Modelos Teóricos Modelos Teóricos Contínuos de Contínuos de ProbabilidadeProbabilidade

Aula 7Aula 7

Variável aleatória contínua Variável aleatória contínua unidimensionalunidimensional

Conceito:Conceito:– ““Se uma variável aleatória x assume todos Se uma variável aleatória x assume todos

os valores de um intervalo real, então x é os valores de um intervalo real, então x é denominada variável aleatória contínuadenominada variável aleatória contínua”.”.

– Processos definidos a partir da Processos definidos a partir da contagemcontagem conduzem a modelos que envolvem conduzem a modelos que envolvem variáveis aleatóriasvariáveis aleatórias, enquanto os , enquanto os processos definidos a partir de processos definidos a partir de medidasmedidas conduzem aos modelos que envolvem conduzem aos modelos que envolvem variáveis variáveis aleatórias contínuasaleatórias contínuas..

Função densidade de Função densidade de probabilidadeprobabilidade

No caso de uma variável contínua não No caso de uma variável contínua não podemos mais atribuir um único valor para podemos mais atribuir um único valor para x. Assim termos que verificar qual é a x. Assim termos que verificar qual é a função pra esse valorfunção pra esse valor..

A região compreendida sob o gráfico da A região compreendida sob o gráfico da função e o eixo x é igual a 1.função e o eixo x é igual a 1.

0)( xf

x

f(x) A probabilidade é dada pela área da f(x)

Função densidade de Função densidade de probabilidadeprobabilidade

Exemplos:Exemplos:– Considere o intervalo real [2,10] e a função que Considere o intervalo real [2,10] e a função que

associa a cada ponto deste intervalo sua distância ao associa a cada ponto deste intervalo sua distância ao ponto 2.ponto 2.

Calcule a probabilidade de: Calcule a probabilidade de:

Função de densidade de probabilidade:Função de densidade de probabilidade:

)53( xp )62( xp )3( xp

x

f(x)

1 2 3 4 5 6 7 8

1/8

)53( xp 25,08

12 )62( xp 5,0

8

14 )3( xp 375,0

8

13

8/1)(

0,8

xfx

Rf

Função densidade de Função densidade de probabilidadeprobabilidade

Exemplo 2: Exemplo 2: – Considere a variável aleatória x que assume valores Considere a variável aleatória x que assume valores

no intervalo [0,5] com a seguinte função densidade no intervalo [0,5] com a seguinte função densidade de probabilidade:de probabilidade:

– Construa o gráfico da função f e calcule:Construa o gráfico da função f e calcule:

xxfx

Rf

08,0)(

0,5

)50( xp )2( xp )41( xp

x

f(x)

5

0,4

)50( xp 12

4,05

)2( xp 84,02

16,021

)41( xp 6,02

08,01

2

32,04

Função densidade de Função densidade de probabilidadeprobabilidade

Porém outras funções, assim como o Porém outras funções, assim como o valor esperado, a variância e desvio valor esperado, a variância e desvio padrão, só podem ser calculadas padrão, só podem ser calculadas através do através do calculo da integralcalculo da integral, o torna o , o torna o processo bastante complicado.processo bastante complicado.

Assim para os principais casos, foram Assim para os principais casos, foram construídas construídas tabelastabelas que apresentam que apresentam esses valores de probabilidade esses valores de probabilidade prontosprontos..

Modelos Teóricos Contínuos de Modelos Teóricos Contínuos de ProbabilidadeProbabilidade

Distribuição Normal de ProbabilidadeDistribuição Normal de Probabilidade– Características do modeloCaracterísticas do modelo: Suponha que uma : Suponha que uma

variável x, com média variável x, com média µµ e desvio-padrão , e desvio-padrão , apresenta-se as seguintes características:apresenta-se as seguintes características:

Valores da variável aleatória x mais próximos Valores da variável aleatória x mais próximos da média ocorrem com maior frequência.da média ocorrem com maior frequência.

