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ModelizaciónModelización
Modelización Tareas Clases Evaluación Reflexión
¿Qué es la modelización?
ModelizaciónModelización
Modelización Tareas Clases Evaluación Reflexión
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Sesión 1Introducción a la modelizaciónIntroducción a la modelización
3
ClasesModelización
¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
4
• Trabajar en distintas tareas basadas en la realidad.
• Reflexionar sobre las características de estas tareas.
• Pensar en criterios para identificar tareas de modelización desde otras tareas basadas en la realidad.
Objetivos
ClasesModelización
¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
5
• Criterios para identificar tareas de modelización
• Visión general del proceso de modelización
Resultados
ClasesModelización
¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
6
Actividad 2:
Reflexionar
sobre las
características
de las
situaciones
dadas
Actividad 3:
Compartir las
reflexiones
[Grupos pequeños] [Grupos pequeños] [Todo el grupo]
Actividad 1:
Trabajar sobre
las situaciones
dadas
Actividad 4:
Desarrollar
criterios
[Todo el grupo]
Estructura de la sesión
ClasesModelización
¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Resolver algunas tareas.
Actividad 1:
ClasesModelización
¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Tarea 1: «Firmar contra una nueva ley»Hace poco, el 25 de abril de 2006, el partido español en la oposición presentó en el
Congreso 4.000.000 firmas contra una nueva ley promulgada por el gobierno.
Todos los periódicos españoles publicaron fotos de las grandes cajas y las 10 furgonetas
que se habían necesitado para transportar las hojas de papel al Congreso. ¿Crees que esta
puesta en escena tenía una intención política o que todas estas cajas y furgonetas eran
realmente necesarias para transportar los cuatro millones de firmas?
ClasesModelización
¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Por motivos de salud las personas tienen que limitar sus esfuerzos, por ejemplo al practicar deporte, para no exceder una cierta frecuencia cardiaca.
Durante años la relación entre la frecuencia cardiaca máxima recomendada de una persona y la edad de dicha persona se describía según la siguiente fórmula:
frecuencia cardiaca máxima recomendada = 220 - edad
Investigaciones recientes muestran que esta fórmula debería modificarse ligeramente. La nueva fórmula es como sigue:
frecuencia cardiaca máxima recomendada = 208 - (0,7 x edad)
Un artículo periodístico declaraba: “«El resultado de utilizar la nueva fórmula en vez de la antigua es que el número de latidos máximo recomendado por minuto para personas jóvenes baja ligeramente, y para personas mayores aumenta ligeramente».
¿De qué edad en adelante aumenta la frecuencia cardiaca máxima recomendada como resultado de la introducción de la nueva fórmula? Muestra tu trabajo.
Tarea 2: «Frecuencia cardiaca»
Obtenido de www.pisa.oecd.org/dataoecd/46/14/33694881.pdf
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Tarea 3: Festival de músicaEl Festival de Artes Escénicas
Contemporáneas de Glastonbury
es el mayor festival al aire libre de música y
artes escénicas del mundo. En 2005, el
área vallada del festival tenía más de 3,6
km² (900 acres), y hubo más de 385
actuaciones en directo. Muchos de los
asistentes al festival llevan sus propias
tiendas de campaña y duermen dentro de la
zona del festival.
Los organizadores necesitan limitar el número de entradas a la venta y el
número de tiendas que pueden instalarse para poder garantizar la seguridad.
¿Qué les aconsejarías?
Gracias a Logan1138. Publicada en Wikimedia Commons
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Tarea 4: Gas naturalEn 1993 las reservas mundiales de gas natural se estimaron en 141,8 billones de metros cúbicos. Desde entonces se han consumido anualmente una media de 2,5 billones de metros cúbicos. Calcula cuándo se acabarán las reservas de gas natural. Utiliza distintas suposiciones y modelos. Explica todos tus pasos.
© 2007 Cornelsen Verlag Scriptor · Mathematisches Modellieren
Gracias a Stan Shebs . Publicada en Wikimedia Commons
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Tarea 5: Huevos de pascua
Daniela ha encontrado 23 huevos.
