modelleren van bruggen en bogen - universiteit utrecht · 2011. 7. 6. · van een parabool en een...

42 Modelleren van bruggen en bogen

Inleiding

Directe aanleiding tot het schrijven van dit stukje is hetvoorbeeldvraagstuk 4 uit het artikel van Jan Blankespoorin het vorige wiskunde D-themanummer (Blankespoor,2007). Hierin licht de cTWO-werkgroep voor toegepasteanalyse 2 HAVO een tipje van de sluier op van de voorge-stelde inhoud en illustreert dit aan de hand van vraagstuk-ken. Het voorbeeldvraagstuk 4 is een toepassing van ex-ponentiële functies bij de bestudering van een hangbrug.

Voorbeeldvraagstuk 4: De hangbrugDe vorm van een hangbrug (bijvoorbeeld de Golden Ga-tebrug bij San Francisco) kan worden voorgesteld dooreen functie van het type .

Hierbij zijn a en c constanten, y en x zijn beide in metersuitgedrukt. Voor een hangbrug met een weglengte van100 meter geldt c = 2,5 en a = 0,05 waarbij x loopt tussen–50 en +50.

a. Plot de grafiek van f (x) in een geschikt venster. Be-paal de maximale hoogte van de brug.

b. Waar is de brug meer dan 10 m hoog? (laat de com-puter dit voor je uitrekenen).

c. Bepaal de afgeleide van f (x). d. Toon aan dat de brug aan het begin en aan het eind het

steilst loopt. e. Vanaf welk punt stijgt f (x) meer dan 25 cm per m?

Wat mij onmiddellijk trof, was dat de vorm van de draag-kabel tussen de twee pylonen van de brug zonder toelich-ting gelijkgesteld wordt aan een kettinglijn. In een eerderartikel over beeldrectificatie (Heck, 2004) van digitalefoto’s en video’s heb ik toevalligerwijs deze brug alsvoorbeeld gebruikt en opgemerkt dat uit metingen op defoto blijkt dat de draagkabel prima beschreven kan wor-den met een dalparabool. Wie heeft er nu gelijk?Het antwoord op de laatste vraag kan kort zijn: beide au-teurs hebben voor het speciale geval van de Golden Gate-brug in wiskundig opzicht gelijk, net als een derde per-soon die opmerkt dat de vorm een sinusoïde is en een vier-de persoon die pleit voor een wiskundige functie van hettype f(x) = c·ln (1 + a·x2). Omdat de doorhang van dedraagkabel niet zo groot is, kunnen we veel geparameteri-seerde functies kiezen die in de buurt van x = 0 bij ge-schikte parameterkeuzes (dat wil eigenlijk zeggen bij vol-doende inzoomen) nagenoeg gelijk aan elkaar zijn. Defunctie

benadert bijvoorbeeld de kettinglijn tussen (-1,1) en (1,1)die door (0,0) gaat met een foutmarge van 0,12%. Uiter-aard heeft het simpelste functievoorschrift vaak de voor-keur, maar wiskundig gezien voldoen meerdere functies.Deze beweringen kunnen we gemakkelijk verifiëren metbehulp van Coach 6 door een digitale foto van deze brugop te meten na correctie voor perspectivische vervormingen daarna regressiekrommen uit te laten rekenen of ande-re functionele verbanden in kaart te brengen. In figuur 1staat links de originele foto en rechts de rectificatie vanhet vlak gevormd door de rechterkant van de pylonen en

y f x( ) c e ax– eax+( )= =

y 9x2

11 2x2–--------------------=

Modelleren van bruggen en bogen

Mag je zomaar de kabels van een hangbrug beschrijven met een kettinglijn? Of eenhangend touw tussen twee punten met een parabool? Formeel zijn beide onjuist.André Heck betoogt dat de uitkomst niet zo van belang is, maar dat een gegevenmodel nog geen modelleren is, en dat juist de activiteit ‘modelleren’ veel mogelijkhe-den biedt.

Nieuwe Wiskrant 27-1/september 2007 43

de rechterzijde van het wegdek (gezien vanuit de camera-positie). De rechterkabel bevindt zich nagenoeg in ditvlak en wordt door de rectificatie nu wel een kromme dieverdacht veel weg heeft van een dalparabool.

fig. 1 Rectificatie van de Golden Gatebrug

In de gerectificeerde foto is de schaling in horizontale enverticale richting niet gelijk. Dit veroorzaakt de vreemdeverhouding van bruglengte en brughoogte. Voor de aardvan de kromme die de draagkabel geeft, maakt dit niet uitbij de eerdergenoemde functionele verbanden. In figuur 2 is een schermafdruk te zien waarin de best bijeen meting passende parabool van het type y = a·x2 opge-spoord wordt door twee parameters op 0 vast te zetten. Integenstelling tot een grafische rekenmachine kun je inCoach 6 parameterwaarden in een functietype vastklik-ken. Dit is vooral handig in toepassingen waarin parame-ters een fysische betekenis hebben (denk bijvoorbeeldaan valversnelling).

fig. 2 kwadratische regressie in Coach 6

Figuur 3 is een schermafdruk van een meting van devorm van de draagkabel met de oorsprong van het assen-stelsel gelijk gekozen aan het laagste punt van de kabeltussen de twee pylonen. De grafieken van de eerder ge-noemde wiskundige benaderingen van de kabel zijn inhet rechterdiagram getekend. Het feit dat je bijna geen

verschil tussen de grafieken ziet, geeft aan dat inderdaadalle beschrijvingen in wiskundig opzicht even goed zijn.

fig. 3 Wiskundige benaderingen van een meting

Maar dit geldt niet voor de hangbrug waar het voorbeeld-vraagstuk verder op ingaat: de overspanning hangt daar-voor te ver door. In figuur 4 zijn de grafieken getekendvan een parabool en een kettinglijn die passen bij eenbrug van 100 meter lengte en pylonen die 30,66 meterhoog zijn. Er is nu wel een duidelijk verschil.

fig. 4 Kettinglijn en parabool als beschrijving van de draagka-bel voor de brug uit het voorbeeldvraagstuk

In het voorbeeldvraagstuk wordt de wiskundige formulevan een kettinglijn zonder enige motivering geponeerdvoor de vorm van een draagkabel van een hangbrug.Maar waarom zou deze vorm eigenlijk hetzelfde zijn alsdie van een hangende ketting (Van de Craats, 1999; Hart,1999)? Toegegeven, het voorbeeldvraagstuk gaat nietover het modelleren van een kabel van een hangbrug.Deze context is alleen maar een bijkomstig verhaaltje ineen som die in werkelijkheid gaat over een onderzoekjemet behulp van ICT naar een wiskundige uitdrukking mete-machten. Dit is jammer, want leerlingen krijgen opdeze wijze een onrealistisch beeld van de toepassing vanwiskunde in het algemeen en van de analyse in het bij-zonder. Een wiskundige beschrijving van de vorm van een draag-kabel van een hangbrug en van de vorm van een hangen-de ketting is mijns inziens een geschikt onderwerp omleerlingen bezig te laten zijn met modelleren. Deze me-ning is gebaseerd op ervaringen met een praktische op-dracht voor VWO-leerlingen (Heck & Holleman, 2004).Hier gaat de rest van dit artikel over. Tevens wil ik ingaanop een model van het modelleerproces en het gebruikhiervan voor het ontwerp van lesmateriaal. Dit onder-


werp dient als casus hiervoor.

