M O D E L O S E S T O C ¶A S T IC O S D E E Q U IL IB R IO

M A C R O E C O N ¶O M IC O

C la v e d e l P r o y e c to : 2 0 0 8 0 6 4 6

F r a n c isc o V e n e g a s-M a r t¶³n e z

R e su m e n

E n este tra b a jo se d esa rro lla n va rio s m o d elo s esto c¶a stico s d e eq u ilib rio g en era l en u n a

eco n o m ¶³a p o b la d a p o r co n su m id o res-in v ersio n ista s id ¶en tico s, co m p etitiv o s y a d v erso s a l riesg o .

E sto s a g en tes to m a n d ecisio n es d e p o rta fo lio y co n su m o m ed ia n te la m a x im iza ci¶o n d e u n a

fu n ci¶o n d e u tilid a d esp era d a to ta l d esco n ta d a . B a jo lo s su p u esto s d e q u e ex iste u n t¶³tu lo d e

ca p ita l cu y o p recio , en t¶erm in o s rea les, es co n d u cid o p o r u n m ov im ien to g eo m ¶etrico B row n ia n o

y la tecn o lo g¶³a es g u ia d a p o r u n p ro ceso esta cio n a rio G a u ssia n o -M a rk ov ia n o co n rev ersi¶o n a

la m ed ia , se d eterm in a lo s p recio s d e lo s d iferen tes a ctiv o s d isp o n ib les en la eco n o m ¶³a y la

estru ctu ra d e p la zo s d e la ta sa d e in ter¶es d e eq u ilib rio .

Im p a c to e n e l se c to r p r o d u c tiv o y e n e l b e n e ¯ c io so c ia l

S e d esa rro lla ro n va rio s m o d elo s d e eq u ilib rio g en era l en u n a eco n o m ¶³a esto c¶a stica p o b la d a

p o r a g en tes id ¶en tico s, co n v id a in ¯ n ita , m a x im iza d o res d e u tilid a d , co m p etitiv o s y a d v erso s

a l riesg o a ¯ n d e d eterm in a r lo s p recio s d e lo s d iferen tes a ctiv o s d isp o n ib les en lo s m erca d o s

¯ n a n ciero s y la o b ten ci¶o n d e u n a estru ctu ra d e p la zo s d e la ta sa d e in ter¶es, d e lo s cu a les se

d esp ren d en reco m en d a cio n es en m a teria d e p o l¶³tica eco n ¶o m ica q u e p u ed en ten er u n im p a cto

im p o rta n te el secto r p ro d u ctiv o y el b ien esta r so cia l. E l m o d elo p ro p u esto h a p ro p o rcio n a d o

d in ¶a m ica s p a ra la ta sa co rta d iferen tes a la s o b ten id a s en C ox , In g erso ll y R o ss (1 9 8 5 b ) g en era -

liza n d o , co m o u n resu lta d o d el eq u ilib rio g en era l, el m o d elo d e ta sa co rta d e L o n g sta ® (1 9 8 9 ).

A sim ism o , co n lo s estim a d o res o b ten id o s d e lo s p a r¶a m etro s, lo s cu a les so n m u y sen cillo s d e

ca lcu la r, se llev ¶o a ca b o la d ed u cci¶o n d e la estru ctu ra d e p la zo s cu a n d o la ta sa co rta es la ta sa d e

C E T E S a 7 d¶³a s. E ste resu lta d o p u ed e ser u tiliza d o p a ra esta b lecer reco m en d a cio n es en m a teria

d e p o l¶³tica m o n eta ria y en lo s criterio s d e p o l¶³tica eco n ¶o m ica p ro p u esto s p o r la a u to rid a d ¯ sca l.

A sim ism o , B a n co d e M ¶ex ico , p u ed e u tiliza r lo s resu lta d o s d e la p resen te in v estig a ci¶o n co m o u n

in stru m en to d e p o l¶³tica en la d eterm in a ci¶o n d e la ta sa l¶³d er d e in ter¶es. E s im p o rta n te m en cio n a r

ta m b i¶en q u e el p roy ecto tu v o u n im p a cto en la g en era ci¶o n d e recu rso s h u m a n o s, esp ec¶³ ca m en te

en la g en era ci¶o n d e fu tu ro s in v estig a d o res d el m ¶a s a lto n iv el, q u ien es p a rticip a ro n co m o tesista s

en d iv ersa s p a rtes d el p roy ecto .

1

1 . In tro d u c tio n

Existen en la literatura especializada varios modelos de equilibrio general que tienen como

objetivo determinar los precios de los diferentes activos disponibles en la econom¶³a, por

ejemplo: Cox, Ingersoll y Ross (1985a) , Grinols y Turnovsky (1993) , Schmedders (1998)

y Venegas-Mart¶³nez (2001) , (2006) y (2008) , entre otros. Asimismo, se encuentran en la

literatura diversas aproximaciones para modelar la din¶amica de la tasa de inter¶es corta

(la tasa de inter¶es de plazo m¶as corto disponible en el mercado) , como por ejemplo: Cox,

Ingersoll y Ross (1985b) , Longsta® (1989) , Venegas-Mart¶³nez y Gonz¶alez-Ar¶echiga (2002)

y Lee y Li (2005) .

En el presente trabajo se desarrolla un modelo estoc¶astico de equilibrio general en

una econom¶³a poblada por consumidores-inversionistas id¶enticos, competitivos y adversos

al riesgo, los cuales toman decisiones de consumo y portafolio. En la econom¶³a existen tres

activos en t¶erminos reales: acciones, productos derivados sobre dichas acciones y dep¶ositos

bancarios. Bajo el supuesto de que el precio del t¶³tulo accionario es conducido por un

movimiento geom¶etrico Browniano y la tecnolog¶³a es guiada por un proceso Markoviano

de difusi¶on se determina en el equilibrio la estructura de plazos de la tasa de inter¶es,

tambi¶en llamada curva de rendimiento o, simplemente, curva de ceros (por su asociaci¶on

con bonos cup¶on cero) . Una de las caracter¶³stica distintivas del modelo propuesto es que

produce tasas cortas con din¶amicas alternativas a las encontradas en Cox, Ingersoll y Ross

(1985b) . Asimismo, esta investigaci¶on generaliza el modelo de Longsta® (1989) sobre la

din¶amica de la tasa corta al considerar el comportamiento racional de los agentes. Tambi¶en

se discuten varios resultados num¶ericos sobre la estimaci¶on de los par¶ametros de la curva

de rendimiento obtenida. En particular, los estimadores obtenidos de los par¶ametros son

m¶as simples de calcular que los derivados en el caso de Cox, Ingersoll y Ross (1985b) . Por

¶ultimo, se lleva a cabo una estimaci¶on de la estructura de plazos cuando la tasa corta es

la tasa de CETES.

En conclusi¶on, el presente art¶³culo persigue tres objetivos, el primero de ellos consiste

en proporcionar din¶amicas de la tasa corta alternativas a las obtenidas en Cox, Ingersoll

y Ross (1985b) . El segundo ob jetivo es generalizar el modelo de Longsta® (1989) con la

inclusi¶on de consumidores-inversionistas maximizadores de utilidad. Por ¶ultimo, el tercero

consiste en determinar de manera end¶ogena, en el equilibrio, una estructura de plazos de

2

la tasa de inter¶es asociada a un mercado de bonos cup¶on cero que se emiten a diferentes

vencimientos y que se negocian a descuento.

