Cap.5 MCC dinamica (2001) 31/03/01 14.21

5 DINAMICA DEI MOTORI A C.C.

5.1 Introduzione

Il regime transitorio dei motori a c.c. è caratterizzato da grandezze, sia elettriche chemeccaniche, variabili nel tempo. Esso è contrapposto al funzionamento in regime permanente,caratterizzato invece da grandezze costanti nel tempo. Il funzionamento transitorio si verificanel passaggio da una condizione di regime ad un’altra (un tipico esempio è l’avviamento delmotore). Poiché a ciascuna condizione di regime corrisponde una situazione di equilibrioenergetico, le fasi transitorie sono contraddistinte da uno squilibrio del bilancio energetico cheporta alla variazione delle grandezze di stato del sistema fino al recupero dell’equilibrio stessoad un nuovo livello energetico. Poiché le variazioni di energia, sia magnetica che meccanica,non possono avvenire istantaneamente, questo passaggio richiede del tempo, generando le fasidi funzionamento, appunto, transitorie (o dinamiche) del sistema.

Oggetto di questo capitolo è lo studio delle proprietà di funzionamento in regime transitorio(proprietà dinamiche) del motore a c.c., la cui conoscenza risulta essenziale per il progetto delleapplicazioni con sistema di controllo in catena chiusa1.

Per caratterizzare il funzionamento dei motori a c.c. in condizioni transitorie è necessarioconsiderarne il modello dinamico, richiamato al paragrafo successivo.

5.2 Modello dinamico della macchina a c.c.

Nello studio della dinamica del motore a c.c. si trascureranno gli effetti della saturazionemagnetica, che rende non lineare il legame tra le correnti ed i flussi di macchina.

In particolare, trascurando la saturazione magnetica non si ha alcun effetto della corrente diarmatura sul flusso di eccitazione2; il quale dipende esclusivamente dalla corrente di eccitazioneed è ad essa proporzionale:

( ) ( )tiLt eee =φ (5.1)

Ra

L e+

_

+

_

L a

R e+

_

va(t)

ia(t)

c(t)

ωr(t)

cr(t)

ie(t) ve(t)

e(t)

Fig. 5.1 – Motore con eccitazione indipendente

1 In tali applicazioni (servo–azionamenti) è richiesto il controllo delle fasi transitorie di funzionamento, in modo da ottenereelevate prestazioni dinamiche (quali la rapidità di risposta, l’assenza di sovra–elongazioni ed altre).2 Si trascura quindi anche la cosiddetta “reazione di armatura”, cioè la riduzione del flusso di eccitazione dovuto alla saturazionedel circuito magnetico causata dalla corrente di armatura.

64 Cap. 5 Dinamica dei motori a c.c.

Si consideri il motore a c.c. con eccitazione indipendente di Fig. 5.1 e si scrivano le equazionidifferenziali che descrivono l'equilibrio delle tensioni elettriche nei due circuiti3:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

++=

+=

tettiLtiRtv

ttiLtiRtv

aaaaa

eeeee

d

dd

d

(5.2)

La f.e.m. indotta è legata al flusso di eccitazione dalla:

( ) ( ) ( )ttkte ere φω= (5.3)

che dalla (5.1) si può esprimere:

( ) ( ) ( )titGte eraeω= (5.4)

essendo eeae LkG = .In base a questa posizione la (5.2) diventa:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++=

+=

titGttiLtiRtv

ttiLtiRtv

eraea

aaaa

eeeee

ωd

dd

d

(5.5)

Il precedente sistema può essere scritto in forma matriciale:

( )( ) ( )

( )( ) =

⋅

+

+=

titi

tLRtG

tLR

tvtv

a

e

aarae

ee

a

e

dd

dd

ω

0

( ) ( )( )

⋅

⋅

+⋅

+

=

titi

tGtL

LR

R

a

er

aea

e

a

e ω000

00

00

dd

(5.6)

( ) iKiLiRv ttω++=

dd

(5.7)

Per completare il modello dinamico è necessario associare alle equazioni elettriche (5.5)l’espressione della coppia elettromagnetica, che possiamo ricavare a partire da considerazionienergetiche come segue.

La totale potenza istantanea assorbita dalla macchina è pari a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) viT=+= titvtitvtp aaee (5.8)

Sostituendo la (5.7) nella (5.8), si ottiene:

3 Il motore in c.c. ad eccitazione indipendente fornisce il modello di macchina nella sua formulazione più generale. I modelli per lealtre tipologie di macchina (serie, parallelo, etc.) si ottengono da questo semplicemente introducendo i vincoli di alimentazionefissati dal caso specifico.

