MODELLO DI

LOTKA-VOLTERRA Logistico

La risorsa (preda) in assenza di consumatori (predatore)si accresce in modo logistico

)(* tpAdt

dp diventa:

K

pmp

dt

dp1

pqK

pmp

dt

dp

1

pqDqdt

dq

Stati di equilibrio e diagramma delle fasi del modello Lotka-Volterra logistico

0dt

dp 01

pq

K

pmp

0 pqDq 0

dt

dq

0dt

dp

isocline della preda

01

pq

K

pm

K

pmq 1

0p

0dt

dq

isocline delpredatore

0)( qpD

0q

D

p

K

pmq 1

p

q

K

m

D

)0,0(1 P

)0,(3 KP

K

DmmDP

,2

1P

2P

3P

)0,0(1 P Corrisponde all’estinzione, cioè all’assenza simultanea delle prede e dei predatori

)0,(3 KP Corrisponde all’assenza dei predatori la risorsa (preda) ha come equilibrio la capacità portante

K

DmmDP

,2

Corrisponde alla coesistenza contemporaneadi prede e di predatori.

P2 esiste solo se: KD

Cioè se il predatore è sufficientemente efficace nell’interagire con la preda (D mortalità da fame: piccola, coefficiente di predazione: grande)

(dal grafico)

zona f1 f2

I < 0 < 0

II > 0 < 0

III > 0 > 0

IV < 0 > 0

0dt

dp

0dt

dp

0dt

dq

D

0dt

dq

I

IIIII

IV0

dt

dp

0)( pD

0dt

dq

K

pmq 1

01

pq

K

pm

dt

dp

zona dp/dt dq/dt

I < 0 < 0

II > 0 < 0

III > 0 > 0

IV < 0 > 0

I

II

IV

III

0dt

dp

0dt

dq

La isocline del predatore viene attraversataorizzontalmente:

0,,dt

dp

dt

dq

dt

dp

dt

dx

il verso dipende dal segno didtdp

La isocline della preda viene attraversata verticalmente

dt

dq

dt

dq

dt

dp

dt

dx,0,

il verso dipende dal segno di

dtdq

II

IIV

III

zona dp/dt dq/dt

I < 0 < 0

II > 0 < 0

III > 0 > 0

IV < 0 > 0

1P 3PK

2P

In assenza di prede (p=0), P1 è attrattivo i predatori si estinguono

In assenza di predatori (q=0), P3 è attrattivo le prede crescono raggiungendo la capacità portante

Se prede e predatori coesistono

P2 è stabile

P1 e P3 sono instabili

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.52

4

6

8

10

12

14

16Soluzioni del problema di Lotka-Volterra

tempo

popo

lazi

oni

preda

predatore

Piano delle fasi Soluzioni corrispondenti a diversi valori iniziali

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 203

4

5

6

7

8

9

10

11Prede e Predatori

Prede

Pre

dato

ri

P(0) = 6Q(0) = 10

Prede-Predatori - Modello Logistico

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Modello preda-predatore% Lotka-Volterra Logistico%% P'(t) = m* P(t)* (1-P(t)/K) - alpha * P(t)*Q(t) Prede% Q'(t) = - D Q(t) + Beta P(t)*Q(t) Predatori% P(0) = p0 Q(0) = q0%% m tasso di crescita della preda% alpha coefficiente di predazione della preda% D tasso di mortalità dei predatori% Beta coefficiente di predazione del predatore%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%clear all;global m alpha D Beta K

m=1;alpha=0.1;D=1;Beta=0.2;K=10;p0=6;q0=15;X0=[p0,q0]',options = odeset('OutputFcn',@odephas2);[t,X] = ode23s(@Volt,[0,10],X0,options);

figure(2)subplot(2,1,1),plot(t,X)title('Soluzioni del problema di Lotka-Volterra')xlabel('tempo'); ylabel('popolazioni')legend('preda','predatore')subplot(2,1,2),plot(X(:,1),X(:,2),'b',D/Beta,m/alpha,'o')

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Sistema Lotka-Volterra Logistico%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function F=Volt(t,z) global m alpha D Beta KF=[m*z(1)*(1-z(1)/K )- alpha*z(2)*z(1); -D*z(2) + Beta*z(1)*z(2)];return

La processionaria è un lepidottero che allo stato larvale si nutre delle foglie del pino causando anche ingenti defogliazioni; ma il problema forse più grave legato alla processionaria è rappresentato dai peli urticanti delle larve che possono creare problemi alle persone che frequentano i boschi di pino particolarmente infestati.