Esta investigaci¶on se ha organizado de la siguiente manera. En la pr¶oxima secci¶on

se presentan los supuestos b¶asicos que rigen a la econom¶³a en cuesti¶on. En la secci¶on 3

se describen los activos y sus precios. A trav¶es de la secci¶on 4 se establece la restricci¶on

presupuestal del consumidor racional representativo. En la secci¶on 5 se caracterizan las

posibilidades de producci¶on en la econom¶³a. En el transcurso de la secci¶on 6 se plantea el

problema de decisi¶on del agente representativo. En la secci¶on 7 se obtienen las condiciones

de primer orden del problema del consumidor. En la secci¶on 8 se determina el portafolio de

equilibrio. En la secci¶on 9 se deriva un proceso alternativo para la tasa corta de inter¶es en

el equilibrio y en la secci¶on 10 se examina su din¶amica. En el transcurso de la secci¶on 11 se

plantea el problema de valuaci¶on de un bono cup¶on cero. En la secci¶on 12 se discute sobre

la estimaci¶on de la curva de ceros. En la secci¶on 13 se caracteriza el precio de un bono

cup¶on cero, negociado a descuento, como la soluci¶on de una ecuaci¶on diferencial parcial

parab¶olica y de segundo orden con condiciones de frontera. En la secci¶on 14 se de¯ne el

tipo de expectativas que determinan la estructura de plazos de la tasa de inter¶es. En el

transcurso de la secci¶on 15 se obtienen los estimadores de los par¶ametros asociados a la

estructura de plazos. En la secci¶on 16 se realiza una aplicaci¶on del modelo obtenido de tasa

corta. Por ¶ultimo, en la secci¶on 17 se presentan las conclusiones, as¶³ como las limitaciones

y sugerencias para futuras investigaciones.

2 . S u p u e sto s b ¶a sic o s d e la e c o n o m ¶³a

Con el prop¶osito de obtener soluciones anal¶³ticamente tratables, los supuestos de la econo-

m¶³a se mantendr¶an lo m¶as simples posible. Considere una econom¶³a poblada por indi-

viduos con gustos id¶enticos que viven para siempre y que son maximizadores de utilidad.

La econom¶³a produce y consume un solo bien. Los consumidores tienen acceso a una ac-

ci¶on, a un producto derivado (un contrato futuro, una opci¶on europea o un instrumento

estructurado) sobre dicha acci¶on y a dep¶ositos bancarios; los precios de estos activos est¶an

expresados en t¶erminos reales, es decir, en t¶erminos de unidades del bien de consumo. Por

¶ultimo, se supone que existe un mercado de bonos cup¶on cero a distintos vencimientos

que se negocian a descuento y que tienen asociada una estructura de plazos de la tasa de

3

inter¶es, la cual se determinar¶a de manera end¶ogena en el equilibrio.

3 . A c tiv o s y su s p re c io s

Suponga que el precio en t¶erminos reales, S t, de una acci¶on disponible en la econom¶³a

tiene una din¶amica estoc¶astica conducida por el movimiento geom¶etrico Browniano, de tal

forma que

dS t = ¹ S S tdt + ¾ S S tdU t; (1)

donde el par¶ametro de tendencia, ¹S, representa el rendimiento medio esperado, el pa-

r¶ametro de volatilidad, ¾S, es la variaci¶on instant¶anea del rendimiento del activo y el

proceso f U tg t¸ 0 es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯jo de proba-bilidad (−

U

;F U

;IPU

) junto con su ¯ltraci¶on aumentada IFU

= f F U

t g t¸ 0 .

4 . R e stric c i¶o n p re su p u e sta l d e l c o n su m id o r

La riqueza real, x t, del individuo, en cada instante, est¶a determinada mediante:

x t = S t + v t + bt; (2)

donde v t = v (S t;t) es el precio del derivado de la acci¶on y bt es un dep¶osito bancario

que paga una tasa constante y libre de riesgo de incumplimiento, r . Sean w 1 t = S t= x t la

proporci¶on de la riqueza que el individuo asigna a la tenencia de acciones, w 2 t = v t= x t la

proporci¶on de la riqueza que asigna a un derivado de S t de precio v t(S t;t) , y 1 ¡ w 1 t ¡ w 2 tla proporci¶on complementaria que destina a un dep¶osito bancario, bt . En consecuencia, la

evoluci¶on de la acumulaci¶on de la riqueza real sigue la ecuaci¶on diferencial estoc¶astica:

dx t = x tw 1 tdR S + x tw 2 tdR v + x t(1 ¡ w 1 t ¡ w 2 t) rdt ¡ ctdt

donde el rendimiento del activo con riesgo est¶a dado por

dR S =dS tS t

= ¹Sdt + ¾

SdU t (3)

y el rendimiento de su derivado por

dR v =dv tv t: (4)

4

En este caso, el rendimiento del derivado se obtiene mediante la aplicaci¶on del lema de Ito

a v (S t;t) , lo cual conduce a

dv t =@ v t

@ tdt +

@ v t

@ S tdS t +

12 ¾

2SS 2t@ 2 v t

@ S 2tdt;

¶o

dv t = ¹ v v tdt + ¾ v v tdU t (5)

con

¹ v ´μ@ v t

@ t+@ v t

@ S t¹SS t +

12

@ 2 v t

@ S 2t¾ 2SS 2t

¶1

v t

¾ v ´1

v t

@ v t

@ S t¾SS t:

En virtud de (3) y (4) , la restricci¶on presupuestal se puede escribir como:

dx t = x t

·μr + (¹ ¡ r )w 1 t + (¹ v ¡ r )w 2 t ¡

ct

x t

¶dt + (w 1 t¾ S + w 2 t¾ v )dU t : (6)

Se requiere especi¯car un pago al vencimiento del derivado, v (S t;T ) = g (S t):

5 . P o sib ilid a d e s d e p ro d u c c i¶o n

En esta secci¶on se de¯ne el proceso de producci¶on en la econom¶³a. Suponga que el proceso

de producci¶on y t tiene la forma:

dy t = M (y t)dt + N (y t)dW t; (7)

donde

M (y t) = · (μ ¡py t) (8)

y

N (y t) = ºpy t: (9)

Las cantidades · ; μ y º son constantes positivas y f W tg t¸ 0 es un movimiento Brow-niano de¯nido sobre un espacio ¯jo de probabilidad (−

W

;F W

;IPW

) junto con su ¯ltraci¶on

aumentada IFW

= f F W

t g t¸ 0 . Suponga tambi¶en, por simplicidad, que Cov(dU t;dW t) = 0.

En este caso, dW t representa las °uctuaciones propias del producto debidas a cambios

tecnol¶ogicos o cambios en el precio de reposici¶on de los bienes de capital.