Modello dinamico della macchina a c.c. 65

( ) ( ) iKiiLiiRi tt

tp rTTT ω++=

dd

(5.9)

Quindi la potenza assorbita è pari alla somma di tre addendi che si vanno ad esplicitare:

- ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )tiRtiRtiti

RR

titi aaeea

e

a

eae

T 22

00

+=

⋅

⋅=iRi

rappresenta le perdite per effetto Joule negli avvolgimenti;

- ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )

ttW

tiLtiLtti

titL

Ltiti

tf

aaeea

e

a

eae

T

d

d

dd

dd

dd =

+=

⋅

⋅= 22

21

21

00iLi

rappresenta la variazione di energia magnetica ( )tW f associata ai due campi;

- ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tititGtiti

tk

titit aeraea

er

taer

T ωω000

ω =

⋅⋅

⋅=iKi

Poiché l'energia del sistema si deve conservare, quest'ultimo termine deve rappresentare laquota parte di energia elettrica trasformata in energia meccanica:

( ) ( ) ( ) ( )tititGtp aeraem ω= (5.10)

dalla quale è possibile calcolare la coppia sviluppata dal motore:

( ) ( )( ) ( ) ( )titiGttp

tc aeaer

m ==ω (5.11)

Si può ora scrivere l'ultima equazione differenziale che, assieme alle due precedenti,permette di descrivere l'intero sistema elettromeccanico:4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tDt

ttctitiGtc rr

raeae ωω ++==d

dJ (5.12)

essendo:- J il momento d'inerzia del motore più quello del carico;5

- D il coefficiente di attrito del motore più quello del carico;- cr la coppia resistente del carico.

L'intero sistema elettromeccanico è quindi descritto dal sistema di equazioni differenziali chederiva dalle (5.5) e dalla (5.12):

4 Nello scrivere la (5.12) si è trascurata l'elasticità dell'albero, descrivendo tutto il sistema meccanico con una sola velocità dirotazione ωr(t).5 Se la velocità del carico non è uguale a quella del motore per la presenza di un variatore di velocità, sia il momento di inerzia cheil coefficiente di attrito del carico devono essere riportati all'asse del motore.

66 Cap. 5 Dinamica dei motori a c.c.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−−=

++=

+=

tDtttitiGtc

titGttiLtiRtv

ttiLtiRtv

raeaer

eraea

aaaa

eeeee

ωω

ω

dd

dd

d

d

J

(5.13)

Lo studio della dinamica del motore a c.c. comporta quindi la risoluzione del sistema diequazioni differenziali (5.13) nelle variabili di stato correnti (di armatura ed eccitazione) evelocità. Il modello è non lineare per la presenza di prodotti tra le variabili di stato6.L’integrazione di tale modello in forma chiusa è possibile solo sotto alcune ipotesisemplificative, come nel caso del controllo ad eccitazione costante che vedremo nel seguito.Altrimenti è possibile integrare il sistema non lineare per via numerica.

5.3 Schema a blocchi del motore in c.c.

Dal modello (5.13) si può ricavare lo schema a blocchi del motore in corrente continua, utileper la risoluzione numerica del sistema di equazioni differenziale mediante software dedicati,oggi molto diffusi, quali il Simulink™ della MathWorks. In tali applicativi, il sistemadifferenziale può essere descritto in termini di schema a blocchi nel dominio del tempo, nel dominiodi Laplace7 oppure tramite il modello differenziale in forma di stato. In questo paragrafo sonoillustrati i primi due approcci, mentre la messa in forma di stato è presentata al paragrafo 5.4.

5.3.1 Schema a blocchi nel dominio del tempo

5.3.1.1 Avvolgimento di armatura

Mantenendo indicata la tensione indotta ed esplicitando la derivata della corrente diarmatura, l’equazione dell’avvolgimento di armatura si scrive:

( ) ( ) ( ) ( )tiLR

Ltetv

tti

aa

a

a

aa −−

=d

d(5.14)

che integrando i due membri fornisce

( )[ ] )()()()()( 01

0a

t

aaeaa

a ittiRtetvL

ti +−−= ∫ d (5.15)

Riguardando la corrente di armatura come l’uscita (effetto) e la differenza )()( tetv ea − comel’ingresso (causa), all’equazione integrale (5.15) corrisponde lo schema a blocchi in Fig. 5.2.

6 Si osservi come il sistema sia non–lineare benché si sia stato considerato lineare dal punto di vista magnetico, cioè si siatrascurata la saturazione.7 Ricordiamo che l’applicazione della trasformata di Laplace ad una equazione integro-differenziale consente di ottenere unaequazione algebrica, facimente risolvibile.

