modelos de inventarios
DESCRIPTION
modelos de inventarios deTRANSCRIPT
Modelos de Inventarios Determinísticos
Pedro Alejandro Buitrago Sánchez
Presentado a: Luis Carlos Forero
Universidad Cooperativa de Colombia
Ingeniería de Sistemas
Investigación de Operaciones
Bogotá, Septiembre de 2012
MODELO DE COMPRAS CON FALTANTES (EOQ)
El modelo EOQ con faltantes al igual que el modelo sin déficit es de modalidad de
compras y rigen los mismos postulados, sin embargo su diferencia radica en que
en este modelo si se admiten faltantes, es decir, cuando nos quedamos sin
inventario y aun se necesitan más cantidades para satisfacer la demanda.
En la siguiente gráfica se muestra el comportamiento del modelo EOQ con
faltantes relacionando la cantidad a pedir vs el tiempo.
D: demanda
Q: Cantidades a pedir.
Imax: Inventario máximo.
S: Cantidades faltantes
T1: Tiempo en el cual se agota el inventario máximo en relación a la demanda.
T2: Tiempo en el cual no existe inventario para satisfacer a la demanda.
A partir de la gráfica podemos concluir que al realizar un pedido para obtener el
inventario máximo, transcurre un tiempo T1 para que este se agote de acuerdo a
la demanda. Una vez que nuestro inventario esta en cero, llega un tiempo T2 en el
cual no existe inventario y se presentan faltantes (S) para satisfacer la demanda,
representándonos el tiempo de espera para realizar otro pedido y obtener
nuevamente inventario.
Analizando los costos en los cuales incurre el presente modelo, encontramos
semejanzas con el modelo anterior debido a que presenta: el costo de adquisición
(Cu) de acuerdo a la cantidad solicitada, el costo que implica realizar un pedido
(Cp), el costo de mantener guardado los inventarios (Cmi). No obstante,
encontramos un nuevo costo relacionado con el déficit, denominado costo por
faltantes (Cf).
Los costos por faltantes son aquellos que se presentan cuando nos hemos
quedado sin inventario, como son los costos por la falta de utilidad generada a
causa de la insatisfacción de la demanda. Por lo cual debemos administrar de
forma adecuada nuestros inventarios, de tal manera que no nos quedemos sin
existencia del mismo y podamos programar a tiempo la solicitud de un nuevo
pedido.
Sin olvidar mencionar que para hallar el costo de mantener los inventarios
debemos calcular el área bajo la curva de la zona azul y para el costo faltante se
calcula el área morada bajo la curva.
De acuerdo a lo mencionado anteriormente, la expresión que representa el modelo
de cantidad económica de pedido (EOQ) es la siguiente:
Teniendo como punto de referencia la gráfica, obtenemos algunas relaciones que
nos lleva a las siguientes ecuaciones:
Para Imax:
Para hallar T1:
Para hallar T2:
Remplazando (2), (3), (4) en la ecuación (1) obtenemos:
Procedemos a multiplicar la anterior ecuación anterior por el número de pedidos N
con el fin de hallar la fórmula del Costo total anual (Cta) según este modelo.
Obteniendo para la ecuación de costo total anual la siguiente expresión:
El modelo de inventario EOQ con faltante para minimizar los costos a diferencia
del anterior modelo debe tenerse en cuenta dos variables:
La cantidad óptima (Q*)
La cantidad faltante (S*)
Para lo cual, debemos hallar las derivadas parciales de la ecuación (6) con
respecto a las cantidades a pedir y las cantidades faltante:
Resolviendo las derivadas obtenemos:
Sustituimos la ecuación (9) y (10) en (7) , obtenemos S*:
Sustituimos la ecuación (11) en (10), obtenemos Q*:
MODELO DE COMPRAS SIN FALTANTES (EOQ)
El modelo EOQ o de cantidad económica de pedido es un modelo de compra
aplicado para inventarios con demanda independiente y presenta las siguientes
características:
Demanda constante y conocida.
No admite faltantes.
Presenta el costo de mantener guardado el inventario.
Presenta el costo de pedido.
Los costos son constantes. Por ejemplo: los costos no varían por la fluctuación del
dólar.