5

6 . P ro b le m a d e d e c isi¶o n d e l c o n su m id o r

Se supone que el consumidor representativo obtiene satisfacci¶on por el consumo de un

bien de car¶acter perecedero. En este caso, la utilidad esperada del tipo von Neumann-

Morgenstern, V t, al tiempo t de un individuo representativo, adverso al riesgo y competitivo

(tomador de precios) tiene la siguiente forma:

V t ´ E"Z T

t

u (cs ;y s ) e¡ ± sds

¯F t

#; (10)

donde cs es el consumo al tiempo s , ± es la tasa sub jetiva de descuento y F t es la informaci¶onrelevante disponible hasta el tiempo t. En este caso, F t ´ F W

t £ F U

t . As¶³ pues, el

consumidor toma decisiones de consumo y portafolio de tal manera que se maximice su

satisfacci¶on. Es decir, el consumidor desea determinar la trayectoria de consumo y las

proporciones de su riqueza que va a asignar, en cada instante, a los diferentes activos

disponibles en la econom¶³a de tal forma que su satisfacci¶on por el bien de consumo sea

m¶axima.

7 . C o n d ic io n e s d e p rim e r o rd e n d e p ro b le m a d e l c o n su m id o r

La maximizaci¶on de (10) sujeta a (6) y (7) conduce a la condici¶on de Hamilton-Jacobi-

Bellman de un problema de control ¶optimo estoc¶astico. Dicha condici¶on est¶a dada por

0 = maxc;w 1t;w 2t

(u (ct;y t)e

¡ ± t + J t

+ J x x t

μr + (¹ ¡ r )w 1 t + (¹ v ¡ r ) w 2 t ¡

ct

x t

¶+ 1

2 J x x x2t (w 1 t¾ S + w 2 t¾ v )

2 + J y M (y t) +12 J y y N

2 (y t)

);

donde

J (x t;y t;t) = maxct;w 1t;w 2t

E

"Z T

t

u (ct;y t)e¡ ± sds

¯F t

#(11)

es la funci¶on de utilidad indirecta y J x (x t;y t) es la variable de co-estado. Si se toma

como candidato de soluci¶on a J (x t;y t;t) = H (x t;y t) e¡ ± t y se supone que u (ct;y t) =

ln(ct) + Á ln(y t) , Á > 0, se tiene que la ecuaci¶on de Hamilton-Jacobi-Bellman se transforma

en

6

0 = maxct;w 1t;w 2t

(ln(ct) + Á ln(y t) ¡ ± H + H x x t

μr + (¹ ¡ r )w 1 t + (¹ v ¡ r ) w 2 t ¡

ct

x t

¶

+ 12 H x x x

2t (w 1 t¾ S + w 2 t¾ v )

2 + H y M (y t) +12 H y y N

2 (y t)

):

(12)

En este caso, se satisface que

H (x t;y t) = g (y t) ln(x t) + f (y t);

para algunas funciones g (y t) y f (y t): Despu¶es de derivar la ecuaci¶on (12) con respecto de

las variables de control, la condici¶on necesaria sobre el consumo es

1

ct=g (y t)

x t(13)

y las condiciones de primer orden sobre w 1 t y w 2 t son, respectivamente,

¹ ¡ r = w 1 ¾ 2S + w 2 ¾ S ¾ v (14)

y

¹ v ¡ r = w 1 ¾ S ¾ v + w 2 ¾ 2v : (15)

Las dos ¶ultimas ecuaciones pueden ser reescritas en t¶erminos matriciales como:μ¹ ¡ r¹ v ¡ r

¶=

μ¹

¹ v

¶¡ 1I r =

μ¾ 2S

¾S¾ v

¾S¾ v ¾ 2v

¶μw 1w 2

¶;

donde

1I =

μ11

¶:

8 . V a lu a c i¶o n d e l d e riv a d o

Con el ¯n de valuar el derivado, considere la soluci¶on de esquina dada por w 1 = 1 y w 2 = 0.

En este caso, las condiciones (14) y (15) se transforman, respectivamente, en:

¹ ¡ r = ¾ 2S

(16)

7

y

¹ v ¡ r = ¾ S ¾ v : (17)

De la ¶ultima ecuaci¶on se sigue queμ@ v t

@ t+@ v t

@ S t¹ S t +

12

@ 2 v t

@ S 2t¾ 2SS 2t

¶1

v t¡ r = @ v t

@ S t¾ 2SS t1

v t:

Si se utiliza ahora la ecuaci¶on (16) , se obtiene1

@ v t

@ t+@ v t

@ S t(r + ¾ 2

S)S t +

12

@ 2 v t

@ S 2t¾ 2SS 2t ¡ r v t =

@ v t

@ S t¾ 2SS t;

¶o@ v t

@ t+@ v t

@ S tr S t +

12

@ 2 v t

@ S 2t¾ 2SS 2t ¡ r v t = 0; (18)

con la condici¶on de frontera

v (S t;T ) = g (S t) : (19)

9 . U n p ro c e so a lte rn a tiv o p a ra la ta sa d e in te r¶e s d e e q u ilib rio

A continuaci¶on se presenta una f¶ormula alternativa para la tasa de inter¶es de equilibrio.

Observe que a partir de (16) , se cumple que

r = ¹ ¡ ¾ 2S: (20)

En lo que sigue se supone que ¹ > ¾ 2S: La tasa de inter¶es de equilibrio se puede reescribir

de la siguiente forma:

r = (w 1 ;w 2 )

μ¹

¹ v

¶+ (w 1 ;w 2 )

μ¾ 2S

¾S¾ v

¾S¾ v ¾ 2v

¶μw 1w 2

¶x tJ x x

J x;

donde w 1 = 1 y w 2 = 0. En efecto, es su¯ciente observar que

J x = e¡ ± tg (y t)

1

x t:

Por lo tanto,x tJ x x

J x= ¡ 1:

1 C o m p a ra r esta m eto d o lo g¶³a co n la p ro p u esta en V en eg a s-M a rt¶³n ez (2 0 0 5 ).

8

1 0 . D in ¶a m ic a d e la ta sa c o rta

En esta secci¶on, a partir de un proceso para la funci¶on de producci¶on, se determina la

din¶amica estoc¶astica de la tasa corta. Si se de¯nen ¹ = e¹ y t y ¾ 2S = e¾ 2S y t en (20) , se tieneque

r t = ° y t;

donde

° = e¹ ¡ e¾ 2S:

Por lo tanto,

dr t =° dy t

=° · (μ ¡ p y t) + ° ºpy tdW t

=· °³μ ¡ ° ¡ 1 = 2

pr t

´dt + ° 1 = 2 º

pr tdW t

=· ° ¡ 1 = 2³μ ° 1 = 2 ¡

pr t

´dt + ° 1 = 2 º

pr tdW t:

Sean

a = · ° ¡ 1 = 2 ; b = μ ° 1 = 2 y ¾ = ° 1 = 2 º :

De esta manera,

dr t = a (b ¡pr t)dt + ¾

pr tdW t (21)

con a , b y ¾ cantidades positivas. Si se de¯ne

a b = · μ = 14 ¾

2 ; (22)

entonces la ecuaci¶on (21) se puede reescribir como

dr t =¡14 ¾

2 ¡ apr t¢dt + ¾

pr tdW t: (23)

1 1 . V a lu a c i¶o n d e u n b o n o c u p ¶o n c e ro

Considere un mercado en donde los agentes compran y emiten promesas de pago de una

unidad monetaria en el futuro, libres de riesgo cr¶edito. Estas promesas que se compran

a descuento ser¶an llamadas bonos cup¶on cero. Sea B (t;T ) el precio en el tiempo t de un

