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29/09/2001 G.U -FdA-Universita’ degli Studi “Roma Tre”
Trasformate e sistemi Trasformate e sistemi Trasformate e sistemi Trasformate e sistemi
linearilinearilinearilineari
Trasformata di LaplaceFunzione di Trasferimento
ModiRisposta Impulsiva
Calcolo dell’uscita noto l’ingresso
(vedi Marro par. 2.1 a 2.3,2.5, C 2.2, C 2.3)(vedi Vitelli-Petternella par. II.1 a II.4 , III.1 a III.3)
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29/09/2001 G.U -FdA- 2Università degli Studi “Roma Tre”
Serie di FourierSerie di FourierSerie di FourierSerie di Fourier
ρ
Ak
Bk
ϕF k ej( )Ω = ρ ϕ
f t F t KT
f t A A kT
t B kT
tk kR
( ) ( ) ,
( ) cos sin
= ±
= + +LNM
OQP=
∞∑
periodica T :periodo
0
122 2π π
• =
• =
• =
−
−
−
z
z
z
AT
f t dt valore medio
AT
f t kT
t dt
BT
f t kT
t dt
T
T
kT
T
kT
T
0
2
2
2
2
2
2
21
2 2
2 2
( )
( )cos ;
( )sin
/
/
/
/
/
/
π
π f t F k e
F kT
f t e dtT
kjk t
jk t
T
T
( ) ( )
( ) ( )/
/
=
=
L
N
MMMMM
O
Q
PPPPP=
−∞
∞
−
−
∑
z
Ω Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
2
1
2
2
2
π π
utilizzando i numeri complessi
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29/09/2001 G.U -FdA- 3Università degli Studi “Roma Tre”
Serie Serie Serie Serie TrasformataTrasformataTrasformataTrasformata
La serie è per segnali periodici, un segnale qualsiasi può essere visto comeperiodico con periodo infinito.
T=1 T=3Ω=2π Ω=2π/3
kΩ kΩ
|F| |F|
F kT
f t e dt
f t F k eT
jk t
T
T
kjk t
( ) ( )
( ) ( )
/
/Ω
Ω Ω
Ω
Ω
Ω
=
=
L
N
MMMMM
O
Q
PPPPP=
−
−
−∞
∞
z
∑
1
2
22
2
π
π
T k→∞ → → → z∑, , ,Ω Ω0 ω
F f t e dt
F t F e d
j t
j t
( ) ( )
( ) ( )
ω
ω ω
ω
ω
=
=
−
−∞
∞
∞
∞
z
z
Condizione: f(t) sommabile
f t dt( )−∞
∞
z < ∞
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29/09/2001 G.U -FdA- 4Università degli Studi “Roma Tre”
Trasformata diTrasformata diTrasformata diTrasformata di LaplaceLaplaceLaplaceLaplace
Corrispondenzabiunivoca
Sì ?? No
Sicchè proprio i casi più interessanti creano problemi
F f t e dt
F t F e d
j t
j t
( ) ( )
( ) ( )
ω
ω ω
ω
ω
=
=
−
−∞
∞
∞
∞
z
z solo se f t dt( )−∞
∞
z < ∞
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29/09/2001 G.U -FdA- 5Università degli Studi “Roma Tre”
Trasformata di Trasformata di Trasformata di Trasformata di LaplaceLaplaceLaplaceLaplace
“TRUCCO” Invece di trasformare f(t), trasformiamo:
Trasformatadi LAPLACE
F(t)e t−σ
δ −1( )t
σmin: ascissa di convergenza
δ σ−
−1( ) ( )t f t e t
F s f t e dtst( ) ( )= −∞
z0
Pongo s j
F j f t e e dtt j t
= +
+ = ⋅− −∞
zσ ω
σ ω σ ω( ) ( )0
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29/09/2001 G.U -FdA- 6Università degli Studi “Roma Tre”
Trasformata di Fourier inTrasformata di Fourier inTrasformata di Fourier inTrasformata di Fourier in MapleMapleMapleMaple
t 43210-1
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
( )sin 10 t e( )-2 t ( )Heaviside t
> readlib(fourier):> sin(10*t)*exp(-2*t)*Heaviside(t);
> plot(sin(10*t)*exp(-2*t)*Heaviside(t),t=-1..4, color= 'red');:= F - +1
2I
+ −2 I w 10 I12
I+ +2 I w 10 I
> plot(abs(F), w=-40..40,color= 'red');
> F:= fourier(sin(10*t)*exp(-2*t)*Heaviside(t),t,w);
w 40200-20-40
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
Modulo
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29/09/2001 G.U -FdA- 7Università degli Studi “Roma Tre”
Trasformata diTrasformata diTrasformata diTrasformata di LaplaceLaplaceLaplaceLaplace inininin MapleMapleMapleMaple
> F:= laplace(exp(-2*t)*sin(10*t),t,s); 10 1+ +s 2 4 s 104
> F1:= subs(s=sigma+I*omega,F); := F1 10 1+( )+ +σ I ω 2 2 100
