Modelo matemático

En ciencias aplicadas, unmodelo matemático es uno delos tipos de modelos científicos que emplea algún tipo deformulismo matemático para expresar relaciones, propo-siciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, en-tidades y relaciones entre variables y/o entidades u opera-ciones, para estudiar comportamientos de sistemas com-plejos ante situaciones difíciles de observar en la reali-dad. El término modelización matemática es utilizadotambién en diseño gráfico cuando se habla de modelosgeométricos de los objetos en dos (2D) o tres dimensio-nes (3D).El significado de modelo matemático en filosofía de lamatemática y fundamentos de la matemática es, sin em-bargo, algo diferente. En concreto en esas áreas se traba-jan con “modelos formales”. Un modelo formal para unacierta teoría matemática es un conjunto sobre el que sehan definido un conjunto de relaciones unarias, binariasy trinarias, que satisface las proposiciones derivadas delconjunto de axiomas de la teoría. La rama de la mate-mática que se encarga de estudiar sistemáticamente laspropiedades de los modelos es la teoría de modelos.

1 Clasificaciones de los modelos

Se podría decir que un modelo de las ciencias físicas esuna traducción de la realidad física de un sistema físico entérminos matemáticos, es decir, una forma de represen-tar cada uno de los tipos entidades que intervienen en uncierto proceso físico mediante objetos matemáticos.Lasrelaciones matemáticas formales entre los objetos del mo-delo, deben representar de alguna manera las relacionesreales existentes entre las diferentes entidades o aspectosdel sistema u objeto real. Así una vez “traducido” o “re-presentado” cierto problema en forma de modelo mate-mático, se pueden aplicar el cálculo, el álgebra y otras he-rramientas matemáticas para deducir el comportamientodel sistema bajo estudio. Un modelo físico requerirá portanto que se pueda seguir el camino inverso al modelado,permitiendo reinterpretar en la realidad las prediccionesdel modelo.

1.1 Según la información de entrada

Con respecto a la función del origen de la informaciónutilizada para construir los modelos pueden clasificarsede otras formas. Podemos distinguir entre modelos heu-rísticos y modelos empíricos:

• Modelos heurísticos (del griego euriskein 'hallar,inventar'). Son los que están basados en las explica-ciones sobre las causas o mecanismos naturales quedan lugar al fenómeno estudiado.

• Modelos empíricos (del griego empeirikos relativoa la 'experiencia'). Son los que utilizan las observa-ciones directas o los resultados de experimentos delfenómeno estudiado.

1.2 Según el tipo de representación

Además los modelos matemáticos encuentran distintasdenominaciones en sus diversas aplicaciones. Una posibleclasificación puede atender a si pretenden hacer predic-ciones de tipo cualitativo o pretende cuantificar aspectosdel sistema que se está modelizando:

• Modelos cualitativos o conceptuales, estos pue-den usar figuras, gráficos o descripciones causales,en general se contentan con predecir si el estado delsistema irá en determinada dirección o si aumentaráo disminuirá alguna magnitud, sin importar exacta-mente la magnitud concreta de la mayoría de aspec-tos.

• Modelos cuantitativos o numéricos, usan núme-ros para representar aspectos del sistema modeliza-do, y generalmente incluyen fórmulas y algoritmosmatemáticos más o menos complejos que relacio-nan los valores numéricos. El cálculo con losmismospermite representar el proceso físico o los cambioscuantitativos del sistema modelado.

1.3 Según la aleatoriedad

Otra clasificación independiente de la anterior, según sia una entrada o situación inicial concreta pueden corres-ponder o no diversas salidas o resultados, en este caso losmodelos se clasifican en:

• Determinista. Se conoce de manera puntual la for-ma del resultado ya que no hay incertidumbre. Ade-más, los datos utilizados para alimentar el modeloson completamente conocidos y determinados.

• Estocástico. Probabilístico, que no se conoce el re-sultado esperado, sino su probabilidad y existe portanto incertidumbre.

1

2 3 FASES DE CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO

1.4 Clasificación según su aplicación u ob-jetivo

Por su uso suelen utilizarse en las siguientes tres áreas,sin embargo existen muchas otras como la de finanzas,ciencias etc.

• Modelo de simulación o descriptivo, de situacio-nes medibles de manera precisa o aleatoria, porejemplo con aspectos de programación líneal cuan-do es demanera precisa, y probabilística o heurísticacuando es aleatorio. Este tipo de modelos pretendepredecir qué sucede en una situación concreta dada.

• Modelo de optimización. Para determinar el pun-to exacto para resolver alguna problemática admi-nistrativa, de producción, o cualquier otra situación.Cuando la optimización es entera o no lineal, combi-nada, se refiere a modelos matemáticos poco prede-cibles, pero que pueden acoplarse a alguna alternati-va existente y aproximada en su cuantificación. Estetipo de modelos requiere comparar diversas condi-ciones, casos o posibles valores de un parámetro yver cual de ellos resulta óptimo según el criterio ele-gido.

• Modelo de control. Para saber con precisión comoestá algo en una organización, investigación, área deoperación, etc. Este modelo pretende ayudar a de-cidir qué nuevas medidas, variables o qué paráme-tros deben ajustarse para lograr un resultado o esta-do concreto del sistema modelado.

