modelov ání zajištění v rámci rezerv a solventnosti v neživotní pojišťovně
DESCRIPTION
Modelov ání zajištění v rámci rezerv a solventnosti v neživotní pojišťovně. Radka Trchová Reserving and Actuarial Analysis Allianz Elementar, Austria. Agenda. Zajištění v rezervovacích modelech Model uvažující jednotlivé škody Parametrizace modelu Simulace Zajištění - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
Modelování zajištění v rámci rezerv a solventnosti v neživotní pojišťovně
Radka TrchováReserving and Actuarial Analysis
Allianz Elementar, Austria
2
Agenda
• Zajištění v rezervovacích modelech
• Model uvažující jednotlivé škody
• Parametrizace modelu
• Simulace
• Zajištění
• Optimalizace zajištění
• Závěr
3
Základní rezervovací metody v praxi
• V praxi se užívají obvykle dvě metody– Užití známých modelů na data očištěná o zajištění– Užití známých modelů pro hrubé škody a následné užití
proporcionální metody
• Známé modely– Deterministické
• Chain ladder • Bornhütter-Fergusson• ...
– Stochastické• Over Dispersed Poisson• Mack metoda• ...
4
Příklad – brutto Chain LadderAY 0 1 2
2004 10 15 17.52004 20 30 352004 - 15 17.52005 10 152005 20 302005 - 152006 102006 20
AY 0 1 22004 30 60 702005 30 602006 30
AY 0 1 2 Res2004 30 60 70 02005 30 60 70 102006 30 60 70 40
50
Trojúhelník jednotlivých zapl. škod
Kumulativní trojúhelník zapl. škod
Chain Ladder faktory
Doplněný kumulativní trojúhelník
Překpokládejme, že v každém roce vzniknou 3 škody:
•2 škody mají první platbu hned•1 škoda má první platbu až v 2. roce
Máme dva typy škod:•malá škoda: 10 15 17.5 •velká škoda: 20 30 35
Metoda Chain Ladder dává odhad škodní rezervy ve výši 50.
AY 0 1c_j 2.00 1.17
5
Příklad – netto Chain Ladderprio AY 0 1 220 2004 10 15 17.520 2004 20 20 2020 2004 - 15 17.520 2005 10 1520 2005 20 2020 2005 - 15- 2006 10- 2006 20
AY 0 1 22004 30 50 552005 30 502006 30
AY 0 1 2 Res2004 30 50 55 02005 30 50 55 52006 30 50 55 25
30
AY 0 1c_j 1.67 1.10
Trojúhelník jednotlivých zapl. škod
Kumulativní trojúhelník zapl. škod
Chain Ladder faktory
Doplněný kumulativní trojúhelník
Překpokládejme zajištění:•XL-zajištění s prioritou 20 v letech
2004, 2005•Žádné zajištění (nebo XL-zajištění s
prioritou např. 40) v roce 2006
Metoda Chain Ladder aplikovaná na trojúhelník čistých škod dává odhad škodní rezervy ve výši 30.
6
Příklad – netto úvahou
AY 0 1 2 Res2004 30 60 70 02005 30 60 70 102006 30 60 70 40
50
AY 0 1 2 Res2004 30 50 55 02005 30 50 55 52006 30 50 55 25
30
AY 0 1 2 Res2004 30 60 70 02005 30 60 55 52006 30 60 70 40
45
Brutto Chain Ladder Netto Chain Ladder
Úvaha: Pro rok 2006 užijeme odhad metodou Chain Ladder pro hrubé škody, protože v tomto roce není zajištění
Metoda Chain Ladder užitá na trojúhelník čistých škod pododhaduje škodní rezervu o 33%.Předpoklady metody CL nejsou splněny (nezávislost výv. faktorů na roce vzniku škody).
