modelli statistici per l’ecologia -...

ModelliModelli StatisticiStatistici per per

ll’’EcologiaEcologia

Monica Monica MusioMusioMaster in Master in ComunicazioneComunicazione delladella ScienzaScienza

Cagliari 24 Cagliari 24 febbraiofebbraio 20092009

LL’’universo universo èè un grandissimo libro che continuamente un grandissimo libro che continuamente

ci sta aperto innanzi agli occhi ci sta aperto innanzi agli occhi ……, ma non si può , ma non si può intendere se prima non sintendere se prima non s’’impara a intender la lingua, e impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, neconoscer i caratteri, ne’’ quali quali èè scritto. Egli scritto. Egli èè scritto in scritto in lingua matematica, e i caratteri sono triangoli, cerchi, lingua matematica, e i caratteri sono triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi èèimpossibile a intenderne umanamente parolaimpossibile a intenderne umanamente parola........

Galileo Galileo Galileo Galileo Galileo Galileo Galileo Galileo GalileiGalileiGalileiGalileiGalileiGalileiGalileiGalilei (1564 (1564 (1564 (1564 (1564 (1564 (1564 (1564 -------- 1642) 1642) 1642) 1642) 1642) 1642) 1642) 1642)

LLe scienze non tentano di spiegare, nemmeno tentano e scienze non tentano di spiegare, nemmeno tentano di interpretare; le scienze creano soprattutto dei di interpretare; le scienze creano soprattutto dei modelli. Per modello si intende una costruzione modelli. Per modello si intende una costruzione matematica che, con l'aggiunta di determinate matematica che, con l'aggiunta di determinate interpretazioni verbali, descrive i fenomeni osservati. interpretazioni verbali, descrive i fenomeni osservati. La giustificazione di una tale costruzione matematica La giustificazione di una tale costruzione matematica sta esclusivamente e precisamente nel fatto che ci si sta esclusivamente e precisamente nel fatto che ci si aspetta che funzioni.aspetta che funzioni.

JohnJohnJohnJohnJohnJohnJohnJohn von Neumannvon Neumannvon Neumannvon Neumannvon Neumannvon Neumannvon Neumannvon Neumann (1903(1903(1903(1903(1903(1903(1903(1903--------1957)1957)1957)1957)1957)1957)1957)1957)

RealtRealtRealtRealtàààà

PercezionePercezionePercezionePercezione IdealizzazioneIdealizzazioneIdealizzazioneIdealizzazione ModelliModelliModelliModelli

ParadigmaParadigmaParadigmaParadigma realtrealtrealtrealtàààà ��modellimodellimodellimodelli

RealtRealtRealtRealtàààà e percezionee percezionee percezionee percezione

Richiami sui modelli

matematici

Partiamo dal Calcolo delle

Probabilità…

…e dalla Statistica

– Cos’è l’Ecologia ?

– Modelli statistici:

• Applicazione:

– la foresta di

Baden-Württemberg

Modelli matematiciModelli matematici

•• Un modello matematico Un modello matematico èè la la rappresentazione rappresentazione

formale formale di un fenomenodi un fenomeno. .

•• Non esiste una via univoca dalla realtNon esiste una via univoca dalla realtàà alla alla

matematica: il fenomeno specifico non determina la matematica: il fenomeno specifico non determina la

““suasua”” rappresentazione matematica; rappresentazione matematica;

•• Il matematico traduce in formule Il matematico traduce in formule idee idee e e conoscenzeconoscenze

relative al fenomeno percepito;relative al fenomeno percepito;

•• Schematicamente abbiamo due tipi di modelli:Schematicamente abbiamo due tipi di modelli:

–– deterministicideterministici; ;

–– probabilistici e statistici.probabilistici e statistici.