9

bono que se compra a descuento con vencimiento al tiempo T , T > t, y que paga una

unidad monetaria al vencimiento, es decir,

B (T ;T ) = 1: (24)

La curva de rendimientos o estructura de plazos o, simplemente, curva de ceros, en el

tiempo t, de un bono con vencimiento T , est¶a dada por

R (t;T ) = ¡ 1

T ¡ t ln B (t;T ) ; T > t: (25)

La tasa forward instant¶anea f (t;T ) es de¯nida por la siguiente ecuaci¶on:

R (t;T ) =1

T ¡ t

Z T

t

f (t;s )ds : (26)

Equivalentemente,

f (t;T ) =@

@ T[(T ¡ t) R (t;T ) ] : (27)

La tasa de inter¶es inst¶antanea o tasa de inter¶es spot o, simplemente, tasa corta a la que

los agentes pueden comprar y vender bonos es

r t = R (t;t) = limT ! t

R (t;T ) (28)

¶o

r t = f (t;t) = limT ! t

f (t;T ): (29)

Un bono de monto M t que paga la tasa spot r t, aumentar¶a su valor, durante el instante

dt, en

dM t = M t r tdt: (30)

Esta ecuaci¶on es v¶alida con toda certeza en t, ya que r t es conocida en t. Sin embargo,

desp¶ues de t el nivel de la tasa corta es incierto. En otras palabras r t es un proceso

estoc¶astico, sujeto a dos requerimientos. Primero, r t es una funci¶on continua del tiempo.

Segundo, se supone que r t sigue un proceso Markoviano. Bajo este ¶ultimo supuesto, el

comportamiento futuro de la tasa corta, dado su valor actual, es independiente del pasado.

En otras palabras, la distribuci¶on de r t+ u dado r t, t · u , s¶olo depende de la informaci¶ondisponible en el tiempo t, es decir, s¶olo depende del valor de r t .

10

Los procesos que son continuos y Markovianos son llamados procesos de difusi¶on.

Estos procesos pueden ser descritos a trav¶es de una ecuaci¶on diferencial estoc¶astica de la

forma:

dr t = ® (r t;t)dt + ¯ (r t;t)dW t; (31)

donde f W tg t¸ 0 es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯jo de probabilidadequipado con una ¯ltraci¶on (−;F ;f F tg t¸ 0 ;IP) . De acuerdo con (23) , las funciones ® (r;t)y ¯ (r;t) est¶an dadas por

® (r t;t) =14 ¾

2 ¡ apr t

y

¯ (r t;t) = ¾pr t:

As¶³ mismo, se supone que en el mercado de bonos no existen costos de transacci¶on (comi-

siones e impuestos) y que la informaci¶on est¶a disponible para todos los agentes de forma

simult¶anea (informaci¶on perfecta y sim¶etrica) . Todos los inversionistas act¶uan en forma

racional (maximizan utilidad y emplean toda la informaci¶on hist¶orica y actual) . Adem¶as,

todos los inversionistas tienen expectativas homog¶eneas y el mercado est¶a en equilibrio, en

consecuencia, no exiten oportunidades de arbitraje.

El precio de bono cup¶on cero que se coloca en t y que al vencimiento T paga una

unidad monetaria se denotar¶a mediante B = B (r t;t; T ) , o en forma m¶as simple como

B = (t;T ) cuando no sea necesario destacar la dependencia con la tasa corta. As¶³, la tasa

corta es la ¶unica variable de estado de la estructura de plazos.

1 2 . D e te rm in a c i¶o n d e la c u rv a d e c e ro s

En la presente secci¶on se determina de manera end¶ogena la estructura de plazos de la tasa

de inter¶es asociada al mercado de bonos. A partir de la ecuaci¶on (31) , se sigue por el lema

de Ito que

dB = B ¹ (r t;t; T )dt + B ¾ (r t;t;T )dW t; (32)

donde

¹ (r t;t; T ) =1

B

μ@ B

@ t+ ®

@ B

@ r t+ 1

2 ¯2 @

2 B

@ r 2t

¶(33)

y

¾ (r t;t; T ) =¯

B

@ B

@ r t: (34)

11

Considere ahora un inversionista que al tiempo t emite una cantidad w 1 de bonos con fecha

de vencimiento T 1 y precio B 1 y simult¶aneamente compra una cantidad w 2 de bonos con

fecha de vencimiento T 2 y precio B 2 . El valor del portafolio es ¦t = w 2 B 2 ¡ w 1 B 2 . Si sedenotan W 1 = w 1 B 1 y W 2 = w 2 B 2 , el lema de Ito conduce a

d¦t = (W 2 ¹ (r t;t; T 2 ) ¡ W 1 ¹ (rt;t; T 1 ) ) dt + (W 2 ¾ (r t;t; T 2 ) ¡ W 1 ¾ (r t;t; T 1 ) ) dW t: (35)

Suponga que las cantidades W 1 y W 2 se seleccionan de tal forma que

W 1 =M t¾ (r t;t; T 2 )

¾ (r t;t; T 1 ) ¡ ¾ (r t;t; T 2 )

y

W 2 =M t¾ (r t;t; T 1 )

¾ (r t;t; T 1 ) ¡ ¾ (r t;t; T 2 ):

En consecuencia, el segundo t¶ermino en la ecuaci¶on (35) , el cual modela el riesgo de

mercado, es cero. Por lo tanto, la ecuaci¶on (35) toma la forma

d¦t = M t

μ¹ (rt;t; T 2 )¾ (rt;t; T 1 ) ¡ ¹ (r t;t; T 1 )¾ (r t;t; T 2 )

¾ (rt;t; T 1 ) ¡ ¾ (r t;t; T 2 )

¶dt: (36)

De esta manera, el portafolio es libre de riesgo de mercado. Si los mercados est¶an en

equilibrio, el portafolio debe producir el mismo rendimiento que el que se obtiene por

hacer un dep¶osito a la tasa r t . Si el rendimiento del portafolio fuera mayor, el portafolio

puede ser comprado con fondos prestados a la tasa r t, en caso contrario el portafolio es

vendido y las ganancias son prestadas, lo que produce oportunidades de arbitraje.

Al comparar las ecuaciones (30) y (36) , se sigue que:

¹ (r t;t; T 2 ) ¾ (r t;t; T 1 ) ¡ ¹ (r t;t; T 1 )¾ (r t;t; T 2 )¾ (r t;t; T 1 ) ¡ ¾ (r t;t; T 2 )

= r t;

¶o¹ (rt;t; T 1 ) ¡ rt¾ (r t;t; T 1 )

=¹ (r t;t; T 2 ) ¡ rt¾ (r t;t; T 2 )

: (37)

Observe que los cocientes en cada lado de la ecuaci¶on (37) son iguales para fechas de

vencimiento arbitrarias T 1 y T 2 , se sigue que la raz¶on (¹ (r t;t; T ) ¡ r t)= ¾ (r t;t; T ) es inde-pendiente de T . Sea ¸ (r t;t) el valor com¶un de tal raz¶on, entonces

¸ (r t;t) =¹ (r t;t; T ) ¡ rt¾ (rt;t; T )

; T ¸ t: (38)