Een model van modelleren

Omdat er verschillende opvattingen over modelleren enhaar rol in het onderwijs bestaan (Kaiser & Sriraman,2006), wil ik eerst mijn eigen standpunt verduidelijken.Met opzet heb ik als titel van dit artikel gekozen voor ‘mo-delleren van bruggen en bogen’ en me niet beperkt tot‘wiskundig modelleren’. Onder modelleren versta ik eencyclisch proces waarin een aantal activiteiten geschakeld isen waarin zowel wiskundige als domeinspecifieke kennisen vaardigheden een rol spelen bij het vat krijgen op en re-deneren over een situatie of probleem uit de echte wereld.In het diagram in figuur 5 wordt het modelleerproces op-gedeeld in zeven deelprocessen. Het betreft de schemati-sche beschrijving van modelleren volgens Blum en Leiß(Blum & Leiß, 2005) waarbij verschillende modelleersta-dia in de werkelijkheid en in de wiskundewereld onder-scheiden worden. Bij wiskundig modelleren ligt het accentmeer op deelprocessen 3 tot en met 5.

fig. 5 Modelleercyclus volgens Blum en Leiß

Er bestaan meer van dergelijke schema’s voor modelleer-cycli (Borromeo Ferri, 2006). Ze worden vooral gebruiktals theoretisch kader voor vakdidactische studies, om het‘ideale modelleerproces’ te beschrijven, modelleercompe-tenties te formuleren en om problemen van leerlingen bijhet modelleren in kaart te brengen (Galbraith & Stillman,2006; Maaß, 2006; Blomhøj & Jensen, 2007). Ze gevenniet aan dat men tijdens het modelleerproces noodzakelij-kerwijs alle fasen in genoemde volgorde doorloopt. Een gegeven computermodel kan best het vertrekpuntzijn om vat te krijgen op een dynamisch verschijnsel envoor het construeren van een wiskundig model kan hetnodig zijn eerst de aanwezige kennis van wis- en natuur-kunde op te frissen of uit te breiden. Blomhøj en Jensen(2003) geven een voorbeeld van een lesontwerp uit defarmacologie waarin het proces van mathematiseren inomgekeerde volgorde gebeurt: eerst wordt experimenteeleen geschikte formule voor de concentratie van een ver-dovingsmiddel bepaald en pas daarna wordt een twee-compartimentenmodel ontwikkeld dat de gevonden for-mule als oplossing heeft.

Ook betekent het opsplitsen van de modelleercylus niet

dat de kennis en vaardigheden bij elk deelproces afzon-derlijk geleerd en geoefend moeten worden. Dan kom jejuist in valkuilen terecht zoals het zomaar weggeven vanformules in contexten of het modelleren van fenomenenzonder validatie van het model door vergelijking met er-varingen, observaties, experimentele gegevens of mettheoretische kennis. Dit is eigenlijk alleen te rechtvaardi-gen wanneer men slechts voor even wil inzoomen op eenbepaald facet van het modelleerproces, bijvoorbeeld omzich op een kernconcept of een basistechniek te concen-treren. Men kan dan in het lesmateriaal voldoende infor-matie opnemen die de op dat moment minder belangrijkbeschouwde deelprocessen sterk vereenvoudigt, zo niettrivialiseert. Maar als men modelleren serieus neemt, danontkomt men volgens mij niet aan de verplichting omleerlingen meerdere keren alle stappen van het model-leerproces te laten doorlopen, ongeacht de tijd die hier-voor uitgetrokken moet worden.

Een schema voor een modelleercyclus kan ook houvastbieden aan auteurs van lesmateriaal waarin modellerencentraal staat. Dit is geen loos advies, want menig onder-wijsontwikkelaar kan de verleiding niet weerstaan omleerlingen al vrij snel bloot te stellen aan het modellerenvan complexe systemen. Nadeel is dan dat een leerling bijhet gegeven probleem niet alle facetten in elke stap vande modelleercyclus kan overzien en dat de auteurs in eenpoging om de situatie zo eenvoudig mogelijk te presente-ren, eindigen met modellen die weinig of geen realiteits-waarde en voorspellingsmogelijkheden hebben. Als jewilt dat een leerling de hele modelleercyclus kan doorlo-pen, dan is het naar mijn mening verstandig juist voorsimpele, maar vakinhoudelijk rijke onderwerpen te kie-zen. Pas als een leerling voldoende kennis en ervaringmet modelleren opgedaan heeft en een solide basis vanwiskundige en natuurwetenschappelijke kennis en vaar-digheden heeft verworven, is bestudering van complexe-re systemen mogelijk. Dit past dan goed in een groterepraktische opdracht of in een profielwerkstuk.

fig. 6 De Keshwa Chaca brug en de Ponte de 25 Abril - vat krijgen op de probleemsituatie

In het vervolg van dit artikel zal ik het schema van Blumen Leiß nader toelichten en dit gebruiken om een moge-lijke route te beschrijven voor het vinden en beargumen-teren van een wiskundige formule voor de vorm van een


draagkabel van een hangbrug en voor de vorm van eenhangende ketting. Ik hoop te kunnen demonstreren dat ineen dergelijk simpel ogend probleem heel veel interes-sante wis- en natuurkunde zit die voor VWO-leerlingenmet behulp van ICT zowel toegankelijk als uitdagend is.

Modelleren van hangbruggen en kettin-genBij een hangbrug kun je denken aan een touwbrug in eenspeeltuin of uit films die zich afspelen in de jungle, aaneen voetgangersbrug uit het Incatijdperk zoals de KeshwaChaca, maar ook aan bruggen zoals de Golden Gate brugin San Francisco, de hier sterk op lijkende Ponte de 25Abril in Lissabon of de Clifton hangbrug in Bristol, Enge-land. In Nederland komen geen hangbruggen voor van-wege de bodemgesteldheid en omdat dit type brug pasaantrekkelijk is bij grote overspanningen (meer dan 500meter). De voetgangerstouwbrug, met het flexibele loop-gedeelte, doet meer denken aan een hangende ketting, ter-wijl bij de andere voorbeelden van hangbruggen de hang-kabels de belasting op de brug overbrengen op tweedraagkabels die tussen twee pylonen zijn opgehangen enin landhoofden zijn verankerd. Schematisch ziet dit typehangbrug er als volgt uit:

fig. 7 Schematische tekening van een klassieke hangbrug

In bovenstaand schema zijn allerlei veronderstellingenopgenomen die in werkelijkheid niet altijd waar hoevente zijn: pylonen zijn even hoog verondersteld, het wegdekloopt horizontaal en is zo star dat het niet doorbuigt, dezijoverspanning is nodig om te voorkomen dat span-krachten in de draagkabel de pylonen omver trekken. Metandere woorden, we stellen ons de ideale hangbrug voorom de wiskundige vorm van de hoofdoverspanning te be-studeren. We hebben ons een mentaal beeld van de echtesituatie gevormd. Dit wordt in het model van Blum enLeiß het situatiemodel genoemd. Het mentale beeld vande situatie komt vaak onbewust tot stand door informelekennis en ervaring alsmede door disciplinaire kennis.Zo’n mentaal beeld kan visueel zijn in de vorm van gra-fische represenaties, maar ook meer analytisch gestructu-reerd via symbolen en verbale beschrijvingen. Dit hangtmeestal van persoonlijke voorkeuren af. Een goede afbakening van het probleem valt ook onderhet proces van vat krijgen op de probleemsituatie. In ons

geval zijn we niet zozeer geïnteresseerd in een meetkun-dige constructie zoals in onderstaande figuur 8, waarin dehoofdoverspanning in een dynamisch meetkundepakketbenaderd is met een kegelsnede. Wij willen daarentegeneen coördinatensysteem invoeren met de horizontale asparallel aan het brugwegdek en hiermee de vorm van dehoofdoverspanning via een wiskundige functie beschrij-ven.

fig. 8 Kegelsnede in Cabri geconstrueerd langs de hoofdover-spanning van de Ponte de 25 Abril in Lissabon

fig. 9 Tekening van een kettinglijn door Huygens (1646)

Vereenvoudigen en structurerenDe vereenvoudiging en structurering gaat in de model-leercyclus bewust verder tot een ‘model van de werke-lijkheid’ gecreëerd is met een concrete vraagstelling. Hetzoeken naar de essentie van het probleem en het transfor-meren van een situatiemodel tot een zo eenvoudig, vanallerlei afleidende bijkomstigheden ontdaan en meer ab-stract model van de werkelijkheid is vaak een fase vangrote creativiteit. Christiaan Huygens heeft op zeventien-jarige leeftijd in zijn studie over de vorm van een hangen-de ketting of koord het lumineuze idee gekregen om de


ketting op te vatten als een serie gelijke gewichten die opgelijke afstanden langs een gewichtloos, niet-rekbaarkoord hangen (figuur 9). Dit klopt natuurlijk niet, maarhet is een benadering die beter wordt naarmate je meergewichten op kortere onderlinge afstand neemt. In het li-mietgeval komt deze benadering overeen met de exacteoplossing van het oorspronkelijke probleem.

Uitgaande van een brugwegdek met een uniforme verde-ling van het gewicht en draag- en hangkabels van verwaar-loosbaar gewicht kunnen we een hangbrug ook in verbandbrengen met opgehangen gewichten. Alleen moeten de ge-wichten nu op gelijke horizontale afstand opgehangenworden en niet op gelijke afstanden langs het koord.

MathematiserenAls model van de werkelijkheid nemen we in navolgingvan Huygens een flexibele, niet-rekbare ketting met ver-waarloosbaar gewicht waaraan in serie op gelijke afstan-den gelijke gewichten opgehangen zijn. We zullen tweesituaties onderzoeken: (1) gewichten op gelijke onderlin-ge horizontale afstand en (2) gewichten op gelijke onder-linge afstand langs het koord. Er zijn allerlei manierenom van hieruit tot een wiskundig model te komen en ditverder wiskundig uit te werken. Jan van de Craats (1999)en Klaas Pieter Hart (1999) gebruiken bijvoorbeeld ele-mentaire kennis over krachten en krachtenevenwichtenom tot een differentiaalvergelijking te komen en vervol-gens analytisch op te lossen. De kettinglijnformule is inzijn eenvoudigste gedaante (bij geschikte keuze van oor-sprong en schaling) gelijk aan:

In deze aanpak gaat het mathematiseren vooraf aan dewiskundige uitwerking. Ik wil hier laten zien dat eenvoorafgaand experimenteel en ICT-gebaseerd onderzoekook mogelijk is en tot diep inzicht kan leiden. Dit werkligt ten grondslag aan een wiskundig model dat ook doornatuurkundige basisprincipes onderbouwd is en dat viacomputersimulaties leidt tot benaderingen van kettinglij-nen en draagkabels van hangbruggen.

fig. 10 Metingen in een digitale foto

Figuur 10 is een schermafdruk van een Coach 6-activiteitwaarin een experimentele opstelling gebouwd en gefoto-

grafeerd is met vijf gelijke gewichten die zodanig beves-tigd zijn dat de onderlinge horizontale afstanden en dehorizontale afstanden van de buitenste gewichten tot deophangpunten gelijk zijn. Een assenstelsel met de oor-sprong in het laagste punt is gekozen en de coördinatenvan de ophangpunten en de knikpunten in het draagkoordzijn met een simpele muisklik vastgelegd. Deze metingop de digitale foto levert de grafische weergave van dedraadsegmenten in het diagramvenster aan de rechterkantop. Met het gereedschap in Coach om hellingen in grafie-ken op te meten kunnen leerlingen experimenteel achter-halen dat de hellingen van de draadsegmenten rechts vanhet laagste punt een vaste verhouding 1:3:5 zouden kun-nen hebben. Door digitale hoekmetingen in de foto kun-nen de hellingen op een tweede manier bepaald wordenzodat controle van metingen ingebouwd kan worden.Door met meer gewichten en verschillende onderlinge af-standen te experimenteren kunnen leerlingen er gemak-kelijk achterkomen dat dit niet afhangt van de massa vande opgehangen gewichten (onder de aanname dat ze alle-maal even veel wegen), dat deze vaste verhoudingen ookoptreden bij gelijke onderlinge afstanden van de gewich-ten langs de draad en dat de onderlinge afstanden hieringeen rol spelen. Essentieel is alleen dat de ophanging zo-danig gebeurt dat er een symmetrische figuur ontstaat(symmetrisch in de y-as bij onze keuze van het assenstel-sel).

Nu kun je de vaste verhouding van hellingen wel meteengaan gebruiken om via een computermodel hangendekettingen en draagkabels van hangbruggen te modelle-ren, maar het is eigenlijk veel interessanter en leerzamerom eens goed na te denken en een verklaring te vindenvoor het gevonden resultaat van vaste verhoudingen vanhellingen volgens de reeks 1:3:5:7:... Ook nu draait allesweer om krachten en evenwicht van krachten, maar het iseenvoudiger dan in menige beschrijving (Van de Craats,1999; Hart, 1999) omdat we alleen te maken hebben metpuntkrachten, dat wil zeggen met krachten die maar opéén punt van een lichaam aangrijpen. Dat dit ook, des-noods met hulp van de docent, een haalbare kaart is metleerlingen blijkt uit onderstaande uitleg van twee VWO 4-leerlingen in een klasexperiment (Heck & Holleman,2004):

‘Zie het plaatje in figuur 11. Als zwaartekracht hebben wijals voorbeeld 100 N genomen. Bij A is de spankracht in detwee delen van de ketting gelijk. De verticale componentenvan de spankracht zijn dus samen 100 N, en enkel 50 N. Dehorizontale componenten zijn overal gelijk en heffen elkaarop, dus daar hebben we het verder niet over.