Valores da variável aleatória x simétricos em Valores da variável aleatória x simétricos em relação à média ocorrem com mesma relação à média ocorrem com mesma frequência.frequência.

A região definida pelo gráfico da função e pelo A região definida pelo gráfico da função e pelo eixo x tem área unitária (=1)eixo x tem área unitária (=1)

(x)σ2

Modelos Teóricos Contínuos de Modelos Teóricos Contínuos de ProbabilidadeProbabilidade

Descrição do modelo:Descrição do modelo:– ..

– ..

x2

2

1

2

1)(

x

exf

x

f(x) Distribuição Normal – (Gauss)

Cálculo da ProbabilidadeCálculo da Probabilidade A probabilidade de p[a<x<b] é a área da região sob a curva A probabilidade de p[a<x<b] é a área da região sob a curva

definida pelo intervalo ]a,b[.definida pelo intervalo ]a,b[.

Para superar essa dificuldade, uma particular distribuição Para superar essa dificuldade, uma particular distribuição normal z com média 0 e variância = 1, foi construída. normal z com média 0 e variância = 1, foi construída.

x

f(x)

a b

x

f(z)

0z

Cálculo da ProbabilidadeCálculo da Probabilidade

Exemplo:Exemplo:– Calcule a probabilidade de a variável Calcule a probabilidade de a variável

normal padrão z assumir valores entre 0 normal padrão z assumir valores entre 0 e 1.e 1.

– Olhando na tabela z=1,00 é 0,3413Olhando na tabela z=1,00 é 0,3413

x

f(z)

1

Cálculo da ProbabilidadeCálculo da Probabilidade

ExercíciosExercícios– Calcule para a distribuição z normal Calcule para a distribuição z normal

padrão:padrão: P(z<2,00)P(z<2,00) P(-2,00<z<3,00)P(-2,00<z<3,00) P(2<z<2,5)P(2<z<2,5) P(-3,27<z<-1,74)P(-3,27<z<-1,74)

Cálculo da ProbabilidadeCálculo da Probabilidade Qualquer distribuição normal pode ser Qualquer distribuição normal pode ser

transformada em distribuição z (valor esperado=0 transformada em distribuição z (valor esperado=0 e variância=1) utilizando a seguinte relação:e variância=1) utilizando a seguinte relação:

Por exemplo:Por exemplo:– Uma variável aleatória x normal apresenta média 20 e Uma variável aleatória x normal apresenta média 20 e

desvio-padrão3. Calcule p(20<x<23).desvio-padrão3. Calcule p(20<x<23). Usando a mudança de variável:Usando a mudança de variável:

Portanto, esse caso equivale a calcular p(0<z<1) = 0,3413.Portanto, esse caso equivale a calcular p(0<z<1) = 0,3413.

x

z

x

z 03

2020

x

z 13

2023

Cálculo da ProbabilidadeCálculo da Probabilidade

Exercício:Exercício:– Se a variável aleatória x admite Se a variável aleatória x admite

distribuição normal com média 30 e distribuição normal com média 30 e desvio padrão 3, calcule:desvio padrão 3, calcule: P(30<x<36)P(30<x<36) P(x>38)P(x>38) P(32<x<35)P(32<x<35)

Cálculo da ProbabilidadeCálculo da Probabilidade

Exercício:Exercício:– O levantamento do custo unitário de O levantamento do custo unitário de

produção de um item da empresa produção de um item da empresa revelou que sua distribuição é normal revelou que sua distribuição é normal com média 50 e desvio-padrão 4. com média 50 e desvio-padrão 4.

– Se o preço de venda unitário é de 60, Se o preço de venda unitário é de 60, qual a probabilidade de uma unidade qual a probabilidade de uma unidade desse item escolhida ao acaso ocasionar desse item escolhida ao acaso ocasionar prejuízo a empresa? prejuízo a empresa?