> plot3d( abs(F1), sigma=-5..0,omega=-30..30, view=0..1.25);
> Poli:= solve(denom(F)=0); := Poli , - +2 10 I - −2 10 I
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
omega
3020100-10-20-30
sigma
0-1
-2-3
-4-5
La sezione su questo piano è la risposta
armonica (confronta con Fourier)
Effetto dei poli dellaF(s). Il modulo vaall’infinito
Grafico del Modulo
(fase non riportata)
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29/09/2001 G.U -FdA- 8Università degli Studi “Roma Tre”
Metodi di calcolo basati sulla Trasformata di Metodi di calcolo basati sulla Trasformata di Metodi di calcolo basati sulla Trasformata di Metodi di calcolo basati sulla Trasformata di LaplaceLaplaceLaplaceLaplace
Si possono operare delle trasformazioni su segnali nel dominio del tempo (o dello spazio) in modo da:
Formalmente la Trasformata di Laplace F(s) di una funzione f(t) è l’integrale:
• mettere in evidenza le caratteristiche periodiche o pseudoperiodiche del segnale (dominio della frequenza);
• facilitare alcune operazioni matematiche, quali l’integrazione o la derivazione, rendendole puramente algebriche.
f s L f t e f t dtst( ) [ ( )] ( )= = −∞
z0
con s j f t t= + = <σ ω ( ( ) , )0 0
* hp tecniche: f(t) sommabile
ascissa di convergenzaβ =
.S0
β
∃ zs è0 : determinato e finito
0( ) : Re[ ] Re[ ]F s s s s⇒ ∃ ∀ = ≥
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29/09/2001 G.U -FdA- 9Università degli Studi “Roma Tre”
Una Trasformata FondamentaleUna Trasformata FondamentaleUna Trasformata FondamentaleUna Trasformata Fondamentale
1p>0p=0
p<0p può essere anche complesso
f t e tt
pt( ) = >
≤RST
00 0
L es p
p t[ ] =−1
F s e e dtp s
es p
se s pp t s t p s t( ) Re[ ] Re[ ]( )= =−
=−
>−∞
− ∞z0
01 1
utile per trasformaresin(t) e cos(t)
L es j
j tΩΩ
=−1
δ − =>≤
RST11 00 0
( )ttt
L LK K t Ks
= =−δ 1( ) Gradino, step, f. di Heaviside: δ −1 ( )t
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29/09/2001 G.U -FdA- 10Università degli Studi “Roma Tre”
Proprietà notevoliProprietà notevoliProprietà notevoliProprietà notevoli
TRASLAZIONE
LINEARITA’ L[c1 f1(t)+c2 f2(t)]=c1F1(s)+c2F2(s)
ESPONENZIALE
ESPONENZIALE • FUNZIONE del TEMPO
L e e e dts a
at s t a t= =−
−∞
z 1
0
L e f t e f t dt F s aat s a t( ) ( ) ( )( )= = −− −∞
z0
SINUSOIDE L t L e ej s
j t j tsin Ω Ω
Ω
Ω Ω= −LNM
OQP=
+
−
2 2 2
L t a f t a e F sasδ −−− − =1( ) ( ) ( ) a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
exp(-at)sin(o m ega*t)
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29/09/2001 G.U -FdA- 11Università degli Studi “Roma Tre”
Proprietà notevoliProprietà notevoliProprietà notevoliProprietà notevoli
TEOREMA del VALORE FINALE
TEOREMA del VALORE INIZIALE
lim ( ) lim ( )
lim ( ) lim ( )t s
t s
f t sF s
f t sF s→∞ →
→ →∞
=
=+
0
0
“0” è sempre da leggere “0-”
0
22
20
33
3
per (0 ) 0
L ( ) integrando per parti ( ) (0)
L ( ) ( ) (0 )
L ( ) ( )
s t
tf
d dff t e dt sF s fdt dt
d dff t s F s sfdt dt
d f t s F sdt
−
∞−
−
=− =
= = = −
= − −
=
∫
DERIVAZIONE
(se parte tutto da 0)
INTEGRAZIONE0
1L ( ) ( )t
f t d F ss
τ
= ∫
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29/09/2001 G.U -FdA- 12Università degli Studi “Roma Tre”
Proprietà notevoliProprietà notevoliProprietà notevoliProprietà notevoli
CONVOLUZIONE NEL TEMPO
utilissima per il calcolo della risposta al forzamento(eq. differenziale non omogenea)
Esistono tabelle di trasformate e di ANTITRASFORMATE :^)
CONIUGATO
F(s*)=F*(s) s*=“coniugato” di s
L 0
( )
L[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) !