Schema a blocchi del motore in c.c. 67

∫

Ra

aL1

ia(t)va(t)

e(t)

ia(0)

blocco “armatura”

Fig. 5.2 - Schema a blocchi dell’avvolgimento di armatura nel dominio del tempo

5.3.1.2 Avvolgimento di eccitazione

Per l’avvolgimento di eccitazione si può procedere in modo analogo a quanto fatto perl’armatura, ottenendo l’equazione:

( ) ( ) ( )tiLR

Ltv

tti

ee

e

e

ee −=d

d(5.16)

da cui:

[ ] )()()()( 01

0e

t

eeee

e ittiRtvL

ti +−= ∫ d (5.17)

In questo caso la corrente di eccitazione è l’uscita e la tensione di eccitazione l’ingresso. Loschema a blocchi che si ricava è illustrato in Fig. 5.3.

ve(t)∫

Re

eL1

ie(t)

ie(0)

blocco “eccitazione”

Fig. 5.3 - Schema a blocchi dell’avvolgimento di eccitazione nel dominio del tempo

5.3.1.3 Schema a blocchi completo

Lo schema a blocchi completo del motore in c.c. ad eccitazione indipendente è illustrato inFig. 5.4. Esso si ricava considerando l’interazione tra le grandezze di armatura ed eccitazione,espresso dalle equazioni della tensione indotta (5.4) e della coppia (5.11), e considerando la

68 Cap. 5 Dinamica dei motori a c.c.

velocità ottenuta come uscita del sistema meccanico definito dalla (5.12). Nello schema sonoevidenziate le grandezze di ingresso ( )(),(),( tctvtv rea ) e di uscita ( )(),(),( ttiti rea ω ) del sistemacomplessivo.

ve(t) ie(t)blocco

“eccitazione”

ia(t)va(t)e(t)

blocco“armatura”

Gae

c(t)

blocco“sistema

meccanico”

ωr(t)

blocco “motore in c.c.ad eccitazione indipendente”

cr(t)

Fig. 5.4 - Schema a blocchi del motore in c.c. ad eccitazione indipendente

5.3.2 Schema a blocchi nel dominio di Laplace

Lo schema a blocchi del motore in c.c. ad eccitazione indipendente nel domino di Laplace(indicato con la variabile s) può essere facilmente dedotto da quello nel dominio del tempoconsiderando la proprietà della trasformata di Laplace dell’integrale di una funzione:

s

Ltf

t)(

)(s

dtF

⇒∫0

essendo F(s) la trasformata di Laplace della f(t)8.Applicando tale proprietà alle equazioni in forma integrale degli avvolgimenti di armatura

(5.15) e di eccitazione (5.17) si ottiene9:

si

sLsIRsEsVsI a

a

aaeaa

)()()]()([)(

0+

−−=

si

sLsIRsVsI e

e

eeee

)()()()(

0+

−=

che sviluppate per ricavare le correnti forniscono:

( ) )()]()([)( 0aaeaaaa iLsEsVRsLsI +−=+

8 In base a tale proprietà, lo schema a blocchi nel dominio di Laplace si può ricavare semplicemente sostituendo la moltiplicazioneper 1/s al simbolo di integrale presente nello schema a blocchi nel dominio del tempo. La manipolazione che segue consenteperaltro di ricavare una formulazione più sintetica e significativa.9 Per evitare confusione si indicano con le maiuscole le funzioni nel dominio di Laplace.

Schema a blocchi del motore in c.c. 69

( ) )()()( 0eeeeee iLsVRsLsI +=+

da cui si ricavano le funzioni di trasferimento10 dei due avvolgimenti come segue:

a

aaa

ea

aa s

iRsEsV

sIsGτ1

0τ1++

=−

=)(

)()()(

)( (5.18)

e

eee

e

ee s

iRsVsIsG

τ10τ1

++

==)(

)()(

)( (5.19)

avendo definito le costanti di tempo degli avvolgimenti di armatura ed eccitazione rispettivamentecome aaa RL=τ e eee RL=τ .