Tiene una sonrisa de oreja a oreja,
porque ha encontrado nueve huevos
más que Cris. Juani sonríe aún más.
Ha encontrado exactamente tantos
huevos como Cris y Daniela juntos.
¿Cuántos huevos ha encontrado
Juani?
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Tarea 6: Vecinos
En tu opinión, ¿cuánta gente vive en
este bloque de pisos?
© 2007 Cornelsen Verlag Scriptor · Mathematisches Modellieren© 2007 Cornelsen Verlag Scriptor · Mathematisches Modellieren
Timbres de la entrada:
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Comparad vuestras soluciones por grupos:
¿Cuáles son las diferencias?
¿Y las similitudes?
Registrad vuestras ideas en las tablas proporcionadas
(utilizad una tabla distinta para cada tarea)
Actividad 2:
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Directrices para la reflexión
Contexto deContexto de
la tareala tarea
Contexto deContexto de
la tareala tarea
ConocimientoConocimiento
matemáticomatemático
implicadoimplicado
ConocimientoConocimiento
matemáticomatemático
implicadoimplicado
SolucionesSoluciones
esperadasesperadas
SolucionesSoluciones
esperadasesperadas
PrincipalesPrincipales
característicascaracterísticas
de quien resuelvede quien resuelve
la actividadla actividad
PrincipalesPrincipales
característicascaracterísticas
de quien resuelvede quien resuelve
la actividadla actividad
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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¿Qué diferencias y similitudes puedes establecer entre estas tareas?
Contexto Conocimiento matemático
Soluciones
esperadas
Actividad de
quien resuelve
la tarea
Actividad 3: Debate
ClasesModelización
¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Respecto al contexto de la tarea
Respecto al conocimiento matemático implicado
Respecto a las soluciones esperadas
Respecto a la actividad de quien resuelve el problema
Algunas conclusiones
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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¿Qué características debería tener una tarea para que se
la considerase de modelización?
Relacionadas con:
el contextoel contexto elel
conocimiento conocimiento matemáticomatemático
las las
soluciones soluciones
esperadasesperadas
la actividad la actividad
de quien de quien
resuelve el resuelve el
problemaproblema
Actividad 4: Desarrollar criterios
Sesión 2Describir el proceso de modelizaciónDescribir el proceso de modelización
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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• Reflexionar sobre los procesos de resolución de problemas que
utilizasteis en la Sesión 1.
• Resumir estos procesos en un esquema común.
• Debatir un posible esquema que podríais utilizar para describir el
proceso de modelización.
• Aprender sobre el proceso de modelización.
Objetivos
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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• Descripción del proceso de modelización.
Resultados
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Actividad 2:
Compartir las
reflexiones.
[Grupos pequeños] [Todo el grupo]
Actividad 1:
Reflexión
sobre tus
procesos de
resolución de
problemas.
Estructura de la sesión
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Trabajo en grupos:
• Volved sobre las tareas que se han resuelto hasta ahora.
• ¿Cómo procedisteis para encontrar una solución? Reflexionad sobre vuestros procesos de resolución de problemas a un nivel general.
• Esbozad un único diagrama sintetizando estos procesos.
[ Tarea 1 – Tarea 2 – Tarea 3 – Tarea 4 – Tarea 5 – Tarea 6 ]
Actividad 1:
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Compartid diagramas
¿Qué diferencias y similitudes podéis establecer entre ellos?
Actividad 2: Compartir las reflexiones
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Introducción de una descripción del proceso de modelización
«Mundo real» «Mundo matemático»
1 2
3
4
5
5
Problema del
mundo real
Problema del
mundo real
Problema matemático Problema matemático
Solución matemáticaSolución matemáticaSolución realSolución real
El ciclo de modelización (estudio PISA, 2003)
ClasesModelización
¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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«Mundo real» «Mundo matemático»
1 2
3
4
5
5
Problema del mundo real
Problema del mundo real
Problema
matemático
Problema
matemático
Solución matemática
Solución matemáticaSolución realSolución real
El ciclo de modelización (del estudio PISA, 2003)
1. Empezar con un problema de la realidad.
2. Organizarlo de acuerdo a conceptos matemáticos e identificar las matemáticas
relevantes.