De linker spankracht van B is gelijk aan de spankracht(links of rechts) van A. Dus de verticale component van diespankracht in A is gelijk aan de verticale component van delinker spankracht in B. Deze verticale component van Bheeft dezelfde richting als de zwaartekracht. Samen zijn zedus 150 N. De verticale component van de rechter span-kracht van B moet gelijk zijn aan de zwaartekracht en de an-der verticale component, dus 150 N.

y x( )cosh ex e x–+

2--------------------= =


3× 50 = 150, dus dat klopt. Als je dan verder redeneert moetde verticale component van de rechter spankracht van C ge-lijk zijn aan 5× 50 = 250 N.

De rechter spankracht van B en de linker spankracht van Czijn weer gelijk aan elkaar. Dus de verticale componentook. Dat maakt dus dat, samen met de zwaartekracht, de to-tale kracht naar beneden dus 250 N is. Dus moet de krachtnaar boven ook 250 N zijn. Dus de verticale component vande rechter spankracht van C is dus 250 N. De verhouding1:3:5 klopt dus.

Conclusie: Als een boog symmetrisch is en op alle punteneen even zware kracht wordt uitgeoefend, krijg je dus altijdeen vorm van een parabool met hellingen die zich verhou-den als 1:3:5:7 … enz.’

fig. 11 Schets van leerlingen bij hun toelichting

Met de redenering van de leerlingen en de manier waaropze het verwoorden is niet veel mis. Hun conclusie slaat opde situatie waarin de gewichten op gelijke horizontale af-stand van elkaar hangen. Stel dat deze afstand gelijkaan 1 is, dat de oorspong van het assenstelsel A is, en datde eerste helling richtingscoefficiënt 1 heeft. Dan zijn decoördinaten van opeenvolgende punten aan de rechter-kant gelijk aan (0,0), (1,1), (2,4), (3,9), …, ofwel de pun-ten liggen op de standaardparabool y = x2. Als de onder-linge afstand van de gewichten langs de draad gelijk aanelkaar gekozen wordt, dan volgt uit de vaste verhoudin-gen van de hellingen eenvoudigweg dat de knikpuntenniet op een parabool kunnen liggen. Onduidelijk is dannog wel welke functie gekozen kan worden opdat deknikpunten op de grafiek van deze functie liggen.

Belangrijk hier is dat de leerlingen een gemeenschappe-lijk punt in de verschillende wiskundige vormen van ge-wichten aan een hangende ketting gevonden hebben bijeen symmetrische ophanging, namelijk de vaste verhou-dingen van opeenvolgende draadsegmenten. Voor henhebben dan alle hangende kettingen en alle hangbruggeneen gelijksoortige basisvorm. Het feit dat ze het al langniet meer hebben over die ene ophanging blijkt wel uithun taalgebruik: ‘Als zwaartekracht hebben wij als voor-beeld 100 N genomen’. De massa van de gewichten doeter voor de leerlingen niet toe. Enige noodzaak is dat degewichten gelijk zijn en symmetrisch opgehangen zijn:‘Als een boog symmetrisch is en op alle punten een evenzware kracht wordt uitgeoefend, krijg je dus altijd eenvorm van een parabool met hellingen die zich verhoudenals 1:3:5:7 … enz.’ De cursieve woorden duiden er op datveralgemenisering van het probleem uit de werkelijkheidheeft plaatsgevonden.

Wiskundig uitwerkenOm van het wiskundig model naar modeluitkomsten tekomen, kunnen twee routes bewandeld worden, namelijkeen klassieke route met pen en papier waarin eenalgebraïsche/analytische aanpak via differentiaalverge-lijkingen beproefd wordt en een route waarin met eencomputermodel aan een numerieke benadering gewerktwordt. Het idee is dat leerlingen met een geschikte com-putermodelleeromgeving een instrument in handen heb-ben om ook in meer realistische situaties problemen aante pakken waarvoor de analytische mathematische behan-deling buiten hun bereik ligt. In een advies aan de geza-menlijke bèta-vernieuwingscommissies (Savelsbergh etal, 2007) staat letterlijk: ‘Daardoor krijgt modelleren eenmeer realistisch karakter en kunnen activiteiten als expe-rimentele toetsing, modelevaluatie en probleemdefinitiemeer betekenis krijgen. Bovendien kan zodoende de rela-tie met ‘echte’ modelleerproblemen, zoals die spelen inde beroepspraktijk en in het maatschappelijk debat, beterinzichtelijk gemaakt worden.’

Bij het wiskundige werk om een oplossing te vinden vaneen wiskundig model kan het nuttig zijn om technologiein te zetten voor het maken van grafische representaties(ook van opgespoorde algebraïsche verbanden), voor hetbepalen van een regressiekromme bij data, en voor hetdoorrekenen van enkele gevallen. Wiskundigen zijn ove-rigens in het algemeen terughoudend in het gebruik vanICT bij wiskundig modelleren, ook als het om berekenenvan modeluitkomsten gaat. Zij grijpen niet bij het minsteof geringste naar rekenmachines en computerprogram-ma’s, maar ze proberen het mathematiseringsproces doorgoed nadenken en puzzelen met pen en papier in veelbe-lovende banen te leiden en ze proberen eigenschappen vanmodeluitkomsten af te leiden door zorgvuldig het mathe-matisch model te analyseren alvorens oplossingen ookecht uit te rekenen. In feite hebben de leerlingen in hethierboven beschreven werk ICT alleen ingezet om tot een


goed idee van verhoudingen tussen opeenvolgende hellin-gen van draadsegmenten te komen en is er daarna denk-werk aan te pas gekomen om het resultaat te verklaren.Met dit resultaat in handen hebben ze kunnen verklarenwanneer de knikpunten van een kabel al dan niet op eenparabool liggen. De wiskundige formule van de ketting-lijn hebben ze daarbij nog niet gevonden. Eerlijk gezegdvalt dit ook buiten bereik van leerlingen in 4-VWO die nogniet van differentiaalvergelijkingen gehoord hebben.

