models of infectious disease - bachelor thesis

IntroduzioneIl modello

La Risposta ImmunitariaRitardo Temporale

Conclusioni

Università degli Studi di TrentoFacoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Modelli Matematici di Infezione Virale

28 Marzo 2007

Laureando: Mattia ManicaRelatore: prof. Mimmo Iannelli

Conclusioni

1 Introduzione

2 Il modelloConcetti PreliminariAnalisi del Modello

3 La Risposta ImmunitariaIntroduzioneRisposta CostanteModello RidottoRisposta Periodica

4 Ritardo TemporaleIntroduzionePunti Critici e Analisi Stabilità

5 Conclusioni

Conclusioni

1 Introduzione

5 Conclusioni

Conclusioni

I modelli matematiciNuovo impulso alla ricerca;Semplificazione del problema reale, ne presenta lecaratteristiche fondamentali ed essenzialiIntroduzione calcolo differenziale e calcolatori;Studio vasta gamma di problemi (economici, biologici,fisici, . . . );

Conclusioni

ObiettiviStudiare Infezione Virale in unaPopolazione di CelluleSuscettibili.Studiare Effetto RispostaImmunitaria.Studiare possibili diversemodellizzazioni della RispostaImmunitaria.

Conclusioni

Concetti PreliminariAnalisi del Modello

1 Introduzione

5 Conclusioni

Conclusioni

x(t) numero cellule suscettibili, y(t) numero cellule infette, ν(t)numero particelle virali libere

IL MODELLO x ′(t) = λ− dx(t)− χx(t)ν(t)y ′(t) = χx(t)ν(t)− ay(t)ν ′(t) = ky(t)− uν(t)

λ tasso di riproduzione cellulared tasso di mortalità cellule non infetteχ tasso di contagioa tasso di mortalità cellule infette

Conclusioni

Particelle Virali e TurnoverLe particelle virali sono caratterizzate da un elevato turnoverrispetto alle cellule infette

ν(t) =ku

y(t) β =χku

x ′(t) = λ− dx(t)− χx(t)ν(t)y ′(t) = χx(t)ν(t)− ay(t)ν ′(t) = ky(t)− uν(t)

Conclusioni

ν(t) =ku

y(t) β =χku

Conclusioni

ν(t) =ku

y(t) β =χku

Conclusioni

ν(t) =ku

y(t) β =χku

{x ′(t) = λ− dx(t)− βx(t)y(t)y ′(t) = βx(t)y(t)− ay(t)

Conclusioni

Numero Riproduttivo di Base

R0 :=λβ

λ Tasso Riproduzione Sucettibiliβ Tasso Contagioa Tasso Mortalità Infetted Tasso Mortalità Suscettibili

Intuitivamente il numero riproduttivo di base indica quanti nuoviinfetti verranno generati da un infetto.

Conclusioni

Numero Riproduttivo di Base

R0 :=λβ

λ Tasso Riproduzione Sucettibiliβ Tasso Contagioa Tasso Mortalità Infetted Tasso Mortalità Suscettibili

Intuitivamente il numero riproduttivo di base indica quanti nuoviinfetti verranno generati da un infetto.

Conclusioni

Analisi del modello:{

x ′(t) = λ− dx(t)− βx(t)y(t)y ′(t) = βx(t)y(t)− ay(t)

Individuazione dei punti critici:

,λβ − da

)per R0 > 1

Chiamo E0 l’equilibrio libero da infezione, ed E1 l’equilibrioendemico.Analisi Stabilità dei Punti Critici:Studio del segno della parte reale degli autovalori Ψ dellamatrice Jacobiana.

Conclusioni

Condizioni per la StabilitàNel nostro modello la Matrice Jacobiana è

Jac[(x , y)] =

(−(d + βy) −βx

βy βx − a

)Gli autovalori Ψ della matrice Jacobiana si ottengono attraversola seguente equazione.

