne.

Parmi les causes premières, nous pouvons énumérer [9] :

– des contraintes mécaniques causées par des forces électromagnétiques ou des vibra-

tions mécaniques excessives ;

– des démarrages trop fréquents induisant des courants élevés dans les barres ou dans

les segments d’anneaux ;

– des contraintes environnementales causées par une contamination ou une abrasion

de la cage rotorique (industrie chimique par exemple).

Une défaillance au niveau de la cage rotorique se situe généralement à la jointure entre

une barre et un anneau de court-circuit. En effet, les barres rotoriques et les anneaux

de court-circuit ne pouvant pas être construits d’un seul bloc (sauf pour les machines de

petites puissances), une soudure est pratiquée aux extrémités de chaque barre pour relier

ces dernières aux deux anneaux de court-circuit. La fragilité de ces soudures, par rapport

aux barres et aux anneaux fabriqués d’un seul bloc, provoque, à ces endroits précis, une

fragilité de la cage d’écureuil.

Tout comme les défauts statoriques, les défauts rotoriques peuvent être détectés par

une analyse harmonique des courants statoriques. Une analyse vibratoire de la machine

asynchrone permet aussi détecter ce type de défaillances.

Comme la détection de la majorité des défauts d’une machine asynchrone repose sur

une analyse vibratoire de la machine ou sur une analyse harmonique des courants ab-

sorbés au stator, la partie suivante est dédiée aux différents outils nécessaires à l’analyse

fréquentielle des signaux révélateurs d’un défaut mécanique et/ou électrique.


I.3 Méthodes de traitement des signaux

Nous présentons ici les méthodes classiques d’estimation de la Densité Spectrale de

Puissance d’un signal, notée DSP, fondées sur la transformée de Fourier discrète dont nous

rappelons les équations dans la section I.3.1. Nous donnons par la suite les caractéristiques

importantes d’un estimateur que sont le biais et la variance ainsi que leur impact sur le

spectre fréquentiel résultant. Cela nous amènera à présenter quelques méthodes permet-

tant de diminuer la variance pour obtenir une meilleure estimation de la densité spectrale

de puissance du signal observé.

Rappelons, au préalable, que toutes les méthodes présentées font partie de la famille

des méthodes d’estimation spectrale non-paramétriques.

I.3.1 Transformée de Fourier discrète

La transformée de Fourier discrète, généralement notée TFD, d’une suite finie de P

échantillons ps(0), ps(1), . . . , ps(P − 1) se calcul grâce à la relation :

F (k) =1

N

N−1∑

n=0

ps(n) e−j 2πnkN pour k = 0, . . . , N − 1 (I.1)

où le terme N représente le nombre de points de calcul de la TFD. Ce terme joue sur

la précision du tracé alors que le terme P est lié à ce que l’on appelle la résolution en

fréquence. En pratique, on essaye d’avoir un nombre de point P de la suite ps(n) supérieur

ou égal au nombre de point de la TFD (P ≥ N). Si ce n’est pas le cas, on utilise une

technique appelée zero−padding qui consiste a compléter la suite ps(n) avec (N−P ) zéros,

ce qui permet d’obtenir autant de point pour la suite temporelle que le suite fréquentielle.

La transformée de Fourier Inverse, notée ITFD, se calcul grâce à la relation :

ps(n) =N−1∑

n=0

F (k) ej 2πnkN (I.2)

En décomposant l’exponentielle de l’équation I.1, le nombre complexe F (k) peut se mettre

sous la forme :

F (k) =1

N

N−1∑

n=0

ps(n) cos

(2πnk

N

)− j

1

N

N−1∑

n=0

ps(n) sin

(2πnk

N

)(I.3)

I.3 : Méthodes de traitement des signaux 17

Cette équation nous permet ainsi de définir la transformée de Fourier en cosinus, notée

TDF-cos grâce à l’équation suivante :

Fc(k) =1

N

N−1∑

n=0

ps(n) cos

(2πnk

N

)(I.4)

Ainsi que la transformée de Fourier en sinus, notée TFD-sin, calculée avec l’équation :

Fs(k) =1

N

N−1∑

n=0

ps(n) sin

(2πnk

N

)(I.5)

Ces deux transformées permettent d’obtenir des temps de calcul réduits lorsqu’elles sont

implantées dans un algorithme de calcul.

I.3.2 Transformée de Fourier rapide

La transformée de Fourier rapide, notée TFR, est un algorithme de calcul rapide de

la TFD élaborée en 1965 par J. W. Cooley et J. W. Tuckey. L’algorithme de base de

cette transformée utilise un nombre de points N égal à une puissance de 2, ce qui permet

d’obtenir un gain en temps de calcul, par rapport à un calcul avec la TFD, de :

Gain =N

log2(N)(I.6)

Cette transformée de Fourier rapide est très utilisée lorsqu’il est indispensable d’obte-

nir une analyse fréquentielle "en ligne" dans certains processus au travers d’une fenêtre

glissante d’observation.

I.3.3 Périodogramme

I.3.3.1 Périodogramme simple

En considérant une suite de variables aléatoires réelle de longueur quelconque ps(n),

nous pouvons montrer que la densité spectrale de puissance Pps(f) de la suite ps(n), sous

l’hypothèse d’ergodicité, repose sur l’équation [10] :

Pps(f) = lim

N→∞E

1

(2N + 1)

∣∣∣∣∣

N∑

n=−N

ps(n) e−j2πfn

∣∣∣∣∣

2 (I.7)

avec − 12T

≤ f ≤ 12T

et T la période d’échantillonnage. La nécessité d’appliquer l’espé-

rance mathématique E provient du caractère aléatoire des signaux. En pratique, pour un


ensemble de données ps(n) disponibles de n = 0 à N − 1, le calcul de la DSP s’effectue

avec la relation :

Pps(f) =

1

N

∣∣∣∣∣

N−1∑

n=0

ps(n) e−j2πfn

∣∣∣∣∣

2

(I.8)

Cet estimateur est appelé périodogramme. Nous pouvons noter qu’il est proportionnel

au carré de l’amplitude de la TFD de la séquence observée (équation I.1). L’estimation

de la DSP peut être vue comme un filtrage du signal d’entrée par un banc de filtres du

type passe-bande, dont chaque filtre élémentaire possède la réponse fréquentielle H(f)

suivante [11] :

H(f) =sin(Nπ(f − f0))

N sin(π(f − f0))ej(N−1)π(f−f0) (I.9)

Le signal de sortie d’un filtre élémentaire est ensuite échantillonné et son amplitude est

élevée au carré pour déterminer la puissance de sa bande spectrale. La largeur de bande

à −3 dB de ces filtres est d’environ 1N

. Lorsque N tend vers l’infini, la puissance de

sortie du filtre correspond à celle d’une composante spectrale de fréquence f0 du signal

d’entrée. Dans ce cas, l’estimateur est non biaisé, ce qui n’est pas le cas lorsque le nombre

d’échantillons N est connu.

I.3.3.2 Périodogramme modifié

Le fait de se limiter à un nombre d’échantillons N peut être vu comme la multiplication

terme à terme de la totalité du signal par la suite ω(n) = 110,...,N−1(n). On donne à cette

dernière le nom de fenêtre rectangulaire. Ce fenêtrage introduit des ondulations parasites

(noyau de Dirichlet) dans le spectre fréquentiel résultant comme il l’est montré dans [11].

Il est donc très courant d’utiliser des fenêtres dites de pondération pour permettre une

meilleure visualisation des composantes du spectre fréquentiel. En conséquence, l’expres-

sion de la DSP donnée à l’équation I.8 devient :

Pps(f) =

1

N

∣∣∣∣∣

N−1∑

n=0

ω(n) ps(n) e−j2πfn

∣∣∣∣∣

2

(I.10)

Le terme ω(n) rajouté dans l’équation représente l’expression mathématique de la fenêtre

de pondération choisie. Les fenêtres de pondération les plus connues sont la fenêtre de

Hanning, celle de Hamming ou encore celle de Blackmann. Chacune d’elle permet de

choisir le rapport souhaité entre la largeur du lobe principal et l’atténuation de la hauteur

du plus grand lobe secondaire du spectre fréquentiel.


Le périodogramme ou le périodogramme modifié comporte deux caractéristiques im-

portantes : le biais et la variance. Ces deux caractéristiques, décrites ci-après, jouent un

rôle très important dans l’estimation du spectre fréquentiel.

I.3.3.3 Biais et variance du périodogramme

Pour un nombre d’échantillons N limité, nous savons que la largeur de bande d’un

filtre élémentaire est déterminée. Il se produit alors un biais entre la localisation de la

composante sur le spectre et la fréquence réelle de celle-ci. L’espérance mathématique du

périodogramme qui permet de déterminer le biais ou le décalage peut être calculée selon :

E[Pps

(f)]

=

∫ 12

− 12

ωtri(f − g) Pps(f) dg (I.11)

Elle est obtenue par convolution de la DSP réelle avec la transformée de Fourier à temps

discret de la fenêtre triangulaire, notée ωtri dans l’équation précédente. Cette équation

permet de nous rendre compte que le périodogramme est un estimateur biaisé car l’espé-

rance mathématique de Pps(f) n’est pas la vraie DSP.

La variance est la seconde caractéristique importante d’un estimateur spectral. D’après

[12], le calcul de celle du périodogramme, dans le cas particulier d’un bruit blanc gaussien,

conduit à la relation suivante :

var[Pps(f)] ≈ Ppp(f)2

[1 +

(sin(2πNf)

N sin(2πf)

)2]

(I.12)

ce qui nous amène, pour toute fréquence f = kN

, à la relation :

var[Pps(f)] ≈ Ppp(f)2 (I.13)

La variance du périodogramme est alors indépendante du nombre de point N . D’une

autre façon, lorsque le nombre de points N augmente, le biais du périodogramme diminue

mais sa variance reste identique, ce qui donne des spectres relativement bruités. Pour se

prémunir de cette contrainte, il est possible d’utiliser des estimateurs spectraux à variance

réduite.

I.3.4 Estimateurs spectraux à variance réduite

Nous avons vu précédemment que le nombre de points N du signal à analyser n’avait

aucune influence sur la variance du périodogramme. Une solution à ce problème est l’uti-


lisation d’estimateurs spectraux à variance réduite tels que le périodogramme de Bartlett

ou encore le périodogramme de Welch dont nous présentons les caractéristiques ci-après.

I.3.4.1 La méthode de Bartlett

Le signal de taille N est divisé en S sections de M échantillons. On évalue sur chaque

section s l’estimateur spectral par la méthode du périodogramme modifié (équation I.10)

grâce à la relation :

P sps

(f) =1

M

∣∣∣∣∣

M−1∑

n=0

ω(n) ps(n) e−j2πfn

∣∣∣∣∣

2

(I.14)

L’estimation moyennée devient alors :

PBarps

(f) =1

S

S−1∑

s=0

P sps

(f) (I.15)

Dans ce cas, la variance est approximativement égale à celle du périodogramme divisée

par le nombre de sections S. Si, pour un nombre de points N constant, nous augmentons

le nombre de sections S, nous constatons que la variance du périodogramme de Bartlett

diminue. L’utilisation de cette méthode implique une résolution fréquentielle plus faible

par rapport à un calcul avec le périodogramme modifié.

I.3.4.2 La méthode de Welch

La méthode de Welch est un autre type d’estimateur qui exploite le périodogramme

modifié [13]. Elle est basée sur la même idée que la méthode de Bartlett. Cependant, la

différence réside dans le fait que les segments S peuvent se chevaucher dans un rapport

allant généralement de 50% à 75%. Le calcul du périodogramme de chaque section s

s’effectue grâce à la relation mathématique suivante :

P sps

(f) =1

M

∣∣∣∣∣

M−1∑

n=0

ω(n) ps(n + (s − 1) C) e−j2πfn

∣∣∣∣∣

2

(I.16)

avec 1 ≤ s ≤ S, et C le nombre d’échantillons permettant le chevauchement avec C ≤ M .

L’estimateur de Welch se calcule ensuite avec la relation :

PWelps

(f) =1

S

S−1∑

s=0

P sps

(f) (I.17)

En autorisant le recouvrement des séquences, nous pouvons augmenter le nombre de

segments S pour une taille N donnée. Cette solution permet non seulement de réduire la


variance de l’estimateur mais aussi d’augmenter la résolution en fréquence en choisissant

un nombre d’échantillons M plus grand que celui utilisé avec la méthode de Bartlett. Il a

été montré que, si le chevauchement des segments est de 50%, la variance de l’estimateur

de Welch est approximativement égale à 9/16 de la variance de l’estimateur de Bartlett

[14].

Cette méthode est très utilisée de nos jours et beaucoup d’auteurs en ont montré

l’intérêt et l’efficacité [15]. Il existe d’autres estimateurs pour calculer la densité spectrale

de puissance d’un signal. Nous pouvons citer par exemple le corrélogramme qui nécessite

l’estimation de la séquence d’autocorrélation du signal à analyser avant le calcul de la

DSP, ou encore la méthode de Blackman-Tukey, décrite dans [14].

I.3.5 Analyse spectrale en ligne

L’analyse en ligne ("on-line" en anglais) de certains processus devient indispensable

de nos jours. En effet, une détection précoce et surtout rapide de la défaillance permet

ainsi d’éviter au système d’évoluer vers un mode dangereux qui peut être fatal pour

l’installation dans laquelle il fonctionne. Le principal objectif de cette section est de donner

une méthodologie permettant de mettre en œuvre un système de surveillance en ligne basé

sur la transformée de Fourier discrète glissante.

I.3.5.1 Transformée de Fourier glissante

Le principal inconvénient, en ce qui concerne le calcul de la TFD d’un signal, est qu’il

est nécessaire d’avoir les N échantillons pour commencer le traitement des données. Pour

obtenir un calcul rapide il est souvent nécessaire d’utiliser la TFR, ce qui permet de limiter

le nombre de calculs pour obtenir le spectre fréquentiel du signal à analyser. Comme nous

l’avons vu précédemment, ce type de transformée impose un nombre d’échantillons égal

à une puissance de 2, ce qui fixe la précision du tracé à ∆f = Fe

N. Par conséquent, cette

précision dépend en grande partie de la fréquence d’échantillonnage Fe utilisée. Ces deux

inconvénients peuvent être en partie éliminés en utilisant une technique qui se base sur une

approche glissante. Cette méthode "glissante" permet de calculer la TFD à l’arrivée de

chaque échantillon en prenant en compte la transformée précédente. La seule contrainte

de cette technique concerne la durée du calcul qui doit rester inférieure à la période


d’échantillonnage du signal. Cette condition respectée, l’algorithme conduit alors à une

analyse spectrale du signal dite en temps réel.

Nous ne donnerons pas les différentes équations relatives à l’implantation de cette méthode

car beaucoup de travaux ont déjà été effectués sur le sujet [10] [16].

I.3.5.2 Effet zoom en analyse spectrale

L’effet zoom consiste à observer, de manière plus précise et donc plus détaillée, une

partie du spectre initial obtenu avec une fréquence d’échantillonnage Fe et un nombre

de points N fixés. Cette approche ne peut se faire que par une diminution de la pré-

cision en fréquence ∆f = Fe

N. La solution consiste à changer artificiellement la fré-

quence d’échantillonnage pour obtenir une précision inférieure à ∆f . Cette opération de

sous-échantillonnage, appelée "décimation", consiste à prélever un échantillon sur d avec

d = 2, 4, 8, . . . de la série d’origine ps(n) obtenue à la fréquence Fe. Après avoir effectué la

décimation des échantillons, on reconstitue une série de taille N (par exemple, si d = 2,

on utilise les N/2 échantillons précédents), ce qui nous permet d’obtenir une nouvelle

précision en fréquence ∆fd = Fe

d N[10]. Cependant, du fait de la diminution artificielle

de la fréquence d’échantillonnage, la largeur de bande B que l’on obtient est réduite et

s’étend de :

B =

[−Fe

2 d; +

Fe

2 d

]

Par conséquent, il y a donc risque de recouvrement spectral si le signal avant décimation

présente des composantes fréquentielles en dehors de cette bande B. Il est donc impératif

de filtrer le signal avant l’opération de décimation.

Si nous prenons le cas d’un défaut rotorique, nous savons qu’une augmentation de

l’amplitude des composantes situées à des fréquences caractéristiques dans le spectre du

courant statorique révèle la présence d’une ou plusieurs barres cassées. Pour les machines

de forte puissance, ces composantes peuvent être relativement proches de la composante

fondamentale fs des courants statoriques, ce qui rend leur détection difficile avec une ré-

solution fréquentielle non adaptée. Dans ce cas, l’effet zoom devient indispensable lorsque

l’on ne peut agir ni sur la fréquence d’échantillonnage Fe ni sur le nombre de points N .

Son implantation dans l’approche glissante décrite précédemment est relativement simple

comme le montre notamment Abed dans [16].

I.4 : Méthodes de diagnostic actuelles 23

I.4 Méthodes de diagnostic actuellement utilisées pour

détecter les défauts électriques et/ou mécaniques

Afin de mieux situer notre travail, il a été nécessaire de regarder quelles sont les

différentes méthodes de diagnostic actuellement utilisées pour détecter la présence d’une

anomalie au sein d’une machine asynchrone. Comme les chercheurs de part le monde

travaillent sur ce sujet depuis un certain nombre d’années, beaucoup de travaux ont vu

le jour. Dans cette partie, nous avons choisi de décrire les méthodes les plus couramment

rencontrées pour le diagnostic des défauts électriques et/ou mécaniques en précisant leurs

points faibles et leurs points forts.

I.4.1 Analyse temps-fréquence et temps-échelle

La non-stationnarité des signaux est une propriété très courante mais difficile à maîtri-

ser. Si nous prenons le cas d’une machine asynchrone, certaines utilisations obligent cette

dernière à fonctionner sous des couples de charges variant très souvent dans le temps. C’est

pour cette raison que des techniques de traitements temps-fréquence et temps-échelle ont

vu le jour.

I.4.1.1 Analyse temps-fréquence

Le courant du moteur asynchrone peut être assimilé à un signal non-stationnaire dans

certaines applications (variation aléatoire du couple de charge modifiant la valeur efficace

du courant absorbé). De plus, nous savons que les techniques qui utilisent la transformée

de Fourier ne sont pas suffisantes pour représenter ce type de signal. Durant ces dernières

années, l’avancement des méthodes statistiques de surveillance de signaux a fourni des

outils efficaces pour traiter les signaux non-stationnaires. En particulier, les transforma-

tions temps-fréquence donnent un cadre mathématique optimal pour l’analyse des signaux

non-stationnaires [17][18]. Par exemple, la transformation de Wigner-Ville permet d’obte-

nir une représentation temps-fréquence permettant d’effectuer un diagnostic relativement

précis de l’état du système analysé. Cette transformation est une fonction réelle qui définie

une distribution d’énergie dans le plan temps-fréquence. Le temps de calcul d’une telle

représentation peut être prohibitif et l’interprétation de l’image résultante est souvent


difficile, ce qui rend la détection de défaut complexe. C’est pour cette raison qu’en 1999,

une méthode d’analyse temps-fréquence adaptative pour détecter les barres rotoriques

cassées et les défauts de roulements a été proposée. L’idée clé dans cette méthode est de

transformer le courant du moteur en une représentation temps-fréquence pour capturer

la variation dans le temps des composantes spectrales comme nous le montre la figure I.2.

Ensuite, une analyse statistique du spectre fréquentiel est effectuée pour distinguer les

conditions de défaut par rapport aux conditions de fonctionnement normales du moteur.

Puisque chaque moteur a une géométrie distincte, une approche particulière est alors uti-

lisée. Dans cette approche, l’algorithme est programmé pour identifier le fonctionnement

normal du moteur avant la détection réelle du défaut [19].

0

5

10

15

20

25

30

35

60

55

50

45

40

−200

−150

−100

−50

0

Fréquence (Hz)Temps (sec)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

(1 − 2g)fs

(1 + 2g)fs

Fig. I.2 : Représentation temps-fréquence du courant statorique lors d’une variation du

couple de charge (Résultats de simulation avec une barre cassée)

I.4.1.2 Analyse temps-échelle

Ce mode d’analyse est utilisé pour détecter des phénomènes qui se déroulent sur des

échelles de fréquences différentes rencontrées dans un signal. L’idée fondamentale est de

décomposer le signal à l’aide de fonctions analysantes particulières construites à partir

d’une ondelettes mère oscillante et à moyenne nulle [20]. A partir de l’ondelette mère, il

est possible de créer des ondelettes analysantes centrées autour d’une valeur et à échelle

variable limitée.


Une technique de fenêtrage avec une région de taille variable est utilisée pour améliorer

l’analyse du signal, ce signal pouvant être par exemple le courant statorique du moteur

asynchrone. L’analyse par ondelettes permet l’utilisation d’intervalles de temps longs,

pour avoir une information basse fréquence la plus précise possible, et d’intervalles de

temps plus courts, pour avoir une information riche en hautes fréquences. La capacité

d’exécuter l’analyse locale est un des dispositifs les plus intéressants de la transformation

en ondelettes. L’utilisation des ondelettes pour la surveillance des défauts et le diagnostic

des moteurs asynchrones est un avantage car cette technique permet d’améliorer l’analyse

du courant statorique pendant les phases transitoires. Les ondelettes peuvent être utilisées

pour une analyse localisée dans le domaine temps-fréquence ou temps-échelle. C’est par

conséquent un outil adéquat pour la surveillance et le diagnostic de défaut des machines

électriques lorsqu’il est indispensable de les utiliser à vitesse variable [21].

I.4.2 Analyse cepstrale

Le mot "cepstre" a été initialement proposé par Bogert en 1963 [22]. Le cepstre est

un anagramme du mot spectre. La raison de ce choix est que nous obtenons le cepstre

en effectuant une analyse spectrale supplémentaire sur le spectre fréquenciel du signal

observé. En d’autre mots, le cepstre est défini comme étant la puissance spectrale du

logarithme du spectre de la puissance. L’intérêt du cepstre est de pouvoir détecter une

périodicité dans le spectre de fréquence d’un signal et de la transformer en un pic unique

sur l’échelle des quéfrences [23]. Pour être capable de distinguer une périodicité dans un

spectre, il est nécessaire qu’un nombre suffisant de périodicités suffisamment espacées

soit présent dans le spectre. Le cepstre est plus particulièrement utilisé dans les analyses

vibratoires des machines tournantes. Les principales applications concernent la détection

des défauts dans les roulements, les turbines ou encore les engrenages.

I.4.3 Analyse spectrale à haute résolution

Les méthodes, dites à haute résolution (HR) fréquentielle, restent en pratique large-

ment sous employées par rapport aux méthodes plus classiques qui reposent, comme nous

l’avons vu précédemment, sur le calcul de la transformée de Fourier. Les principaux obs-

tacles à l’utilisation plus large des méthodes HR sont essentiellement liés au choix des


paramètres libres (en particulier l’ordre du modèle) et à la dégradation des performances

de ce type de méthodes en présence de signaux complexes (grand nombre de compo-

santes, très proches et d’amplitudes très différentes). Ce type d’analyse est utilisé lorsque

le nombre d’échantillons du signal est relativement faible (nombre de points compris entre

quelques dizaines et quelques centaines). En effet, pour un nombre de points fixé, les mé-

thodes hautes résolutions permettent d’obtenir une meilleure résolution fréquentielle par

rapport à une analyse par transformée de Fourier classique. Notons aussi que les méthodes

à haute résolution requièrent des hypothèses sur la nature du bruit et sur le modèle du

signal.

I.4.4 Diagnostic des défauts par estimation paramétrique

Cette méthode de diagnostic utilise les paramètres structuraux d’un modèle de connais-

sance et extrait par la suite les paramètres du système à partir des lois de connaissance

pour détecter et localiser les défaillances. Le point essentiel dans l’efficacité de cette mé-

thode est le choix du modèle de connaissance. En effet, le type de défaut que l’on voudra

détecter sera fonction du modèle utilisé.

Les premiers travaux relatant de l’estimation de paramètres ont débuté avec des mo-

dèles relativement simples (modèle de Park par exemple [24]) utilisés depuis plusieurs

années pour la commande des machines électriques. Ces modèles n’ont besoin que de

quatre paramètres pour effectuer le diagnostic de défaut ce qui, dans certain cas, ne per-

met pas de localiser avec précision la défaillance. L’étape suivante est donc nécessairement

le passage à un modèle de connaissance plus fin de la machine, tout en gardant la possibi-

lité d’identifier les paramètres souhaités. Ces modèles peuvent être des modèles triphasés,

qui s’affranchissent de l’hypothèse d’une machine magnétiquement équilibrée, ou encore

des modèles à n phases, capables de refléter le fonctionnement de la machine sur une large

bande de fréquences [25].

Des algorithmes spécifiques ont été élaborés pour l’estimation séquentielle de para-

mètres. Le filtre de Kalman apparaît comme le plus adéquat de tous mais aussi le plus

délicat à mettre en œuvre. Tout d’abord, en tant qu’algorithme d’identification en temps

réel, le filtre de Kalman étendu délivre un modèle adaptatif, capable de prendre en compte

les évolutions normales des paramètres de la machine telles que la variation des résistances


(en fonction de la température) ou encore la variation des inductances (en fonction du

niveau de saturation). Par ailleurs, les paramètres estimés, eux-mêmes, permettent une

première analyse des conditions de fonctionnement de la machine. Par exemple, une aug-

mentation anormale de la valeur des résistances statoriques peut signifier un échauffement

excessif et donc une dégradation progressive des enroulements.

I.4.5 Diagnostic des défauts par reconnaissance des formes

Les méthodes de diagnostic qui utilisent la reconnaissance des formes sont peu nom-

breuses à ce jour. Un vecteur de paramètres, appelé vecteur de forme, est extrait à partir

de plusieurs mesures. Les règles de décisions adoptées permettent de classer les observa-

tions, décrites par le vecteur de forme, par rapport aux différents modes de fonctionnement

connus avec et sans défaut.

Pour classer ces observations, il faut obligatoirement être en mesure de fournir les

données pour tel ou tel mode de fonctionnement (fonctionnement avec un rotor sain

à 0% de charge ou alors fonctionnement avec une barre cassée à 100% de charge par

exemple). Pour cela, il faut disposer d’une base de données, ce qui permettra ensuite de

construire la classe correspondante au défaut créé (possible pour les machines de petites

et moyennes puissances). Une autre voie consisterait à calculer les paramètres du vecteur

de forme en effectuant des simulations numériques de la machine étudiée (indispensable

pour les moteurs de fortes puissances). Dans la dernière configuration, il faut un modèle

comportemental de la machine relativement précis pour obtenir des paramètres les plus

proches possibles de la réalité. Le choix de la classe à laquelle appartient le vecteur de

forme mesuré s’effectue par exemple grâce à des algorithmes de type k-PPV (k plus proches

voisins) ou par une approche utilisant les frontières de séparation [26].

I.4.6 Diagnostic des défauts par analyse du vecteur de Park

Une représentation en deux dimensions peut être utilisée pour décrire le phénomène

des moteurs asynchrones triphasés. Une des plus connues et des plus appropriées repose

sur le calcul des courants dits de Park [27]. En fonction des courants de phase isa(t), isb(t)

et isc(t), les courants de Park id(t) et iq(t) peuvent être calculés grâce aux deux relations


suivantes [28] :

id(t) =

√2

3isa(t) −

1√6

isb(t) −1√6

isc(t) (I.18)

iq(t) =1√2

isb(t) −1√2

isc(t) (I.19)

Nous représentons sur les figures I.3(a) et I.3(b) le tracé du courant id(t) en fonction

du courant iq(t) pour un fonctionnement de la machine avec un rotor sain et un rotor

défaillant (une barre cassée). Nous apercevons que le défaut rotorique induit un épaissis-

sement du contour du cercle, ce qui permet d’établir un diagnostic de défaut en effectuant

une surveillance des déviations de ce cercle par rapport au modèle de base.

Cette méthode de détection donne des résultats satisfaisants lorsque la machine fonc-

tionne à son couple nominal. Dans le cas d’un fonctionnement à vide, les courbes obtenues

ne permettent pas de diagnostiquer un défaut rotorique car l’épaississement créé par la

rupture d’une ou plusieurs barres ne modifie quasiment pas l’épaisseur du cercle de base.

En 1998, une nouvelle implantation de l’approche par vecteur de Park a été proposée

[29]. En présence d’une barre cassée, le courant absorbé par le moteur asynchrone contient

des composantes latérales de part et d’autre de sa composante fondamentale dont les fré-

quences sont données par la relation (1 ± 2 k g)fs (dans cette relation, g représente le

glissement de la machine et fs la fréquence fondamentale des courants statoriques). Ces

composantes seront, par conséquent, aussi présentes dans les courants de Park id(t) et iq(t)

(équations I.18 et I.19). Dans ces conditions, il est très simple de montrer que le spectre

du module des courants de Park (√

id(t)2 + iq(t)2) contient une composante continue gé-

nérée par la composante fondamentale du courant statorique plus des composantes de

fréquence 2 k gfs. De cette façon, le spectre des courants de Park, en éliminant préalable-

ment la composante continue, ne contiendra que les composantes spécifiques au défaut de

la machine. Il sera alors plus facile de détecter ces composantes et de diagnostiquer la pré-

sence d’un défaut rotorique. La figure I.4(a) montre qu’en absence de défaut, le spectre

du module du vecteur de Park est caractérisé par l’absence de composantes spectrales

significatives. En revanche, l’analyse du spectre fréquentiel de ce vecteur lorsque la cage

d’écureuil est défaillante (figure I.4(b)) montre la présence des composantes spécifiques

au défaut rotorique aux fréquences 2 k gfs.


−15 −10 −5 0 5 10 15−15

−10

−5

0

5

10

15

Courant id (A)

Cou

rant

iq (

A)

(a) Rotor sain

−15 −10 −5 0 5 10 15−15

−10

−5

0

5

10

15

Courant id (A)C

oura

nt iq

(A

)

(b) Rotor avec une barre cassée

Fig. I.3 : Vecteur de Park des courants statoriques pour 100% de charge avec une

alimentation non sinusoïdale (Résultats expérimentaux)

0 5 10 15 20−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

2gfs

4gfs

(a) Rotor sain

0 5 10 15 20−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

2gfs 4gfs


Fig. I.4 : Spectre fréquentiel du module du vecteur de Park des courants statoriques

pour 100% de charge (Résultats expérimentaux)


I.4.7 Diagnostic des défauts par le suivi des grandeurs mesurables

A ce jour, c’est l’analyse fréquentielle des grandeurs mesurables qui est le plus souvent

utilisée pour le diagnostic de défaut rotorique. Les grandeurs accessibles et mesurables

d’une machine asynchrone peuvent être :

– les courants absorbés ;

– le flux de dispersion ;

– la tension d’alimentation ;

– la tension de neutre (neutre alimentation - neutre machine) ;

– le couple électromagnétique ;

– la vitesse rotorique ;

– les vibrations.

Beaucoup de travaux ont été effectués sur les vibrations de la machine asynchrone. La

plupart des défauts connus peuvent être détectés avec ce type d’approche. Cependant,

l’équipement nécessaire pour l’acquisition des signaux reste encore coûteux.

I.4.7.1 Analyse fréquentielle des courants statoriques et du flux de dispersion

L’analyse des courants statoriques dans le domaine fréquentiel reste la méthode la plus

couramment utilisée car le spectre résultant contient une source de renseignement sur la

majorité des défauts électriques et magnétiques pouvant apparaître au sein d’une machine

asynchrone.

Nous savons que le suivi de l’amplitude des composantes caractéristiques de fréquence

(1 ± 2 k g)fs dans le spectre du courant permet de se renseigner sur l’état de la cage ro-

torique. A titre d’exemple, nous présentons sur les figures I.5(a) et I.5(b) le spectre du

courant statorique lorsque la machine fonctionne avec un rotor sain et un rotor défaillant

(une barre cassée). Nous apercevons une nette augmentation de l’amplitude de ces com-

posantes, ce qui traduit la présence d’un défaut au sein de la cage d’écureuil. Certains

auteurs se sont penchés sur l’analyse du flux de dispersion de la machine asynchrone pour

la détection des courts-circuits entre spires statoriques. Ils ont montré que l’apparition de

ce type de défaut induisait des composantes additionnelles dans le spectre fréquentiel du

flux de dispersion [30]. Cette nouvelle approche permet de détecter, tant un défaut stato-

rique, qu’un défaut rotorique en utilisant un capteur de flux relativement peu coûteux.


0 20 40 60 80 100−110

−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

(1 − 2 k g )fs

(1 + 2 k g )fs

(a) Rotor sain

0 20 40 60 80 100−110

−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

(1 − 2 k g )fs(1 + 2 k g )fs


Fig. I.5 : Spectre du courant statorique (Résultats expérimentaux)

I.4.7.2 Analyse fréquentielle du couple électromagnétique et de la vitesse

rotorique

Lorsqu’une rupture de barre apparaît, les spectres fréquentiels de la vitesse rotorique

et du couple électromagnétique laissent paraître des composantes supplémentaires situées

aux fréquences 2 k g fs. Cependant, il s’est avéré que l’analyse de ces composantes ne nous

renseigne pas aussi bien sur le défaut rotorique que celles présentes dans le spectre du cou-

rant statorique (augmentation des amplitudes moins significative). De plus, l’acquisition

de ces deux signaux nécessite un équipement assez coûteux par rapport à un simple cap-

teur de courant, ce qui limite leur utilisation pour le diagnostic de défauts des machines

asynchrones. Certains systèmes reconstruisent une image du couple électromagnétique à

partir des tensions et des courants mesurés sur la machine, mais cette approche reste

moins efficace que les méthodes précédemment citées.

I.4.7.3 Analyse fréquentielle de la tension de neutre

En 1998, Cash a utilisé la tension présente entre le neutre de la source d’alimentation

et le neutre de la machine asynchrone1 pour détecter des courts-circuits entre spires dans

le bobinage statorique [31]. Une analyse similaire a été effectuée par nos soins dans le but

de détecter un défaut rotorique dans les machines asynchrones [32] [33].

Nous avons montré que l’information donnée par la tension présente entre les deux

neutres était pertinente pour le diagnostic des défauts rotoriques. Cette technique a tout

1à condition que la machine soit couplée en étoile sur l’alimentation


d’abord été testée sur différents essais de simulation pour être ensuite validée sur des

essais expérimentaux. L’information la plus significative pour permettre un diagnostic

fiable de la cage rotorique se situe au niveau des composantes harmoniques de fréquence

f±bt = [3 (1−g)±g]fs. Nous présentons sur les figures I.6(a) et I.4(b) le spectre fréquentiel

de cette tension lorsque la machine asynchrone fonctionne avec une cage saine et une cage

présentant une barre cassée (essais effectués à charge nominale).

100 120 140 160 180 200−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

f−bt

f+bt

(a) Rotor sain

100 120 140 160 180 200−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

f−bt

f+bt


Fig. I.6 : Spectre de la tension de neutre (Résultats expérimentaux)

Nous avons remarqué, à partir des essais expérimentaux, que l’augmentation de l’am-

plitude de ces composantes est plus significative que celle présente à la fréquence (1−2 g)fs

dans le spectre fréquentiel du courant statorique lorsque le défaut rotorique apparaît. De

plus, l’acquisition de ce signal reste aussi simple que le courant statorique. Cependant, il

est préférable que le neutre de la source d’alimentation ne doit pas être trop éloigné de

celui de la machine.

I.4.7.4 Analyse fréquentielle de la puissance instantanée

La quantité d’information donnée par la puissance instantanée d’une phase, qui n’est

autre que le produit de la tension d’alimentation et du courant absorbé par le moteur, est

plus importante que l’analyse du courant seul [34] [35]. En effet, en plus de la composante

fondamentale et des deux composantes latérales, le spectre de la puissance instantanée

contient une composante additionnelle située à la fréquence de défaut comme le montre


la relation suivante :

ps(t) = ps0(t) +mVLLIL

2

[cos((2 ωs − ωf ) t − ϕ − π

6

)(I.20)

+ cos((2 ωs + ωf ) t − ϕ − π

6

)+ 2 cos

(ϕ +

π

6

)cos(ωf t)

]

avec

ps0(t) = VLL ILL

[cos(2 ωs t − ϕ − π

6

)+ cos

(ϕ +

π

6

)](I.21)

Dans cette expression, ps(t) représente la puissance instantanée d’une phase statorique,

m l’indice de modulation, VLL la valeur RMS de la tension entre phase, IL le courant de

ligne et ωf la pulsation d’oscillation (pulsation de défaut) exprimée en radians. Les termes

ωs et ϕ représentent respectivement la pulsation des courants d’alimentation exprimée en

radians et l’angle de déphasage entre le courant absorbé par le moteur et la tension.

Les figures I.7(a) et I.7(b) montrent clairement la présence de ces composantes basses

fréquences lorsque la cage de la machine présente une défaillance (essais effectuées à charge

nominale). Le fait de retrouver ces composantes dans une bande fréquentielle bornée faci-

lite leur détection et permet donc d’améliorer le diagnostic de défaut. Cette représentation

rappelle celle obtenue avec l’analyse fréquentielle du module du vecteur de Park mais la

différence, avec l’analyse de la puissance, réside dans le fait que seule l’acquisition d’un

courant et d’une tension est nécessaire. Ce type de signal est aussi utilisé pour détecter

les défauts d’origine mécanique (variation du couple de charge par exemple) ou encore les

courts-circuits entre spires statoriques [36] [37] [38].

0 5 10 15 20 25 30−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

2gfs

4gfs

6gfs

8gfs

(a) Rotor sain

0 5 10 15 20 25 30−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

2gfs

4gfs

6gfs

8gfs


Fig. I.7 : Spectre de la puissance instantanée (Résultats expérimentaux)


I.4.8 Technique additionnelle

Récemment, une technique intéressante a été proposée par J. Milimonfared pour la

détection de barres cassées dans les moteurs asynchrones [39]. Cette technique est basée

sur un test d’ouverture de phase lorsque la machine asynchrone fonctionne à vide. Au

moment où les trois phases statoriques de la machine sont déconnectées de l’alimenta-

tion, nous savons que les courants rotoriques induisent des tensions dans les bobinages

statoriques. Lorsque le rotor de la machine est sain, la force magnétomotrice produite

par les courants des barres rotoriques après la déconnexion de la source d’alimentation

est à prédominance sinusoïdale. Par conséquent, les tensions générées dans les bobinages

statoriques ne contiennent pas ou peu d’harmoniques significatifs, mise à part l’harmo-

nique fondamental ou encore les harmoniques créés par l’encochage rotorique. Si la cage

d’écureuil présente une ou plusieurs barres cassées, la tension induite dans les bobinages

statoriques n’est plus sinusoïdale ce qui provoque l’apparition de composantes harmo-

niques supplémentaires spécifiques au défaut rotorique.

Nous donnons aux figures I.8(a) et I.8(b) les spectres fréquentiels de la tension compo-

sée Uab présente aux bornes de la machine lors d’une déconnexion de la source d’alimen-

tation. Comme prévu par les auteurs, nous avons une augmentation de l’amplitude des

0 200 400 600 800 1000−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

(a) Rotor sain

0 200 400 600 800 1000−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)


Fig. I.8 : Spectre de la tension composée Uab après déconnexion de la source d’alimen-

tation (Résultats expérimentaux)

composantes harmoniques de rang (6 m ± 1) (m = 0, 1, 2 . . .) lorsque la cage rotorique

présente une défaillance. La quantification du défaut reste cependant difficile étant donné

que le spectre de la tension composée obtenue pour un rotor sain présente des composantes


harmoniques de fréquences identiques.

Cependant, la technique proposée est intéressante puisqu’elle se dégage des perturba-

tions (harmoniques de temps) et des déséquilibres générés par la source d’alimentation.

De plus, cette méthode requiert peu de points pour le calcul de la transformée de Fourier

car il ne faut prendre que les premières périodes de la tension composée pour considérer

le signal comme étant stationnaire.

Le principal inconvénient est l’impossibilité d’utiliser cette méthode sur des machines

faisant partie intégrante d’un système de production. Cette technique peut cependant être

intéressante pour le diagnostic des défauts rotoriques dans une entreprise de fabrication

de machines électriques (diagnostic de la machine en sortie de chaîne de production par

exemple). La détection d’un défaut naissant avec cette technique reste, à l’heure actuelle,

encore difficile.

Conclusion

Nous avons montré que les principaux éléments de constitution d’un machine asyn-

chrone triphasée peuvent présenter des défaillances qui induisent, pour la plupart d’entre

elles, un arrêt intempestif de la machine asynchrone. C’est pour pallier ce problème que

le diagnostic de défaut a pris une importance de plus en plus grandissante dans les mi-

lieux industriels. Cet essor a fait naître des techniques de diagnostic dans le but de se

prémunir de ces arrêts imprévisibles. Nous avons vu que la détection d’un défaut, qu’il

soit mécanique ou électrique, s’effectue majoritairement par la surveillance de l’amplitude

de composantes spécifiques dans le spectre fréquentiel d’une grandeur mesurable. C’est

pour cette raison que nous avons présenté quelques estimateurs classiques de la densité

spectrale de puissance d’un signal temporel.

Dans la continuité de la présentation, nous avons abordé les méthodes de détection

existantes en discutant de leurs atouts et de leurs faiblesses. Dans la majorité des cas étu-

diés, les techniques conventionnelles de diagnostic, qui utilisent la transformée de Fourier

rapide, suffisent. Cependant, il s’avère que lorsque le signal à analyser est non-stationnaire,

les transformations temps-fréquence et temps-échelle fournissent un outil plus adapté pour

la détection et le diagnostic de défauts. En effet, ces techniques montrent quelques avan-


tages dans des applications particulières où la vitesse rotorique change rapidement.

Objectif de la thèse

Nous avons constaté que la majorité des méthodes utilisées pour le diagnostic des

défauts de la machine asynchrone ne permettent pas de détecter un défaut naissant. Par

exemple, la détection d’une barre partiellement cassée reste quasiment impossible à ce

jour. De plus, il s’est avéré que les méthodes de diagnostic basées sur la surveillance

des composantes du spectre fréquentiel des grandeurs temporelles de la machine utilisent

toujours une référence, référence obtenue en analysant le spectre fréquentiel du moteur

sain, pour diagnostiquer la présence d’un défaut. En complément de ces remarques, nous

trouvons peu de travaux consacrés au diagnostic de la machine asynchrone lorsque celle-

ci est alimentée par un convertisseur statique. Ceci est paradoxal car les applications

industrielles utilisent de plus en plus de systèmes où les machines asynchrones fonctionnent

à vitesse variable. C’est donc dans ce sens que nous avons donc décidé d’orienter notre

travail.

Comme la détection d’un défaut rotorique au sein des machines asynchrones a déjà

fait l’objet de plusieurs études au sein du laboratoire, il a été décidé de poursuivre dans

cette voie [40] [41]. L’objectif fixé en début de thèse consistait à étudier les différents

phénomènes qui apparaissent au niveau des grandeurs temporelles de la machine lorsque

la cage rotorique présente un défaut de type rupture d’une ou plusieurs barres. Pour ce

faire, le développement d’un modèle de machine le plus fidèle possible a du être envisagé

(sa description fait l’objet du chapitre suivant). Après avoir analysé ces grandeurs dans le

domaine fréquentiel et déterminé les composantes créées par ce type de défaut, nous avons

porté notre attention sur l’élaboration de méthodes de diagnostic permettant la détection

d’un défaut rotorique naissant (une barre partiellement cassée) et d’un défaut rotorique

établi (une barre complètement cassée) lorsque la machine asynchrone est alimentée par

le réseau triphasé ou par un convertisseur statique.

Chapitre II

Modélisation de la machine asynchrone

Introduction

Il y a quelques années, les programmes de simulation faisaient intervenir la transfor-

mation de Clarke ou celle de Park pour pouvoir effectuer une simulation de la machine

asynchrone dans un temps relativement court [16] [42]. A ce jour, grâce à l’évolution des

technologies informatiques et des processeurs en particulier, nous pouvons nous passer de

ces transformations, ce qui permet, dans le cas de la machine asynchrone à cage d’écureuil,

de calculer tous les courants de barres rotoriques et d’anneaux de court-circuit.

Ce chapitre présente un modèle de la machine asynchrone à cage d’écureuil dont la

particularité est de n’introduire aucune transformation. Dans un premier temps nous dis-

cutons des méthodes couramment utilisées pour modéliser ce type de machine électrique.

