modelo arch
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MODELO ARCH E SUAS EXTENSÕES
Profa. Vera Lucia Fava
1. INTRODUÇÃO
Os modelos ARIMA, bem como os modelos de regressão linear aplicados a séries de
tempo, procuram descrever ou explicar e também prever o comportamento do nível, ou seja, da
média condicional da variável yt.
Ocorre, porém, que em muitas situações é importante conhecer também o
comportamento da variância condicional da série e obter previsões para ela.
Isso acontece especialmente quando se trabalha com variáveis financeiras. Se, por
exemplo, a série em estudo for o retorno de uma ação, interessa ter informação não só sobre a
rentabilidade da aplicação (nível) mas também sobre o risco (variância) a ela associado.
Buscando preencher essa lacuna, Engle (1982) propôs uma nova categoria de modelos
denominada ARCH - Auto-Regressive Conditional Heteroscedastic models, ou seja, modelos
com Heterocedasticidade Condicional Auto-Regressiva.
Inspirados no trabalho pioneiro de Engle, outros autores sugeriram posteriormente
inúmeros modelos para a variância condicional de uma série de tempo.
A seguir, serão apresentados os principais deles, além, naturalmente, daquele proposto
por Engle.
2. MODELO ARCH
Como o próprio nome indica, o modelo para heterocedasticidade condicional auto-
regressiva - modelo ARCH - tem por objetivo modelar e gerar previsões para a variância
condicional de uma série de tempo.
2
Esse modelo se aplica tanto ao caso em que o nível da série yt é descrito por um modelo
ARIMA(p,d,q) - ( ) ( )B y Bd
t t - quanto à situação em que yt é explicado por um modelo
de Regressão Linear - yt t t x .
Em ambos os casos, t é, por hipótese, um ruído branco:
stpara
stparaE
E
st
t
0)(
0)(
2
Portanto, a variância não condicional de t continua sendo invariante no tempo. É
permitido, porém, que a variância de t, condicional às informações disponíveis até o instante t-
1 - It-1 - varie no tempo. Para tanto, Engle (1982) assume que
𝜀𝑡 = 𝑣𝑡 ℎ𝑡
onde 𝑣𝑡 ~ 𝑖𝑖𝑑 0,1 e 𝑣𝑡 e ℎ𝑡 são independentes.
O termo ht é a variância condicional de t:
h V I E I Et t t t tt
t
( / ) ( / ) ( ) 1
2
11
2 constante
Se a variância condicional de t for expressa pela equação a seguir, tem-se o modelo
ARCH(1) proposto por Engle (1982):
ht t 0 1 1
2
De acordo com esse modelo, a variância condicional de t depende do choque aleatório
ocorrido no instante t-1. Se t-1 for grande (pequeno), ht também será grande (pequena).
Portanto, os modelos ARCH acomodam séries com subperíodos de grande volatilidade e outros
de tranqüilidade.
Para garantir que a variância condicional seja positiva, é necessário impor as seguintes
restrições sobre os parâmetros do modelo: o 0 e 1 0 .
Como a variância não condicional de t é, nesse caso, dada por
2 0
11
3
deve-se impor, adicionalmente, a restrição 1 1 .
A relação entre a variância condicional e a variância não condicional de t é dada pela
seguinte equação:
ht t 2
1 1
2 2( )
De acordo com essa expressão, sempre que o quadrado do choque aleatório no instante
t-1 ( t1
2 ) - for maior do que sua esperança não condicional ( 2 ), a variância condicional de t
superará sua variância não condicional. Vale dizer, sempre que ocorrer algo muito
surpreendente, aumentará a volatilidade da série yt.
Genericamente, a variância condicional ht pode ser expressa como função dos choques
aleatórios ocorridos nos m instantes imediatamente anteriores. Tem-se, então, o modelo
ARCH(m):
ht t t m t m 0 1 1
2
2 2
2 2
A variância não condicional de t é agora dada por
2 0
1
1
i
i
m
Portanto, para que ambas as variâncias sejam positivas e finitas é necessário que
0 1 2
1
0 0 1
, , ,..., m i
i
m
e .
4
3. TESTES PARA ESTRUTURA ARCH
3.1 ANÁLISE DOS RESÍDUOS AO QUADRADO
Como a heterocedasticidade condicional auto-regressiva decorre da existência de
autocorrelação entre os resíduos ao quadrado, uma forma de testá-la é por meio do
coeficiente de autocorrelação dos quadrados dos resíduos que é dado por:
T
t
t
T
kt
ktt
kr
1
222
1
2222
)ˆˆ(
)ˆˆ)(ˆˆ(
)(2ˆ
onde / 2 2 t T .