12

La cantidad ¸ (r t;t) es llamada el precio de riesgo mercado, es decir, el valor que el mercado

asigna al riesgo. La cantidad ¸ (r t;t) tambi¶en puede interpretarse como el rendimiento

adicional, por la exposici¶on al riesgo, por unidad de volatilidad. La ecuaci¶on (38) se puede

reescribir como

¹ (r t;t; T ) ¡ r t = ¸ (r t;t)¾ (r t;t; T ) : (39)

Si se sustituyen la ecuaciones (33) y (34) en (39) , se tiene que

@ B

@ t+ [® (r t;t) + ¸ (rt;t) ¯ (r t;t) ]

@ B

@ r t+ 1

2 ¯2 (rt;t)

@ 2 B

@ r 2t¡ r tB = 0; t · T ; (40)

junto con la condici¶on ¯nal B (r t;T ;T ) = 1:Una vez que la forma de la din¶amica estoc¶astica

de la tasa spot r t, expresada en la ecuaci¶on (31) , ha sido determinada y el precio de riesgo

mercado ha sido especi¯cado, ¸ (r t;t) , entonces el precio del bono, asociado a la din¶amica

de r t, es obtenido como soluci¶on de la ecuaci¶on (37) . Posteriormente, la estructura de

plazos R (t;T ) de la tasa de inter¶es es calculada con la ecuaci¶on siguiente:

R (t;T ) = ¡ 1

T ¡ t ln B (t;T ): (41)

1 3 . S o lu c i¶o n d e la e c u a c i¶o n d ife re n c ia l p a rc ia l d e l p re c io d e u n b o n o

a d e sc u e n to

Si r t es la tasa corta neutral al riesgo, es decir, si el premio al riesgo es cero, entonces el

precio de un bono cup¶on cero, B (t;T ) , que se coloca en t y que paga una unidad monetaria

al vencimiento T , satisface la ecuaci¶on diferencial parcial parab¶olica no lineal:

@ B

@ t+ 1

2 ¾2 r t@ 2 B

@ r 2t+¡14 ¾

2 ¡ apr t¢@ B@ r t

¡ r tB = 0: (42)

Se propone una soluci¶on de (42) en t¶erminos de variables separables como sigue:

B (t;T ) = e A (t;T )+ rtD (t;T )+ C (t;T )prt: (43)

Claramente, A (T ;T ) = D (T ;T ) = C (T ;T ) = 0, ya que el valor nominal del bono est¶a

dado por

B (T ;T ) = e A (T ;T )+ rT D (T ;T )+ C (T ;T )prT = 1:

13

Despu¶es de derivar parcialmente a B con respecto de t y r t, se encuentra que:

@ B

@ t= B

μ@ A

@ t+ r t

@ D

@ t+pr t@ C

@ t

¶; (44)

@ B

@ r t= B

μD +

C

2pr t

¶(45)

y

@ 2 B

@ r 2t= B

"μ¡ C

4pr t r t

¶+

μD +

C

2pr t

¶2#: (46)

Si se sustituyen las expresiones (44) , (45) y (46) en la ecuaci¶on (42) se tiene:

@ A

@ t+ r t

@ D

@ t+pr t@ C

@ t¡ ¾ 2 C

8pr t+¾ 2 r t

2

μD +

C

2prt

¶2+

μ¾ 2

4¡ a

pr t

¶μD +

C

2prt

¶¡ r t = 0:

(47)

Despu¶es de desarrollar la expresi¶on anterior, se sigue que

@ A

@ t+ r t

@ D

@ t+pr t@ C

@ t¡ ¾ 2 C

8pr t+¾ 2 r t

2D 2 +

¾ 2pr t

2D C +

¾ 2

8C 2 +

¾ 2

4D

+¾ 2 C

8pr t¡ a D

pr t ¡

a C

2¡ rt = 0:

Equivalentemente,

@ A

@ t+ r t

μ@ D

@ t+¾ 2 D 2

2¡ 1¶+pr t

·@ C

@ t+

μC ¾ 2

2¡ a

¶D

¸+

μC ¾ 2

8¡ a2

¶C +

D ¾ 2

4= 0:

(48)

Si se deriva con respecto de r t, se tiene que

@ D

@ t+¾ 2 D 2

2¡ 1 + 1

2pr t

·@ C

@ t+

μC ¾ 2

2¡ a

¶D

¸= 0: (49)

A ¯n de que (49) se cumpla para toda rt es necesario que se satisfaga

@ D

@ t= 1 ¡ ¾

2 D 2

2(50)

junto con@ C

@ t=

μa ¡ C ¾

2

2

¶D : (51)

14

La ecuaci¶on diferencial ordinaria (50) es del tipo de Riccatti. Considere esta ecuaci¶on

escrita en la siguiente forma

@ D (t;T )

@ t= ¡

μ¾ 2 D 2 (t;T )

2¡ 1¶: (52)

A partir de la ecuaci¶on anterior, se tieneZ D (t;T )

D (T ;T )

dU (s ;T )12 ¾

2 U 2 (s;T ) ¡ 1= ¡

Z t

T

ds

= ¡ (t ¡ T ) :(53)

El lado izquierdo de la ecuaci¶on (53) , se puede reescribir comoZ D (t;T )

0

dU12 ¾

2 U 2 ¡ 1=2

¾ 2

Z D (t;T )

0

dU

U 2 ¡ (2= ¾ 2 ): (54)

La integral que aparece en (54) se calcula mediante integraci¶on por fracciones parciales,

esto es, Z D (t;T )

0

dU

U 2 ¡ (2= ¾ 2 )=

Z D (t;T )

0

dU¡U +

¡p2= ¾

¢¢¡U ¡

¡p2= ¾

¢¢: (55)

Note que el integrando en (55) se puede reescribir como

1¡U +

¡p2= ¾

¢¢¡U ¡

¡p2= ¾

¢¢= A 0

U +p2= ¾

+B 0

U ¡p2= ¾

:

De lo anterior, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales

A 0 + B 0 = 0

y p2

¾B 0 ¡

p2

¾A 0 = 1:

La soluci¶on de este sistema de ecuaciones es

A 0 = ¡¾

2p2

(56)

y

B 0 =¾

2p2: (57)

Al sustituir (56) y (57) en (55) , se obtiene

15

Z D (t;T )

0

dU¡U 2 ¡

¡2= ¾ 2

¢¢= Z D (t;T )

0

dU¡U +

¡p2= ¾

¢¢¡U ¡

¡p2= ¾

¢¢= ¡ ¾

2p2

Z D (t;T )

0

dU

U +¡p2= ¾

¢+

¾

2p2

Z D (t;T )

0

dU

U ¡¡p2= ¾

¢=

¾

2p2

h¡ ln

¯U +

¡p2= ¾

¢D (t;T )0

+ ln¯U ¡

¡p2= ¾

¢D (t;T )0

i=

¾

2p2ln

¯¯U ¡

¡p2= ¾

¢U +

¡p2= ¾

¢ D (t;T )

0

=¾

2p2

(ln

¯¯D (t;T ) ¡

¡p2= ¾

¢D (t;T ) +

¡p2= ¾

¢ ¡ ln

¯¯0 ¡

¡p2= ¾

¢0 +

¡p2= ¾

¢)

=¾

2p2ln

¯¯D (t;T ) ¡

¡p2= ¾

¢D (t;T ) +

¡p2= ¾

¢ :

(58)

Note que en la ecuaci¶on (58) se ha considerado que D (T ;T ) = 0 y que ln(j¡ 1j) = 0: Si sesustituye la ecuaci¶on (58) en la ecuaci¶on (54) , se tiene:Z D (t;T )

0

dU12 ¾

2 U 2 ¡ 1=2

¾ 2

Z D (t;T )

0

dU¡U 2 ¡

¡2¾ 2

¢¢=

μ2

¾ 2

¶¾

2p2ln

¯¯D (t;T ) ¡

p2¾

D (t;T ) +p2¾

¯¯

=1p2¾ln

ÃD (t;T ) ¡

p2¾

D (t;T ) +p2¾

!= ¡ (t ¡ T ) ;

(59)

donde se ha supuesto que la cantidad que aparece dentro del valor absoluto es positiva.