Nous introduisons ensuite les outils nécessaires à la résolution du modèle choisi. Nous

montrerons que ce modèle est composé essentiellement de résistances et d’inductances,

ce qui nous amènera à présenter les méthodologies existantes pour déterminer la valeur

de ces paramètres. Des résultats de simulation, dans le cas d’un fonctionnement sain et

défaillant de la machine, seront présentés ainsi qu’une analyse harmonique des grandeurs

temporelles telles que le couple électromagnétique ou le courant statorique.

38 Chapitre II : Modélisation de la machine asynchrone

II.1 Méthodes de modélisation

A ce jour, les modèles qui décrivent le fonctionnement de la machine asynchrone à

cage d’écureuil peuvent être décomposés en deux parties bien distinctes :

– les modèles dits "physiques" ;

– les modèles dits "comportementaux".

En ce qui concerne les modèles physiques, ce sont les lois régissant l’électromagnétisme

qui sont utilisées pour décrire le fonctionnement de la machine asynchrone. Ces modèles

sont divers et peuvent varier en complexité et/ou en précision selon la méthode de mo-

délisation utilisée [43]. Nous ne les citerons pas tous mais nous pouvons énoncer les plus

populaires dont ceux basés sur :

– la méthode des éléments finis ;

– la méthode des réseaux de perméance ;

– la méthode des circuits électriques magnétiquement couplés.

Les modèles comportementaux, quant à eux, reprennent les modèles physiques en

y incluant des paramètres supplémentaires. Ces paramètres permettent la détection, et

pour certains d’entre eux, la localisation du défaut observé. Nous introduisons alors une

description exhaustive de ces différentes méthodes de modélisation pour permettre une

compréhension adéquate des problèmes propres à chacune d’entre elles.

II.1.1 Méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis est une approche qui requiert un temps de calcul impor-

tant. Le circuit magnétique de la machine est découpé en plusieurs éléments de dimension

faible pour permettre de considérer le matériau magnétique linéaire sur les surfaces corres-

pondantes. L’utilisation des équations de Maxwell, à partir des formes locales, permet de

résoudre le problème. La résolution analytique correspondante est complexe et ne permet

de traiter le phénomène de saturation que de façon approchée [4]. De nombreux logiciels

ont vu le jour pour permettre d’aborder cette approche difficile. Nous pouvons citer Flux

2D, Flux 3D ou encore Maxwell. Le but principal de ces logiciels est, rappelons le, de

déterminer la cartographie du champ magnétique présents dans les machines électriques

dans l’objectif d’optimiser le dimensionnement de ces dernières.

II.1 : Méthodes de modélisation 39

II.1.2 Méthode des réseaux de perméance

La méthode des réseaux de perméance est basée sur la décomposition en tubes de flux

élémentaires du circuit magnétique de la machine asynchrone. Chaque tube ainsi obtenu

est caractérisé par sa perméance suivant qu’il se trouve dans le fer ou dans l’air. A partir

de cette décomposition, on construit un réseau dit de perméance. Ces réseaux peuvent

être assimilés à un circuit électrique habituel à la différence près que ce sont les flux et

les différences de potentiels magnétiques qui entrent en jeu à la place des courants et

des différences de potentiels électriques. Cette approche permet de prendre en compte les

caractéristiques du fer utilisé pour la construction de la machine asynchrone. En effet,

le calcul des différentes perméances ne peut se faire qu’en fixant une valeur précise pour

la perméabilité relative du fer µr. Le mouvement de rotation de la machine est pris en

compte par l’intermédiaire de perméances d’entrefer variables selon la position du rotor

de la machine.

II.1.3 Méthode des circuits électriques magnétiquement couplés

Les inductances propres et mutuelles entre le stator et le rotor de la machine prennent

une place importante dans cette méthode de modélisation car elles contiennent la signa-

ture des différents phénomènes pouvant apparaître au sein de la machine asynchrone. Une

modélisation précise de ces inductances mènera à un apport d’informations supplémen-

taires sur les signaux tels que le courant statorique ou encore la vitesse rotorique. Cette

approche offre un bon compromis en terme de précision du modèle et de temps de cal-

cul. De plus, ce type de modélisation permet de prendre en compte un certain nombre

de défauts d’origine électromagnétique tels que les défauts de court-circuit entre spires

statoriques, les défauts de type rupture de barre rotorique et/ou de portion d’anneau de

court-circuit. Nous pouvons aussi intégrer à ce type de modèle les défauts d’excentricité

statique et dynamique.


II.2 Modèle de la machine en absence de défaillance

Dans notre étude, nous utiliserons la méthode des circuits électriques magnétiquement

couplés pour simuler le fonctionnement de la machine asynchrone. Les travaux déjà effec-

tués au sein de notre équipe depuis 1996 et les facilités apportées par cette approche pour

étudier les défauts magnétiques nous ont semblé être les plus adéquates pour analyser

l’influence d’une rupture de barre sur le fonctionnement de la machine asynchrone. Dans

cette méthode, les inductances peuvent être calculées soit en utilisant les fonctions de

bobinage comme l’ont fait les laboratoires du GREAH et du LEII, en sachant que cela

impose une connaissance précise de la forme du bobinage de la machine [44] [45] [46],

soit en utilisant une décomposition en séries de Fourier de l’induction d’entrefer de la

machine [47]. Cette dernière approche nous a semblé la plus adéquate étant donné que

nous n’avons pas les informations nécessaires pour calculer les inductances de la machine

par la méthode des fonctions de bobinage. En effet, le calcul de ces inductances par une

décomposition en séries de Fourier ne nécessite pas de connaissance précise du bobinage

de la machine car les termes relatifs à l’étalement, au raccourcissement, à l’inclinaison du

bobinage sont intégrés au calcul des inductances à travers des coefficients spécifiques. Ce

type de modélisation permet donc de prendre en compte les harmoniques des inductances

souhaités (simulation possible au fondamental de l’induction ou avec les harmoniques

d’espace les plus importants).

Tout type de modélisation ne peut se faire sans effectuer quelques hypothèses qui font

l’objet de la suite de cette partie. Nous développerons ensuite les équations des circuits

électriques statoriques et rotoriques pour permettre la résolution numérique du modèle

proposé.

II.2.1 Hypothèses de départ

Le premier objectif de cette modélisation est de mettre en évidence l’influence des

défauts électriques sur les grandeurs temporelles de la machine asynchrone (courants,

vitesse, couple, ...). Pour ce faire, il est indispensable de poser certaines hypothèses qui

ont pour but de faciliter la mise en équations des circuits électriques de la machine.

Cependant, étant donné que le modèle de la machine asynchrone à cage est développé en

II.2 : Modèle de la machine en absence de défaillance 41

vue de la surveillance et du diagnostic, il faut imposer un minimum d’hypothèses si nous

voulons que le vecteur de sortie (grandeurs temporelles) soit le plus exploitable possible.

Dans l’approche proposée, nous avons supposé la linéarité du circuit magnétique (per-

méabilité relative du fer très grande devant 1). Cette hypothèse nous a permis d’introduire

le concept d’inductance propre et mutuelle entre les bobinages statoriques et rotoriques.

L’effet de peau, dans cette approche, a été négligé. Nous avons supposé que les barres roto-

riques étaient isolées les unes des autres ce qui permet d’éliminer les courants inter-barres

et leurs effets au sein même de la cage rotorique. De plus, les pertes fer de la machine, les

effets capacitifs et les effets thermiques ont été négligés dans la construction du modèle

de la machine asynchrone à cage d’écureuil.

Le modèle exposé prend en compte les harmoniques d’espace du bobinage statorique

les plus importants ainsi que l’inclinaison des barres rotoriques. Les harmoniques de temps

créés par un réseau d’alimentation triphasé ou par un convertisseur statique ont été in-

corporés dans la modélisation de l’alimentation de la machine asynchrone.

II.2.2 Structure du stator

Le stator de la machine étudiée est un stator triphasé de m encoches statoriques. Une

phase statorique est composée de plusieurs bobines logées dans les encoches du stator.

Ces bobines statoriques sont placées de sorte à obtenir une distribution de la force ma-

gnétomotrice la plus sinusoïdale possible le long de l’entrefer. La figure II.1 donne une

représentation de la modélisation choisie pour les trois phases statoriques de la machine

PSfrag replacements

Rla

Lla

Rlb

Llb

Rlc

Llc

esa

esb

esc

υsaυsb

υsc

Js1

Js2

Js3

RsaRsb

Rsc

LsaLsb

Lscilailbilc

isaisb

isc

Fig. II.1 : Circuits électriques adoptés pour la modélisation des trois phases statoriques


asynchrone. La valeur des inductances est fonction du nombre de bobines ainsi que du

type de bobinage mis en place dans les encoches statoriques (concentrique, imbriqué, ...),

celle des résistances dépend essentiellement de la longueur, de la section et du type de

cuivre utilisé.

II.2.3 Structure du rotor

La cage d’écureuil de la machine se compose de Nr encoches rotoriques qui peuvent

être soit ouvertes soit fermées sur l’entrefer. La cage rotorique peut se décomposer en

(Nr + 1) circuits électriques rotoriques indépendants. En effet, si nous considérons deux

barres rotoriques adjacentes ainsi que les segments d’anneau de court-circuit les reliant,

nous obtenons une boucle rotorique fermée qui peut être étudiée sous forme de circuit

électrique. Un des anneaux de court-circuit crée par conséquent une boucle supplémentaire

ce qui porte le nombre de boucle totale à (Nr+1). Nous associons à chacune de ces boucles

un courant, ce qui nous amène à calculer (Nr + 1) courants rotoriques. Chaque barre

rotorique est modélisée par une inductance en série avec une résistance, tout comme

chaque segment d’anneau de court-circuit [48]. La figure II.2 nous donne la forme des

circuits électriques adoptée pour la modélisation de la cage d’écureuil rotorique. Pour

permettre une compréhension adéquate du modèle de la cage d’écureuil de la machine,

on nomme :

– Rrbkla résistance d’une barre rotorique k ;

– Lrbkl’inductance de fuite d’une barre rotorique k ;

– Rextak

la résistance du segment d’anneau de court-circuit extérieur k ;

– Lextak

l’inductance de fuite du segment d’anneau de court-circuit extérieur k ;

– Rintak

la résistance du segment d’anneau de court-circuit intérieur k ;

– Lintak

l’inductance du segment d’anneau de court-circuit intérieur k ;

– irbkle courant circulant dans la barre rotorique k ;

– iintak

le courant dans le segment d’anneau de court-circuit intérieur k ;

– iextak

le courant dans le segment d’anneau de court-circuit extérieur k ;

– jrkle courant circulant dans la boucle rotorique k ;

– jrccle courant circulant dans l’anneau de court-circuit intérieur.


PSfrag replacements

jrcc

Rint

a2

Lint

a2

Rint

a1

Lint

a1

Rint

aNr

Lint

aNr

Rint

ak-1

Lint

ak-1

Rint

ak

Lint

ak

Rint

ak+1

Lint

ak+1

Rint

ak+2

Lint

ak+2

Rext

ak-1

Lext

ak-1

Rext

ak

Lext

ak

Rext

ak+1

Lext

ak+1

Rext

ak+2

Lext

ak+2

Rext

a2

Lext

a2

Rext

a1

Lext

a1

Rext

aNr

Lext

aNr

jrk-1

jrk

jrk+1

jrk+2

jr2

jr1

jrNr

jrk-1

Rrb2

Lrb2

Rrb1Lrb1

RrbNr

LrbNrRrbNr-1

LrbNr-1

Rrbk-2

Lrbk-2

Rrbk-1

Lrbk-1

RrbkLrbk

Rrbk+1

Lrbk+1Rrbk+2

Lrbk+2

i int

ak-1

i int

ak

i int

ak+1

i int

ak+2

i int

a2

i int

a1

i int

aNr

i ext

ak-1

i ext

ak

i ext

ak+1

i ext

ak+2

i ext

a2

i ext

a1

i ext

aNr

irbk-2

irbk-1

irbk

irbk+1

irbk+2

irb2

irb1

irbNr

irbNr-1

Fig. II.2 : Circuits électriques adoptés pour la modélisation de la cage rotorique


II.2.4 Equations différentielles associées

II.2.4.1 Equations différentielles du stator

Ces équations différentielles vont nous permettre d’associer le vecteur tension, le vec-

teur courant ainsi que le vecteur flux pour les trois phases statoriques sa, sb et sc. En

appliquant la loi d’Ohm sur les trois phases statoriques, nous obtenons :

[Vs] = [Rs] [Is] +d [Φs]

dt(II.1)

où [Vs] représente le vecteur tension, [Is] le vecteur courant, [Φs] le vecteur flux tel que :

[Vs] =

vsa

vsb

vsc

[Is] =

isa

isb

isc

[Φs] =

φsa

φsb

φsc

(II.2)

La matrice des résistances [Rs], où sont regroupées les résistances de chacune des phases

statoriques, se met sous la forme suivante :

[Rs] =

Rsa0 0

0 Rsb0

0 0 Rsc

(II.3)

Les trois phases statoriques sont non seulement magnétiquement couplées entre elles mais

également avec les circuit électriques rotoriques. Par conséquent, les courants de boucles

rotoriques notés ici [Jr] interviennent dans les équations des trois flux statoriques comme

le montre l’équation ci dessous :

[Φs] = [Ls] [Is] + [Msr] [Jr] (II.4)

La matrice inductance [Ls] se compose des inductances propres, de magnétisation, de

fuites et mutuelles des trois phases statoriques. Elle peut se mettre sous la forme :

[Ls] =

LsasaMsasb

Msasc

MsbsaLsbsb

Msbsc

MscsaMscsb

Lscsc

où

Lsasa= Lmsasa

+ Lfsasa

Lsbsb= Lmsbsb

+ Lfsbsb

Lscsc= Lmscsc

+ Lfscsc

(II.5)


La matrice des inductances mutuelles [Msr] entre les trois phases statoriques et les (Nr+1)

boucles rotoriques se met sous la forme matricielle suivante :

[Msr] =

Msar1 Msar2 · · · Msark· · · MsarNr

Msarcc

Msbr1 Msbr2 · · · Msbrk· · · MsbrNr

Msbrcc

Mscr1 Mscr2 · · · Mscrk· · · MscrNr

Mscrcc

(II.6)

Le vecteur [Jr] regroupe les (Nr + 1) courants de boucles rotoriques :

[Jr] =[

jr1 jr2 . . . jrk. . . jrNr

jrcc

]T(II.7)

Les équations des trois phases statoriques de la machine étant maintenant décrites, les

équations associées aux circuits électriques de la cage rotorique sont maintenant abordées.

II.2.4.2 Equations différentielles du rotor

Tout comme pour les équations du stator de la machine asynchrone, les équations

natives des circuits électriques rotoriques peuvent se mettre sous une forme matricielle.

Nous relions les tensions de chacune des boucles rotoriques avec les courants et les flux

grâce à l’équation :

[Vr] = [Rr] [Jr] +d [Φr]

dt(II.8)

Le vecteur [Φr], donné dans l’équation précédente, se décompose de la façon suivante :

[Φr] =[

φr1 φr2 . . . φrk. . . φrNr

φrcc

]T(II.9)

Nous devons noter que dans le cas particulier de la machine asynchrone à cage d’écureuil,

le vecteur tension [Vr] est nul.

Les résistances des (Nr + 1) boucles rotoriques sont regroupées dans la matrice [Rr] qui

est décrite à l’équation II.11. Les boucles rotoriques étant magnétiquement couplées aux

phases statoriques, le vecteur flux [Φr] dépend non seulement des courants de boucles

rotoriques mais aussi des courants de chacune des phases statoriques si bien que :

[Φr] = [Lr] [Jr] + [Mrs] [Is] (II.10)

où la matrice inductance [Lr], décrite à l’équation II.12, se compose des inductances

propres, de magnétisation, de fuite et mutuelles de chaque boucle rotorique. La matrice


[Rr]=

Rrt1

−R

rb1

0···

0···

0···

0−

Rr

bN

r−

Rin

ta1

−R

rb1

Rrt2

−R

rb2

···0

···0

···0

0−

Rin

ta2

......

......

......

......

......

...

00

0···

−R

rbk−

1R

rtk

−R

rbk

···0

0−

Rin

ta

k

......

......

......

......

......

...

−R

rbN

r0

0···

00

0···

−R

rbN

r−

1R

rtN

r−

Rin

ta

Nr

−R

int

a1

−R

int

a2

−R

int

a3

···−

Rin

ta

k−

1−

Rin

ta

k−

Rin

ta

k+

1···

−R

int

aN

r−

1−

Rin

ta

Nr

Nr

k=

1R

int

ak

avec

Rrt1

=R

rbN

r+

Rr

b1

+R

int

a1

+R

ex

ta1

......

...

Rrtk

=R

rbk−

1+

Rr

bk

+R

int

ak

+R

ex

ta

k

......

...

RrtN

r=

Rr

bN

r−

1+

Rr

bN

r+

Rin

ta

Nr

+R

ex

ta

Nr

(II.11)

[Lr]=

Lrr1

Mr1r2−

Lf

b1

Mr1r3

···M

r1r

k−

1M

r1r

kM

r1r

k+

1···

Mr1r

Nr−

1M

r1r

Nr−

Lf

bN

r−

Lin

ta1

Mr2r1−

Lf

b1

Lrr2

Mr2r3−

Lf

b2

···M

r2r

k−

1M

r2r

kM

r2r

k+

1···

Mr2r

Nr−

1M

r2r

Nr

−L

int

a2

......

......

......

......

......

...

Mr

kr1

Mr

kr2

Mr

kr3

···M

rk

rk−

1−

Lf

bk−

1L

rr

kM

rk

rk+

1−

Lf

bk

······

0−

Lin

ta

k

......

......

......

......

......

...

Mr

Nr

r1−

Lf

bN

rM

rN

rr2

Mr

Nr

r3

···M

rN

rr

k−

1M

rN

rr

kM

rN

rr

k+

1···

Mr

Nr

rN

r−

1−

Lf

bN

r−

1L

rr

Nr

−L

int

aN

r

−L

int

a1

−L

int

a2

−L

int

a3

···−

Lin

ta

k−

1−

Lin

ta

k−

Lin

ta

k+

1···

−L

int

aN

r−

1−

Lin

ta

Nr

Nr

k=

1L

int

ak

avec

Lrr1

=L

mb1

+L

rbN

r+

Lrb1

+L

int

a1

+L

ex

ta1

......

...

Lrr

k=

Lm

bk

+L

rbk−

1+

Lrbk

+L

int

ak

+L

ex

ta

k

......

...

Lrr

Nr

=L

mbN

r+

LrbN

r−

1+

LrbN

r+

Lin

ta

Nr

+L

ex

ta

Nr

(II.12)


[Mrs], décrite à l’équation II.13, se compose des inductances mutuelles entre les (Nr + 1)

boucles rotoriques et les trois phases statoriques.

[Mrs] =

Mr1saMr1sb

Mr1sc

Mr2saMr2sb

Mr2sc

......

...

MrksaMrksb

Mrksc

......

...

MrNrsaMrNrsb

MrNrsc

MrccsaMrccsb

Mrccsc

(II.13)

Notons qu’à travers la réciprocité des inductances mutuelles entre les phases statoriques

et les boucles rotoriques, nous avons [Mrs] = [Msr]T . Les équations électriques des (Nr+1)

boucles rotoriques étant décrites, nous abordons la description des équations mécaniques

de la machine asynchrone.

II.2.4.3 Equations mécaniques de la machine

Les équations mécaniques qui régissent le fonctionnement de la machine asynchrone

peuvent se mettre sous la forme :

Jt

dΩ

dt= Cem − fv Ω − Cr (II.14)

Ω =dθ

dt(II.15)

où Jt représente le moment d’inertie de la machine étudiée, Ω sa vitesse rotorique, Cem

son couple électromagnétique, fv son frottement visqueux et Cr son couple de charge.

L’équation II.15 lie la vitesse rotorique Ω à la position du rotor θ. Les paramètres Jt, fv

et Cr dépendent directement de la machine étudiée et de sa charge. Le calcul du couple

électromagnétique est déterminé en étudiant la coénergie magnétique avec l’équation :

Wco =1

2

[Is]

[Jr]

T [Ls] [Msr]

[Mrs] [Lr]

[Is]

[Jr]

(II.16)

Si cette coénergie est exprimée en fonction des différents courants de phases de la machine,

le couple électromagnétique se calcule en dérivant cette dernière par rapport à la position


θ que prend le rotor vis-à-vis du stator. L’expression du couple électromagnétique Cem

peut finalement être déterminée grâce à la relation :

Cem =1

2

[Is]

[Jr]

T

d

dθ

[Ls] [Msr]

[Mrs] [Lr]

[Is]

[Jr]

(II.17)

Nous proposons ci-après un récapitulatif des équations électriques et mécaniques qui ré-

gissent le fonctionnement de la machine asynchrone à cage.

[Vs] = [Rs] [Is] +d [Φs]

dt

[Φs] = [Ls] [Is] + [Msr] [Jr]

[Vr] = [Rr] [Jr] +d [Φr]

dt

[Φr] = [Lr] [Jr] + [Mrs] [Is]

Cem =1

2

[Is]

[Jr]

T

d

dθ

[Ls] [Msr]

[Mrs] [Lr]

[Is]

[Jr]

dΩ

dt=

1

Jt

(Cem − fv Ω − Cr)

Ω =dθ

dt

(II.18)

II.2.5 Prise en compte des harmoniques d’espace dans le calcul

des inductances de la machine

Les harmoniques d’espace apparaissent lorsque la forme de la force magnétomotrice

n’est pas sinusoïdale le long de l’entrefer. Pour intégrer ce phénomène au modèle de

la machine asynchrone, une méthode consiste à calculer les différentes inductances de la

machine à partir de l’expression de l’induction d’entrefer créée par chaque phase statorique

[49] [50] [51]. L’induction d’entrefer, qui dépend de la force magnétomotrice créée par les

trois phases statoriques, est décomposée en séries de Fourier pour permettre de prendre

en compte les harmoniques les plus importants.

II.2.5.1 Induction d’entrefer statorique

Une forme possible de la force magnétomotrice créée par la phase statorique sa de

la machine asynchrone est représentée sur la figure II.3. La décomposition en séries de


PSfrag replacements

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

S11

S12

S13

S14

S15

S16

S17

S18

S19

S20

S21

S22

S23

S24

S25

S26

S27

S28

S29

S30

S31

S32

S33

S34

S35

S36

nI

2

5nI

12

nI

3

nI

4

nI

6

nI

12

−

nI

2

−

5nI

12

−

nI

3

−

nI

4

−

nI

6

−

nI

12

Fmma

θs

θs0

−

π

Nr

π

Nr

π

−π

F+

r1

F−

r1

0

Fig. II.3 : Forme de la force magnétomotrice d’une phase statorique d’une machine

asynchrone ayant 36 encoches statoriques et une paire de pôle

Fourier de cette force magnétomotrice donne :

Fmma(θs) =

∞∑

k=0

2

π

neI

p

(−1)k

2k + 1cos((2k + 1) p θs) (II.19)

où p, θs et ne représentent respectivement le nombre de paire de pôle, l’angle mécanique

et le nombre de spires par encoche. En considérant le fait que le stator et le rotor de la

machine sont lisses, l’expression de l’induction d’entrefer créée par la phase statorique sa

devient alors :

Bsa(θs) =

µ0

eFmma

(θs) =∞∑

k=0

2

πµ0

ne I

p e

(−1)k

2k + 1cos((2k + 1) p θs) (II.20)

où e représente la longueur moyenne de l’entrefer et µ0 la perméabilité relative de l’air.

Comme le bobinage de la machine asynchrone peut prendre différentes formes, nous de-

vons introduire plusieurs coefficients tels que le coefficient d’étalement kse2k+1, le coefficient

d’inclinaison ksi2k+1et le coefficient de bobinage ksr2k+1

propre à chaque phase statorique

dans l’expression II.20. Ces coefficients sont fonction du rang de l’harmonique de l’induc-

tion d’entrefer considéré, leurs expressions mathématiques sont données ci-après :

kse2k+1=

sin((2k + 1)p me

πNs

)

me sin((2k + 1) p π

Ns

) (II.21)

ksi2k+1=

sin(p (2k + 1) α

2

)

p (2k + 1) α2

(II.22)


ksr2k+1= sin

((2k + 1) δ

π

2

)sin((2k + 1)

π

2

)(II.23)

où les termes me, Ns, δ, α représentent le nombre d’encoches par pôle et par phase, le

nombre d’encoches statoriques, la valeur du raccourci utilisée pour le bobinage statorique

et la valeur de l’inclinaison des encoches statoriques et/ou rotoriques. Par conséquent, en

introduisant un coefficient global ksw2k+1égal au produit des trois coefficients précédem-

ment décrits (ksw2k+1= kse2k+1

ksr2k+1ksi2k+1

), nous obtenons pour l’induction d’entrefer

finale de la phase statorique sa :

Bsa(θs) =

∞∑

k=0

2

πµ0

Nsw I

p e

(−1)k

2k + 1ksw2k+1

cos ((2k + 1) p θs) (II.24)

La forme que prennent les inductions d’entrefer des phases sb et sc est identique à celle

de la phase sa sauf qu’elles sont déphasées de ± 2 π3 p

.

La figure II.4 nous montre le niveau d’amplitude des différents harmoniques créés par la

distribution de l’induction d’entrefer en fonction du raccourcissement choisi pour le bobi-

nage statorique. Nous pouvons noter qu’un raccourcissement des bobinages statoriques de

2/3 a pour effet d’annuler les harmoniques d’espace de rang 3 k, il n’influe pas sur l’am-

plitude des autres. Par contre, en ce qui concerne le raccourci 5/6, il permet d’atténuer

l’amplitude de tous les harmoniques d’espace mais n’en n’annule aucun [52].

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

5

10

15

20

25

Rang harmonique

Ampl

itude

(% d

u fo

ndam

enta

l)

PSfrag replacements

Raccourci 1Raccourci 2/3Raccourci 5/6

Fig. II.4 : Niveau d’amplitude des différents harmoniques d’espace


II.2.5.2 Induction d’entrefer rotorique

La distribution de la force magnétomotrice d’une boucle rotorique est telle qu’elle ne

prend seulement que deux valeurs suivant que nous sommes à l’intérieur ou à l’extérieur

de la boucle (figure II.5). Par conséquent, nous obtenons deux types d’inductance :

– l’inductance magnétisante d’une boucle rotorique ;

– l’inductance mutuelle entre deux boucles rotoriques.

L’expression de l’induction d’entrefer créée par une boucle rotorique nous donne, en sup-

posant une perméance d’entrefer constante :

Brk(θr) =

µ0

eFrk

(θr) (II.25)

C’est à partir de cette induction que les inductances de magnétisation des boucles roto-

riques ainsi que les inductances mutuelles entre chaque boucle seront calculées.

PSfrag replacements

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

S11

S12

S13

S14

S15

S16

S17

S18

S19

S20

S21

S22

S23

S24

S25

S26

S27

S28

S29

S30

S31

S32

S33

S34

S35

S36nI

25nI

12nI

3nI

4nI

6nI

12

−

nI

2

−

5nI

12

−

nI

3

−

nI

4

−

nI

6

−

nI

12

Fmm1

Frk

θr

0

−

π

Nr

π

Nr

π−π

F−

rk

F+

rk

0

Fig. II.5 : Forme de la force magnétomotrice d’une boucle rotorique

II.2.6 Calcul des inductances du modèle de la machine

Les inductions d’entrefer étant connues, nous pouvons calculer l’expression des induc-

tances statoriques et rotoriques de la machine en déterminant le flux propre et le flux

mutuel de chacune des phases.

II.2.6.1 Inductance de magnétisation d’une phase statorique

Le calcul du flux magnétisant d’une phase statorique s’effectue grâce à la relation :

φsisji=j

=

∮

S

Nsw Bsi(θs) dS avec dS = L R dθs (II.26)


où les indices i et j peuvent se substituer indépendamment à la lettre a, b ou c. Les termes

L et R représentent la longueur active du circuit magnétique et le rayon moyen à l’entrefer.

L’expression du flux d’une phase statorique donne :

φsisji=j

= Nsw ksw2k+1L R

π2 p∫

− π2 p

Bsi(θs) dθs (II.27)

φsisji=j

=4

πµ0

N2sw I

p2 eL R

∞∑

k=0

1

(2k + 1)2k2

sw2k+1(II.28)

ce qui nous permet d’obtenir l’expression de l’inductance magnétisante correspondante :

Lmsisji=j

=4

πµ0

N2sw

p2 eL R

∞∑

k=0

k2sw2k+1

(2k + 1)2(II.29)

où le terme (2k + 1) représente toujours le rang de l’harmonique d’espace considéré.

II.2.6.2 Inductance mutuelle entre phases statoriques

Pour le calcul de ces inductances, il suffit d’introduire l’angle mécanique ϕsisjdans le

calcul du flux. Cet angle représente l’écart angulaire entre la phase i et la phase j stato-

rique. L’expression de l’inductance mutuelle entre deux phases statoriques nous donne :

Msisji6=j

=4

πµ0

N2sw

p2 eL R

∞∑

k=0

k2sw2k+1

(2k + 1)2cos((2k + 1) p ϕsisj

) (II.30)

où l’angle ϕsisjest égale à ±2 π

3 ppour un stator triphasé.

II.2.6.3 Inductances mutuelles entre les phases statoriques et les boucles ro-

toriques

Le calcul de ces inductances s’effectue en introduisant le coefficient global rotorique

krw2k+1(notre rotor étant à cage, seul le coefficient d’inclinaison est pris en compte) et

l’angle mécanique ϕrmsientre la phase statorique i et la boucle rotorique m pour le calcul

du flux, ce qui nous donne :

φrmsi= Nrw krw2k+1

L R

πNr∫

− πNr

Bsi(θs − ϕrmsi

) dθr (II.31)


avec θs = θr + θ et ϕrmsi= (i − 1)

2 π

3 p− (m − 1)

2 π

Nr

En divisant cette expression par le courant concerné, nous obtenons pour l’expression de

l’inductance mutuelle entre les phases statoriques et les boucles rotoriques :

Mrmsi=

∞∑

k=0

Mrs2k+1cos

((2k + 1) p

(θ + (m − 1)

2 π

Nr

− (i − 1)2 π

3 p

))(II.32)

où Mrs2k+1=

4

πµ0

Nsw Nrw

p2 eL R

(−1)k

(2k + 1)2ksw2k+1

krw2k+1sin

((2 k + 1) p

π

Nr

)

De plus, comme les circuits électriques statoriques sont en quadrature avec l’anneau de

court-circuit intérieur, les inductances mutuelles correspondantes sont nulles.

II.2.6.4 Inductance de magnétisation d’une boucle rotorique

Comme pour le calcul des inductances de magnétisation statoriques, l’inductance ma-

gnétisante d’une boucle rotorique est déduite de l’expression du flux correspondant donné

par l’expression :

φrbk=

∫ ∫Brk

.dS =Nr − 1

Nr2 µ0

jrk

e2 π L R (II.33)

L’inductance magnétisante est alors égale à :

Lrbk=

Nr − 1

Nr2

µ0

e2 π L R (II.34)

II.2.6.5 Inductances mutuelles entre les boucles rotoriques

Ces inductances se calculent en introduisant l’angle mécanique ϕrmrndans le calcul

du flux. Cet angle représente l’écart angulaire entre la boucle rotorique m et la boucle

rotorique n de la cage d’écureuil. L’expression de l’inductance mutuelle entre deux boucles

rotoriques donne :

Mrmrn= Mrnrm

= − 1

Nr2

µ0

e2 π L R (II.35)

où les indices m et n peuvent être remplacés indépendamment par les nombres 1, . . . , Nr.

Comme toutes les expressions des inductances dépendent de la valeur de certaines

grandeurs (L, R, e, ou encore Nr), nous avons dû effectuer des mesures géométriques

directement sur la machine asynchrone concernée. La connaissance de ces paramètres nous

permet de présenter la forme des inductances mutuelles entre les bobinages statoriques et

rotoriques pour un nombre d’harmoniques d’espace fixé.


II.2.6.6 Synthèses

La figure II.6 nous donne la forme des inductances mutuelles entre les trois phases

statoriques sa, sb, et sc et la boucle rotorique r1 en fonction de la position angulaire

du rotor pour un nombre d’harmonique d’espace égal à 17 (2k + 1 = 17). La figure

II.7 nous donne la forme de l’inductance mutuelle entre la phase statorique sa et les

boucles rotoriques r1, r2, r3 et r4 pour un nombre d’harmoniques d’espace identique. Ces

courbes montrent que les inductances mutuelles ne sont pas purement sinusoïdales. La

prise en compte des harmoniques d’espace pour le calcul de ces inductances permet de

s’affranchir d’une hypothèse couramment rencontrée (force magnétomotrice sinusoïdale).

Nous donnons aux figures II.8 et II.9 les dérivées des inductances mutuelles représentées

sur les figures II.6 et II.7.

II.2.7 Détermination des paramètres de la machine asynchrone

en vue de sa simulation

Les inductances magnétisantes ainsi que les inductances mutuelles entre les circuits

statoriques et rotoriques de la machine étant maintenant connues, nous allons déterminer

la valeur :

– des inductances de fuites des bobinages statoriques ;

– des résistances et des inductances de fuites des barres de la cage rotorique ;

– des résistances et des inductances de fuites des segments d’anneaux de court-circuit

rotorique,

– de la résistance des bobinages statoriques ;

– des paramètres mécaniques.

Il existe plusieurs approches, pour évaluer ces paramètres, basées sur différents types

d’essais expérimentaux. Les résistances statoriques de la machine ont été déterminées

en appliquant un échelon de tension aux bornes d’une des trois phases. Les résistances

des barres et des segments d’anneau de court-circuit ont été calculées en utilisant les

dimensions géométriques de la cage et en considérant que la matière utilisée pour sa

construction est de l’aluminium injecté. Les inductances de fuites statoriques Lfsisiet

rotoriques Lrbkont été assimilées à des inductances de fuites d’encoches, lesquelles ont été


0 2 4 6 8 10 12−5

−2.5

0

2.5

5x 10

−4

Angle de déplacement rotorique (Rd)

Indu

ctan

ce (

H)

PSfrag replacementsMsar1 Msbr1 Mscr1

Fig. II.6 : Inductance mutuelle entre les trois phases statoriques et une boucle rotorique

0 2 4 6 8 10 12−5

−2.5

0

2.5

5x 10

−4


Indu

ctan

ce (

H)

PSfrag replacementsMsar1

Msar2 Msar3

Msar4

Fig. II.7 : Inductance mutuelle entre une phase statorique et quatre boucles rotoriques

0 2 4 6 8 10 12−5

−2.5

0

2.5

5x 10

−4


Indu

ctan

ce (

H)

PSfrag replacementsdMsar1

dMsbr1 dMscr1

Fig. II.8 : Dérivé de l’inductance mutuelle entre les trois phases statoriques et une boucle

rotorique

0 2 4 6 8 10 12−5

−2.5

0

2.5

5x 10

−4


Indu

ctan

ce (

H)

PSfrag replacementsdMsar1

dMsar2

dMsar3

dMsar4

Fig. II.9 : Dérivé de l’inductance mutuelle entre une phase statorique et quatre boucles

rotoriques


évaluées par calcul grâce aux relations données dans [1]. La valeur des inductances de fuites

des segments d’anneau de court-circuit extérieur et intérieur Lextak

ou Lintak

a été déterminée

en prenant l’hypothèse qu’elles étaient égales à l’inductance de fuite d’une barre de la

cage rotorique (Lextak

= Lintak

= Lrbk) comme l’a suggéré Vas dans [53]. Les paramètres

mécaniques, quant à eux, ont été évalués en effectuant un essai de ralentissement.

II.2.8 Alimentation de la machine asynchrone

Tous les paramètres de la machine asynchrone étant maintenant connus, il nous reste

à intégrer l’alimentation électrique. Cette alimentation peut s’effectuer de deux façons

différentes, soit la machine est alimentée directement à partir du réseau triphasé, soit elle

est alimentée à travers un convertisseur statique. De plus, en fonction des informations

recueillies sur la plaque signalétique, les phases statoriques de la machine asynchrone

peuvent être couplées en étoile ou en triangle.

II.2.8.1 Modélisation du convertisseur statique

La machine asynchrone peut être alimentée par un convertisseur statique (onduleur

de tension par exemple), qu’elle soit couplée en étoile ou en triangle. Le point neutre du

convertisseur étant rarement disponible, il n’y a, par conséquent, que trois fils qui relient

le convertisseur statique et la machine asynchrone. Nous choisissons donc, pour modéliser

le convertisseur, une structure à trois forces électromotrices, comme l’illustre la figure

II.10. La modélisation des trois câbles de ligne reliant l’onduleur de tension à la machine

asynchrone est faite en introduisant sur chacune des phases, une inductance notée Lli

mise en série avec une résistance notée Rli (l’indice i se substituant indépendamment aux

lettres a, b ou c) [4].

PSfrag replacements

RlaLla

RlbLlb

RlcLlc

esa

esb

esc

Ara

Arb

Arc

ila

ilb

ilc

E2

E2

Fig. II.10 : Modélisation du convertisseur statique


Lorsque la machine asynchrone est connectée directement au réseau d’alimentation

triphasé, le modèle adopté pour ce type d’alimentation est exactement le même que celui

décrit précédemment. La seule différence réside dans la forme des tensions esa, esb

et

escappliquées aux trois phases statoriques. Si la machine asynchrone est connectée au

réseau triphasé, ces trois forces électromotrices délivreront une tension dite sinusoïdale

(aux harmoniques de temps prés). Par contre, si l’alimentation se fait par un convertisseur

statique, les trois forces électromotrices délivreront une tension hachée dont la fréquence

de l’onde fondamentale permettra de faire varier la vitesse de la machine.

Le vecteur [Es] regroupe les trois sources de tensions indépendantes et le vecteur [Il] les

trois courants délivrés à la machine asynchrone :

[Es] =[

esaesb

esc

]Tet [Il] =

[ila ilb ilc

]T(II.36)

Nous regroupons les trois résistances de ligne dans la matrice [Rl] et les trois inductances

de ligne dans la matrice [Ll] tel que :

[Rl] =

Rla 0 0

0 Rlb 0

0 0 Rlc

et [Ll] =

Lla 0 0

0 Llb 0

0 0 Llc

(II.37)

La modélisation de l’alimentation étant définie, nous allons pouvoir l’associer aux équa-

tions différentielles qui régissent le fonctionnement de la machine asynchrone. Nous ex-

posons ci-après les démarches qui permettent d’aboutir au système d’équations final en

fonction du couplage choisi (étoile ou triangle).

II.2.8.2 Méthode des départements

La méthodes des départements décrites dans [4] et [46] est une méthode particuliè-

rement bien adaptée pour la résolution de problème impliquant les circuits électriques,

surtout lorsque ceux-ci peuvent être résolus en tension. Au final, nous obtenons un sys-

tème d’équations différentielles du premier ordre dont la résolution permet de connaître

toutes les grandeurs (tensions, courants) du circuit électrique étudié.

II.2.8.3 Couplage de la machine asynchrone

Dans le cas d’un couplage des phases statoriques en étoile, le circuit électrique compte

deux noeuds et trois branches, ce qui découpe le plan en deux départements comme


le montre la figure II.11. Deux courants de boucles, appelés Js1 et Js2, sont associés à

chaque département. Les six courants de lignes s’expriment en fonction des deux courants

de boucle à travers la matrice de connexion étoile [Cet] comme ceci :

[Il] = [Is] = [Cet] [Jset] avec [Cet] =

1 0

−1 −1

0 1

et [Jset

] =

Js1

Js2

(II.38)

Pour une connection des phases statoriques en triangle, le circuit électrique comporte

quatre noeuds et six branches, ce qui découpe le plan en trois départements comme le

montre la figure II.12. Trois courants de boucles, appelés Js1, Js2 et Js3, sont associés à

chaque département. Les six courants de branches (trois courants de lignes et trois cou-

rants de phases) peuvent s’exprimer en fonction des trois courants de boucles statoriques

grâce à la matrice de connection triangle [Ctri] comme ceci :

[Il]

[Is]

= [Ctri] [Jstri

] avec [Ctri] =

1 0 0

−1 −1 0

0 1 0

1 0 1

0 0 1

0 −1 1

et [Jstri] =

js1

js2

js3

(II.39)

Le système d’équation II.18 doit être modifié pour prendre en compte le couplage étoile

ou le couplage triangle de la machine asynchrone sur l’alimentation. De façon générale, en

posant [Cg] la matrice de connection globale pour un couplage étoile ou triangle, [Rg] la

matrice des résistances globales du système, [Lg] la matrice des inductances globales du

système (ces deux matrices dépendent aussi du couplage choisi), [J ] le vecteur courant

composé des courants de boucles statoriques et rotoriques et [E ] le vecteur regroupant les

sources de tensions indépendantes, nous aboutissons à la formulation suivante :

[Cg] [E ]︸︷︷︸[E]

= [Cg]T [Rg] [Cg]︸︷︷︸

[R]

[J ] +d

dt

([Cg]

T [Lg] [Cg]︸︷︷︸[L]

[J ]

)(II.40)

L’équation précédente peut être développée pour faire apparaître le terme relatif à la

vitesse de rotation de la machine Ω tel que :

[E] =

([R] + Ω

d [L]

dθ

)[J ] + [L]

d [J ]

dt(II.41)


PSfrag replacements

RlaLla

RlbLlb

RlcLlc

esa

esb

esc

υla

υlb

υlc

υsa

υsb υsc

Js1

Js2

Js3

Rsa

RsbRsc

Lsa

Lsb

Lsc

ila

ilb

ilc

isa

isbisc

Fig. II.11 : Couplage en étoile des phases statoriques

PSfrag replacements

RlaLla

RlbLlb

RlcLlc

esa

esb

esc

υla

υlb

υlc

υsa υsb

υsc

Js1

Js2

Js3

RsaRsb

Rsc

LsaLsb

Lsc

ila

ilb

ilc

isa

isb

isc

Fig. II.12 : Couplage en triangle des phases statoriques


L’expression permettant d’obtenir le couple électromagnétique est par conséquent fonction

du vecteur des courants de boucles [J ] :

Cem =1

2[J ]T

d [L]

dθ[J ] (II.42)

Par conséquent, le système final lorsque la machine asynchrone est couplée soit en étoile,

soit en triangle à l’alimentation électrique (réseau ou convertisseur) devient :

[E] =

([R] + Ω

d [L]

dθ

)[J ] + [L]

d [J ]

dt

Cem =1

2[J ]T

d [L]

dθ[J ]

dΩ

dt=

1

Jt

(Cem − fv Ω − Cr)

Ω =dθ

dt

(II.43)

Si nous reprenons les circuits électriques rotoriques présentés à la figure II.2 (page 43), nous

pouvons nous apercevoir que les courants de barres, les courants des segments d’anneaux

de court-circuit extérieur et intérieur et les courants de boucles rotoriques sont liés par la

matrice de connexion rotorique [Cr] dont une description complète peut être trouvée dans

[46]. Quelques exemples de conversion sont présentés ci-après :

irb1 = jr2 − jr1

... =...

irbk= jrk+1

− jrk

... =...

irbNr= jr1 − jrNr

iexta1

= jr1

... =...

iextak

= jrk

... =...

iextaNr

= jrNr

iinta1

= jrcc= −jr1

... =... =

...

iintak

= jrcc= −jrk

... =... =

...

iintaNr

= jrcc= −jrNr

(II.44)

II.2.9 Exploitation du modèle de la machine asynchrone en ab-

sence de défaillances

Le modèle complet de la machine asynchrone est maintenant connu, nous pouvons

étudier l’évolution des grandeurs temporelles tels que les courants, le couple ou encore la

vitesse rotorique lorsque la cage rotorique ne présente aucune défaillance. Pour prendre

en compte les harmoniques de temps dans le modèle de la machine asynchrone, les trois

sources de tensions indépendantes qui composent le vecteur [Es] (équation II.36) ont pour


expression :

esa =∞∑

h=1

esah=

√2

∞∑

h=1

Esahcos(hωs t − ϕh)

esb =∞∑

h=1

esbh=

√2

∞∑

h=1

Esbhcos(hωs t − ϕh − h

2 π

3)

esc =∞∑

h=1

esch=

√2

∞∑

h=1

Eschcos(hωs t − ϕh − h

4 π

3)

(II.45)

Dans la suite de l’étude, nous ne présentons qu’une analyse fréquentielle des gran-

deurs temporelles de la machine asynchrone. Dans ce contexte, une analyse temporelle

de ces grandeurs n’aurait aucun intérêt sachant que la cage rotorique ne présente pas de

défaillance. De plus, une comparaison de cette analyse fréquentielle avec celle obtenue

lorsque la cage rotorique présente un défaut permettra de visualiser avec précision les

composantes créées par la rupture de barre.