Considerando que a distribuição desse coeficiente de autocorrelação é
assintoticamente Normal - )/1;0()(2ˆTNkr
- é possível realizar testes individuais e
testes conjuntos, de maneira análoga ao que é feito para testar se os resíduos não
elevados ao quadrado comportam-se aproximadamente como um ruído branco.
O teste individual é o seguinte:
Ho: 2 0( )k
Ha: 2 0( )k
Estatística do teste: )(2ˆkr
Regra de decisão: se T
kr2
)(2ˆ
Ho é rejeitada.
5
O teste conjunto é o teste de Ljung-Box que agora tem as seguintes
características:
H0: 2 0( )k para k K
Ha: 2 0( )k para pelo menos um k K
Estatística do teste:
K
k kT
krTTKQ
1
)()2()(
2̂
Regra de decisão: se 2)( mKKQ Ho é rejeitada.
3.2 TESTE ARCH - LM (LAGRANGE MULTIPLIER)
Esse teste foi proposto por Engle (1982) e consiste primeiramente em estimar
um modelo de regressão que tem como variável dependente o quadrado do resíduo do
instante t e como variáveis explicativas os resíduos ao quadrado dos m instantes
imediatamente anteriores:
t t t m t m t
2
0 1 1
2
2 2
2 2
Se houver heterocedasticidade condicional auto-regressiva, espera-se um valor
alto para o R2 dessa regressão. Tendo isso por base, o teste é o seguinte:
H0: 1 2 0 m os erros não têm estrutura ARCH
6
Ha: os erros têm estrutura ARCH
Estatística do teste: T.R2 m
2 , sob H0
Regra de decisão: se T.R2 > m
2 Ho é rejeitada.
3.3 TESTE DE NORMALIDADE
Quando a variância condicional não é invariante no tempo, o coeficiente de
curtose da distribuição não condicional de t é superior ao da Normal. Isso faz com que
as caudas da distribuição de t sejam pesadas ou gordas.
Portanto, o teste de Normalidade pode indicar a presença de estrutura ARCH no
processo gerador de uma série de tempo.
Esse teste é construído com base nos coeficientes de assimetria (3) e de curtose
(4) que, em uma distribuição Normal padronizada, são iguais a 0 e 3, respectivamente.
Sejam a3 e a4 os estimadores de 3 e 4. O teste de Normalidade tem as
seguintes características:
Ho: 3 40 3 e a variável tem distribuição Normal
Ha: a variável não tem distribuição Normal
Estatística do teste: 2
2
2
4
2
3
24
)3(
6
aaTN
Regra de decisão: se N > 2
2 Ho é rejeitada.
7
Se a hipótese de Normalidade for rejeitada, é necessário verificar se isso decorre
da assimetria ou do excesso de curtose. Testes individuais para os coeficientes de
assimetria e de curtose devem então ser aplicados . As estatísticas dos testes e suas
respectivas distribuições são:
Ta
63
2
1
2
Ta
2434
2
1
2( )
4. ESTIMAÇÃO DO MODELO ARCH
A estimação do modelo ARCH é feita por meio do método da máxima
verossimilhança, o qual permite que sejam simultaneamente estimados os parâmetros da
equação do nível da série yt e da equação de sua variância condicional ht.
Suponha que se deseje estimar o modelo composto pelas equações a seguir:
(i) yt t t x
(ii) ht t 0 1 1
2
Assumindo que t tem distribuição Normal condicional, o logaritmo da função
de verossimilhança a ser maximizada é:
T
t t
ttT
t
th
xyh
TxyL
1
2
1
)(
2
1ln
2
1)2ln(
2);/(ln
onde h yt t t 0 1 1 1
2( )x .
8
A estimação deveria ser feita incorporando as restrições sobre os parâmetros da
equação de ht vistas anteriormente, as quais são necessárias para garantir que as
variâncias condicional e não condicional de t sejam positivas e finitas.
5. MODELO GARCH - GENERALIZED ARCH
O modelo GARCH foi proposto por Bollerslev (1986) e é uma generalização do
modelo ARCH que se assemelha ao modelo ARMA:
h h h ht t t m t m t t s t s 0 1 1
2
2 2
2 2
1 1 2 2
Agora a variância condicional depende não só dos quadrados dos choques
aleatórios ocorridos nos m instantes de tempo imediatamente anteriores, mas também
das próprias variâncias condicionais dos s instantes de tempo imediatamente anteriores.
O modelo resultante é o GARCH(s,m).