•• Modelli Modelli deterministicideterministici: :

–– processi in cui processi in cui l'evoluzione del sistema l'evoluzione del sistema èèdeterminatadeterminata in modo univoco dallo stato iniziale del in modo univoco dallo stato iniziale del sistema stesso sistema stesso proprietproprietàà comunemente ammessa per i sistemi meccanici comunemente ammessa per i sistemi meccanici macroscopici;macroscopici;

•• In genere si sceglie un In genere si sceglie un modello modello probabilistico/statistico probabilistico/statistico se:se:

la complessitla complessitàà del sistema del sistema èè tale per cui tale per cui non non èè possibile possibile applicare uno schema applicare uno schema deterministicodeterministico;;

non si conoscono le leggi che governano il funzionamento del non si conoscono le leggi che governano il funzionamento del sistema.sistema.


•• il moto di una palla può essere descritto secondo un il moto di una palla può essere descritto secondo un

modello modello deterministicodeterministico::

•• se conosco la velocitse conosco la velocitàà, il punto e la direzione in cui la , il punto e la direzione in cui la

colpisco, attraverso semplici leggi fisiche posso colpisco, attraverso semplici leggi fisiche posso

prevederne la traiettoria.prevederne la traiettoria.

Il confine tra i due modelli Il confine tra i due modelli

non non èè coscosìì netto. Si pensi netto. Si pensi

al semplice esempio di un al semplice esempio di un

tavolo da biliardo: tavolo da biliardo:


–– Se invece sul tavolo ho molte palline, allora:Se invece sul tavolo ho molte palline, allora:

•• Aumenta la complessitAumenta la complessitàà del sistema e non riesco del sistema e non riesco

pipiùù semplicemente a descriverne le traiettorie;semplicemente a descriverne le traiettorie;

•• alcuni fattori fondamentali diventano alcuni fattori fondamentali diventano

incontrollabili; incontrollabili;

•• Utilizzo un modello probabilistico.Utilizzo un modello probabilistico.

Non esiste alcuna differenza intrinseca aNon esiste alcuna differenza intrinseca a--priori tra priori tra

fattori aleatori e fattori fattori aleatori e fattori deterministicideterministici ......

–– perchperchéé ogni elemento aleatorio resta tale ogni elemento aleatorio resta tale finchfinchèè le le

nostre conoscenze al suo riguardo non sono nostre conoscenze al suo riguardo non sono

cresciute a sufficienza.cresciute a sufficienza.

Esempio: Esempio:

dove colpirdove colpiràà

l`arciere ?l`arciere ?

–– Non Non èè possibile usare un possibile usare un modello modello deterministicodeterministico

in quanto troppe sono le variabili in gioco in quanto troppe sono le variabili in gioco

(condizioni (condizioni psicopsico--fisiche del lanciatore, direzione fisiche del lanciatore, direzione

del vento, distanza del bersaglio etc...).del vento, distanza del bersaglio etc...).

ProblemaProblema: prevedere il : prevedere il punto di impatto della punto di impatto della freccia sul bersaglio.freccia sul bersaglio.

Esempio: dove colpirEsempio: dove colpiràà làrciere ?làrciere ?

–– Se però ci rifacciamo Se però ci rifacciamo allallèsperienza passata, ossia se èsperienza passata, ossia se

consideriamo una consideriamo una successione sufficientemente lungasuccessione sufficientemente lunga

di risultati di lanci precedenti, possiamo costruire un di risultati di lanci precedenti, possiamo costruire un

modello modello statisticostatistico che ci consenta di prevedere, con una che ci consenta di prevedere, con una

certa certa probabilitprobabilitàà,, lìmpatto.lìmpatto.

Caso e Probabilità

– Il caso ha sempre affascinato l’umanità. Secondo la mitologia greca, il mondo iniziò quando I tre fratelliZeus, Poseidone e Ade si giocarono l’Universo a dadi.

• I greci non credevano esistesse una strutturanegli eventi del caso. Vedevano il caso come l’assenza assoluta di ordine.– “E’ in tutta evidenze ugualmente folle accettare un ragionamento probabile da un matematico e richiedereuna dimostrazione ad un retorico”.

AristoteleAristoteleAristoteleAristotele

Calcolo delle Probabilità

• 1654 nascita del Calcolo delleProbabilità in seguito ad uno scambio epistolare tra due celebri matematici francesi Blaise Pascal e Pierre de Fermat;

• Problema dei punti: in che modo due giocatori dovrebbero dividersi la posta se fosse necessario abbandonare il gioco prima del termine della partita ?