Wat wel goed mogelijk is na de experimentele benade-ring en de theoretische fundering is een computermodel-lering met behulp van een programmeeromgeving of sys-teemdynamische software. Een leerling kan bijvoorbeeldeen hangende ideale ketting benaderen met een serie vanequidistant geplaatste kraaltjes van gelijk gewicht. Fi-guur 12 is een schermafdruk van een Coach 6-activiteitwaarin een computerprogramma een kettinglijn benadert.Hierin is een computermodel te zien waarin een halsket-ting van zekere lengte L in 2N gelijke stukken verdeeldwordt en, uitgaande van een zekere helling naar rechts inhet laagste punt, de ligging van opeenvolgende ketting-segmenten berekend wordt door opeenvolgende hellin-gen te bepalen volgens de verhoudingen 1:3:5:7:9:… Deposities van de knikpunten worden berekend met behulpvan de trigonometrische formule:

Het diagram rechtsboven in figuur 12 laat de berekendekromme zien samen met de gemeten punten op de han-gende ketting.

fig. 12 Coach-programma voor kettinglijn

Wie een leerstijl heeft die meer visueel georiënteerd iskan als alternatief een grafisch modelleervenster gebrui-

ken, zoals in figuur 13. Over de betekenis van de grafi-sche componenten volgt later in dit artikel meer.

Deze schermafdruk illustreert dat een grafisch modelleer-gereedschap niet uitsluitend voor dynamische systemeningezet wordt, maar eigenlijk meer een grafische invoeren weergave van een computermodel is. Een overgangnaar een tekstgebaseerde weergave van het model in demodelleeromgeving van Coach maakt dit ook aan leerlin-gen zonneklaar.

fig. 13 Grafisch modelprogramma voor kettinglijn

In een klasexperiment in 5-VWO, al uitgevoerd in 2001met Coach 5, hebben leerlingen met succes en voldoe-ning via de tekstgebaseerde modelleeromgeving gepuz-zeld op de vraag hoe uit de verhoudingen 1:3:5:7:… vanopeenvolgende hellingen van draadsegmenten met knik-punten op gelijke horizontale afstand juist een parabooltot stand komt. In hun praktische opdracht, die sindsdienstandaardonderdeel van de Coach-distributie is, begon-nen ze met het computerprogramma in figuur 14.

fig. 14 Coach-programma voor de standaardparabool

Het modelvenster is hierin verdeeld in twee delen: linksstaat het eigenlijke model, rechts de beginwaarden. Jeziet: x begint met -5, y met 25. Verder is dx gelijk aan 1.Dit laatste betekent dat x steeds toeneemt met stapgrootte1. Links zie je hoe eerst dy berekend wordt en dan denieuwe x- en y-waarde. Daarna begint het spel weer vanvoren aan: links staat de code van een herhalingslus. Hetmodel wordt doorgerekend totdat x > 5. Het diagramven-ster laat zien dat de berekende punten op de standaardpa-rabool y = x2 liggen.

1 2 αtan+ 12 αcos---------------=


Geen van de leerlingen had moeite met het begrijpen vandit computerprogramma. Het gepuzzel kwam pas in detweede opdracht waarin gevraagd werd om het program-ma zodanig aan te passen dat het ook werkt voor een wil-lekeurige stapgrootte dx, onder de voorwaarde dat de for-mule y = x2 niet gebruikt wordt. Behalve hun antwoordmoesten leerlingen in hun verslag ook opschrijven hoe zete werk waren gegaan en, in het geval ze per toeval op hetantwoord waren gestuit, aantonen waarom het werkt. Ditvereiste inventiviteit en een groot doorzettingsvermogenvan de leerlingen om te komen tot de computerregel

dy = 2·x ·dx + dx2.

Meestal begonnen de leerlingen eerst met het bestuderenvan een tweede concreet geval, bijvoorbeeld dx = ½ of ¼,om vandaaruit naar het algemene geval te gaan. In de der-de opdracht werd de moeilijkheidsgraad verder opge-voerd: nu moest een model gemaakt worden voor het ge-val de ophangpunten de punten (0,10) en (10,10) zijn enhet laagste punt (5,5) is. Ook moesten ze de formule vande parabool waarop de punten liggen bepalen. Een leer-linge schreef over haar aanpak:

Van verschillende personen kreeg ik te horen: ‘Hoe kom jeerop!’ tja, dat weet ik ook in de meeste gevallen niet echt tebeschrijven. Voor mij is het heel gewoon dat ik het bewustevraagstuk op die manier oplos, maar voor anderen is dat eenraadsel. Ik heb hen geprobeerd uit te leggen dat ik heel sys-tematisch te werk ben gegaan wanneer ik een algemeen gel-dende formule probeerde te vinden. Eerst maakte ik een ta-bel en daaruit haalde ik de formule, voor een bepaalde waar-de van dx. Wanneer ik dit aan mijn klasgenoten verteldevroeg een aantal van deze ‘maar waarom doe je dat dan’, jawaarom? Het leek mij nogal voor de hand liggen dit op dezemanier te doen, hoe maak je een formule van een grafiek,door verschillende punten te weten en daar een verband tus-sen te vinden. Maar goed, ik had zo verschillende formulesen uit die formules moest een algemeen geldende formulegemaakt worden. En dat is nu juist wat ik echt geweldigvind, net zo lang puzzelen totdat je weet ‘dit is em.’. Wan-neer je de opdracht op deze manier aanpakt heb je vrij snelhet antwoord. Opdracht drie ging vrijwel op dezelfde ma-nier. Maar was al iets lastiger. Mede doordat er in de begin-waarde van dy niet direct een verband was te vinden. Maarna even puzzelen, kwam ik ook hier vrij snel op het juistespoor en wist ik al snel de algemene formule te formuleren.

Behalve een illustratie van de aanpak van een leerlinge isdit citaat ook een verwoording van de appreciatie van deopdracht door deze leerling. Mijn ervaring was en is datveel leerlingen het leuk vinden en er een voldaan gevoelaan overhouden als ze, na veel proberen, de goede oplos-sing van een probleem gevonden hebben.

Daarnaast mag niet onvermeld blijven dat de wiskundigeuitwerking van de vaste verhoudingen van opeenvolgendehellingen ook kan leiden tot de differentiaalvergelijkingdie de vorm van een hangbrug bepaalt. Een leerling kanbijvoorbeeld in een computermodel zelf uitproberen datverwaarlozing van de kwadratische term dx2 in de rekenre-gel dy = 2·x·dx + dx2 voor kleine waarden van dx niet zo’ngroot verschil in het resultaat van een simulatie maakt.

Voor kleine stapgrootte geldt de linearisatie dy ≈ 2·x ·dx. In het limietgeval geldt dus: y' = 2x. Ziehiereen differentiaalvergelijking voor de parabool van devorm x2 + c.

