modellbildung in der geoökologie (g5, 103) ss 2004 -29.4. einführung, modelle, modellklassen -...
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Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS 2004
- 29.4. Einführung, Modelle, Modellklassen- 6.5. Zustandsmodelle, Rekursion - 13.5. Phänomenologie, zelluläre Automaten- 27.5. Populationsmodelle (FK)- 3.6. Individuenbasierte Modelle (FK)- 17.6. Transportgleichungen und -modelle - 24.6. Konzeptionelle Modelle der Hydrologie- 1.7. Fallbeispiel Gårdsjön: Parameteridentifikation- 8.7. Modelle zur Gewässerversauerung- 15.7. Flussnetzwerke, Modelle in der Geomorphologie- 22.7. Besprechung der Übungsaufgaben (FK)
- 1-2 weitere Termine: Besprechung der Übungsaufgaben (FK)
R.Rosen (1991):
• „The central concept of Newtonian mechanics, from which all others flow as corollaries or collaterals, is the concept of state, and with it, the effective introduction of recursion as the basic underpinning of science it self.“
Allgemein: Rekursion
• r: Startwert aus der Def. Menge• T: Abbildung über einer Menge• f(n): Funktion, die durch die Abbildung
und den Startwert erzeugt wird
)()1(
)()(
)0(
nTfnf
rTnf
rfn
Beispiel: Rekursion in der Fibonacci Reihe
• Rosen (1991): „This apparently trivial situation is the germ on which the state concept and hence contemporary physics rests.“
• Der nächste Schritt besteht darin, den zweiten Zeitpunkt zu beseitigen
.
),(
),(
:,
324
213
21
usw
aaTa
aaTa
beliebigaa
Kausalität bei Aristoteles:
1. Materieller Grund: Anfangswert
2. Effektiver Grund: Abbildung T
3. Formaler Grund: Exponent n
4. Finaler Grund: (nicht mehr
erlaubt)
)()( rTnf n
Antworten auf die Fragen „Warum f(n)“ ?
rf )0(
)()( rTnf n
Kausalität manifestiert sich durch Zustandsübergänge
Taylors Theorem:
Für eine reelle, stetige und differenzierbare
Funktion gilt:
...)(!2
)()()( 0
2
000 tfh
tfhtfhtf
Die Werte einer Funktion an einem Punkt (t0) bestimmen das Verhalten in dessen Umgebung (t+h)
Beispiel für eine rekursive Funktion
)23(2
1)1(
22)(
2
2
nnnf
nnnf
Von dieser Funktion stellen wir eine Reihe von Chroniken her und finden eine Taylor Reihe:
2,0)(
...
1)(
2/1)(
kallenf
nf
nnf
k
)(2/1)()()1( nfnfnfnf
Historisches Beispiel: Ansätze für Bewegungsmodelle
Newton– Kraft zur Veränderung
von Bewegung– Bewegung als
Zustand– Anfangsbedingungen
legen Entwicklung fest
– abstraktes Modell– idealisierte
Experimente
0)( tx
)(txmF
)()),(),(( txmttxtxF
)())(),(( txmtxtxF
• Kontinuierliche Zustandssysteme (Dynamische
Systeme)
• Diskrete Zustände (Diskrete dynamische
Systeme), z.B.:- Endliche Automaten (Zeit und Zustände sind diskret)
- Zelluläre Automaten ( “ )
Zustandsysteme
Kontinuierliche dynamische Systeme
)(xfx
Def.: Ein dynamisches System ist ein Paar (f , X), wobeif eine n-dimensionale Abbildung, X eine n-dimensionale Menge ist.
Es gilt (Bewegungsgleichung)
x
ist der Zustand des Systems, X der Zustandsraum,
Xx
)(xf
Hängt nicht explizit von der Zeit ab, heisst das System autonom:
durch Vorgabe eines Anfangswertes liegt die Entwicklung fest(Determinismus)
Zustände eines dynamischen Systems
Was ist ein Zustand (eines dynamischen Systems)?
Der Zustand eines dynamischen Systems zu einemZeitpunkt wird durch Angabe einer Menge von Zustandsgrößen als Vektor beschrieben:
tz
tz
tz
tz
n
.
.