Ψ2 − TrJac[(x , y)]Ψ + det Jac[(x , y)] = 0

la stabilità sarà data dalle seguenti condizioni sul segno delDeterminante e della Traccia della matrice Jacobiana,

TrJac[(x , y)] < 0 e det Jac[(x , y)] > 0

Conclusioni

Condizione di Stabilità

soddisfatte per E0 solo se R0 < 1

Stessi ParametriBiologiciDiverse CondizioniIniziali R0 > 1

Diversi ParametriBiologiciStesse CondizioniIniziali

Conclusioni

Stessi ParametriBiologiciDiverse CondizioniIniziali

R0 > 1

Conclusioni

Stessi ParametriBiologiciDiverse CondizioniIniziali R0 > 1 Diversi Parametri

BiologiciStesse CondizioniIniziali

Conclusioni

Stessi ParametriBiologiciDiverse CondizioniIniziali R0 > 1

Conclusioni

Similmente si dimostra con semplici calcoli la stabilità di

,λβ − da

)quando R0 > 1

Stessi Parametri BiologiciDiverse Condizioni Iniziali

Diversi Parametri BiologiciStesse Condizioni Iniziali

Conclusioni

,λβ − da

)quando R0 > 1

Conclusioni

,λβ − da

)quando R0 > 1

Conclusioni

Criterio di Bendixon-Dulac

Sia dato il sistema{

Y ′1 = F1(Y1, Y2)

Y ′2 = F2(Y1, Y2)

Se esiste una funzione D(x , y) tale per cui risulta

div(DF1, DF2) ≤ 0

con l’uguaglianza non ovunque ⇒ non esistono orbiteperiodiche.

Nel nostro caso questa funzione è D(x , y) =1xy

Conclusioni

Y ′1 = F1(Y1, Y2)

Y ′2 = F2(Y1, Y2)

div(DF1, DF2) ≤ 0

Conclusioni

Y ′1 = F1(Y1, Y2)

Y ′2 = F2(Y1, Y2)

div(DF1, DF2) ≤ 0

Conclusioni

IntroduzioneRisposta CostanteModello RidottoRisposta Periodica

1 Introduzione

5 Conclusioni

Conclusioni

La Risposta ImmunitariaCondizione grazie alla quale l’organismo è in grado dicombattere i cosiddetti antigeni (virus, batteri, . . . );L’Immunità Cellulare;

Le cellule reagiscono uccidendo le cellule infettate da virus;L’Immunità Umorale

Le cellule inibiscono, inattivano o distruggono le sostanzeestranee.

Conclusioni

x(t) cellule suscettibili, y(t) cellule infette, z(t) rispostaimmunitaria.

Modello con Risposta Immunitariax ′(t) = λ− dx(t)− βx(t)y(t)

qz(t) + 1

y ′(t) =βx(t)y(tqz(t) + 1

− ay(t)− py(t)z(t)

z ′(t) = cy(t)− bz(t)

Conclusioni

Ponendo q = 0 ignoro la risposta immunitaria inibitoria,considero solamente l’azione dei componenti litici.

Modello con solo Risposta Immunitaria Liticax ′(t) = λ− dx(t)− βx(t)y(t)y ′(t) = βx(t)y(t)− ay(t)− py(t)z(t)z ′(t) = cy(t)− bz(t)

Conclusioni

Punti CriticiUno o due punti critici a seconda della condizione su R0.

d, 0, 0

)sempre,

solo per R0 > 1 E1 := (x , y , z) conx =

cd + bβz

y =bzc

z =−(pcd + abβ) +

√(pcd + abβ)2 − 4bcpβ(ad − λβ)

Conclusioni

Stabilità Punti CriticiDobbiamo valutare il segno della parte reale degli autovaloridella Matrice Jacobiana,

Semplici calcoli per l’equilibrio libero: la stabilità dipende dallacondizione sul numero riproduttivo di base.

Conclusioni

Per l’equilibrio endemico lo studio della stabiltà risulta piùcomplesso.