Modellering van bruggen en bogen op basis van de bij-passende differentiaalvergelijkingen behoort natuurlijkin de hogere VWO-klassen tot de mogelijkheden. Samen-vattend kunnen we stellen dat alle krommen die we intus-sen bekeken hebben bepaald worden door de toenamevan de helling h. Omdat bij een hangbrug de belastingconstant is in de horizontale richting, is ook de hel-lingstoename constant per eenheid van horizontale af-stand. Met andere woorden:

voor zekere constante c. Bij een ketting, die met het eigengewicht (dus in de richting van de ketting zelf) belastwordt, is de hellingstoename constant per eenheid vankettinglengte. Hieruit volgt:

voor zekere constante c. In verkorte notatie:

waarbij c een constante is. Als we de lengte-eenheid inhet vlak schalen met c, met andere woorden als we over-stappen op dimensieloze grootheden, dan krijgen we eenvergelijking voor de kettinglijn in zijn eenvoudigstevorm:

waaraan inderdaad als oplossing voldoet

De afleiding van differentiaalvergelijkingen en het na-denken over eigenschappen van oplossingen hiervan isoverigens een belangrijk onderdeel van dit type modelle-ren. Voor het modelleren van een hangbrug kunnen hier-bij verschillende wegen bewandeld worden. Een meernatuurkundige aanpak gebruikt het gegeven dat een ket-ting zó hangt dat de potentiële energie minimaal is. Voorde potentiële energie van een hangende ketting met uni-forme dichtheid ρ en ophangpunten bij x = -a en x = akunnen we de volgende uitdrukking opschrijven (metvalversnelling g):

Voor het minimaliseren van deze integraal passen we devergelijkingen van Euler-Lagrange toe:

d2y

dx2-------- dh

dx------ 1

c---= =

d2y

dx2-------- dh

dx------ dh

dl------ dl

dx------⋅ 1

c--- 1 dy

dx------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2+= = =

y″ 1c--- 1 y′( )2+=

y″ 1 y′( )2+=

y x( )cosh ex e x–+

2--------------------= =

Epot ρ g y 1 y′( )2+ xd

a–

a

∫⋅ ⋅=


Voor ons probleem geldt:

Toepassing van het Euler-Lagrange formalisme geeftdan:

Aan weerszijden vermenigvuldigen met y’ en herschrij-ven leidt tot de differentiaalvergelijking

Integratie aan weerszijden levert, voor het geval y(0) = 1en y’(0) = 0, na wiskundig uitwerken de volgende diffe-rentiaalvergelijking op:

Samen met de eerdergenoemde differentiaalvergelijking

krijgen we dan de vergelijking

Ondertussen hebben we al veel differentiaalvergelijkin-gen gevonden waar de kettinglijn aan moet voldoen enonder de gedane veronderstellingen is y = cosh(x) steedsde oplossing.

Dynamische modelleersoftware biedt uitkomst wanneerde differentiaalvergelijkingen niet analytisch oplosbaarzijn, of het analytisch oplossen buiten bereik van leerlin-gen valt. Figuur 15 is een schermafdruk van een grafischmodel in Coach 6 dat een beginwaardenprobleem repre-senteert. De betekenis van de iconen is vergelijkbaar metdie in andere systeemdynamische software zoals Power-sim en STELLA: er bestaan iconen voor toestandsvariabe-len (rechthoeken), stroomvariabelen (dubbele pijlen meteen driehoek in het midden), hulpvariabelen (cirkels),constanten (cirkels met ‘handvaten’), relaties (enkelepijl), en voor het specificeren van beginwaarden (gestip-pelde pijlen). Een stroompijl begint of eindigt altijd ineen toestandsvariabele en geeft (een deel van) de veran-dering van de toestand aan. De inkomende relatiepijlenvan een variabele worden gebruikt om expliciet in hetgrafische model aan te geven waar deze variabele van af-hangt. De gele sticker in de schermafdruk, die alleen te-voorschijn komt als je de cursor een tijdje boven heticoon houdt, toont de formule die de verandering van dehelling specificeert ( ).

Samengevat geef je via het grafische model op welkegrootheden in het wiskundige model een rol spelen (metonderscheid tussen parameters, rekengrootheden en toe-standsvariabelen), hoe ze van elkaar afhangen, welke for-

mules voor grootheden precies gebruikt worden en welkewaarden de constanten hebben. Het grafische modelwordt automatisch vertaald naar een stel vergelijkingendie op hun beurt gebruikt worden in een computersimu-latie van het model. In ons voorbeeld is c = 1 en y(0) = 1;dan benadert de berekende numerieke oplossing de exac-te oplossing y = cosh(x). De grafiek in figuur 15 illustreertdit. Dit voorbeeld van computermodellering en anderevoorbeelden in dit artikel wekken overigens de terechteindruk dat bij een gegeven wiskundig model nog ver-schillende manieren van computermodellering door leer-lingen mogelijk zijn, zelfs bij inzet van alleen een grafi-sche modelleeromgeving.

fig. 15 Coach-model van een beginwaardenprobleem

Interpreteren en valideren van het wiskundige modelIn zijn oratie aan de Wageningen Universiteit (Molenaar,2007) noemt Jaap Molenaar twee zaken van belang voorde ‘kwaliteit’ van een model. Hij noemt een model ‘goed’als (1) het model de beschikbare waarnemingen goed be-schrijft en (2) het model voorspellingen mogelijk maaktdie, na verificatie, goed blijken te kloppen. Tevens merkthij op, onder verwijzing naar de methode van data fitting,dat de ‘voorspelkracht’ vele malen zwaarder weegt dande ‘beschrijfkracht’. Wat het eerste punt betreft: de con-frontatie van het wiskundige model en de werkelijkheidvan hangende kettingen en hangbruggen is in de gekozenopbouw van een praktische opdracht over modellerenvan bruggen en bogen bijna nooit uit het oog geweest.Bijvoorbeeld, bij de uitwerking van het wiskundige mo-del voor een hangende ketting in de vorm van een com-putermodel (figuur 12) hebben we de uitkomsten van eenmodelberekening al gelijk vergeleken met de metingenop de betreffende halsketting. Voor de Golden Gate-brugis een vergelijking van model en meting (in gerectificeer-de digitale foto) te zien in figuur 16. Dit grafische com-putermodel is gebaseerd op een model van de draagkabelvia kmax rechte schakels waarvan de knikpunten op vastehorizontale afstand van elkaar liggen opdat de parabool-vorm, zoals we inmiddels weten, ontstaat.