Prima del Medioevo si pensava che gli eventi che non

fossero in qualche modo predeterministici sfuggissero ad

ogni possibilità di analisi razionale.

• Con la nascita del calcolo delle probabilità nasce

anche la nostra moderna visione del futuro:

– non è più visto come qualcosa di completamente imprevedibile,

ma si è in grado di “pianificarlo”.

– La capacità di calcolare le probabilità trasformò la pratica della

statistica: dalla mera raccolta di dati si passò all’uso di

quest’ultimi per tracciare inferenze e prendere decisioni.

Statistica

DescrittivaDescrivere e sintetizzare

l’informazione

di un insieme di dati

InferenzialeEstendere da un campione

proprietà riguardanti la

popolazione di provenienza


• Calcolo delle Probabilità: – nota la distribuzione di probabilità che regola un

fenomeno prevedere il risultato di un esperimento;

– Il calcolo delle probabilità è una disciplina matematica.

• Statistica inferenziale: – partendo da un campione osservato, supposto generato

da una certa distribuzione di probabilità non nota, trarre informazioni su tale distribuzione.

Inferenza statistica

=

(Probabilità)-1

• Dedurre il futuro sulla base del passato costituisce il problema filosofico insolubile dell’INDUZIONEINDUZIONE.

• Dunque… La statistica La statistica La statistica La statistica èèèè impossibileimpossibileimpossibileimpossibile !– e questo riflette il fatto che esistano numerose e diverse

scuole di pensiero su come condurre l’inferenza statistica.

Inferenza statistica

=

(Probabilità)-1

Il meteorologo non sbaglia mai. Se c’è l’80 % di probabilità di pioggia, e non piove, vuol dire che siamo nel 20 %.

Saul BarronLa statistica: l’unica scienza che permette a esperti diversi, usando gli stessi numeri, di trarne diverse conclusioni.

Evan EsarLe statistiche sono come i bikini. Ciò che rivelano è suggestivo, ma ciò che nascondono è più importante.

Aaron LevensteinQuando le regole della matematica si riferiscono alla realtà non sono certe – e quando sono certe non si riferiscono alla realtà.

Albert Einstein

Ci sono tre generi di bugie: Ci sono tre generi di bugie: Ci sono tre generi di bugie: Ci sono tre generi di bugie:

le bugie, le maledette bugie e le bugie, le maledette bugie e le bugie, le maledette bugie e le bugie, le maledette bugie e

le statistiche.le statistiche.le statistiche.le statistiche.

Benjamin DisraeliBenjamin DisraeliBenjamin DisraeliBenjamin Disraeli

Esempio dell` urna: X=numero di palline rosseestratte in n estrazioni con reimmissione;

p(X=x)=Cn,xθx(1- θ)n-x

–se non si conosce θ tale modello non può essere usato per la predizione;

La statistica inferenziale stabilisce come usarel`informazione contenuta in un campione di datiosservati per stimare tale valore.

(Χ, p(x,θ), Θ)

• X è la variabile casuale di interesse per la quale si

ipotizza la distribuzione di probabilità p(x,θ);

• θ parametro incognito.

Modello delle prove ripetute: X1,…,Xn variabili di

campione i.i.d. con distribuzione p(x,θ); tali variabili

vengono usate per “stimare” il parametro incognito θ.

Modello statistico

Modelli statistici: Modelli statistici:

regressioneregressione

• Consideriamo due variabili, per esempio il diametro (X) e il volume (Y) di un albero (misurato dopo l’abbattimento) ;– supponiamo di avere a disposizione n coppie di dati

(x1,y1),… (xn,yn);

• ci interessa specificare un modello chespieghi il volume (variabile risposta) come funzione del diametro (variabile di previsione, o regressore).

• Esiste una funzione f() tale che Y=f(X) ?

Modello di regressioneModello di regressione

• Qual’è il legame matematico tra Y e X? In altreparole, in quale legame funzionale, se esiste, (ad esempio, lineare o non lineare) stanno le due variabili studiate?