O efeito realimentador proporcionado pela introdução das variâncias
condicionais defasadas faz com que o modelo GARCH tenha uma representação mais
parcimoniosa quando comparado ao modelo ARCH. Tal fato é considerado a grande
vantagem da generalização proposta por Bollerslev tendo em vista que a estimação
desses modelos deveria ser feita com restrição.
As restrições impostas aos parâmetros do modelo GARCH são as seguintes:
0 1 2 1 2
1 1
0 0 0 1
, , ,..., , , ,...,m s i
i
m
j
j
s
e .
9
6. MODELO ARCH-M - ARCH IN MEAN
O modelo ARCH-M, idealizado por Engle, Lilien e Robins (1987), tem por
objetivo contemplar o trade-off que existe entre retorno esperado e risco, presente em
inúmeros modelos de Finanças. A idéia subjacente é de que os agentes exigem uma
compensação maior para manter ativos de alto risco.
As equações que definem essa categoria de modelo são:
2
1
0 it
m
i
it
tttt
h
hxy
Note que agora a equação do nível ou da média condicional de yt tem como uma
de suas variáveis explicativas a própria variância condicional de t , ou seja, a
volatilidade também influenciará o nível da série. Pode-se também utilizar a raiz
quadrada ou outra transformação de ht na equação de yt.
7. MODELO EGARCH - EXPONENTIAL GARCH
De acordo com o modelo ARCH e suas extensões apresentados até aqui, as
variâncias condicionais dependem apenas da magnitude dos choques aleatórios e não de
seus sinais.
Existe, porém, certo consenso no mercado financeiro de que as surpresas
negativas têm sobre a volatilidade um impacto superior àquele provocado por uma
surpresa positiva de igual magnitude.
Para representar essa assimetria de efeito dos choques, Nelson (1991) propôs a
seguinte equação para a variância condicional:
jt
s
j
j
it
it
i
it
it
i
m
i
t hhh
h
loglog
11
10
O efeito assimétrico depende, portanto, dos parâmetros i .
O modelo EGARCH não requer a imposição de restrição sobre seus parâmetros
porque, como ele é formulado em termos do logaritmo da variância condicional, esta
será sempre positiva.
8. MODELO TARCH – THRESHOLD ARCH
Outra forma de representação do efeito assimétrico dos choques é dada pelo
modelo TARCH, proposto de forma independente por Zakoïan (1994) e Glosten,
Jaganathan e Runkle (1993).
A equação da variância condicional é a seguinte:
s
i
iti
q
i
ititi
q
i
itit hdh11
2
1
2
0 onde 0se0
0se1{
t
t
td
Portanto, os choques têm efeito assimétrico se 0i .
9. PREVISÃO DA VARIÂNCIA CONDICIONAL
A previsão da variância condicional no instante T será dada pela esperança
de T
h condicional às informações disponíveis no instante T , no caso da previsão
dinâmica, e pela esperança de T
h condicional às informações disponíveis no
instante 1 T , no caso da previsão estática (um passo à frente).
11
10. EXEMPLO
Apresenta-se, a seguir, um exemplo de aplicação de modelos ARCH e suas
extensões. A série considerada é composta por observações diárias sobre o valor de um
título britânico.
O modelo inicialmente selecionado para descrever o nível da primeira diferença
do logaritmo da série é um AR(8) degenerado, sem as defasagens 2, 4, 5 e 6.
Esse modelo apresenta resíduos com heterocedasticidade condicional auto-
regressiva, conforme indicam o correlograma dos quadrados dos resíduos, o teste
ARCH-LM e o teste de Normalidade.
Esse problema econométrico é contornado com a estimação de um modelo
AR(8) - ARCH(4), sendo que agora também a defasagem 3 é excluída da parte AR por
não ser estatisticamente significante.
Outra alternativa é o modelo AR(8) - GARCH(1,1) que capta a
heterocedasticidade condicional auto-regressiva de forma mais parcimoniosa, ou seja,
requer a estimação de dois parâmetros a menos do que o modelo anterior. O gráfico da
variância condicional estimada por esse modelo é apresentado a seguir.
O modelo ARCH-M não se mostrou adequado para a série em questão: o
coeficiente da variância condicional na equação da média da série não é significante.
Finalmente, estimou-se o modelo AR(8) - EGARCH(1,1). O coeficiente do valor
absoluto dos resíduos é significante ao nível de 15%, o que indica que a hipótese de
efeito assimétrico dos choques deve ser considerada com cautela neste caso.