Le type de modélisation choisi permet d’étudier indépendamment l’influence de chaque

harmonique d’espace sur les grandeurs temporelles de la machine asynchrone. De plus,

la prise en compte des harmoniques de temps (tensions d’alimentation) permet, en plus

de l’étude spécifique aux harmoniques d’espace, d’analyser l’influence de ceux-ci sur ces

mêmes grandeurs. La possibilité de prendre en compte un quelconque harmonique d’espace

et/ou un quelconque harmonique de temps permet d’étudier le contenu harmonique des

grandeurs temporelles de la machine pour un point de fonctionnement donné.

Afin de faciliter l’analyse du contenu spectral des grandeurs temporelles, nous utilisons

les expressions des inductions totales statorique et rotorique créées par les bobinages

statoriques et rotoriques de la machine asynchrone [54].

En supposant un entrefer lisse et constant sur toute la périphérie du stator et du

rotor, l’induction d’entrefer créée par les trois bobinages statoriques de la machine peut

être calculée grâce à la relation :

BsT (θs, t) =3∑

i=1

µ0

eFsi

(θs, t) (II.46)

où Fsi(θs, t) représente le développement en séries de Fourier de la force magnétomotrice

de la phase statorique i ayant pour expression :

Fsi(θs, t) =

∞∑

kes=0

Fs(2 kes+1)isi

(t) cos

((2 kes + 1) p

(θs − (i − 1)

2 π

3 p

))(II.47)


Le courant de phase isi(t) se calcul grâce à l’équation :

isi(t) =

∞∑

kts=1

Isktscos

(kts

(ωs t − (i − 1)

2 π

3− ϕskts

))(II.48)

si nous choisissons des courants quelconques.

Les termes kes et kts représentent respectivement le rang des harmoniques d’espace

du bobinage statorique et le rang des harmoniques de temps des courants statoriques

considérés dans le modèle de la machine asynchrone.

L’induction d’entrefer créée par les Nr boucles de la cage rotorique de la machine peut

être mise sous la forme :

BrT (θr, t) =Nr∑

k=1

µ0

eFrk

(θr, t) (II.49)

où Frk(θr, t) représente le développement en série de Fourier de la force magnétomotrice

de la boucle rotorique k ayant pour expression :

Frk(θr, t) =

∞∑

ker=1

Frkerjrk

(t) cos

(ker p

(θr − (k − 1)

2 π

Nr p

))(II.50)

Le courant de boucle jrk(t) se calcul grâce à la relation :

jrk(t) =

∞∑

ktr=1

Jrktrcos

(ktr

(ωr t − (k − 1)

2 π

Nr

− ϕrktr

))(II.51)

pour des courants de boucle quelconques.

Les termes ker et ktr représentent respectivement le rang des harmoniques d’espace

des bobinages rotoriques et le rang des harmoniques de temps des courants rotoriques

considérés dans le modèle de la machine asynchrone.

Les figures II.13, II.14, II.15 et II.16 présentent le contenu spectral d’un courant stato-

rique, d’un courant de barre rotorique, du couple électromagnétique ainsi que de la vitesse

rotorique lorsque la machine asynchrone ne présente aucune défaillance (fonctionnement

sous condition nominale). Nous avons considéré ici les 17 premiers harmoniques d’espace

(kes = 8) ainsi que les 17 premiers harmoniques de temps (kts = 17).

Le contenu spectral du courant statorique (figure II.13) ne se limite pas seulement à

la composante fondamentale de fréquence 50 Hz. En effet, les harmoniques d’espace et de

temps contribuent à augmenter la richesse harmonique de ce signal. Les différentes compo-

santes de ce spectre peuvent être déterminées en analysant l’induction rotorique donnée


0 500 1000 1500 2000 2500

−200

−150

−100

−50

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

Fig. II.13 : Spectre du courant statorique : Rotor sain

0 500 1000 1500 2000 2500

−200

−150

−100

−50

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

irb1 (f)

Fig. II.14 : Spectre du courant rotorique : Rotor sain

0 500 1000 1500 2000 2500

−200

−150

−100

−50

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

Cem (f)

Fig. II.15 : Spectre du couple : Rotor sain

0 500 1000 1500 2000 2500−250

−200

−150

−100

−50

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

Ω (f)

Fig. II.16 : Spectre de la vitesse : Rotor sain


à l’équations II.46 exprimée dans le repère statorique. Les composantes du spectre du

courant d’une barre rotorique peuvent être déterminées en analysant l’induction d’entre-

fer statorique donnée à l’équation II.46 exprimée dans le repère rotorique. Nous pouvons

noter que plusieurs composantes, situées aux fréquences (6 k±1) g fs, apparaissent (figure

II.14). Ces harmoniques sont dus à l’interaction entre les harmoniques d’espace et les har-

moniques de temps du modèle car elles n’apparaissent pas lorsque nous considérons une

alimentation purement sinusoïdale (kst = 1 et kes = 8) ou lorsque nous ne considérons

que le fondamental de la force magnétomotrice (kst = 17 et kes = 1). Le contenu spectral

du couple électromagnétique peut être analysé en étudiant l’interaction de l’induction

statorique et de l’induction rotorique (inductions exprimées auparavant dans le repère

statorique). Le contenu spectral de la vitesse rotorique est identique à celui du couple

électromagnétique aux amplitudes des composantes près.

Nous proposons de comparer les spectres obtenus avec ceux issus d’une analyse de la

machine asynchrone fonctionnant avec un rotor défaillant. Nous savons que la présence

d’un défaut au sein de la cage rotorique fait apparaître des composantes additionnelles

dans le spectre fréquentiel des grandeurs temporelles analysées précédemment. Par consé-

quent, une comparaison entre les spectres obtenus avec un rotor sain et un rotor défaillant

nous permettra de mieux discerner les composantes créées par le défaut rotorique.

II.3 Modèle de la machine asynchrone en présence de

défaillances

Le type de défaut que nous étudions est la rupture d’une ou plusieurs barres de la

cage d’écureuil de la machine asynchrone. La simulation de ce type de défaillance peut

être faite en utilisant deux méthodes différentes, le but étant d’annuler le courant qui

traverse la barre incriminée. Le circuit électrique rotorique donné à la figure II.2 doit être

reconsidéré pour permettre la prise en compte du défaut rotorique dans le modèle de la

machine.

Une première méthode de modélisation consiste à reconstituer totalement le circuit

électrique rotorique. Dans ce type d’approche, la barre rotorique défaillante est enlevée

du circuit électrique, ce qui oblige à recalculer les matrices résistance [Rr] et inductance

II.3 : Modèle de la machine asynchrone en présence de défaillances 65

[Lr] de la machine asynchrone. En effet, la suppression d’une barre de la cage nous donne

une matrice [Rr] et [Lr] de rang inférieur à celle développée pour la machine saine. La

modification de l’ordre des matrices rotoriques oblige à recalculer les lois électriques et

magnétiques de la boucle k. Nous présentons sur la figure II.17 la structure finale que prend

le circuit électrique rotorique lorsque nous sommes en présence d’une barre défaillante.

La seconde approche envisageable consiste à augmenter artificiellement la valeur de

la résistance de la barre incriminée d’un facteur suffisant pour que le courant qui la

traverse soit le plus proche possible de zéro en régime permanent. En comparaison avec

la première méthode, la structure du circuit électrique rotorique n’est pas modifiée car

nous considérons, dans ce type de modélisation, qu’une rupture de barre n’altère pas les

inductances propres et mutuelles de la cage rotorique. Par conséquent, le programme de

simulation s’adaptera à cette nouvelle contrainte et nous donnera l’évolution temporelle

des différents signaux pour un fonctionnement de la machine avec ce type de défaut.

Pour simuler une barre défaillante au sein de la cage rotorique, nous avons utilisé

la deuxième méthode dans un souci de simplicité. De plus, la simulation d’une barre

partiellement cassée (barre fissurée de moitié par exemple) ne peut pas être envisagée si

nous utilisons la première méthode de modélisation alors qu’elle est tout à fait faisable

avec la seconde.

Les défauts qui peuvent apparaître au niveau des segments d’anneau de court-circuit

ont souvent les même origines que celles présentées pour la cassure d’une barre de la

cage rotorique. La méthodologie adoptée pour la prise en compte de ce type de défaut

dans le modèle est elle aussi identique à l’approche utilisée pour la simulation d’une

barre rotorique défaillante. La simulation d’une rupture d’un segment d’anneau de court-

circuit s’effectue en augmentant la valeur de sa résistance de telle sorte que le courant le

traversant soit le plus proche possible de zéro en régime permanent. Le circuit électrique

rotorique est donc modifié lors de l’apparition d’un tel défaut et prend la forme donnée

à la figure II.18. Après avoir décrit les dispositions adoptées pour la modélisation d’une

barre rotorique cassée et/ou d’un segment d’anneau de court-circuit cassé, nous allons

maintenant étudier l’évolution temporelle des grandeurs de la machine lorsque la cage

d’écureuil présente une puis deux barres rotoriques cassées.


PSfrag replacements

jrcc

Rint

a2

Lint

a2

Rint

a1

Lint

a1

Rint

aNr

Lint

aNr

Rint

ak-1

Lint

ak-1

Rint

ak

Lint

ak

Rint

ak+1

Lint

ak+1

Rint

ak+2

Lint

ak+2

Rext

ak-1

Lext

ak-1

Rext

ak

Lext

ak

Rext

ak+1

Lext

ak+1

Rext

ak+2

Lext

ak+2

Rext

a2

Lext

a2

Rext

a1

Lext

a1

Rext

aNr

Lext

aNr

jrk-1

jrk

jrk+1

jrk+2

jr2

jr1

jrNr

jrk-1

Rrb2

Lrb2

Rrb1

Lrb1

RrbNr

LrbNrRrbNr-1

LrbNr-1

Rrbk-2

Lrbk-2

Rrbk-1

Lrbk-1

RrbkLrbk

Rrbk+1

Lrbk+1Rrbk+2

Lrbk+2

i int

ak-1

i int

ak

i int

ak+1

i int

ak+2

i int

a2

i int

a1

i int

aNr

i ext

ak-1

i ext

ak

i ext

ak+1

i ext

ak+2

i ext

a2

i ext

a1

i ext

aNr

irbk-2

irbk-1

irbk

irbk+1

irbk+2

irb2

irb1

irbNr

irbNr-1

Fig. II.17 : Circuits électriques adoptés pour la modélisation du rotor en présence d’une

barre cassée


PSfrag replacements

jrcc

Rint

a2

Lint

a2

Rint

a1

Lint

a1

Rint

aNr

Lint

aNr

Rint

ak-1

Lint

ak-1

Rint

ak

Lint

ak

Rint

ak+1

Lint

ak+1

Rint

ak+2

Lint

ak+2

Rext

ak-1

Lext

ak-1

Rext

ak

Lext

ak

Rext

ak+1

Lext

ak+1

Rext

ak+2

Lext

ak+2

Rext

a2

Lext

a2

Rext

a1

Lext

a1

Rext

aNr

Lext

aNr

jrk-1

jrk

jrk+1

jrk+2

jr2

jr1

jrNr

jrk-1

Rrb2

Lrb2

Rrb1Lrb1

RrbNr

LrbNrRrbNr-1

LrbNr-1

Rrbk-2

Lrbk-2

Rrbk-1

Lrbk-1

RrbkLrbk

Rrbk+1

Lrbk+1Rrbk+2

Lrbk+2

i int

ak-1

i int

ak

i int

ak+1

i int

ak+2

i int

a2

i int

a1

i int

aNr

i ext

ak-1

i ext

ak

i ext

ak+1

i ext

ak+2

i ext

a2

i ext

a1

i ext

aNr

irbk-2

irbk-1

irbk

irbk+1

irbk+2

irb2

irb1

irbNr

irbNr-1

Fig. II.18 : Circuits électriques adoptés pour la modélisation du rotor en présence d’une

portion d’anneau de court-circuit cassée


II.3.1 Exploitation du modèle en présence de barre(s) rotorique(s)

cassée(s)

Nous allons étudier l’impact d’un défaut de barre sur l’évolution temporelle des dif-

férentes grandeurs de la machine asynchrone. Nous décrivons les conditions de fonction-

nement adoptées pour ensuite étudier ces grandeurs lorsque la machine asynchrone dé-

faillante fonctionne à son régime nominal.

II.3.1.1 Alimentation de la machine par le réseau triphasé

Une source de tension de valeur efficace 230 Volts est appliquée aux bornes des trois

phases statoriques de la machine asynchrone couplées en étoile. Les trois tensions indépen-

dantes du modèle prennent en compte les 17 premiers harmoniques de temps de la source

d’alimentation et nous gardons dans le modèle les 17 premiers harmoniques d’espace pour

le calcul des inductances de la machine. Le couple soumis à la machine pour cette étude

est de 11,8 N.m.

Nous présentons sur les figures II.19 à II.23 l’évolution temporelle des grandeurs de la

machine asynchrone lorsque nous passons d’un fonctionnement sain à un fonctionnement

défaillant. Pour analyser l’effet de la rupture de barre sur ces grandeurs, nous avons

choisi de rendre la barre rb1 de la cage rotorique défaillante à l’instant t = 3 secondes en

imposant une résistance de barre 80 fois supérieure à celle donnée pour un fonctionnement

sain (cette valeur a été choisie de sorte que le courant qui traverse la barre défaillante

soit le plus proche possible de zéro). Par la suite, nous avons créé un second défaut en

augmentant la résistance de la barre rb2 à l’instant t = 4 secondes.

En analysant la figure II.19 où nous présentons l’évolution de la vitesse rotorique, nous

visualisons l’apparition d’une légère ondulation lorsque la rupture de la première barre

rotorique apparaît. Cette ondulation, qui augmente lorsque le deuxième défaut est créé,

oscille à une fréquence de 2 g fs. Cette variation de vitesse est très faible (inférieure à 1

rd/s) car elle dépend essentiellement de l’inertie J de l’ensemble machine-charge. Plus

l’inertie de l’ensemble sera grande, moins la variation de vitesse sera importante [55] [56].

L’analyse du couple électromagnétique (figure II.20) montre une modification impor-

tante de son allure lorsque les défauts rotoriques apparaissent. La présence d’une oscilla-

tion lorsque le rotor de la machine est sain est due à la prise en compte des harmoniques


de temps et d’espace dans le modèle. Nous apercevons qu’une légère modulation vient

perturber l’évolution du couple lorsque la première barre est cassée. Nous remarquons

aussi que cette modulation prend plus d’importance avec l’apparition du second défaut.

En théorie, cette modulation d’amplitude a une fréquence identique à celle de la vitesse,

c’est à dire 2 g fs, mais, comme nous pouvons le visualiser, il est relativement difficile de

la discerner avec une simple analyse visuelle.

La figure II.21 représente l’évolution du courant absorbé par une phase statorique.

Comme pour les deux grandeurs précédentes, le défaut rotorique induit une très légère

modulation d’amplitude. Il faut attendre le second défaut (deux barres cassées) pour

permettre de la visualiser clairement.

Nous avons représenté l’enveloppe de ce courant sur la figure II.22. Comme nous

pouvons le voir, cette modulation reste somme toute très faible, trop faible pour permettre

d’effectuer un diagnostic précis de l’état de la cage rotorique. De plus, la présence des

harmoniques de temps et d’espace dans le modèle ne facilite pas l’analyse de ce signal qui

devrait faire apparaître une modulation d’amplitude de fréquence 2 g fs.

La figure II.23 représente l’évolution du courant dans la barre rb3. Nous pouvons noter

que la rupture de la première barre induit une très faible augmentation du courant qui la

traverse. Au moment du premier défaut, le courant qui circulait dans la barre défaillante

(barre rb1) se partage dans les barres rotoriques adjacentes. Lorsque la seconde barre est

cassée (barre rb2), nous remarquons que le courant de la barre no3 augmente significative-

ment. En effet, c’est le courant qui circulait dans la barre no2 qui est partagé, en majorité,

dans les barres no3 et no28. Nous reportons sur la figure II.24 la répartition des courants

traversant les barres rotoriques à un instant t pour les trois modes de fonctionnement

étudiés (rotor sain, une barre cassée et deux barres cassées). Nous pouvons remarquer

que lorsque le défaut atteint deux barres cassées (nous rappelons que la cage rotorique de

la machine étudiée comporte 28 barres), le courant maximum traversant les barres adja-

centes à celles défaillantes est quasiment deux fois supérieur au courant rotorique obtenu

avec une cage d’écureuil saine. Une augmentation anormale du courant dans les barres

peut provoquer un échauffement local et conduire à une nouvelle rupture.

D’après l’analyse précédente, nous pouvons noter que la détection d’une ou plusieurs

barres rotoriques défaillantes est très difficile si l’on ne se base que sur l’analyse des signaux


2,5 3 3,5 4 4,5 5 296

296,5

297

297.5

298

298,5

299

Temps (Sec)

Vite

sse

(Rd/

sec)

PSfrag replacements

Ω (t)

Rotor Sain 1 barre cassée 2 barres cassées

Fig. II.19 : Evolution de la vitesse de rotation

2,5 3 3,5 4 4,5 5 11.5

12

12.5

13

13.5

14

14.5

15

Temps (Sec)

Cou

ple

(N.m

)

PSfrag replacements

Cem (t)

Rotor Sain 1 barre cassée 2 barres cassées

Fig. II.20 : Evolution du couple électromagnétique

2,5 3 3,5 4 4,5 5

−10

−5

0

5

10

15

Temps (Sec)

Cou

rant

sta

toriq

ue (

A)PSfrag replacements

isa (t)Rotor Sain 1 barre cassée 2 barres cassées

Fig. II.21 : Evolution du courant statorique

2,5 3 3;5 4 4,5 5 8,5

9

9,5

10

10,5

11

Temps (Sec)

Env

elop

pe d

u co

uran

t (A

)

PSfrag replacements

Env(isa (t))Rotor Sain 1 barre cassée 2 barres cassées

Fig. II.22 : Evolution de l’enveloppe du courant statorique


2,5 3 3,5 4 4,5 5 −400

−300

−200

−100

0

100

200

300

400

Temps (Sec)

Cou

rant

rot

oriq

ue (

A)PSfrag replacements

ib3 (t)Rotor Sain 1 barre cassée 2 barres cassées

Fig. II.23 : Evolution du courant de la barre rotorique no3

0 5 10 15 20 25−200

−100

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25−200

−100

0

100

200

300

400

Cou

rant

rot

oriq

ue (

A)

0 5 10 15 20 25−200

−100

0

100

200

300

400

N° des barres rotoriques

PSfrag replacements

Rotor sain

1 barre cassée

2 barres cassées

Fig. II.24 : Répartition des courants dans les barres rotoriques à un instant t


temporels. Les signaux tels que le couple ou encore le courant statorique sont riches en

harmoniques, ce qui ne permet pas de discerner avec facilité la modulation d’amplitude

de fréquence 2 g fs créée par le défaut rotorique. Une analyse des signaux temporels dans

le domaine fréquentiel devient donc obligatoire pour visualiser les composantes créées par

la rupture d’une ou plusieurs barres rotoriques. Cette étude est présentée dans la suite du

document.

II.3.1.2 Alimentation de la machine par un convertisseur statique

Une analyse des grandeurs temporelles de la machine lorsque celle-ci est alimentée par

un convertisseur statique a été effectuée à partir du modèle de simulation proposé.

Dans ce cas d’étude, les trois tensions indépendantes du modèle gênèrent une tension

identique à celle obtenue en sortie d’un variateur de vitesse commandé en Modulation de

la Largeur d’Impulsion (comparaison sinus-triangle). Nous avons gardé dans le modèle

les 17 premiers harmoniques d’espace pour le calcul des inductances de la machine en

imposant un couple de charge de 11,8 N.m. L’analyse des grandeurs temporelles n’est pas

présentée ici étant donné que les perturbations générées par l’alimentation en MLI donnent

des courbes encore plus difficiles à analyser dans le domaine temporel que celles obtenues

avec une alimentation par trois tensions quasi-sinusoïdales. Ces phénomènes confortent le

fait que pour effectuer un diagnostic fiable et précis de l’état de la cage rotorique, il est

préférable d’analyser ces grandeurs dans le domaine fréquentiel pour faire apparaître les

composantes significatives d’un défaut rotorique.

II.3.2 Analyse harmonique du vecteur de sortie

Nous présentons sur les figures II.25, II.26, II.27 et II.28 le spectre fréquentiel des gran-

deurs temporelles de la machine asynchrone lorsque celle-ci fonctionne avec une barre ro-

torique cassée. Il est clairement visible que les spectres présentés sont beaucoup plus riches

en harmoniques que ceux issus de l’analyse avec un rotor sain (figures II.13, II.14, II.15 et

II.16). Cette modification apparaît aussi bien dans la partie basse fréquence (plage fréquen-

tielle [0 - 100] Hz) que dans la partie haute fréquence (plage fréquentielle [100 - 2500] Hz).


0 500 1000 1500 2000 2500

−200

−150

−100

−50

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

Fig. II.25 : Spectre du courant statorique : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17)

0 500 1000 1500 2000 2500

−200

−150

−100

−50

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

irb1 (f)

Fig. II.26 : Spectre du courant rotorique : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17)

0 500 1000 1500 2000 2500

−200

−150

−100

−50

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

Cem (f)

Fig. II.27 : Spectre du couple : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17)

0 500 1000 1500 2000 2500−250

−200

−150

−100

−50

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

Ω (f)

Fig. II.28 : Spectre de la vitesse : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17)


II.3.2.1 Analyse des spectres dans la plage [0 - 100] Hz

Si nous portons notre attention sur le spectre du courant statorique dans la bande

[0 - 100] Hz (figure II.29), nous pouvons remarquer la présence de plusieurs composantes

dont les fréquences, bien connues à ce jour, sont données par la relation :

f±bck

= (1 ± 2 k g)fs (II.52)

Comme le mentionne Filippetti [56], nous savons que la rupture d’une barre de la cage

rotorique induit dans le spectre du courant statorique une composante de fréquence

(1 − 2 g)fs. En effet, la rupture d’une barre rotorique crée, dans l’entrefer de la machine,

un champ tournant inverse de fréquence g fs. L’interaction de ce champ tournant avec la

vitesse rotorique crée une composante de fréquence (1− 2 g)fs dans le spectre du courant

statorique1. La présence de cette modulation dans le courant statorique induit une oscil-

lation sur le couple électromagnétique de la machine de fréquence 2 g fs. Cette oscillation

de couple crée inévitablement une oscillation de la vitesse rotorique à la même fréquence.

Cette oscillation de vitesse induit une nouvelle composante de fréquence (1 + 2 g)fs dans

le spectre du courant statorique. Cette composante crée dans l’entrefer un nouveau champ

tournant inverse de fréquence 3 g fs. En utilisant la même approche, ce champ tournant

induit une nouvelle composante de fréquence (1 − 4 g)fs dans le spectre du courant sta-

torique2. Le couple électromagnétique ainsi que la vitesse rotorique laissent paraître une

nouvelle oscillation ayant pour fréquence 4 g fs. Cette oscillation crée dans le courant

statorique une nouvelle composante de fréquence (1 + 4 g)fs. Cette nouvelle modulation

crée un nouveau champ tournant inverse dans l’entrefer de la machine de fréquence 6 g fs.

Nous présentons, dans l’annexe A, les calculs permettant de valider l’approche proposée.

Comme nous l’avons précédemment mentionné, la rupture d’une barre de la cage roto-

rique ne doit induire qu’une seule composante dans le spectre basse fréquence du courant

statorique. Les autres composantes étant dues à l’interaction de la vitesse avec les champs

tournants inverses présents dans l’entrefer de la machine [56]. Nous avons effectué une si-

mulation de la machine asynchrone défaillante (une barre cassée) en imposant une vitesse

rotorique constante. La figure II.31 montre le spectre du courant statorique obtenu dans

ce cas de fonctionnement. Seule la composante de fréquence (1 − 2 g)fs apparaît dans le

1Cette fréquence se calcule grâce à la relation (1 − g)fs − g fs = (1 − 2 g)fs

2Cette fréquence se calcule grâce à la relation (1 − g)fs − 3 g fs = (1 − 4 g)fs


spectre fréquentiel du courant statorique. A partir de ce résultat et en fonction de l’ana-

lyse faite, nous pouvons dire que l’amplitude des composantes de fréquence (1 ± 2 k g)fs

en excluant celle à (1 − 2 g)fs est dépendante de la vitesse de la machine, ce qui revient

à dire qu’elle est dépendante de l’inertie de l’ensemble moteur-charge.

Nous venons de montrer que les composantes de fréquence (1 ± 2 k g)fs présentes dans

le spectre du courant statorique peuvent être utilisées pour la détection d’une ou plusieurs

barres rotoriques cassées. La rupture d’une portion d’anneau de court-circuit peut aussi

être détectée en utilisant ces composantes car, tout comme la rupture d’une barre de la

cage, ce défaut rotorique induit lui aussi un champ tournant inverse de fréquence g fs

dans l’entrefer de la machine asynchrone, produisant ainsi les mêmes composantes dans

le spectre fréquentiel du courant statorique.

Nous avons trouvé intéressant d’analyser le spectre du courant statorique lorsque nous

ne considérons que le fondamental de la force magnétomotrice où que le fondamental de la

tension d’alimentation. Nous présentons sur les figures II.32 et II.33 les spectres obtenus

dans ces deux configurations. Il apparaît clairement que les résultats sont très différents

de ceux obtenus en incluant, dans la même simulation, les harmoniques d’espace et les

harmoniques de temps les plus importants. Dans la configuration adoptée, nous nous

rapprochons avec beaucoup plus de précision des essais expérimentaux. Cette analyse

montre que les modèles de machine limités au fondamental de la force magnétomotrice

ne sont pas assez précis pour prédire le contenu fréquentiel du courant absorbé par la

machine asynchrone en présence d’un défaut rotorique.

La figure II.34 représente le spectre du courant statorique pour une simulation incluant

les 99 premiers harmoniques d’espace. En comparaison avec une simulation prenant en

compte les 17 premiers harmoniques d’espace (figure II.29), nous pouvons remarquer qu’il

n’y a pas de différence significative au niveau des amplitudes des composantes de fré-

quence (1 ± 2 k g)fs. Cette comparaison permet de nous limiter à la prise en compte des

harmoniques d’espace les plus importants en amplitude au lieu de prendre en considéra-

tion la forme complète du bobinage statorique pour le calcul des inductances propres et

mutuelles de la machine.


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

(1−

2g)f

s

(1+

2g)f

s

(1−

4g)f

s

(1+

4g)f

s

(1−

6g)f

s

(1+

6g)f

s

(1−

8g)f

s

(1+

8g)f

s

Fig. II.29 : Spectre du courant statorique [0 - 100] Hz : Une barre cassée (kes = 8 et

kts = 17)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

Cem (f)

2gf

s

4gf

s

6gf

s

8gf

s

10gf

s

12gf

s

14gf

s

16gf

s

Fig. II.30 : Spectre du couple [0 - 100] Hz : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

(1−

2g)f

s

Fig. II.31 : Spectre du courant statorique à vitesse constante [0 - 100] Hz : Une barre

cassée (kes = 8 et kts = 1)


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

(1−

2g)f

s

(1+

2g)f

s

(1−

4g)f

s

(1+

4g)f

s


kts = 8)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

(1−

2g)f

s

(1+

2g)f

s

(1−

4g)f

s

(1+

4g)f

s


kts = 1)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−200

−150

−100

−50

0

DS

P (

dB)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−200

−150

−100

−50

0

Fréquence (Hz)

DS

P (

dB)

PSfrag replacements

isa (f)kes=8

isa (f)kes=49

Fig. II.34 : Comparaison du spectre du courant statorique [0 - 1000] Hz : Une barre

cassée (kts = 17)


II.3.2.2 Analyse des spectres dans la plage [100 - 1000] Hz

La rupture d’une barre de la cage rotorique fait apparaître des composantes dans la

partie haute fréquence du spectre du courant statorique. En effet, Deleroi dans [57] a

démontré par une analyse relativement complexe, que l’apparition d’un tel défaut induit

des composantes additionnelles dans le spectre fréquentiel du courant aux fréquences

données par la relation :

f±hex

= (x (1 − g) ± g) fs avec x =k

p= 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . (II.53)

Ces composantes, tout comme la composante à (1 − 2 g)fs, n’apparaissent que lorsque la

cage rotorique de la machine asynchrone présente un défaut. Dans la suite de l’étude, les

composantes correspondant à ces fréquences seront appelées "composantes principales de

l’harmonique x" (x : 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) et seront notées Cphx.

Nous présentons à la figure II.35 le spectre du courant statorique dans la bande fré-

quentielle [100 - 1000] Hz. Cette figure permet de visualiser la présence des composantes

principales des harmoniques d’espace Cphx. Nous remarquons la présence de composantes

additionnelles autour de ces composantes harmoniques. Si nous reprenons la simulation

effectuée à vitesse constante, nous remarquons que seule les composantes principales Cphx

sont présentes dans le spectre haute fréquence du courant (figure II.36). Cette analyse

permet de déduire que ces composantes additionnelles sont créées par la variation de la

vitesse rotorique. Si nous effectuons un zoom sur la partie fréquentielle où se situe les com-

posantes principales de l’harmonique 5 (figure II.37), nous nous apercevons que toutes les

fréquences additionnelles sont espacées les unes des autres de 2 g fs. Ceci se vérifie aussi

sur les harmoniques d’espace 7, 11, 13, ... etc. Par conséquent, nous devons compléter

l’équation II.53 par un terme permettant de prendre en compte ces harmoniques car ils

sont eux aussi significatifs de la présence d’un défaut au sein de la cage rotorique de la

machine. Cette nouvelle équation sera :

f±hex

= (x (1 − g) ± (1 + 2 η) g) fs (II.54)

avec x =k

p= 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . et η = 0, 1, 2, 3, . . .

Le suivi de l’amplitude de ces composantes peut apporter un complément d’information

sur l’état de la cage rotorique. Kliman [58] a montré que la rupture d’une barre de la


100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−220

−200

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

Cph5

Cph7

Cph11Cph13

Cph17 Cph19


kts = 17)

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−220

−200

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

Cph5

Cph7

Cph11Cph13

Cph17 Cph19

Fig. II.36 : Spectre du courant statorique à vitesse constante [100 - 1000] Hz : Une barre

cassée (kes = 8 et kts = 1)

200 210 220 230 240 250 260 270 280−220

−200

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)2gfs

Cph5


kts = 17)


cage rotorique produit une perturbation importante de la distribution du flux magnétique

dans l’entrefer alors que les défauts tels que l’excentricité du rotor par rapport au stator,

l’ovalisation du rotor ou encore une simple variation du couple de charge produisent une

perturbation plus diffuse générant des champs tournants harmoniques plus faibles. Par

exemple, une variation du couple de charge de fréquence 2 g fs, induit, dans le spectre du

courant statorique, des composantes situées aux mêmes fréquences que celles créées par

une rupture de barre (équation II.52) [59] [60]. Cependant, ce type de variation a une très

faible influence sur les composantes fréquentielles présentes dans la partie haute fréquence

du spectre. En d’autres termes, les composantes de fréquence (x (1 − g) ± (1 + 2 η) g) fs

ne sont pas perturbées par ce type de défaut mécanique.

Par conséquent, une analyse de l’amplitude des composantes harmoniques permettrait

de discerner un défaut rotorique de type barre cassée d’un défaut mécanique de type va-

riation du couple de charge. A titre d’exemple, nous donnons aux figures II.38 et II.39 le

spectre du courant statorique lorsque le couple de charge présente une oscillation de fré-

quence 2 g fs. Nous pouvons remarquer la présence de composantes ayant pour fréquence

(1 ± 2 k g)fs (figure II.38), alors que nous n’avons aucune composante correspondant

aux fréquences (x (1 − g) ± (1 + 2 η) g) fs (figure II.39). Dans ce cas d’étude, l’analyse de

l’amplitude des composantes harmoniques est très importante pour permettre de dissocier

un défaut de barre d’un défaut mécanique de type variation du couple de charge.

Une nouvelle simulation de la machine avec deux barres rotoriques cassées a été ef-

fectuée. Nous avons noté une augmentation significative de l’amplitude des composantes

de fréquence (1 ± 2 k g)fs et (x (1 − g) ± (1 + 2 η) g) fs dans le spectre du courant sta-

torique. Par conséquent, si nous notons une augmentation significative de l’amplitude de

ces composantes, nous pouvons considérer qu’un défaut est apparu au sein de la cage

d’écureuil de la machine asynchrone. La méthode de diagnostic la plus simple, pour dé-

tecter un défaut rotorique, consiste à suivre l’amplitude de ces composantes spécifiques

à des intervalles de temps régulier. Comme l’apparition d’une barre cassée ne provoque

pas un arrêt immédiat de la machine, il n’est donc pas nécessaire d’avoir un suivi de ces

amplitudes à la seconde. Une analyse effectuée toute les 5 minutes suffirait amplement.


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

(1 − 2kg)fs

(1 + 2kg)fs

Fig. II.38 : Spectre du courant statorique [0 - 100] Hz : Variation du couple de charge

à 2 g fs (kes = 8 et kts = 17)

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−220

−200

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)PSfrag replacements

isa (f)

250

Hz

350

Hz

550

Hz

650

Hz

850

Hz

950

Hz

Fig. II.39 : Spectre du courant statorique [100 - 1000] Hz : Variation du couple de charge

à 2 g fs (kes = 8 et kts = 17)


Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté un modèle permettant la simulation d’une ma-

chine asynchrone à cage d’écureuil. Les conséquences d’une rupture de barre (ou d’un

segment d’anneaux) de la cage d’écureuil s’obtiennent très simplement, il suffit d’aug-

menter la résistance de la barre incriminée (ou la résistance de la portion d’anneaux

considérée). Ce modèle de machine a permis de comprendre les phénomènes physiques

mise en jeu lors de l’apparition d’un tel défaut.

Nous avons ensuite étudié les grandeurs temporelles de la machine asynchrone dans le

domaine fréquentiel en utilisant les méthodes d’analyses décrites dans le chapitre I. Cette

approche nous a permis d’identifier les signatures fréquentielles causées par la rupture

d’une ou plusieurs barres de la cage rotorique. Il s’est avéré que la surveillance de l’ampli-

tude des composantes de fréquence (1 ± 2 k g)fs et (x (1 − g) ± (1 + 2 η) g) fs présentes

dans le spectre fréquentiel du courant statorique permet de détecter la présence d’un dé-

faut au niveau de la cage rotorique de la machine. A partir de ces informations, il est alors

possible de développer des méthodes de surveillance et de diagnostic appropriées, sujet

des deux chapitres suivants.

Chapitre III

Diagnostic de défaut par le calcul

d’indices de défaillances

Introduction

L’étude menée dans le chapitre précèdent a permis d’analyser et de comprendre les

phénomènes qui apparaissent au niveau des grandeurs temporelles de la machine asyn-

chrone telles que le courant statorique ou encore le couple électromagnétique lorsque la

machine fonctionne avec un rotor sain ou un rotor défaillant (rupture d’une barre de la

cage d’écureuil). La validation expérimentale est, dans notre domaine, indispensable car

il peut exister une importante différence entre les résultats issus de la simulation et ceux

issus de l’expérimentation. L’origine de cette différence est due en partie aux hypothèses

faites lors de la modélisation de la machine asynchrone.

Ce chapitre est destiné au développement et à l’expérimentation d’une méthode de

diagnostic permettant la détection d’un défaut au niveau de la cage rotorique. Deux

niveaux de défaillance sont étudiés, la rupture partielle et la rupture totale d’une barre de

la cage rotorique de la machine asynchrone. Nous présentons dans un premier temps les

différentes étapes théoriques qui nous ont permis d’aboutir à la méthodologie finale puis,

dans un second temps, nous appliquons la méthode proposée sur des essais expérimentaux

pour permettre de valider sa robustesse et son efficacité lors de l’apparition d’une telle

défaillance.

84 Chapitre III : Diagnostic de défaut par le calcul d’indices de défaillances

III.1 Étude théorique

Nous avons pu, grâce au chapitre précédent, déterminer quelles étaient les composantes

spectrales les plus significatives pour la détection d’une ou plusieurs barres rotoriques

cassées. Les méthodes qui utilisent l’estimation de la densité spectrale de puissance sont

à ce jour les méthodes les plus connues et les plus utilisées pour diagnostiquer la présence

ou non d’un défaut au niveau de la cage d’écureuil de la machine. Plus précisément, c’est

la représentation dans le domaine fréquentiel du courant absorbé qui est la plus populaire

car elle ne nécessite, pour son analyse, qu’une instrumentation simple et peu onéreuse.

De plus, le transfert de ce type de signal se fait le plus souvent sans modifier l’installation

dans laquelle la machine asynchrone opère.

III.1.1 Analyse du courant statorique

Nous présentons sur la figure III.1 la densité spectrale de puissance du courant sta-

torique d’une phase de la machine pour une cage rotorique saine et sur la figure III.2 la

densité spectrale de puissance de cette même grandeur pour une cage rotorique défaillante1

(une barre cassée). Nous remarquons que l’apparition du défaut rotorique provoque une

augmentation de l’amplitude de certaines composantes. De plus, nous pouvons voir sur

ces deux figures que nous avons des composantes d’amplitude différente de part et d’autre

de la composante fondamentale ce qui signifie que le courant statorique est modulé en

amplitude mais aussi en fréquence. L’équation III.1 rappelle l’expression des fréquences

où se situent ces composantes spécifiques. Une surveillance de l’évolution de ces ampli-

tudes donnerait alors une information pertinente sur l’état de la cage rotorique comme

nous l’avons montré dans le chapitre précèdent.

f±bck

= (1 ± 2 k g) fs (III.1)

Nous pouvons remarquer que le spectre du courant absorbé par la machine asynchrone en

absence et en présence de défaillance ressemble très fortement à un signal temporel modulé

en amplitude [61] [62]. Nous représentons sur la figure III.3 le spectre d’un signal théorique

de pulsation fondamentale ωs modulé en amplitude par un autre signal sinusoïdal de

1les DSP sont calculées en utilisant une fenêtre de Hanning

III.1 : Étude théorique 85

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

Fig. III.1 : Spectre fréquentiel du courant statorique expérimental pour un rotor sain

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

Fig. III.2 : Spectre fréquentiel du courant statorique expérimental pour un rotor dé-

faillant (1 barre cassée)


pulsation ωm dont l’expression est donnée à l’équation III.2. Dans cette expression, le

terme mc est appelé indice de modulation.

isa(t) =√

2 Is cos(ωs t) (1 + mc cos(ωm t))

isa(t) = isa0(t) (1 + mc cos(ωm t)) (III.2)

L’observation du courant statorique nous a conduit à généraliser cette expression en intro-

duisant de nouvelles composantes dites "modulantes". Cette nouvelle expression devient :

isa(t) = isa0(t)

(1 +

X∑

k=1

mckcos(k ωm t)

)

isa(t) = isa0(t) +X∑

k=1

√2 Is mck

2[cos((ωs − k ωm)t) + cos((ωs + k ωm) t)] (III.3)

où le terme X représente le nombre de composantes modulantes présentes autour de la

fréquence fondamentale. Par exemple, si nous décidons de choisir X = 3 en imposant des

indices de modulation mckdifférents les uns des autres, nous obtenons le spectre donné à

la figure III.4. Nous pouvons voir l’apparition de trois composantes fréquentielles de part

et d’autre de la fréquence fondamentale fs. Si nous prenons une valeur particulière pour

l’indice k, nous remarquons que la composante de droite à une amplitude identique à celle

de gauche (modulation d’amplitude symétrique autour de la fréquence porteuse).

La forme du spectre fréquentiel obtenue grâce à la relation III.3 (figure III.4) ne cor-

respond pas exactement aux spectres du courant expérimental donnés aux figures III.1

ou III.2. En effet, si nous analysons ces deux spectres fréquentiels, nous remarquons que

les composantes spectrales se situant à gauche de la fréquence fondamentale ont une

amplitude plus importante que celles se situant à droite. Par conséquent, nous devons

décomposer la modulation d’amplitude de notre signal théorique en deux parties. Cette

décomposition introduit implicitement la modulation de fréquence présente dans le cou-

rant expérimental. La répartition des amplitudes des composantes de gauche et de droite

dans l’expression mathématique de isa(t) donne :

isa(t) = isa0(t)+X∑

k=1

√2 Is mck

2cos((ωs−k ωm) t)+

X∑

k=1

√2 Is m

′

ck

2cos((ωs+k ωm) t) (III.4)

Le spectre fréquentiel du signal de l’équation III.4 est donné à la figure III.5. L’avantage

de cette expression réside dans le fait que nous pouvons obtenir des composantes ayant


une amplitude plus importante à gauche qu’à droite de la fréquence fondamentale si nous

choisissons une valeur des indices mcksupérieure à celle des indices m

′

ck(pour un terme

k identique). De plus, comme la modulation est non symétrique, nous ne pouvons plus

appeler les termes mcket m

′

ckindices de modulation. A ce stade de l’étude, nous les

appellerons "indices d’amplitude".

En introduisant le déphasage angulaire entre la tension et le courant circulant dans

une phase statorique d’une machine asynchrone, l’expression finale devient :


k=1

√2 Is mck

2cos((ωs−k ωm) t−ϕ)+

X∑

k=1

√2 Is m

′

ck

2cos((ωs +k ωm) t−ϕ)

(III.5)

avec pour équation de départ :

isa0(t) =√

2 Is cos(ωs t − ϕ)

Pour retrouver une correspondance avec la théorie de la modulation d’amplitude, nous

devons reformuler l’expression du courant de sorte à faire apparaître une amplitude iden-

tique pour les composantes de droite et de gauche du spectre. L’expression du courant

statorique de la machine asynchrone peut ainsi se mettre sous la forme :

isa(t) = isa0(t) +X∑

k=1

√2 Is

2(mck

+ m′

ck) cos(k ωm t) (cos ϕ cos(ωs t) + sin ϕ sin(ωs t))

+X∑

k=1

√2 Is

2(mck

− m′

ck) sin(k ωm t) (cos ϕ sin(ωs t) − sin ϕ cos(ωs t)) (III.6)

Cette relation mathématique permet de définir deux nouveaux indices dont les expressions

sont :

mcmk=

(mck+ m

′

ck)

2et mcok

=(mck

− m′

ck)

2(III.7)

L’indice mcmksera appelé indice de modulation du courant statorique et peut donc

faire référence à la théorie de la modulation d’amplitude [62]. L’indice mcoksera, quant à

lui, appelé indice d’oscillation du courant statorique. La figure III.6 représente le spectre

théorique permettant une meilleure compréhension de ces deux nouveaux indices (k = 1).

Si plusieurs signaux sinusoïdaux modulent la même porteuse, ce qui est le cas dans

l’analyse du spectre du courant statorique, la puissance de celle-ci demeurera inchan-

gée alors que les signaux modulants augmenteront la puissance contenue dans les bandes


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fréquence (Hz)

Am

plitu

de (

A)

PSfrag replacements

isa (f)

Fig. III.3 : Spectre fréquentiel du signal théorique donné à l’équation III.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fréquence (Hz)

Am

plitu

de (

A)

PSfrag replacements

isa (f)


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fréquence (Hz)

Am

plitu

de (

A)

PSfrag replacements

isa (f)

mckm

′

ck


30 35 40 45 50 55 60 65 700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fréquence (Hz)

Am

plitu

de (

A)

PSfrag replacements

isa (f)

mcm1=

(mc1+m

′

c1)

2 mco1=

(mc1−m

′

c1)

2



latérales. L’indice d’amplitude étant proportionnel à l’amplitude du signal modulant, dif-

férents indices d’amplitude mc1 , mc2 , mc3 , ... correspondront aux différents signaux mo-

dulants. Par conséquent, nous pouvons introduire un indice d’amplitude global mctqui

sera tel que la puissance totale contenue dans les composantes latérales sera égale à la

somme des puissances individuelles des bandes latérales comme le montre la relation :

m2ct

Pc

2=

m2c1

Pc

2+

m2c2

Pc

2+

m2c3

Pc

2+ . . . (III.8)

Dans ces expressions, la puissance spectrale Pc représente la puissance de la composante

de fréquence fs. L’indice d’amplitude global vaut alors m2ct

=∑

k

m2ck

.