. . ( )
t
a t
f t g t d F s G s un prodotto
e g e uτ
τ τ
τ−
− → ⋅
≡
∫
1 1 1 1 121
2 1 10 0s s s
Ls
t t d d tt t
= × LNMOQP = − = =−
− −z zδ δ τ τ τ( ) ( )Esempio:
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29/09/2001 G.U -FdA- 13Università degli Studi “Roma Tre”
Esempio elementareEsempio elementareEsempio elementareEsempio elementare
Carrellino con attrito viscoso e forza applicataM
fe
x
f Dxa =
M=1D=1
Coefficientedi
attrito
ingresso: f t F sse e= → =−δ 11( ) ( )
equazioni:
v(0)=0
t
s
L
( )eMv f t Dv= −
0
1 1lim 11s
ss s→
=+
[ ]( ) (0) ( )( )[ ] ( ) ( )
e
e
M sV s v DV sF ssM D V s F s
− = −+ =
1 1 1( ) ( )1eV s F s
Ms D s s= ⋅ = ⋅
+ +
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29/09/2001 G.U -FdA- 14Università degli Studi “Roma Tre”
… Esempio elementare… Esempio elementare… Esempio elementare… Esempio elementare
La trasformata dellasomma è uguale alla somma delle trasformate
L-1 ts
V s Bs
As
As A Bss s s s
( )( )
=+
+ = + ++
= −+1 1
1 11
v t Ls s
Ls
Ls
t e t( ) ( )= −+
LNM
OQP =LNMOQP + −
+LNMOQP = −− − −
−−1 1 1
11 1
11 1
1δ
δ-1-e-t
δ-1(t)
e-t
1
Abbiamo risolto l’eq. differenzialetramite un eq. algebrica
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29/09/2001 G.U -FdA- 15Università degli Studi “Roma Tre”
Inversione delle Inversione delle Inversione delle Inversione delle L-trasformatetrasformatetrasformatetrasformate
Partiamo da un rapporto di polinomi, in quanto consideriamo sistemi a costanti concentrate (in genere ), m ≤ n per la causalità
Espansione in frazioni parziali:
= ansn+an-1sn-1+......+a0=an(s-pn)...(s-p1)
pi : poli della trasformata ≡ zeri del denominatore
a sii
∑
1
( ) : Residui( ) ( )
nn i
in i
b RN s RD s a s p
= +−∑
R s p N sD s
se p p
in praticaN p
a p p p p p pp p
is p
i i jpoli semplici
i
n i n i i ii i
i= − ≠
− − −−
→lim ( ) ( )
( )
( )( )....( )....( )
( )
1
F s N sD s
b sa s
ii
ii( ) ( )
( )= = ∑
∑
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29/09/2001 G.U -FdA- 16Università degli Studi “Roma Tre”
Poli Reali MultipliPoli Reali MultipliPoli Reali MultipliPoli Reali MultipliSe il k-mo polo compare r volte, lo sviluppo prende questa forma:
(1) (2) ( )
2
( )( )
( )
....( ) ( )
con
1 ( )lim ( )( )! ( )k
rk k k
rk k k
r jj r
k kr js p
R R Rs p s p s p
d N sR s pr j ds D s
−
−→
+ + +− − −
= − −
Esistono anche poli complessi multipli, con analogo comportamento
L Rs p
R t eh
h
h
h h pt−
−
−
LNM
OQP=
−1