• Iniziamo con rappresentare graficamente i dati:

Y=aX+b

E’ evidente una forte relazione sostanzialmente di tipo lineare


linearelineare

• Y=aX+b

• Individuati a e b possiamo quindi stimareil valore di Y in corrispondenza di xi;

• Indichiamo tale valore con ŷi (valoreteorico);

• ŷi sarà in generale diverso dal valoreosservato yi . L’errore che commettiamoè: εi= |yi - ŷi|;


• εi errori casuali cioè variabili casuali che

rappresentano la deviazione della risposta dal

modello di regressione.

• Si ipotizza un modello probabilistico per la

distribuzione degli errori, solitamente si

considera il modello normale:

ε ~ N(µ, σ2)

• I parametri µ e σ2 sono incogniti: per poter

conoscere completamente il modello li

stimiamo ossia facciamo inferenza.


• Possibili estensioni della regressione lineare semplice:

– k variabili esplicative (diametro, età, specie, stato sociale,…);

– relazione tra variabili di tipo più complesso di quella lineare.

• Il modello lineare presuppone che le

osservazioni siano indipendenti.

• Questa assunzione è violata nella maggior parte delle

applicazioni ecologiche: le osservazioni sono infatti

spesso correlate spazialmente e temporalmente.

Vari tipi di dati

Spaziali

• Dati puntuali – dati che hanno una localizzazione puntuale come gli alberi in unaforesta o i nidi di uccelli in un albero.

• Dati Continui –dati i cui valori cambiano nellospazio come il gradiente delle precipitazioni o la temperatura.

• Dati di area – I dati possono essere separati in zone che differiscono per intensità come la densità del numero di specie in una certa area.

Esempi dei tre tipi di dati

spaziali

Dati di area

Processi continui

Dati puntuali

Come modellizare

tali dati ?

• Si assume che il legame tra i dati sia funzione della loro mutua

distanza: osservazioni effettuate su punti vicini presentano una

minore variabilità rispetto ad osservazioni distanti.

• Stimare la relazione spaziale tra i dati per prevedere il valore

assunto da una variabile in una posizione non campionata in base a

dei dati rilevati su punti vicini.

• Vari metodi a seconda della natura dei dati:

• Il valore incognito in un punto viene calcolato con una media pesata dei

valori noti, dove il peso dipende dalla distanza (kriging);

• usare una funzione sufficientemente regolare delle coordinate geografiche

(interpolazione spaziale).

CosCos’è’è ll’’ Ecologia ?Ecologia ?

• Il termine ecologia fu introdotto dal

biologo tedesco Ernst Haeckel nel 1866

– deriva dal greco oikos, cioè casa, ambiente

in cui vivere.

– L'ecologia, in termini generali, si occupa

dell'interazione tra gli organismi e il loro

ambiente nel più ampio senso possibile.

• Ecologia= scienza dell’ambiente


• Charles Krebs (USA, 1972): ``Ecologia è lo studio scientifico delle interazioni che

determinano la distribuzione e l'abbondanza

degli organismi''.

• L’ecologia integra varie discipline:

– Chimica

– Fisica

– Geologia

– Biologia


• Un sistema ecologico è un sistema

complesso.

• In generale i fenomeni fisici e chimici

possono essere spiegati da modelli

deterministici.

• Questo principio è raramente valido in

ecologia: si ricorre allora a modelli di

tipo statistico.

La La ForestaForesta come come EcosistemaEcosistema

Atmosfera

Suolo

PioggePiogge acideacide e e foresteforeste in in EuropaEuropa

..

• Deterioramento delle foreste osservato in Europa dal 1970. La foresta nera particolarmente colpita.

• Iniziano varie campagne di monitoraggio;

• Principali fattori responsabili del deterioramento sono:

deposito di sostanze inquinanti attraverso l’aria e la pioggia;

cambiamenti climatici;

influenze biotiche (pesti, attacchi di funghi o insetti).

