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VIII. Modelos Micrometeorológicas
Andrew S. KowalskiCatedrático de Universidad
Departamento de Física AplicadaUniversidad de Granada
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Bibliografía micrometeorológica
• Stull; Capítulo 6. (Turbulence Closure Techniques)
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Desdecimiento
• Modelizar: lo que hacemos cuando no sabemos lo que pasa de verdad
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Esquema
• “Turbulence closure”– Parametrización
• Local• No-local
• El perfil del viento– Parámetros de intercambio de momento– Parámetros superficiales
• Modelos más sencillos– Resistencias– Coeficientes de intercambio masivo
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Esquema
• “Turbulence closure”– Parametrización
• Local• No-local
• El perfil del viento– Parámetros de intercambio de momento– Parámetros superficiales
• Modelos más sencillos– Resistencias– Coeficientes de intercambio masivo
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El concepto de “closure”• Muchas ecuaciones de conservación
• ¿Descripción completa de la turbulencia?• No: más incógnitas que ecuaciones • Variable incógnita: falta de ecuación
pronóstica o diagnóstica • Nueva ecuación más incógnitas …• Para cualquier grupo finito de ecuaciones, no
se puede cerrar la descripción de la turbulencia
• “The closure problem”
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Ecuaciones y incógnitas
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Como cerrar• Elegir un número finito de ecuaciones• Buscar aproximaciones para las incógnitas
– “Aproximaciones para lograr closure”– “Parametrizaciones”
• Se nombran en función del orden (momento) de las ecuaciones pronósticas incluidas– “Zero order closure” (de orden 0; ejm GCMs)
• Ni si quiera tenemos ecuaciones para los promedios• Parametrizar el movimiento y estado promedio
– “First order closure” (1er orden; ejm meteó)• Es la aplicación más común• Ecuaciones para los momentos del 1er orden (promedios)• Parametrización para los momentos de 2º orden (más tarde)
......
ttU i
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Higher-order closure
• ¿Nos interesa modelizar los detalles de la turbulencia?– “Second order closure” (de orden 2)
• Ecuaciones para– Promedios– Varianzas– Co-varianzas (flujos)
• Parametrizar términos de orden más alto– Se pueden comprender términos
incluso de orden más elevada …
...''
...''
...'
...
...
...
2
tu
tuu
t
tet
tU
i
ji
i
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Un caso híbrido
• Queremos incluir la física básica de la turbulencia, pero sin los detalles– “One-and-a-half order closure” (de orden 1.5)
• Ecuaciones para– Promedios– Varianzas (TKE)
• Flujos = modelo
R
gc
gc
zw
zw
t
zepwwg
zVwv
zUwu
te
zw
t
zwvUUf
tV
zwuVVf
tU
2''''2'
''''''''
''
''
''
22
Hipótesis:• Atmósfera seca• Homogeneidad horizontal• Ninguna subsidencia
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Esquema
• “Turbulence closure”– Parametrización
• Local• No-local
• El perfil del viento– Parámetros de intercambio de momento– Parámetros superficiales
• Modelos más sencillos– Resistencias– Coeficientes de intercambio masivo
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Local y no-local• Dos paradigmas para “closure”• Ninguno es exacto, ni mejor en general• Para modelizar una incógnita en un punto en
espacio, se puede hacer de manera– Local:
• en función de conocidos y gradientes en el mismo punto• Turbulencia = análoga a la difusión molecular
– No-local: • en función de los conocidos en muchos puntos• Turbulencia = superposición de remolinos advectivos
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Parametrización• Incógnita = f(conocido, parámetro)
– Conocido = variable que tiene ecuación pronóstica– Parámetro = cte. empírica
• Parametrización = aproximación de la naturaleza– Simple– Imperfecta– ¿adecuada?