1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( )! t e ppt⋅ <con 0
12( )s p−
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29/09/2001 G.U -FdA- 17Università degli Studi “Roma Tre”
Esempi poli reali multipliEsempi poli reali multipliEsempi poli reali multipliEsempi poli reali multipli
Esempio tipico r = 2
R dds
s p ND
R s p NDk
s pk k
s pk
k k
( ) ( )lim ( ) lim ( )1 2 2 2= −LNMOQP = −LNM
OQP→ →
L t ts s
ss
δ − − = − = −1 2 21 1 1 1( )a f
R dds
s
R ss
s
( )
( )
;1
02
0
1 1
1 1
= − =
= − = −=
=
a fa f
Una trasformata con 2 poli nell’origine
Calcolando i residui,si ritrovano i coeff. corretti
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29/09/2001 G.U -FdA- 18Università degli Studi “Roma Tre”
Parametri dei poli reali sempliciParametri dei poli reali sempliciParametri dei poli reali sempliciParametri dei poli reali semplici
Conviene definire dei parametri pratici per caratterizzare gli andamenti
Poli reali Y s b ss pt
ii
( ) =− ( )∑a f ........
τ
R
y t
y Rp
pt( ) =
=
Re
( )0
: ampiezza del modoR1 Costante di tempop
τ = −
Se il modo è convergente [ p < 0 ] si può considerare estinto per t > 3τ
yy( )( )30
5%τ =
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29/09/2001 G.U -FdA- 19Università degli Studi “Roma Tre”
Parametri dei poli complessi coniugatiParametri dei poli complessi coniugatiParametri dei poli complessi coniugatiParametri dei poli complessi coniugati
Antitrasformata
Terminologia
ωn=pulsazione naturale, ζ :coefficiente di smorzamento
Y sb s
s a s ati
i( )
.......=
+ + ( )∑
21 0d i
R Re R Re p jj j= = = +−ϕ ϕ σ ω, * ;( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 cosj t j t j t j tj j t ty t R e e R e e R e e e R e tσ ω σ ω ω ϕ ω ϕϕ ϕ σ σ ω ϕ+ − + − +− = + = + = +
( )2 2 2 2 2( )( *) 2 2 n ns p s p s s s sσ ω σ ζω ω− − = − + + = + +
p n n n1 22 2 2
, = − ± −ζω ζ ω ω
* *Radici , ; Residui ,p j p R Rσ ω= +
1 i poli sono reali0 diverge
ζζ≥<
2π/ω
Re tσ
σ
Re
Im
ψ
ωn
ωcosζ ψ=
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29/09/2001 G.U -FdA- 20Università degli Studi “Roma Tre”
Andamenti vs. posizione dei PoliAndamenti vs. posizione dei PoliAndamenti vs. posizione dei PoliAndamenti vs. posizione dei PoliUna W(s) razionale* si fattorizza in termini del tipo:
e solo Combinazioni Lineari di essi compaiono nelle evoluzioni libere dello stato e delle uscite. La convergenza a 0 dipende da p ed h
Attenzione: esistonoW(s) non razionali !