En adoptant la même démarche, nous pouvons donner l’expression de l’indice de modu-

lation global ainsi que l’expression de l’indice d’oscillation global de l’équation III.6 :

m2cgm

=∑

k

m2cmk

(III.9)

m2cgo

=∑

k

m2cok

(III.10)

A partir des différents indices, nous déterminons un indice d’amplitude global permettant

la prise en compte de l’amplitude de toutes les composantes se situant à gauche et à droite

de la composante fondamentale du courant statorique. Cet indice global se calcule à partir

de la relation mathématique :

m2ct

=

Kl∑

k=1

m2ck

+Kr∑

k=1

m′2ck

(III.11)

Dans cette équation, les termes Kl et Kr représentent respectivement le nombre de com-

posantes modulantes se situant à gauche et à droite de la composante fondamentale de

fréquence fs.

Le calcul de ces différents indices ne peut pas se faire sans évaluer l’amplitude de la

composante spectrale concernée. Ayant accès à l’amplitude de la composante fondamen-

tale, la détermination de l’amplitude des composantes de gauche et de droite permettra

d’évaluer chaque indice d’amplitude et donc de calculer les indices globaux correspon-

dants.

Sachant que l’amplitude de chaque composante latérale Ascpeut s’exprimer en fonction

de son indice d’amplitude mc et de l’amplitude de la composante fondamentale Acf grâce


à la relation Asc=

mc Acf

2, nous pouvons donc déterminer la valeur de chaque indice d’am-

plitude en utilisant l’expression :

Asc

Acf

=mcAcf

2

1

Acf

=mc

2ce qui nous donne mc =

2Asc

Acf

(III.12)

Dans le cas étudié, l’amplitude Ascpeut être celle d’une composante pouvant se situer à

gauche ou à droite de l’amplitude fondamentale. Une fois que chaque indice d’amplitude

est connu, nous pouvons calculer la valeur des différents indices globaux précédemment

énoncés.

En analysant la démarche précédente, nous pouvons remarquer que si l’amplitude des

composantes dites "modulantes" augmente, alors les indices d’amplitude correspondant

feront de même. Par conséquent, en analysant la valeur des différents indices globaux

(qui dépendent de chaque indice d’amplitude), nous pourrons savoir si l’amplitude de ces

composantes évolue au cours du temps. Le diagnostic de défaut de la machine asynchrone

peut donc être basé sur le suivi de ces indices globaux. En effet, le calcul du spectre

fréquentiel du courant statorique de la machine donne accès aux amplitudes des compo-

santes présentes autour de la fréquence fondamentale. Une évaluation de ces amplitudes

permet donc de calculer les indices d’amplitude associés (équation III.12). Si nous prenons

le cas du défaut étudié, la rupture partielle ou totale d’une barre de la cage rotorique pro-

voque l’apparition et l’augmentation des composantes dont les fréquences sont rappelées

à l’équation III.1. Cette augmentation est visible pour une barre rotorique cassée en com-

paraison avec une machine asynchrone fonctionnant avec un rotor sain (figures III.1 et

III.2). Plus le défaut rotorique est important (cassure de plusieurs barres adjacentes par

exemple), plus les indices d’amplitude des composantes latérales seront élevés. Par consé-

quent, l’évaluation de ces différents indices globaux peut être vue comme une méthode

sure et efficace pour la détection et le diagnostic d’une barre rotorique partiellement ou

totalement cassée.

Afin d’obtenir un système autonome, il nous faut calculer les différents indices globaux

de manière automatique. La difficulté dans la méthodologie présentée est l’évaluation avec

une grande précision de l’amplitude des composantes spectrales créées par le défaut ro-

torique afin d’obtenir les indices d’amplitude les plus précis possibles. Pour évaluer l’am-

plitude d’une composante, nous devons tout d’abord connaître la fréquence qui lui est

associée. Dans le cas d’un défaut de barre, nous savons où se situent ces composantes en


calculant, grâce à l’équation III.1, la valeur de leurs fréquences. La principale difficulté

réside dans le fait que ces fréquences varient avec le glissement g de la machine. Pour un

point de fonctionnement nominal, ce glissement vaut quelques pour-cent, ce qui permet de

discerner ces composantes de la composante fondamentale fs. Par contre, lorsque le glisse-

ment est très proche de zéro (fonctionnement à faible charge ou à vide), ces composantes

sont relativement proches de la composante fondamentale fs, ce qui rend leur détection

beaucoup plus difficile. Pour contourner ce problème, nous allons montrer ci-après que

l’utilisation de la puissance instantanée d’une phase permet de détecter les composantes

créées par le défaut rotorique avec plus de facilité.

III.1.2 Analyse de la puissance instantanée

En considérant une alimentation purement sinusoïdale de la machine, la tension et le

courant d’une phase statorique peuvent se mettre sous la forme suivante :

vs(t) =√

2 Vs cos(ωst) (III.13)

isa0(t) =√

2 Is cos(ωst − ϕ) (III.14)

ce qui nous donne, en terme de puissance instantanée :

psa0(t) = Vs Is [cos(2 ωst − ϕ) + cos ϕ] (III.15)

La représentation de ce signal dans le domaine fréquentiel fait apparaître une compo-

sante périodique de fréquence 2 fs plus une composante continue. Nous avons montré

que l’apparition d’un défaut rotorique crée une modulation d’amplitude sur le courant

absorbé par la machine. Par conséquent, en multipliant l’équation III.13 par l’équation

III.5, l’expression de la puissance instantanée d’une phase statorique, en présence d’un

défaut rotorique, donne :

psa(t) = psa0(t) +∑

k

Vs Is mpk

2cos((2 ωs − k ωm) t − ϕ)

+∑

k

Vs Is m′

pk

2cos((2 ωs + k ωm) t − ϕ)

+∑

k

Vs Is

2[mpk

+ m′

pk] cos ϕ cos(k ωm t)

+∑

k

Vs Is

2[m

′

pk− mpk

] sin ϕ sin(k ωm t) (III.16)


Cette expression fait apparaître en plus de la composante de fréquence 2fs et de la com-

posante continue, des composantes de fréquence 2fs ± kfm autour de la fréquence fon-

damentale ainsi que des composantes de fréquence kfm dans la partie basse fréquence

du spectre. Pour trouver une similitude avec la théorie de la modulation d’amplitude,

l’expression de la puissance instantanée peut aussi se mettre sous la forme :

psa(t) = psa0(t) +∑

k

Vs Is

2(mpk

+ m′

pk) cos(k ωm t) (cos ϕ cos(2 ωs t) + sin ϕ sin(2 ωs t))

+∑

k

Vs Is

2(mpk

− m′

pk) sin(k ωm t) (cos ϕ sin(2 ωs t) − sin ϕ cos(2 ωs t))

+∑

k

Vs Is

2(mpk

+ m′

pk) cos ϕ cos(k ωm t)

+∑

k

Vs Is

2(m

′

pk− mpk

) sin ϕ sin(k ωm t) (III.17)

L’analyse de cette expression permet de calculer un indice de modulation noté mpmket

un indice d’oscillation noté mpokspécifique au signal de la puissance instantanée d’une

phase statorique de la machine :

mpmk=

(mpk+ m

′

pk)

2et mpok

=(mpk

− m′

pk)

2(III.18)

Nous avons montré, à travers l’équation III.16, que l’amplitude des composantes spéci-

fiques, présentes dans la partie basse fréquence du spectre de la puissance, dépend de la

valeur de l’angle de déphasage ϕ (déphasage entre le courant et la tension simple d’une

phase) et de la valeur des indices d’amplitude des composantes de fréquence 2fs ± kfm.

En fixant des indices d’amplitude constants, nous remarquons que l’amplitude de ces

composantes augmente lorsque le déphasage ϕ diminue. A partir de cette remarque, nous

pouvons dire que pour un fonctionnement à faible charge (voire à vide), l’amplitude de ces

composantes sera plus importante que celles présentes autour de la composante fondamen-

tale. Cette remarque laisse présager qu’une détection du défaut rotorique serait plus aisée

en utilisant les indices d’amplitude calculés à partir des composantes basses fréquences par

rapport aux indices d’amplitude calculés à partir des composantes de fréquence 2fs±kfm

présentes dans le spectre de la puissance instantanée, ou des composantes de fréquence

fs ± kfm présentes dans le spectre du courant statorique lorsque la machine fonctionne à

faible charge (rappelons que dans le cas d’une rupture de barre, la fréquence de modula-

tion fm est égale à 2gfs).


Connaissant ces données, il nous est facile de déterminer leurs amplitudes et par consé-

quent de définir un nouvel indice d’amplitude mbfkque nous appellerons, dans ce docu-

ment, "indice d’amplitude basse fréquence". La relation qui permet de calculer la valeur

de l’amplitude de la composante basse fréquence d’indice k est :

Apk=∑

k

VsIs

2

√m2

pk+ m′2

pk+ 2 mpk

m′

pkcos(2ϕ) (III.19)

De cette équation, il est aisé de déduire l’expression de l’indice d’amplitude basse fréquence

mbfk:

mbfk=√

m2pk

+ m′2pk

+ 2 mpkm′

pkcos(2ϕ) (III.20)

En se reportant à l’équation III.8, l’indice de modulation global mgmp, l’indice d’oscillation

global mgop, l’indice d’amplitude global mtp et l’indice d’amplitude basse fréquence global

mbftde la puissance instantanée d’une phase se calculent à partir des expressions :

m2pgm

=∑

k

m2pmk

(III.21)

m2pgo

=∑

k

m2pok

(III.22)

m2pt

=∑

k

m2pk

+∑

k

m′2pk

(III.23)

m2bft

=∑

k

m2bfk

(III.24)

La valeur de ces indices globaux augmente seulement lorsque le défaut rotorique apparaît

au sein de la cage d’écureuil. Le spectre de l’équation théorique de la puissance instan-

tanée (équation III.16) est représenté sur la figure III.7. Nous observons la présence des

composantes de défaut autour de la fréquence fondamentale (composantes de fréquence

2fs ± kfm) plus les composantes basses fréquences d’expression kfm = 2kgfs. En com-

paraison avec le spectre théorique du courant statorique donné à la figure III.8, nous

pouvons conclure que l’analyse de la puissance instantanée apporte une information sup-

plémentaire dans la partie basse fréquence de son spectre. Ce complément d’information

permettra de détecter les fréquences de modulation créées par le défaut rotorique direc-

tement à partir du spectre basse fréquence de cette puissance. Une fois la fréquence 2 g fs

déterminée, nous pourrons calculer les fréquences des composantes présentes autour de

la fréquence fondamentale du courant et de la puissance et ainsi évaluer leurs amplitudes

respectives pour calculer la valeur des différents indices globaux cités précédemment.


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Fréquence (Hz)

Am

plitu

de (

A)

PSfrag replacements

psa (f)

mbft

mpt

Fig. III.7 : Spectre fréquentiel de la puissance instantanée théorique (équation III.16)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Fréquence (Hz)

Am

plitu

de (

A)

PSfrag replacements

isa (f)

mct

Fig. III.8 : Spectre fréquentiel du courant statorique théorique (équation III.5)

III.2 : Application 95

Nous venons de décrire la méthode de diagnostic que nous souhaitons utiliser pour

détecter la présence d’un défaut de barre au sein de la cage d’écureuil. Le test de cette

approche sur différents essais expérimentaux va nous permettre de vérifier sa validité.

III.2 Application

Nous venons de voir que le calcul des différents indices nécessite la détection de la

composante de fréquence 2 g fs présente dans le spectre fréquentiel de la puissance instan-

tanée d’une phase statorique. Pour obtenir une représentation du courant statorique et

de la puissance instantanée dans le domaine fréquentiel, nous utilisons le périodogramme

de Bartlett décrit dans le chapitre I calculé avec une fenêtre de Hanning [63]. Cette ap-

plication est restreinte ici au cas où la cage rotorique présente une barre partiellement

cassée et une barre totalement cassée dans le cas d’une alimentation directe par le réseau

triphasé et d’une alimentation par un variateur de vitesse commandé en U/f .

III.2.1 Banc d’essai et mesure

Pour tester la méthode de diagnostic proposée, notre laboratoire s’est doté d’un banc

d’essai et mesure composé d’une machine asynchrone de 3 kW (une paire de pôle) et

d’une machine à courant continu. La machine asynchrone étudiée fonctionne avec une

cage rotorique de 28 barres fabriquée en aluminium. La vitesse rotorique de cette machine

peut varier de 2800 tr/min (fonctionnement au couple nominal) à 2990 tr/min (fonction-

nement à vide). Les photos et la description totale du banc sont données dans l’annexe

B de ce document. Les deux signaux (courant statorique et tension simple) sont prélevés

simultanément grâce à une carte spécifique. L’échantillonnage des signaux peut s’effec-

tuer en choisissant une fréquence comprise entre 1 kHz et 2,5 MHz. Pour notre analyse,

nous avons choisi une fréquence d’échantillonnage de 2 kHz et un nombre de points égal

à 218 = 262144 valeurs. L’alimentation de la machine peut se faire soit par le réseau

triphasé, soit par un variateur de vitesse commandé en U/f . La figure III.9 représente le

synoptique du banc d’essai et mesure utilisé.


PSfrag replacements

Caissede chargeresistive

Moteur a

courant continuMoteur asynchrone

Alimentation

triphasee

Carte d’acquisition

CS 1602

Micro ordinateur

Capteur de courant

Sonde detension

Variateur

de vitesse

Fig. III.9 : Synoptique du banc d’essai et mesure

III.2.2 Alimentation de la machine par le réseau triphasé

Nous nous intéressons dans un premier temps au diagnostic de la machine asynchrone

lorsque cette dernière est connectée à un réseau triphasé délivrant trois tensions simples

de valeur efficace 230 Volts et de fréquence 50 Hz. Nous étudions les cas où la machine

asynchrone présente une barre partiellement cassée (environ 50% de la barre est percé) et

une barre totalement cassée sous différents couples de charge.

La figure III.10 représente le spectre de la puissance instantanée d’une phase de la

machine lorsque nous utilisons le périodogramme simple décrit dans le chapitre I. La figure

III.11, représente le même signal mais avec l’utilisation du périodogramme de Bartlett.

Nous pouvons constater que le bruit du spectre, appelé aussi variance du spectre, est

réduit dans de fortes proportions. En effet, l’utilisation de segments dont la longueur D

est fixée à 32768 valeurs impose un nombre de segments L égal à 8. Par conséquent, le

spectre calculé sur ces 32768 valeurs est moyenné 8 fois ce qui réduit la variance (ou


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−150

−125

−100

−75

−50

−25

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

psa (f)

Fig. III.10 : Spectre de la puissance instantanée d’une phase statorique calculée avec le

périodogramme simple

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−150

−125

−100

−75

−50

−25

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

psa (f)

Fig. III.11 : Spectre de la puissance instantanée d’une phase statorique calculée avec le

périodogramme de Bartlett (Moyenné sur 8 segments)


le bruit) du périodogramme final et facilite la détection des composantes désirées. La

fréquence d’échantillonnage Fe étant de 2 kHz, la résolution fréquentielle de nos spectres

sera donc égale à 0,061 Hz (Fe/N).

Pour différencier les essais expérimentaux, nous utiliserons les notations suivantes :

– S-C100 pour un essai effectué avec un rotor sain sous une charge de 100% ;

– 1b-C75 pour un essai effectué avec une barre cassée sous une charge de 75% ;

– 05b-C0 pour un essai effectué avec une barre partiellement cassée à vide.

La figure III.12 représente le spectre du courant statorique d’une phase de la machine

asynchrone dans la plage fréquentielle [0 - 100] Hz lorsque celle-ci fonctionne dans la

configuration S-C100. Nous pouvons remarquer que pour ce mode de fonctionnement il

existe, dans ce spectre fréquentiel, des composantes de faibles amplitudes de fréquence

(1 ± 2 k g)fs. Ces composantes fréquentielles se retrouvent dans le spectre de la puis-

sance instantanée (en basse fréquence et autour de la composante fondamentale à 100

Hz) comme nous pouvons le visualiser sur les figures III.13 et III.14. L’apparition de ce

type de composantes lorsque la machine fonctionne avec un rotor sain s’explique par la

présence d’une faible asymétrie rotorique. Une machine électrique n’étant évidemment

pas parfaite, il existe sur tout type de machines, des phénomènes provoquant ce genre de

perturbations. Comme cette asymétrie induit une légère modification de la distribution

du flux magnétique dans l’entrefer de la machine, le spectre fréquentiel du courant stato-

rique contient des composantes de faibles amplitudes dont les fréquences sont identiques

à celles créées par une rupture de barre.

Dans la méthode de diagnostic étudiée, l’amplitude de ces composantes sera utilisée

comme référence pour diagnostiquer la présence d’une anomalie au rotor de la machine

asynchrone. Cette référence sera obtenue en calculant la valeur des différents indices glo-

baux du courant statorique et de la puissance instantanée lorsque la cage rotorique sera

considérée comme étant saine. Une augmentation de la valeur de ces indices signifiera la

présence d’une asymétrie plus importante due à la présence d’une barre ou d’une por-

tion d’anneau de court-circuit partiellement ou totalement cassée au niveau de la cage

rotorique.


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

(1 − 2 g)fs

Fig. III.12 : Spectre du courant statorique : S-C100 [0 - 100] Hz

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

psa (f)

2(1 − g)fs

Fig. III.13 : Spectre de la puissance instantanée : S-C100 [0 - 200] Hz

0 5 10 15 20 25 30 35−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

psa (f)

2 g fs



III.2.2.1 Calcul du glissement de la machine

La principale difficulté de la méthode proposée réside dans la détection des compo-

santes de fréquence 2 k g fs contenues dans le spectre basse fréquence de la puissance

instantanée.

Nous avons montré dans le chapitre II que l’amplitude de la composante de fréquence

(1 − 2 g)fs présente dans le spectre fréquentiel du courant statorique était toujours plus

grande que celles situées aux fréquences (1 − 2 k g)fs (k > 1) et (1 + 2 k g)fs. Par consé-

quent, la composante à 2 g fs dans le spectre de la puissance instantanée aura une ampli-

tude plus importante que celles à 2 k g fs (k > 1). A partir de cette remarque, la compo-

sante qui aura la plus grande amplitude dans une bande de fréquence fixée correspondra

obligatoirement à la composante de fréquence 2 g fs créée par l’asymétrie rotorique de la

machine en supposant que la machine asynchrone ne soit pas perturbée, voire altérée, par

un phénomène autre que celui créé par la cassure d’une barre rotorique. Pour résoudre ce

problème, il suffit de visualiser le contenu spectral de la puissance instantanée du moteur

à analyser (spectre de référence) pour vérifier l’absence de composantes perturbatrices

dans la partie basse fréquence.

La détection des amplitudes des composantes de fréquence 2 k g fs du spectre de la

puissance instantanée se fait à l’aide d’un seuil dont la valeur dépend de la moyenne du

spectre et de l’écart-type du bruit calculés dans une plage fréquentielle [fmin - fmax]. Les

bornes fmin et fmax sont choisies en fonction du type de machine utilisée (à paramètrer à la

mise en place du système de détection). Comme notre machine asynchrone fonctionne avec

une vitesse se situant entre 2800 tr/min et 2990 tr/min, nous obtiendrons une fréquence

2 g fs comprise entre 0,33 Hz minimum et 6,67 Hz maximum. Le nombre maximal de

composantes que nous désirons détecter dans la bande fréquentielle [fmin - fmax] du spectre

de la puissance instantanée est de 5 (nous considérons que l’apparition de 5 composantes

dans la partie basse fréquence du spectre correspond à un défaut relativement important).

La bande fréquentielle choisie pour la détection des composantes de fréquence 2 k g fs sera

donc [0,2 - 35] Hz. La figure III.15 représente le spectre de la puissance instantanée avec

le seuil permettant la détection des composantes de fréquence 2 k g fs (fonctionnement

S-C100).

La détection de la composante de fréquence 2 g fs s’effectue en suivant les étapes


chronologiques ci-dessous :

1. Définition d’un seuil de détection dans la plage fréquentielle [0,2 - 35] Hz.

2. Sélection des maxima supérieurs à ce seuil.

3. Le maximum ayant la plus forte amplitude est choisi comme étant celui correspon-

dant à la composante de fréquence 2 g fs (asymétrie rotorique).

4. Vérification de la fréquence de ces maxima (il faut qu’elle soit multiple entier de la

fréquence 2 g fs±0, 5%). Si tel est le cas, nous considérons les composantes associées

à ces fréquences comme étant des composantes créées par le défaut rotorique.

Le résultat de cet algorithme fournit le nombre de composantes ayant une amplitude supé-

rieure au seuil de détection et dont les fréquences sont un multiple entier de la fréquence

de défaut 2 g fs. Ce nombre de composantes sera dans la suite de l’étude appelé Kpn.

Grâce à la fréquence 2 g fs, nous pouvons déduire la valeur du glissement de la machine et

calculer la vitesse de rotation de l’arbre rotorique. Une fois le glissement g et le nombre de

composantes Kpn connus, nous calculons la fréquence des composantes présentes autour

de la fréquence fondamentale du courant statorique et de la puissance instantanée grâce

aux relations (1±2 k g)fs et 2(1±k g)fs. A partir de ces fréquences, nous pouvons évaluer

l’amplitude des composantes correspondantes avec une tolérance toujours inférieure à 1%.

Nous évaluons l’amplitude de 2 Kpn composantes autour de la fréquence fondamentale du

spectre du courant et de la puissance (Kpn composantes à gauche et Kpn composantes à

droite).

A ce stade de l’étude, nous connaissons les fréquences et les amplitudes de chaque

0 5 10 15 20 25 30 35−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

psa (f)Seuil

2 g fs

Seuil

Fig. III.15 : Spectre de la puissance avec le seuil de détection : S-C100 [0 - 35] Hz


composante créée, soit par l’asymétrie rotorique "naturelle" (rotor sain), soit par le défaut

de barre ou d’anneaux. Nous pouvons alors calculer les indices globaux du courant en

utilisant les équations III.9, III.10 et III.11 ainsi que les indices globaux de la puissance

instantanée en utilisant les équations III.21, III.22, III.23 et III.24.

Comme nous l’avons précédemment mentionné, nous étudions le comportement de la

machine asynchrone lorsque celle-ci fonctionne sous différents couples de charge ( 14, 1

2, 3

4

et 44

du couple nominal de la machine). Nous nous intéressons dans un premier temps au

cas où la machine fonctionne avec un rotor sain. Une fois ces analyses effectuées, nous

étudions le comportement de cette dernière lorsque sa cage rotorique présente une barre

partiellement cassée et une barre totalement cassée. Dans un dernier essai, nous proposons

d’étudier la détection d’un défaut rotorique lorsque la machine asynchrone fonctionne à

vide.

III.2.2.2 Résultats expérimentaux

Les valeurs des différents indices globaux calculés lorsque la machine est connectée

au réseau d’alimentation triphasé sont répertoriées dans le tableau III.1. La première co-

lonne de ce tableau correspond à l’état du rotor de la machine asynchrone, la seconde et

la troisième colonne donnent respectivement la puissance moyenne de la phase analysée

et la valeur de la fréquence 2 g fs détectée dans la bande basse fréquence du spectre de la

puissance instantanée, la quatrième colonne donne la valeur du seuil de détection utilisée

pour le calcul du nombre de composantes Kpn, la cinquième colonne donne la vitesse de

rotation de la machine (calculée à partir de la fréquence 2 g fs), la sixième colonne donne

le nombre de composantes Kpn détectées dans la bande fréquentielle [fmin - fmax], les

colonnes suivantes nous renseignent sur la valeur des indices globaux du spectre fréquen-

tiel de la puissance instantanée et du courant d’une phase statorique. L’analyse de ce

tableau révèle deux informations importantes. L’apparition du défaut rotorique provoque

d’une part un accroissement du nombre de composantes dans le spectre basse fréquence

de la puissance instantanée (valeur Kpn) et d’autre part une augmentation de tous les

indices globaux. Cette augmentation est causée par un accroissement de l’amplitude des

composantes fréquentielles créées par la rupture de la barre.

Dans la littérature, il est courant de trouver des méthodes de diagnostic qui ne se basent


Tab.II

I.1

:In

dice

sgl

obau

xd’

une

phas

est

ator

ique

pou

run

eco

nnex

ion

dire

cte

sur

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s.m

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Fré

quen

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mbf

tm

pt

mc t

mp

gm

mp

go

mc g

mm

c go

roto

r(W

atts

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f sdé

tect

ion

(tr/

min

)

S-C

100

1351

6,53

-76,

9228

032

0,00

200,

0028

0,00

210,

0015

0,00

120,

0012

0,00

09

05b-

C10

013

355,

98-7

4,25

2820

30,

0063

0,00

600,

0053

0,00

370,

0021

0,00

330,

0018

1b-C

100

1377

6,67

-63,

2327

993

0,04

350,

0454

0,04

080,

0260

0,01

890,

0237

0,01

64

S-C

7599

14,

94-7

5,85

2851

30,

0024

0,00

360,

0024

0,00

210,

0015

0,00

140,

0008

05b-

C75

1050

4,27

-72,

0328

723

0,00

610,

0068

0,00

700,

0043

0,00

230,

0044

0,00

22

1b-C

7598

54,

64-7

1,08

2860

40,

0408

0,04

700,

0442

0,02

880,

0165

0,02

740,

0151

S-C

5069

03,

17-7

3,48

2904

20,

0017

0,00

230,

0018

0,00

150,

0007

0,00

120,

0004

05b-

C50

691

2,87

-73,

0029

133

0,00

400,

0057

0,00

380,

0037

0,00

170,

0026

0,00

07

1b-C

5068

12,

99-6

6,67

2910

40,

0279

0,03

930,

0350

0,02

560,

0109

0,02

330,

0083

S-C

2537

81,

59-6

8,08

2952

20,

0044

0,01

000,

0048

0,00

590,

0038

0,00

300,

0014

05b-

C25

386

1,47

-71,

1529

562

0,01

150,

0214

0,01

000,

0120

0,00

920,

0061

0,00

36

1b-C

2537

11,

53-6

2,26

2954

30,

0240

0,03

580,

0281

0,02

460,

0059

0,01

980,

0019

S-C

099

0,30

-70,

4629

901

0,00

240,

0080

0,00

460,

0057

0,00

040,

0033

5e−

5

05b-

C0

102

0,27

-72,

6529

931

0,00

270,

0082

0,00

690,

0062

0,00

030,

0049

0,00

06

1b-C

097

0,27

-68,

7429

932

0,00

410,

0114

0,00

650,

0079

0,00

180,

0045

0,00

07


que sur l’analyse de la composante de fréquence (1 − 2 g)fs présente dans le spectre du

courant statorique. En effet, nous avons montré dans le chapitre II que cette composante

est directement liée au défaut rotorique. Cependant, si nous comparons la valeur de l’in-

dice d’amplitude de cette composante (indice mc1) avec la valeur de l’indice global calculé

en prenant en compte l’amplitude de toutes les composantes spectrales (tableau III.2),

il apparaît clairement qu’il est plus judicieux d’utiliser l’indice global mct (contribution

de toutes les composantes) car il augmente plus significativement que l’indice mc1 lors

de l’apparition du défaut rotorique. La même analyse peut être faite avec la puissance

instantanée (composantes situées aux fréquences 2 g fs et 2(1− g)fs. D’une manière géné-

rale, l’analyse des indices globaux calculés à partir du spectre du courant statorique et de

la puissance instantanée permet de se rendre compte plus facilement de l’état de la cage

rotorique de la machine.

Nous avons montré que l’apparition d’un défaut rotorique (qu’il soit partiel ou total)

faisait croître la valeur des différents indices globaux et, pour certains niveaux de charge,

augmenter le nombre de composante Kpn. Ces deux paramètres donnent donc une image

pertinente de l’état de la cage rotorique et peuvent, par conséquent, être utilisés pour

définir deux critères de détection qui vont être étudiés dans la suite du document.

III.2.2.2.1 Critère de détection no1

Le premier critère choisi pour la détection d’un défaut rotorique combine l’information

donnée par Kpn et l’information donnée par les indices globaux. La forme de ce critère

de détection est donné au tableau III.3. Dans ce critère, mX peut être remplacé par

n’importe quel indice global (mbft, mtp , mtc , mpgm

, mpgo, mcgm

où mcgo). Nous avons

choisi empiriquement une valeur de 2 pour le terme α. En effet, nous supposons que si

la multiplication du nombre de composantes Kpn par l’indice global mX est supérieure à

2 fois celle obtenue lorsque la cage rotorique est saine, cela est suffisant pour signaler la

présence d’une défaillance au niveau de la cage de la machine.

Les résultats obtenus en appliquant ce critère de détection sont donnés dans les ta-

bleaux III.4 et III.5. Le tableau III.4 nous renseigne sur les résultats obtenus avec les

indices globaux mbft, mpt

et mctalors que le tableau III.5 nous renseigne sur les résultats

obtenus avec les indices globaux mpgm, mpgo

, mcgmet mcgo

.


Tab.II

I.2

:C

ompa

rais

onen

tre

lava

leur

des

indi

ces

d’am

plitud

esde

sco

mpos

ante

spou

rk

=1

etla

vale

urde

sin

dice

sgl

obau

x

Rot

orm

bf1

mbf

tm

p1

mp

tm

c 1m

c tm

pm

1m

pgm

mpo1

mp

go

mcm

1m

c gm

mco

1m

c go

S-C

100

0,00

190,

0020

0,00

270,

0028

0,00

200,

0021

0,00

150,

0015

0,00

120,

0012

0,00

120,

0012

0,00

090,

0009

05b-

C10

00,

0059

0,00

630,

0050

0,00

600,

0043

0,00

530,

0032

0,00

370,

0018

0,00

210,

0028

0,00

330,

0015

0,00

18

1b-C

100

0,04

280,

0435

0,04

360,

0454

0,03

890,

0408

0,02

520,

0260

0,01

840,

0189

0,00

230,

0237

0,00

160,

0164

S-C

750,

0023

0,00

240,

0034

0,00

360,

0021

0,00

240,

0020

0,00

210,

0015

0,00

150,

0013

0,00

140,

0008

0,00

08

05b-

C75

0,00

550,

0061

0,00

570,

0068

0,00

520,

0070

0,00

370,

0043

0,00

200,

0023

0,00

340,

0044

0,00

170,

0023

1b-C

750,

0392

0,04

080,

0418

0,04

700,

0390

0,04

420,

0267

0,02

880,

0152

0,01

650,

0251

0,02

740,

0139

0,01

51

S-C

500,

0016

0,00

170,

0019

0,00

230,

0014

0,00

180,

0013

0,00

150,

0006

0,00

070,

0010

0,00

120,

0004

0,00

04

05b-

C50

0,00

370,

0040

0,00

460,

0057

0,00

200,

0038

0,00

320,

0037

0,00

150,

0017

0,00

190,

0026

0,00

010,

0007

1b-C

500,

0257

0,02

790,

0324

0,03

930,

0276

0,03

500,

0023

0,02

560,

0096

0,01

090,

0204

0,02

330,

0072

0,00

83

S-C

250,

0043

0,00

440,

0096

0,01

000,

0043

0,00

480,

0058

0,00

590,

0039

0,00

380,

0029

0,00

300,

0014

0,00

14

05b-

C25

0,01

140,

0115

0,02

110,

0214

0,00

950,

0100

0,01

190,

0120

0,00

930,

0092

0,00

590,

0061

0,00

360,

0036

1b-C

250,

0227

0,02

400,

0266

0,03

580,

0180

0,02

810,

0215

0,02

460,

0051

0,00

590,

0168

0,01

980,

0012

0,00

19

S-C

00,

0024

0,00

240,

0060

0,00

800,

0032

0,00

460,

0057

0,00

570,

0004

0,00

040,

0033

0,00

335e

−5

5e−

5

05b-

C0

0,00

270,

0027

0,00

590,

0082

0,00

430,

0069

0,00

620,

0062

-0,0

003

0,00

030,

0049

0,00

49−

6e−

46e

−4

1b-C

00,

0039

0,00

410,

0086

0,01

140,

0042

0,00

650,

0069

0,00

790,

0017

0,00

180,

0036

0,00

450,

0007

0,00

07


Tab. III.3 : Critère de détection no1

Test Résultats

si (KpnMesurémXMesuré

) < α (KpnSainmXSain

) Pas de défaut

si (KpnMesurémXMesuré

) > α (KpnSainmXSain

) Défaut rotorique

Tab. III.4 : Résultats du critère de détection no1 sur les indices globaux mbft, mpt

et

mct

Rotor Kpn 2KpnmbftKpnmbft

2KpnmptKpnmpt

2KpnmctKpnmct

S-C100 2 0,0080 0,0112 0,0084

05b-C100 3 0, 0189f 0, 0180f 0, 0159f

1b-C100 3 0, 1305f 0, 1363f 0, 1224f

S-C75 3 0,0144 0,0216 0,0144

05b-C75 3 0, 0183f 0, 0204nf 0, 0210f

1b-C75 4 0, 1632f 0, 1880f 0, 1768f

S-C50 2 0,0068 0,0092 0,0072

05b-C50 3 0, 0120f 0, 0171f 0, 0114f

1b-C50 4 0, 1116f 0, 1572f 0, 1400f

S-C25 2 0,0176 0,0400 0,0192

05b-C25 2 0, 0230f 0, 0428f 0, 0200f

1b-C25 3 0, 0720f 0, 1074f 0, 0843f

S-C 0 1 0,0048 0,0160 0,0092

05b-C0 1 0, 0027nf 0, 0082nf 0, 0069nf

1b-C0 2 0, 0082f 0, 0228f 0, 0130f

xnf : Pas de défaut détecté - xf : Défaut détecté


Tab.II

I.5

:R

ésul

tats

ducr

itèr

ede

déte

ctio

nn

o1

sur

les

indi

ces

glob

aux

mp

gm,m

pgo,m

c gm,m

c go

Rot

orK

pn

2Kpnm

pgm

Kpnm

pgm

2Kpnm

pgo

Kpnm

pgo

2Kpnm

c gm

Kpnm

c gm

2Kpnm

c go

Kpnm

c go

S-C

100

20,

0062

0,00

480,

0048

0,00

34

05b-

C10

03

0,01

12f

0,00

63f

0,00

98f

0,00

53f

1b-C

100

30,

0779

f0,

0567

f0,

0711

f0,

0493

f

S-C

753

0,01

240,

0089

0,00

870,

0051

05b-

C75

30,

0128

f0,

0063

nf

0,01

31f

0,00

68f

1b-C

754

0,11

54f

0,06

60f

0,10

95f

0,06

04f

S-C

502

0,00

590,

0027

0,00

480,

0017

05b-

C50

30,

0110

f0,

0051

f0,

0077

f0,

0020

f

1b-C

504

0,10

22f

0,04

37f

0,09

31f

0,03

34f

S-C

252

0,02

370,

0154

0,01

230,

0056

05b-

C25

20,

0239

f0,

0185

f0,

0122

nf

0,00

72f

1b-C

253

0,07

39f

0,01

78f

0,05

93f

0,00

56f

S-C

01

0,01

130,

0007

0,00

650,

0001

05b-

C0

10,

0058

nf

0,00

01nf

0,00

49nf

0,00

06f

1b-C

02

0,01

58f

0,00

36f

0,00

90f

0,00

15f

xnf

:Pas

dedé

faut

déte

cté

-x

f:D

éfau

tdé

tect

é


Remarque 1 : Nous analysons tout d’abord les cas où le couple de charge imposé à

la machine est supérieur ou égal à 25%. Le fonctionnement lorsque la machine asynchrone

opère à vide sera étudié à part.

Le critère de détection no1 appliqué aux indices globaux mbftet mct

permet de détecter

une barre partiellement cassée et une barre complètement cassée quelque soit le couple

de charge. L’analyse des résultats avec l’indice global mptnous montre que seul le défaut

impliquant une barre partiellement cassée lorsque la machine fonctionne sous 75% de

charge n’est pas détecté. En ce qui concerne les indices globaux mpgmet mcgo

, la détection

du défaut rotorique est possible pour tous les cas de charge étudiés. Pour l’indice global

mpgo, le seul défaut non détecté est celui où la cage présente une barre partiellement cassée

sous 75% de charge. L’indice global mcgmquant à lui ne permet pas de détecter une barre

partiellement cassée sous 25% de charge.

Remarque 2 : Dans cette partie, nous analysons les résultats obtenus lorsque la

machine asynchrone opère à vide.

Pour ce mode fonctionnement, nous savons qu’il est relativement difficile de détecter

un défaut rotorique étant donné que le courant circulant dans les barres de la cage d’écu-

reuil est faible. A vide, la détection de la composante de fréquence 2 g fs dans le spectre

de la puissance instantanée est difficile sachant que le minimum de la fréquence 2 g fs

était de 0,33 Hz dans notre cas. Pour obtenir des composantes spectrales distinctes les

unes des autres et permettre de distinguer la composante à 2 g fs, nous avons du modifier

les paramètres utilisés pour le calcul du périodogramme de Bartlett. Nous utilisons 64536

points pour mieux séparer la composante fréquentielle 2 g fs de la composante continue

résiduelle présente dans le spectre de la puissance instantanée. Au final, la nouvelle réso-

lution fréquentielle obtenue pour le calcul du spectre fréquentiel est de 0,0305 Hz. Cette

nouvelle résolution permet d’évaluer les amplitudes des composantes de fréquence 2 k g fs

avec plus de précision pour permettre de déterminer le nombre de composantes Kpn ainsi

que l’indice global basse fréquence mbftcorrespondant.

Les figures III.16 à III.18 représentent respectivement les spectres basse fréquence de

la puissance instantanée pour un rotor sain, un rotor avec une barre partiellement cassée

et un rotor avec une barre totalement cassée lorsque la machine fonctionne à vide. Les

valeurs de Kpn et des différents indices globaux, pour ce mode de fonctionnement, sont


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

psa (f)

2gfs


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

psa (f)

2gfs

Fig. III.17 : Spectre de la puissance instantanée : 05b-C0 [0 - 10] Hz

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

psa (f)

2gfs

4gfs

Fig. III.18 : Spectre de la puissance instantanée : 1b-C0 [0 - 10] Hz


reportés dans les trois dernières lignes des tableaux III.1 et III.2.

L’analyse de ces résultats montre que la valeur des indices globaux augmentent très

faiblement lorsque le défaut rotorique correspond à une barre partiellement cassée. De

plus, nous devons noter que le nombre Kpn pour ce défaut reste constant et égal à 1. Par

contre, le défaut impliquant une barre complètement cassée provoque une croissance plus

significative des indices globaux et une augmentation du nombre de composantes Kpn

dans le spectre basse fréquence de la puissance instantanée. L’application du critère no1

sur ces résultats est reportée dans les tableaux III.4 et III.5. Le défaut partiel sur une

barre n’est pas détecté sauf avec l’indice global mcgo, alors que celui impliquant une barre

complète est diagnostiqué quelque soit l’indice utilisé.

L’étude des résultats obtenus avec ce critère de détection lorsque la machine asyn-

chrone fonctionne avec un couple de charge supérieure ou égale à 25% nous a permis de

distinguer que seuls les indices globaux mbft, mct

, mpgmet mcgo

permettent la détection

d’une barre défaillante (défaut partiel ou total). Pour un fonctionnement de la machine à

vide, seul l’indice global mcgopermet la détection des deux défauts rotoriques étudiés.

Il est intéressant de comparer l’augmentation du rapport KpnDéfautmxDéfaut

par rapport

au rapport 2KpnSainmxSain

pour permettre de déterminer quel est l’indice donnant l’infor-

mation la plus pertinente pour le diagnostic de défaut de la cage rotorique. Le résultat

de cette comparaison apparaît dans le tableau III.6. Nous avons inscrit en caractère gras

l’augmentation la plus significative pour chaque cas d’étude.

Si nous considérons une charge supérieure ou égale à 25%, les indices globaux de la

puissance instantanée mbftet du courant statorique mct

augmentent notablement dans

trois cas sur huit, alors que les indices globaux mpgmet mcgo

arrivent en tête seulement

dans un seul cas. Cette remarque nous amène à ne favoriser que les indices globaux mbft

et mctpour le diagnostic de défaut final.

Si nous restreignons l’analyse à ces deux indices, nous pouvons remarquer que l’indice

global qui donne l’information la plus significative lorsque le rotor présente une barre

partiellement cassée se trouve être l’indice mbft. En effet, sur les quatre analyses faites

avec ce niveau de défaillance, l’augmentation de cet indice est plus importante dans trois de

ces cas (comparaison entre l’indice mbftet l’indice mct

pour un couple de charge supérieur

ou égal à 25%). Cependant, lors du passage d’une barre partiellement cassée à une barre


Tab. III.6 : Comparaison des rapports utilisant les indices globaux mbft, mct

, mpgmet

mcgopar rapport au fonctionnement sain (critère de détection no1)

Rotor R(mbft)∗ R(mct

)∗ R(mpgm)∗ R(mcgo

)∗

05b-C100 +136 % +89 % +81 % +53 %

1b-C100 +1531 % +1357 % +1165 % +1327 %

05b-C75 +27 % +45 % +4 % +34 %

1b-C75 +1033 % +1127 % +832 % +1082 %

05b-C50 +76 % +58 % +86 % +18 %

1b-C50 +1541 % +1844 % +1629 % +1852 %

05b-C25 +31 % +4 % +1 % +28 %

1b-C25 +309 % +339 % +212 % +0.15 %

05b-C0 -44 % -25 % -49 % +450 %

1b-C0 +71 % +41 % +40 % +1376 %

∗R(mx) =(KpnDéfaut

mxDéfaut)

(2KpnSainmxSain

)− 1

complètement cassée, c’est l’indice global mctqui augmente le plus significativement.

Cette remarque montre clairement qu’il ne faut pas se limiter à l’étude d’un seul indice

pour le diagnostic de défaut rotorique mais qu’il serait préférable de les prendre tous en

considération.

De plus, nous devons noter que ces résultats proviennent de plusieurs essais expéri-

mentaux issus d’une seule machine (machine décrite dans l’annexe B en page 201). Si

nous appliquons ce critère sur des essais issus d’une machine asynchrone différente, il

serait possible que les indices les plus pertinents ne soit plus mctet mbft

mais peut être

mptet mcgo

. Il serait donc intéressant de développer une approche "système expert" qui

prendrait en compte l’évolution de chaque indice global car, comme nous l’avons vu, ils

nous donnent tous une image de l’état de la cage rotorique. Cela permettrait de prendre

en compte tout types d’informations avec des degrés de certitudes différents.

Il est aussi intéressant de noter que pour un fonctionnement à vide de la machine

asynchrone, ce ne sont pas les indices globaux mctet mbft

qui permettent de détecter le

défaut rotorique partiel mais l’indice global mcgo. En effet, comme nous pouvons le voir


dans le tableau III.6, l’augmentation de la valeur de cet indice est la plus significative de

toutes, que ce soit pour une rupture partielle ou totale d’une barre de la cage rotorique.

Cependant, nous préférons émettre une hypothèse quant à la validité du critère appliqué

sur les indices globaux lorsque que la machine fonctionne à vide étant donné que les

amplitudes des composantes créées par la rupture de barre sont très faibles. Il serait

préférable, comme nous l’avons mentionné précédemment, de les étudier tous et de voir

leur évolution au cours du temps (si plusieurs indices globaux augmentent en même temps

alors nous pouvons considérer que la cage présente un défaut rotorique partiel).

III.2.2.2.2 Analyse des harmoniques d’espace

Nous avons vu au chapitre II que les harmoniques créés par la répartition des bobinages

statoriques généraient des composantes additionnelles dans le spectre du courant de ligne

lors de l’apparition d’un défaut rotorique aux fréquences :

fhex= (x (1 − g) ± (1 + 2 η) g) fs (III.25)

où x =k

p= 3, 5, 7, . . . et η = 0, 1, 2, 3, . . .

Nous avons montré qu’il était possible de différencier un défaut de charge (variation du

couple de charge) d’un défaut rotorique (rupture d’une ou plusieurs barres de la cage) en

analysant l’évolution de l’amplitude de ces composantes. Par conséquent, pour permettre

de dissocier ces deux types de défauts, il serait intéressant de calculer un indice global qui

traduirait le niveau d’amplitude de ces composantes "harmoniques".

