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Modelos Matemáticos em Epidemiologia
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Algumas definições
hAlgumas doenças contagiosas que acometem rapidamente a um grande segmento de uma população são chamadas de epidemias (do grego epi, sobre + demos, povo.) Epidemiologia é a ciência que estuda a distribuição e freqüência dessas doenças. hEpidemiologia: (do ponto que nos interessa)
estado no qual o número de infectados cresce a partir de um valor inicial.hEndemia: Doença que existe constantemente em
determinado lugar e ataca número maior ou menor de indivíduos
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O número de reprodução básico, R0 de uma doença contagiosa é o número médio de novos infectados que gera um indivíduo doente sobre uma população sem imunidade à doença e na ausência de qualquer controle.
quando R0 < 1 o contágio diminui
se R0 > 1 a epidemia continua se alastrando
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O Processo de Modelagem
DadosCaracterísticas da doença
Processo Epidemiológico
Modelo Matemático
Predições
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A compartimentagem da população
hSusceptíveishInfectadoshExpostoshRecuperados hVacinadosh...
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Questões específicas
h Como melhorar o controle de transmissão endêmica?
h a vacinação é eficiente para o controle da epidemia?
h É sempre benéfico estimular a vacinação ?
h Qual é melhor estratégia para proteger um grupo vulnerável ?
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Tipos de Modelos Epidemiológicos
Modelos compartimentados
• divide a população em termos de portadores da doença modelo SIR : susceptível, infectado, recuperado
• Faz hipóteses ‘grosseiras’ em relação à população(ignora faixa etária, classe social, etc.)
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S + I + R = N (população constante)
S: susceptível R: recuperadoI: infectado
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Um surto de sarampo
R
S
I
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Sarampo (semanalmente) Peste bubônica (diariamente)
Comparação entre SIR e ajuste de dados
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SIR em uma população fechada
S
I
R
Infecção
Recuperação
IdtdR
ISIdtdI
SIdtdS
γ
γβ
β
=
−=
−=Princípio de Ação de Massas
β
γ
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β: coeficiente de transmissibilidade: taxa de recuperaçãoγ
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Um surto de gripe (um outro uso de R0 )um método gráfico para determinar o número de indivíduos que escaparam da gripe
Porcentagem de indivíduos recuperadosapós de um período grande de tempo
O parâmetro epidemiológico R0
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Um Modelo Epidemiológico elementar
hA taxa de novos infectados é proporcional à população infectada
h Isto é, um modelo de crescimento exponencial
hParque uma epidemia não cresce exponencialmente ?Decréscimo da população susceptível
hO contágio depende dos tamanhos das populações de infectados e dos susceptíveis
IdtdI β=
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hTipo de doença que não confere imunidadehPeríodo de incubação curtohIncidência sazonal pequenahDoenças sexualmente transmitidas
SIS: Características do modelo
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b
b
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SIS padrão
S
I
S
IγI
γI
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Análise do modelo SIS
hCálculo de níveis endêmicos
hCritério para condição de endemia
hDois pontos de equilíbrio
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SIS padrão: pontos fixos
γI
γI
= 0
= 0
com γ
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hse βS > γ , o número de infectados aumentahUma epidemia se espalha através da população
hO número de infectados cai quando S permanece abaixo de R0 =β / γ,
S
I
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O número básico de reprodução: R0
hUm parâmetro de central importância em epidemiologia
R0 : o número de contágios que resultam pela introdução de um indivíduo infectado em um grupo totalmente suceptível
hse R0 > 1 a epidemia se alastra(cada caso se reproduz a mais que um contágio)
hA epidemia termina quando S cai abaixo de β / γ
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S I R básico
d S S Id td I S I Id td R Id t
β
β γ
γ
= −
= −
=
β: coeficiente de transmibilidadeγ: taxa de recuperação
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Condições iniciais
com
Um único Ponto fixo:
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b
SIR em uma população com nascimentos e mortes
b: nascimentosμ: mortandade
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SIR com mortes e nascimentos
S
I
R
Nasc.
morte
Infeção
Recuperação
morte
morte
• Consideramos nascimentos e mortes
• População susceptível realimentada pelos indivíduos imunizados
• se R0 > 1 , o sistema vai para um equilíbrio endêmico:
• taxa de nascimentos contrabalança
• taxa de infecção contrabalança com os recuperados
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SIR completo
S
I
R
Infecção
Recuperação
b
μ
μ
μ
Perda de imunidade
β
δ
γ
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S I R
( )RIR
ISIISSINS
μ−γ=
γ+μ−β=
μ−β−μ=
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• O sistema se aproxima ao equilíbrio endêmico com oscilações amortecidas
S
I
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O número básico de reproduçao: R0
hR0 > 1 o contágio persiste
hR0 indica a dificuldade em erradicar a infecção
h fração crítica de vacinação pc = 1 - 1/R0
hFacilidade para erradicar uma infecção com baixo R0
( varíola: R0 ≈ 5, sarampo: R0 ≈ 15)
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Modelos com maior complexidade
μ
μ
V: vacinadosb
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S E I R: susceptíveis + expostos + infectados + recuperados
b
E : expostos
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M S E I R: imunizados + susceptíveis + expostos + infectados + recuperados
M: nascimentos com imunidade
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SIS: Hipóteses do modelo
hN : (população total) é constantehAs taxas de nascimentos e mortes são as mesmas. i) Os recém nascidos são susceptíveisii)A população tem uma expectativa de vida tipo
exponencial negativa (vida média : 1 / μ)h A população é homogêneahβ é a probabilidade de contacto entre os indivíduos
das populaçõeshOs indivíduos infectados são recuperados e
eliminados da classe dos infectadoshTaxa de remoção dos infectados: μ+ γ