2 Ejemplos

Un modelo mixto operacional estadístico es una teoría osituación causal de hechos y expresado con símbolos deformato matemático. Por ejemplo las tablas de contingen-cia. De hecho los modelos matemáticos se construyen convarios niveles de significación y con diferentes variables.Kendall y Buckland catalogan hasta 40 tipos diferentesde modelos matemáticos. Ejemplos: Rapoport en mo-delo matemático e interacción social en 1961 y Bugedaen Sociología matemática en 1970. Por un principio deisomorfismo hay una equivalencia, a conseguir, entre unmodelo y una teoría. Además teoría y modelo son sinó-nimos.

2.1 Ejemplos de modelos por tipos

2.2 Modelo matemático de simulaciónhidrológica

Se utilizan para estudiar situaciones extremas, difícil-mente observables en la realidad, como por ejemplo losefectos de precipitaciones muy intensas y prolongadas en

cuencas hidrográficas, en su estado natural, o en las que seha intervenido con obras como canales, represas, diquesde contención, puentes, etc.La cuenca hidrográfica es dividida en sub-cuencas consi-deradas homogéneas desde el punto de vista: del tipo desuelo, de la declividad, de su cobertura vegetal. El núme-ro y tipo de las variables hidrológicas que intervienen enel modelo son función de objetivo específico para el cualse elabora el mismo.

3 Fases de construcción de un mo-delo

En muchos casos la construcción o creación de modelosmatemáticos útiles sigue una serie de fases bien determi-nadas:

1. Identificación de un problema o situación complejaque necesita ser simulada, optimizada o controladay por tanto requeriría un modelo matemático pre-dictivo.

2. Elección del tipo de modelo, esto requiere precisarqué tipo de respuesta u output pretende obtenerse,cuales son los datos de entrada o factores relevantes,y para qué pretende usarse el modelo. Esta eleccióndebe ser suficientemente simple como para permitirun tratamiento matemático asequible con los recur-sos disponibles. Esta fase requiere además identifi-car el mayor número de datos fidedignos, rotular yclasificar las incógnitas (variables independientes ydependientes) y establecer consideraciones, físicas,químicas, geométricas, etc. que representen adecua-damente el fenómeno en estudio.

3. Formalización del modelo en la que se detallaránqué forma tienen los datos de entrada, qué tipo deherramienta matemática se usará, como se adaptana la información previa existente. También podríaincluir la confección de algoritmos, ensamblaje dearchivos informáticos, etc, etc. En esta fase posible-mente se introduzcan también simplificaciones sufi-cientes para que el problema matemático de mode-lización sea tratable computacionalmente.

4. Comparación de resultados los resultados obte-nidos como predicciones necesitan ser comparadoscon los hechos observados para ver si el modelo es-tá prediciendo bien. Si los resultados no se ajustanbien, frecuentemente se vuelve a la fase 1.

Es importante mencionar que la inmensa mayoría de mo-delos matemáticos no son exactos y tienen un alto gradode idealización y simplificación, ya que una modelizaciónmuy exacta puede ser más complicada de tratar de unasimplificación conveniente y por tanto menos útil. Es im-portante recordar que el mecanismo con que se desarrolla

5.2 Enlaces externos 3

un modelo matemático repercute en el desarrollo de otrastécnicas de conocimientos enfocadas al área sociocultu-ral.

4 Véase también• Dinámica de sistemas

• Modelo científico

• Modelo físico

• Modelo climático

• Modelización

• Modelaje de acuíferos

• MC-14, método científico en 14 etapas

5 Referencias

5.1 Bibliografía

• Ríos, Sixto (1995).Modelización. Alianza Universi-dad. ISBN 978-84-206-2822-6.

5.2 Enlaces externos

• Definiciones

• Tipos de modelos matemáticos

• Introducción a la modelación (googlepages.com)

4 6 TEXT AND IMAGE SOURCES, CONTRIBUTORS, AND LICENSES

6 Text and image sources, contributors, and licenses

6.1 Text• Modelo matemático Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo%20matem%C3%A1tico?oldid=82070405 Colaboradores: 4lex, Sab-but, Lourdes Cardenal, Califasuseso, Opinador, Julian Colina, Tano4595, Jarfil, Carlos Quesada~eswiki, Dianai, Yrithinnd, Rembiapopohyiete (bot), LP, RobotQuistnix, Caiserbot, Yrbot, BOT-Superzerocool, Vitamine, Mortadelo2005, Santiperez, Chlewbot, Filipo, Alfre-dobi, Jstitch, CEM-bot, Damifb, Laura Fiorucci, Pinar~eswiki, F.A.A, Davius, Erodrigufer, IrwinSantos, Kavanagh, Botones, JAnDbot,Segedano, TXiKiBoT, Mercenario97, Humberto, Joniale, Fixertool, Gerwoman, Lnegro, Technopat, Queninosta, Erfil, Matdrodes, MuroBot, J.M.Domingo, SieBot, PaintBot, Loveless, El Ágora, Pascow, Greek, Pinguino-travieso, Antón Francho, Portland, Atila rey, AVBOT,David0811, Diegusjaimes, Luckas-bot, Spirit-Black-Wikipedista, SuperBraulio13, Xqbot, Jkbw, Programatesis, Botarel, BOTirithel, To-beBot, Halfdrag, RedBot, Jerowiki, Ripchip Bot, GrouchoBot, EmausBot, HRoestBot, Antonorsi, MerlIwBot, Sebrev, Acratta, Addbot,Negrito1997, Lalobus, Jarould, Gaissatriroca, Lectorina y Anónimos: 106

6.2 Images

6.3 Content license• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0