1

Modely hromadné obsluhyModely frontZákladní pojmyPopis systémů hromadné obsluhyParametry/charakteristikyKendalova notaceAnalytické a simulační řešeníModel M/M/1Model M/M/cOptimalizace v modelech hromadné obsluhy

2

Úvod – základní pojmy

...

.

.

čekání požadavků

realizace obsluhy

.

zdroj požadavků

fronta

obslužné linky

systém hromadné obsluhy

příchod

do systému

odchod

ze systému

1

2

c

3

Úvod – základní pojmy

systém obslužné linky požadavky

ordinace lékaře Lékař pacienti

banka Úředníci u přepážky klienti

samoobsluha pokladny, nákupní vozíky zákazníci

výrobní linka místa na výrobní lince výrobky

dopravní systém křižovatky se semafory vozidla

benzínová pumpa čerpací stojany vozidla

nádraží pokladny cestující

pojišťovna Úředníci pojistné případy

telefonní centrála telefonní linky volající

lyžařské středisko Vleky lyžaři

4

Popis systému hromadné obsluhy Příchod požadavků do systému

Zpravidla jsou to náhodné veličiny s nějakým pravděpodob-nostním rozdělením a parametry.

Příchody požadavků lze popsat buď pomocí intenzity příchodů, což je počet požadavků, které do systému přijdou za časovou jednotku, nebo pomocí intervalů mezi příchody, což je charakteristika, udávající čas mezi dvěma po sobě následujícími příchody. Pro popis intervalů mezi příchody často vyhovuje exponenciální rozdělení, jehož střední hodnota je

E(X) = 1/λ.

λ je potom průměrný počet příchodů za jednotku času – budeme označovat jako intenzita příchodů.

5

Popis systému hromadné obsluhy Doba trvání obsluhy

Podobně jako pro popis náhodné veličiny intervalů mezi příchody požadavků, i pro popis doby trvání obsluhy lze použít často exponenciální rozdělení, jeho střední hodnota v tomto případě může být

E(X) = 1/μ.

μ je potom průměrný počet obsloužených požadavků za jednotku času – budeme označovat jako intenzita obsluhy.

6

Popis systému hromadné obsluhy Síť obslužných linek

.

jedna obslužná linka

...

fronta požadavků

příchod

do systému

obslužná linka

odchod

ze systému

obslužné linky

. .

odchod

ze systému

...

fronta požadavků

příchod

do systému

paralelně uspořádané obslužné linky (jedna fronta)

...

fronta

příchod

do systému

obslužné linky odchod

ze systému

sériově uspořádané obslužné linky (2 linky)

7

Popis systému hromadné obsluhy Režim fronty

1. FIFO (first-in / first-out) představuje situaci, kdy požadavky přecházejí z fronty do obsluhy v tom pořadí, v jakém do systému přišly..

2. LIFO (last-in / last-out). Požadavky jsou obsluhované v opačném pořadí než v jakém do systému vstoupily.

3. Náhodný způsob přechodu z fronty do obsluhy – SIRO (selection in random order).

4. Přechod z fronty do obsluhy podle zadaných priorit - režim PRI. V tomto režimu jsou požadavky obsluhovány podle definovaných priorit.

8

Popis systému hromadné obsluhy Zdroj požadavků

Může být v zásadě konečný (cyklické systémy) nebo nekonečný.

Speciální vlastnosti

Systémy s omezenou nebo neomezenou trpělivostí požadavků, Systémy s omezenou kapacitou čekacího prostoru nebo zcela bez čekacích míst Cyklické systémy Systémy se skupinovou obsluhou požadavků, …

9

Kendalova notace

A/B/C/D/E/F

A charakterizuje typ pravděpodobnostního rozdělení, popisující intervaly mezi příchody požadavků do systému. Pro exponenciální rozdělení je používán symbol M, pro konstantní intervaly mezi příchody symbol D,B charakterizuje typ pravděpodobnostního rozdělení, popisující dobu trvání obsluhy. Používají se stejné symboly jako při popisu intervalů mezi příchody.C je počet paralelně uspořádaných obslužných linek.D je číslo udávající kapacitu systému hromadné obsluhy - pokud není tato kapacita omezená, použije se symbol .E je číslo udávající početnost zdroje požadavků - pokud je zdroj požadavků nekonečný, použije se opět symbol .F je režim fronty (FIFO, LIFO, PRI, SIRO).

10

Analýza systémů hromadné obsluhy

Systém hromadné obsluhy závisí na jeho parametrech (intenzita příchodů, obsluhy, počet obslužných linek, atd.). Některé parametry jsou kontrolovatelné (manažerem ), jiné nekontrolovatelné. V závislosti na parametrech má systém nějaké chování, které lze popsat jeho charakteristikami. Ty lze rozdělit do několika skupin:

1. Časové charakteristiky – T (průměrný čas strávený v systému), Tf (průměrný čas strávený ve frontě)

2. Charakteristiky počtu požadavků - N (průměrný počet jednotek v systému), Nf (průměrný počet požadavků ve frontě)

3. Pravděpodobnostní charakteristiky – pravděpodobnost, že linka pracuje/nepracuje, pst., že v systému je konkrétní počet požadavků, pst. že systém je plný (u kapacitně omezených systémů) a mnoho dalších.