De voorspelkracht van het wiskundige model zit vooral inruime toepasbaarheid van de gekozen aanpak. Stel dat weinteresse hebben in de wiskundige vorm van een hangen-de ketting waaraan in het laagste punt nog een hangertje

δ F x y y′, ,( ) xdx1

x2

∫ 0 ddx------F∂y′∂

-------⎝ ⎠⎛ ⎞ F∂

y∂------ 0⇒–⇒=

F x y y′, ,( ) y 1 y′( )2+=

y y″⋅ 1 y′( )2+=

y′ y″⋅

1 y′( )2+--------------------- y′

y----=

y 1 y′( )2+=

y″ 1 y′( )2+=

y″ y=

1c--- 1 h2+


hangt, dan kunnen we deze situatie modelleren door uit tegaan van een serie gewichten op gelijke afstand langs eenkoord waarvan alle gewichten even zwaar zijn op eentjena: in het laagste punt hangt een zwaarder gewicht. Metdezelfde redenering over krachten en krachtenevenwich-ten kunnen we dan te werk gaan. Hetzelfde geldt als wede wiskundige vorm willen bepalen van twee touwenwaaraan een schommelstoeltje hangt dat minder breed isdan de onderlinge afstand van de ophangpunten. In dezefase van modelleren is de belangrijkste competentie voorleerlingen om oplossingen en oplossingsmethoden die zevoor een speciaal geval gevonden hebben te generalise-ren.

fig. 16 Coach-programma voor de Golden Gate hangbrug

De voorspelkracht van ons model komt ook tot uiting inde mogelijkheden die verworven zijn om bij gegevenlengte van een ketting en bij gegeven afstand tussen tweeophangpunten de ‘doorhang’ van de hangende ketting tebepalen of om bij een hangbrug met een hoofdoverspan-ning van gegeven lengte en pylonen van gegeven hoogtede lengte van de draagkabel te bepalen.

Leerlingen geven blijk van een goed kunnen interprete-ren van wiskundige resultaten in de reële context doortoepasselijk wiskundig taalgebruik. Dit houdt bovendienin dat ze niet alleen getallen of formules als wiskundigeoplossingen zien, maar ook grafieken of computermodel-len.

Validering van een model betekent met name het verge-lijken van resultaten met metingen en observaties en eenkritisch kijken naar het eigen wiskundig handelen en naarde gevonden oplossingen. Een modelleur moet het lefhebben om vragen te stellen bij het eigen modelleerpro-ces, te reflecteren op veronderstellingen en implicatieshiervan, en zonodig veranderingen in het model aan tebrengen of alternatieven te proberen. Dit vergroot de kansop succes. Voor onderwijs in modelleren betekent dit datleerlingen in hun werk de kans moeten krijgen deze facet-ten van modelleren onder ogen te krijgen. Zo leren ze dekracht en beperkingen van modellen kennen en wordt eenwerkhouding gestimuleerd waarin het normaal gevondenwordt om van fouten te leren en actief op zoek te zijn naaralternatieven.

Conclusie

Ik hoop de volgende doelen gerealiseerd te hebben:• Het misverstand over de wiskundige vorm van han-

gende kettingen en hangbruggen is weggenomen: hetverschil tussen parabool en kettinglijn is duidelijk.

• Het voorbeeld van modelleren van bruggen en bogenillustreert goed dat bij modelleren van realistischeproblemen verschillende methoden van aanpak en tal-loze middelen inzetbaar zijn, variërend van al experi-menterend aan de slag zijn of met een computermodelin de weer zijn tot algebraïsch/analytisch formulerenen met pen en papier oplossen. Ik onderschrijf de con-clusie van Bert Zwaneveld (2006) dat de aanpak bijelk modelleerprobleem de belangrijkste stap is en datje daarbij moet durven iets te proberen.

• Het idee dat de modelleercyclus van Blum en Leißhouvast kan bieden bij het structureren en ontwerpenvan een modelleeropdracht voor leerlingen is goedovergekomen.

• Aannemelijk is gemaakt dat ICT inderdaad het arse-naal van mogelijkheden voor een leerling zinvol ver-ruimt met het oog op experimenten uitvoeren, hypo-thesen onderzoeken en ‘wat als’-vragen beantwoor-den. Met een computermodel kan een leerling naarmijn mening vaak ook weer dicht terugkomen bij deconcrete context waar het allemaal mee begon, zekerals modeluitkomsten vergeleken kunnen worden metexperimentele gegevens. Het toetsen van een modelaan de werkelijkheid hoort volgens mij een vanzelf-sprekend onderdeel van de activiteiten door leerlin-gen te zijn. Coach biedt uitstekende mogelijkhedenom experimenteren en modelleren aan elkaar te kop-pelen in zinvolle en in praktijk uitvoerbare leerlingac-tiviteiten.

• Het artikel heeft de notie versterkt dat in simpel ogen-de problemen heel veel interessante wis- en natuur-kunde zit die voor VWO-leerlingen met behulp van ICTzowel toegankelijk als uitdagend is. Het verband tus-sen wiskunde in theorie en praktijk kan hiermee goedduidelijk gemaakt worden.

André Heck,Amstel Instituut, Universiteit van Amsterdam

De auteur wil zijn collega’s Leendert van Gastel en PeterUylings danken voor de vruchtbare discussies over mo-dellering van ankerkettingen, halskettingen en hangbrug-gen

Literatuur

Blankespoor, J. (2007). Wiskunde D Toegepaste analyse2 HAVO. Nieuwe Wiskrant 26(4), 7-10.

Blomhøj, M. & T.H. Jensen (2003). Developing mathe-matical modeling competence: conceptual clarifica-tion and educational planning. Teaching Mathematics


Ingezonden brief Geachte redactie van de Nieuwe Wiskrant,

In het nummer van deze maand, 26.4, staat op bladzijde8 een tamelijk oude aanpak van ‘het fileprobleem’. Toenik deze aanpak de eerste keer (1980?) las, vond ik het eenleuke toepassing van differentiëren. De uitkomst vond ikechter meteen al onwaarschijnlijk. De gevonden optimalesnelheid is aanmerkelijk lager dan je vanuit de dagelijksepraktijk zou verwachten.

Reden om eens naar de randvoorwaarden te kijken:Automobilisten houden bij filerijden een veel kortere af-stand aan dan de remweg die in de formule berekendwordt. De gegeven formule berekent de afstand die deauto aflegt vanaf het moment dat de chauffeur begint teremmen tot het moment dat de auto stilstaat. Deze afstandis van belang bij het remmen voor een stilstaand object.Bij filerijden bewegen echter alle auto's!Veilig Verkeer Nederland heeft daarom een realistischeaanpak gekozen: "Houd 2 seconden afstand".

UItgaande van deze regel wordt het bepalen van het aan-tal auto's dat per minuut een bepaalde teller passeert veeleenvoudiger.Als we de tijd nodig voor de auto zelf om het meetpunt tepasseren met ta aanduiden dan is per auto de virtuele pas-

seertijd tv = ta + 2, met ta = 4/v, waarbij v voor het gemakgekozen is in m/sec, dan geldt dus: N = 6o/tv. (Uitgaandevan de maximum snelheid van 120 km/uur heeft een snel-weg dan een maximumcapaciteit van 28.3 auto's per baanper minuut, ofwel 1698 auto's per baan per uur.)

Het is al weer enige tijd geleden dat ik actief was in hetwiskundeonderwijs, maar ik denk dat een 3HAVO/VWOleerling al kan zien dat tv een dalende functie is en dus Neen stijgende. Dit via differentiëren vaststellen zou nogalgeforceerd zijn.