Por lo tanto,

ln

ÃD (t;T ) ¡

p2¾

D (t;T ) +p2¾

!=p2¾ (T ¡ t) : (60)

De la ecuaci¶on (60) , se obtiene

D (t;T ) =

p2

¾

"1 + e

p2 ¾ (T ¡ t)

1 ¡ ep2 ¾ (T ¡ t)

#: (61)

16

Equivalentemente,

D (t;T ) =

p2

¾

"1 +

2ep2 ¾ (T ¡ t)

1 ¡ ep2 ¾ (T ¡ t)

#: (62)

La funci¶on D (t;T ) satisface la ecuaci¶on diferencial (50) . Sin embargo, observe que (62) no

cumple la condici¶on ¯nal D (T ;T ) = 0. Por lo tanto, se retoma la ecuaci¶on (59) suponiendo

ahora que el argumento del valor absoluto es una cantidad negativa, lo que conduce a

ln

à p2¾ ¡ D (t;T )D (t;T ) +

p2¾

!=p2¾ (T ¡ t) : (63)

Al despejar D (t;T ) , se tiene

D (t;T ) =

p2

¾

"1 ¡ e

p2 ¾ (T ¡ t)

1 + ep2 ¾ (T ¡ t)

#(64)

¶o

D (t;T ) =

p2

¾

"1 ¡ 2e

p2 ¾ (T ¡ t)

1 + ep2 ¾ (T ¡ t)

#: (65)

Esta funci¶on s¶³ satisface la ecuaci¶on diferencial (50) y cumple la condici¶on ¯nal D (T ;T ) = 0.

As¶³, esta soluci¶on se sustituye en la ecuaci¶on diferencial parcial (51) , lo cual lleva a

@ C

@ t=

μa ¡ C ¾

2

2

¶D ;

=

μa ¡ C ¾

2

2

¶ p2

¾

"1 ¡ e

p2 ¾ (T ¡ t)

1 + ep2 ¾ (T ¡ t)

#:

(66)

La ecuaci¶on diferencial (66) es de variables separables, as¶³

¡Z C (t;T )

C (T ;T )

dU (s;T )¡U ¾ 2

2

¢¡ a

=

p2

¾

Z t

T

"1 ¡ e

p2 ¾ (T ¡ s)

1 + ep2 ¾ (T ¡ s)

#ds: (67)

17

Al resolver la integral del lado izquierdo de la ecuaci¶on (67) , se tiene que

¡Z C (t;T )

0

dU¡U ¾ 2

2

¢¡ a

= ¡Z C (t;T )

0

dU¾ 2

2

£U ¡ 2 a

¾ 2

¤=¡ 2¾ 2

Z C (t;T )

0

dU

U ¡ 2 a¾ 2

=¡ 2¾ 2

·ln

¯U ¡ 2a

¾ 2

¯C (t;T )

0

=¡ 2¾ 2

·ln

¯C (t;T ) ¡ 2a

¾ 2

¯¡ ln

¯0 ¡ 2a

¾ 2

¯=¡ 2¾ 2ln

¯2 a¾ 2 ¡ C (t;T )2a = ¾ 2

¯=¡ 2¾ 2ln

¯2a ¡ ¾ 2 C (t;T )

2a

¯=2

¾ 2ln

μ2a ¡ ¾ 2 C (t;T )

2a

¶¡ 1;

donde se ha tomado en cuenta que C (T ;T ) = 0 y se ha supuesto que C (t;T ) < 2a = ¾ 2 . Por

lo tanto,

¡Z C (t;T )

0

dU¡U ¾ 2

2

¢¡ a

=2

¾ 2ln

μ2a

2a ¡ ¾ 2 C (t;T )

¶: (68)

Considere ahora el lado derecho de (67) y de¯na el cambio de variable U = 1 + ep2 ¾ (T ¡ s) ,

entonces

dU = ¡p2¾ e

p2 ¾ (T ¡ s)ds

= ¡p2¾ (U ¡ 1)ds ;

as¶³ p2

¾

Z t

T

"1 ¡ e

p2 ¾ (T ¡ s)

1 + ep2 ¾ (T ¡ s)

#ds =

1

¾ 2

Z t

T

U ¡ 2U (U ¡ 1) dU : (69)

El lado derecho de la ecuaci¶on (69) se resuelve por fracciones parciales, esto es, se desean

determinar A 1 y B 1 tales que

U ¡ 2U (U ¡ 1) =

A 1

U+

B 1

U ¡ 1 =A 1 (U ¡ 1) + B 1 U

U (U ¡ 1) :

Es decir,

A 1 + B 1 = 1

18

y

A 1 = 2:

Por lo tanto,

1

¾ 2

Z t

T

U ¡ 2U (U ¡ 1) dU =

1

¾ 2

·Z t

T

A 1

UdU +

Z t

T

B 1

U ¡ 1 dU¸

=1

¾ 2

·2 ln

¯1 + e

p2 ¾ (T ¡ s)

¯tT¡ ln

¯1 + e

p2 ¾ (T ¡ s) ¡ 1

¯tT

¸=1

¾ 2

·2³ln¯1 + e

p2 ¾ (T ¡ t)

¯¡ ln 2

´¡ ln

¯ep2 ¾ (T ¡ s)

¯tT

¸

=1

¾ 2

264ln264³1 + e

p2 ¾ (T ¡ t)

2

4

375¡ ln e p 2 ¾ (T ¡ t)375

=1

¾ 2ln

264³1 + e

p2 ¾ (T ¡ t)

2

4ep2 ¾ (T ¡ t)

375:

(70)

Si, por un lado, se sustituye (70) en (69) y, por otro lado, se sustituyen (68) y (69) en (67) ,

se tiene que

¡Z C (t;T )

C (T ;T

dU¡U ¾ 2

2

¢¡ a

=

p2

¾

Z t

T

"1 ¡ e

p2 ¾ (T ¡ s)

1 + ep2 ¾ (T ¡ s)

#ds

2

¾ 2ln

μ2a

2a ¡ ¾ 2 C (t;T )

¶=1

¾ 2ln

264³1 + e

p2 ¾ (T ¡ t)

2

4ep2 ¾ (T ¡ t)

375: (71)

Al despejar C (t;T ) de la ecuaci¶on anterior, se tiene que

C (t;T ) =2a

¾ 2

264³1 ¡ e

1p2¾ (T ¡ t) 2

1 + ep2 ¾ (T ¡ t)

375: (72)

Observe que C (t;T ) < 2a = ¾ 2 y que si t = T , entonces C (T ;T ) = 0. Se puede veri¯car, de

manera sencilla, que (65) y (72) cumplen con (51) .