*R
s pnel tempo Rt e
hh
h pt
( ):
( )!−⋅
−
−1
1
t t t
t
=convergenti non convergenti
R
I
eRe[pt] tt
t2/2t
t
h=1
h=2
h=3
I
R
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29/09/2001 G.U -FdA- 21Università degli Studi “Roma Tre”
Andamenti elementariAndamenti elementariAndamenti elementariAndamenti elementari
con G(s) razionale, è somma di
Esponenziali
Sinusoidi smorzate
Polinomi(t)
Polinomi x esponenziali
Raramente impulsi 1
L G s L N sD s
− −= LNMOQP
1 1( ) ( )( )
eat 1s a−
sin( )pte tω ϕ+ 12s as b+ +
2 3
1 1 1, , , ...s s s
t eat 12( )s a−
δ ( )t
2
1, , , ...2tt
1. Il loro numero è pari al grado del denominatore(le sinusoidi contano per 2)
2. La posizione dei poli sul piano s, determina gli andamenti
3. La convergenzaa 0 dipende da Re[pi]
(per t ≥ 0)
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quindi:
Eq. diff. ordinaria, lineare, stazionaria, ordine=n : LPPC
+ + + = + +.... ( ) ..... ( )1 0 0
11 2 ( 1) 1 ( )
0
( )L ( ) (0) (0) .... (0) ( ) (0)
−− − − − −
=
= − − − − = −
∑
( 1) ( 1)1 0 0( ) ..... ( ) ( ) ( ) ( ) ..... ( ) ( )
− −+ + + + = + + +
risolvendo per Y(s)
Il denominatore compare in tutti gli addendi. E’ il polinomio caratteristico (dell’eq. omogenea)
a s a s ann + + +..... 1 0
( )....
....( )
( )
.....
( )
.....
( ) ( )= + +
+− +
− −0
0
1
0
1
0
condizioni iniziali
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29/09/2001 G.U -FdA- 23Università degli Studi “Roma Tre”
Applicazione alleApplicazione alleApplicazione alleApplicazione alle eqeqeqeq.... diffdiffdiffdiff. Ingresso Uscita. Ingresso Uscita. Ingresso Uscita. Ingresso Uscita
• I termini A e C sono nulli se u(t) ≡ 0 B rappresenta l’evoluzione libera del sistema
• Den(C) = Den(B) Se l’evoluzione libera (B) converge, converge anche C.
AB C
• In particolare, C è nullo se u(t)=0 per t≤0
( ) ( )i
yi ui i i
i i i
CIb s CIY s U sa s a s a s
= − +
∑∑ ∑ ∑
Funzione di Trasferimentodel sistema descrittodall’equazione diff.
G sb sa sii
ii( ) = →∑
∑
• Den(A) contiene i poli di B + quelli della trasformata dell’ingresso.
I modi presenti nell’uscita sono quelli propri del sistema + quelli dell’ingresso
Se i modi del Sistema convergono a zero nel lungo periodo rimangono solo quelli dell’ingresso:
IL SISTEMA E’ STABILE
Primo criterio intuitivo di stabilita:“è stabile se basta azzerare l’ingresso per riportare il sistema a riposo” !
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29/09/2001 G.U -FdA- 24Università degli Studi “Roma Tre”
Decomposizione della RispostaDecomposizione della RispostaDecomposizione della RispostaDecomposizione della Risposta
( ) ( )i
yi ui i i
i i i
CIb s CIY s U sa s a s a s
= − +
∑∑ ∑ ∑
Libera: ( ) ( ) 0 ( ) y ui i
i i
CI CIU t U s Y sa s a s
= ≡ ⇒ = − +
∑ ∑
Forzata:
=0 se u(t)=0 t<0
0 ( ) ( )i
yi uy i i i
i i i
CIb s CICI Y s U sa s a s a s
≡ ⇒ = − +
∑∑ ∑ ∑
SSE il sistema e’ stabile :transitorio: prima dell’estinzione dei
modi naturali del sistemaForzata
permanente : dopo rimane solo la parte con i poli dell’ingresso
R
S
|||
T
|||
errore!
![Page 25: Modi lineari - Roma Tre University · 2001. 9. 30. · 29/09/2001 G.U - FdA-Universita’ degli Studi “Roma Tre” Trasformate e sistemi lineari Trasformata di Laplace Funzione](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051814/60393dd4186fc133207cfeeb/html5/thumbnails/25.jpg)
29/09/2001 G.U -FdA- 25Università degli Studi “Roma Tre”
Risposta di una coppia Risposta di una coppia Risposta di una coppia Risposta di una coppia Cplx ConjCplx ConjCplx ConjCplx Conj
Time (sec)
Am
plitu
de
0 5 10 150
0.2
1
1.8Step Response ωωωω = 10.1
0.30.50.71.0
Risposta al gradino: gradino (permanente)oscillazione (transitorio)
Al diminuire di ζζζζ, aumenta il comportamento oscillatorio
Per ζζζζ = 0 si ha una sinusoide intorno a 1 (i poli sono a Re[ ]=0, sistema non asintoticamente stabile).