La stabiltà si evince comunque dalle simulazioni al calcolatore.

Conclusioni

Per R0 > 1, risultati di Analisi ci assicurano l’esistenza diun’orbita periodica.

Conclusioni

Esplorando con l’ausilio del calcolatore i vari comportamenti alvariare dei parametri emerge:

1 Il tasso di riproduzione delle cellule suscettibili λ el’ampiezza dell’oscillazione dei componenti litici β1 giocanoun ruolo fondamentale nel determinare il periodo dellasoluzione;

2 Si ottengono soluzioni di periodo uno per bassi valori di λ;Per valori intermedi otteniamo soluzioni di periodo uno,seguite da soluzioni di periodo tre e da una successione disoluzioni di periodo doppio fino al caos, a seconda delvariare del parametro β1.

3 Se invece c’è un elevato tasso riproduttivo si ottengonosoluzioni di periodo uno, poi due ed infine una successionedi soluzioni di periodo doppio fino al caos.

Conclusioni

Modello RidottoPossiamo introdurre un nuovo modello ipotizzando che lecellule litiche siano caratterizzate da un elevato turnoverrispetto alle cellule infette.

0 = cy(t)− bz(t) =⇒ z(t) =cb

Il sistema ora è planare.

Conclusioni

Punti CriticiL’equilibrio libero dall’infezione non cambia;Per R0 > 1 ho un diverso equilibrio endemico Erid := (x , y) ove

d + by

−abβ − pcd + b

√(aβ +

− 4βpc(−λβ + ad)

b2βpc

Conclusioni

Stabilità Erid per R0 > 1Utilizzo Criterio Bendixon Dulac per escludere presenza orbiteperiodiche.

D(x , y) =1xy

x ′ = λ− dx(t)− βx(t)y(t)

y ′ = βx(t)y(t)−ay(t)−pcb

xy− d

y− β, β − a

x− pcy

)= − λ

x2y− pc

bx≤ 0

Abbiamo appena dimostrato la non esistenza di orbiteperiodiche, quindi l’insieme w − limite contiene un punto, Erid ,stabile.

Conclusioni

D(x , y) =1xy

xy− d

y− β, β − a

x− pcy

)= − λ

x2y− pc

bx≤ 0

Conclusioni

D(x , y) =1xy

xy− d

y− β, β − a

x− pcy

)= − λ

x2y− pc

bx≤ 0

Conclusioni

D(x , y) =1xy

xy− d

y− β, β − a

x− pcy

)= − λ

x2y− pc

bx≤ 0

Conclusioni

D(x , y) =1xy

xy− d

y− β, β − a

x− pcy

)= − λ

x2y− pc

bx≤ 0

Conclusioni

Risposta Immunitaria PeriodicaPurtroppo non si è ancora arrivati ad un’esattamodellizzazione della risposta immunitaria;Il sistema immunitario risente del ritmo biologico, come glialtri apparati fisiologici.Consideriamo il ritmo circadiano, periodo un giorno;Segue in prima approssimazione una curva sinusoidaleche cresce fino ad un massimo (acrofase) e poi scendefino a un minimo, variando intorno ad un valore medianoche si chiama mesor.

Conclusioni

Modellizziamo l’effetto del ritmo circadiano con il seguenteparametro p(t)

p(t) = β0 + β1cos(2πt − ϕ)

ove i parametri β0 e β1 descrivono rispettivamente la rispostalitica base e l’oscillazione attorno ad essa e ϕ è l’acrofase, ilmassimo.

Conclusioni

Stabilità Punti Critici

Equilibrio Libero dall’Infezione E0 :=

d, 0, 0

)Ci aspettiamo che la sua stabilità dipenda dal valore di R0

Per dimostrare formalmente ciò abbiamo bisogno di alcunirisultati preliminari

Conclusioni

d, 0, 0

Conclusioni

d, 0, 0

Conclusioni

d, 0, 0

Conclusioni

E’possibile mostrare che:Tutte le soluzioni del sistema sono positive per t > 0 edesiste M > 0 tale che x(t), y(t), z(t) < M.