.2
1
Die Menge der Zustandsgrößen sind genaudie, deren Werte man alle kennen muss,um das Verhalten des Systems in dernahen Zukunft vorhersagen zu können.(?)
Zustandsvektoren sind nicht eindeutig.
Die Zustandsvektoren spannen den Zustandsraum auf; die Dimension n desZustandsraums zu finden ist i.a.sehr schwierig. (Ist n z.B. unendlich?)
Zustandsbeschreibung von Systemen
Folgende Elemente werden benötigt:
• Zustandsvektor• Eingangsvektor• Parametervektor• Ausgabevektor• Systemfunktion• Ausgangsfunktion
tz
te
tp
ta
tf
tg
Zeitkontinuierliche Systeme
Beispiel: Fallende Masse mit Luftreibung
2
1)(
z
z
tv
txtz
beschrieben durch DGL 1. Ordnung
pezftz ,, Zustandsgleichung
pezgta ,, Ausgangsgleichung
gmzzC
ztz
w /22
2
Theorie: Lösungen sindstetig und diff.bar, jederZeitpunkt kommt vor
Praxis: Diskretisierungerforderlich, nur diskreteZeitpunkte, Diskretisierungsfehler
Laplace (1749-1827):
„Ein Geist, der für einen Augenblick alle Kräfte kennte, welche die Natur beleben, und die gegenseitige Lage alle Wesenheiten, aus denen sie besteht, müsste, wenn er umfassend genug wäre, um all diese Dinge der mathematischen Analyse unterwerfen zu können, in derselben Formel die Bewegung der größten Himmelskörper und des leichtesten Atoms begreifen, nichts wäre ungewiss für ihn, und Zukunft wie Vergangenheit läge seinem Auge offen da.“
Modellierung von Systemen
(aus Smith & Smith 1999)
Zitat Bjerkenes
aktueller Ansatz (Schellnhuber)
Mit den Bestandteilen:
),,(
),(
,...),,(
),(
MVBS
SAH
cbaN
HNE
• Erde
• Ökosphäre
• Menschliche Sphäre
• Globales Subjekt – B: Brain– V: Values– M: Management (konstante Menge an
Optionen)
An autonomous willpower is required ... which intervenes from outside ...The Global Subject transcends the sum of the physical individual desires and impulses of all elements of A as a result of a self-referential process.
Annahmen
The simplifying assumption of the time invariance of {M} is justified by two reasons:
1.We remain in the structural framework of conventional control theory
2.Management strategies are long-term in character
Die Anwendung Each M(t) represents a certain time sequence of management modules that can be activated... In order to achieve...a direct intervention into the biogeophysical metabolism of N ( „Geo-engineering“)
M(t) may also represent indirect measures, e.g. regulatory laws, etc.
)(
))(;,()(
))(;;,()(
2
2
MtP
tMANGtA
tMtANFtN
Pfadbündel von möglichen Zukünften
Dabei ist der Zustand des Globalen Subjekts nach Außen verlegt und wird als nicht-berechenbar betrachtet
Die physikalische und metaphysikalische Dimension des Erdsystems(Schellnhuber 1998)
About the nature of the Global Subject:
„... which is just as unreal as „the life“ of an organism composed of millions of molecules... „
Zustands-Konzept: Übertragen auf die gesamte Geo- und Biosphäre
Schellnhuber in Nature: 2.12.1999
Figure 3 A 'theatre world' for representing paradigms of sustainable development. The space of all conceivable co-evolution states P=( N, A) ...
Gibt es ökologische Naturgesetze ?
• Auf einer Tafel im Fichtelgebirge: „Alles Leben in einer Hecke steht miteinander in Verbindung. Es unterliegt einem andauernden natürlichen Kreislauf. Dieser ist so ausgereift, dass ohne Eingriffe von außen keine einzelne Art überhand nimmt ...“
„Man spricht vom natürlichen Gleichgewicht – einem Naturgesetz“
Evolution und Mechanismus
• Dobhansky (1941): Nichts in der Biologie macht Sinn, außer im Lichte der Evolution.
• Review zur „Evolution“ in Science (1999): Evolution ist der Mechanismus, der die Diversität des Lebens produziert.
• Rosen (2000): Die Beziehung zwischen Biologie und Mechanismen war stets problematisch, sie bis heute aber immer einflussreicher geworden.