Reposición instantánea, es decir, los pedidos se envían completos (No hay
entregas parciales) y no existe tiempo de demora.
En la siguiente gráfica se muestra el comportamiento del modelo EOQ
relacionando la cantidad a pedir vs el tiempo.
D: demanda
Q: Cantidades a pedir.
T1: Tiempo en el cual se agota las cantidades pedidas en relación a la demanda.
A partir de la gráfica podemos concluir que al realizar un pedido con Q cantidades,
este va a necesitar de un tiempo T1 para agotarse de acuerdo al comportamiento
de la demanda, por lo cual este tiempo a su vez nos indica el período necesario
que debemos esperar para realizar nuevamente un pedido.
Además, se debe analizar que al realizar un pedido incurrimos en diversos costos
como son: el costo de adquisición (Cu) de acuerdo a la cantidad solicitada, el
costo que implica realizar un pedido (Cp) y el costo de mantener guardado los
inventarios (Cmi), para hallar este último costo debemos calcular el área bajo la
curva (zona sombreada).
De acuerdo a lo mencionado anteriormente, la expresión que representa el modelo
de cantidad económica de pedido (EOQ) es la siguiente:
Sin embargo esta ecuación nos permite conocer el costo de Q unidades para un
solo período y necesitamos conocer el costo total anual de pedir. Pero, esto no es
problema porque conociendo que el tiempo representa las cantidades requeridas
para satisfacer la demanda y además, el número de pedido (N) nos relaciona la
demanda que se debe suplir por cantidad de lotes obtenemos las siguientes
ecuaciones:
Siguiendo con lo postulado, para hallar el costo total anual (Cta) debemos
multiplicar la ecuación (3) que representa el número de pedidos a la expresión (1)
del costo de Q unidades para un solo período.
Para obtener la expresión en términos solamente de D y Q, se remplaza la
ecuación (2) en la (4):
Obteniendo para la ecuación de costo total anual la siguiente expresión:
Recordando lo anunciado con anterioridad, resaltamos que este modelo de
inventario se encuentra en función de los costos por lo cual debemos hallar la
cantidad óptima (Q*) para conseguir el menor valor del costo total anual
(Minimización de costos). Por lo cual, debemos hallar la derivada de la ecuación
(5) con respecto a las cantidades, igualarla a cero y posteriormente despejar Q:
Al hallar la expresión de la cantidad óptima (Q*) y graficarla en conjunto con los
otros dos costos, observamos su comportamiento en la siguiente gráfica:
Concluyendo en este modelo que la cantidad óptima se obtiene cuando el costo
de mantener el inventario (Cmi) es igual al costo de pedir (Cp).
Además, permite establecer que hay una relación inversa entre Cp y Cmi: Al pedir
una mayor proporción de pedido de la cantidad óptima, los costos de pedido se
disminuirán y los costos de mantenimiento se incrementaran debido al volumen de
las cantidades. Por el contrario, si solicitamos una cantidad menor a la óptima
sucederá el efecto contrario mayor costo de pedido y menor costo al mantener el
inventario
MODELO DE PRODUCCION CON FALTANTES (LEP)
El modelo LEP con faltantes al igual que el modelo sin déficit es de carácter
productivo y rigen los mismos postulados, sin embargo su diferencia radica en
que en este modelo si se admiten faltantes, es decir, cuando nos quedamos sin
inventario y aun se necesitan más cantidades para satisfacer la demanda.
En la siguiente gráfica se muestra el comportamiento del modelo LEP con
faltantes relacionando la cantidad a pedir vs el tiempo.
D: demanda
Q: Cantidades a pedir.
Imax: Inventario máximo.
S: Cantidades faltantes.
T1: Tiempo positivo de acción o tiempo de fabricación
T2: Tiempo en el cual se agota el inventario en relación con la demanda.
T3: Tiempo en el cual se empieza a acumular pedidos (existencia de faltantes).
T4: Tiempo en el cual la producción se nivela con los pedidos pendientes.
A partir de la gráfica podemos concluir que una empresa manufacturera que
trabaja con una tasa de producción R, presenta una demanda que neutraliza la
tasa (R-D) en un tiempo determinado, es decir, a medida que se está ejecutando
una orden de producción se debe tener en cuenta las unidades que están siendo
demandas.