Ahora bien, si se sustituyen (50) , (51) , (65) y (72) en (48) , se obtiene que

@ A

@ t+a 2³1 ¡ e ¾ (T ¡ t)=

p24

2¾ 2³1 + e

p2 ¾ (T ¡ t)

2 ¡a 2³1 ¡ e ¾ (T ¡ t)=

p22

¾ 2³1 + e

p2 ¾ (T ¡ t)

´+

¾

2p2

"1 ¡ 2e

p2 ¾ (T ¡ t)

1 + ep2 ¾ (T ¡ t)

#= 0:

19

La expresi¶on anterior se puede reescribir como:

@ A

@ t=a 2

2¾ 2

Ã1 ¡ e

p2 ¾ (T ¡ t)

1 + ep2 ¾ (T ¡ t)

!2¡ ¾

2p2

"1 ¡ 2e

p2 ¾ (T ¡ t)

1 + ep2 ¾ (T ¡ t)

#: (73)

Por lo tanto,

A (t;T ) =a 2

2¾ 2

Z t

T

Ã1 ¡ e

p2 ¾ (T ¡ s)

1 + ep2 ¾ (T ¡ s)

!2ds ¡ ¾

2p2

Z t

T

"1 ¡ 2e

p2 ¾ (T ¡ s)

1 + ep2 ¾ (T ¡ s)

#ds: (74)

Para calcular la primera integral, del lado derecho de la ecuaci¶on anterior, se de¯ne el

siguiente cambio de variable sea u = 1 + ep2 ¾ (T ¡ s) , de donde du = ¡

p2¾ (u ¡ 1)ds =

p2¾ (1 ¡ u )ds . En consecuencia,

a 2

2p2¾ 3

Z t

T

(2 ¡ u ) 2u 2 (1 ¡ u ) du =

a 2

2p2¾ 3

Z t

T

(4 ¡ 4u + u 2 )u 2 (1 ¡ u ) du : (75)

La integral del lado derecho de (75) se calcula de nuevo por fracciones parciales. Esto es,

(4 ¡ 4u + u 2 )u 2 (1 ¡ u ) =

A 2

u 2+B 2

u+

C 2

1 ¡ u

=A 2 + u (B 2 ¡ A 2 ) + u 2 (C 2 ¡ B 2 )

u 2 (1 ¡ u ) :

La soluci¶on del sistema generado es A 2 = 4, B 2 = 0 y C 2 = 1. Por lo tanto,

a 2

2p2¾ 3

Z t

T

(4 ¡ 4u + u 2 )u 2 (1 ¡ u ) du =

a 2

2p2¾ 3

·Z t

T

4

u 2du +

Z t

T

1

1 ¡ u du¸

=a 2

2p2¾ 3

·Z t

T

4

u 2du ¡

Z t

T

1

u ¡ 1 du¸

=a 2

2p2¾ 3

"¡ 4μ

1

1 + ep2 ¾ (T ¡ s)

¶¯tT

¡ ln³ep2 ¾ (T ¡ s)

´¯tT

#

= ¡p2a 2

¾ 3μ1 + e

p2 ¾ (T ¡ t)

¶ + a 2p2¾ 3

¡ a2 (T ¡ t)2¾ 2

:

(76)

20

A continuaci¶on se calcula la segunda integral que aparece en (74) , es decir,

¡ ¾

2p2

Z t

T

"1 ¡ 2e

p2 ¾ (T ¡ s)

1 + ep2 ¾ (T ¡ s)

#ds = ¡ ¾

2

4

"p2

¾

Z t

T

"1 ¡ 2e

p2 ¾ (T ¡ s)

1 + ep2 ¾ (T ¡ s)

#ds

#

= ¡ ¾2

4

"p2

¾

Z t

T

Ã1 ¡ e

p2 ¾ (T ¡ s)

1 + ep2 ¾ (T ¡ s)

!ds

#

= ¡ 14ln

264³1 + e

p2 ¾ (T ¡ t)

2

4ep2 ¾ (T ¡ t)

375= 1

2 ln

Ã2e ¾ (T ¡ t)=

p2

1 + ep2 ¾ (T ¡ t)

!:

(77)

Note que la integral que aparece en la segunda igualdad de (77) , ya fue resuelta en (69) .

Por ¶ultimo, si se sustituyen las ecuaciones (76) y (77) en (74) , se obtiene que

A (t;T ) = 12 ln

Ã2e ¾ (T ¡ t)=

p2

1 + ep2 ¾ (T ¡ t)

!+

a 2p2¾ 3

¡ a2 (T ¡ t)2¾ 2

¡p2a 2

¾ 3μ1 + e

p2 ¾ (T ¡ t)

¶: (78)

La expresi¶on anterior se puede reescribir como:

A (t;T ) = 12 ln

μ2

1 + ep2 ¾ (T ¡ t)

¶+

a 2p2¾ 3

+

μ¾

2p2¡ a 2

2¾ 2

¶(T ¡ t)

¡p2a 2

¾ 3μ1 + e

p2 ¾ (T ¡ t)

¶: (79)

Claramente, si t = T , entonces A (T ;T ) = 0.

1 4 . E stru c tu ra d e p la z o s

Con base en las ecuaciones (25) , (41) y (43) , la estructura de plazos se determina mediante

R (t;T ) = ¡ ln B (t;T )T ¡ t =

¡ r tD (t;T ) ¡ A (t;T ) ¡ C (t;T )pr t

T ¡ t : (80)

Puede veri¯carse, f¶acilmente, que

R (t;1 ) ´ limT ! 1

¡ ln B (t;T )T ¡ t =

¾

2p2¡ a 2

2¾ 2: (81)

21

1 5 . E stim a c i¶o n d e p a r¶a m e tro s

Recuerde que la ecuaci¶on diferencial estoc¶astica del comportamiento de la tasa corta est¶a

representada por:

dr t =¡14 ¾

2 ¡ apr t¢dt + ¾

pr tdW t: (82)

Considere el cambio de variable X t = 2pr t y calcule las parciales de primero y segundo

orden de X t con respecto a r t . Esto es,

@ X t

@ rt=

1pr t=

2

X t;

@ 2 X t

@ r 2t= ¡ 1

2r tpr t= ¡ 1

r tX t

y@ X t

@ t= 0: (83)

El lema de Ito conduce a

dX t =

μ@ X t

@ t+@ X t

@ r t

¡14 ¾

2 ¡ apr t¢+1

2¾ 2 r t

@ 2 X t

@ r 2t

¶dt + ¾

pr t@ X t

@ r tdW t

=

μ2

X t

¡14 ¾

2 ¡ apr t¢+ 1

2 ¾2 r t

μ¡ 1r tX t

¶¶dt + ¾

X t

2

2

X tdW t

=

μ1

2X t¾ 2 ¡

2apr t

X t¡ 1

2X t¾ 2¶dt + ¾ dW t

= ¡ a dt + ¾ dW t:

(84)

Por lo tanto, se tiene que

X t ¡ X t¡ 1 = ¡ a + u t; t = 1;2;:::;N ;

donde u t » N (0;¾ 2 ) . De esta manera,

E[X t ¡ X t¡ 1 ] = ¡ a (85)

y

Var[X t ¡ X t¡ 1 ] = ¾ 2 : (86)

As¶³ pues, Si Y t = X t ¡ X t¡ 1 , los estimadores de a y ¾ se obtienen a trav¶es de las siguientesecuaciones

1

N

NXt= 1

Y t = ba y

vuut 1

N

NXt= 1

Y 2t = b¾ : (87)

22

1 6 . E je m p lo d e a p lic a c i¶o n d e l m o d e lo p ro p u e sto

En esta secci¶on se lleva a cabo una aplicaci¶on del modelo propuesto. La tasa corta es la

tasa de CETES a 7 d¶³as. La Gr¶a¯ca 1 muestra la curvas de ceros en un periodo de 1.4 a~nos.