Le calcul de l’amplitude des composantes créées par les harmoniques d’espace s’ef-

fectue de la même manière que celles présentes autour des fréquences fondamentales du

courant et de la puissance d’une phase statorique. Nous calculons l’indice d’amplitude

de chaque composante harmonique en utilisant l’équation III.12 (nous évaluons l’am-

plitude de (2 Kpn + 2) composantes pour chaque harmonique d’espace). A partir de ces

indices, nous calculons deux indices globaux. Le premier, noté mhex1 , correspond à l’in-

dice global calculé à partir des indices d’amplitude des deux composantes principales

(η = 0 dans l’équation III.25). Le second, noté mhext, correspond à l’indice global calculé

à partir des indices d’amplitude de toutes les composantes de l’harmonique d’espace x

(η = 0, ..., Kpn). Nous présentons sur la figure III.19 le spectre fréquentiel d’un courant


théorique modulé en amplitude et contenant ces composantes harmoniques dont l’équation

peut se mettre sous la forme :

isa(t) = isa0(t) +2∑

k=1

√2Ismck

2cos((ωs − kωm)t − ϕ) +

2∑

k=1

√2Ism

′

ck

2cos((ωs + kωm)t − ϕ)

+4∑

h=1

1∑

η=0

√2Ismhe(2h+1)(1+2η)

2cos(((2h + 1)(1 − g) − (1 + 2η)g) ωst − ϕ)

+4∑

h=1

1∑

η=0

√2Ism

′

he(2h+1)(1+2η)

2cos(((2h + 1)(1 − g) + (1 + 2η)g) ωst − ϕ) (III.26)

Nous notons sur cette figure les différents indices globaux spécifiques à chaque harmonique

d’espace étudié. Un agrandissement de ce spectre fréquentiel dans la plage [200 - 280] Hz

(figure III.20) permet de différencier les composantes utilisées pour le calcul de l’indice

global mhex1 (x = 2h + 1) de celles utilisées pour le calcul de l’indice global mhext.

Dans la suite de l’étude, nous restreignons le calcul aux 13 premiers harmoniques

d’espace du courant statorique car les composantes fréquentielles (composantes des har-

moniques d’espace) se situant au delà de 650 Hz ne sont pas très utiles du fait de leurs

faibles amplitudes, que ce soit pour un rotor sain ou un rotor défaillant.

Nous présentons sur les figures III.21 à III.23 l’évolution des composantes de l’harmo-

nique d’espace no7 lors de l’apparition des deux défauts rotoriques étudiés. Nous pouvons

remarquer visuellement que plus le défaut rotorique prend de l’importance, plus l’ampli-

tude de ces composantes augmente.

Si nous reprenons la figure III.23, nous pouvons remarquer qu’une composante de

l’harmonique no7 a pour fréquence fhe5 = (7 (1 − g) + 7 g) fs = 350 Hz. Nous savons

qu’en plus des composantes harmoniques générées par le bobinage statorique, le spectre

du courant statorique contient les composantes harmoniques des trois tensions d’alimen-

tation dont les fréquences sont un multiple entier impair de 50 Hz (150 Hz, 250 Hz, 350

Hz, ...). Par conséquent, nous retrouvons à la même fréquence une composante créée par

l’harmonique d’espace no7 et une composante créée par les tensions d’alimentation. Au

final, ce sont les harmoniques de ces tensions qui apparaissent dans le spectre fréquentiel

étant donné qu’ils ont une influence plus importante sur le courant statorique. Pour éviter

de prendre en compte ces composantes dans le calcul des indices globaux, nous excluons

l’amplitude de toutes les composantes de fréquence (2 h+1) fs (k > 1) dans le programme


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fréquence (Hz)

Am

plitu

de (

A)

PSfrag replacements

isa (f)

mhe3t

mhe5t

mhe7t

mhe9t

Fig. III.19 : Spectre théorique d’un signal modulé en amplitude avec harmonique d’es-

pace [0 - 500] Hz

200 210 220 230 240 250 260 270 2800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Fréquence (Hz)

Am

plitu

de (

A)

PSfrag replacements

isa (f)

mhe5t

mhe51

Fig. III.20 : Spectre théorique d’un signal modulé en amplitude avec harmonique d’es-

pace [200 - 280] Hz


280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

[7(1 − g) − k′

g]fs

[7(1 − g) + k′

g]fs

k′

= (1 + 2η)

η = 2

Fig. III.21 : Spectre du courant statorique dans la bande [280 - 380] Hz (Harmonique

d’espace no7) : S-C100

280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

[7(1 − g) − k′

g]fs[7(1 − g) + k

′

g]fs

k′

= (1 + 2η)

η = 3


d’espace no7) : 05b-C100

280 290 300 310 320 330 340 350 360 370−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

[7(1 − g) − k′

g]fs

[7(1 − g) + k′

g]fsk′

= (1 + 2η)

η = 3


d’espace no7) : 1b-C100


pour effectuer le calcul des différents indices globaux spécifiques aux harmoniques d’es-

pace.

Nous récapitulons dans le tableau III.7 la valeur des indices globaux mhex1 représen-

tatifs de l’amplitude des composantes principales de l’harmonique d’espace x ainsi que la

valeur des indices globaux calculée en prenant en compte toutes les composantes spectrales

de l’harmonique x. Il apparaît clairement que ces indices augmentent lors de l’apparition

du défaut rotorique. Nous donnons dans le tableau III.8 la croissance de ces indices glo-

baux par rapport à ceux calculés lorsque la machine fonctionne avec un rotor sain. Cette

représentation permet de visualiser plus facilement quels sont les harmoniques d’espace

les plus intéressants en vue d’améliorer le diagnostic de défaut final.

Le tableau III.8 met en évidence le fait que l’harmonique d’espace no5 donne l’in-

formation la plus pertinente sur l’état de la cage rotorique car c’est l’amplitude de ces

composantes qui augmentent le plus significativement lors de l’apparition d’un défaut

rotorique partiel ou total. L’harmonique d’espace no11 nous délivre aussi une informa-

tion intéressante car l’amplitude de ces harmoniques augmente quelque soit le niveau de

défaut étudié. La valeur des indices globaux des harmoniques d’espace no3 et no9 aug-

mente très faiblement lors de l’apparition du défaut rotorique. Cette faible croissance est

due au raccourcissement de 2/3 utilisé lors de la mise en place du bobinage statorique

qui, rappelons-le, annule l’effet des harmoniques d’espace multiple de 3 (figure II.4 de

la page 50). La présence de ces harmoniques dans le spectre du courant statorique est

essentiellement causée par le phénomène de saturation du circuit magnétique de la ma-

chine. C’est en partie pour cette raison que ces indices globaux restent faibles. Notons

que dans certains cas, nous obtenons une réduction de la valeur de leurs indices globaux

lorsque le défaut correspond à une barre partiellement cassée. Ce phénomène se traduit

par une diminution de leurs amplitudes respectives lors de l’apparition du défaut roto-

rique. Une barre partiellement ou totalement cassée n’influence pas beaucoup l’amplitude

de ces harmoniques d’espace. Nous pouvons remarquer aussi que les indices globaux des

harmoniques no5 et no7, calculés à partir des composantes principales (η = 0), augmentent

plus significativement que ceux calculés avec toutes les composantes de défauts dans le

cas d’une barre totalement cassée. Cependant, ce sont les indices globaux calculés à partir

de toutes les composantes qui nous donnent la meilleure information pour l’étude d’une


Tab.II

I.7

:Val

eurs

des

indi

ces

glob

aux

calc

ulés

sur

les

com

pos

ante

sha

rmon

ique

s

Rot

orK

pn

mhe31

mhe3

tm

he51

mhe5

tm

he71

mhe7

tm

he91

mhe9

tm

he111

mhe11

tm

he131

mhe13

t

S-C

100

20,

0017

0,00

170,

0013

0,00

140,

0009

0,00

110,

0001

0,00

010,

0006

0,00

070,

0005

0,00

06

05b-

C10

03

0,00

050,

0006

0,00

290,

0032

0,00

110,

0016

0,00

010,

0002

0,00

100,

0012

0,00

050,

0008

1b-C

100

30,

0015

0,00

180,

0234

0,02

360,

0091

0,01

020,

0007

0,00

090,

0024

0,00

410,

0024

0,00

31

S-C

753

0,00

240,

0024

0,00

120,

0013

0,00

090,

0011

0,00

010,

0002

0,00

050,

0006

0,00

040,

0005

05b-

C75

30,

0018

0,00

180,

0038

0,00

410,

0014

0,00

210,

0001

0,00

050,

0012

0,00

140,

0004

0,00

10

1b-C

754

0,00

460,

0048

0,03

050,

0314

0,01

260,

0138

0,00

110,

0014

0,00

330,

0054

0,00

300,

0041

S-C

502

0,00

150,

0015

0,00

140,

0015

0,00

130,

0015

0,00

010,

0002

0,00

060,

0008

0,00

050,

0006

05b-

C50

30,

0030

0,00

300,

0034

0,00

390,

0011

0,00

170,

0001

0,00

020,

0012

0,00

140,

0004

0,00

08

1b-C

504

0,00

480,

0050

0,02

330,

0248

0,00

940,

0103

0,00

100,

0012

0,00

260,

0040

0,00

220,

0030

S-C

252

0,00

510,

0051

0,00

110,

0013

0,00

130,

0016

0,00

010,

0004

0,00

040,

0006

0,00

040,

0005

05b-

C25

20,

0107

0,01

080,

0035

0,00

390,

0008

0,00

140,

0002

0,00

020,

0007

0,00

080,

0003

0,00

04

1b-C

253

0,01

030,

0105

0,01

850,

0204

0,00

840,

0093

0,00

100,

0014

0,00

200,

0028

0,00

170,

0023


Tab.III.8

:A

ugmentation

desindices

globauxcalculés

surles

composantes

harmoniques

parrapp

ortau

fonctionnement

sain

Rotor

mhe3

1m

he3

tm

he5

1m

he5

tm

he7

1m

he7

tm

he9

1m

he9

tm

he1

11

mhe1

1t

mhe1

31

mhe1

3t

05b-C100

-68%

-66%

128%

131%

27%

52%

10%

35%

63%

76%

-5%

43%

1b-C100

-8%

7%

1717%

1624%

906%

860%

728%

574%

297%

515%

368%

457%

05b-C75

-27%

-25%

234%

208%

64%

104%

-4%

203%

140%

121%

6%

108%

1b-C75

92%

101%

2549%

2266%

1333%

1225%

1040%

719%

541%

764%

648%

746%

05b-C50

100%

99%

135%

151%

-11%

13%

10%

16%

87%

73%

-11%

29%

1b-C50

221%

228%

1511%

1506%

636%

605%

659%

479%

314%

393%

354%

368%

05b-C25

110%

110%

208%

189%

-36%

-12%

38%

-38%

77%

18%

-6%

-8%

1b-C25

102%

104%

1513%

1433%

531%

490%

754%

288%

411%

337%

368%

373%


barre partiellement cassée.

Les indices globaux des harmoniques d’espace lorsque la machine asynchrone fonc-

tionne à vide ne sont pas présents dans les tableaux III.7 et III.8. Les résultats obtenus

dans ce cas de fonctionnement étaient erronés car l’algorithme qui permet de calculer

les différents indices globaux ne trouve pas les amplitudes exactes des composantes de

fréquence fhex= (x (1 − g) ± (1 + 2 η) g) fs.

Par exemple, si nous prenons le cas de l’harmonique d’espace no7, les fréquences à

détecter valent (7(1 − g) − g)fs et (7(1 − g) + g)fs pour η = 0 (composantes principales

de l’harmonique no7), ce qui nous donne, pour un glissement de 0,3%, des fréquences de

valeurs 348,8 Hz et 349,1 Hz. Notre seuil de tolérance étant de 1%, la bande de fréquence

pour la recherche de l’amplitude maximale vaut alors [347 - 350,5] Hz pour la composante

de fréquence (7(1 − g) − g)fs et [347,35 - 350,84] Hz pour la composante de fréquence

(7(1 − g) + g)fs. Ce chevauchement pose un problème pour la détection de l’amplitude

maximale car si celle-ci ce situe entre 347,35 Hz et 350,84 Hz, le programme choisira

la même composante pour les fréquences (7(1 − g) − g)fs et (7(1 − g) + g)fs donnant

alors un indice global pour l’harmonique d’espace no7 erroné. Plus l’harmonique d’espace

analysé sera grand (par exemple les harmoniques 9, 11 ou 13), plus le chevauchement des

bandes fréquentielles sera important (équation III.25). Nous avons essayé de ramener le

seuil de tolérance à 0,1% mais les résultats obtenus n’ont pas été plus concluants. De plus,

l’amplitude de ces composantes dans les essais à vide était difficilement identifiable du fait

du peu de courant circulant dans les barres rotoriques. Par conséquent, le diagnostic de

défaut pour cet essai ne peut être basé que sur l’analyse des composantes présentes autour

de la fréquence fondamentale du courant et de la puissance d’une phase de la machine.

Nous avons montré que ce critère de détection permettait d’effectuer le diagnostic

d’une barre partiellement cassée pour un couple de charge supérieur à 10% 2 du couple

de charge nominal et d’une barre totalement cassée pour tous les couples de charge. Bien

entendu le diagnostic d’un défaut impliquant la rupture de plus d’une barre rotorique

peut être envisagé au vue des résultats obtenus avec une seule barre rotorique défaillante.

2Des essais complémentaires entre 0% et 25% de charge ont été effectués pour déterminer les limites

de la détection d’une barre partiellement cassée.


III.2.2.2.3 Critère de détection no2

Le diagnostic de défaut utilisant le premier critère de détection nous donne deux

informations, soit le rotor est sain, soit le rotor est défaillant. Étant donné que ce critère

base son diagnostic en combinant les informations données par les termes Kpn et mX , nous

avons envisagé un critère de détection qui permettrait de les utiliser séparément. Sans

prendre en compte l’information complémentaire donnée par les harmoniques d’espace, ce

critère de détection peut être mis sous la forme donnée au tableau III.9.

Ce critère permet d’alerter l’opérateur d’un défaut naissant en associant une couleur

(Vert, Orange, Rouge) lorsque le résultat de la multiplication de l’indice global mXMesuré

par la valeur α devient supérieur ou égal à l’indice global mXSainou lorsque le nombre

de composantes KpnMesurédevient supérieur au nombre de composantes détectées pour un

fonctionnement avec un rotor sain (KpnSain). Si le nombre de composante KpnMesuré

est

strictement supérieur à la valeur KpnSaincombinée avec la condition impliquant les indices

globaux, le défaut au rotor de la machine est considéré comme établi. Le terme α utilisé

dans ce critère prend la même valeur que celui utilisé dans le critère de détection no1, c’est

à dire 2. Pour valider cette approche, nous appliquons ce nouveau critère de détection aux

données du tableau III.2.

Nous reportons dans le tableau III.10 les résultats obtenus avec les indices globaux

mbft, mpt

et mctet dans le tableau III.11, les résultats obtenus avec les indices globaux

mpgm, mpgo

, mcgmet mcgo

.

Les cas d’étude où le défaut rotorique n’a pas pu être détecté est inscrit en caractère

gras. L’analyse du tableau III.10 montre que si nous utilisons les indices globaux mbftet

mct, ce critère de détection permet d’informer l’opérateur d’une défaillance rotorique pour

Tab. III.9 : Critère de détection no2

Test Résultats

si (mXMesuré< α mXSain

) Pas de défaut (V)

si (mXMesuré< α mXSain

) & (KpnMesuré> KpnSain

) Défaut rotorique partiel (O)

si (mXMesuré≥ α mXSain

) & (KpnMesuré= KpnSain

) Défaut rotorique partiel (O)

si (mXMesuré≥ α mXSain

) & (KpnMesuré> KpnSain

) Défaut rotorique établi (R)


Tab.II

I.10

:R

ésul

tats

ducr

itèr

ede

déte

ctio

nn

o2

appl

iqué

aux

indi

ces

glob

aux

mbf

t,m

ptet

mc t

Rot

orK

pn

αm

bft

mbf

tR

esα

mp

tm

pt

Res

αm

c tm

c tR

es

S-C

100

20,

0040

0,00

20V

0,00

560,

0028

V0,

0042

0,00

21V

05b-

C10

03

0,00

400,

0063

R0,

0056

0,00

60R

0,00

420,

0058

R

1b-C

100

30,

0040

0,04

35R

0,00

560,

0454

R0,

0042

0,04

08R

S-C

753

0,00

480,

0024

V0,

0072

0,00

36V

0,00

480,

0024

V

05b-

C75

30,

0048

0,00

57O

0,0

072

0,0

064

V0,

0048

0,00

51O

1b-C

754

0,00

480,

0408

R0,

0072

0,04

70R

0,00

480,

0442

R

S-C

502

0,00

340,

0017

V0,

0046

0,00

23V

0,00

360,

0018

V

05b-

C50

30,

0034

0,00

40R

0,00

460,

0057

R0,

0036

0,00

38R

1b-C

504

0,00

340,

0279

R0,

0046

0,03

93R

0,00

360,

0350

R

S-C

252

0,00

880,

0044

V0,

0200

0,01

00V

0,00

960,

0048

V

05b-

C25

20,

0088

0,01

15O

0,02

000,

0214

O0,

0096

0,01

00O

1b-C

253

0,00

880,

0240

R0,

0200

0,03

58R

0,00

960,

0281

R

S-C

01

0,00

480,

0024

V0,

0160

0,00

80V

0,00

920,

0046

V

05b-

C0

10,0

048

0,0

027

V0,0

160

0,0

082

V0,0

092

0,0

069

V

1b-C

02

0,00

480,

0041

O0,

0160

0,01

15O

0,00

920,

0064

O


Tab.III.1

1:

Résultats

ducritère

dedétection

no2

appliquéaux

indicesglobaux

mp

gm,m

pgo ,

mcgm

etm

cgo

Rotor

Kpn

αm

pgm

mp

gm

Res.

αm

pgo

mp

go

Res.

αm

cgm

mcgm

Res.

αm

cgo

mcgo

Res.

S-C100

20,0030

0,0015V

0,00240,0012

V0,0024

0,0012V

0,00180,0009

V

05b-C100

30,0030

0,0037R

0,00240,0021

O0,0024

0,0033R

0,00180,0018

R

1b-C100

30,0030

0,0260R

0,00240,0189

R0,0024

0,0237R

0,00180,0164

R

S-C75

30,0042

0,0021V

0,00300,0015

V0,0028

0,0014V

0,00160,0008

V

05b-C75

30,0

042

0,0

040

V0,0

030

0,0

021

V0,0028

0,0032O

0,0

016

0,0

015

V

1b-C75

40,0042

0,0288R

0,00300,0165

R0,0028

0,0274R

0,00160,0151

R

S-C50

20,0030

0,0015V

0,00140,0007

V0,0024

0,0012V

0,00080,0004

V

05b-C50

30,0030

0,0037R

0,00140,0017

R0,0024

0,0026R

0,0

008

0,0

007

V

1b-C50

40,0030

0,0256R

0,00140,0109

R0,0024

0,0233R

0,00080,0083

R

S-C25

20,0118

0,0059V

0,00760,0038

V0,0060

0,0030V

0,00280,0014

V

05b-C25

20,0118

0,0120O

0,00760,0092

O0,0060

0,0061O

0,00280,0036

O

1b-C25

30,0118

0,0246R

0,00760,0059

O0,0060

0,0198R

0,00280,0019

O

S-C0

10,0114

0,0057V

0,00080,0004

V0,0066

0,0033V

0,00010,00005

V

05b-C0

10,0

114

0,0

062

V0,0

008

0,0

003

V0,0

066

0,0

049

V0,0001

0,0006O

1b-C0

20,0114

0,0079O

0,00080,0018

R0,0066

0,0045O

0,00010,0007

R


quasiment tous les cas étudiés.

La non détection d’une barre partiellement cassée lorsque la machine fonctionne à vide

est encore présente pour ces indices globaux. Notons que l’indice mptne permet pas d’in-

former l’opérateur du défaut rotorique impliquant une barre partiellement cassée lorsque

le niveau de charge est de 75%. Il faudrait que le nombre de composantes Kpn augmente

ou que les amplitudes des composantes présentes autour de la fréquence fondamentale de

la puissance instantanée croissent. Cela imposerait la présence d’un défaut rotorique plus

important (deux barres rotoriques cassées).

Les résultats donnés aux tableau III.11 sont relativement semblables à ceux issus du

tableau III.10. Le problème de la détection d’une barre partiellement cassée sous 75% de

charge reste présent pour les indices globaux mpgm, mpgo

et mcgo, ce qui n’est pas le cas

pour l’indice global mcgm. Les résultats obtenus lorsque la machine opère à vide montrent

que seul l’indice global mcgopermet de prévenir l’opérateur de la présence d’une défaillance

rotorique.

Cependant, tout comme le critère no1, nous devons émettre une hypothèse quant à la

validité de cette décision. Il serait plus intéressant d’utiliser la totalité des indices pour

obtenir un diagnostic fiable de l’état du rotor de la machine car l’information donnée

par l’indice mcgone nous parait pas assez fiable. L’augmentation de sa valeur reste trop

modérée pour ce cas de fonctionnement.

Une amélioration du critère de détection no2 pourrait être envisagée pour permettre à

l’opérateur de différencier un défaut de barre d’un défaut de charge (variation du couple

résistant) en intégrant l’analyse de l’indice global issu des composantes créées par l’har-

monique d’espace no5. Nous avons choisi cet indice car, au vu des résultats présentés au

tableau III.8, c’est celui qui nous donne l’information la plus pertinente sur l’état de la

cage rotorique (cet indice peu être différent pour un autre type de machine). Une condi-

tion supplémentaire au critère de détection no2, en supposant que les indices globaux

autour des fréquences fondamentales augmentent plus rapidement que l’indice global de

l’harmonique d’espace no5, donnerait lieu à un nouveau critère de détection dont la forme

est donnée au tableau III.12. Malheureusement, notre banc d’essai et mesure ne nous

permettant pas d’expérimenter des défauts de charge, nous ne pouvons pas valider ce

nouveau critère de détection avec des essais expérimentaux. La mise en place de ce type


Tab. III.12 : Amélioration du critère de détection no2

Test Résultats

si (KpnMesuré= KpnSain

)

et (mXMesuré< α mXSain

) & (mhe5tMesuré< α mhe5tSain

) Pas de défaut (V)

et (mXMesuré> α mXSain


) Défaut de charge partiel (CO)


) & (mhe5tMesuré> α mhe5tSain

) Défaut rotorique partiel (RO)

si (KpnMesuré> KpnSain

)

et (mXMesuré< α mXSain


) Défaut partiel∗ (CO ou RO)



) Défaut de charge établi (CR)


) & (mhe5tMesuré> α mhe5tSain

) Défaut rotorique établi (RR)

* De rotor ou de charge

de défaut sur le banc sera effectué dans un avenir proche.

Dans la méthode de diagnostic présentée, la composante de fréquence 2 g fs présente

dans le spectre basse fréquence de la puissance instantanée a permis de calculer la valeur

du glissement de la machine. Dans le cas d’une charge inférieure à 50% de la charge no-

minale, la valeur de ce glissement est relativement faible ce qui nous oblige à acquérir le

signal du courant et de la tension simple d’une phase sur 32768 points avec une fréquence

d’échantillonnage de 2 kHz pour obtenir une résolution fréquentielle adéquate. Cependant,

pour des utilisateurs n’ayant pas une carte d’acquisition permettant d’échantillonner au-

tant de points, d’autres méthodes existent pour déterminer la valeur du glissement g de

la machine [64].

III.2.2.3 Méthodes complémentaires pour le calcul du glissement de la ma-

chine

Une méthode classique pour l’évaluation du glissement de la machine est l’utilisation

des composantes de fréquence[

Nr

p(1 − g) ± 1

]fs créées par les encoches de la cage roto-

rique dans le spectre du courant statorique [65]. Ces composantes sont toujours présentes

dans ce spectre, que ce soit pour un rotor sain ou un rotor défaillant. Des auteurs utilisent


souvent ces composantes pour estimer la vitesse rotorique de la machine asynchrone [66]

[67].

Cependant, la détection de ces composantes lorsque la machine fonctionne à faible

charge reste difficile. En effet, pour une valeur de glissement faible, ces composantes

peuvent se confondre avec celles issues des trois tensions d’alimentation dont les fréquences

sont données par la relation[

Nr

p± 1]fs. Nous présentons sur les figures III.24 et III.25 les

composantes de fréquence[

Nr

p(1 − g) ± 1

]fs lorsque la machine asynchrone fonctionne

à pleine charge puis à demi charge. Nous apercevons que les composantes principales

d’encoches se déplacent vers la droite étant donné que la vitesse rotorique augmente lors

du passage d’une charge de 100% (g = 6,5%) à une charge de 50% (g = 3,2%).

Pour un fonctionnement de la machine à vide (figure III.26), les composantes de

fréquence[

Nr

p(1 − g) ± 1

]fs sont relativement proches des composantes de fréquence[

Nr

p± 1]fs générées par les trois tensions d’alimentation. Cependant, l’analyse de ce

spectre permet de se rendre compte que la détection de la composante à[

Nr

p(1 − g) + 1

]fs

reste aisée car son amplitude est plus importante que celle à[

Nr

p+ 1]fs. Si les harmo-

niques de temps des tensions avaient une amplitude plus importante que les composantes

créées par les encoches rotoriques, un problème de détection se serait posé. De plus, il est

impératif de connaître le nombre de barres qui composent la cage rotorique pour permettre

de détecter ce type de composantes.

Les composantes de fréquence(1 ± (1−g)

p

)fs créées par l’excentricité statique et/ou

dynamique dans le spectre du courant statorique peuvent être utilisées pour déterminer la

valeur du glissement de la machine. Nous avons localisé sur les figures III.27 et III.28 ces

composantes lorsque la machine asynchrone fonctionne avec un couple de charge de 100%

et un couple de charge de 50%. Comme nous avons, dans notre cas, une machine à une

paire de pôle, la première composante se situe à la fréquence g fs. Il est évident que pour

détecter cette composante dans le spectre du courant statorique, nous devons avoir une

résolution fréquentielle adaptée. Par contre, la composante de fréquence(1 + (1−g)

p

)fs se

situe au voisinage de la composante à 100 Hz. La détection de ces deux composantes est

encore possible pour un fonctionnement de la machine à 100% et à 50% de charge. La

figure III.29 fait ressortir la difficulté de la détection de la composante à(1 − (1−g)

p

)fs

dans le cas d’un fonctionnement à vide. En effet, cette composante se situerait à une


1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

Nrp

− 1 fs

Nrp

(1 − g) − 1 fsNrp

+ 1 fs

Nrp

(1 − g) + 1 fs

Fig. III.24 : Spectre du courant statorique dans la bande [1200 - 1500] Hz : S-C100

1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

Nrp

− 1 fs

Nrp

(1 − g) − 1 fs Nrp

+ 1 fs

Nrp

(1 − g) + 1 fs


1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

Nrp

− 1 fs

Nrp

(1 − g) − 1 fs

Nrp

+ 1 fs

Nrp

(1 − g) + 1 fs



0 50 100 150−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

fs − (1 − g) fsp

fs + (1 − g) fsp


0 50 100 150−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

fs − (1 − g) fsp

fs + (1 − g) fsp


0 50 100 150−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

fs + (1 − g) fsp



fréquence de 0,21 Hz dans le spectre du courant, ce qui rendrais sa détection relativement

difficile avec la résolution fréquentielle utilisée (0,07 Hz). La détection de la composante à(1 + (1−g)

p

)fs est plus simple à condition qu’elle ait une amplitude plus importante que

celle présente à 100 Hz. Nous venons de montrer que pour un glissement relativement

faible, la détection des composantes créées par les encoches rotorique peut être difficile

si les tensions d’alimentation sont riches en harmoniques. En ce qui concerne les com-

posantes de fréquence(1 ± (1−g)

p

)fs, une excentricité naturelle relativement importante

doit être présente au sein de la machine pour permettre d’évaluer leurs fréquences dans le

spectre fréquentiel du courant statorique. Lorsque la taille du signal est petite, la méthode

qui utilise les composantes générées par les encoches rotoriques reste la plus appropriée

(les fréquences sont élevées ce qui permet une évaluation rapide du glissement). Il est

important de noter que pour utiliser ces deux méthodes, seule l’acquisition du courant

est nécessaire en comparaison avec la méthode utilisant la composante de fréquence 2 g fs

du spectre de la puissance instantanée (obligation de prélever le courant et la tension).

Cependant, les composantes créées par la rupture partielle d’une barre rotorique dans le

spectre basse fréquence de cette puissance donnaient une information plus pertinente que

celles présentes dans le spectre du courant statorique.

Nous avons montré, dans cette partie, l’efficacité de la méthode employée lorsque

la machine asynchrone est connectée à un réseau d’alimentation triphasé. La prochaine

étape consiste à étudier cette approche lorsque la machine asynchrone est alimentée par

un variateur de vitesse commandé en U/f .

III.2.3 Alimentation de la machine par un variateur de vitesse

Les méthodes de diagnostic lorsque la machine asynchrone est connectée à un variateur

de vitesse commandé en U/f sont peu nombreuses. En effet, nous savons que les signaux

temporels tel que le courant traversant un enroulement ou encore la tension à ses bornes

sont très perturbés pour ce mode d’alimentation. En effet, ces signaux sont affectés par

des harmoniques multiples de la fréquence de commutation du convertisseur. Leur contenu

fréquentiel est par conséquent très riche, ce qui rend la détection d’un défaut rotorique

ou statorique plus difficile. Nous allons, à travers différents essais expérimentaux, tester

l’efficacité de la méthode de diagnostic proposée lorsque l’alimentation de la machine se


fait par l’intermédiaire d’un convertisseur statique.

III.2.3.1 Problématique

Nous donnons aux figures III.30 et III.31 les spectres fréquentiels du courant statorique

lorsque la machine asynchrone est alimentée par un variateur de vitesse et par le réseau

triphasé. A travers ces deux figures, il apparaît clairement que le niveau de bruit du spectre

fréquentiel du courant statorique lorsque la machine est alimentée par le convertisseur est

beaucoup plus important que pour une alimentation par le réseau triphasé. De plus, il est

important de noter que les harmoniques de temps, présents dans le spectre du courant

statorique (composantes de fréquence 150 Hz, 250 Hz, 350 Hz, ...), ont une amplitude plus

importante lorsque le moteur est alimenté par le convertisseur statique. Cette différence

est due essentiellement à la richesse harmonique des tensions de sortie du variateur de

vitesse.

Nous présentons sur la figure III.32 une comparaison du spectre fréquentiel du courant

statorique pour les deux modes d’alimentation. Il apparaît clairement que les composantes

créées par l’asymétrie naturelle du rotor par rapport au stator sont confondues dans le

bruit lorsque l’alimentation se fait par le variateur de vitesse.

Les figures III.33 et III.34 donnent une représentation du spectre de la puissance ins-

tantanée d’une phase de la machine pour les deux différents modes d’alimentation. Nous

pouvons émettre la même remarque que pour le spectre du courant statorique à savoir un

bruit relativement important lorsque la machine est alimentée par le convertisseur sta-

tique. Tout comme sur la figure III.32, la figure III.35 ne laisse paraître aucune composante

créée par l’asymétrie naturelle de la machine de autour de la composante fondamentale à

100 Hz.

Pour effectuer le diagnostic de défaut de la machine asynchrone lorsque cette dernière

est connectée au réseau d’alimentation triphasé, nous utilisions la bande basse fréquence

du spectre de la puissance instantanée d’une phase statorique pour détecter les compo-

santes de fréquence 2 k g fs et ainsi déterminer la valeur du glissement. Que la machine

fonctionne avec un rotor sain ou un rotor défaillant, il existait au moins une composante

à 2 g fs dans le spectre de cette puissance et ce, pour tout niveau de charge.

Le spectre basse fréquence de la puissance instantanée d’une phase statorique pour une


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

Fig. III.30 : Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 1000] Hz : U/f S-C100

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

Fig. III.31 : Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 1000] Hz : Reseau S-C100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)U/fisa (f)Res

Fig. III.32 : Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 100] Hz S-C100. Compa-

raison Réseau et U/f


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

psa (f)

Fig. III.33 : Spectre de la puissance d’une phase statorique dans la bande [0 - 1000]

Hz : U/f S-C100

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

psa (f)

Fig. III.34 : Spectre de la puissance d’une phase statorique dans la bande [0 - 1000]

Hz : Reseau S-C100

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

psa (f)U/fpsa (f)Res

Fig. III.35 : Spectre de la puissance d’une phase statorique dans la bande [0 - 200] Hz

S-C100. Comparaison Réseau et U/f


alimentation par le variateur dans la configuration S-C100 est présenté sur la figure III.36.

Nous n’apercevons pas de composantes de fréquence 2 g fs dans cette partie du spectre.

L’algorithme qui permet de calculer le glissement de la machine détecte une composante à

11,29 Hz, ce qui ne correspond malheureusement pas à la composante de fréquence 2 g fs

créée par l’asymétrie naturelle. Nous supposons que cette composante est créée par le

variateur de vitesse. En effet, l’analyse de la figure III.37 montre que cette composante

est présente dans le spectre de la tension de sortie du variateur de vitesse. Toutes les

composantes fréquentielles présentes dans le spectre de la tension de sortie du variateur

se retrouvent obligatoirement dans le spectre du courant statorique. Cette perturbation

induit donc une erreur quant à l’évaluation du glissement de la machine, ce qui nous donne

un diagnostic de l’état du rotor erroné. Il nous faut donc envisager une autre méthode

pour évaluer la vitesse rotorique de la machine asynchrone.

III.2.3.2 Calcul du glissement de la machine

Nous avons énoncé dans la section III.2.2.3 différentes possibilités pour évaluer de

façon précise le glissement d’une machine asynchrone. L’observation du spectre du courant

statorique dans la bande fréquentielle [0 - 100] Hz pour une alimentation par le variateur

(figure III.32) ne fait pas apparaître les composantes dues à l’excentricité naturelle g fs et

(2 − g)fs car ces composantes sont elles aussi noyées dans le bruit spectral. Aussi, pour

déterminer le glissement, nous devons utiliser les deux composantes créées par les encoches

de la cage rotorique dont les fréquences, rappelons-le, ont pour relation[

Nr

p(1 − g) ± 1

]fs.

Nous donnons à la figure III.38 le spectre du courant statorique dans la plage fréquentielle

[0 - 2000] Hz ainsi que la position exacte de ces deux composantes dans une configuration

S-C100.

Nous ne pouvons plus, dans ce cas, échantillonner notre signal avec une fréquence de

2 kHz car ces composantes se situent au delà de 1000 Hz. Cependant, pour continuer à

travailler avec une variance minimale et une bonne résolution fréquentielle, nous utilisons

le périodogramme de Welch calculé sur 216 points avec un recouvrement de 215 (50%)

échantillons pour estimer les spectres de puissance (Cf partie I.3.4.2 page 20). La fréquence

d’échantillonnage Fe utilisée est alors de 5 kHz ce qui nous permet d’obtenir une résolution

fréquentielle de 0,076 Hz.


0 5 10 15 20 25 30 35−65

−60

−55

−50

−45

−40

−35

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

psa (f)

11.29 Hz

Fig. III.36 : Spectre de la puissance d’une phase statorique dans la bande [0 - 35] Hz :

U/f S-C100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

vsa (f)

(50 − 11.29) Hz

(50 + 11.29) Hz

Fig. III.37 : Spectre de la tension d’une phase statorique dans la bande [0 - 100] Hz :

U/f S-C100

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

Nrp

(1 − g) − 1 fs

Nrp

(1 − g) + 1 fs

Fig. III.38 : Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 2000] Hz : U/f S-C100


Comme nous l’avons mentionné précédemment, la détection de ces composantes peut

devenir très difficile si les composantes harmoniques de fréquences[

Nr

p± 1]fs générées

par la source d’alimentation ont une amplitude importante. Dans notre cas, le spectre du

courant statorique n’est pas perturbé par ces composantes étant donné que la tension d’ali-

mentation, issue du variateur de vitesse, ne contient pas d’harmoniques hautes fréquences

ayant des amplitudes élevées. De plus, la composante de fréquence[

Nr

p(1 − g) + 1

]fs a une

amplitude beaucoup plus significative que la composante de fréquence[

Nr

p(1 − g) − 1

]fs,

ce qui facilitera sa détection. La connaissance précise de la fréquence de cette composante

permet donc de connaître la valeur du glissement de la machine. Nous pourrons, par la

suite, calculer la valeur des fréquences ayant pour relation (1 ± 2 k g)fs en vue de dé-

terminer les amplitudes et les indices correspondants. Une fois ceux-ci connus, la valeur

de l’indice global mctsera évaluée. La différence entre cette méthode et la méthode de

diagnostic utilisée lors d’une connexion directe au réseau triphasé réside en l’absence d’in-

formation sur le nombre de composantes Kpn présentes dans le spectre basse fréquence

de la puissance instantanée. Nous ne connaissons donc plus le nombre de composantes

que nous devons détecter de part et d’autre de la fréquence fondamentale du courant. Un

choix arbitraire de cette valeur sera donc retenu.

III.2.3.3 Résultats expérimentaux

Le variateur utilisé pour ces essais est un variateur de vitesse d’une puissance de 3

kW de type Télémécanique Altivar 66 permettant de faire varier la vitesse de la machine

asynchrone de 0 tr/min à 3000 tr/min avec une commande en U/f .

Les essais ont été effectués pour une fréquence d’alimentation de 50 Hz, 40 Hz, 25 Hz,

et 15 Hz. Nous analysons les mêmes défauts rotoriques (une barre partiellement cassée et

une barre totalement cassée) avec des niveaux de charge identiques à ceux utilisés lors des

essais avec une alimentation triphasé sinusoïdale. Les notations adoptées pour ces essais

sont :

– S-50-C100 pour une alimentation à 50 Hz avec un rotor sain sous 100% de charge ;

– 05b-25-C75 pour une alimentation à 25 Hz avec un rotor ayant une barre partielle-

ment cassée sous 75% de charge ;


– 1b-25-C25 pour une alimentation à 25 Hz avec un rotor ayant une barre totalement

cassée sous 25% de charge.

Nous donnons dans le tableau III.13 les résultats obtenus pour les différents essais

proposés. Nous avons choisi de détecter 3 composantes à gauche et 3 composantes à

droite, ce qui remplace le nombre de composantes Kpn habituellement utilisé.

Le tableau III.13 donne les valeurs de :

– l’indice d’amplitude mc1 de la première composante à gauche du courant statorique ;

– l’indice global mctdu courant statorique ;

– l’indice d’amplitude mp1 de la première composante à gauche de la puissance ins-

tantanée d’une phase statorique ;

– l’indice global mptde la puissance instantanée d’une phase statorique.

Nous n’étudions dans cette partie que les indices globaux mctet mpt

de la puissance

instantanée et du courant statorique. Les autres indices tel que l’indice global mcgmtou

encore mpgotne sont pas calculés car, comme nous l’avons précisé, ils n’ont pas donné de

résultats significatifs lors d’une alimentation directe de la machine par le réseau triphasé.

Nous devons noter dans un premier temps que la valeur de la vitesse de la machine

calculée à partir de la composante fréquentielle f+r =

[Nr

p(1 − g) + 1

]fs correspond exac-

tement à celle mesurée manuellement sur le banc d’essai et mesure, et ce, pour chaque

essai étudié. Les résultats donnés au tableau III.13 montrent que les indices globaux aug-

mentent dans de très faibles proportions lorsque nous sommes en présence d’une barre

partiellement cassée. Par contre, pour une barre rotorique complètement cassée, les in-

dices globaux du courant et de la puissance instantanée augmentent nettement, ce qui

permet de détecter le défaut rotorique sans aucun problème. Les essais effectués pour un

niveau de charge nul (fonctionnement à vide) ne sont pas présentés dans cette partie car

les indices globaux calculés dans le cas d’un rotor défaillant ne différaient pas de ceux

obtenus avec un rotor sain.

Nous allons maintenant porter notre attention sur les résultats obtenus lorsque la

machine asynchrone est alimentée à une fréquence fondamentale de 25 Hz. Les résultats

obtenus pour ce mode de fonctionnement sont répertoriés dans le tableau III.14.

Lorsque la fréquence fondamentale des courants statoriques est de 25 Hz, les indices

globaux calculés à partir du spectre du courant statorique augmentent lorsque le défaut


Tab. III.13 : Indices d’amplitude et indices globaux du courant et de la puissance

instantanée d’une phase statorique pour une alimentation en U/f (fs = 50 Hz)

Rotor f+r (Hz) g mc1 mct

mp1 mpt

S-50-C100 1357 0,0654 0,0019 0,0038 0,0025 0,0063

05b-50-C100 1371 0,0557 0,0031 0,0051 0,0037 0,0086

1b-50-C100 1356 0,0662 0,0368 0,0410 0,0429 0,0503

S-50-C75 1380 0,0465 0,0027 0,0048 0,0038 0,0141

05b-50-C75 1393 0,0369 0,0027 0,0063 0,0036 0,0079

1b-50-C75 1385 0,0427 0,0399 0,0467 0,0397 0,0490

S-50-C50 1403 0,0285 0,0046 0,0077 0,0046 0,0107

05b-50-C50 1410 0,0236 0,0095 0,0117 0,0157 0,0262

1b-50-C50 1404 0,0278 0,0310 0,0400 0,0278 0,0399

S-50-C25 1421 0,0119 0,0032 0,0277 0,0131 0,0481

05b-50-C25 1424 0,0099 0,0044 0,0272 0,0132 0,0414

1b-50-C25 1423 0,0114 0,0227 0,0427 0,0301 0,0654

f+r =

[Nr

p(1 − g) + 1

]fs

rotorique apparaît. L’augmentation est, une nouvelle fois, beaucoup plus significative avec

une barre complètement cassée. En ce qui concerne l’indice global de la puissance instanta-

née, le défaut impliquant une barre partiellement cassée n’introduit aucune augmentation

pour une charge de 100% et une charge de 75%.

Si nous devions introduire un critère de détection comme nous l’avons fait pour une

alimentation de la machine sur le réseau triphasé, nous choisirions le critère donné au

tableau III.15 car nous ne connaissons pas le nombre de composante Kpn.

Dans ce critère, mX peut se substituer soit à l’indice global mct, soit à l’indice global

mpt. Nous donnons au terme α la même valeur que pour les essais effectués à partir

du réseau triphasé (α = 2) pour permettre de comparer les deux modes d’alimentation.

Les résultats obtenus, en appliquant ce critère, sont répertoriés dans les tableaux III.16 et

III.17. Nous pouvons remarquer que le défaut rotorique impliquant une barre partiellement

cassée n’est pas détecté dans la majorité des essais effectués. Par contre, lorsqu’une barre


Tab. III.14 : Indices d’amplitude et indices globaux du courant et de la puissance

instantanée d’une phase statorique pour une alimentation en U/f (fs = 25 Hz)

Rotor f+r (Hz) g mc1 mct

mp1 mpt

S-25-C100 630 0,1446 0,0010 0,0029 0,0042 0,0104

05b-25-C100 643 0,1238 0,0048 0,0057 0,0054 0,0104

1b-25-C100 631 0,1405 0,0543 0,0570 0,0542 0,0612

S-25-C75 658 0,0997 0,0014 0,0029 0,0040 0,0100

05b-25-C75 666 0,0843 0,0043 0,0060 0,0052 0,0100

1b-25-C75 659 0,0982 0,0419 0,0465 0,0456 0,0550

S-25-C50 683 0,0610 0,0010 0,0036 0,0040 0,0094

05b-25-C50 687 0,0521 0,0022 0,0054 0,0037 0,0107

1b-25-C50 683 0,0574 0,0354 0,0419 0,0358 0,0438

S-25-C25 705 0,0234 0,0020 0,0043 0,0048 0,0124

05b-25-C25 705 0,0236 0,0079 0,0105 0,0078 0,0138

1b-25-C25 704 0,0249 0,0042 0,0205 0,0078 0,0303

f+r =

[Nr

p(1 − g) + 1

]fs

Tab. III.15 : Critère de détection n03

Test Résultats

si mXMesuré< α mXSain

Pas de défaut

si mXMesuré> α mXSain

Défaut rotorique


de la cage rotorique est complètement cassée, la détection est possible dans tous les cas

excepté lorsque le moteur asynchrone fonctionne avec une fréquence d’alimentation de 50

Hz sous 25% de charge.

Les indices globaux du courant statorique augmentent plus significativement que ceux

de la puissance lorsque le défaut rotorique apparaît. L’indice global mbft, calculé à partir

du spectre basse fréquence de la puissance instantanée, n’a pas été présenté étant donné

que la détection des composantes de fréquence 2 k g fs n’est pas possible dans la plupart

des cas. A titre d’exemple, la figure III.39 montre que le nombre de composantes détectées

dans la bande basse fréquence de la puissance instantanée est égale à une (fréquence à

2 g fs) alors que la rupture de barre induit trois composantes de part et d’autre de la

fréquence fondamentale du courant statorique (figure III.40). Pour une alimentation par

le réseau triphasé et sous les mêmes conditions de fonctionnement (100% de charge), le

spectre basse fréquence de la puissance instantanée contenait trois composantes. Cette

différence peut être causée par la tension présente aux bornes de la phase statorique

étudiée. En effet, cette tension non sinusoïdale induit des fréquences perturbatrices dans

le spectre de la puissance instantanée. Par conséquent, l’analyse de l’indice global mbft

nous donne une information de l’état du rotor beaucoup moins satisfaisante que celle

obtenue avec les indices globaux mctet mpt

.