La producción se lleva a cabo en el tiempo positivo de acción T1 cuando las
máquinas involucradas en el proceso inician su operación (al mismo tiempo que se
van demandando las unidades) y finalizan cuando se completa la producción del
inventario máximo que debemos tener, dando lugar al tiempo T2 en el cual se
agota el inventario producido con relación a la demanda. Una vez que nuestro
inventario esta en cero, llega un tiempo T3 en el cual no existe inventario y se
presentan faltantes (S) para satisfacer la demanda, representándonos la
acumulación de pedidos, para dar lugar a un tiempo T4 en el cual la producción se
nivela con los pedidos pendientes.
Analizando los supuestos de este modelo, afirmamos que los costos en los cuales
incurre este modelo son: el costo de adquisición (Cu) de acuerdo a la cantidad de
unidades producidas, el costo que implica ejecutar una orden de producción (Cop),
el costo de mantener guardado los inventarios (Cmi), para hallar este último costo
debemos calcular el área bajo la curva (zona sombreada). No obstante,
encontramos un nuevo costo relacionado con el déficit, denominado costo por
faltantes (Cf).
De acuerdo a lo mencionado anteriormente, la expresión que representa el modelo
de lote económico de producción con faltante es la siguiente:
Para remplazar las variables t1, t2, t3, t4 e Imax nos regresamos a la gráfica
mostrada inicialmente y hallamos los nuevos valores:
Teniendo en cuenta las ecuaciones (1) y (2):
Basándonos en las ecuaciones (3) y (4):
Empleando la ecuación (5):
Remplazando las ecuaciones obtenidas en el costo total:
Proseguimos a multiplicar la anterior ecuación por el número de pedidos N con el
fin de hallar la fórmula del Costo total anual (Cta) según este modelo.
El modelo de inventario LEP con faltante para minimizar los costos a diferencia del
modelo sin déficit debe tenerse en cuenta dos variables:
· La cantidad óptima (Q*)
· La cantidad faltante (S*)
Para lo cual, debemos hallar las derivadas parciales con respecto a las cantidades
a pedir y las cantidades faltante:
Obteniendo como resultado final, despues de resolver las anteriores ecuaciones:
MODELO DE PRODUCCION SIN FALTANTES (LEP)
El modelo LEP o lote económico de producción es un modelo como su nombre lo
indica de carácter productivo, es decir, hace referencia a empresas
manufactureras que trabajan en base a una orden de pedido. Además, es aplicado
para inventarios con demanda independiente y plantea los siguientes supuestos:
Demanda constante y conocida.
No admite faltantes.
Tasa de producción R: la tasa de producción siempre debe ser mayor a la
demanda.
Presenta un costo de mantener guardado el inventario.
Presenta un costo de orden de pedido.
Los costos son constantes. Por ejemplo: los costos no varían por la fluctuación del
dólar.
Reposición instantánea, es decir, no existen entregas parciales ni tiempo de
demora.
En la siguiente gráfica se muestra el comportamiento del modelo EOQ
relacionando la cantidad a pedir para llevar a cabo la orden de producción vs el
tiempo.
D: demanda
Q: Cantidades a pedir.
Imax: Inventario máximo.
T1: Tiempo positivo de acción o tiempo de fabricación
T2: Tiempo en el cual se agota el inventario en relación con la demanda.
A partir de la gráfica podemos concluir que una empresa manufacturera que
trabaja con una tasa de producción R, tiende a producir un número Q de unidades
en un tiempo determinado. Sin embargo este es un comportamiento ideal porque
realmente no se producen las cantidades Q presupuestadas, debido a que a
medida que se está ejecutando una orden de producción se debe tener en cuenta
las unidades que están siendo demandas, demarcadas por la expresión (R-D)
como se observó gráficamente.
La producción se lleva a cabo en el tiempo positivo de acción T1 cuando las
máquinas involucradas en el proceso inician su operación y finalizan cuando se
completa la producción del inventario máximo que debemos tener, dando lugar al
tiempo T2 en el cual se agota el inventario producido con relación a la demanda.
Por lo tanto el tiempo necesario para iniciar nuevamente la producción resulta de
la suma de T1 + T2.