12
GRÁFICO DA SÉRIE
MODELO AR(8) - RESULTADOS DA ESTIMAÇÃO
Dependent Variable: D(LBOND)
Sample (adjusted): 10 950
Included observations: 941 after adjustments
Convergence achieved after 2 iterations
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
AR(1) 0.080617 0.032435 2.485520 0.0131
AR(3) 0.066699 0.032288 2.065773 0.0391
AR(7) 0.073842 0.032066 2.302828 0.0215
AR(8) 0.053181 0.032163 1.653475 0.0986
S.E. of regression 0.009595 Akaike info criterion -6.450899
Sum squared resid 0.086265 Schwarz criterion -6.430296
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
4/01/86 1/06/87 10/13/87 7/19/88 4/25/89
LBOND
13
MODELO AR(8) - CORRELOGRAMA DOS RESÍDUOS
14
MODELO AR(8) - CORRELOGRAMA DOS RESÍDUOS AO
QUADRADO
MODELO AR(8) - TESTES ARCH-LM
ARCH Test:
F-statistic 7.635104 Probability 0.005836
Obs*R-squared 7.589606 Probability 0.005871
Test Equation:
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 8.34E-05 7.64E-06 10.91713 0.0000
RESID^2(-1) 0.089864 0.032522 2.763169 0.0058
15
ARCH Test:
F-statistic 13.98362 Probability 0.000000
Obs*R-squared 40.31955 Probability 0.000000
Test Equation:
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 6.40E-05 8.24E-06 7.765833 0.0000
RESID^2(-1) 0.062428 0.032433 1.924844 0.0546
RESID^2(-2) 0.175578 0.031996 5.487447 0.0000
RESID^2(-3) 0.052813 0.032433 1.628374 0.1038
MODELO AR(8) - TESTE DE NORMALIDADE
16
MODELO AR(8)-ARCH(3) - RESULTADOS DA ESTIMAÇÃO Dependent Variable: D(LBOND)
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution
Sample (adjusted): 10 950
Included observations: 941 after adjustments
Convergence achieved after 12 iterations
Variance backcast: OFF
GARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)^2 + C(6)*RESID(-2)^2 + C(7)*RESID(
-3)^2 Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
AR(1) 0.096142 0.035354 2.719420 0.0065
AR(7) 0.052936 0.027256 1.942193 0.0521
AR(8) 0.062143 0.028147 2.207834 0.0273 Variance Equation
C 6.98E-05 2.90E-06 24.04355 0.0000
RESID(-1)^2 0.052871 0.020251 2.610869 0.0090
RESID(-2)^2 0.106176 0.023583 4.502298 0.0000
RESID(-3)^2 0.069527 0.022131 3.141690 0.0017
MODELO AR(8)-ARCH(3) - TESTES ARCH-LM
ARCH Test:
F-statistic 0.029261 Probability 0.993257
Obs*R-squared 0.088151 Probability 0.993220
Test Equation:
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 1.005177 0.092578 10.85767 0.0000
STD_RESID^2(-1) -0.004912 0.032474 -0.151244 0.8798
STD_RESID^2(-2) -0.003474 0.032467 -0.107004 0.9148
STD_RESID^2(-3) -0.007538 0.032470 -0.232167 0.8165
17
ARCH Test:
F-statistic 0.607206 Probability 0.772363
Obs*R-squared 4.879310 Probability 0.770394
Test Equation:
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.882161 0.115810 7.617281 0.0000
STD_RESID^2(-1) -0.002852 0.032898 -0.086697 0.9309
STD_RESID^2(-2) -0.001896 0.032771 -0.057865 0.9539
STD_RESID^2(-3) -0.007001 0.032764 -0.213671 0.8309
STD_RESID^2(-4) 0.044308 0.032763 1.352399 0.1766
STD_RESID^2(-5) 0.008290 0.032747 0.253146 0.8002
STD_RESID^2(-6) 0.019605 0.032515 0.602946 0.5467
STD_RESID^2(-7) 0.052354 0.032514 1.610210 0.1077
STD_RESID^2(-8) -0.007937 0.032562 -0.243764 0.8075
MODELO AR(8)-ARCH(3) - CORRELOGRAMA DOS RESÍDUOS AO
QUADRADO
18
MODELO AR(7)-GARCH(1,1) - RESULTADOS DA ESTIMAÇÃO
Dependent Variable: D(LBOND)
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution
Sample (adjusted): 9 950
Included observations: 942 after adjustments
Convergence achieved after 15 iterations
Variance backcast: OFF
GARCH = C(3) + C(4)*RESID(-1)^2 + C(5)*GARCH(-1) Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
AR(1) 0.100346 0.036801 2.726726 0.0064