4. Nákladové charakteristiky.

11

Analýza systémů hromadné obsluhy

V základních systémech hromadné obsluhy platí mezi časovými a „délkovými „ charakteristikami následující vztahy:

N = TNf = Tf

T = Tf + 1/μ, (průměrný čas strávený v systému = průměrný čas strávený ve frontě + průměrná doba trvání obsluhy)

12

Analytické/simulační řešení

Analytické řešení

Požadované charakteristiky jsou získány jednoduše dosazením parametrů systému do vzorců – bohužel takové vzorce jsou k dispozici jen pro ty nejjednodušší systémy

Simulace

Simulace spočívá v experimentování s modelem daného systému na počítačích s využitím vhodných programových prostředků. Na základě sběru dat v průběhu simulačního běhu lze potom aproximativně odvodit charakteristiky simulovaného systému, které zajímají uživatele. Tímto způsobem lze analyzovat i velmi složité systémy hromadné obsluhy. Výhodou je, že to, co v realitě probíhá dlouho, může být při simulaci na počítačích hotové za několik málo sekund či minut.

13

M/M/1 – Jednoduchý exponenciální model

Předpoklady modelu

v systému je pouze jedna obslužná linka, intervaly mezi příchody požadavků lze popsat expo- nenciálním rozdělením s parametrem , doba trvání obsluhy je náhodná veličina s exponenciálním rozdělením s parametrem , neomezená kapacita systému, neomezený zdroj požadavků a režim fronty FIFO.

Podmínkou stabilizace systému M/M/1 je, že pro jeho intenzitu provozu platí = / < 1

14

M/M/1 – Jednoduchý exponenciální model

Pravděpodobnostní charakteristiky

1. Pravděpodobnost, že v systému není žádný požadavek, tj. pravděpodobnost, že obslužná linka nepracuje

p0 = 1 / .

Z toho plyne, že pravděpodobnost, že v systému je alespoň jeden požadavek a tedy že linka pracuje, je

= / .Charakteristika se označuje jako intenzita

provozu systému hromadné obsluhy. Tato hodnota udává současně pravděpodobnost, že požadavek, který do systému přijde, bude muset na obsluhu čekat ve frontě.

2. Pravděpodobnost, že v systému je právě n požadavků, tj. jeden požadavek je obsluhován a (n 1) je ve frontě

pn = p0 n = (1 )n .

15

M/M/1 – Jednoduchý exponenciální model

Časové charakteristikyPrůměrný čas, který požadavek stráví v systému (T) a ve frontě (Tf)

1T

)(

1

TT f

Charakteristiky počtu jednotekPrůměrný počet požadavků v systému (N) a ve frontě (Nf)

TN

)(

2

ff TN

16

M/M/c – Exponenciální model s paralelně uspořádanými linkami

Předpoklady modelu

v systému je c identických obslužných linek, intervaly mezi příchody požadavků lze popsat expo-nenciálním rozdělením s parametrem , doba trvání obsluhy na každé z c obslužných linek je náhodná veličina s exponenciálním rozdělením s parametrem , neomezená kapacita systému, neomezený zdroj požadavků a režim fronty FIFO.

Podmínkou stabilizace systému M/M/c je, že pro intenzitu provozu celého systému platí = /c < 1

17

M/M/c – Exponenciální model s paralelně uspořádanými linkami

Všechny charakteristiky jsou nesrovnatelně složitější než u modelu M/M/1 – například:

Pravděpodobnost, že v systému není žádný požadavek, tzn. pravděpodobnost, že žádná z c obslužných linek nepracuje, je

NEUČIT SE!!!

Platí ovšem vztahy:

11

00 !)(

crc

cr

k

rp

cc

k

k

!

N = TNf = Tf

T = Tf + 1/μ,

18

Optimalizace v modelu M/M/c

Optimalizace ve vztahu k počtu obslužných linek

k1 náklady související s pobytem jednoho požadavku v systému hromadné obsluhy za jednotku času,k2 náklady provozu jedné obslužné linky za jednotku času,N průměrný počet jednotek v systému ac počet paralelně řazených obslužných linek,

Nákladová funkce:

NF(c) = k1N + k2c

19

Optimalizace v modelu M/M/c

Příklad:

= 68, k1 = 200 Kč,

μ = 25 , k2 = 500 Kč,

Náklady

počet linek

pobyt klientů

provoz Celkem

c k1N k2c k1N + k2c

2 1000 3 2154 1500 36544 714 2000 27145 586 2500 30866 556 3000 3556