Attraverso il calcolo esplicito delle equazioniSia x∞ = lim sup

t→∞x(t), allora x∞ ≤ x∗, ove x∗, y∗, z∗ i

rispettivi equilibri del sistemaMaggiorando la prima equazione ed integrando in unopportuno intervallo di tempo

Utilizzando questi risultati si dimostra che E0 è stabile perR0 < 1

Conclusioni

E’ possibile mostrare che la stabilità si mantiene anche perR0 = 1, quindi E0 asintoticamente stabile se R0 ≤ 1

Come mostrato dai grafici

Conclusioni

TeoremaSe R0 > 1, il sistema è uniformemente persistente, ovveroesiste δ > 0, indipendente dalle condizioni iniziali, tale chelim inft→∞

x(t) ≥ δ, lim inft→∞

y(t) ≥ δ e lim inft→∞

z(t) ≥ δ.

Conseguenza

L’equilibrio libero da infezione E0 è instabile se il numeroriproduttivo di base è maggiore di uno.

Conclusioni

TeoremaSe R0 > 1, il sistema è uniformemente persistente, ovveroesiste δ > 0, indipendente dalle condizioni iniziali, tale chelim inft→∞

z(t) ≥ δ.

Conseguenza

L’equilibrio libero da infezione E0 è instabile se il numeroriproduttivo di base è maggiore di uno.

Conclusioni

IntroduzionePunti Critici e Analisi Stabilità

1 Introduzione

5 Conclusioni

Conclusioni

Introduciamo il Ritardo TemporaleRisponderà in base al numero di cellule infette presenti al

tempo t − τ con τ ≥ 0dunque invece di considerare

z ′(t) = cy(t)− bz(t)

nel modello utilizzeremo

z ′(t) = cy(t − τ)− bz(t)

Conclusioni

z ′(t) = cy(t)− bz(t)

z ′(t) = cy(t − τ)− bz(t)

Conclusioni

z ′(t) = cy(t)− bz(t)

z ′(t) = cy(t − τ)− bz(t)

Conclusioni

z ′(t) = cy(t)− bz(t)

z ′(t) = cy(t − τ)− bz(t)

Conclusioni

Il Modello con Ritardo Temporalex ′(t) = λ− dx(t)− βx(t)y(t)y ′(t) = βx(t)y(t)− ay(t)− py(t)z(t)z ′(t) = cy(t − τ)− bz(t)

Ponendo τ = 0, ovvero in assenza di ritardo, ci riconduciamo almodello precedente.

Conclusioni

Il Modello con Ritardo Temporalex ′(t) = λ− dx(t)− βx(t)y(t)y ′(t) = βx(t)y(t)− ay(t)− py(t)z(t)z ′(t) = cy(t − τ)− bz(t)

Ponendo τ = 0, ovvero in assenza di ritardo, ci riconduciamo almodello precedente.

Conclusioni

Punti CriticiHa come punti critici:

per R0 ≤ 1 −→ E0 :=

d, 0, 0

)per R0 > 1 −→ E0 ed E1 := (x , y , z) ove

x =cλ

cd + bβz

y =bzc

Conclusioni

per R0 ≤ 1 −→ E0 :=

d, 0, 0

)per R0 > 1 −→ E0 ed E1 := (x , y , z) ove

x =cλ

cd + bβz

y =bzc

Conclusioni

per R0 ≤ 1 −→ E0 :=

d, 0, 0

)per R0 > 1 −→ E0 ed E1 := (x , y , z) ove

x =cλ

cd + bβz

y =bzc

Conclusioni

per R0 ≤ 1 −→ E0 :=

d, 0, 0

)per R0 > 1 −→ E0 ed E1 := (x , y , z) ove

x =cλ

cd + bβz

y =bzc

Conclusioni

per R0 ≤ 1 −→ E0 :=

d, 0, 0

)per R0 > 1 −→ E0 ed E1 := (x , y , z) ove

x =cλ

cd + bβz

y =bzc

Conclusioni

per R0 ≤ 1 −→ E0 :=

d, 0, 0

)per R0 > 1 −→ E0 ed E1 := (x , y , z) ove

x =cλ

cd + bβz

y =bzc

Conclusioni

Analisi StabilitàSe l’epidemia non si innesca il sistema non risente delritardo temporale;Otteniamo gli stessi risultati del modello con rispostaimmunitaria costante;Nel caso in cui il numero riproduttivo di base sia maggioredi uno l’epidemia si innesca;Ci aspettiamo: E0 instabile, E1 stabile

Conclusioni

Stabilità Equilibrio LiberoProcediamo per passi

1 Si dimostra che sotto l’ipotesi che le condizioni inizialisiano positive, tutte le soluzioni del sistema sono positive elimitate.

2 R0 < 1, dimostriamo la stabilità dell’equilibrio libero dainfezione utilizzando come strumenti le funzioni diLyapunov e il Teorema di Lyapunov LaSalle

Conclusioni

Consideriamo la seguente funzione di Lyapunov

(x(t)− λ

dy(t) +

cz(t) + ε

−τy(t + s) ds

L′ = −(d + βy(t))(

x(t)− λ

−my(t)− λpd

y(t)z(t)− bε

cz(t).

Se R0 < 1 allora deve esistere una costante ε > 0 tale che

m =aλ

d− βλ2

d2 − ε > 0.

da cui L′ ≤ 0

La stabilità globale di E0 segue dal Teorema diLyapunov-LaSalle

Conclusioni

(x(t)− λ

dy(t) +

cz(t) + ε

−τy(t + s) ds

L′ = −(d + βy(t))(

x(t)− λ

−my(t)− λpd

y(t)z(t)− bε

cz(t).

m =aλ

d− βλ2

d2 − ε > 0.

da cui L′ ≤ 0

Conclusioni

(x(t)− λ

dy(t) +

cz(t) + ε

−τy(t + s) ds

L′ = −(d + βy(t))(

x(t)− λ

−my(t)− λpd

y(t)z(t)− bε

cz(t).

m =aλ

d− βλ2

d2 − ε > 0.

da cui L′ ≤ 0

Conclusioni

(x(t)− λ

dy(t) +

cz(t) + ε

−τy(t + s) ds

L′ = −(d + βy(t))(

x(t)− λ

−my(t)− λpd

y(t)z(t)− bε

cz(t).

m =aλ

d− βλ2

d2 − ε > 0.

da cui L′ ≤ 0

Conclusioni

(x(t)− λ

dy(t) +

cz(t) + ε

−τy(t + s) ds

L′ = −(d + βy(t))(

x(t)− λ

−my(t)− λpd

y(t)z(t)− bε

cz(t).

m =aλ

d− βλ2

d2 − ε > 0.

da cui L′ ≤ 0

Conclusioni

(x(t)− λ

dy(t) +

cz(t) + ε

−τy(t + s) ds

L′ = −(d + βy(t))(

x(t)− λ

−my(t)− λpd

y(t)z(t)− bε

cz(t).

m =aλ

d− βλ2

d2 − ε > 0.

da cui L′ ≤ 0

Conclusioni

Stabilità Equilibrio EndemicoProcediamo traslando il punto critico E1 := (x , y , z)nell’origine,x1(t) = x(t)− x , y1(t) = y(t)− y , z1(t) = z(t)− zLinearizzando nell’origine otteniamo

x ′(t) = λ− dx(t)− βx(t)y(t)y ′(t) = βx(t)y(t)− ay(t)− py(t)z(t)z ′(t) = cy(t − τ)− bz(t)