Gli schemi a blocchi dei due avvolgimenti sono illustrati in Fig. 5.5. Lo schema a blocchicomplessivo del motore è identico a quello nel tempo riportato in Fig. 5.4, dato che leespressioni della tensione indotta e della coppia si mantengono formalmente identiche nellatrasformazione di Laplace11.

a

aaa iRτ1

0τ1s+

+ )(Ia(t)Va(s)

E(s) blocco “armatura”

e

eee iRτ1

0τ1s+

+ )(Ie(t)Ve(s)

blocco “eccitazione”

Fig. 5.5 - Schema a blocchi degli avvolgimenti di armatura ed eccitazione nel dominio di Laplace

5.3.3 Risoluzione delle equazioni di eccitazione ed armatura

Dallo schema a blocchi in Fig. 5.4 si vede chiaramente come, nel motore in c.c. ad eccitazioneindipendente, la corrente di eccitazione (e quindi il flusso di eccitazione ad essa proporzionale)dipenda unicamente dalla tensione di eccitazione e non sia influenzato da alcuna grandezza diarmatura né tantomeno dalla velocità. L’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti(5.16) dell’avvolgimento di eccitazione può essere posta nella forma canonica:

( ) ( ) ( )e

e

e

ee

Ltvti

tti

=+τd

d(5.20)

la cui soluzione, nel caso di ingresso ( ) ee Vtv = (costante) applicato in t = 0 e condizione iniziale( ) 00 =ei è la seguente:

10 Definite come il rapporto tra le variabili di uscita e di ingresso nel dominio di Laplace.11 Trattandosi di legami istantanei tra le grandezze.

70 Cap. 5 Dinamica dei motori a c.c.

( ) ( )et

e

ee e

RVti τ1 −−= (5.21)

L’andamento grafico è illustrato in Fig. 5.6.

t

ie(t)

Ve/Re

tangentenell’origine

τe0

Ve

ve(t)

Fig. 5.6 – Risposta di corrente dell’avvolgimento di eccitazione

Per quanto riguarda l’avvolgimento di armatura, la risposta di corrente è invece influenzatadalla tensione indotta, che a sua volta dipende dalla corrente di eccitazione e dalla velocità. Larisposta di corrente deve essere calcolata considerando il modello completo del motore.

Peraltro, nel caso in cui si abbia un funzionamento a corrente (flusso) di eccitazione costante,e si possano supporre molto lente le variazioni di velocità rispetto i transitori elettrici, latensione indotta si può assumere costante. Si può quindi calcolare la risposta al gradino ditensione di armatura ad esempio nei primi istanti di avviamento, assumendo ( ) 0=te nella(5.16). Data l’uguaglianza formale, in queste ipotesi, con l’equazione dell’avvolgimento dieccitazione (5.14), la risposta della corrente di armatura sarà analoga a quella espressa dalla(5.16) e rappresentata in Fig. 5.6.

5.4 Controllo del motore a c.c. tramite la tensione di armatura

Se il controllo della velocità viene effettuato tramite la tensione di armatura va(t) e latensione del circuito di eccitazione ve(t) è tenuta costante (Ve), il sistema (5.13) si riduce a dueequazioni differenziali (Fig. 5.7):

R a

Le+

_

+

_

L a

Re+

_

va(t)

ia(t)

c(t)

ωr(t)

cr(t)

Ie Ve

kωr(t)

Fig. 5.7 – Motore con eccitazione indipendente: tensione di eccitazione costante

Controllo del motore a c.c. tramite la tensione di armatura 71

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

−−=

++=

tDt

ttiktc

tkttiLtiRtv

rr

ar

ra

aaaa

ωω

ω

d

dd

d

J(5.22)

avendo posto e

eaeeae R

VGIGk == .

Il sistema (5.22) può essere scritto in forma di equazioni di stato:

( )( )

( )( )

( )( )

⋅

−+

⋅

−

−−=

tctvL

tti

DkLk

LR

tti

t r

aa

r

aaa

a

r

a

JJJ10

01

ωωdd

(5.23)

cioè nella forma lineare:

( ) ( ) ( )tttt uBxAx ⋅+⋅=

dd

(5.24)

in cui ( ) ( )( )

=

tti

tr

a

ωx è lo stato e ( ) ( )

( )

=

tctv

tr

au è l'ingresso.

Se come uscita del sistema y(t) è considerato proprio lo stato x(t), si ha;

( ) ( )( ) ( ) ( )tttti

tr

a xxCy =⋅=

⋅

=

ω1001

(5.25)

È noto che la soluzione del sistema lineare composto dalle (5.24) e (5.25) nel dominio dellavariabile s di Laplace è:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

⋅⋅−⋅+⋅−⋅=

⋅⋅−+⋅−=

−−

−−

ssss

ssss

uBAICxAICy

uBAIxAIx

11

11

0

0

(5.26)

in cui I è la matrice identità e x0 è lo stato iniziale.Nel caso specifico si ha:

( )( )

=

=

0ω0

1001

0r

aixI

( )( )( )

( )( )

+

−++++

=− −

aaa

a

aa RsLkLkDsL

kRsLDss

JJJ

J 21 1AI

( ) ( ) 11 −− −=−⋅ AIAIC ss

72 Cap. 5 Dinamica dei motori a c.c.

( )( )( ) ( )