7
Příklad – proporcionální metoda
AY 0 1 22004 20 20 17.52004 35 35 352004 - 20 17.52005 20 202005 35 352005 - 202006 202006 35
Trojúhelník jednotlivých hlášených škod
Hlášené hrubé škody: 200 Hlášené čisté škody: 170
Individuální rezerva brutto: 40 Individuální rezerva netto: 35
Podíl netto individuální rezervy: 35/40 = 0.875
Netto IBNR rezerva = 0.875*50 = 43.75
Překpokládejme že • malé škody jsou rezervovány 20
(princip obezřetnosti) a v posledním výv. Roce jsou opraveny na konečnou hodnotu 17.5
• velké škody jsou rezervovány 35 (přesnější analýza škody)
Proporcionální metoda dává odhad netto rezervy 43.75, což je jen o 2.8% nižší než odhad úvahou.
8
Výpočet netto rezerv - problémy
• Chain Ladder metoda aplikovaná na trojúhelník čistých škod• Předpoklad metody nezávislosti vývojových faktorů není splněn
• Proporcionální metoda je zavislá na politice individuálních rezerv, která se v průběhu času mění
• Při modelování celého rozdělení škodní rezervy je situace ještě horší
V praxi je situace mnohem složitější• Zajistná struktura a parametry se mohou měnit každý rok• Zajištění se obvykle mění v průběhu pojistného cyklu• Předpoklady modelů nejsou často splněny již pro hrubé škody a je nutno
metody upravit na základě bližší informace
Problémy
Potřebujeme model, který zajištění lépe zohledňuje
9
Intuitivní úvahaPro modelování jednotlivých škod užijeme kolektivní model
lkjsj
lkjs
lkjs EdYY ,1,,,,1,
~)1(1
jsrjYXj
l
N
k
lkjsjs
ls
,...,0,,...,0,0
~
1,,,
,
Kde
s Rok vzniku škody
j Vývojový rok
Počet škod vzniklých v roce s a hlášených poprvé ve vývojovém roce j
Jednotlivé škody
Pro jednotlivé škody užít multiplikativní model
jsN ,
~
kjsY ,,
l Vývojový rok první platby
10
Model pro počty škodKumulativní trojuhelník počtů škod
Inkrementální počty škod
Model
11
Model pro počty škod
Z předpokladu Poissonova rozdělení plyne
Střední hodnota
Variance
12
Model pro počty škod
Pro střední hodnotu konečného počtu škod lze rekurzivně odvodit
Podobně lze odvodit pro rozptyl
Rozptyl konečného počtu škod je lineární funkcí Nt-j,j
13
Model pro výše škodIntuitivní úvaha spočívá v užití multiplikativního modelu
lkjs
lkjs YY ,,,1,
pro škody, které se již v trojuhelníku objevily.Pro Ẽl
s,j+1,k předpokládáme, že mají střední hodnotu 1, stejné druhé a třetí momenty pro stejné j,k,l a nezávisí na Yl
s,j,k
Problém: pro uzavřené škody máme
lkjsj
lkjs
lkjs EdYY ,1,,,,1,
~)1(1
Zavedeme veličinu Jls,j,k, která indikuje, zda je škoda otevřená
pokud je škoda Yls,j,k na konci výv. roku j otevřená
pokud je škoda Yls,j,k na konci výv. roku j uzavřená
Ẽls,j+1,k = 0 závislost na stavu Yl
s,j,k
14
Model pro výše škod
Zavedeme pravděpodobnosti uzavření škody qj+1 ve vývojovém roce j
Podobně pro škody mající první platbu
Snadno se ukáže
Pomocí Jls,j,k lze model pro otevřené i uzavřené škody vyjádřit jako
s pstís pstí
s pstís pstí
15
Celkový model
jlrjYXj
l
N
k
lkjsjs
ls
,...,0,,...,0,0
~
1,,,
,
Pro škody již se v trojuhelníku vyskytující lze pak užít multiplikativní model z předpokladu
Rozdělením na škody mající první platbu do vývojového roku j a škody mající první platbu ve výv. roce j+1 dostáváme pro Xs,j+1
16