Conclusioni

x ′(t) = λ− dx(t)− βx(t)y(t)y ′(t) = βx(t)y(t)− ay(t)− py(t)z(t)z ′(t) = cy(t − τ)− bz(t)

Conclusioni

Stabilità Equilibrio EndemicoProcediamo traslando il punto critico E1 := (x , y , z)nell’origine,x1(t) = x(t)− x , y1(t) = y(t)− y , z1(t) = z(t)− zLinearizzando nell’origine otteniamox ′1(t) = −(d + βy)x1(t)− βxy1(t)− βx1(t)y1(t)y ′1(t) = βyx1(t)− pyz1(t)− βx1(t)y1(t)− py1(t)z1(t)z ′1(t) = cy1(t − τ)− bz1(t)

Conclusioni

Stabilità Equilibrio EndemicoProcediamo traslando il punto critico E1 := (x , y , z)nell’origine,x1(t) = x(t)− x , y1(t) = y(t)− y , z1(t) = z(t)− zLinearizzando nell’origine otteniamox ′1(t) = −(d + βy)x1(t)− βxy1(t)− βx1(t)y1(t)y ′1(t) = βyx1(t)− pyz1(t)− βx1(t)y1(t)− py1(t)z1(t)z ′1(t) = cy1(t − τ)− bz1(t)

Conclusioni

x ′1(t) = −(d + βy)x1(t)− βxy1(t)y ′1(t) = βyx1(t)− pyz1(t)z ′1(t) = cy1(t − τ)− bz1(t)

Conclusioni

La sua equazione caratteristica è

det(J − wI) = w3 + A1w2 + A2w + A3 + (B1w + B2)e−τw = 0

ottenuta ponendo

A1 = b + d + βyA2 = bd + bβy + β2xyA3 = bβ2xyB1 = cpyB2 = cdpy + cpβy2

Per una equazione trascendente generalizzata il problemadella localizzazionie degli zeri è stato estensivamente studiato.Poniamo P(w) = w3 + A1w2 + A2w + A3, Q(w) = B1w + B2Otteniamo P(w) + Q(w)e−τw .

Conclusioni

ottenuta ponendo

Conclusioni

ottenuta ponendo

Conclusioni

ottenuta ponendo

Conclusioni

ottenuta ponendo

Conclusioni

Consideriamo ora la seguente equazione caratteristica

P(w) + Q(w)e−τw (1)

ove P e Q sono polinomi a coefficienti reali rispettivamente digrado n e m e τ è una costante non negativa.Per tale equazione si è ottenuto un importante risultato.

Conclusioni

LemmaConsideriamo l’equazione (1), dove P e Q sono funzionianalitiche in un semipiano destro Re w > −δ, δ > 0, chesoddisfano le seguenti condizioni.

1 P(w) e Q(w) non hanno gli stessi zeri immaginari.2 P(−iy)=P(iy), Q(−iy)=Q(iy), per y ∈ R3 P(0) + Q(0) 6= 04 Ci sono al massimo un numero finito di radici per (1) nel

semipiano destro quando τ = 0.5 F (y) ≡ |P(iy)|2 − |Q(iy)|2 per y reale, ha alpiù un numero

finito di zeri reali.

Conclusioni

LemmaSotto queste condizioni, le seguenti affermazioni sonoverificate.

1 Supponiamo che l’equazione F(y)=0 non abbia radicipositive. Allora se (1) è stabile per τ = 0 rimane stabile perogni τ > 0, similmente se è instabile per τ = 0 rimaneinstabile per ogni τ > 0.

2 Supponiamo che l’equazione F(y)=0 ha almeno una radicepositiva e che ogni radice positiva è semplice.All’aumentare di τ , possono verificarsi stability switches,cambi di stabilità. Esiste un τ∗ positivo tale chel’equazione (1) è instabile per tutti τ > τ∗. Al variare di τ in[0, τ∗], possono verificarsi al più un numero finito di cambidi stabilità.