• Requisitos: tiene que comportarse como la incógnita en– Dimensión– Conservación– Propiedades tensores (vectoriales)
• Simetría• Dependencia en el sistema de coordenadas (e inercial)
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First order• Se resuelvan explicitamente todas las propiedades
promedias (u, T, q)• Ejm, en un caso seco, con homogeneidad horizontal, y
sin subsidencia :
• Las incógnitas son los flujos turbulentos, que necesitan una parametrización
• El más común es un ejemplo de tipo local
t
wt
twvUUf
tV
twuVVf
tU
gc
gc
''
''
''
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Flux-gradient relationships• En la capa superficial (SL)
– Suponiendo cte flujo con altura– Para una variable que se conserva (x), eso permite:
• Kx = coeficiente de difusividad turbulenta para la cantidad x– Propiedad del flujo y no en el fluido (no como difusividad molecular)– Varía con la altura
• Próxima a la superficie: Kx ~ 10-5 m2s-1
• Mitad de la capa límite: Kx ~ 102 m2s-1
• Para mantener un flujo cte, – Los gradientes tienen que ser más fuerte cerca de la superficie – El gradiente de x decrementa con altura (perfil casi-logarítmico)
• Este tipo de parametrización se llama– Gradient transport– K theory
zKwF
''
gradienteddifusividaflujo
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Parametrizaciones de los flujos turbulentos
• La K se conoce por varios nombres:– “Eddy viscosity”– “Eddy diffusivity”– “Eddy-transfer coefficient”– “Turbulent-transfer coefficient”– “Gradient-transfer coefficient”
• Los sub-índices M, H y E denotan momento, calor (Heat), y humedad (Evaporative)
• Típicamente se supone:KH=KE=1.35 KM (m2s-1)
• Pues:
zKw H
''zUKwu M
''zVKwv M
''zqKqw E
''
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Justificación de “K-Theory” Mixing-length theory
• Los remolinos en la SL remueven las propiedades del aire (T, q, u) y reducen los gradientes
• Si suponemos una longitud característica “l” para el proceso de mezclar, entonces:
l’
( )u z
zulu
uzuu
''
')(
'' uw Hipótesis: turbulencia isotrópica:
zw
ul'~'Por lo cual:
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Flujo de un escalar• De igual manera, podemos parametrizar c’ como:• Entonces el producto w’c’ es así:
• Tomando:
'' lzcc
zu
zclcw 2''
zUlKC 2
zcKC
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Mixing-length theory• La longitud de mezcla
(“mixing length”) depende de la altura
• Se suele suponer una relación l2=k2z2
– Donde k es la constante de von Karman
– k ~ 0.4
l’
( )u z
l’
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¿Porqué no local?
• Superposición de remolinos• Gradientes locales dentro de
remolinos más grandes• ¿Qué dirección de transporte?
• Conclusión: K-theory no es válido en situaciones convectivas.
zKwF
''
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Teorías no-locales para “closure”• Los remolinos pequeños no pueden mezclar instantáneamente• Transporte por remolinos grandes en distancias finitas es rápido• Un punto de vista parecido a la advección
– A veces, la turbulencia tiene organización a escala grande• Observaciones de termales con centros “puros” (sin diluir)• Remolinos de nieve, hojas, polvo…
– Requiere un análisis no-local– Hay que reconocer efectos diferentes por el espectro de remolinos
• O en el dominio de espacio (e.g., “transilient turbulence theory”)• O bien en el dominio temporal (frecuencia)
• No presentado aquí
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Esquema
• “Turbulence closure”– Parametrización
• Local• No-local
• El perfil del viento– Parámetros de intercambio de momento– Parámetros superficiales
• Modelos más sencillos– Resistencias– Coeficientes de intercambio masivo
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Perfil de Viento logarítmico• …en la SL
Stull (1988)
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• Velocidad de fricción:• K-theory:
• La cizalla es:
• Integración:
• Una linea:
Se aplica la teoría “Mixing length” al flujo de momento
zUkzu
zUKu m
*2
*
''* uwu
kzu
zu *
Czkzuu ln*
0* /ln)( zz
kuzu
zUKu m
*
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z [m]
u [m s-1]
1
10
100
0.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.01z0
k/u* = pendiente
Ejm: viento frente al logarmítmo de altura
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Perfil de Viento logarítmico• …en la SL
Stull (1988)
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Roughness Length (z0)
Arya (2001)
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Roughness Length (z0)
Arya (2001)
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Superficies más complicadas
¿z0 > 1m?