Celkový modelCelkové škody lze také rozložit na otevřené a uzavřené
kde pro škody otevřené máme
a pro škody ouzavřené máme
17
Celkový modelOznačme Is,j informaci o škodách z roku s dostupnou ve vývojovém roce j
Máme tedy
Snadno se ukáže
a pro otevřené škody
18
Celkový model
První člen je roven
což je díky rovno
a to je rovno
Druhý člen je střední hodnota složeného Poissonova rozdělení
19
RezervaNediskontovaná rezerva bez bezpečnostní přirážky má tvar
Střední hodnota v sumě se vyjádří pomocí vložených středních hodnot
Dosazením za vnitřní střední hodnotu dostáváme
což je rovno
Rekurze
20
Rezerva
Očekávané budoucí platby na škody, které již měly platbu
Očekávané platby na škody, které ještě platbu neměly
Koeficienty
se zkládají pouze z deterministicých parametrů modelu
, kum. výv. faktory,
21
Parametrizace – malé škody
Trojuhelník malých zaplacených škod
Pro přesnější parametrizaci velkých škod rozdělíme škody na malé a velké
Pro malé škody užijeme model
22
Parametrizace – malé škodyVývojové faktory
Výběr vývojových faktorů
23
Parametrizace – malé škody
Small losses development factors - Tail factors
1.00
1.02
1.04
1.06
1.08
1.10
1.12
1.14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
development year
c_j Weibull fit Power fit Exponential fit Sherman fit
Koncové faktory
Suma kvadratických odchylek:
24
Malé škody v 0-tém vývojovém roce
Small losses in development year 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X_
t,0
in M
io.
accident year
U malých škod v nultém vývojovém roce lze pozorovat cyklus
Dobrý odhad dává polynom čtvrtého stupně
25
Parametrizace – počty škod
b_j - Tail factors
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
development year
b_j Weibull fit Power fit Exponential fit Sherman fit
Parametr lambda se stanoví metodou momentů
Suma kvadratických odchylek:
26
Parametrizace – výše škodLarge loss development factors - Tail factors
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
development year
d_j Weibull fit Power fit Exponential fit Sherman fit
Momenty pro výši první platby předpokládáme LN-rozdělení
dj se stanoví jako vhodný vážený průměr ds,j
Opticky nejlepší koncový faktor dává exponenciální křivka, která má však největší kvadratickou odchylku (důvodem je špatný fit v prvním vývojovém roce)
27
Parametrizace – pst zavření škody
Probabilities of closing a large claim
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
development year
Pro pozdější vývojové roky je k dispozici poměrně málo pozorování
Významný je především rozdíl pro nultý vývojový rokOd pátého vývojového roku předpokládáme hodnotu 0.35
28
Chybové členy
Histogram of large loss development error terms
0
50
100
150
200
250
300
0 <=0.5 <=1 <=1.5 <=2 <=2.5 <=3 <=3.5 <=4 <=4.5 <=5 <=10 <=20 >20
Interval
E_
s,j+
1,k
^l
Chybové členy vývoje malých škod
Chybové členy vývoje velkých škod
Histogram of logarithm of large loss dev. error terms
0
5
10
15
20
25
30
35
<=-4<=-3.5
<=-3<=-2.5
<=-2<=-1.5
<=-1<=-0.5
<0 <0.5<=1
<=1.5
<=2<=2.5
<=3>3
Interval
nu
mb
er
of
ln(E
_s
,j+1
,k^
l)
Histogram chybových členů velkých škod
U velkých škod se často vyskytují roky, kdy není učiněna žádná platba a hodnota chybového členu je rovna nule.