Ces derniers résultats nous dévoilent la difficulté rencontrée en ce qui concerne la dé-

tection d’un défaut de barre au sein de la cage d’écureuil des machines asynchrones lorsque

ces dernières sont alimentées par un convertisseur statique. Même si les résultats présentés

nous permettent de détecter une barre rotorique complètement cassée, la détection d’un

défaut naissant reste encore difficile. Les essais pour une fréquence d’alimentation de 15

Hz et de 40 Hz ne sont pas présentés dans ce document car les résultats obtenus sont très

semblables à ceux donnés précédemment.

Tout comme pour une alimentation par le réseau, les composantes induites par le bo-

binage statorique (harmoniques d’espace) donnent des informations supplémentaires sur

l’état de la cage rotorique. Les amplitudes de chacun de ces harmoniques peuvent être

évaluées pour permettre de calculer l’indice global correspondant. Dans le cas d’une ali-

mentation de la machine par un convertisseur statique, les harmoniques de temps présents

dans le spectre du courant statorique ont une amplitude plus importante en comparaison


Tab.II

I.16

:R

ésul

tats

obte

nus

avec

lecr

itèr

en

o3

(50

Hz)

Rot

orα

mc t

Sain

mc t

Mesu

réα

mp

tSain

mp

tM

esu

ré

S-50

-C10

00,

0076

0,01

26

05b-

50-C

100

0,00

51nf

0,00

88nf

1b-5

0-C

100

0,04

10f

0,05

03f

S-50

-C75

0,00

960,

0282

05b-

50-C

750,

0063

nf

0,00

79nf

1b-5

0-C

750,

0467

f0,

0490

f

S-50

-C50

0,01

540,

0214

05b-

50-C

500,

0117

nf

0,02

62f

1b-5

0-C

500,

0400

f0,

0399

f

S-50

-C25

0,05

540,

0962

05b-

50-C

250,

0272

nf

0,04

14nf

1b-5

0-C

250,

0427

nf

0,06

54nf

xf

:D

éfau

tdé

tect

é-x

nf

:Pas

dedé

faut

déte

cté

Tab.II

I.17

:R

ésul

tats

obte

nus

avec

lecr

itèr

en

o3

(25

Hz)

Rot

orα

mc t

Sain

mc t

Mesu

réα

mp

tSain

mp

tM

esu

ré

S-25

-C10

00,

0058

0,02

08

05b-

25-C

100

0,00

57nf

0,01

40nf

1b-2

5-C

100

0,05

70f

0,06

12f

S-25

-C75

0,00

580,

0200

05b-

25-C

750,

0060

f0,

0100

nf

1b-2

5-C

750,

0465

f0,

0550

f

S-25

-C50

0,00

720,

0188

05b-

25-C

500,

0054

nf

0,01

07nf

1b-2

5-C

500,

0419

f0,

0438

f

S-25

-C25

0,00

860,

0248

05b-

25-C

250,

0105

f0,

0138

nf

1b-2

5-C

250,

0205

f0,

0303

f

xf

:D

éfau

tdé

tect

é-x

nf

:Pas

dedé

faut

déte

cté


0 5 10 15 20 25 30 35−70

−65

−60

−55

−50

−45

−40

−35

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

psa (f)

2 g fs

Fig. III.39 : Puissance instantanée d’une phase statorique dans la bande [0 - 35] Hz :

U/f 1b-50-C100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

Kpn = 3

Fig. III.40 : Courant d’une phase statorique dans la bande [0 - 100] Hz : U/f 1b-50-C100


avec une alimentation directe par le réseau. Les perturbations générées par ce type de

convertisseur rendent la détection de ces composantes harmoniques plus difficile. Cepen-

dant, nous avons essayé de regardé l’évolution de leur amplitude pour les quatre fréquences

d’alimentation étudiées pour nous rendre compte de l’impact d’un tel défaut sur ces har-

moniques d’espace.

Nous répertorions dans le tableau III.18 la valeur des indices globaux calculés à par-

tir de l’amplitude des composantes fréquentielles des 13 premiers harmoniques d’espace

présents dans le spectre du courant statorique lorsque la fréquence d’alimentation est

de 50 Hz. Nous rappelons que les indices globaux notés mhex1 sont calculés à partir de

l’amplitude des composantes fondamentales des harmoniques d’espace, c’est-à-dire les

composantes ayant pour fréquence fhex= (x (1 − g) ± g) fs alors que les indices glo-

baux notés mhextsont calculés à partir de l’amplitude des composantes de fréquence

fhex= (x (1 − g) ± (1 + 2 η) g) fs (η allant de 0 à 3).

Si nous prenons le cas d’un défaut rotorique partiel, nous remarquons que les indices

globaux spécifiques aux harmoniques d’espace ne sont pas représentatifs du défaut ro-

torique. En effet, nous pouvons remarquer que leurs valeurs augmentent très faiblement

lors de l’apparition du défaut. De plus, pour certains niveaux de charge, nous pouvons

remarquer que la valeur de ces indices diminue. L’analyse des résultats obtenus avec le

défaut impliquant une barre complètement cassée montre que les indices globaux aug-

mentent eux aussi dans de très faibles proportions par rapport au fonctionnement sain.

Seule l’analyse de l’indice global de l’harmonique d’espace no5 traduit une modification

de l’état de la cage rotorique.

Les résultats obtenus avec une fréquence d’alimentation de 15 et 25 Hz ont donné de

moins bons résultats que ceux issus d’une alimentation à 50 Hz. Seuls les résultats obtenus

avec une alimentation à 40 Hz permettaient de visualiser clairement le défaut impliquant

une barre complètement cassée.

En comparaison avec les indices globaux calculés à partir des composantes créées

par les harmoniques d’espace du courant statorique lorsque la machine asynchrone est

alimentée par le réseau triphasé (tableau III.7), nous remarquons que l’utilisation d’un

variateur de vitesse rend l’analyse de ces valeurs beaucoup plus difficile. Cette dernière

remarque nous conduit à ne pas inclure ces indices dans le diagnostic de défaut final. La


Tab.

III.18

:Valeurs

desindices

globauxcalculés

surles

composantes

harmoniques

pour

unealim

entationavec

unvariateur

de

vitesseà

50H

z

Rotor

mhe3

1m

he3

tm

he5

1m

he5

tm

he7

1m

he7

tm

he9

1m

he9

tm

he1

11

mhe1

1t

mhe1

31

mhe1

3t

S-50-C100

0,00240,0043

0,00210,0040

0,00190,0034

0,00150,0029

0,00110,0022

0,00080,0016

05b-50-C100

0,00260,0049

0,00440,0055

0,00260,0043

0,00140,0030

0,00150,0025

0,00100,0018

1b-50-C100

0,00480,0059

0,02340,0239

0,00630,0079

0,00150,0029

0,00190,0042

0,00200,0027

S-50-C75

0,00290,0057

0,00250,0050

0,00220,0043

0,00160,0035

0,00130,0025

0,00100,0020

05b-50-C75

0,00310,0057

0,00380,0056

0,00250,0047

0,00180,0033

0,00160,0026

0,00090,0021

1b-50-C75

0,00700,0085

0,02700,0278

0,01200,0136

0,00190,0035

0,00360,0053

0,00350,0044

S-50-C50

0,00400,0076

0,00390,0068

0,00280,0059

0,00240,0046

0,00160,0033

0,00130,0025

05b-50-C50

0,00400,0078

0,00460,0068

0,00290,0063

0,00230,0042

0,00210,0034

0,00110,0025

1b-50-C50

0,00740,0096

0,02830,0298

0,01280,0146

0,00210,0042

0,00310,0048

0,00340,0045

S-50-C25

0,00490,0084

0,00940,0109

0,00340,0063

0,00210,0046

0,00170,0038

0,00140,0027

05b-50-C25

0,00720,0142

0,00360,0076

0,00310,0059

0,00200,0059

0,00170,0031

0,00120,0026

1b-50-C25

0,00650,0100

0,01650,0183

0,00970,0118

0,00220,0047

0,00280,0046

0,00280,0039


surveillance de leur valeur reste cependant un moyen efficace de conforter le diagnostic de

barre cassée au rotor d’une machine asynchrone.

III.2.3.4 Approche complémentaire

Dans le cas où les courants absorbés par le moteur asynchrone ne peuvent être utilisés

pour le diagnostic de défaut rotorique, l’analyse des courants du réseau d’alimentation,

c’est-à-dire des courants absorbés par le variateur, peuvent apporter une information sur

l’état de la cage rotorique. En effet, les composantes fréquentielles générées par la rupture

d’une barre de la cage sont aussi présentes dans le spectre des courants absorbés par le

variateur comme nous le montre les figures III.42 (alimentation de la machine à 50 Hz)

et III.44 (alimentation de la machine à 25 Hz). Par rapport aux spectres fréquentiels des

courants absorbés par la machine (figures III.41 et III.43), nous pouvons remarquer que

le nombre de composantes créées par le défaut est plus faible, tout comme leur amplitude

respective.

L’analyse des figures III.42 et III.44 permet de nous rendre compte que les fréquences

générées par le défaut rotorique dans le spectre fréquentiel des courants absorbés par le

convertisseur statique ne correspondent plus à l’équation f±bck

= (1 ± 2 k g) fs habituelle-

ment utilisées pour le diagnostic de défaut, mais à l’équation :

f±bck

= fsr± 2 k g fsm

(III.27)

où fsrreprésente la fréquence des courants au niveau du réseau d’alimentation (courants

avant le variateur) et fsmla fréquence des courants absorbés par le moteur asynchrone

(courants après le variateur). Si nous considérons que le rapport entre la fréquence des

courants absorbés par le moteur fsmet la fréquence des courants présents au niveau du

réseau fsrest constant, alors l’équation III.27 peut se mettre sous la forme :

f±bck

= (1 ± 2 k g β)fsravec β =

fsm

fsr

(III.28)

Il est donc possible d’utiliser les courants issus du réseau d’alimentation triphasé pour

détecter la présence d’un défaut au rotor d’une machine asynchrone. Cependant, au vu

des résultats présentés, la détection d’une barre rotorique cassée reste difficile étant donné

que la modulation d’amplitude (créée par le défaut rotorique) qui apparaît au niveau des

courants absorbés par le moteur est fortement altérée par l’utilisation d’un variateur de


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

(1−

2g)f

sm

(1+

2g)f

sm

(1−

4g)f

sm

(1+

4g)f

sm

(1−

6g)f

sm

fsm = 50 Hz

Fig. III.41 : Courant d’une phase statorique dans la bande [0 - 100] Hz : U/f 1b-50-C100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

ila (f)

fs

r−

2gf

sm

fs

r+

2gf

sm

fsm=50 Hz

fsr =50 Hz

Fig. III.42 : Courant d’une phase du reseau dans la bande [0 - 100] Hz : U/f 1b-50-C100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

(1−

2g)f

sm

(1−

2g)f

sm

(1−

2g)f

sm

(1−

2g)f

sm

fsm = 25 Hz

Fig. III.43 : Courant d’une phase statorique dans la bande [0 - 100] Hz. U/f 1b-25-C100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

ila (f)

fs

r−

2gf

sm

fs

r+

2gf

sm

fsm=25 Hz

fsr =50 Hz

Fig. III.44 : Courant d’une phase du reseau dans la bande [0 - 100] Hz : U/f 1b-25-C100


vitesse. Ce type d’analyse pourrait apporter un complément d’information sur l’état de

la machine tout comme peut l’être l’analyse des composantes harmoniques des courants

statoriques.

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons étudié et présenté une méthode de diagnostic qui s’appuie

sur l’évaluation de plusieurs indices globaux. Le calcul de ces indices repose sur l’évaluation

de l’amplitude des composantes spectrales des spectres du courant ou de la puissance

instantanée suite à l’apparition d’un défaut rotorique. Nous avons étudié deux niveaux de

défaillances à savoir une barre partiellement cassée (environ 50% de la barre est cassée)

et une barre totalement cassée lorsque la machine asynchrone est alimentée soit par le

réseau triphasé, soit par un variateur de vitesse commandé en U/f .

Pour une alimentation de la machine par le réseau triphasé, les résultats obtenus ont

permis de diagnostiquer la présence d’une barre partiellement cassée en analysant les dif-

férents indices globaux du courant et de la puissance instantanée d’une phase. De plus,

nous avons montré que les composantes situées dans le spectre basse fréquence de la

puissance instantanée donnaient une information plus significative que celles présentes

dans le spectre du courant statorique lorsque le défaut rotorique était partiel. Nous avons

aussi montré qu’une barre totalement cassée lorsque la machine fonctionne à vide pou-

vait être détectée avec la méthode proposée. En complément de cette étude, nous avons

analysé l’influence du défaut rotorique sur les harmoniques d’espace présents dans le

spectre du courant statorique. Les résultats obtenus ont permis de montrer que l’analyse

de l’amplitude de ces harmoniques d’espace donnait une information supplémentaire et

non négligeable pour le diagnostic de défauts rotoriques.

L’utilisation de la méthode de diagnostic lorsque la machine asynchrone est alimentée

par un variateur de vitesse nous a posé plusieurs difficultés. Les perturbations générées par

le convertisseur statique rendaient impossible la détection du défaut rotorique car l’éva-

luation du glissement de la machine en utilisant les composantes présentes dans le spectre

basse fréquence de la puissance instantanée était erronée. Nous avons donc dû utiliser une

méthode différente pour évaluer la vitesse rotorique de la machine asynchrone. En nous


basant sur une méthode très souvent utilisée pour la commande vectorielle sans capteur

des machines, nous avons calculé le glissement de cette dernière en utilisant une des deux

composantes créées par les encoches de la cage rotorique dans le spectre fréquentiel du

courant statorique. Nous avons montré que le diagnostic d’une barre partiellement cassée

restait très difficile pour ce type d’alimentation. Cependant, l’étude du défaut impliquant

une barre rotorique complètement cassée nous a permis de montrer que la méthode de

diagnostic proposée était fiable. L’analyse de l’amplitude des composantes relatives aux

harmoniques d’espace n’a pas été très convaincante pour ce type d’alimentation car le

spectre du courant statorique s’est révélé être très perturbé par le variateur de vitesse

dans les régions fréquentielles où se situent ces composantes.

La méthode de diagnostic proposée pourrait être utilisée et étendue aux diagnostic

d’autres types de défauts. Nous savons que l’analyse du courant statorique permet de

détecter un grand nombre de défaillances, qu’elles soient d’origine électrique et/ou méca-

nique à condition de connaître la fréquence des composantes qu’elles induisent dans son

spectre fréquentiel [68]. Les différents critères de détection proposés pourraient être im-

plantés dans un processus d’analyse "on-line". L’utilisation de la transformée de Fourier

glissante, décrite dans la partie I.3.5.1 du chapitre I (page 21), permettrait d’évaluer les

spectres fréquentiels des grandeurs temporelles "in-situ".

L’optimisation des algorithmes de détection présentés aux tableaux III.9 et III.12 doit

aussi être envisagée. En effet, la décision que nous avons prise sur l’état de la cage rotorique

dépendait de la valeur du paramètre α. Il parait évident que cette valeur peut varier en

fonction du type de moteur analysé. Par conséquent, il faudrait procéder à des essais

sur d’autres machines asynchrones (dans une gamme de puissance variée) pour pouvoir

déterminer une loi de comportement pour ce paramètre. De plus, l’utilisation de méthodes

décisionnelles élaborées, comme par exemple une étude statistique des différents indices

globaux obtenus, améliorerait la méthode de diagnostic proposée [69] [70]. Cette partie

s’inscrit donc dans les perspectives à envisager en ce qui concerne la suite à apporter à ce

travail.

Chapitre IV

Diagnostic de défaut sans référence

Introduction

Pour détecter la présence d’un défaut au rotor d’une machine asynchrone, les méthodes

de diagnostic sont classiquement basées sur l’analyse fréquentielle de signaux révélateurs.

Il est habituel d’utiliser le module de la transformée de Fourier du courant absorbé par

la machine pour détecter la présence de ce type de défaillance. En effet, une comparaison

de l’amplitude des composantes signataires du défaut avec un seuil de référence (seuil

calculé lorsque la machine est saine) est utilisée pour détecter la présence d’une anomalie

au niveau des circuits électriques rotoriques de la machine.

Dans ce chapitre, une attention particulière est portée au contenu de la phase du

spectre du courant statorique. Cette représentation est employée plus généralement en

traitement d’image où la phase du signal analysé contient une information plus pertinente

que son module. Cependant, nous allons montrer que l’information donnée par la phase du

spectre du courant statorique permet de conclure sur la présence d’un défaut au rotor de

la machine asynchrone. Cette analyse permet de développer et de proposer une méthode

de diagnostic de défauts rotoriques basée exclusivement sur cette information. Dans la

suite de l’étude, nous montrons qu’il est possible d’améliorer le diagnostic de la machine

en exploitant l’information donnée par la transformée de Hilbert appliquée au module du

spectre du courant statorique.

Nous validons ces deux approches à travers différents essais expérimentaux effectués

sur une machine asynchrone à cage d’écureuil de 3 kW.

148 Chapitre IV : Diagnostic de défaut sans référence

IV.1 Phase du spectre du courant statorique

Si nous reprenons la relation mathématique de la transformée de Fourier d’une suite

finie ps(0), . . . , ps(N − 1), nous avons :

F (k) =1

N

N−1∑

n=0

ps(n) e−j 2πnkN (IV.1)

Le résultat de cette relation mathématique donne un signal complexe et permet d’écrire

la transformée de Fourier du signal ps(n) sous la forme :

F (k) = <(F (k)) + j =(F (k)) = FRe(k) + j FIm(k) (IV.2)

Dans cette étude, nous portons une attention particulière à la phase de cette transformée,

obtenue grâce à la relation IV.3, pour analyser l’état de la cage d’écureuil d’une machine

asynchrone.

ϕTF (k) = arctan

(FIm(k)

FRe(k)

)(IV.3)

IV.1.1 Influence d’un défaut rotorique sur la phase du spectre du

courant statorique

Pour alimenter la réflexion, le module et la phase du spectre du courant statorique

lorsque la cage rotorique présente une barre cassée (1b-C100) (connexion au réseau d’ali-

mentation triphasé) sont représentés aux figures IV.1 et IV.2. Il apparaît clairement que

les composantes de fréquence (1 ± 2 k g)fs sont présentes dans le module du spectre du

courant statorique comme nous le montre la figure IV.1. La phase de ce spectre, quant

à elle, fait apparaître aux fréquences (1 ± 2 k g)fs des variations de phase brutales entre

−π et +π pour les fréquences inférieures à 50 Hz et entre +π et −π pour les fréquences

supérieures à 50 Hz. Ces variations sont comprises entre −π et +π étant donné que le

calcul de la phase ϕTF (f) se limite aux quatre cadrans du cercle trigonométrique.

Pour être certain que les sauts de phase de fréquence (1± 2 k g)fs présents dans cette

phase sont dus à la présence d’une barre rotorique endommagée, nous avons calculé et

étudié la phase du spectre du courant statorique lorsque la machine asynchrone fonctionne

avec un rotor sain (figure IV.3). Pour ce mode de fonctionnement, la phase ϕTF (f) contient

des sauts aux fréquences (1 ± 2 k g)fs beaucoup moins importants que ceux issus de

IV.1 : Phase du spectre du courant statorique 149

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

isa (f)

Fig. IV.1 : Spectre du courant statorique : Réseau 1b-C100 [0 - 100] Hz

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se d

e la

FF

T (

Rd)

PSfrag replacements

ϕTF (f)(1 − 2kg)fs

(1 + 2kg)fs

Fig. IV.2 : Phase du spectre du courant statorique : Réseau 1b-C100 [0 - 100] Hz

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se d

e la

FF

T (

Rd)

PSfrag replacements

ϕTF (f)

(1 − 2g)fs

(1 + 2g)fs

Fig. IV.3 : Phase du spectre du courant statorique : Réseau Sain-C100 [0 - 100] Hz


l’analyse avec une barre rotorique endommagée. Cette analyse permet de conforter le

fait que l’apparition d’une barre cassée au rotor de la machine entraîne une augmentation

des sauts de phase aux fréquences (1 ± 2 k g)fs dans la phase du spectre du courant

statorique.

Une analyse des figures IV.2 et IV.3 permet de visualiser un changement net de la

valeur de la phase à 50 Hz. Nous pouvons en conclure que la détection du saut de phase1

à la fréquence (1 − 2 g)fs dû à la rupture d’une ou plusieurs barres rotoriques dans la

phase du spectre du courant sera par conséquent plus simple à effectuer que la détection

de la composante de même fréquence dans le spectre de la densité spectrale de puissance.

Cette approche offre des perspectives très intéressantes pour l’étude des machines asyn-

chrones de fortes puissances qui fonctionnent avec un glissement nominal très faible. Un

glissement faible sous entend une composante de fréquence (1 − 2 g)fs très proche de la

composante fondamentale du courant statorique fs. L’utilisation du spectre fréquentiel du

courant statorique, pour effectuer la détection de cette composante, implique une longueur

d’échantillonnage du signal à analyser suffisamment importante pour obtenir une résolu-

tion fréquentielle faible, et permettre de distinguer la composante de fréquence (1−2 g)fs

de celle de fréquence fs. L’utilisation de la phase du spectre permet de se prémunir de

cette contrainte dans une certaine mesure. En effet, la résolution fréquentielle n’a aucune

incidence sur le changement brusque qui se produit sur la phase à 50 Hz, ce qui facilite

la détection du saut de phase à la fréquence (1 − 2 g)fs. En d’autres termes, si pour un

nombre de points échantillonnés N et un temps d’acquisition T la détection de la compo-

sante de fréquence (1 − 2 g)fs dans le spectre fréquentiel ne peut se faire (non détection

causée par une largeur du pic central importante due au fenêtrage), nous aurons tout

de même la présence d’un saut dans la phase de la transformée de Fourier, ce qui nous

permettra de déterminer la valeur de la fréquence de la composante de défaut.

La forme que prend cette phase peut s’expliquer en analysant la partie réelle et la partie

imaginaire de la transformée de Fourier du courant statorique FRe et FIm (équation IV.2).

Nous avons représenté sur la figure IV.4(a) la partie réelle et imaginaire de la transformée

de Fourier du courant statorique lorsque le rotor présente une barre cassée, et sur la figure

IV.4(b) la phase correspondante. Dans ces relevés, il apparaît clairement que la forme de la

1nous appellerons "sauts de phase" les variations brusques de la phase en fonction de la fréquence


phase de la transformée de Fourier du courant statorique est liée aux signes que prennent

les parties réelle et imaginaire pour une fréquence f particulière. Une analyse similaire

peut être faite sur la partie où se situe les sauts de phase créés par le défaut rotorique

(figures IV.5(a) et IV.5(b)).

Nous avons voulu vérifier si la forme de la partie réelle et celle de la partie imaginaire

obtenue en expérimentation se retrouve sur les signaux de simulation que nous avons

présentés dans le chapitre II. Cela nous permet de vérifier que la forme de ces signaux

n’a pas comme origine une perturbation inconnue. Pour cela, nous analysons le courant

statorique de la machine lorsque celle-ci fonctionne avec un rotor défaillant (une barre

cassée). Les parties réelle et imaginaire de la transformée de Fourier de ce signal ainsi

que la phase correspondante sont représentées à la figure IV.6 lorsque l’analyse se fait

autour de la fréquence fondamentale et à la figure IV.7 lorsque l’analyse se fait autour de

la fréquence (1 − 2 g)fs.

L’analyse de la figure IV.6(a) montre que la partie imaginaire est très grande devant la

partie réelle (qui n’est pas égale à zéro mais à -2600 en 50 Hz). Cela est dû au fait que le

signal étudié est un sinus et non un cosinus, ce qui minimise les effets de la partie réelle de

la transformée de Fourier. Cependant, la forme des courbes obtenues ne correspond pas

à celle des signaux expérimentaux. En effet, les signaux théoriques font apparaître une

seule composante (ou un seul saut) de valeur négative quelle que soit la fréquence (en ce

qui concerne la partie imaginaire). Cela n’est pas le cas de la partie imaginaire du courant

statorique expérimental qui prend une valeur négative et positive autour de 50 Hz. Une

analyse similaire peut être faite sur la partie réelle de la transformée de Fourier du courant

théorique et du courant expérimental. Cependant, l’analyse de la plage fréquentielle où

se situe la fréquence créée par le défaut rotorique (figure IV.7) montre un phénomène

proche de celui rencontré avec l’analyse du courant expérimental. En effet, le phénomène

apparaissant à cette fréquence est assez semblable à celui obtenu dans l’analyse du courant

expérimental (passage de la partie négative à la partie positive et inversement). Nous

donnons aux figures IV.8 et IV.9 une vue de la phase du courant d’expérimentation et de

simulation dans la plage fréquentielle [0 - 100] Hz. Ces deux relevés montrent que, hormis

pour la fréquence 50 Hz, les phénomènes qui apparaissent dans la phase du spectre du

courant se retrouvent dans les signaux de simulation.


49,75 49,8 49,85 49,9 49,95 50 50,05 50,1 50,15 50,2 50,25

−6

−4

−2

0

2

4

6

x 105

Fréquence (Hz)

Par

tie r

éelle

et i

mag

inai

re

49,75 49,8 49,85 49,9 49,95 50 50,05 50,1 50,15 50,2 50,25−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se d

e la

FF

T (

Rd)

PSfrag replacements

FRe(f)FIm(f)

(a)

(b)

ϕT F (f)

Fig. IV.4 : Partie réelle et partie imaginaire de la TF du courant expérimental (a) et

phase correspondante (b) [49,75 - 50,25] Hz

43,2 43,25 43,3 43,35 43,4 43,45 43,5 −1

−0,5

0

0,5

1

Fréquence (Hz)

Par

tie r

éelle

et i

mag

inai

re

43,2 43,25 43,3 43,35 43,4 43,45 43,5 −4

−2

0

2

4

Fréquence (Hz)

Pha

se d

e la

FF

T (

Rd)

PSfrag replacements

FRe(f)FIm(f)

(a)

(b)

ϕT F (f)

Fig. IV.5 : Partie réelle et partie imaginaire de la TF du courant expérimental (a) et

phase correspondante (b) [43,2 - 43,5] Hz


49,75 49,8 49,85 49,9 49,95 50 50,05 50,1 50,15 50,2 50,25−6

−4

−2

0

2

4

6x 10

5

Fréquence (Hz)

Par

tie r

éelle

et i

mag

inai

re

49,75 49,8 49,85 49,9 49,95 50 50,05 50,1 50,15 50,2 50,25−4

−2

0

2

4

Fréquence (Hz)

Pha

se d

e la

FF

T (

Rd)

PSfrag replacements

FRe(f)FIm(f)

(a)

(b)

ϕT F (f)

Fig. IV.6 : Partie réelle et partie imaginaire de la TF du courant de simulation (a) et

phase correspondante (b) [49,75 - 50,25] Hz : Réseau 1b-C100

44 44,2 44,4 44,6 44,8 45 45,2 45,4−1500

−1000

−500

0

500

1000

1500

Fréquence (Hz)

Par

tie r

éelle

et i

mag

inai

re

44 44,2 44,4 44,6 44,8 45 45,2 45,4−4

−2

0

2

4

Fréquence (Hz)

Pha

se d

e la

FF

T (

Rd)

PSfrag replacements

FRe(f)FIm(f)

(a)

(b)

ϕT F (f)

Fig. IV.7 : Partie réelle et partie imaginaire de la TF du courant de simulation (a) et

phase correspondante (b) [44 - 45,4] Hz : Réseau 1b-C100


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se d

u sp

ectr

e (R

d)

PSfrag replacements

ϕTF (f)

Fig. IV.8 : Vue générale de la phase du spectre du courant statorique : Expérimentation

Réseau 1b-C100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se d

u sp

ectr

e (R

ad)

PSfrag replacements

ϕTF (f)

Fig. IV.9 : Vue générale de la phase du spectre du courant statorique : Simulation

Réseau 1b-C100


En théorie, l’analyse du spectre d’un signal doit nous renseigner sur trois caractéris-

tiques : son amplitude, sa phase et sa fréquence [62]. En ce qui concerne la phase, son

calcul doit donner le déphasage de chaque sinusoïde qui compose le signal étudié par

rapport à l’origine d’une onde cosinusoïdale. Normalement, la phase du spectre du cou-

rant statorique obtenu en simulation ou en expérimentation devrait donner la valeur du

déphasage de chaque composante du signal aux fréquences où elles apparaissent. Si nous

prenons un signal sinusoïdal d’expression A sin(2πf0 t), le calcul de sa TFR donne une

partie réelle nulle et une partie imaginaire d’amplitude −A/2 en f0. La phase, qui est

fonction des signes que prennent la partie réelle et imaginaire de la TFR, renvoie donc

une composante de valeur -90o en f0 (partie réelle nulle et partie imaginaire négative).

Cette composante apparaît si et seulement si la fréquence f0 est un multiple entier de la

fréquence de résolution utilisée. Dans le cas contraire, la partie réelle de la TFR n’est plus

nulle ce qui modifie la forme de la phase du signal (apparition d’un saut de phase à f0).

C’est ce phénomène qui apparaît dans l’étude des signaux expérimentaux. En effet, que

ce soit pour la composante à fs ou pour les composantes à (1 ± 2 k g)fs, les fréquences

correspondantes ne sont pas un multiple entier de la fréquence de résolution utilisée. En

conséquence, les parties réelle et imaginaire de la transformée de Fourier du courant sta-

torique passent d’une valeur positive à une valeur négative (ou inversement) autour de

chaque fréquence, ce qui provoque l’apparition de sauts dans la phase du spectre (figures

IV.4 et IV.5). Cela signifie que la fréquence de la composante fondamentale du courant

expérimental n’est pas égale à 50 Hz car la fréquence de résolution utilisée pour l’analyse

est de 0,01 Hz (en fait, le réseau EDF ne délivre pas une fréquence exacte de 50 Hz).

Comme la fréquence des composantes créées par le défaut rotorique dépend du glissement

de la machine, il est peu probable que sa valeur soit un multiple entier de la fréquence

de résolution. C’est pour cette raison que nous avons des saut de phase à ces fréquences

caractéristiques et à la fréquence fondamentale (fréquence à 50 Hz). Le fait de ne pas avoir

de saut à 50 Hz dans la phase du courant de simulation vient du fait que nous imposons

la fréquence d’alimentation, ce qui limite la forme de la phase autour de cette fréquence

(partie imaginaire toujours négative et très faible partie réelle). Cependant, il apparaît

clairement que l’effet créé par la barre cassée autour des fréquences de défauts (1±2 k g)fs

en simulation et en expérimentation est relativement semblable.


IV.1.2 Utilisation de la phase pour le diagnostic de défaut roto-

rique

Nous venons de montrer que l’analyse de la phase du spectre du courant statorique

nous renseigne sur l’état du rotor de la machine asynchrone. Nous avons pu remarquer que

les sauts de phase présents aux fréquences (1±2 k g)fs étaient clairement dus à la présence

d’une ou plusieurs barres rotoriques endommagées. Par conséquent, en se basant sur cette

information, il est possible d’établir un diagnostic de la cage d’écureuil en analysant ces

sauts de phase particuliers.

Pour effectuer un diagnostic de défaut rotorique sans nécessiter de comparaison avec

une référence (référence obtenu à partir d’un fonctionnement sain), la décision finale, c’est

à dire "est-ce que le rotor est sain ou pas ?", doit être faite exclusivement à partir du si-

gnal analysé. Ceci nous permettra par la suite d’appliquer la méthode à des machines de

petite puissance ou de forte puissance. Nous savons que toutes les machines asynchrones

présentent une légère asymétrie de construction qui induit, dans le spectre du courant

statorique, une composante de fréquence (1−2 g)fs. Certaines fois, l’oscillation de vitesse

créée par cette composante est assez importante pour laisser paraître une composante

additionnelle de fréquence (1 + 2 g)fs dans ce même spectre fréquentiel. Cependant, les

fabriquants de moteurs asynchrones veillent à ce que leurs machines présentent une asy-

métrie la plus faible possible car elle pourrait être la principale cause de l’apparition d’un

défaut. A titre d’exemple, une excentricité statique engendre un courant homopolaire qui

se referme dans les roulements à billes diminuant notablement leur durée de vie.

C’est dans cette optique que la méthode de diagnostic va être développée. Nous étu-

dions la phase ϕTF (f) et plus particulièrement le saut présent à la fréquence (1 + 2 g)fs.

Normalement, ce saut de phase est très faible voir nul pour une machine asynchrone saine,

et cela quelque soit le niveau de charge. Pour la machine étudiée, un retour à la figure

IV.3 permet de remarquer la présence d’un léger saut de phase à la fréquence (1 + 2 g)fs,

saut créé par une légère fluctuation de la vitesse rotorique.

IV.1.2.1 Méthode de diagnostic

Nous proposons la détection d’une barre cassée en étudiant exclusivement le saut de

phase se situant à la fréquence (1+2 g)fs. Nous comparons l’écart-type de la phase ϕTF (f)


calculé sur deux plages fréquentielles différentes. En effet, le premier écart-type, que

nous noterons σc, sera calculé sur la plage fréquentielle[(1 + 2 g)fs − δ

2, (1 + 2 g)fs + δ

2

].

Cette plage cerne l’endroit où se situe le saut de phase ayant pour fréquence (1 +

2 g)fs. Le second écart-type, que nous noterons σm, sera calculé sur la plage fréquen-

tielle[(1 + 2 g)fs + δ

2, (1 + 4 g)fs − δ

2

]. Cet écart-type sera une image du bruit de mesure

présent entre les sauts se situant aux fréquences (1 + 2 g)fs et (1 + 4 g)fs. Rappelons que

la relation mathématique permettant de calculer l’écart-type σx, non biaisé, d’un signal

x est :

σx =

√√√√ 1

N − 1

N∑

i=1

(xi −

1

N

N∑

i=1

xi

)2

(IV.4)

où N représente le nombre d’échantillons du signal.

Le terme δ, qui prendra la valeur 1 Hz pour les essais effectués, permet de paramètrer

la largeur de la bande fréquentielle sur laquelle sera calculée l’écart-type σc. Une représen-

tation visuelle permettant une compréhension adéquate du calcul de ces deux écarts-types

est donnée à la figure IV.10. L’écart-type σc est calculé sur la plage fréquentielle rouge

alors que l’écart-type σm est calculé sur la plage fréquentielle bleue.

IV.1.2.2 Critère de détection

Une fois la valeur des paramètres σc et σm connue, le diagnostic de défaut sera fonction

d’un critère de détection qui prendra la forme donnée au tableau IV.1. Un choix de valeurs

de α différentes permet d’informer de la sévérité du défaut rotorique. Dans la cas étudié,

nous choisissons de donner à ce paramètre les valeurs 3 et 5 (choisies en fonction du type

de moteur utilisé). Le critère de détection prend alors la nouvelle forme donnée au tableau

IV.2.

IV.1.2.3 Calcul du glissement de la machine asynchrone

Les deux plages fréquentielles où sont évaluées les deux écarts-types σc et σm néces-

sitent la connaissance du glissement g de la machine. L’idée retenue est l’utilisation du

saut situé à la fréquence (1 − 2 g)fs qui est toujours présent dans la phase ϕTF (f). De

plus, il s’est avéré que pour la majorité des essais effectués (sains et défaillants), c’est

l’amplitude de ce saut qui est la plus prononcée, ce qui facilite sa détection. Une fois cette


55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 651

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

Fréquence (Hz)

Pha

se (

Rd)PSfrag replacements

ϕTF (f)

(1 + 2 g)fs(1 + 4 g)fs

δ

δ2

2 g fs − δ

Fig. IV.10 : Représentation du processus de calcul des deux écarts-types

Tab. IV.1 : Critère de détection utilisant la phase de la TF

Test Résultats

siσc

σm

≤ α Pas de défaut

siσc

σm

> α Défaut rotorique

Tab. IV.2 : Modification du critère de détection utilisant la phase de la TF

Test Résultats

siσc

σm

≤ 3 Absence de défaut rotorique

si 3 <σc

σm

≤ 5 Présence d’un défaut rotorique partiel

siσc

σm

> 5 Présence d’un défaut rotorique important


fréquence connue, un simple calcul permet la détermination du glissement g de la machine,

ce qui nous donne la valeur de la fréquence à (1 + 2 g)fs désirée. La détection du saut

situé à la fréquence (1− 2 g)fs se fait par la recherche de l’amplitude maximale dans une

plage fréquentielle qui sera fonction du type de machine étudiée. En effet, nous pouvons

connaître la valeur minimale que prendra la fréquence à (1− 2 g)fs étant donné que nous

connaissons la fréquence fondamentale fs des courants statoriques (fréquence imposée par

le réseau). Le glissement maximum de la machine calculé à partir de la relation :

gmax = 1 − p Ωmin

ωs

(IV.5)

permet d’obtenir la fréquence minimale fbcminqui est alors égale à (1 − 2 gmax)fs. Notre

machine asynchrone fonctionne avec une vitesse nominale de 2800 tr/min, ce qui nous

donne une fréquence minimale fbcminde 43,3 Hz. La plage fréquentielle choisie pour la

détection du saut de phase de fréquence (1 − 2 g)fs sera donc [40 - 50] Hz. Lors d’une

détection de plusieurs maxima (lorsque nous sommes à faible charge par exemple), nous

choisissons celui qui se situe au plus près du saut brusque à 50 Hz.

Les étapes chronologiques pour la détection d’une défaillance au rotor de la machine

asynchrone sont :

1. Détection des maxima dans la plage fréquentielle [40 - 50] Hz de la phase ϕTF (f),

2. Sélection du maximum correspondant à la fréquence (1 − 2 g)fs,

3. Calcul du glissement g de la machine,

4. Détermination des paramètres σc et σm par rapport à la fréquence (1 + 2 g)fs,

5. Décision.

IV.1.3 Résultats expérimentaux

Dans cette partie, nous appliquons la méthode de détection décrite précédemment sur

les mêmes signaux expérimentaux que ceux décrits dans le chapitre III (niveaux de charge

et niveaux de défaillance identiques). Nous testons la méthode lorsque l’alimentation

de la machine se fait soit par le réseau triphasé EDF soit par un variateur de vitesse

Télémécanique de type Altivar 66. La fréquence d’échantillonnage du courant statorique

est de 2 kHz et la longueur des échantillons de 2.105 points.


IV.1.3.1 Alimentation de la machine par le réseau triphasé

Dans cette partie nous étudions la méthode proposée lorsque la machine est alimentée

directement à partir du réseau triphasé. Les résultats obtenus, pour ce mode d’alimenta-

tion, sont présentés dans le tableau IV.3. La première colonne de ce tableau correspond

au fonctionnement de la machine (abréviations décrites à la page 98), la seconde colonne

donne la valeur de la fréquence (1−2 g)fs détectée dans la plage fréquentielle [40 - 50] Hz,

la troisième donne la valeur de l’écart-type σc, la quatrième donne la valeur de l’écart-

type σm, la colonne suivante donne le rapport σc

σmobtenu et enfin la dernière colonne

de ce tableau donne la décision prise en fonction du rapport σc

σmet du critère donné au

tableau IV.2. Pour appuyer les résultats obtenus, nous représentons sur les figures IV.11,

IV.12 et IV.13 les courbes de la phase ϕTF (f) lorsque la machine fonctionne sous 100%

de charge avec respectivement un rotor sain, une barre partiellement cassée et une barre

totalement cassée. Les figures IV.14, IV.15 et IV.16, quant à elles, représentent la phase

ϕTF (f) lorsque la machine fonctionne sous 25% de charge avec les mêmes niveaux de

défaillance que ceux cités précédemment. Sur ces figures, nous représentons par un trait

continu rouge la plage fréquentielle où est calculé l’écart-type σc, par un trait continu

bleu la plage où est calculé l’écart-type σm et par un cercle rouge le maximum du saut de

phase se situant à la fréquence (1 − 2 g)fs.

L’analyse du rapport des écarts-types σc

σmest très intéressante. En effet, nous pouvons

remarquer que ce rapport est faible pour une machine fonctionnant avec un rotor sain

quel que soit le niveau de charge. Cela conforte le fait que le saut de phase à (1 + 2 g)fs

peut être utilisé pour le diagnostic de barre cassée car son amplitude dépend fortement

de l’état de la cage rotorique. Nous apercevons, dans le tableau IV.3, que pour certains

fonctionnements sains (par exemple pour une charge de 50%) nous ne détectons pas de

saut de phase à (1 − 2 g)fs. Cela signifie que le saut présent à cette fréquence n’est pas

assez important pour être considéré comme un saut significatif. Dans ce cas, comme ce

saut n’est pas détecté, la méthode de diagnostic considère que la cage rotorique est en

bon état.

L’apparition d’un défaut rotorique partiel n’induit pas une augmentation significative

de l’écart-type σc par rapport l’écart-type σm. Pour certain mode de fonctionnement,

le bruit présent sur le signal de la phase augmente la valeur de l’écart-type σm ce qui


Tab. IV.3 : Résultats de la méthode de diagnostic appliquée à la phase de la transformée

de Fourier pour une connexion au réseau triphasé (calcul des écarts-types σc et σm)

Rotor Fréquence fbc σc σmσc

σmDécision

S-C100 43,49 0,0797 0,0797 1 Def

05b-C100 44,03 0,1213 0,0275 4,4109 Def

1b-C100 43,28 1,6178 0,0134 120,73 Def

S-C75 Pas de détection de max Def

05b-C75 45,71 0,0367 0,0197 1,8329 Def

1b-C75 45,45 0,4274 0,0699 6,1144 Def


05b-C50 47,13 0,0203 0,0125 1,6240 Def

1b-C50 46,97 0,4597 0,0548 8,3887 Def

S-C25 48,42 0,2669 0,2395 1,1144 Def

05b-C25 48,57 0,0192 0,0180 1,0667 Def

1b-C25 48,50 0,3812 0,0381 10,005 Def


05b-C0 Pas de détection de max Def


De Pas de défaut – De Défaut partiel – De Défaut important


40 45 50 55 60 65−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se (

Rd)

PSfrag replacements

ϕTF (f)

Fig. IV.11 : Phase ϕTF (f) du courant statorique : Réseau S-C100

40 45 50 55 60 65 70−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se (

Rd)

PSfrag replacements

ϕTF (f)

Fig. IV.12 : Phase ϕTF (f) du courant statorique : Réseau 05b-C100

40 45 50 55 60 65 70−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se (

Rd)

PSfrag replacements

ϕTF (f)



40 45 50 55 60 65 70−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se (

Rd)

PSfrag replacements

ϕTF (f)

Fig. IV.14 : Phase ϕTF (f) du courant statorique : Réseau S-C25

40 45 50 55 60 65 70−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se (

Rd)

PSfrag replacements

ϕTF (f)


40 45 50 55 60 65 70−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se (

Rd)

PSfrag replacements

ϕTF (f)



ne permet pas au rapport σc

σmd’atteindre une valeur suffisante pour diagnostiquer une

telle défaillance. Pour un défaut rotorique impliquant une barre complètement cassée, le

rapport minimum entre les écarts-types σc et σm est 6,11 (charge 75%) et le rapport maxi-

mum est 120 (charge 100%). L’effet d’une barre cassée sur le saut de phase de fréquence

(1 + 2 g)fs pour une charge de 75% est assez faible. Hormis pour un fonctionnement à

100% de charge, le rapport σc

σmn’augmente pas significativement. Nous pouvons remarquer

que la méthode de diagnostic n’a pas pu détecter le défaut pour un fonctionnement de la

machine à vide. Ceci est dû au fait que la phase ϕTF (f) ne présente aucun maximum dans

la plage fréquentielle [40 - 50] Hz. Le faible courant circulant dans les barres est la cause

principale de cette non détection. Avec cette approche, la cage rotorique de la machine

est alors considérée comme saine.

A partir des résultats donnés par le tableau IV.3, nous pouvons valider l’approche

proposée sachant que le défaut impliquant une barre complètement cassée est détecté pour

un niveau de charge minimum de 25%. La barre rotorique partiellement cassée reste non

détectée avec cette approche excepté lorsque la machine fonctionne à son couple nominale.