Bij het googlen op "Houd 2 seconden afstand", kwam ikonder andere terecht bij de eindexamenopgave wiskundeB1-2 havo 2006-I.Vraag 1 gaf me goede moed, maar vraag 2, 3 en 4 haddengeen enkel verband met die eerste vraag. Sterker nog, alsje ter controle bij de doorstroming bij vraag 2 (q =3272.73) de daarbij behorende onderlinge afstand in se-conden wilt berekenen, vind je tv = (3600/3273.73) = 1.1seconden. Dit komt bij ta = 0.2 seconden neer op een on-derlinge afstand van 0.9 seconden! Na vraag 1 ga je dantoch twijfelen aan je antwoord.

Realistische wiskunde heb ik altijd toegejuicht, maar naarmijn mening is hiervan geen sprake bij bovenstaandevoorbeelden. Ik hoop dan ook dat het eerste voorbeeldniet opgenomen gaat worden in de boeken bij Wiskunde

and its Applications 22(3), 123-139.Blomhøj, M. & T.H. Jensen (2007). What’s all the fuss

about competencies? Experiences with using a com-petence perspective on mathematics education to de-velop the teaching of mathematical modelling. In: W.Blum, P.L. Galbraith & M. Niss (red.) Modelling andapplications in mathematics education. The 14thICMI Study, New ICMI Study Series, Vol. 10. NewYork: Springer.

Blum, W. & D. Leiß (2005).‘Filling up’ – the problem ofindependence-preserving teacher interventions in les-sons with demanding modeling tasks. In: M. Bosch(red.) Proceedings of the 4th European Congress ofMathematics Education, 1623-1633http://ermeweb.free.fr/CERME4

Borromeo Ferri, R. (2006). Theoretical and empirical dif-ferentiations of phases in the modeling process. Zen-tralblatt für Didaktik der Mathematik 38(2), 86-95.

Craats, van de J. (1999). Hoe hangt een ketting. NieuweWiskrant, 19(1), 32-36.

Galbraith, P. & G. Stillman (2006). A Framework forIdentifying Student Blockages during Transitions inthe Modelling Process. Zentralblatt für Didaktik derMathematik, 38(2), 143-162.

Hart, K.P. (1999). De kettinglijn. Pythagoras, 39(2), 28-29.Heck, A. (2004). Met een schuine blik. Nieuwe Wiskrant,

23(3), 29-32.Heck, A. & Holleman, A (2004). A Practical Investiga-

tion Task with the Computer at Secondary School:Bridges and Hanging Chains. Extended paper in: M.Borovcnik, H. Kautschitsch (eds.) Electronic Procee-dings of ICTMT5 in Klagenfurt, Vienna: öbv&hpt,2004. ISBN 3-209-03849-X (cd-rom).

Huygens, C. (1646). De Catena pendente. In: La Sociétéholandaise des sciences (red.) Oeuvres complètes deChristiaan Huygens (1888) Tome XI, chap. VI, 51-68. http://gallica.bnf.fr

Kaiser, G. & Sriraman, B. (2006). A global survey of in-ternational perspectives on modelling in mathematicseducation. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik,38(3), 302-310.

Maaß, K. (2006). What are modeling competencies? Zen-tralblatt für Didaktik der Mathematik, 38(2), 113-142.

Molenaar, J. (2007). De kracht van wiskundig modelle-ren. Oratie uitgesproken op 21 juni 2007 in de Aulavan Wageningen Universiteit.

Savelsbergh, E. et. al (2007). Modelleren in de ß-vakken:Kennis in uitvoering. Advies aan de gezamenlijke ß-vernieuwingscommissies. Utrecht: Centrum voor Di-dactiek van Wiskunde en Natuurwetenschappen.

Zwaneveld, B. (2006). Modelleren op verschillende ni-veaus. Euclides, 82(3), 89-91

Ingezonden brief Geachte redactie van de Nieuwe Wiskrant,

In het nummer van deze maand, 26.4, staat op bladzijde8 een tamelijk oude aanpak van ‘het fileprobleem’. Toenik deze aanpak de eerste keer (1980?) las, vond ik het eenleuke toepassing van differentiëren. De uitkomst vond ikechter meteen al onwaarschijnlijk. De gevonden optimalesnelheid is aanmerkelijk lager dan je vanuit de dagelijksepraktijk zou verwachten.

Reden om eens naar de randvoorwaarden te kijken: Au-tomobilisten houden bij filerijden een veel kortere af-stand aan dan de remweg die in de formule berekendwordt. De gegeven formule berekent de afstand die deauto aflegt vanaf het moment dat de chauffeur begint teremmen tot het moment dat de auto stilstaat. Deze afstandis van belang bij het remmen voor een stilstaand object.Bij filerijden bewegen echter alle auto’s! Veilig VerkeerNederland heeft daarom een realistische aanpak gekozen:‘Houd 2 seconden afstand’.

Uitgaande van deze regel wordt het bepalen van het aan-tal auto’s dat per minuut een bepaalde teller passeert veeleenvoudiger. Als we de tijd nodig voor de auto zelf omhet meetpunt te passeren met ta aanduiden dan is per autode virtuele passeertijd tv = ta + 2, met ta = 4/v, waarbij vvoor het gemak gekozen is in m/sec, dan geldt dus: N =6o/tv. (Uitgaande van de maximumsnelheid van 120 km/uur heeft een snelweg dan een maximumcapaciteit van

28.3 auto’s per baan per minuut, ofwel 1698 auto’s perbaan per uur.)

Het is al weer enige tijd geleden dat ik actief was in hetwiskundeonderwijs, maar ik denk dat een 3 HAVO/VWO-leerling al kan zien dat tv een dalende functie is en dus Neen stijgende. Dit via differentiëren vaststellen, zou nogalgeforceerd zijn.

Bij het googelen op ‘Houd 2 seconden afstand’, kwam ikonder andere terecht bij de eindexamenopgave wiskundeB1-2 HAVO 2006-I. Vraag 1 gaf me goede moed, maarvraag 2, 3 en 4 hadden geen enkel verband met die eerstevraag. Sterker nog, als je ter controle bij de doorstromingbij vraag 2 (q = 3272.73) de daarbij behorende onderlin-ge afstand in seconden wilt berekenen, vind je tv = (3600/3273.73) = 1.1 seconden. Dit komt bij ta = 0.2 secondenneer op een onderlinge afstand van 0.9 seconden! Navraag 1 ga je dan toch twijfelen aan je antwoord.

Realistische wiskunde heb ik altijd toegejuicht, maar naarmijn mening is hiervan geen sprake bij bovenstaandevoorbeelden. Ik hoop dan ook dat het eerste voorbeeldniet opgenomen gaat worden in de boeken bij WiskundeD (tenzij er een kritische kanttekening bij wordt ge-maakt).

Uw reactie met belangstelling tegemoetziend,groet ik u, hoogachtend,

J.N.S. Calis

modelleren van bruggen en bogen - universiteit utrecht · 2011. 7. 6. · van een parabool en een...

Documents