La tasa corta actual (14 de marzo de 2005) est¶a dada por r t = 0:0765. Los estimadores de

la volatilidad, b¾ , y velocidad, ba , calculados, con un un registro hist¶orico de datos diariosde tama~no 90, a partir de las ecuaciones (87) , est¶an dados por ba = 0:0216 y b¾ = 0:3601.Como puede observarse la Gr¶a¯ca 1 muestra el comportamiento t¶³pico de una estructura

de plasos (curva de rendimiento) . Es decir, de acuerdo con la ecuaci¶on (25) , R (t;T ) es una

funci¶on c¶oncava que se estabiliza alrededor de R (t;1 ) = 0:14:

Gr¶a¯ca 1. Curva de ceros estimada.

1 7 . Im p a c to e n e l se c to r p ro d u c tiv o y e n e l b e n e ¯ c io so c ia l

Se ha desarrollado un modelo de equilibrio general en una econom¶³a estoc¶astica poblada

por agentes id¶enticos, con vida in¯nita, maximizadores de utilidad, competitivos y adversos

al riesgo para determinar una estructura de plazos de la tasa de inter¶es, cuya aplicaci¶on

puede tener un impacto importante el sector productivo y en el bene¯cio social.

El modelo propuesto ha proporcionado din¶amicas para la tasa corta diferentes a las

obtenidas en Cox, Ingersoll y Ross (1985b) generalizando, como un resultado del equilibrio

23

general, el modelo de tasa corta de Longsta® (1989) . Asimismo, con los estimadores

obtenidos de los par¶ametros, los cuales son muy sencillos de calcular, se llev¶o a cabo la

deducci¶on de la estructura de plazos cuando la tasa corta es la tasa de CETES a 7 d¶³as.

Este modelo puede ser utilizado para establecer recomendaciones en materia de pol¶³tica

monetaria en los criterios de pol¶³tica econ¶omica. Particularmente, Banco de M¶exico, puede

utilizar los resultados de la presente investigaci¶on con un instrumento de pol¶³tica en la

determinaci¶on de la tasa l¶³der de inter¶es.

Asimismo, el proyecto tuvo un impacto en la generaci¶on de recursos humanos, espec¶³-

¯camente de investigadores del m¶as alto nivel, que participaron como tesistas en diversas

partes del proyecto.

Por ¶ultimo es importante mencionar que el modelo puede ser extendido en varias

direcciones, por ejemplo: falta incorporar volatilidad estoc¶astica en el comportamiento

de la tasa corta y considerar otras formas funcionales disponibles en la literatura para

la funci¶on de utilidad, situaciones que ya est¶an comprendidas en la agenda futura de

investigaci¶on.

B ib lio g ra f¶³a

C ox , J ., J . In g erso ll, a n d S . R o ss (1 9 8 5 a ). \ A n in tertem p o ra l g en era l eq u ilib riu m m o d el o f a sset p rices" .

E co n o m etrica , 5 3 (2 ), p p . 3 8 5 -4 6 7 .

C ox , J ., J . In g erso ll, a n d S . R o ss (1 9 8 5 b ). \ A th eo ry o f th e term stru ctu re o f in terest ra tes" . E co n o m etrica ,

5 3 (2 ), p p . 3 8 5 -4 6 7 .

G rin o ls, E . L . a n d S . J . T u rn ov sk y (1 9 9 3 ). \ R isk , th e ¯ n a n cia l m a rk et, a n d m a cro eco n o m ic eq u ilib riu m " .

J o u rn a l o f E co n o m ic D yn a m ics a n d C o n tro l, 1 7 (1 -2 ), p p . 1 -3 6 .

L ee, M a n d W . L i (2 0 0 5 ). \ D rift a n d d i® u sio n fu n ctio n sp eci ca tio n fo r sh o rt-term in terest ra tes" .

E co n o m ics L etters, 8 6 (3 ), p p . 3 3 9 -3 4 6 .

L o n g sta ® , F . A . (1 9 8 9 ). \ A n o n lin ea r g en era l eq u ilib riu m m o d el o f th e term stru ctu re o f in terest ra tes" .

\ J o u rn a l o f F in a n cia l E co n o m ics, 2 3 (2 ), p p . 1 9 5 -2 2 4 .

S ch m ed d ers, K . (1 9 9 8 ). \ C o m p u tin g eq u ilib ria in th e g en era l eq u ilib riu m m o d el w ith in co m p lete a sset

m a rk ets" . J o u rn a l o f E co n o m ic D yn a m ics a n d C o n tro l, 2 2 (8 -9 ), p p . 1 3 7 5 -1 4 0 1 .

T u rn ov sk y S . J . (1 9 8 6 ). \ S h o rt-term a n d lo n g -term in terest ra tes in a m o n eta ry m o d el o f a sm a ll o p en

eco n o m y " . J o u rn a l o f In tern a tio n a l E co n o m ics, 2 0 (3 -4 ), p p . 2 9 1 -3 1 1 .

V en eg a s-M a rt¶³n ez, F . (2 0 0 1 ). \ T em p o ra ry sta b iliza tio n : a sto ch a stic a n a ly sis" . J o u rn a l o f E co n o m ic

D yn a m ics a n d C o n tro l, 2 5 (9 ), p p . 1 4 2 9 -1 4 4 9 .

V en eg a s-M a rt¶³n ez, F . y B . G o n z¶a lez-A r¶ech ig a (2 0 0 2 ). \ C o b ertu ra d e ta sa s d e in ter¶es co n fu tu ro s d el

m erca d o m ex ica n o d e d eriva d o s: u n m o d elo esto c¶a stico d e d u ra ci¶o n y co n v ex id a d " . E l T rim estre

E co n ¶o m ico , 5 9 (2 ) N o . 2 7 4 , p p . 2 2 7 -2 5 0 .

24

V en eg a s-M a rt¶³n ez, F . (2 0 0 5 ). \ B ay esia n in feren ce, p rio r in fo rm a tio n o n v o la tility, a n d o p tio n p ricin g : a

m a x im u m en tro p y a p p ro a ch ." In tern a tio n a l J o u rn a l o f T h eo retica l a n d A p p lied F in a n ce, 8 (1 ), p p .

1 -1 2 .

V en eg a s-M a rt¶³n ez, F . (2 0 0 6 ). \ S to ch a stic tem p o ra ry sta b iliza tio n : u n d iv ersi a b le d eva lu a tio n a n d in co m e

risk s." E co n o m ic M od ellin g, 2 3 (1 ), p p . 1 5 7 -1 7 3 .

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