+−

+

+++=⋅− −

aaaa RsLkkDs

kRsLDss

JJ 2

1 1BAI

( ) ( ) BAIBAIC ⋅−=⋅−⋅ −− 11 ss

dalle quali si ricava:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )( )( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )( )( )

++++−++

=

++++++−−

=

2

2

0ω0Ω

00ω

kRsLDsRsLsCiLsVks

kRsLDsDsiLsVsCksI

aa

aaraaa

aa

aaara

JJ

JJJ

(5.27)

ovvero:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )( )( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )( )( )

++++−++

=

++++++−−

=

2

2

1τ1τ1τ0ω0Ω

1τ1τ1τ00ω

kssRDRssCiLsVks

kssRDDsiLsVsCksI

ama

aarraaa

ama

maaarra

J

J

(5.28)

dove:

a

aa R

L=τ è la costante di tempo elettrica dell'avvolgimento di armatura;

DmJ=τ è la costante di tempo meccanica del sistema motore–carico.

5.4.1 Esempio di applicazione: l’avviamento del motore a c.c.

A titolo di esempio si vuole determinare l'andamento nel tempo, all'avviamento, dellacorrente di armatura e della velocità, quando l'armatura viene alimentata dall'istante t = 0 conuna tensione costante V e la coppia resistente è costante e pari a Cr'.

Poiché lo stato iniziale è nullo, cioè il motore è fermo (ωr(0) = 0) e la corrente d'armatura ènulla (ia(0) = 0), la (5.27) diventa:

( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )( )

++++−

=

+++++

=

2

2

ΩkRsLDsRsLsCskVs

kRsLDsDssVskCsI

aa

aara

aa

ara

J

JJ

(5.29)

( ) ( )( )( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )( )( )

++++

−+++

=

++++

++++

=

22

22

ΩkRsLDs

RsLsCkRsLDs

skVs

kRsLDsskC

kRsLDsDssVsI

aa

aar

aa

a

aa

r

aa

aa

JJ

JJJ

(5.30)

Inoltre, essendo la tensione di alimentazione e la coppia resistente costanti, si ha:

Controllo del motore a c.c. tramite la tensione di armatura 73

( )sVsVa = e ( )

sCsC r

r′

=

da cui:

( ) ( )( )( )[ ]

( ) ( )( )( )[ ]

+++′+−

=

+++′++

=

2

2

ΩkRsLDss

CRsLkVs

kRsLDssCkVDssI

aa

raa

aa

ra

J

JJ

(5.31)

dalla quale è immediato ricavare i valori di regime della corrente e della velocità tramite ilteorema del valore finale:

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

+′−

=+++′+−

==

+′+

=+++

′++==

→→∞

→→∞

2200

2200

ΩωkDRCRkV

kRsLDsCRsLkVsst

kDRCkDV

kRsLDsCkVDsssIti

a

ra

aa

raassr

a

r

aa

rsasa

J

JJ

limlim

limlim

(5.32)

La (5.31) può essere scritta come segue:

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

−−′+−

=

−−′++

=

21

21

1Ω

1

sssssCRsLkV

Ls

sssssCkVDJs

LsI

raa

a

r

aa

J

J(5.33)

nella quale compaiono le frequenze complesse proprie del sistema, ovvero gli zeri deidenominatori della (5.31):

( ) ( ) ( )a

aaaaaa

LkDRLRDLRDL

sJ

JJJ2

4 22

21+−++−

=m

, (5.34)

La (5.33) viene espansa in frazioni parziali al fine di antitrasformare:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

−+

−+=

−+

−+=

21

211ξ1λ1κΩ

1γ1β1α

ssssss

ssssssIa

(5.35)

in cui i coefficienti costanti sono dati da:

21α

ssLCkDV

a

r

J′+

= ( )

( )211

1βsssL

CkVDs

a

r

−′++

=J

J

( )( )122

2γsssL

CkVDs

a

r

−′++

=J

J

21κ

ssLCRkV

a

ra

J′−

= ( )

( )211

1λsssL

CRsLkV

a

raa

−′+−

=J

( )

( )122

2ξsssL

CRsLkV

a

raa

−′+−

=J

(5.36)

Ovviamente si ha ( )∞= tiaα e ( )∞= tωκ , essendo a

a

LkDR

ssJ

2

21+

= .