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29/09/2001 G.U -FdA- 26Università degli Studi “Roma Tre”
Modi propri del sistemaModi propri del sistemaModi propri del sistemaModi propri del sistema
L’antitrasformata di: è composta da (è combinazione lineare di...):
• Esponenziali
• Polinomi del tempo:
• Polinomi(t) per esponenziali:
• Eventualmente Impulsi nell’origine (al limite della causalità):
e e ta t a t, sin ( )ω ϕ+2 3
0 ( cost), , , .....2 3!t tt t=
teat
δ 0 ( )t
Sono i MODI NATURALI del Sistema. Il loro numero è pari all’ordine dell’eq. differenziale ( le sinusoidi contano per 2)
Le caratteristiche del sistema si riflettono sulla posizione dei polisul piano s (Re[s], Im[s]).
La convergenza dipende dalla loro parte reale (deve essere Re[pi]<0)
Stabilità asintotica di un Sistema LPPC <==> Re[pi]<0
G sb sa sii
ii( ) = ∑
∑
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29/09/2001 G.U -FdA- 27Università degli Studi “Roma Tre”
Caratteristiche della Caratteristiche della Caratteristiche della Caratteristiche della FunzFunzFunzFunz. di Trasferimento. di Trasferimento. di Trasferimento. di Trasferimento
Un Σ è descritto (quasi*) completamente dalla sua funzione di trasferimento
* salvo cancellazioni
L’analisi della G(s) ci permette di determinare facilmente:
1. Stabilità asintotica:
2. Velocità di convergenza: maggiore se minore
3. Comportamento oscillatorio: complessi
4. Valore per dell’uscita (regime):
p pi j= *
t → ∞
G S b s ba s am
m
nna f = + +
+ +
0
0
R pe i < 0
R pe i
( ) ( )
( ) ( ) ( )0
1
lim
1spesso
ss G s U s
u t t U ss
δ
→
−
⋅ ⋅
= ⇒ =
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29/09/2001 G.U -FdA- 28Università degli Studi “Roma Tre”
Precisazioni per Precisazioni per Precisazioni per Precisazioni per Re[s]=0
Stabilità asintotica se R pe i < 0
p e
p t e
it
p t
it
p t
i
i
< ⇒ →
< ⇒ →→∞
→∞
0 0
0 0
polo semplice
polo ad es. doppio comunque
lim
lim
Cosa succede se ? Dalle espressioni precedenti,
Se semplice, l’evoluzione libera contiene una costante (stabile non asintoticamente)
Se multiplo, contiene una rampa, una parabola, ecc. (instabile)
Per poli immaginari puri, si hanno sinusoidi (se poli semplici) o divergenti polinomialmente (se poli multipli)
R pe i = 0
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29/09/2001 G.U -FdA- 29Università degli Studi “Roma Tre”
Cos’èCos’èCos’èCos’è l’antitrasformatal’antitrasformatal’antitrasformatal’antitrasformata di G(s) ?di G(s) ?di G(s) ?di G(s) ?