3. “Recortar” gradualmente la realidad a través de procesos como hacer
suposiciones, generalizar y formalizar, que promueven las características
matemáticas de la situación y transforman el problema del mundo real en un
problema matemático que representa la situación.
4. Resolver el problema matemático.
5. Explicar la solución matemática en términos de la situación real.
1
2
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4
5
Descripción ampliada... Ejemplos...
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Notas importantes
• El ciclo de modelización no es un algoritmo.
• En muchas ocasiones hay que adelantarse al paso siguiente e ir hacia
atrás al paso anterior.
• Puedes necesitar dar varias vueltas al ciclo para llegar a una solución.
• Hay más de una solución posible.
• Muchas veces la solución depende de la persona que trabaja en las
tareas.
«Mundo real» «Mundo matemático»
1 2
3
4
5
5
Problema del mundo real
Problema del mundo real
Problema
matemático
Problema
matemático
Solución matemática
Solución matemáticaSolución realSolución real
Diapositivas extraSesión 1: Introducción a la modelizaciónSesión 1: Introducción a la modelización
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Respecto al contexto de la tarea
¿Real y auténtica?¿Interesante para los
alumnos?Relevante para los alumnos
Tarea 1 Sí Podría ser Sí
Tarea 2 No estoy seguro Podría ser Podría ser
Tarea 3 Sí Podría ser Podría ser
Tarea 4 Sí Podría ser Sí
Tarea 5 No Probablemente no Seguro que no
Tarea 6 Sí Podría ser Podría ser
Volver a las conclusiones
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Respecto al conocimiento matemático implicado
Volver a las conclusiones
¿Único y completamente determinado por adelantado?
¿Promueve el uso de distintas partes del conocimiento matemático?
Tarea 1 NoEstimación, cálculos aritméticos, medidas,
geometría
Tarea 2 Sí Funciones lineales
Tarea 3 NoEstimación, cálculos aritméticos, medidas,
geometría
Tarea 4 NoEstimación, cálculos aritméticos, medidas,
álgebra, funciones
Tarea 5 Sí Aritmética
Tarea 6 No Estimación, cálculos aritméticos
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Respecto a las soluciones esperadas
Volver a las conclusiones
¿Una o varias?¿Naturaleza de la solución
esperada?¿Relación entre la solución y
el contexto inicial?
Tarea 1
VariasUn número, un intervalo,
una afirmaciónRelevante
Tarea 2
Una Un número Relevante
Tarea 3
Varias Medidas, intervalos Relevante
Tarea 4
VariasNúmeros, intervalos,
afirmaciones, funciones, patrones
Relevante
Tarea 5
Una Un número Totalmente irrelevante
Tarea 6
Varias Números, intervalos Relevante
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Respecto a la actividad de quien resuelve el problema
Volver a las conclusiones
¿Llevar a cabo un procedimiento «óptimo y
único»?
¿Explorar, plantear hipótesis, buscar distintas maneras de trabajar, interpretar y validar sus
soluciones... ?
Tarea 1 No Sí
Tarea 2 Sí No
Tarea 3 No Sí
Tarea 4 No Sí
Tarea 5 Sí No
Tarea 6 No Sí
Diapositivas extraSesión 2: Describir el proceso de modelización
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Del «problema del mundo real» al «problema matemático» (1, 2, 3)
(matematización horizontal, De Lange, 1987)
identificar las matemáticas relevantes respecto a un problema situado en la
realidad;
representar el problema de manera distinta, lo que incluye organizarlo según
conceptos matemáticos y haciendo suposiciones apropiadas;
comprender las relaciones entre el lenguaje del problema y el lenguaje
simbólico y formal que es necesario para entenderlo matemáticamente;
encontrar regularidades, relaciones y patrones;
reconocer aspectos que sean isomorfos a problemas conocidos;
traducir el problema a las matemáticas: por ejemplo, a un modelo matemático.