Conclusioni

F (y) ≡ |P(iy)|2 − |Q(iy)|2 = y6 + C1y4 + C2y2 + C3 = 0

ove C1 = A22 − 2A2, C2 = A2

2 − 2A1A3 − B21 , C3 = A2

3 − B22

Questa equazione può non avere alcuna soluzione positiva,una soluzione positiva, due soluzioni positive o tre soluzionipositive, a seconda dei valori di C1, C2 e C3

Conclusioni

F (y) ≡ |P(iy)|2 − |Q(iy)|2 = y6 + C1y4 + C2y2 + C3 = 0

ove C1 = A22 − 2A2, C2 = A2

2 − 2A1A3 − B21 , C3 = A2

3 − B22

Conclusioni

F (y) ≡ |P(iy)|2 − |Q(iy)|2 = y6 + C1y4 + C2y2 + C3 = 0

ove C1 = A22 − 2A2, C2 = A2

2 − 2A1A3 − B21 , C3 = A2

3 − B22

Conclusioni

Notiamo che C3 > 0 è equivalente a A3 > B3.Ricordandoci come avevamo definito A3 e B3 possiamo vederequesta condizione come

p <abβ

cdche significa richiedere che la forza dei componenti litici sia piùpiccola di un certo valore.Non è difficile vedere che l’equazione non ammette soluzionipositive o ne ammette due a meno di un caso critico.

Conclusioni

p <abβ

Conclusioni

p <abβ

Conclusioni

p <abβ

Conclusioni

p <abβ

Conclusioni

Se invece C3 < 0 ci sarà almeno una radice positiva

Conclusioni

TeoremaSe R0 > 1, il sistema è uniformemente persistente; ovveroesiste un δ > 0 (indipendente dalle condizioni iniziali) tale chelim inft→∞

z(t) ≥ δ

Conclusioni

TeoremaL’equilibrio endemico E1 è globalmente asintoticamente stabilese le seguenti condizioni sono verificate:

1 c < 2b,

2 1 < R0 < 1 +(aβ + dp + pβδ)δ

3 pxy < 2

√xk(

b − c2

)[a + pδ − βλ

d + βδ− ε

dove ε =kc2

, δ è la costante utilizzata prima e k è una costantepositiva tale che

k <2x(ad + aβδ + dpδ + pβδ2 − βλ)

cd + cβδ

Conclusioni

1 Introduzione

5 Conclusioni

Conclusioni

Conclusioni1 R0 determina l’evoluzione dell’infezione;2 Una risposta immunitaria periodica generi delle soluzioni di

diverso periodo temporale al variare del tasso diriproduzione delle cellule suscettibili λ e dell’ampiezzadell’oscillazione dei componenti litici β1;

Conclusioni

Conclusioni1 R0 determina l’evoluzione dell’infezione;2 Una risposta immunitaria periodica generi delle soluzioni di

diverso periodo temporale al variare del tasso diriproduzione delle cellule suscettibili λ e dell’ampiezzadell’oscillazione dei componenti litici β1;

Conclusioni

Conclusioni1 Si ottengono soluzioni di periodo uno per bassi valori di λ;

Per valori intermedi otteniamo soluzioni di periodo uno,seguite da soluzioni di periodo tre e da una successione disoluzioni di periodo doppio fino al caos, a seconda delvariare del parametro β1.

3 La dinamica del virus dipende quindi dalla forza deicomponenti litici e dal tasso di riproduzione delle cellulesuscettibili.

Conclusioni

Conclusioni1 Quando la forza dei componenti litici è maggiore di un

certo valore si incorre in complicati comportamenti delladinamica al crescere del ritardo temporale;

2 Ci si può imbattere in complicati comportamenti delladinamica all’aumentare del ritardo temporale per λ o R0sufficientemente grandi;

3 Le simulazioni numeriche al calcolatore hanno mostratocambi di stabilità, soluzioni periodiche e caos.

Conclusioni

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