29
Celková brutto rezervaRozdělení celkové brutto rezervy bylo stanoveno pomocí 1000 simulací
lkjsj
lkjs
lkjs EdYY ,1,,,,1,
~)1(1
Počty škod byly simulovány dle modelu
Výše nových škod byly simulovány pomocí LN-rozdělení, uzavření škod dle 0-1 rozdělení a vývoj otevřených škod dle
Rozdělení celkové rezervy je relativně symetrické
30
Rezerva dle roku vzniku škody
• Dle očekávání roste rezerva s rokem vzniku škody
• Nejnižší rezerva je pro roky nejvíce vypořádané
Velká škoda – požár tunelové lanovky Kaprun – postihla více pojistitelů
31
Sm. odchylky a variační koeficienty
Směrodatná odchylka stoupá s rokem vzniku škody
Směrodatná odchylka klesá s rokem vzniku škody
1. škoda
1. škoda2. škoda
2. škoda
32
Rozdělení rezervy jednotl. let vzniku škody
Rozdělení rezerv v jednotlivých letech vzniku škody jsou výrazně méně symetrické
33
Model – Škody netto
Kvóta (Q%)
Z = (1-Q%)S
XL Zajištění (L xs P)
Yi = min(max(Xi – P, 0), L)
Navíc dodatečné zajistné - reinstatements
SL Zajištění (L xs P)
Z = min(max(S – P, 0), L)
34
Zajistný efekt
Vlastnosti
LN-rozdělení:
Pareto:
35
Netto rezerva při XL-zajištění
Rezerva na škody, které již měly platbu Rezerva na škody budoucí
Zajistný efekt
Budoucí vývoj
Budoucí vývoj
36
Netto rezerva při XL-zajištěnídeterministický odhad
37
Netto rezerva při SL-zajištění
Zajistný efekt
Užíváme prioritu očištěnou o škody, které jsou při It-j,j uzavřené
Platby, které již byly učiněné
38
Model s XL-zajištěním
Rozdělení netto rezervy má kratší pravý konec – menší pravděpodobnost velkého škodního úhrnu
39
Model s XL-zajištěním
Distribuční funkce netto rezervy konverguje dříve k 1(je posunuta více doleva)
40
Kalkulace rizikového kapitáluVývoj rizikové rezervy
Pmtt+1 jsou platby za škody v čase t+1
Výše rizikového kapitálu se stanoví z požadavku
Pro odhad v jednokrokovém modelu lze užít NP2 aproximace
Bt+1 je pojistné placené na konci roku, F = 1+i, G = 1+(1-)i, je průměrná doba plateb za škody a ut je výše alokovaného kapitálu na konci roku t
Je třeba odvodit příslušné střední hodnoty
41
Simulace rizikového kapitáluZ požadavku
plyne
Po úpravě dostaneme
Při označení
máme
Simulujeme veličinu a hodnota u je příslušný kvantilZde již potřebujeme předpoklady o rozdělení výší škod a chybových členů
42
Economic value added (EVA)Economic value added je definována jako hospodářský výsledek po odečtení nákladů na kapitál
Cost of capital je tvořeno bezrizikovou úrokovou mírou plus přirážka
Hospodářský výsledek je dle našeho modelu
Neboli součet výsledku z pojistné činnosti a úroku z kapitálu
EVA lze tedy vyjádřit také jako
43
Return on Equity (ROE)
Return on equity je definován jako hospodářský výsledek v procentech kapitálu
Z předchozích úvah plyne vztah mezi EVA a ROE
Snadno tedy plyne, že pojistitel produkuje kladnou přidanou hodnotu (EVA) právě tehdy, když jeho return on equity přesahuje jeho náklady na kapitál
44
Reinsurance EVA
Přidaná hodnota ze zajištění je rozdílem přidané hodnoty brutto a netto
Snadno se ukáže, že to je rovno ušetřeným nákladům z ušětřeného kapitálu po odečtení nákladů na zajištění
Ušetřený kapitál:
Náklady na zajištění jsou opakem výsledku zajistitele:
Snadno se ukáže
45
Efficient frontier
IST
uIST Capital (u)
Res
ultU
W
ResultIST
EVA
uIST*iCoC
Efficient frontierMax EVA
EVA>0
46
Výhody modelu
• Intenzivnější užití dat• Explicitní zohlednění zajištění• Možnost implementace aproximativní verze v
Excelu• Možnost rozšíření o další typy rizik, především
investiční riziko (total balance sheet view)
47
Problémy
• Dostupnost dat• Velké množství parametrů, riziko odhadu parametrů• Model je nutné rozšířit o odhad rizika parametrů• Model je nutné zozšířit o modelování více
obchodních odvětví včetně závislostí mezi nimi
48
Další oblasti vývoje
• Snížení množství parametrů např. Užitím parametrických funkcí
• Modelování rizika paramerů• Modelování více obchodních linek a závislostí
mezi nimi• Rozšíření modelu o investiční riziko a úvěrové
riziko ze zajištění• Testování modelu na velkém množství dat v praxi