Proceso de modelización (matematización): Marco PISA 2003, página 39Proceso de modelización (matematización): Marco PISA 2003, página 39
El ciclo de modelización (PISA, 2003)
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Trabajar en el «mundo matemático» (4)
(matematización vertical, De Lange, 1987)
utilizar y cambiar entre distintas representaciones;
utilizar lenguaje y operaciones simbólicos, formales y técnicos;
refinar y ajustar modelos matemáticos;
combinar e interpretar modelos;
argumentar;
generalizar.
Proceso de modelización (matematización): Marco PISA 2003, página 39Proceso de modelización (matematización): Marco PISA 2003, página 39
El ciclo de modelización (PISA, 2003)
ClasesModelización
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Volver a la situación del mundo real (5)
(interpretar y validar tanto la solución como el modelo)
comprender la extensión y límites de los conceptos matemáticos;
reflexionar sobre argumentos matemáticos, y explicar y justificar
resultados;
expresar el proceso y la solución;
criticar el modelo y sus límites.
Vuelta a la presentación
Proceso de modelización (matematización): Marco PISA 2003, página 39Proceso de modelización (matematización): Marco PISA 2003, página 39
El ciclo de modelización (PISA, 2003)
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Ejemplos
Tarea 1: Firmar contra una nueva ley
Tarea 2: Frecuencia cardiaca
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Ejemplo 1: Firmar contra...
Vuelta a la presentaciónTexto de la tarea
“Mundo real” “Mundo matemático”
Tarea tipo 1: Tarea de modelización(todo el ciclo y los pasos tienen que tenerse en cuenta)
«Mundo real» «Mundo matemático»
1 2
3
1 2
3
44
55
55
Real-mundo
problema
Reunir firmas
Llevarlas al CongresoReal-mundo
problema
Reunir firmas
Llevarlas al Congreso
¿De verdad se necesitan 11 furgonetas?
Matemático
Problema
¿Cuántas hojas de papel?
¿Cuánto volumen ocupan?
por n hojas de papel?
Matemático
Problema
¿Cuántas hojas de papel?
¿Cuánto volumen ocupan?
¿por n hojas de papel?
Matemático
solución
Cálculos aritméticos
Calcular un volumen
Matemático
solución
Cálculos aritméticos
Calcular un volumen
Real soluciónComparar volúmenes (n hojas
de papel vs. 11 furgonetas)
Debatir sobre la situación
Real soluciónComparar volúmenes (n hojasde papel vs. 11 furgonetas) Debatir sobre la situación
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Ejemplo 2: Frecuencia cardiaca
Vuelta a la presentaciónTexto de la tarea
“Mundo real” “Mundo matemático ”
Tarea tipo 2: Tarea de aplicación (los pasos 2 y 3 no hay quetenerlos en cuenta: se proporciona el modelo matemático)
«Mundo real» «Mundo matemático»
1 2
3
1 2
3
44
55
55
Real-mundo
problema
Dos modelos matemáticos (lineales) y
¿De qué edad en adelante el nuevo
por el antiguo?
Real-mundo
problema
Se proporcionan 2 modelos matemáticos(lineales) y una afirmación cualitativa.
¿De qué edad en adelante el nuevomodelo aumenta la frecuenciarecomendada por el antiguo?
Real solucióntérminos de edad y
Real soluciónInterpretar esta desigualdad entérminos de edad y frecuenciacardíaca máxima recomendada.
Comparación de dos funciones:x / 220 - x < 208 - 0,7x?
Resolver una desigualdadlineal: x > 40
Diapositivas extraTareas
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Tarea 1: «Firmar contra una nueva ley»Hace poco, el 25 de abril de 2006, el partido español en la oposición presentó en el
Congreso 4.000.000 firmas contra una nueva ley promulgada por el gobierno.
Todos los periódicos españoles publicaron fotos de las grandes cajas y las 10 furgonetas
que se habían necesitado para transportar las hojas de papel al Congreso. ¿Crees que esta
puesta en escena tenía una intención política o que todas estas cajas y furgonetas eran
realmente necesarias para transportar los cuatro millones de firmas?Vuelta a la presentación
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Por motivos de salud las personas tienen que limitar sus esfuerzos, por ejemplo al practicar deporte, para no exceder una cierta frecuencia cardiaca.