Analizando los supuestos de este modelo, afirmamos que los costos en los cuales
incurre este modelo son: el costo de adquisición (Cu) de acuerdo a la cantidad de
unidades producidas, el costo que implica ejecutar una orden de producción (Cop)
y el costo de mantener guardado los inventarios (Cmi), para hallar este último
costo debemos calcular el área bajo la curva (zona sombreada). No obstante,
debemos aclarar que en el presente modelo no se presentan costos de pedidos
porque no es un modelo comercial.
De acuerdo a lo mencionado anteriormente, la expresión que representa el modelo
de lote económico de producción (LEP) es la siguiente:
Para reemplazar las variables T1, T2 e Imax nos regresamos a la gráfica mostrada
inicialmente y hallamos los nuevos valores de esta variable en términos de Q, sin
olvidar que: T= (Q / D).
Remplazando (2), (3), (4) en (1), obtenemos la siguiente expresión de costo:
Proseguimos a multiplicar la anterior ecuación anterior por el número de pedidos N
con el fin de hallar la fórmula del Costo total anual (Cta) según este modelo.
Continuando con este modelo LEP sin faltantes, procedemos a hallar la cantidad
óptima a producir (Q*) para conseguir el menor valor del costo total anual
(Minimización de costos). Por lo cual, debemos hallar la derivada de la ecuación
(6) con respecto a las cantidades, igualarla a cero y posteriormente despejar Q:
EJERCICIOS
PROBLEMA 1 (MODELO DE COMPRAS CON FALTANTES)
Cada año la Samltown Optometry Clinic Vende 10,000 armazones para lentes la
clínica pide las armazones a un abastecedor regional, que cobre 14 dólares por
armazón. Cada pedido incurre en un costo de 50 dólares.
La óptica cree que se demanda de armazones puede acumularse y que el costo
por carecer de un armazón durante un año es 15 dólares debido a la pérdida de
negocios futuros. El costo anual por mantener un inventario es de 30 centavos por
dólar del valor del inventario. ¿Cuál es la cantidad óptima de pedido? ¿Cuál es la
escasez máxima que se presentará? ¿Cuál es el nivel máximo de inventario que
se presentará?
Solución:
Paso 1: Identifico Modelo
Tamaño Económico de lote reabastecimiento instantáneo con faltantes permitidos
(modelo con escasez)
Paso 2: Determino los costos
Precio del inventario = $15 por armazón
C3=$50 por pedido
C2=$15 unidad/año
C1=$0.30 por dólar del valor del inventario
Entonces el costo 1 corresponde A
$30 --------- $1
x ----------- $15
$0.30/$1 * $15 = $4.50 o simplemente
C1=0.30 * valor del inventario = 0.30(15) = $4.50
Por lo tanto C1=$4.50
La demanda es de r=10,000 armazones al año.
Paso 3: Introducir datos en las formulas
Para Q* (cantidad optima de pedido)
¿Cuál es el nivel máximo de inventario?
¿Cuál es la escasez máxima que se presentara?
Esto se puede resolver de 2 formas
Forma 1:
Carencia máxima = Q* - S* = 573.48 – 413.45 = 124.03 armazones
O bien
Forma 2:
Paso 4: Conclusión
Entonces la carencia máxima que se presentará será 124.03 armazones y cada
pedido debe ser 537 o 538 armazones. Se tendrá un nivel máximo de existencias
de 413.45 armazones.
PROBLEMA 2. (MODELOS DE COMPRAS SIN FALTANTES
Compra de disquetes. Una empresa local de contaduría en Guatemala pide cajas
de 10 disquetes a un almacén en la Ciudad. El precio por caja que cobra el
almacén depende del número de cajas que se le compren (ver tabla). La empresa
de contadores utiliza 10,000 disquetes por año. El costo de hacer un pedido es
100 dólares. El único costo de almacenamiento es el costo de oportunidad de
capital, que se supone 20% por año. P1=50 dólares, P2=40 dólares, P3=48.50
dólares
Número de cajas pedidas (q) Precio por caja (dólares)
0£ q<100 50.00
100£ q<300 49.00
q³ 300 48.50
Cada vez que se hace un pedido de disquetes ¿Cuántas cajas se deben pedir?