Prede e predatori nellaComunità montana dell’Oltrepò Pavese

Processionaria

Già a partire dagli anni 50 si è tentato di contenere la diffusione della processionaria del pino con sistemi di lotta biologica introducendo la formica rufa, un insetto predatore che si nutre anche delle larve di processionaria .

Esempio di applicazione del modello Lotka-Volterra (paradosso di Volterra)

Processionaria P Formica rufa F

PREDA PREDATORE

Parametri delle due popolazioni:

1000K

5m

10D

1.0

02.0

Capacità portante dell’insetto nocivo

Tasso di crescita della processionaria

Mortalità dell’insetto predatore (formica)

Tasso di predazione delle prede

Tasso di predazione dei predatori

PFK

PmP

dt

dP

1

PFDFdt

dF

processionaria

formica

PFP

Pdt

dP1.0

100015

PFFdt

dF02.010

Equazioni del modello

Equazionidi Lotka-Volterra (Logistico)

Si vuole determinare l’equilibrio stabile

Calcolo dello isocline:

01.01000

15

PF

PP

002.010 PFF

Isocline della preda

Isocline dei predatori

10001

1.0

5 PF

0P

02.0

10P

0F

Isocline della preda Isocline dei predatori

F

P

1P

25,

02.0

102P

2P

3P

0,01 P 0,10003 P

instabile instabilestabile

La situazione di equilibrio stabile corrisponde ad un elevato numerodi processionarie (500 prede) contro 25 formiche -predatori

Si supponga di intervenire con un insetticida letale tanto per le predequanto per i predatori.

1d 2d Mortalità indotta dall’insetticida

PdPFK

PmP

dt

dP11

FdPFDFdt

dF2

01 1

PdPF

K

PmP

02 FdPFDF

I nuovi punti di equilibrio saranno:

Isocline della preda

Isocline dei predatori

11

d

K

PmF

0P

2dDP

0F

Isocline della predain presenza di insetticida

Isocline del predatorein presenza di insetticida

Il nuovo punto di equilibrio stabile è:

2dD

P

250500 dP

11

d

K

PmF

21 5.21025 ddF

L’insetticida riduce i predatori e aumenta le prede nocive !

100 200 300 400 500 600 700 800 9000

5

10

15

20

25

30

35

40

45Piano delle fasi in assenza di insetticida

form

ica

processionaria

In assenza di insetticida le due popolazioni raggiungono l’equilibrio (500, 25)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Problema della processionaria e della Formica rufa in assenza di insetticida

tempo

dens

ità

processionariaformica

Dopo un iniziale incremento della preda, l’intervento del predatore portaad una diminuizione della preda che si assesta all’equilibrio (500)

380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 5800

5

10

15

20

25Piano delle fasi

processionaria

form

ica

Applicando l’insetticida il numero dei predatori diminuisce Nel lungo periodo si assiste ad un aumento della preda nociva

in presenza di insetticida

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

100

200

300

400

500

600

Problema della processionaria e della Formica rufa in presenza di insetticida

tempo

dens

ità

processionariaformica

Efficacia iniziale Valutazione errata sull’utilità dell’insetticida

Nel breve periodo l’insetticida sembra efficace e capace di eliminare rapidamente la preda infestante.

Il crollo parallelo del predatore permette alla popolazione preda di riprendersi, superando la densità iniziale.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Sistema % Lotka Volterrra Logistico

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function F=Proc(t,z) global m alpha D Beta K d1 d2F(1)=m*z(1)*(1-z(1)/K )- alpha*z(2)*z(1)-d1*z(1);F(2)=-D*z(2) + Beta*z(1)*z(2)-d2*z(2);F=F';return