Resposta: 0,62%

Cálculo da ProbabilidadeCálculo da Probabilidade

Exercício:Exercício:– Os balancetes semanais realizados em Os balancetes semanais realizados em

uma empresa mostram que o lucro uma empresa mostram que o lucro realizado distribui-se normalmente com realizado distribui-se normalmente com média R$48.000,00 e desvio padrão de média R$48.000,00 e desvio padrão de R$8.000,00. Qual a probabilidade de que:R$8.000,00. Qual a probabilidade de que: Na próxima semana o lucro seja maior que Na próxima semana o lucro seja maior que

R$50.000?R$50.000? Na próxima semana o lucro esteja entre Na próxima semana o lucro esteja entre

R$40.000,00 e R$45.000,00?R$40.000,00 e R$45.000,00? Na próxima semana haja prejuízo?Na próxima semana haja prejuízo?

Aproximação da Binomial pela Aproximação da Binomial pela NormalNormal

Se y admite distribuição binomial de probabilidade, mas Se y admite distribuição binomial de probabilidade, mas o número n de repetições do experimento E é grande o número n de repetições do experimento E é grande (n>30), com a probabilidade p de sucesso próximo a (n>30), com a probabilidade p de sucesso próximo a 0,5, podemos , com uma pequena margem de erro, 0,5, podemos , com uma pequena margem de erro, calcular as probabilidades da distribuição binomial y calcular as probabilidades da distribuição binomial y através de um distribuição normal x, com as seguintes através de um distribuição normal x, com as seguintes condições:condições:– 1. 1.

– 2. 2.

– 3. 3. A probabilidade binomial p[k=kA probabilidade binomial p[k=kii] corresponderá a: ] corresponderá a:

p[kp[kii-0,5<x<k-0,5<x<kii+0,5]+0,5]

pn

qpnx ..2

Aproximação da Binomial pela Aproximação da Binomial pela NormalNormal

Exemplo:Exemplo:– Um exame do tipo teste é constituído de 50 Um exame do tipo teste é constituído de 50

questões, cada uma delas com quatro respostas questões, cada uma delas com quatro respostas alternativas, das quais apenas uma é correta. alternativas, das quais apenas uma é correta. Calcule a probabilidade de que um aluno, Calcule a probabilidade de que um aluno, respondendo ao acaso as questões, acerte respondendo ao acaso as questões, acerte exatamente 15 questões. exatamente 15 questões.

– Solução:Solução: Sucesso: acertar questão, Fracasso: não acertar. Sucesso: acertar questão, Fracasso: não acertar.

(A - p(A)=1/4; N – p(N)=3/4).(A - p(A)=1/4; N – p(N)=3/4). N= 50 e k =15.N= 50 e k =15.

3515 75,025,015

50)15(

kp 0888,0

Aproximação da Binomial pela Aproximação da Binomial pela NormalNormal

Aproximando pela normal:Aproximando pela normal: Com média: Com média:

E desvio padrão:E desvio padrão:

Essa probabilidade pode ser obtida pela distribuição normal:Essa probabilidade pode ser obtida pela distribuição normal:

Transformando para a normal z:Transformando para a normal z:

5,05,0 iii kxkpkkp

pn 5,1225,050

qpnx .. 0618,375,025,050

5,155,1415 xpkp

98,065,015 zpkp

0943,02422,03365,0

Aproximação da Binomial pela Aproximação da Binomial pela NormalNormal

Exercício:Exercício:– Um candidato, pela última pesquisa, Um candidato, pela última pesquisa,

detém 20% dos votos de uma região. detém 20% dos votos de uma região. Calcule a probabilidade de que em um Calcule a probabilidade de que em um conjunto de 200 eleitores selecionados conjunto de 200 eleitores selecionados ao acaso nesta região ele obtenha:ao acaso nesta região ele obtenha: Exatamente 45 votos.Exatamente 45 votos.

Resp.: 4,59%