z0 << 1m
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Roughness Length (z0)
Arya (2001)
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Zero-plane displacement height (d)
Stull (1988)
0* /ln)( zdz
kuzu
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Cómo estimar d• Solución heurística
– Perfil logarítmico– Ordenadores
• Muchas veces se estima d=0.7h
0* /ln)( zdz
kuzu
ln(z
-d)
u
d=0d=5md=7m
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Esquema
• “Turbulence closure”– Parametrización
• Local• No-local
• El perfil del viento– Parámetros de intercambio de momento– Parámetros superficiales
• Modelos más sencillos– Resistencias– Coeficientes de intercambio masivo
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Modelos más sencillos• A veces es interesante buscar una analogía entre lo
que quieres describir, y algo que se conoce bien• El ejemplo más común: la ley de Ohm
• V = I R– V: Diferencia de potencial (D intensidad)– I: corriente (flujo)– R: resistencia
• I = g DV• F = K Dc
(g = 1/R = conductancia)
Aunque es más intuitivo usando conductancias, se suelen definir con resistencias (ley de Murphy)
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El uso de resistencias• Se usan con frecuencia en la micrometeorología• Sobre todo en situaciones complicadas porque:
– Conceptualmente sencillo y conocido– Favorece las colaboraciones interdisciplinares
• Ingieneros• Botanicos• Fisiólogos• Meteorólogos
– Se puede parametrizar un sistema complicado• Combinación de resistencias• En serie y en paralelo
• Resistencia es proporcional a– La dimensión (longitud) física– El inverso de la difusividad (conductancia ~ difusividad)
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• Hay que integrar la expresión “flux-gradient” en la vertical:
• Como Fx es cte en la SL, se puede sacar del integral
• Definiendo la resistencia R de manera apropiada:
• Llegamos a una expresión similar a la Ley de Ohm:
Derivación de las resistencias
zdzK
dzFz
z
z
z
2
1
2
1
)()( 21
2
1
zzKdzF
z
z
DRF
2
1
z
z KdzR
RF
D
Diap. Anterior: Proporcional aLa longitud (altura)El inverso de la difusividad
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Encuadra bien con la modelización de sistemas biológicas
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Sumando Resistencias• Las resistencias en
serie se suman
• Las conductancias en paralela se suman
Resistencias en serie1 2 3R equiv R R R
21 3
1 1 1 1
equivg g g g
Suma de los Ri
Resistencias en paralela
1 2 3equivg g g g
1 32
1 1 1 1
equivR R R R
Suma de los gi
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Resistencias en serie y en paralelo
• “Resistencias aerodinámicas”
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Momento y resistenciasEl coeficiente de arrastre
• La resistencia a la transferencia de momento:
• “Bulk aerodynamic resistance” para momento– Fisicamente, el producto CDu tiene dimensiones de
conductancia (=resistencia-1)– El coeficiente de arrastre (CD) no tiene dimensión– tiene dependencias en
• La altura: Desdel nivel z hasta el nivel z0• La estabilidad: aumenta (R decrementa) con la inestabilidad
0
)(
zuRaM 20*
)(u
zuuCD
12
2*
uuCD
![Page 41: Modelos Micrometeorológicas - Universidad de Granadaandyk/Docencia/Micromet/08.pdf• Mitad de la capa límite: Kx ~ 102 m2s-1 • Para mantener un flujo cte, – Los gradientes tienen](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042214/5eba7822f40efa77ac777bcf/html5/thumbnails/41.jpg)
El perfil “logarítmico” de viento depende de la estabilidad
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Relaciones de “Bulk transfer” (transferencia masiva)
• Coeficientes de transferencia– Coeficiente de arrastre (Drag coefficient, CD)– “bulk transfer coefficients” (CH y CV)
• El coeficiente de arrastre (CD drag coefficient) se define:
2
0
22*
ln
M
D
zz
kuuC
Para compras: “bulk” = “a granel”
Efecto de la estabilidad
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Los coeficientes de transferencia
• De manera parecida, para calor y humedad:
• En la práctica, relacionar los flujos a las propiedades promedias
• Están incluidos los efectos de la estabilidad
uCR
HaH
1
uCR
EaV
1
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Relaciones de “Bulk transfer” (transferencia másica)
• También, se pueden definir para las transferencias de calor y humedad:
• Combinando ideas anteriores:
vHp
uCwcH 00
0 '' qquCqwEE 00
0 ''
HT
M
H
zz
zz
kClnln
0
2
Wq
M
E
zz
zz
kC
lnln0
2
![Page 45: Modelos Micrometeorológicas - Universidad de Granadaandyk/Docencia/Micromet/08.pdf• Mitad de la capa límite: Kx ~ 102 m2s-1 • Para mantener un flujo cte, – Los gradientes tienen](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042214/5eba7822f40efa77ac777bcf/html5/thumbnails/45.jpg)
El caso neutral• Quitando los efectos de la estabilidad:
2
0
2
ln
zz
kCDN
T
HN
zz
zz
kClnln
0
2
q
EN
zz
zz
kC
lnln0
2