Notons que très peu de méthodes existent à ce jour qui permettent la détection d’un tel

défaut. Par exemple, dans [26], les auteurs analysent un défaut rotorique impliquant trois

barres cassées pour affirmer la présence d’une défaillance au sein de la cage. Leur méthode

de diagnostic, appliquée à un rotor présentant une barre partiellement cassée, considère

que le rotor de la machine est sain. Le point intéressant dans ces résultats reste la détection

d’une barre cassée (sur les 28 que compte la cage rotorique) pour une charge supérieure

à 25%. Par conséquent, même si le défaut impliquant une barre partiellement cassée n’a

pas pu être diagnostiqué, les résultats obtenus sont satisfaisants.

IV.1.3.2 Alimentation de la machine par un variateur de vitesse

La méthode de diagnostic a montré ses qualités lorsque la machine asynchrone est

connectée directement au réseau triphasé. L’étape suivante consiste à étudier cette mé-

thode de diagnostic lorsque la machine est alimentée par un variateur de vitesse. Le

variateur de vitesse utilisé est un variateur commandé en U/f qui permet de faire varier

la fréquence des courants d’alimentation de 0 à 50 Hz. Nous avons étudié, dans cette

partie, les mêmes niveaux de défauts que précédemment.


Les résultats obtenus pour ce mode d’alimentation n’ont pas donné satisfaction. En

effet, le défaut impliquant une barre complètement cassée lorsque la machine est soumise

à tous les niveaux de charge proposés n’a pu être détecté avec la méthode proposée. Ceci

est dû à deux problèmes bien distincts :

– Le premier problème rencontré est la présence d’un bruit important dans la plage

fréquentielle[(1 + 2 g)fs + δ

2, (1 + 4 g)fs − δ

2

], ce qui induit un écart-type σm impor-

tant. Nous représentons sur la figure IV.17 la phase du courant statorique lorsque

la machine asynchrone fonctionne avec une barre rotorique défaillante pour une fré-

quence fondamentale des courants statoriques de 50 Hz. Nous pouvons remarquer la

présence de nombreux sauts de phase dans la plage fréquentielle bleu ce qui induit

une valeur de σm importante. Le rapport σc

σmest par conséquent très faible, trop faible

pour permettre la détection du défaut rotorique ( σc

σm< 3). Une analyse similaire de

la phase a été effectuée lorsque la fréquence des courants était de 25 Hz (figure

IV.18). Sur cette représentation, nous pouvons remarquer que la phase contient de

nombreux sauts à des fréquences quelconques voire incohérentes. Ces sauts, dont

l’amplitude reste assez faible, donnent quand même une valeur de l’écart-type σm

importante, provoquant ainsi un diagnostic erroné de la cage rotorique.

– Le second problème rencontré est la mauvaise détection du saut de phase situé à la

fréquence (1 − 2 g)fs. En effet, la présence de sauts de phase quelconques dans la

plage fréquentielle [fs-10, fs] ne permet pas de détecter le saut de phase nécessaire

au calcul du glissement de la machine (saut de phase de fréquence (1 − 2 g)fs). Si

un saut de phase, assez conséquent pour être considéré comme un maximum, se

situe dans la plage fréquentielle [(1 − 2 g)fs, fs], le calcul du glissement sera alors

erroné étant donné que ce saut sera considéré comme étant celui créé par le défaut

rotorique. Le problème cité précédemment est illustré à la figure IV.19. Pour ce

mode de fonctionnement, la charge appliquée à la machine asynchrone est de 100%

(g ' 6%), ce qui nous donne une fréquence (1 − 2 g)fs d’environ 43 Hz. Le saut de

phase détecté par le programme de diagnostic renvoie, dans ce cas, une fréquence de

47,8 Hz, ce qui ne correspond pas à la fréquence du saut créé par le défaut rotorique.

Cette erreur de détection entraîne un calcul des écarts-types σc et σm sur des plages

fréquentielles erronées et engendre un diagnostic incorrect de l’état du rotor de la


40 45 50 55 60 65−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se (

Rd)

PSfrag replacements

ϕTF (f)

Fig. IV.17 : Phase ϕTF (f) du courant statorique pour fs = 50 Hz : U/f 1b-C100

20 25 30 35 40 45−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se (

Rd)

PSfrag replacements

ϕTF (f)

Fig. IV.18 : Phase ϕTF (f) du courant statorique pour fs = 25 Hz : U/f 1b-C100

40 45 50 55 60 65−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se (

Rd)

PSfrag replacements

ϕTF (f)

Fig. IV.19 : Phase ϕTF (f) du courant statorique pour fs = 50 Hz : U/f Sain-C100


machine. Nous pouvons remarquer que la plage fréquentielle de la figure IV.19 où

est calculée l’écart-type σm n’a pas la même largeur que celle de la figure IV.17 alors

que le niveau de charge est identique.

IV.1.4 Bilan de cette approche

La méthode de diagnostic de barre cassée, basée sur le rapport de deux écarts-types

calculés à partir de la phase du spectre du courant statorique a donné des résultats

intéressants lorsque la machine asynchrone est alimentée par le réseau triphasé. Cette

nouvelle approche qui, rappelons-le, ne se base sur aucun seuil de référence (moteur sain),

a permis de détecter une barre de la cage rotorique complètement cassée. La détection

d’un défaut rotorique partiel étant difficile à effectuer avec cette approche.

L’utilisation de cette méthode lorsque la machine asynchrone est alimentée par un

variateur de vitesse n’a pas permis de détecter les défauts rotoriques étudiés. La cause

principale de cette non détection est la présence de sauts de phase importants dans les

plages fréquentielles où sont calculés les écarts-types σc et σm. De plus, pour certain cas de

fonctionnement, la détection du saut situé à la fréquence (1−2 g)fs n’a pu se faire car des

sauts de phase présents entre cette fréquence et la fréquence fondamentale fs induisaient

des choix de maxima erronés.

Nous avons vu que la forme de cette phase était dépendante des signes que prennent

la partie réelle et la partie imaginaire de la transformée de Fourier du courant statorique.

Nous avons expliqué que la forme adoptée par ces deux parties était fonction de la réso-

lution fréquentielle utilisée. En effet, il faudrait avoir une résolution fréquentielle la plus

faible possible pour que chaque fréquence étudiée soit un multiple entier de cette dernière.

Ne pouvant jouer ni sur le nombre de point N , ni sur la fréquence d’échantillonnage Fe, il

est difficile de modifier la méthode de détection pour permettre la prise en considération

de cet effet et donc, d’améliorer la forme de cette phase.

L’idée d’utiliser la transformée de Hilbert est issue de toutes ces remarques. L’avantage

de cette transformée est le fait que nous pouvons connaître exactement la forme de la

partie réelle et de la partie imaginaire. C’est un point essentiel car cette information

permet la connaissance exacte de la forme de la phase correspondante, contrairement à

la transformée de Fourier. L’utilisation de cette transformée pour le diagnostic de défaut


rotorique fait donc l’objet de la partie suivante. Nous donnons dans un premier temps

les définitions de base de cette transformée pour permettre ensuite de l’appliquer au

diagnostic de défaut rotorique.

IV.2 Transformée de Hilbert

Nous avons montré, dans la partie précédente, que la forme des parties réelle et ima-

ginaire de la phase du spectre du courant statorique provoquait des sauts "quelconques"

lors d’une alimentation par convertisseur statique, induisant ainsi un diagnostic de défaut

erroné pour certains modes de fonctionnements. Ce problème peut être contourné avec

l’utilisation de la transformée de Hilbert, comme nous allons le démontrer ci-après.

IV.2.1 Définitions de base

La transformée de Hilbert d’un signal réel uni-dimensionnel y(t) peut être calculée en

utilisant la relation :

v(t) = − 1

π

∫ ∞

−∞

y(η)

η − tdη =

1

π

∫ ∞

−∞

y(η)

t − ηdη (IV.6)

La transformée de Hilbert inverse quant à elle nous est donnée par la relation :

y(t) =1

π

∫ ∞

−∞

v(η)

η − tdη = − 1

π

∫ ∞

−∞

v(η)

t − ηdη (IV.7)

Généralement, la transformée de Hilbert est exprimée en utilisant les notations propres

aux convolutions telles que :

v(t) = y(t) ∗ 1

π t(IV.8)

y(t) = v(t) ∗ 1

π t(IV.9)

Contrairement à la transformée de Fourier qui transforme un signal issu du domaine

temporel en un signal exprimé dans le domaine fréquentiel, la transformée de Hilbert ne

change pas le domaine de la variable y(t). En effet, la transformée de Hilbert d’un signal

dépendant de la variable t est elle aussi fonction de cette même variable. La transformée

de Fourier du noyau de la transformée de Hilbert, c’est à dire Θ(t) = 1π t

(équations IV.8

et IV.9) est :

Θ(t) =1

π t

TF=⇒ −j sgn(ω) (IV.10)

IV.2 : Transformée de Hilbert 169

où la fonction signe, notée "sgn" prend les valeurs suivantes :

sgn(ω) =

+1 pour ω > 0

0 pour ω = 0

−1 pour ω < 0

(IV.11)

La multiplication de ce noyau par le théorème de convolution issu de l’analyse de Fourier

donne le spectre de la transformée de Hilbert :

v(t)TF=⇒ V (ω) = −j sgn(ω) Y (ω) (IV.12)

Cette relation permet le calcul de la transformée de Hilbert à partir de la transformée de

Fourier inverse du spectre donnée par l’équation précédente2 :

y(t)TF=⇒ Y (ω) =⇒ V (ω) = −j sgn(ω) Y (ω)

TF−1

=⇒ v(t) (IV.13)

Le calcul de la transformée de Fourier peut se faire en utilisant les algorithmes TFD

(transformée de Fourier discrète) ou encore TFR (transformée de Fourier rapide) vus au

chapitre I.

De façon générale, un signal réel y(t) peut être décomposé en une somme de deux termes :

y(t) = yp(t) + yi(t) (IV.14)

où le terme pair vaut :

yp(t) =y(t) + y(−t)

2(IV.15)

et le terme impair vaut :

yi(t) =y(t) − y(−t)

2(IV.16)

La transformée de Fourier de y(t) est une fonction complexe qui peut se mettre sous la

forme :

Y (ω) = <(Y (ω)) + j =(Y (ω)) = YRe(ω) + j YIm(ω) (IV.17)

La multiplication de la transformée de Fourier Y (ω) par l’opérateur −j sgn(ω) change la

partie réelle en partie imaginaire et vice versa (équation IV.12). Le spectre de la transfor-

mée de Hilbert, quant à lui, peut se mettre sous la forme :

V (ω) = <(V (ω)) + j =(V (ω)) = VRe(ω) + j VIm(ω) (IV.18)

2TF−1 signifie transformée de Fourier inverse.


ou, en se basant sur les démonstrations précédentes :

VRe(ω) = −j sgn(ω)[j YIm(ω)] = sgn(ω) YIm(ω) (IV.19)

et

VIm(ω) = −j sgn(ω) YRe(ω) (IV.20)

Par conséquent, nous pouvons remarquer que la transformée de Hilbert change tous les

termes pairs en termes impairs et tous les termes impairs en termes pairs. Nous pouvons

alors donner la transformée de Hilbert des fonctions harmoniques cosinus et sinus3 :

cos(ω t)TH=⇒ sin(ω t) (IV.21)

sin(ω t)TH=⇒ − cos(ω t) (IV.22)

e−j ω t TH=⇒ = −j sgn(ω)e−j ω t = sgn(ω) ej (ω t−π

2 ) (IV.23)

De ces équations, nous pouvons remarquer que la transformée de Hilbert change tous

les termes cosinus en termes sinus et tous les termes sinus en termes cosinus négatif. La

transformée de Hilbert dans le domaine temporel correspond à un déphasage de valeur π2

(ou 90 ) de tous les termes de la transformée de Fourier.

IV.2.2 De la transformée de Hilbert à la théorie de modulation

En complément du déphasage de π2

qu’elle introduit entre la partie réelle et la partie

imaginaire, la transformée de Hilbert peut être utilisée dans la théorie de modulation pour

déterminer la modulation d’amplitude, la modulation de phase ainsi que la modulation

de fréquence d’un signal temporel y(t).

La transformée de Hilbert d’un signal y(t) peut s’écrire sous la forme :

y(t)TH=⇒ y(t) = yRe(t) + j yIm(t) (IV.24)

où yIm(t) représente la transformée de Hilbert du signal yRe(t). Le signal y(t), quant à

lui, est couramment appelé signal analytique.

La modulation d’amplitude A(t) du signal temporel y(t) se calcule en utilisant la relation

suivante :

A(t) =√

yRe(t)2 + yIm(t)2 (IV.25)

3TH signifie transformée de Hilbert.


Sa modulation de phase ϕ(t) se calcul grâce à la relation :

ϕ(t) = arctanyIm(t)

yRe(t)(IV.26)

A partir de cette modulation de phase, nous pouvons déterminer l’expression permettant

de calculer sa modulation de fréquence :

F (t) = F0 +1

2 π

dϕ(t)

dt(IV.27)

Si nous prenons comme exemple une fonction y(t) modulée en amplitude et en phase

ayant pour expression :

y(t) = 10 (1 + m cos(ωf t)) cos (ωs t + β cos(ωf t)) (IV.28)

avec

ωf = 8 π ωs = 100 π m = 0, 03 β = 0, 01 (IV.29)

le calcul de la transformée de Hilbert de ce signal donne un signal analytique complexe

y(t) avec une partie réelle yRe(t) et une partie imaginaire yIm(t) (équation IV.24) que

nous représentons à la figure IV.20. Nous pouvons remarquer le déphasage de π2

entre les

deux signaux comme il l’a été démontré dans la partie IV.2.1. Le calcul du module de

y(t) donne l’enveloppe du signal y(t) et le calcul de sa phase nous donne sa modulation

de phase ainsi que sa modulation de fréquence en fonction du temps.

Nous présentons à la figure IV.21 l’enveloppe du signal temporel y(t), c’est-à-dire sa

modulation d’amplitude au cours du temps, ainsi que sa modulation de phase à la figure

IV.22 et sa modulation de fréquence à la figure IV.23 obtenues à partir de y(t).

IV.2.3 La transformée de Hilbert pour le diagnostic de défaut

rotorique

Cette partie développe la méthode de diagnostic basée sur le calcul de la phase du

signal analytique obtenu par une transformée de Hilbert du module du spectre du courant

absorbé par la machine asynchrone. En d’autre terme, plutôt que de travailler directement

sur le courant statorique (signal temporel), nous suggérons de travailler avec le module de

sa transformée de Fourier. Comme nous l’avons précédemment mentionnée, la transformée

de Hilbert d’un signal renvoie une représentation de ce signal dans le même domaine. Ainsi,


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

−10

−5

0

5

10

Temps (Sec)

Par

tie im

agin

aire

et p

artie

com

plex

ePSfrag replacements

Partie réelle et imaginaire de y(t)

yRe(t)yIm(t)

Fig. IV.20 : Partie imaginaire et partie réelle de y(t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

2

4

6

8

10

12

Temps (Sec)

Mod

ulat

ion

ampl

itude

PSfrag replacements

yRe(t)2 +

yIm(t)2

y(t)

Fig. IV.21 : Modulation d’amplitude de y(t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

Temps (Sec)

Mod

ulat

ion

de p

hase

(D

eg)

PSfrag replacements

arctan yIm(t)

yRe(t)

Fig. IV.22 : Modulation de phase de y(t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.649.9

49.92

49.94

49.96

49.98

50

50.02

50.04

50.06

50.08

50.1

Temps (Sec)

Mod

ulat

ion

de fr

éque

nce

(Hz)

PSfrag replacements

F0 + 12 π

d ϕ(t)dt

Fig. IV.23 : Modulation de fréquence de y(t)


si nous appliquons la transformée de Hilbert sur le module de la transformée de Fourier

du courant statorique, le signal résultant sera par conséquent exprimé dans le domaine

fréquentiel.

Cette démarche utilise la transformée de Hilbert calculée à partir du module du spectre

du courant statorique, sa phase n’ayant aucune importance ici. Les figures IV.24 et IV.25

représentent la phase du signal analytique4 obtenu en calculant la transformée de Hilbert

du module du spectre du courant statorique de la machine lorsque cette dernière fonc-

tionne avec un rotor sain et un rotor défaillant (le moteur se trouve dans la configuration

S-C100). Ces figures mettent en évidence la présence de "sauts de phase" aux fréquences

de défaut (1 ± 2 k g)fs. De plus, nous pouvons remarquer que l’apparition du défaut ro-

torique contribue à augmenter l’amplitude des sauts présents dans la phase ϕTH(f). Si

nous portons notre attention sur la figure IV.26, nous pouvons remarquer un changement

rapide de la phase au niveau du 50 Hz. Tout comme la phase de la TF du courant, le fait

d’avoir un changement de phase net à 50 Hz permettra d’évaluer l’amplitude du saut de

phase situé à la fréquence (1−2 g)fs plus facilement que l’amplitude de la composante de

même fréquence présente dans le module du spectre du courant statorique (figure IV.27).

Pour notre machine, la détection de cette fréquence ne pose aucun problème, que ce soit

dans le module du spectre ou dans la phase ϕTH(f), mais lorsque l’étude porte sur des

moteurs de forte puissance, cette détection peut s’avérer difficile à cause de la faible valeur

du glissement (∼ 1%).

La différence entre la phase de la TF et la phase du signal analytique réside dans le fait

que cette dernière est calculée à partir du module du spectre du courant statorique. C’est à

dire que dés que la composante de fréquence (1−2 g)fs apparaît dans le module du spectre,

elle apparaîtra aussi dans la phase ϕTH(f). Même si la composante créée par le défaut

rotorique a une amplitude relativement faible dans le module du spectre fréquentiel du

courant statorique, nous obtiendrons tout de même une représentation de celle-ci dans la

phase du signal analytique ϕTH(f) car le module du spectre contiendra cette information.

De plus, il faut noter que l’amplitude des sauts de phase situés aux fréquences (1±2 k g)fs

de la phase ϕTH(f) est directement liée à l’amplitude des composantes situées aux mêmes

fréquences dans le module du spectre du courant statorique.

4 Dans la suite de l’étude nous noterons ce signal analytique Isa(f) et la phase correspondante ϕTH(f)


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Fréquence (Hz)

Pha

se d

e la

TH

(R

d)

PSfrag replacements

ϕTH(f)

(1 − 2 k g)fs(1 + 2 k g)fs

Fig. IV.24 : Phase du signal analytique obtenu par une TH de |isa(f)| : S-C100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Fréquence (Hz)

Pha

se d

e la

TH

(R

d)

PSfrag replacements

ϕTH(f)

(1 − 2 k g)fs

(1 + 2 k g)fs

Fig. IV.25 : Phase du signal analytique obtenu par une TH de |isa(f)| : 1b-C100

40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Fréquence (Hz)

Pha

se d

e la

TH

(R

d)

PSfrag replacements

ϕTH(f)

(1 − 2 g)fs(1 + 2 g)fs

Fig. IV.26 : Agrandissement de la figure IV.24 autour de 50 Hz

40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

|isa(f)|

(1 − 2 g)fs(1 + 2 g)fs

Fig. IV.27 : Module du spectre du courant statorique (normalisé en dB) : S-C100


La présence de ces sauts de phase peut s’expliquer en étudiant la partie réelle et la

partie imaginaire du signal analytique Isa(f). Nous savons que le courant absorbé par

une machine asynchrone fonctionnant avec un rotor sain ou un rotor défaillant présente

toujours une modulation d’amplitude et de fréquence. En se référant au chapitre III, nous

pouvons donner l’expression du courant statorique isa(t) lorsque nous considérons une

modulation d’amplitude non symétrique autour de la fréquence porteuse fs :


k=1

√2 mck

Is

2cos(2 π(fs−k fm) t−ϕ)+

X∑

k=1

√2 m

′

ckIs

2cos(2 π(fs+k fm) t−ϕ)

(IV.30)

En se limitant aux premières fréquences créées par le défaut rotorique (X=1), l’équation

IV.30 peut se mettre sous la forme :

isa(t) = isa0(t) +

√2 mc1 Is

2cos(2 π(fs − fm) t − ϕ) +

√2 m

′

c1Is

2cos(2 π(fs + fm) t − ϕ)

(IV.31)

Le module de la transformée de Fourier de ce signal est donné à la figure IV.28 lorsque

nous prenons comme paramètres :

mc1 = 0, 002 m′

c1= 0, 0003 fm = 6 Hz fs = 50 Hz (IV.32)

(La valeur de ces paramètres correspond au cas S-C100 étudié dans le chapitre III lorsque

la machine est connectée au réseau triphasé). Cette représentation est donnée en dB

(module normalisé par rapport au maximum) pour une meilleure visualisation mais nous

rappelons que la transformée de Hilbert s’applique sur le module linéaire. Ce spectre fré-

quentiel donne une composante de fréquence 50 Hz plus deux composantes de fréquences

(fs − fm) et (fs + fm). En reprenant les notations données à l’équation IV.24, nous obte-

nons :

|isa(f)| TH=⇒ Isa(f) = IsaRe(f) + j IsaIm(t) (IV.33)

En théorie, la transformée de Fourier de cos(2 π fs t) donne deux pics de Dirac dans le do-

maine fréquentiel, positionnés aux fréquences −fs et fs avec comme amplitude 12δ(f + fs)

et 12δ(f − fs). D’après [14], la transformée de Hilbert d’un pic de Dirac positionné à la

fréquence f = 0 vaut 1π f

. Par extension, la transformée de Hilbert d’un pic de Dirac

positionné à la fréquence −fs vaut donc 1π (f+fs)

et celle d’un pic de Dirac positionné à

la fréquence fs vaut 1π (f−fs)

(f étant le domaine dans lequel est exprimé le signal ana-

lysé). Par conséquent, la forme de IsaRe(f) sera identique au module de la transformée


de Fourier du courant et celle de IsaIm(f) sera une fonction impaire en 1π f

en −fs et fs.

Nous donnons à la figure IV.29 une représentation de la partie réelle IsaRe(f) et de la

partie imaginaire IsaIm(f) du signal analytique ainsi que la phase correspondante autour

de 50 Hz5. La figure IV.30, quant à elle, représente les mêmes signaux mais autour de la

fréquence de défaut (fs − fm).

Nous pouvons noter que les formes correspondent à celles attendues, c’est à dire que la

partie réelle du signal analytique est identique au module de la transformée de Fourier du

courant (une composante à 50 Hz et à fs−fm) et que la partie imaginaire est une fonction

en 1π f

impaire centrée sur fs = 50 Hz et sur fs−fm. La forme de cette phase dépend donc

du signe que prennent la partie réelle et la partie imaginaire du signal analytique Isa(f)

lorsque l’on se déplace sur l’axe fréquentiel.

Pour le cas étudié (équation IV.31), la phase ϕTH(f) commence à la valeur −π2

étant

donné que la partie réelle est nulle et que la partie imaginaire est négative. Cette phase

change de forme lorsque la partie réelle devient positive, c’est à dire aux alentours de 44 Hz

(partie réelle positive et partie imaginaire négative) ce qui la fait tendre vers zéro. Lorsque

la partie réelle redevient nulle, la phase retrouve une valeur de − π2

(partie réelle nulle et

partie imaginaire négative). Nous pouvons noter que pour chaque composante présente

dans le module de la transformée de Fourier du courant, la partie imaginaire du signal

analytique prend la forme d’une fonction en 1π (f−fx)

(fx étant la fréquence où apparaît

la composante dans le module de la TF) (figure IV.29). Lorsque l’on se rapproche du 50

Hz, la partie réelle devient positive (la partie imaginaire est toujours négative) ce qui fait

tendre la phase vers zéro. Le passage de celle-ci par la valeur zéro se fait lorsque la partie

imaginaire devient nulle. Au delà de 50 Hz, la partie réelle et la partie imaginaire sont

toutes les deux positives, ce qui fait tendre la phase vers π2, valeur qu’elle atteint lorsque

la partie réelle redevient nulle. A l’approche de 56 Hz (fs + fm), la partie réelle devient

positive (partie imaginaire positive) ce qui fait tendre la phase vers zéro. Elle reprend

une valeur de π2

lorsque la partie réelle devient nulle. A partir de cet exemple et de ces

explications, il est clair que plus le module du spectre du courant statorique contiendra de

composantes "de défauts", plus le nombre de sauts dans la phase ϕTH(f) sera important .

Nous devons aussi noter que, plus l’amplitude des composantes présentes dans le module

5notons que la phase de Isa(f) se calcule avec la relation ϕTH(f) = arctan(

IsaIm(f)

IsaRe(f)

)


40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Fréquence (Hz)

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(dB

)

PSfrag replacements

|isa(f)|

fs − fm fs + fm

Fig. IV.28 : Module de la transformée de Fourier du signal donné à l’équation IV.31

49,8 49,85 49,9 49,95 50 50,05 50,1 50,15 50,2 −4

−2

0

2

4

6x 10

4

Fréquence (Hz)

Par

tie r

éelle

et p

artie

imag

inai

re

49,8 49,85 49,9 49,95 50 50,05 50,1 50,15 50,2 −2

−1

0

1

2

Fréquence (Hz)

Pha

se d

e la

TH

PSfrag replacements

IsaRe(f)

IsaIm(f)

ϕT H (f)

1π f

−π2

π2

Fig. IV.29 : Partie réelle et imaginaire de Isa(f) et phase correspondante (fs)

43,5 43,6 43,7 43,8 43,9 44 44,1 44,2 44,3 44,4 44,5−100

−50

0

50

100

Fréquence (Hz)

Par

tie r

éelle

et p

artie

imag

inai

re

43,5 43,6 43,7 43,8 43,9 44 44,1 44,2 44,3 44,4 44,5−2

−1.5

−1

−0.5

0

Fréquence (Hz)

Pha

se d

e la

TH

PSfrag replacements

IsaRe(f)

IsaIm(f)

ϕT H (f)

−π2

Fig. IV.30 : Partie réelle et imaginaire de Isa(f) et phase correspondante (fs − fm)


du spectre fréquentiel du courant sera grande, plus le saut de phase correspondant sera

important. En effet, les sauts de phase créés par les composantes fréquentielles peuvent

passer de −π2

à +π2

(où de +π2

à −π2) si les amplitudes de ces dernières sont assez signifi-

catives. La connaissance exacte des parties réelle et imaginaire du signal analytique Isa(f)

présente donc un avantage par rapport à la phase de la transformée de Fourier que nous

avons décrite dans la partie IV.1.

Pour effectuer un diagnostic de défaut sans introduire de comparaison avec le fonc-

tionnement sain, nous devons analyser exclusivement le signal traité qui, dans notre cas,

est la phase ϕTH(f) tout comme nous l’avons fait avec la phase du spectre du courant

statorique ϕTF (f). La méthode de diagnostic que nous allons appliquer à la phase ϕTH(f)

est identique à celle appliquée à la phase ϕTF (f), c’est-à-dire que nous allons analyser ex-

clusivement le saut de phase situé à la fréquence (1 + 2 g)fs. Normalement, il n’existe pas

de composante à la fréquence (1 + 2 g)fs dans le module du spectre fréquentiel du cou-

rant statorique lorsque la cage rotorique est saine ou alors son amplitude est relativement

faible. L’absence de composante à cette fréquence dans le spectre du courant statorique

se traduit par l’absence de saut de phase à cette même fréquence dans la phase ϕTH(f).

Si, malgré tout, il en existe une de faible amplitude, un faible saut de phase apparaîtra

alors dans ϕTH(f). Si nous reprenons la figure IV.26, nous remarquons que même avec

un rotor sain sous 100% de charge, nous avons la présence d’un saut de phase à la fré-

quence (1 − 2 g)fs ainsi qu’un léger saut de phase à la fréquence (1 + 2 g)fs. Ce saut de

phase traduit la présence d’une composante de faible amplitude dans le module du spectre

fréquentiel du courant statorique, ce qui se vérifie sur la figure IV.27.

En reprenant la même démarche que pour l’étude de la phase ϕTF (f), nous com-

parons l’écart-type σc, calculé sur la plage fréquentielle[(1 + 2 g)fs − δ

2, (1 + 2 g)fs + δ

2

]

avec l’écart-type σm calculé sur la plage fréquentielle[(1 + 2 g)fs + δ

2, (1 + 4 g)fs − δ

2

].

Dans cette méthode de diagnostic, le terme δ prendra la même valeur que pour l’étude de

la phase ϕTF (f), c’est à dire 1 Hz. La représentation visuelle du calcul des deux écarts-

types σc et σm a été présentée sur la figure IV.10. Une fois la valeur des paramètres σc

et σm connue, le critère donné au tableau IV.1 peut être utilisé. Nous avons choisi de

donner à la condition α deux valeurs différentes pour indiquer si le défaut rotorique est

important ou non. Dans la cas étudié, nous donnons au paramètre α les valeurs 3 et 5


(pour permettre de comparer les résultats issus de la phase du spectre du courant avec

ceux issus de la phase du signal analytique Isa(f)). Le critère de détection final est énoncé

au tableau IV.2. Le calcul du glissement g de la machine ainsi que les étapes chronolo-

giques pour la détection d’un défaut rotorique sont identiques à celles présentées dans la

méthode de diagnostic utilisant la phase ϕTF (f). La méthode étant maintenant présentée,

nous proposons de tester sa validité sur les différents essais expérimentaux effectués.

IV.2.4 Résultats expérimentaux

Nous testons la méthode lorsque l’alimentation de la machine se fait soit par le ré-

seau triphasé, soit par un variateur de vitesse. La fréquence d’échantillonnage du courant

statorique est toujours de 2 kHz et la longueur des échantillons de 2.105 points.

IV.2.4.1 Alimentation de la machine par le réseau triphasé

Dans cette partie nous appliquons la méthode proposée lorsque la machine est alimen-

tée directement à partir du réseau triphasé. Nous donnons les résultats obtenus dans le

tableau IV.4. Les notations adoptées sont identiques à celles du tableau IV.3 (page 161).

Pour appuyer les résultats obtenus, nous donnons aux figures IV.31, IV.32 et IV.33

les courbes de la phase ϕTH(f) lorsque la machine fonctionne sous 100% de charge avec

respectivement un rotor sain, une barre partiellement cassée et une barre totalement

cassée. Les figures IV.34, IV.35 et IV.36 représentent la phase ϕTH(f) lorsque la machine

fonctionne sous 25% de charge avec les mêmes niveaux de défaillances. Sur ces figures,

nous représentons une nouvelle fois par un trait continu rouge la plage fréquentielle où

est calculé l’écart-type σc, par un trait continu bleu la plage fréquentielle où est calculé

l’écart-type σm et par un cercle rouge le maximum du saut de phase situé à la fréquence

(1 − 2 g)fs.

L’analyse du tableau IV.4 permet de valider l’approche proposée étant donné que tous

les défauts sont détectés si nous considérons que la machine fonctionne avec une charge

minimale de 25%. La fréquence (1 − 2 g)fs obtenue par le programme de détection des

maxima correspond exactement à la valeur de la fréquence créée par le défaut rotorique.

Nous pouvons remarquer que le rapport σc

σmest faible pour une machine fonctionnant avec

un rotor sain. Dans certain cas, comme par exemple pour une charge de 25%, nous n’avons


Tab. IV.4 : Résultats de la méthode de diagnostic appliquée à la phase du signal ana-

lytique pour une connexion au réseau triphasé (calcul des écarts-types σc et σm)


σmDécision

S-C100 43,45 0,0169 0,0073 2,3150 Def

05b-C100 44,00 0,0615 0,0067 9,1791 Def

1b-C100 43,54 0,3322 0,0050 66,440 Def

S-C75 45,08 0,0179 0,0071 2,5211 Def

05b-C75 45,73 0,0508 0,0095 5,3473 Def

1b-C75 45,45 0,3322 0,0060 55,366 Def

S-C50 46,79 0,0198 0,0094 2,1064 Def

05b-C50 47,14 0,0373 0,0060 6,2167 Def

1b-C50 47,01 0,2736 0,0113 24,212 Def

S-C25 48,40 0,0151 0,0192 0,7864 Def

05b-C25 48,56 0,0223 0,0059 3,7797 Def

1b-C25 48,50 0,1545 0,0189 8,1746 Def






40 45 50 55 60 65 70−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se (

Rd)

PSfrag replacements

ϕTH(f)

Fig. IV.31 : Phase ϕTH(f) du signal analytique Isa(f) : Réseau S-C100

40 45 50 55 60 65 70−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se (

Rd)

PSfrag replacements

ϕTH(f)

Fig. IV.32 : Phase ϕTH(f) du signal analytique Isa(f) : Réseau 05b-C100

40 45 50 55 60 65 70−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se (

Rd)

PSfrag replacements

ϕTH(f)



40 45 50 55 60 65 70−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se (

Rd)

PSfrag replacements

ϕTH(f)

Fig. IV.34 : Phase ϕTH(f) du signal analytique Isa(f) : Réseau S-C25

40 45 50 55 60 65 70−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se (

Rd)

PSfrag replacements

ϕTH(f)


40 45 50 55 60 65 70−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fréquence (Hz)

Pha

se (

Rd)

PSfrag replacements

ϕTH(f)



pas de saut de phase à (1 + 2 g)fs, ce qui implique un écart-type σc très faible. Dés que le

moteur asynchrone présente un défaut rotorique partiel, cet écart-type augmente dans un

rapport de 2, voire de 4 dans le cas d’une charge de 100%, ce qui permet de détecter le

défaut rotorique rapidement. L’analyse de la machine asynchrone lorsque celle-ci présente

une barre de la cage complètement cassée ne fait que conforter les résultats obtenus avec

une barre partiellement cassée. Pour ce niveau de défaillance, le rapport minimum entre

les écarts-types σc et σm est de 8 et le rapport maximum est de 66. En effet, le courant

traversant les barres de la cage rotorique pour un couple de charge de 100% est plus

important que pour un couple de charge 25%. C’est pour cette raison que la valeur de

l’écart-type σc (saut de phase situé à la fréquence (1 + 2 g)fs) est plus importante lorsque

la charge appliquée à la machine asynchrone augmente. Nous pouvons remarquer que

la méthode de diagnostic n’a pas pu détecter les défauts rotoriques lorsque la machine

asynchrone fonctionne à vide. Ceci est dû au fait que la phase ϕTH(f) ne présente aucun

maxima dans la plage fréquentielle [40 - 50] Hz. Le faible courant circulant dans les barres

est la cause principale de cette non détection. En effet, la composante qui se situe à la

fréquence (1−2 g)fs dans le module du spectre du courant statorique est trop faible, voire

inexistante, pour permettre de créer un saut de phase conséquent dans la phase ϕTH(f).

Il est possible de modifier les valeurs du critère de détection donné au tableau IV.2.

Par exemple, plus l’utilisateur choisira des paramètres importants, par exemple 10 et 15,

plus il sera discriminant dans le traitement des défauts. Dans notre étude, si nous avions

choisi ces valeurs, le défaut impliquant une barre partiellement cassée n’aurait pas pu être

détecté, seul le défaut impliquant une barre totalement cassée pour une charge supérieur

ou égale à 50% aurait pu être diagnostiqué. A l’opposé, si un système doit être surveillé

avec une grande vigilance, l’utilisateur minimisera les paramètres pour être certain que la

moindre défaillance soit détectée. Ce choix aura pour conséquence probable l’apparition de

fausses alarmes en fonction de la charge appliquée à la machine asynchrone. Par exemple

si nous avions choisi une valeur de 2,5 à la place de 3 dans le critère, nous aurions détecté,

pour un fonctionnement sous 75% de charge, un défaut partiel alors que la cage rotorique

est saine. A l’opposé, pour la même valeur nous aurions certainement détecté la présence

d’une très faible défaillance (inférieur à 50% de la barre cassée) pour un fonctionnement

à pleine charge.


Nous venons de montrer l’efficacité de cette méthode de diagnostic pour la détection

d’un défaut rotorique (rupture partielle et totale d’une barre rotorique) lorsque la machine

asynchrone est alimentée par le réseau triphasé. En comparaison avec la méthode basée

sur le calcul de la phase du spectre du courant statorique ϕTF (f), le défaut impliquant une

barre partiellement cassée a pu être détecté sans avoir recours à aucun seuil de référence.

De plus, il est important de noter que les signaux obtenus avec la transformée de Hilbert

sont beaucoup moins bruités que ceux calculés à partir de la transformée de Fourier.

IV.2.4.2 Alimentation de la machine par un variateur de vitesse

La méthode de diagnostic utilisant la phase ϕTH(f) a montré son efficacité lorsque la

machine asynchrone est connectée au réseau triphasé. L’étape suivante consiste à étudier

cette méthode lorsque la machine est alimentée par un variateur de vitesse.

Les résultats obtenus avec ce type d’alimentation sont présentés dans les tableaux IV.5

pour une fréquence de synchronisme de 50 Hz et dans le tableau IV.6 pour une fréquence

de synchronisme de 25 Hz. Nous constatons que la méthode de diagnostic a des difficultés

à détecter un défaut rotorique lorsque la machine asynchrone fonctionne avec une charge

inférieure à 50%. La phase ϕTH(f) contient un nombre important de sauts de phase dans

la plage fréquentielle [40 - 70] Hz. Ces sauts sont bien évidemment dus à la présence de

composantes perturbatrices générées par le variateur de vitesse dans la densité spectrale

de puissance du courant statorique. Pour certains modes de fonctionnement, ces sauts de

phase donnent un écart-type σm important ce qui provoque un rapport σc

σmtrop faible

pour que le diagnostic de défaut puisse être fait (05b-50-C50 ou 1b-50-C50 par exemple).

Pour le cas S-50-C50, la méthode de diagnostic nous informe de la présence d’un

défaut rotorique partiel alors que le rotor est sain. Dans ce cas, il faudrait ajuster la

valeur minimale du critère donné au tableau IV.2 pour établir la présence ou non d’un

défaut partiel. Le rapport σc

σmpour ces modes de fonctionnement étant très proche de

3, il faudrait dans ce cas prendre une valeur supérieure pour permettre le diagnostic du

rotor sain. Le passage de ce paramètre d’une valeur 3 à 4 ne modifierait en rien les autres

décisions.

En ce qui concerne le tableau IV.6, nous pouvons remarquer que le défaut impliquant

une barre complètement cassée a pu être détectée pour un niveau de charge supérieur ou



lytique pour une connexion à un variateur de vitesse avec fs = 50 Hz


σmDécision

S-50-C100 Pas de détection de max Def

05b-50-C100 44,45 0,0534 0,0731 0,7300 Def

1b-50-C100 43,52 0,4632 0,0763 6,0707 Def

S-50-C75 45,17 0,0179 0,0071 2,5211 Def

05b-50-C75 Pas de détection de max Def

1b-50-C75 45,46 0,3322 0,0060 4,8770 Def

S-50-C50 47,90 0,1063 0,0346 3,0706 Def

05b-50-C50 47,85 0,1321 0,0450 2,9348 Def

1b-50-C50 47,05 0,2007 0,0865 2,3214 Def


05b-50-C25 48.05 0,1594 0,0763 2,0887 Def

1b-50-C25 48.40 0.0511 1.3251 0.0385 Def







lytique pour une connexion à un variateur de vitesse avec fs = 25 Hz


σmDécision

S-25-C100 15,92 0,0242 0,0649 0,3727 Def

05b-25-C100 18,95 0,0420 0,0378 1,1130 Def

1b-25-C100 18,22 0,4889 0,0421 11,609 Def


05b-25-C75 20,77 0,0170 0,0339 0,5009 Def

1b-25-C75 20,27 0,3389 0,0334 10,160 Def

S-25-C50 21,00 0,0606 0,1121 0,5405 Def

05b-25-C50 19,77 0,0391 0,0653 0,5982 Def

1b-25-C50 22,10 0,2045 0,0250 8,1732 Def



1b-25-C25 22,48 0,1149 0,0337 3,4080 Def






égale à 25%. La barre partiellement cassée n’a pas été détecté avec cette approche car la

phase ϕTH(f) est trop perturbée par le variateur de vitesse dans la plage fréquentielle où

est calculé l’écart-type σm. De plus, que ce soit pour une fréquence de synchronisme de

50 Hz ou pour une fréquence de synchronisme de 25 Hz, l’utilisation de cette méthode de

diagnostic pour un fonctionnement de la machine à vide n’a pas été concluant. En effet,

tout comme pour l’étude de la phase de la transformée de Fourier, les faibles courants

circulant dans les barres rotoriques n’induisent pas de sauts de phase assez conséquents

pour permettre de calculer la valeur du glissement g de la machine.

Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre deux méthodes permettant d’effectuer le diag-

nostic de la cage rotorique d’une machine asynchrone. Ces méthodes n’utilisent que l’infor-

mation donnée par le courant statorique de la machine pour un point de fonctionnement

particulier, c’est à dire qu’elles ont la particularité de détecter un défaut sans effectuer de

comparaison avec une quelconque donnée issue d’un essai avec un rotor sain.

Deux approches ont été proposées pour diagnostiquer un défaut de barre. La première

approche se base sur le calcul de la phase de la transformée de Fourier du courant sta-

torique. Nous avons montré qu’au même titre que l’analyse du module du spectre du

courant statorique, la phase contenait une information pertinente sur l’état de la cage

d’écureuil de la machine asynchrone lorsque cette dernière est connectée directement au

réseau triphasé. Grâce à ce signal, nous avons pu détecter la présence d’une barre cassée

lorsque la machine fonctionne avec une charge supérieure ou égale à 25% ainsi que la pré-

sence d’une barre partiellement cassée pour un fonctionnement avec une charge nominale.

Les résultats obtenus étant relativement intéressants, nous avons essayé d’effectuer une

analyse identique lorsque la machine asynchrone est alimentée par un variateur de vitesse.

Les résultats obtenus dans cette configuration n’ont pas donné satisfaction. En effet, les

perturbations générées par le variateur de vitesse dans la phase du spectre du courant

statorique ont rendu impossible la détection du défaut rotorique.

Afin d’améliorer le diagnostic de défaut, une seconde approche a été proposée. Cette

méthode utilise la même démarche que celle décrite précédemment, la seule différence


réside dans le fait que ce n’est plus la phase de la transformée de Fourier du courant qui

est analysée par le programme de décision mais la phase du signal analytique obtenu par

une transformée de Hilbert du module du spectre du courant. Cette analyse a permis de

détecter une barre partiellement cassée ainsi qu’une barre complètement cassée pour une

charge supérieure à 25% (connexion au réseau triphasé). L’utilisation de cette approche

sur une machine alimentée par un variateur de vitesse a été effectuée. Nous avons réussi

à détecter une barre complètement cassée lorsque la fréquence de synchronisme était de

25 Hz et cela pour une charge supérieur ou égale à 25%. En ce qui concerne l’analyse du

courant statorique lorsque la fréquence imposée par le convertisseur statique est de 50 Hz,

seule la détection d’une barre complètement cassée sous 100% de charge a été possible. Le

courant statorique étant très perturbé par le variateur de vitesse dans la plage fréquentielle

[40 - 70] Hz, la détection d’une barre partiellement cassée et d’une barre complètement

cassée pour une charge inférieure ou égale à 75% est devenue impossible.

En conclusion, la dernière méthode proposée permet d’obtenir des résultats plus pro-

bants que l’analyse de la phase du spectre du courant statorique. Nous avons montré son

efficacité lorsque la machine asynchrone est connectée directement au réseau triphasé.

Pour une alimentation de celle-ci par un variateur industriel, des essais complémentaires

doivent être effectués. Il faudrait tester cette méthode lorsque la machine asynchrone est

connectée à un autre type de variateur (variateur plus récent utilisant une technique de

commande différente). De même, il serait intéressant de valider cette approche sur des

machines asynchrones de caractéristiques différentes (machines de plus forte puissance

par exemple) pour permettre de déterminer une loi de comportement pour le paramètre

α utilisé dans le critère de détection.

Lorsque ces différentes démarches auront été effectuées, nous pourrons alors envisager

l’utilisation d’un DSP (Processeur de Traitement Numérique du Signal) pour obtenir un

diagnostic de défaut en ligne sans avoir recours à une quelconque référence. Ainsi, le

diagnostic de la machine se ferait quel que soit le niveau de charge (niveau minimum

requis pour notre moteur : 25%). La contrainte de cette méthode réside dans l’obligation

de garder le courant statorique stationnaire le temps de son acquisition.

Conclusion générale

L’évolution croissante des machines asynchrones dans les secteurs industriels oblige

certains utilisateurs à se prémunir contre l’apparition d’un défaut provoquant le plus

souvent un arrêt intempestif de la machine. Le travail présenté traite donc du diagnostic

de défauts rotoriques et plus particulièrement des ruptures de barres pouvant survenir au

sein de la cage d’écureuil des machines asynchrones.