74 Cap. 5 Dinamica dei motori a c.c.

Anti–trasformando la (5.35) si ottengono gli andamenti nel tempo della corrente di armaturae della velocità:

( )

( )0

ξλκω

γβα

21

21

≥

++=

++=t

eet

eeti

tstsr

tstsa

(5.37)

5.4.1.1 Esempio numerico

Si vuole studiare l'avviamento di un motore con eccitazione indipendente nel caso di:a) coppia resistente nulla;b) coppia resistente costante di 20Nm.

Si considerino i seguenti parametri del sistema:- resistenza di armatura: 1.5 [Ω]- induttanza di armatura: 11 [mH]- momento di inerzia del sistema motore–carico: 0.08 [kg m2]- corrente nominale di eccitazione: 0.6 [A]- costante di macchina ke: 5 [VsWb-1]- costante di proporzionalità tra flusso e ie, Le: 0.6 [WbA-1]- tensione nominale di armatura: 240 [V]- coefficiente di attrito: trascurabile

Si suppone che all'istante iniziale la corrente di eccitazione sia pari al valore nominale e chesi abbia pertanto: k = Gae Ie = 1.8, essendo Gae = keLe = 3.

Le frequenze complesse proprie del sistema ovviamente non dipendono dalla coppiaresistente; dalla (5.34) si ha:

s1 = -37.09; s2 = -99.28

a) coppia resistente nulla

Dalla (5.32) si possono trovare i valori di regime:

( )

( )

=

=

−∞

∞

13133ω

0

s.t

Ati

r

a

A regime la corrente è nulla poiché, essendo 0=D e 0=′rC , la coppia elettromagnetica ènulla.

Dalla (5.36) si ha:

;.;.; 82350γ82350β0α −===

5179ξ84212λ3133κ .;.;. =−==

Sostituendo i valori trovati nella (5.37) si ottiene:

Controllo del motore a c.c. tramite la tensione di armatura 75

( )

( )0

5179842123133ω

8235082350

1≥

+−=

−=

−t

eet

eeti

r

a

s

A

99.2837.09

99.2837.09

--

--

tt

tt

...

..

Da un punto di vista prettamente matematico i valori di regime vengono raggiunti per∞→t ; in pratica il sistema è considerato a regime al tempo 5τ, essendo τ la costante di tempo

più grande del sistema. Nel caso specifico si ha:ss 1350τ5027009371τ ... =⇒==

b) coppia resistente 20Nm

In modo analogo si trova:

( )( )

=

=

−∞

∞

107124ω

111

s

A

.

.

t

ti

r

a

0178ξ2344γ

02202λ09333β

07124κ111α

.

.

.

.

.

.=

−=−=

===

( )

( )0

01780220207124ω

234409333111

1≥

+−=

−+=

−t

eet

eeti

r

a

s

A

99.2837.09

99.2837.09

- -

- -

tt

tt

...

...

Nelle Fig. 5.8 e Fig. 5.9 sono riportati gli andamenti nel tempo della corrente di armatura edella velocità all'avviamento con coppia resistente nulla e pari a 20Nm.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

i[s ]ω -1

a

t [s]

[A]r

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

i[s ]ω -1

a

t [s]

[A]r

Fig. 5.8 – Avviamento con coppia resistente nulla Fig. 5.9 – Avviamento con coppia resistente di 20 Nm

76 Cap. 5 Dinamica dei motori a c.c.

5.5 Controllo del motore a c.c. tramite il flusso di eccitazione

Se il controllo della velocità viene effettuato tramite la tensione di eccitazione ve(t), latensione di armatura è considerata costante12 (Fig. 5.10). Il sistema (5.13) si può quindi riscriveretenendo conto della costanza della tensione di armatura:

Ra

Le+

_

crω

+

_

i a

c

La

Va

Re+

_ie ve

e

(t )

(t )(t )

(t )(t )

(t ) (t )

r

Fig. 5.10 – Motore con eccitazione indipendente: tensione di armatura costante

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−−=

++=

+=

tDt

ttitiktc

titGttiLtiRV

ttiLtiRtv

rr

aetr

eraea

aaaa

eeeee

ωω

ω

d

dd

d

d

d

J

(5.38)

Poiché il sistema (5.38) non è lineare e non risulta pertanto agevole determinare la suasoluzione formale, è opportuno ricorrere ad un metodo di integrazione numerica. A tale scopoil sistema (5.38) è scritto nella seguente forma:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−−=

−+−=

+−=

tDtctitiGtt

titL

GVL

tiLR

tti

tvL

tiLR

tti

rraeae

era

aea

aa

a

aa

ee

ee

ee

ω1ω

ω1

1

JJJdd

d

d

d

d

(5.39)

ovvero nella forma:

( ) ( ) ( )( )ttftt uxx

,=d

d(5.40)