Durante años la relación entre la frecuencia cardiaca máxima recomendada de una persona y la edad de dicha persona se describía según la siguiente fórmula:
frecuencia cardiaca máxima recomendada = 220 - edad
Investigaciones recientes muestran que esta fórmula debería modificarse ligeramente. La nueva fórmula es como sigue:
frecuencia cardiaca máxima recomendada = 208 - (0,7 x edad)
Un artículo periodístico declaraba: «El resultado de utilizar la nueva fórmula en vez de la antigua es que el número de latidos máximo recomendado por minuto para personas jóvenes baja ligeramente, y para personas mayores aumenta ligeramente».
¿De qué edad en adelante aumenta la frecuencia cardiaca máxima recomendada como resultado de la introducción de la nueva fórmula? Muestra tu trabajo.
Tarea 2: «Frecuencia cardiaca»
Obtenido de www.pisa.oecd.org/dataoecd/46/14/33694881.pdf Vuelta a la presentación
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¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?
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Tarea 3: Festival de músicaEl Festival de Artes Escénicas
Contemporáneas de Glastonbury
es el mayor festival al aire libre de música y
artes escénicas del mundo. En 2005, el
área vallada del festival tenía más de 3,6
km² (900 acres), y hubo más de 385
actuaciones en directo. Muchos de los
asistentes al festival llevan sus propias
tiendas de campaña y duermen dentro de la
zona del festival.
Los organizadores necesitan limitar el número de entradas a la venta y el
número de tiendas que pueden instalarse para poder garantizar la seguridad.
¿Qué les aconsejarías?
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Gracias a Logan1138. Publicada en Wikimedia Commons
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Tarea 4: Gas naturalEn 1993 las reservas mundiales de gas natural se estimaron en 141,8 billones de metros cúbicos. Desde entonces se han consumido anualmente una media de 2,5 billones de metros cúbicos. Calcula cuándo se acabarán las reservas de gas natural. Utiliza distintas suposiciones y modelos. Explica todos tus pasos.
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Gracias a Stan Shebs . Publicada en Wikimedia Commons
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Tarea 6: Vecinos
En tu opinión, ¿cuánta gente vive en
este bloque de pisos?
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Tarea 1: «Firmar contra una nueva ley»Hace poco, el 25 de abril de 2006, el partido español en la oposición presentó en el
Congreso 4.000.000 firmas contra una nueva ley promulgada por el gobierno.
Todos los periódicos españoles publicaron fotos de las grandes cajas y las 10 furgonetas
que se habían necesitado para transportar las hojas de papel al Congreso. ¿Crees que esta
puesta en escena tenía una intención política o que todas estas cajas y furgonetas eran
realmente necesarias para transportar los cuatro millones de firmas?
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Por motivos de salud las personas tienen que limitar sus esfuerzos, por ejemplo al practicar deporte, para no exceder una cierta frecuencia cardiaca.
Durante años la relación entre la frecuencia cardiaca máxima recomendada de una persona y la edad de dicha persona se describía según la siguiente fórmula:
frecuencia cardiaca máxima recomendada = 220 - edad
Investigaciones recientes muestran que esta fórmula debería modificarse ligeramente. La nueva fórmula es como sigue:
frecuencia cardiaca máxima recomendada = 208 - (0,7 x edad)
Un artículo periodístico declaraba: «El resultado de utilizar la nueva fórmula en vez de la antigua es que el número de latidos máximo recomendado por minuto para personas jóvenes baja ligeramente, y para personas mayores aumenta ligeramente».
¿De qué edad en adelante aumenta la frecuencia cardiaca máxima recomendada como resultado de la introducción de la nueva fórmula? Muestra tu trabajo.
Tarea 2: «Frecuencia cardiaca»
Obtenido de www.pisa.oecd.org/dataoecd/46/14/33694881.pdf Vuelta a la presentación