La defoliazione degli alberi èun buon indicatore dei cambiamenti dell’ecosistema

ForestaForesta di Baden di Baden

WWürttembergrttemberg

• Cause: immissioni industriali– Caratteristiche geochimche del

suolo;

– Acidificazione del suolo;

– Spazzano via i macro nutrienti alcalini (Magnesio, Calcio e Potassio):

– Defoliazione/ deterioramento degli alberi; ingiallimento delle chiome

• Foresta nera: suolo naturalmente acido (granito) reazione più veloce;

• Alpi bavaresi: suolo naturalmente alcalino (calcare) reazione più lenta.



• Cause:cambiamenti climatici

– Determinano, a breve termine, uno

stress sugli alberi;

– rendono la foresta più vulnerabile e

soggetta ad attacchi di pesti, insetti

e funghi;

– defoliazione/ deterioramento degli

alberi; ingiallimento delle chiome.

• Testare diverse ipotesi sul processo che causa il deterioramento della foresta:

• Piogge acide �condizioni del suolo �macro nutrienti � deterioramento della chioma

• Clima estremo � aumento pesti �ingiallimento della chioma



• Obiettivo: costruire un modello che spieghi lo stato di salute/deterioramento della foresta in funzione di:

• variabili caratteristiche dell’albero (età, diametro, specie, stato sociale);

• variabili del suolo (geologia, tipo di suolo, altitudine, coordinate geografiche, elementi nutritivi, …);

• fattori biotici (pesti, attacchi di funghi insetti, ect);

• variabili climatiche (precipitazione, temperatura, evaporazione);

• Coordinate geografiche (longitudine, latitudine), orografia, variabili temporali (anno).



• Allo scopo di:

• Fare previsioni (prevedere

lo stato della foresta in anni

futuri o in zone non

campionate).

• Migliorare il programma di

monitoraggio: sono tutte le

variabili campionate

necessarie?

Informazioni sui dati

• La foresta è stata divisa in una griglia, con diversa risoluzione spaziale a secondadell’anno (4x4, 8x8, 16x16);

• In ogni maglia approssimativamente 24 alberisono stati campionati;

• Alcune di queste maglie fanno parte del programma Europeo Livello I;

• I dati analizzati sono 146898.

Disegno sperimentale

Ripartizione spaziale degli alberi

a seconda del loro stato di salute Ripartizione spaziale degli alberi

rispetto alla specie

Requisiti del modello

Il modello deve essere in grado di includere:

• Possibili effetti non lineari per variabili di tipo continuo (l’età, volume, temperatura, evaporazione);

• Iterazioni tra variabili ( specie-età, specie-altitudine, temperatura-posizione geografica…);

• Correlazione spaziale e spazio-temporale tra i dati;

• Inglobare informazioni provenienti da varie campagne di monitoraggio che possono avere diversarisoluzione spazio-temporale.

Il modello

• Yit= defoliazione media degli alberi nella griglia i

• nell’anno t , i = 1, ..., 1474, t= 1, ..., 22.

Yit = f(long, lat, anno)+g(età)+h(altitud)+l(Pr)+errore

• Gli errori si suppongono correlati spazialmente e temporalmente:

• Si tiene conto del fatto che la defoliazione sia funzione dalla regione e dalla posizione geografica dell’albero;

• Si tiene conto del fatto che la defoliazione nell’anno i-esimo èfortemente legate a quella nell’anno i-1.

Stima dell’effetto dell’età

Output del modello

Stima dell’effetto della precipitazione

Output del modello

Stima dell’effetto dell’altitudine.

Output del modello

Stima dell’effetto del tempo

Output del modello

Previsione temporale della defoliazione.

Output del modello

Output del modello

Previsione temporale della defoliazione.

Conclusioni

• L’ecosistema della foresta è danneggiato: a partiredal 2003 aumenta in maniera significativa la defoliazione;

• Le mappe di previsione spaziale produconoindicazioni su un probabile processo:– Inizialmente: inquinamento (le aree con un suolo povero di

risorse sono state colpite per prime).

– Recentemente: condizioni climatiche estreme.

– Effetto cumulato.

DomandeDomande …… commenti commenti

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