12 Non è opportuno considerare la corrente di armatura costante in quanto, pur ottenendo una semplificazione matematica (ilsistema (5.13) si ridurrebbe ancora a due equazioni differenziali), non sarebbe possibile rappresentare in modo coerente ifenomeni fisici che avvengono durante i transitori. Infatti si può riflettere che, partendo da una situazione di regime, una riduzionedella corrente di eccitazione (e quindi del flusso) comporta un aumento della velocità della macchina; ciò può avvenire soltantocon un aumento della coppia elettromagnetica dovuto ad un incremento della corrente di armatura. Se la corrente di armatura èconsiderata costante si arriverebbe all'assurda situazione di ottenere un aumento della velocità con una coppia minore (minorecorrente di eccitazione).

Controllo del motore a c.c. tramite il flusso di eccitazione 77

con ( )( )( )( )

=

ttiti

t

r

a

e

ωx ( )

( )

( )

=

tcV

tvt

r

a

e

u

Esistono svariati metodi numerici per integrare l'equazione differenziale (5.40), conoscendolo stato iniziale ( )0x e l'ingresso ( )tu . Uno dei metodi più semplici è il seguente.

– si calcola la derivata dello stato all'istante iniziale tramite la (5.40)

( ) ( ) ( )( )000

uxx,f

tt

=d

d

– si calcola lo stato all'istante ∆t:

( ) ( ) ( ) tttt ∆0∆

0

⋅+=d

d xxx

– si calcola la derivata dello stato all'istante ∆t tramite la (5.40)

( ) ( ) ( )( )ttftt

t

∆∆∆

uxx,=

dd

– si calcola lo stato all'istante 2∆t:

( ) ( ) ( ) ttttt

t

∆∆∆2∆

⋅+=⋅d

d xxx

– si ripetono i precedenti passi fino al tempo k∆t, necessario per ultimare il transitoriostudiato.

L'intervallo di tempo ∆t è ovviamente scelto in base alla dinamica del sistema e, in generale,l'errore commesso nell'integrazione numerica è tanto più piccolo quanto minore risulta essere∆t.

5.5.1 Esempio di applicazione: variazione a gradino della tensione di eccitazione

A titolo di esempio si vuole determinare l'andamento nel tempo della grandezze elettriche emeccaniche di un motore quando, all'istante t = 0, la tensione di eccitazione viene portataistantaneamente da 240V a 200V, a partire da una situazione di regime in cui il motore eroga2960W. La coppia resistente è supposta costante e pari a 20Nm. I parametri del sistema sono:

- tensione di armatura: 240 [V]- resistenza di armatura: 1.5 [Ω]- induttanza di armatura: 12 [mH]- resistenza di eccitazione: 100 [Ω]- induttanza di eccitazione: 1 [H]- momento di inerzia del sistema motore-carico: 0.09 [kgm2]- costante di macchina ke: 3.5 [VsWb-1]- costante di proporzionalità tra flusso ed ie (Le): 0.2 [WbA-1]- coefficiente di attrito: 0.02- coppia resistente: 20 [Nm]

78 Cap. 5 Dinamica dei motori a c.c.

In primo luogo è necessario determinare le condizioni iniziali, prima del transitorio:– corrente di eccitazione:

( ) A =/= 420 .eene RVi– corrente di armatura e velocità angolare:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 200ω02006810ω000 +=⇒+== .. araeae iCDiiGc

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒== 000ω00ω0 aeaerrm iiGcP ( ) ( ) ( ) ( )00ω681042700ω2960 arar ii ... =⋅=

( ) ( )( ) ( )

( )( )

=

=⇒

=

+=

−1871300ω

46130

00ω6812960

200ω0200681

s

A

.

.

.

..

r

a

ar

ra i

i

i

Si integra quindi numericamente l'equazione differenziale (5.40) a partire dallo stato inizialedeterminato.

Le Fig. 5.11, Fig. 5.12 e Fig. 5.13 mostrano rispettivamente la corrente di eccitazione, lacorrente di armatura e la velocità durante il transitorio. La f.e.m. indotta e la coppia sonoriportati nelle Fig. 5.14 e Fig. 5.15 al fine di interpretare i fenomeni fisici che hanno luogodurante il transitorio.

La diminuzione della corrente di eccitazione determina in una prima fase una diminuzionedella f.e.m. indotta, provocando quindi un aumento sostanziale della corrente di armatura. Datal'espressione della coppia ( ) ( ) ( )titiGtc aeae= e le variazioni delle due correnti, è immediatoverificare un consistente aumento della coppia (ad una diminuzione di .4A della corrente dieccitazione, corrisponde un temporaneo aumento della corrente di armatura di circa 20A) equindi una accelerazione del sistema. Man mano che la velocità aumenta si determina unaumento della f.e.m. indotta che tende a far decrescere la corrente di armatura e la coppia.