Dans le premier chapitre, nous avons rappelé les éléments de constitution de la machine

afin de préciser les différents défauts pouvant survenir sur ceux-ci. Nous avons ensuite pré-

senté divers outils issus des techniques de traitements du signal permettant l’analyse des

signaux révélateurs d’un défaut électrique et/ou mécanique dans le domaine fréquentiel.

Pour finir, nous avons discuté des méthodes de diagnostic actuellement appliquées à la

machine asynchrone pour établir la présence d’un défaut en précisant leurs avantages et

leurs inconvénients. L’étude bibliographique menée a permis de se rendre compte que les

défauts rotoriques naissants étaient encore difficilement identifiables. De plus, pour établir

la présence d’une défaillance électrique et/ou mécanique, la plupart des méthodes utilisent

un seuil de référence déterminé à partir d’un essai avec une machine saine. Se passer de

cette information permettrait de diagnostiquer un défaut sans avoir recours à une quel-

conque base de données. C’est donc dans cette voie que nous avons souhaité orienter nos

travaux de recherche.

Compte tenu de la difficulté de recréer expérimentalement des situations de défauts,

il s’est vite avéré nécessaire de disposer d’un outil de simulation suffisamment représenta-

tif des diverses situations (système sain et défaillant). Nous avons donc présenté dans la

deuxième partie de ce document un modèle permettant la simulation d’une machine asyn-

chrone à cage d’écureuil. Nous avons décrit la méthodologie qui nous a permis d’aboutir à

la formulation des différentes équations régissant le système complet (circuits électriques

190 Conclusion générale

magnétiquement couplés) pour deux modes d’alimentation (alimentation par le réseau

électrique ou par un convertisseur statique). Cette approche a permis d’étudier l’influence

d’un défaut rotorique sur le comportement dynamique de la machine asynchrone. En com-

plément de l’étude menée, nous avons montré que l’analyse des composantes créées par

les harmoniques d’espace dans le spectre fréquentiel du courant statorique permettait de

différencier un défaut rotorique d’un défaut mécanique (variation du couple de charge).

Ce modèle de machine nous a permis, d’une part, de choisir quel était le signal le plus

pertinent pour effectuer la détection d’un défaut rotorique et, d’autre part, de visualiser

les fréquences où se situaient les composantes créées par la rupture d’une barre rotorique.

Après avoir analysé les différents phénomènes créés par ce type de défaut sur les gran-

deurs temporelles de la machine, nous nous sommes intéressés plus particulièrement au

développement de nouvelles méthodes de diagnostic. Le troisième chapitre a été consacré à

la description d’une méthode de diagnostic qui permet la détection d’un défaut naissant au

rotor d’une machine asynchrone. Cette méthode s’appuie sur l’évaluation de l’amplitude

des composantes présentes dans le spectre du courant statorique et de la puissance absor-

bée par le moteur pour détecter l’apparition d’une barre rotorique partiellement cassée.

Les résultats obtenus ont permis de détecter la présence d’un défaut naissant (barre roto-

rique fissurée à hauteur de 50%) lorsque le moteur asynchrone fonctionne avec un couple

nominal supérieur ou égal à 10% du couple nominal ainsi qu’une barre complètement

cassée lorsque le moteur fonctionne à vide.

Dans le quatrième chapitre, nous avons présenté deux méthodes de diagnostic dont la

particularité est de s’affranchir d’une référence, référence habituellement obtenue par une

analyse de la machine lorsque cette dernière fonctionne avec un rotor sain. La première

méthode proposée utilise la phase du spectre du courant statorique calculée à partir d’une

transformée de Fourier rapide. Nous avons montré que l’utilisation de ce signal permettait

d’effectuer un diagnostic précis de l’état de la cage rotorique. Les résultats obtenus ont

permis de détecter une barre cassée pour un couple de charge supérieur ou égal à 25%.

La détection d’une barre partiellement cassée avec ce signal n’a pu être possible, cette

non détection étant essentiellement due à la présence d’un bruit relativement important.

La transformée de Hilbert appliquée au module du spectre du courant statorique a alors

été utilisée. Cette méthode, validée à partir de plusieurs essais expérimentaux, a permis

Conclusion générale 191

la détection d’un défaut rotorique naissant pour un couple de charge supérieur ou égal à

25% du couple nominal.

Ces travaux de recherche ont permis de développer et de valider à travers différents

essais expérimentaux trois méthodes de diagnostic. Ces méthodes, orientées principale-

ment pour la détection d’une ou plusieurs barres rotoriques défaillantes, ont été validées

expérimentalement en permettant la détection d’un défaut naissant telle une barre par-

tiellement cassée. Les travaux effectués sont cependant loin d’être achevés, et ceci pour

plusieurs raisons.

Premièrement, les méthodes de diagnostic utilisées doivent être améliorées, c’est à

dire que des essais complémentaires sur des moteurs de différentes puissances doivent être

effectués pour les rendre plus fiables et plus sûres. Deuxièmement, il serait intéressant

de les implanter sur DSP pour évaluer leur efficacité lors d’une détection "en ligne" du

défaut rotorique. Troisièmement, dans le cadre plus général du diagnostic de la machine,

il faudrait tester la capacité de nos méthodes à diagnostiquer d’autres types de défauts.

Par exemple, nous savons que l’apparition d’un défaut de roulement ou de court-circuit

inter-spires modifie le contenu spectral du courant statorique. L’évaluation d’un indice

calculé à partir des composantes spécifiques à ces défauts permettrait alors d’obtenir un

système de diagnostic complet.

Annexes

Annexe A

Analyse des forces électromotrices en

présence d’un défaut rotorique

L’expression de l’induction au niveau du stator est :

Bs = ks Is cos(ωs t + ϕBs− θM) (A.1)

Au niveau du rotor, les courants dans les barres de la cage créent un champ dans l’entrefer

de pulsation g ωs par rapport à l’axe rotorique. Le rotor tourne à la vitesse (1− g) ωs par

rapport au stator. Dans le cas d’une rupture de barre, le circuit est déséquilibré et, par

conséquent, crée une onde inverse dans l’entrefer de vitesse −g ωs par rapport au rotor. Par

rapport au stator, cette onde à une vitesse (1− g) ωs − g ωs = (1− 2 g) ωs. Les inductions

rotoriques sont composées d’une induction directe appelée Brd et d’une induction inverse

appelée Bri ayant pour expression par rapport à l’axe statorique :

Brd = krd Ird cos(ωs t + ϕBrd− θM)

Bri = kri Iri cos((1 − 2 g) ωs t + ϕBri− θM) (A.2)

L’induction totale dans l’entrefer se calcule en effectuant la somme de l’induction stato-

rique et de toutes les inductions rotoriques :

Btot = Bs + Brd + Bri (A.3)

196 Annexe A : Analyse des forces électromotrices en présence d’un défaut rotorique

A.1 Énergie

A partir de l’équation A.3, nous pouvons évaluer l’énergie totale en sachant que celle-ci

se concentre essentiellement dans l’entrefer de la machine.

Wtot =

∮

v

B2tot

2 µ0

dV avec dV = R L e dθ (A.4)

En développant cette équation, l’énergie obtenue est :

Wtot =

∮

v

B2tot

2 µ0

dV =R L e

2 µ0

∫ 2 π

0

(Bs + Brd + Bri)2dθ

Wtot =R L e

2 µ0

∫ 2 π

0

(B2s + B2

rd + B2ri + 2 Bs Brd + 2 Bs Bri + 2 Brd Bri) dθ (A.5)

Cette équation se décompose en différentes énergies qui sont :

Wtot = Ws + Wrd + Wri + Wsrd + Wsri + Wrdri (A.6)

L’énergie statorique Ws donne :

Ws =R L e

2 µ0

∫ 2 π

0

(ks Is cos(ωs t + ϕBs− θM))2dθ

Ws =R L e

2 µ0

k2s I2

s π (A.7)

Les énergies rotoriques Wrd et Wri sont :

Wrd =R L e

2 µ0

k2rd I2

rd π et Wri =R L e

2 µ0

k2ri I

2ri π (A.8)

L’énergie Wsrd due à l’interaction du stator et du rotor donne dans le sens direct :

Wsrd =R L e

2 µ0

∫ 2 π

0

(2 Bs Brd)dθ

Wsrd =R L e

2 µ0

∫ 2 π

0

(ks Is cos(ωs t + ϕBs − θM) krd Ird cos(ωs t + ϕBrd− θM))dθ

Wsrd =R L e

µ0

ks Is krd Ird π cos(−ϕBs + ϕBrd) (A.9)

L’énergie Wsri due à l’interaction du stator et du rotor donne dans le sens inverse :

Wsri =R L e

µ0

ks Is krd Ird π cos(−2 g ωs t − ϕBs+ ϕBri

) (A.10)

Seule l’énergie échangée entre le stator et le rotor crée un couple moteur.

A.2 : Couple 197

A.2 Couple

Le couple produit par la machine est dérivé du calcul de l’énergie par rapport à un angle

mécanique :

Cemtot= Cemsrd

+ Cemsri=

dWsrd

dαsrd

+dWsri

dαsri

(A.11)

avec αsrd = ϕBs+ ϕBrd

et αsri = ϕBs+ ϕBri

Le couple total est alors donné par la relation :

Cemtot= π

R L e

µ0

ks Is (krd Ird sin(ϕBs+ ϕBrd

) + kri Iri sin(2 g ωs t + ϕBs− ϕBri

)) (A.12)

Cemtot= Cemcst

+ ∆Cem (A.13)

Cette dernière équation montre que le couple produit par la machine est composé de deux

termes. Le premier est un couple constant dû au champ direct et le second un couple

pulsant dû au champ inverse de pulsation 2 g ωs.

A.3 Vitesse

L’équation de la vitesse d’une machine asynchrone se calcul grâce à la relation :

Jt

dΩ

dt= Cemtot

− Cr (A.14)

où Cr représente le couple résistant (couple de charge). En admettant que le couple résis-

tant soit égal au couple Cemsrd, nous obtenons pour l’équation de vitesse :

Jt

dΩ

dt= Cemsri

Ω =1

Jt

∫Cemsri

dt + Ω0 (A.15)

En remplaçant Cesri et en calculant l’intégrale, nous obtenons :

Ω = Ω0 −1

2 J gπ

R L e

ωs µ0

ks Is kri Iri cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri)

Ω = Ω0 + k cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri) = Ω0 + ∆Ω (A.16)

Nous remarquons que la vitesse à une pulsation égale à 2 g ωs identique à celle du couple

électromécanique.


A.4 Force électromotrice

La force électromotrice se calcule à partir du flux total dans l’entrefer de la machine.

e(t) = −dφtot

dt= −dφs

dt− dφrd

dt− dφri

dt(A.17)

Le flux est donné par la relation de base :

φ =

∮

s

−→B

−→dS (A.18)

La dérivée par rapport au temps du flux s’écrit :

dφ

dt= B(t) R L

dθ

dt(A.19)

En se basant sur l’équation précédente, la force magnétomotrice e(t) devient :

e(t) = −Bs(t) R Ldθs

dt− Brd(t) R L

dθrd

dt− Bri(t) R L

dθri

dt

e(t) = −Bs(t) R L ωs − Brd(t) R L ωrd − Bri(t) R L ωri

e(t) = −Bs(t) R L ωs − Brd(t) R L (Ω + g ωs) − Bri(t) R L (Ω − g ωs) (A.20)

En remplaçant les termes Bs(t), Brd(t) et Bri(t) par leurs expressions, nous obtenons1 :

e(t) = −ks Is R L ωs cos(ωs t + ϕBs − θM)

−krd Ird R L (Ω + g ωs) cos(ωs t + ϕBrd− θM)

−kri Iri R L (Ω − g ωs) cos((1 − 2 g) ωs t + ϕBri− θM) (A.21)

Puis, en remplaçant Ω par Ω(t) = Ω0 + k cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri) = (1 − g) ωs +

k cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri), la forme de la force électromotrice devient :


−krd Ird R L ((1 − g) ωs + k cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri) + g ωs) cos(ωs t + ϕBrd

− θM)

−kri Iri R L ((1 − g) ωs + k cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri) − g ωs) cos((1 − 2 g) ωs t + ϕBri

− θM)


−krd Ird R L ((ωs + k cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri)) cos(ωs t + ϕBrd

− θM)

−kri Iri R L ((1 − 2 g) ωs + k cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri)) cos((1 − 2 g) ωs t + ϕBri

− θM)

(A.22)

1en considérant un nombre de paire de pôle égal à 1

A.4 : Force électromotrice 199

En développant, nous avons :


−krd Ird R L ωs cos(ωs t + ϕBrd− θM)

+krd Ird R Lk cos(ωs t + ϕBrd− θM) cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri

)

−kri Iri R L (1 − 2 g) ωs cos((1 − 2 g) ωs t + ϕBri− θM)

+kri Iri R Lk cos((1 − 2 g) ωs t + ϕBri− θM) cos(2 g ωs t + ϕBs − ϕBri

)

(A.23)

En développant les termes en cosinus, la force électromotrice devient :



+krd Ird R Lk

2(cos((1 + 2 g)ωs t + ϕBs − ϕBri

+ ϕBrd− θM)

+ cos((1 − 2 g)ωs t − ϕBs + ϕBri+ ϕBrd

− θM))


+kri Iri R Lk

2(cos(ωs t + ϕBs − θM)

+ cos((1 − 4 g)ωs t − ϕBs + 2 ϕBri− θM))

(A.24)

Soit encore :



+krd Ird R LK cos((1 + 2 g)ωs t + ϕBs − ϕBri+ ϕBrd

− θM)

+krd Ird R LK cos[(1 − 2 g)ωs t − ϕBs + ϕBri+ ϕBrd

− θM ]


+kri Iri R LK cos(ωs t + ϕBs − θM)

+kri Iri R LK cos((1 − 4 g)ωs t − ϕBs + 2 ϕBri− θM) (A.25)

avec

K =k

2= − 1

4 J gπ

R L e

ωs µ0

ks Is kri Iri


A.5 Analyse des expressions

L’expression du couple est la somme de deux composantes, la première étant une compo-

sante constante due au champ direct (courant direct) et la seconde étant une composante

pulsante due au champ inverse (courant inverse créé par la rupture de barre).

Suite à une rupture de barre rotorique, un champ inverse dans l’entrefer est créé. Il appa-

raît alors dans l’expression de la vitesse une composante pulsante à 2 g ωs en supposant

un couple résistant constant est égale au couple direct de la machine asynchrone.

Pour l’expression des forces magnétomotrices dans le cas d’une rupture de barre rotorique,

nous avons :

– Une fréquence fs due au champ statorique Bs et aux champs rotoriques direct Brd

et inverse Bri.

– Une fréquence (1 − 2 g)fs due aux champs rotoriques direct Brd et inverse Bri.

– Une fréquence (1 + 2 g)fs due au champ rotorique direct Brd.

– Une fréquence (1 − 4 g)fs due au champ rotorique inverse Bri.

En utilisant la même démarche, nous pouvons montrer que la rupture d’une barre de la

cage rotorique induit des composantes fréquentielles dans le spectre du courant statorique

aux fréquences données par la relation :

f±bck

= (1 ± 2 k g)fs

Annexe B

Description et identification du banc

d’essai et mesure

B.1 Description du banc d’essai et mesure

La machine asynchrone à cage d’écureuil utilisée pour les différents essais expérimen-

taux est une machine de 3 kW accouplée à une machine à courant continu de même

puissance (figure B.1). Le stator de cette machine asynchrone se compose de 36 encoches

alors que la cage rotorique se compose de 28 barres d’aluminium. L’accouplement méca-

nique qui lie les deux machines est un accouplement STRAFLEX fabriqué en acier forgé.

Le banc est pourvu d’un volant permettant la rotation du moteur asynchrone par rapport

à l’axe vertical. Cette rotation nous est très utile pour effectuer l’extraction du rotor de

la machine (figures B.2(a) et B.2(b)). Cela permet de changer la cage rotorique tout en

gardant la partie statorique de la machine solidaire du banc.

Nous présentons aux figures B.3(a) et B.3(b) les rotors ayant respectivement une barre

partiellement cassée et une barre complètement cassée. Nous avons décidé de percer les

barres rotoriques à la jointure entre une barre et l’anneau de court-circuit car c’est à cet

endroit de la cage que la rupture d’une barre est la plus probable (problèmes au niveau

de la soudure entre les barres et les deux anneaux). La charge appliquée à la machine

asynchrone est créée en connectant une caisse de résistance aux bornes de la machine à

courant continu qui fonctionne alors en génératrice. L’alimentation de la machine se fait

par une connexion directe sur le réseau triphasé ou par un variateur de vitesse de type

202 Annexe B : Description et identification du banc d’essai et mesure

soupleAccouplement

Volantasynchrone

Moteurcontinu

Machine à courant

Fig. B.1 : Banc d’essai et mesure

pivoté d’un 1/4 de tourMoteur asynchrone

Rotor à cage

(a) Moteur avec son rotor

Extraction du rotor

(b) Moteur sans son rotor

Fig. B.2 : Extraction du rotor du moteur asynchrone

casséeBarre partiellement

(a) Une barre partiellement cassée

casséeBarre totalement

(b) Une barre complètement cassée

Fig. B.3 : Rotors défaillants

B.2 : Identification des paramètres de la machine asynchrone 203

Altivar 66 de la société Télémécanique.

L’acquisition des signaux est faite par l’intermédiaire de deux cartes d’acquisition

CS1602 fabriquées par la société Gage. Ces cartes permettent l’acquisition de quatre

signaux simultanés sur 16 bits avec une fréquence d’échantillonnage comprise entre 1

kHz et 2,5 MHz. La mémoire utilisée pour l’acquisition de chaque voie est de 512 Mo. La

visualisation des signaux sur l’écran de contrôle se fait par un logiciel appelée GageScope

qui présente les mêmes fonctionnalités qu’un oscilloscope classique.

B.2 Identification des paramètres de la machine asyn-

chrone

Nous présentons dans cette partie les différents essais qui nous ont permis d’obtenir

les paramètres de la machine asynchrone en vue de sa simulation.

B.2.1 Essais classiques

Les essais classiques appliqués à la machine asynchrone se décomposent en trois par-

ties :

– un essai à vide,

– un essai à rotor bloqué,

– un essai de séparation de la source de tension.

L’essai à vide permet de déterminer l’inductance cyclique Lsc de la machine asynchrone

ainsi que sa résistance statorique Rsx(l’indice x pouvant se substituer à la lettre a, b ou

c). Les paramètres σ et τr seront déterminés grâce à l’essai à rotor bloqué et à l’essai de

séparation de la source de tension.

B.2.2 Essai en continu

La machine asynchrone est connectée en étoile et alimentée par un échelon de tension

continu comme le montre la figure B.4. En résolvant les équations relatives à ce système,

204 Annexe B : Description et identification du banc d’essai et mesure

le courant isa(t) peut se mettre sous la forme :

isa(t) = I0

[1 +

(C − A

A − B

)e(− t

A) +

(C − B

B − A

)e(− t

B)

](B.1)

isa(t) = I0

[1 + α e

(− tτ1

)+ β e

(− tτ2

)]

(B.2)

En identifiant la courbe expérimentale de isa(t) donnée à la figure B.5, nous trouvons

I0, α, β, τ1 et τ2. A partir de ces termes nous trouvons A, B et C et en déduisons les

valeurs de :

Rsx=

2

3

E

I0

τ1 = A

τ2 = B

τr = C

τs = τ1 + τ2 − τr

Lsc = Rs (τ1 + τ2 − τr)

PSfrag replacements

Rla

Lla

Rlb

Llb

Rlc

Llc

esa

esb

esc

υsa

υsb υsc

Js1

Js2

Js3

Rsa

Rsb Rsc

Lsa

Lsb

Lsc

i sa

i sb i sc

U(t)

Fig. B.4 : Schéma de connexion du stator pour l’essai avec un échelon de tension

B.2 : Identification des paramètres de la machine asynchrone 205

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Temps (sec)

Cou

rant

(A

)

PSfrag replacements

Courant expérimentalCourant théorique

Fig. B.5 : Identification des paramètres sur une croissance du courant statorique de la

machine asynchrone

Les paramètres ainsi obtenus pour notre moteur sont :

Rsx= 2,86 Ω, Lsc = 0,599 H, τr = 0,326 sec, τs = 0,0346 sec.

Ces paramètres permettent d’obtenir l’évolution des différentes grandeurs temporelles de

la machine asynchrone étudiée à partir du modèle développé dans le chapitre II.

Liste des tableaux

III.1 Indices globaux d’une phase statorique pour une connexion directe sur leréseau d’alimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

III.2 Comparaison entre la valeur des indices d’amplitudes des composantespour k = 1 et la valeur des indices globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

III.3 Critère de détection no1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106III.4 Résultats du critère de détection no1 sur les indices globaux mbft

, mptet

mct. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

III.5 Résultats du critère de détection no1 sur les indices globaux mpgm, mpgo

,mcgm

, mcgo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

III.6 Comparaison des rapports utilisant les indices globaux mbft, mct

, mpgmet

mcgopar rapport au fonctionnement sain (critère de détection no1) . . . . 111

III.7 Valeurs des indices globaux calculés sur les composantes harmoniques . . 117III.8 Augmentation des indices globaux calculés sur les composantes harmo-

niques par rapport au fonctionnement sain . . . . . . . . . . . . . . . . . 118III.9 Critère de détection no2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120III.10 Résultats du critère de détection no2 appliqué aux indices globaux mbft

,mpt

et mct. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

III.11 Résultats du critère de détection no2 appliqué aux indices globaux mpgm,

mpgo, mcgm

et mcgo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

III.12 Amélioration du critère de détection no2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124III.13 Indices d’amplitude et indices globaux du courant et de la puissance ins-

tantanée d’une phase statorique pour une alimentation en U/f (fs = 50Hz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

III.14 Indices d’amplitude et indices globaux du courant et de la puissance ins-tantanée d’une phase statorique pour une alimentation en U/f (fs = 25Hz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

III.15 Critère de détection n03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137III.16 Résultats obtenus avec le critère no3 (50 Hz) . . . . . . . . . . . . . . . . 139III.17 Résultats obtenus avec le critère no3 (25 Hz) . . . . . . . . . . . . . . . . 139III.18 Valeurs des indices globaux calculés sur les composantes harmoniques

pour une alimentation avec un variateur de vitesse à 50 Hz . . . . . . . . 142

IV.1 Critère de détection utilisant la phase de la TF . . . . . . . . . . . . . . . 158IV.2 Modification du critère de détection utilisant la phase de la TF . . . . . . 158IV.3 Résultats de la méthode de diagnostic appliquée à la phase de la transfor-

mée de Fourier pour une connexion au réseau triphasé (calcul des écarts-types σc et σm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

210 Liste des tableaux

IV.4 Résultats de la méthode de diagnostic appliquée à la phase du signalanalytique pour une connexion au réseau triphasé (calcul des écarts-typesσc et σm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

IV.5 Résultats de la méthode de diagnostic appliquée à la phase du signalanalytique pour une connexion à un variateur de vitesse avec fs = 50 Hz 185

IV.6 Résultats de la méthode de diagnostic appliquée à la phase du signalanalytique pour une connexion à un variateur de vitesse avec fs = 25 Hz 186

Table des figures

I.1 Eléments de constitution d’une machine asynchrone à cage d’écureuil [2] . 11I.2 Représentation temps-fréquence du courant statorique lors d’une varia-

tion du couple de charge (Résultats de simulation avec une barre cassée) 24I.3 Vecteur de Park des courants statoriques pour 100% de charge avec une

alimentation non sinusoïdale (Résultats expérimentaux) . . . . . . . . . . 29I.4 Spectre fréquentiel du module du vecteur de Park des courants statoriques

pour 100% de charge (Résultats expérimentaux) . . . . . . . . . . . . . . 29I.5 Spectre du courant statorique (Résultats expérimentaux) . . . . . . . . . 31I.6 Spectre de la tension de neutre (Résultats expérimentaux) . . . . . . . . 32I.7 Spectre de la puissance instantanée (Résultats expérimentaux) . . . . . . 33I.8 Spectre de la tension composée Uab après déconnexion de la source d’ali-

mentation (Résultats expérimentaux) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

II.1 Circuits électriques adoptés pour la modélisation des trois phases statoriques 41II.2 Circuits électriques adoptés pour la modélisation de la cage rotorique . . 43II.3 Forme de la force magnétomotrice d’une phase statorique d’une machine

asynchrone ayant 36 encoches statoriques et une paire de pôle . . . . . . 49II.4 Niveau d’amplitude des différents harmoniques d’espace . . . . . . . . . . 50II.5 Forme de la force magnétomotrice d’une boucle rotorique . . . . . . . . . 51II.6 Inductance mutuelle entre les trois phases statoriques et une boucle roto-

rique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55II.7 Inductance mutuelle entre une phase statorique et quatre boucles rotoriques 55II.8 Dérivé de l’inductance mutuelle entre les trois phases statoriques et une

boucle rotorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55II.9 Dérivé de l’inductance mutuelle entre une phase statorique et quatre

boucles rotoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55II.10 Modélisation du convertisseur statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.11 Couplage en étoile des phases statoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59II.12 Couplage en triangle des phases statoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 59II.13 Spectre du courant statorique : Rotor sain . . . . . . . . . . . . . . . . . 63II.14 Spectre du courant rotorique : Rotor sain . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63II.15 Spectre du couple : Rotor sain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63II.16 Spectre de la vitesse : Rotor sain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63II.17 Circuits électriques adoptés pour la modélisation du rotor en présence

d’une barre cassée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66II.18 Circuits électriques adoptés pour la modélisation du rotor en présence

d’une portion d’anneau de court-circuit cassée . . . . . . . . . . . . . . . 67II.19 Evolution de la vitesse de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

212 Table des figures

II.20 Evolution du couple électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70II.21 Evolution du courant statorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70II.22 Evolution de l’enveloppe du courant statorique . . . . . . . . . . . . . . . 70II.23 Evolution du courant de la barre rotorique no3 . . . . . . . . . . . . . . . 71II.24 Répartition des courants dans les barres rotoriques à un instant t . . . . . 71II.25 Spectre du courant statorique : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17) . . 73II.26 Spectre du courant rotorique : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17) . . . 73II.27 Spectre du couple : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17) . . . . . . . . . 73II.28 Spectre de la vitesse : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17) . . . . . . . 73II.29 Spectre du courant statorique [0 - 100] Hz : Une barre cassée (kes = 8 et

kts = 17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76II.30 Spectre du couple [0 - 100] Hz : Une barre cassée (kes = 8 et kts = 17) . . 76II.31 Spectre du courant statorique à vitesse constante [0 - 100] Hz : Une barre

cassée (kes = 8 et kts = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76II.32 Spectre du courant statorique [0 - 100] Hz : Une barre cassée (kes = 0 et

kts = 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77II.33 Spectre du courant statorique [0 - 100] Hz : Une barre cassée (kes = 8 et

kts = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77II.34 Comparaison du spectre du courant statorique [0 - 1000] Hz : Une barre

cassée (kts = 17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77II.35 Spectre du courant statorique [100 - 1000] Hz : Une barre cassée (kes = 8

et kts = 17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79II.36 Spectre du courant statorique à vitesse constante [100 - 1000] Hz : Une

barre cassée (kes = 8 et kts = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79II.37 Spectre du courant statorique [200 - 280] Hz : Une barre cassée (kes = 8

et kts = 17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79II.38 Spectre du courant statorique [0 - 100] Hz : Variation du couple de charge

à 2 g fs (kes = 8 et kts = 17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81II.39 Spectre du courant statorique [100 - 1000] Hz : Variation du couple de

charge à 2 g fs (kes = 8 et kts = 17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

III.1 Spectre fréquentiel du courant statorique expérimental pour un rotor sain 85III.2 Spectre fréquentiel du courant statorique expérimental pour un rotor dé-

faillant (1 barre cassée) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85III.3 Spectre fréquentiel du signal théorique donné à l’équation III.2 . . . . . . 88III.4 Spectre fréquentiel du signal théorique donné à l’équation III.3 . . . . . . 88III.5 Spectre fréquentiel du signal théorique donné à l’équation III.4 . . . . . . 88III.6 Spectre fréquentiel du signal théorique donné à l’équation III.6 . . . . . . 88III.7 Spectre fréquentiel de la puissance instantanée théorique (équation III.16) 94III.8 Spectre fréquentiel du courant statorique théorique (équation III.5) . . . 94III.9 Synoptique du banc d’essai et mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96III.10 Spectre de la puissance instantanée d’une phase statorique calculée avec

le périodogramme simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97III.11 Spectre de la puissance instantanée d’une phase statorique calculée avec

le périodogramme de Bartlett (Moyenné sur 8 segments) . . . . . . . . . 97III.12 Spectre du courant statorique : S-C100 [0 - 100] Hz . . . . . . . . . . . . 99III.13 Spectre de la puissance instantanée : S-C100 [0 - 200] Hz . . . . . . . . . 99

Table des figures 213

III.14 Spectre de la puissance instantanée : S-C100 [0 - 35] Hz . . . . . . . . . . 99III.15 Spectre de la puissance avec le seuil de détection : S-C100 [0 - 35] Hz . . 101III.16 Spectre de la puissance instantanée : S-C0 [0 - 10] Hz . . . . . . . . . . . 109III.17 Spectre de la puissance instantanée : 05b-C0 [0 - 10] Hz . . . . . . . . . 109III.18 Spectre de la puissance instantanée : 1b-C0 [0 - 10] Hz . . . . . . . . . . 109III.19 Spectre théorique d’un signal modulé en amplitude avec harmonique d’es-

pace [0 - 500] Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114III.20 Spectre théorique d’un signal modulé en amplitude avec harmonique d’es-

pace [200 - 280] Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114III.21 Spectre du courant statorique dans la bande [280 - 380] Hz (Harmonique

d’espace no7) : S-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115III.22 Spectre du courant statorique dans la bande [280 - 380] Hz (Harmonique

d’espace no7) : 05b-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115III.23 Spectre du courant statorique dans la bande [280 - 380] Hz (Harmonique

d’espace no7) : 1b-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115III.24 Spectre du courant statorique dans la bande [1200 - 1500] Hz : S-C100 . . 126III.25 Spectre du courant statorique dans la bande [1200 - 1500] Hz : S-C50 . . 126III.26 Spectre du courant statorique dans la bande [1200 - 1500] Hz : S-C0 . . . 126III.27 Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 150] Hz : S-C100 . . . . 127III.28 Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 150] Hz : S-C50 . . . . . 127III.29 Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 150] Hz : S-C0 . . . . . 127III.30 Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 1000] Hz : U/f S-C100 . 130III.31 Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 1000] Hz : Reseau S-C100130III.32 Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 100] Hz S-C100. Com-

paraison Réseau et U/f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130III.33 Spectre de la puissance d’une phase statorique dans la bande [0 - 1000]

Hz : U/f S-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131III.34 Spectre de la puissance d’une phase statorique dans la bande [0 - 1000]

Hz : Reseau S-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131III.35 Spectre de la puissance d’une phase statorique dans la bande [0 - 200] Hz

S-C100. Comparaison Réseau et U/f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131III.36 Spectre de la puissance d’une phase statorique dans la bande [0 - 35] Hz :

U/f S-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133III.37 Spectre de la tension d’une phase statorique dans la bande [0 - 100] Hz :

U/f S-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133III.38 Spectre du courant statorique dans la bande [0 - 2000] Hz : U/f S-C100 . 133III.39 Puissance instantanée d’une phase statorique dans la bande [0 - 35] Hz :

U/f 1b-50-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140III.40 Courant d’une phase statorique dans la bande [0 - 100] Hz : U/f 1b-50-C100140III.41 Courant d’une phase statorique dans la bande [0 - 100] Hz : U/f 1b-50-C100144III.42 Courant d’une phase du reseau dans la bande [0 - 100] Hz : U/f 1b-50-C100144III.43 Courant d’une phase statorique dans la bande [0 - 100] Hz. U/f 1b-25-C100144III.44 Courant d’une phase du reseau dans la bande [0 - 100] Hz : U/f 1b-25-C100144

IV.1 Spectre du courant statorique : Réseau 1b-C100 [0 - 100] Hz . . . . . . . 149IV.2 Phase du spectre du courant statorique : Réseau 1b-C100 [0 - 100] Hz . . 149IV.3 Phase du spectre du courant statorique : Réseau Sain-C100 [0 - 100] Hz . 149

214 Table des figures

IV.4 Partie réelle et partie imaginaire de la TF du courant expérimental (a) etphase correspondante (b) [49,75 - 50,25] Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

IV.5 Partie réelle et partie imaginaire de la TF du courant expérimental (a) etphase correspondante (b) [43,2 - 43,5] Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

IV.6 Partie réelle et partie imaginaire de la TF du courant de simulation (a)et phase correspondante (b) [49,75 - 50,25] Hz : Réseau 1b-C100 . . . . . 153

IV.7 Partie réelle et partie imaginaire de la TF du courant de simulation (a)et phase correspondante (b) [44 - 45,4] Hz : Réseau 1b-C100 . . . . . . . 153

IV.8 Vue générale de la phase du spectre du courant statorique : Expérimen-tation Réseau 1b-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

IV.9 Vue générale de la phase du spectre du courant statorique : SimulationRéseau 1b-C100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

IV.10 Représentation du processus de calcul des deux écarts-types . . . . . . . 158IV.11 Phase ϕTF (f) du courant statorique : Réseau S-C100 . . . . . . . . . . . 162IV.12 Phase ϕTF (f) du courant statorique : Réseau 05b-C100 . . . . . . . . . . 162IV.13 Phase ϕTF (f) du courant statorique : Réseau 1b-C100 . . . . . . . . . . . 162IV.14 Phase ϕTF (f) du courant statorique : Réseau S-C25 . . . . . . . . . . . . 163IV.15 Phase ϕTF (f) du courant statorique : Réseau 05b-C25 . . . . . . . . . . . 163IV.16 Phase ϕTF (f) du courant statorique : Réseau 1b-C25 . . . . . . . . . . . 163IV.17 Phase ϕTF (f) du courant statorique pour fs = 50 Hz : U/f 1b-C100 . . . 166IV.18 Phase ϕTF (f) du courant statorique pour fs = 25 Hz : U/f 1b-C100 . . . 166IV.19 Phase ϕTF (f) du courant statorique pour fs = 50 Hz : U/f Sain-C100 . . 166IV.20 Partie imaginaire et partie réelle de y(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172IV.21 Modulation d’amplitude de y(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172IV.22 Modulation de phase de y(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172IV.23 Modulation de fréquence de y(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172IV.24 Phase du signal analytique obtenu par une TH de |isa(f)| : S-C100 . . . . 174IV.25 Phase du signal analytique obtenu par une TH de |isa(f)| : 1b-C100 . . . 174IV.26 Agrandissement de la figure IV.24 autour de 50 Hz . . . . . . . . . . . . 174IV.27 Module du spectre du courant statorique (normalisé en dB) : S-C100 . . 174IV.28 Module de la transformée de Fourier du signal donné à l’équation IV.31 . 177IV.29 Partie réelle et imaginaire de Isa(f) et phase correspondante (fs) . . . . . 177IV.30 Partie réelle et imaginaire de Isa(f) et phase correspondante (fs − fm) . . 177IV.31 Phase ϕTH(f) du signal analytique Isa(f) : Réseau S-C100 . . . . . . . . 181IV.32 Phase ϕTH(f) du signal analytique Isa(f) : Réseau 05b-C100 . . . . . . . 181IV.33 Phase ϕTH(f) du signal analytique Isa(f) : Réseau 1b-C100 . . . . . . . . 181IV.34 Phase ϕTH(f) du signal analytique Isa(f) : Réseau S-C25 . . . . . . . . . 182IV.35 Phase ϕTH(f) du signal analytique Isa(f) : Réseau 05b-C25 . . . . . . . . 182IV.36 Phase ϕTH(f) du signal analytique Isa(f) : Réseau 1b-C25 . . . . . . . . 182

B.1 Banc d’essai et mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202B.2 Extraction du rotor du moteur asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . 202B.3 Rotors défaillants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202B.4 Schéma de connexion du stator pour l’essai avec un échelon de tension . . 204B.5 Identification des paramètres sur une croissance du courant statorique de

la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

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[70] S. M. Kay. Statistical Signal Processing : Detection Theory. Prentice Hall, 1998. 146

Contribution personnelle

Articles de revues et ouvrages internationaux avec comité de lec-

ture

G. Didier, H. Razik and A. Rezzoug. An induction motor model including the first spaceharmonics for broken rotor bar diagnosis. European Transactions on Electrical Power,accepté en Janvier 2004, 14 pages.

Articles de revues et ouvrages nationaux avec comité de lecture

G. Didier et H. Razik. Sur la détection d’un défaut au rotor des moteurs asynchrones. Larevue 3EI no27, Décembre 2001, pp. 53-62.

Session invitée à un congrès international avec actes et comité de

lecture

H. Razik and G. Didier. A novel method of induction motor diagnosis using the line-neutral voltage. EPE-PEMC’2004, September 2-4 2004, Riga, Létonie.

G. Didier, H. Razik, A. Abed and A. Rezzoug. On space harmonic model of a threephase squirrel cage induction motor for diagnosis purpose. EPE-PEMC’2002, CD-ROM,September 9-11 2002, Dubrovnik, Croatia.

Conférences et congrès internationaux avec actes et comité de lec-

ture

H. Razik and G. Didier. A low cost method for the diagnostic of asynchronous motors incase of rotor defects. IEEE-CIEP’2004, October 17-22 2004, Celaya, Mexique.

222 Contribution personnelle

Equipe GDR M2EMS1. Comparison of modelling methods and of diagnostic of asynchro-nous motor in case of defects. IEEE-CIEP’2004, October 17-22 2004, Celaya, Mexique.

G. Didier, H. Razik, O. Caspary and E. Ternisien. Rotor cage fault detection in induc-tion motor using global modulation index on the instantaneous power spectrum. IEEE-SDEMPED 2003, August 24-26, 2003, Atlanta, USA.

H. Razik and G. Didier. On the monitoring of the defects of squirrel cage induction motors.IEEE-Power Tech 2003, June 23-26, 2003, Bologna Italia.

G. Didier, H. Razik and A. Rezzoug. On the experiment detection of incipient rotor faultof an induction motor. IEEE-IEMDC 2003, June 1-4, 2003, Madison WI, USA.

H. Razik, A. Abed, G. Didier, F. Weinachter and A. Rezzoug. Analysis of the currentspectral of an induction motor for diagnostic purposes. ICEM’2002, CD-ROM, August26-28 2002, Bruges, Belgium.

G. Didier, H. Razik and A. Rezzoug. On the modelling of induction motor including thefirst space harmonics for diagnosis purposes. ICEM’2002, CD-ROM, August 26-28 2002,Bruges, Belgium.

Conférences et congrès nationaux avec actes et comité de lecture

Equipe GDR M2EMS1. Comparaison de plusieurs méthodes de modélisation de la machineasynchrone en présence de défauts. EF 2003, 9-10 décembre 2003, Supelec, Gif-sur-Yvette.

G. Didier, H. Razik et A. Rezzoug. Analyse de la tension de neutre en vue du diagnosticde la machine asynchrone. EF 2003, 9-10 décembre 2003, Supelec, Gif-sur-Yvette.

Rapport et communications

H. Razik et G. Didier. Rapport intermédiaire (32 p.) : Intitulé : Etude sur un modèletenant compte des harmoniques d’espace dans les machines asynchrones.

1E. Boutleux, L. Morel, H. Yahoui, H. Hénao, C. Delmotte, G. A. Capolino, G. Rostaing, J. P. Rognon,E. Foulon, L. Loron, G. Didier, H. Razik, G. Houdouin, G. Barakat, B. Dakyo, S. Tnani, G. Champenois,J. C. Trigeassou, V. Devanneaux, B. Dagues, J. Faucher.

Vous pouvez effectuer des remarques à l’auteur en lui écrivant à l’adresse suivante :

Gaëtan DIDIER Groupe de Recherche en Electrotechnique et Electronique de Nancy

GREEN − UMR 7037 Faculté des Sciences et Techniques − BP 239

54506 Vandoeuvre-lès-Nancy Téléphone professionnel : 03 83 68 41 42

Secrétariat : 03 83 68 41 32 Fax : 03 83 68 41 33

Téléphone personnel : 06 72 76 42 28 [email protected]

mailto:[email protected]

Résumé

Dans cette étude, nous abordons le diagnostic des défauts rotoriques dans les machines asyn-chrones à cage d’écureuil. Après avoir décrit les différents éléments de constitution d’une machineasynchrone et les principaux défauts pouvant survenir sur ceux-ci, nous proposons un modèlede machine basée sur la méthode des circuits électriques magnétiquement couplés. Ce modèlepermet d’étudier l’influence d’un défaut de barre sur le comportement général du moteur asyn-chrone. En complément de l’étude menée, nous mettons en évidence l’importance de l’analysedes harmoniques d’espace pour le diagnostic des défauts rotoriques.

Aprés avoir étudié les phénomènes créés par le défaut rotorique sur les différentes grandeurstemporelles de la machine, nous nous intéressons plus particulièrement au développement denouvelles méthodes de diagnostic. Nous présentons trois méthodes permettant la détection d’undéfaut rotorique. La première méthode s’appuie sur l’évaluation de plusieurs indices calculés àpartir de l’amplitude des composantes présentes dans les spectres de la puissance instantanéeet du courant absorbé par le moteur. Les résultats obtenus avec cette approche permettent dedétecter la présence d’un défaut naissant (une barre partiellement cassée) lorsque le couple decharge est supérieur ou égal à 10% du couple nominale ainsi qu’une barre complètement casséelorsque le moteur fonctionne à vide.

La seconde méthode de détection proposée utilise la phase du spectre du courant statoriquecalculée à partir d’une transformée de Fourier. Cette approche a la particularité de ne se ba-ser sur aucun seuil de référence pour établir la présence d’une rupture de barre au sein de lacage d’écureuil. Avec cette approche, nous avons pu détecter la présence d’une barre rotoriquecomplètement cassée. Malheureusement, le bruit important contenu dans ce signal ne permetpas de détecter un défaut rotorique naissant. Pour pallier ce problème, nous utilisons la phasedu signal analytique obtenue par une transformée de Hilbert du module du spectre du courantstatorique. Cette nouvelle approche, qui permet d’obtenir un signal plus stable et moins bruité,permet la détection d’une barre partiellement cassée et d’une barre totalement cassée pour unecharge supérieure ou égale à 25%.

Mots-clés : Moteur asynchrone, Modélisation, Harmoniques d’espace, Diagnostic, Rupture debarre, Indice de modulation, Périodogramme de Bartlett, Transformée de Fourier, Transforméede Hilbert.

Modelisation and diagnosis of induction machine in presence of failures

Abstract

In this study, we move on to the broken rotor bar diagnosis of squirrel-cage induction machines.The first part is devoted to the development of a model which is based on the magnetically coupledelectric circuits. This type of modelling makes it possible to study the influence of a bar defect on thegeneral behavior of the asynchronous motor. In complement of the undertaken study, we underscore theimportance of the analysis of the space harmonics for the broken rotor bar diagnosis.

After having studied the phenomena created by the presence of a rotor defect on the various temporalsizes of the induction machine, we turn a particularly attention in the development of new diagnosismethods. We present three methods allowing detection of a rotor defect of an induction machine.

The first method is based on the evaluation of several indexes calculated starting from the amplitudeof the components present in the spectra of the instantaneous power and the line current. The resultsobtained with this new approach make it possible to detect an incipient defect (a partially broken bar)when the asynchronous motor works with a load torque higher or equal to 10% of the nominal torque aswell as a completely broken bar when the motor works without load.

The second method of detection suggested uses the stator current spectrum phase calculated startingfrom a Fourier Transform. This approach has the characteristic to be based on any threshold of referenceto establish the presence of a broken rotor bar, which is usually necessary to detect this type of defect.The validation of this method on various experimental tests makes it possible to detect the presence ofone broken bar with a minimum load torque of 25%. Unfortunately, the important noise contained in thissignal does not make it possible to detect an incipient rotor defect. To get round this problem, we usethe analytic signal phase calculated starting from the Hilbert transform of the stator current spectrummodulus. This new approach, which makes it possible to obtain a more stable and less disturbed signal,makes it possible to diagnose a partially broken bar and one broken bar for a load torque superior orequal to 25%.

Key-words : Induction motor, Modelling, Space Harmonics, Diagnosis, Broken rotor bar, Modulationindex, Bartlett periodogram, Fourier Transform, Hilbert Transform.

modélisation et diagnostic de la machine asynchrone en présence

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