C.I.=0
Y(s)=G(s) ·1
y(t)=g(t) Risposta Impulsiva
Assumiamo U(s)=1 u(t)=δ(t) impulso
Y s G s U s( ) ( ) ( )= ⋅
area unitaria
δ 0 1( )t dt =−∞
∞
zMa anche (con la convoluzione) :
0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t ty t u g t d t g t d g tτ τ τ δ τ τ= − = − =∫ ∫
Inoltre se: gradino
Risposta Indiciale
u t t( ) ( )= −δ 1 U ss
( ) = 1
Y s G ss
( ) ( )= y t g d g tt( ) ( ) ( )= = −z τ τ 10(integrale di quella impulsiva)
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29/09/2001 G.U -FdA- 30Università degli Studi “Roma Tre”
Esempio inEsempio inEsempio inEsempio in MapleMapleMapleMaple
eq. diff. LPPC modello di un Σ:
FdT:
soluz. dell’omogenea:
L-1[F(s)]:Risposta impulsiva =una particolare soluz. dell’omogenea
t>6
Risp. Transitoria Permanente
y(t)=L-1[F(s)/s],
Σstep y(t)
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ingresso:
equazioni:
M
fe
x
f Dxa =
M=1D=1
nullo per t<0 CIu= 0, CIy = 1
Ma v(0)=0.5
A B
= → =−δ 11
( ) ( )
[ ]( )
( ) (0) ( ) ( )
= −− = −
1 (0) 1 1 0.5( ) ( )
1 1
= ⋅ + = ⋅ +
+ + + +
A: risposta forzata, ingresso+sistema
B: risposta libera, solo sistema
Polo di G(s): -1Polo della risp. libera: -1Poli di V(s): -1, 0
v
A
B
v(0)
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Se u(t) torna a zero, il sistema torna a riposo Stabilità Asintotica Re[pi]<0
Dopo 5 secondi, la forza torna a 0
Possiamo studiare la risposta all’ingresso:
oppure considerare l’evoluzione libera da t=5
Si ottiene comunque:
δ δ− −− −1 1 5( ) ( )
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E’ sulla seconda (*) che si definiscono le specifichedi progetto nel dominio del tempo
w(t): risposta impulsiva
w-1(t): risposta al gradino(risp.indiciale) (*)
w-2(t): risposta alla rampa
y=1
y=t/2
1( )δ−
( )δ
2 ( )δ−
1. La risposta impulsiva è di scarso interesse pratico (gli impulsi non esistono fisicamente), ma è importante, perché consente di vedere tutti e soli i modi del sistema
2. Le risposte canoniche (utili) si ricavano integrando quella impulsiva
![Page 34: Modi lineari - Roma Tre University · 2001. 9. 30. · 29/09/2001 G.U - FdA-Universita’ degli Studi “Roma Tre” Trasformate e sistemi lineari Trasformata di Laplace Funzione](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051814/60393dd4186fc133207cfeeb/html5/thumbnails/34.jpg)
si utilizza L
integrali
sin( ) cos( ) sin( ) cos( )
( ) ( )
ω ω ω ωω
ω ωω
σ ωσ
σ ω
σ σt t e t e t
s
s
s s
s
s
t t− −
+ + + ++
+ +2 2 2 2 2 2 2 2
e f t F st− = +σ σ( ) ( )
Altri ingressi molto utili sono:
sin( ) cos( ),ω ω ω ω ωt e t = ÷1 2
F s s s sk( ) / / /1 1 1 12
f t t t t t t t (k-1)!kk-1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) /δ δ δ δ0 1 2− − −= =
Trasformata degli ingressi canonici:
![Page 35: Modi lineari - Roma Tre University · 2001. 9. 30. · 29/09/2001 G.U - FdA-Universita’ degli Studi “Roma Tre” Trasformate e sistemi lineari Trasformata di Laplace Funzione](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051814/60393dd4186fc133207cfeeb/html5/thumbnails/35.jpg)
f1(t)
t
f2(t)
t
f1(t’-τ)
t’
f2(t)
τ
Rappresentazione grafica:
Il valore di g(t) in t’dipende dal passato
( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⊗ = −1 2 1 20
τ τ τ
L di funzione ritardata
( ) ( ) ( )
( ) ( )
= − =
= − =
∞∞ −
−∞∞
1 200
2 100
τ τ τ
τ τ τ
= ⋅ =
= ⋅
∞ − −∞
20 1 1 20
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
τ τ τ ττ τ
( ) ( ) ( )= ⋅1 2
Dim:
![Page 36: Modi lineari - Roma Tre University · 2001. 9. 30. · 29/09/2001 G.U - FdA-Universita’ degli Studi “Roma Tre” Trasformate e sistemi lineari Trasformata di Laplace Funzione](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051814/60393dd4186fc133207cfeeb/html5/thumbnails/36.jpg)
( ) cos ( : ( ) ( ))= = > = −1 0 1δ
[ ] [ ]1
1( ) ( ) ( )
τ δ−= ⋅ =
( ) ( ) ( ) ( )τ τ τ− = ⋅0Dim:
( ) ( ); ( ) ( )= = τ τ
01
( ) ( ) ( ) τ τ = − 00
( ) ( ) ( )= − 0
1 0
( ) ( )( )= −
Dim:
( ) ( ) ( )= − 0