1.8

2

2.2

2.4

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

i e

[A]

t [s]

0

5

10

15

20

25

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

i a

[A]

t [s]

30

Fig. 5.11 – Corrente di eccitazione Fig. 5.12 – Corrente di armatura

Test di apprendimento 79

130

135

140

145

150

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

[s-1

]

ω

t [s]

190

200

210

220

e

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

[V]

t [s]

Fig. 5.13 – Velocità Fig. 5.14 – F.e.m. indotta

0

10

20

30

40

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

[Nm

]

c

t [s]

Fig. 5.15 – Coppia

Test di apprendimento

1) Scrivere il modello dinamico del motore in corrente continua ad eccitazioneindipendente

2) Ricavare lo schema a blocchi nel tempo degli avvolgimenti di armatura ed eccitazione3) Disegnare lo schema a blocchi complessivo del motore in c.c.4) Discutere sulla risposta al gradino di tensione dei circuiti di armatura ed eccitazione5) Ricavare le funzioni di trasferimento e lo schema a blocchi nel dominio di Laplace dei

singoli avvolgimenti6) Descrivere la modalità di controllo attraverso la tensione di armatura e discutere il

sistema differenziale associato7) Disegnare in modo qualitativo le risposte di corrente, coppia e velocità con controllo

sull’armatura, nel caso di coppia resistente nulla e costante8) Descrivere la modalità di controllo attraverso il flusso di eccitazione e discutere il

sistema differenziale associato9) Disegnare in modo qualitativo le risposte di corrente, coppia e velocità con controllo

sull’eccitazione

80 Cap. 5 Dinamica dei motori a c.c.

Indice delle figure

Fig. 5.1 – Motore con eccitazione indipendente .......................................................................................................... 63Fig. 5.2 - Schema a blocchi dell’avvolgimento di armatura nel dominio del tempo .................................................... 67Fig. 5.3 - Schema a blocchi dell’avvolgimento di eccitazione nel dominio del tempo.................................................. 67Fig. 5.4 - Schema a blocchi del motore in c.c. ad eccitazione indipendente ................................................................ 68Fig. 5.5 - Schema a blocchi degli avvolgimenti di armatura ed eccitazione nel dominio di Laplace ........................... 69Fig. 5.6 – Risposta di corrente dell’avvolgimento di eccitazione.................................................................................. 70Fig. 5.7 – Motore con eccitazione indipendente: tensione di eccitazione costante....................................................... 70Fig. 5.8 – Avviamento con coppia resistente nulla ....................................................................................................... 75Fig. 5.9 – Avviamento con coppia resistente di 20 Nm................................................................................................ 75Fig. 5.10 – Motore con eccitazione indipendente: tensione di armatura costante ....................................................... 76Fig. 5.11 – Corrente di eccitazione .............................................................................................................................. 78Fig. 5.12 – Corrente di armatura ................................................................................................................................. 78Fig. 5.13 – Velocità ...................................................................................................................................................... 79Fig. 5.14 – F.e.m. indotta............................................................................................................................................. 79Fig. 5.15 – Coppia ....................................................................................................................................................... 79

INDICE

5 Dinamica dei motori a c.c. .....................................................................................63

5.1 Introduzione .................................................................................................................63

5.2 Modello dinamico della macchina a c.c. .....................................................................63

5.3 Schema a blocchi del motore in c.c............................................................................665.3.1 Schema a blocchi nel dominio del tempo ........................................................................... 66

5.3.1.1 Avvolgimento di armatura ....................................................................................................................66

5.3.1.2 Avvolgimento di eccitazione .................................................................................................................67

5.3.1.3 Schema a blocchi completo ..................................................................................................................67

5.3.2 Schema a blocchi nel dominio di Laplace........................................................................... 68

5.3.3 Risoluzione delle equazioni di eccitazione ed armatura ..................................................... 69

5.4 Controllo del motore a c.c. tramite la tensione di armatura...................................705.4.1 Esempio di applicazione: l’avviamento del motore a c.c..................................................... 72

5.4.1.1 Esempio numerico.................................................................................................................................74

5.5 Controllo del motore a c.c. tramite il flusso di eccitazione .....................................765.5.1 Esempio di applicazione: variazione a gradino della tensione di eccitazione ...................... 77

Test di apprendimento ..............................................................................................................79

Indice delle figure .......................................................................................................................80

INDICE........................................................................................................................................80