modellezés és tervezés c. tantárgy

Modellezés és tervezés c. tantárgy

Óbudai EgyetemNeumann János Informatikai Kar

Intelligens Mérnöki Rendszerek Intézet

Mérnöki Informatikus MSc

4. Előadás

A geometria leírása modelltérben2/2. rész

Dr. Horváth László egyetemi tanár

http://nik.bmf.hu/lhorvath/

Tartalom

Racionális B-szplájn görbék

B szplájn görbék tulajdonságai

Dr. Horváth László OE-NIK-IMRI http://nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

B szplájn görbék

P(u) a B-szplájn görbe analitikus definiciója

P = Pii=1

n

u N ui k ,

ahol a vezérlőpontok

P :i = 1, .. . ,i n

A szegmensek rendűsége k, fokszáma k-1

Ni,k(u)B-szplájn alapfüggvény:

B-szplájn alapfüggvények hatása



A racionális polinomok alkalmasak analitikus görbék egzakt leírására is.

A paraméteres leíró függvényeket két polinom arányaként adják meg.

A függvény a súlyozástól függően leírhat egyenest, ellipszist, parabolát vagy hiperbolát.

A racionális függvényekkel leírt görbék egyik előnye a jó lokális (helyi) módosíthatóság.

A racionális B-szplájnok egyeduralkodóvá váltak.

A gyakorlatban a nem-egyenközű, racionális B-szplájn (NURBS, non-uniform, rational B-spline) görbék és felületek alkalmazása terjedt el.

A NURBS az egységes geometria alapvető matematikai leírásává vált.



A háromdimenziós Euklideszi tér

( )P x y z, ,

pontjának a négydimenziós homogén térben a

( )Q wx wy wz w ww = , ahol , , , ³ 0

leírás felel meg.

A w a homogén koordináta, amelyet súlyozásnak is nevezünk.



A homogén koordináták a racionális B-szplájnokleírásánál.

Q u N u Vwi k

i

n

iw

,

0

ahol Q w (u) a görbe pontja négydimenziós homogénkoordinátákkal kifejezve:

Q u w u w u w u wwx y z , , ,

Ni,k (u) a szplájn alapfüggvény, V pedig a vezérlőpont anégydimenziós homogén térben:

VV

wV w Vi

iw

iiw

i i ahonnan



A görbe pontját a háromdimenziós térben az első háromkoordinátának a homogén koordinátával való elosztásával kapjukmeg:

xw

w

yw

w

zw

w

x

y

z

Ezután a racionális B-szplájn görbe függvénye

Q u

N u w V

N u V

i ki

n

i i

i ki

n

i

= ,

,

0

0



Nem-egyenközű recionális B-szplájn görbe:Valamennyi alak leírására

Analitikus alak egzakt (nem közelítő!)

Az alakmodellezésben egyeduralkodóvá vált (CAD/CAM rendszerekben is)

A racionális B-szplájn görbéket a csomóvektor és a súlyvektor jellemzi. Például öt vezérlőpontot közelítő görbe csomóvektora

0000122222és w súlyvektora

[1, 4, 1, 1, 1

Analitikus görbék leírásánál a w értéke meghatározza, hogy egyenes, ellipszis, parabola vagy hiperbola az adott szegmens.


modellezés és tervezés c. tantárgy

Documents