AR(7) 0.062621 0.031504 1.987714 0.0468 Variance Equation
C 1.13E-05 3.49E-06 3.221565 0.0013
RESID(-1)^2 0.067706 0.016894 4.007765 0.0001
GARCH(-1) 0.805475 0.052856 15.23913 0.0000
MODELO AR(7)-GARCH(1,1) - TESTES ARCH-LM
ARCH Test:
F-statistic 0.114033 Probability 0.951902
Obs*R-squared 0.343437 Probability 0.951663
Test Equation:
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 1.010748 0.093710 10.78590 0.0000
STD_RESID^2(-1) -0.014448 0.032697 -0.441877 0.6587
STD_RESID^2(-2) -0.004740 0.032702 -0.144941 0.8848
STD_RESID^2(-3) 0.011537 0.032698 0.352832 0.7243
19
ARCH Test:
F-statistic 0.225676 Probability 0.986306
Obs*R-squared 1.819421 Probability 0.986056
Test Equation:
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.997988 0.118415 8.427869 0.0000
STD_RESID^2(-1) -0.015214 0.032843 -0.463229 0.6433
STD_RESID^2(-2) -0.001961 0.032841 -0.059720 0.9524
STD_RESID^2(-3) 0.016136 0.032840 0.491348 0.6233
STD_RESID^2(-4) 0.013777 0.032844 0.419488 0.6750
STD_RESID^2(-5) -0.003127 0.032565 -0.096017 0.9235
STD_RESID^2(-6) -0.000518 0.032557 -0.015909 0.9873
STD_RESID^2(-7) 0.016859 0.032559 0.517805 0.6047
STD_RESID^2(-8) -0.030219 0.032559 -0.928128 0.3536
MODELO AR(8)-GARCH(1,1) - CORRELOGRAMA DOS RESÍDUOS AO
QUADRADO
20
MODELO AR(7)-GARCH(1,1) - VARIÂNCIA CONDICIONAL
MODELO AR(8)-EGARCH(1,1) - RESULTADOS DA ESTIMAÇÃO
Dependent Variable: D(LBOND)
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution
Sample (adjusted): 10 950
Included observations: 941 after adjustments
Convergence achieved after 19 iterations
Variance backcast: OFF
LOG(GARCH) = C(3) + C(4)*ABS(RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1))) +
C(5)*RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1)) + C(6)*LOG(GARCH(-1)) Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
AR(1) 0.095149 0.037535 2.534949 0.0112
AR(8) 0.062182 0.033664 1.847138 0.0647 Variance Equation
C(3) -0.953771 0.286411 -3.330076 0.0009
C(4) 0.152768 0.030282 5.044807 0.0000
C(5) 0.013856 0.013839 1.001189 0.3167
C(6) 0.909629 0.028844 31.53588 0.0000
21
MODELO AR(1)-TARCH(1,1) - RESULTADOS DA ESTIMAÇÃO
Dependent Variable: D(LBOND)
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution
Sample (adjusted): 3 960
Included observations: 958 after adjustments
Convergence achieved after 17 iterations
Variance backcast: ON
GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0)
+ C(5)*GARCH(-1) Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
AR(1) 0.101470 0.038770 2.617222 0.0089 Variance Equation
C 9.54E-06 2.62E-06 3.644944 0.0003
RESID(-1)^2 0.066746 0.017792 3.751456 0.0002
RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) -0.004103 0.017867 -0.229645 0.8184
GARCH(-1) 0.826150 0.040348 20.47580 0.0000
MODELO AR(7)-GARCH(1,1)-M - RESULTADOS DA ESTIMAÇÃO
Dependent Variable: D(LBOND)
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution
Sample (adjusted): 9 950
Included observations: 942 after adjustments
Convergence not achieved after 500 iterations
Variance backcast: OFF
GARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)^2 + C(6)*GARCH(-1) Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
GARCH 3.111585 4.286429 0.725916 0.4679
AR(1) 0.099083 0.037201 2.663456 0.0077
AR(7) 0.061229 0.031463 1.946076 0.0516 Variance Equation
C 1.12E-05 3.54E-06 3.170222 0.0015
RESID(-1)^2 0.066808 0.016795 3.977792 0.0001
GARCH(-1) 0.806458 0.053505 15.07267 0.0000
22
MODELO AR(7)-GARCH(1,1)
PREVISÃO DINÂMICA (EXTRAPOLAÇÃO)
PREVISÃO ESTÁTICA (‘UM PASSO À FRENTE’)
23
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