¿Cuántos pedidos se hacen al año? ¿Cuál es el costo anual total para cumplir con
la demanda de disquetes por parte de la empresa de contadores?
Solución:
Demanda = 10,000 disquetes por año, pero los precios son por caja y sabemos
que 10 disquetes trae una caja por lo tanto la demanda es de 1,000 cajas por año.
r=1,000 cajas/año
Costo de ordenar =C3=$100
Costo de almacenamiento = C1 = 0.20 del valor del inventario
C1=0.20Px : Px=P1, P2, P3...Pn
Por lo regular el costo de almacenar en este modelo se da en porcentaje del
inventario ya que el precio varía de acuerdo a la cantidad pedida.
Teniendo estos Q* óptimos miro si se encuentran en el rango de la tabla
Q1*=141.42 0£ q<100 X No cumple
Q2*=142.86 100£ q<300 / Si cumple
Q3*=143.59 q³ 300 / Si cumple y Nuevo Q*3=300
¿Por qué si cumple Q*3 y No Q*1?
En Q*1 no puedo menos de lo que necesito por ejemplo no puedo pedir 100 ya
que faltarían 42, al contrario de Q*3 donde si puedo pedir mas de 143 y pido 300
ya que es el mínimo que me permite ese precio y el nuevo Q*3 seria 300.
Encuentro los Costó Totales:
El costo 1 se valuó dado que el Q* no cumple.
Conclusión:
Se incurre en menor costo anual el hacer un pedido optimo de 300 cajas, con un
costo de $50,288.33/año ordenando 1,000/300=3.33 » 4 veces al año para
satisfacer la demanda.
PROBLEMA 3. (MODELOS DE PRODUCCION CON FALTANTES)
Un gran productor de medicina para los nervios produce sus provisiones en
remesas, el costo de preparación para cada remese es de $750. De la producción
se obtiene 48 galones diarios del producto y cuesta $0.05 cada uno para
conservarlos en existencia. La demanda constante es de 600 galones al mes.
Suponga 12 meses, 300 días al año y 25 días al mes. Encuentre la cantidad
óptima de producción, el tiempo de ciclo óptimo, la existencia máxima, la duración
en días de cada remesa de producción y el costo total óptimo.
Solución:
Tamaño económico de lote, ciclo productivo, sin faltantes permitidos.
C3= Costo de producción = $750
C1= Costo de almacenamiento = $0.05 /mes
K= tasa de producción = 48 gal/día x 25 días = 1,200 galones / mes
r = demanda = 600 gal /mes
Se podría trabajar en días / meses / años / semanas etc y Q* siempre tiene que
dar los mismo, siempre y cuando se utilicen las mismas unidades.
Busco Existencia máxima
Producción Q*/K = 6,000gal/1,200 gal/mes =5 meses
Tciclo= Q*/r =6,000ga/600 gal/mes= 10 meses
Produce=5/10=0.5 del tiempo 0.5(300)=150 días/año
Se puede utilizar cualquiera de las 2 formulas y da lo mismo para Q*
PROBLEMA 4. (MODELOS DE PRODUCCION SIN FALTANTES)
Una empresa de limpieza industrial ha estimado una demanda anual de 50,000
guantes, se estima que existe un costo de ruptura o escasez de Q0.30 unidad/mes
se debe analizar la forma de programar lotes de producción si se desean utilizar
los recursos minimizando los costos. El costo de mantener el inventario es de
Q0.20 unidad/mes, el costo de emitir un lote es de Q150.00. Cual debería de ser la
política de la siguiente empresa y la carencia máxima que se le presentara.
Solución:
Tamaño económico del lote reabastecimiento instantáneo faltante permitido.
r= demanda = 50,000/año
C2= costo de escasez Q0.30 unidad/mes x 12 meses = Q3.60 unidad /año
C1= costo de inventario = Q0.20 unidad/mes x 12 meses = Q2.40 unidad/año
C3= costo de ordenar = Q150.00
Nótese que el costo de almacenar (C1) se dan directamente como un valor fijo.
(en este problema)
D*=Q*-S* : D*= carencia máxima
Conclusión: La empresa debería pedir 3,227 o 3,228 unidades cada vez que haga
un pedido. Su carencia máxima será de 1,291 unidades.
