UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE

Faculté des sciences appliquées

Département de génie mécanique

MODÉLISATION D'UN ÉLÉMENT DE STOCKAGE DIÉNERGIE

DESTINÉ AUX PLANCHERS CHAUFFANTS

-Mémoire de maîtrise es sciences appliquées

S péciditi: ginie mécanique

Sherbrooke (Qu&ec~, CANADA

-Mohamed AMIR

Juillet 1996

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En hiver. la surcharge des réseaux de distribution d'Slectricité due à une trop forte

demande en période de pointe est un problème imponmt. Cne facon de Ir résoudre est

d'emmagasiner de I'Çnergie électrique sous forme de chaleur dans des matériaux adéquats (eau.

béton. MCP. etc ...) pendant les heures creuses de la journée e t de la restituer ensuite durant les

heures de forte demande.

L'Cnergie électrique peut être stockée sous forme de chaleur latente dans un .MCP comme

la paraffine ou/et sous forme de chaleur sensible Jans des matériaux tels que i'eau. Le béton. et

autres,

Dans ce projet. les deux facons d'emmagasiner de Iënergie sont Ctiidiées puis comparées:

la première facon consiste à stocker de la chaleur dans de la paraffine n-octadécanc en la faisant

fondre. puis i restituer cette énergie h l'environnement en la faisant se resolidifier. La seconde

hqon consiste à accumuler de la chaleur sous forme sensible dans l'eau et le béton en hisant

dever leur température jusqu'à un certain niveau qui doit toutefois rester modéré pour des raisons

de conton. En effet, I'riccumulateur de chaleur 6tudié dans ce travail est une drille de forme

rectangulaire en béton contenant soit de l'eau. soir de la paraffine. destinée i hire partie

inr&pnte des planchers des résidences.

Cette dalle chauffante est modélisée. analysCr et optimisée dans les deux cris. Les resulrats

montrent que le stockage d'inergie par chaleur iatente dans la parÿffinr donne une dalle plus

compacte. beaucoup plus confortable. mais aussi beaucoup plus chère que celle contenant de

l'eau. Les deus types de dalle étant bien sûr intéressantes B réaliser car répondant toutes deux aux

ci.ui_oences fixées: résolution du probikme de surcharge des réseaux Clectriques en hiver et confort

pour l'utilisateur éventuel.

REMERCIEMENTS

Cr travail. n'aurait pu Etre réalisé sans In collabor~tion et 1s soutient de plusieurs

personnes. le remercie en premier lieu mes directeurs de recherche .M. .Marcel Lacroix et .LI.

Nicolas Galmis qui m'ont proposé ce projet et q ~ i i . par leurs conseils et leurs encouragements

constants m'ont permis de le mener ii bien.

J'riimer;iis aussi remercier tous I i J groupe

THEILLIAUS pour le climat d'entente et de cordiaIlri qu'ils onr si1 instaurer. fworisanr ainsi le

clé\doppement de I'esprir de créativité nu sein des 6quipes de recherche.

Je remercie kgaiement tous ceux et celles qui. de près ou de loin. ont facilité la réalisation

de ce travail.

Enfin. je tiens i remercier Iç Ministtre de I'Cnitrgir et des ressources naturelles du Québec

pour le soutient financier qui ;I matériellement permis de rkdiser ce trriviiil.

TABLE DES MATIÈRES

TABLE DES MAT&RES

LISTE DES FIGURES

LISTE DES TABLEAUX

Chapitre 1- INTRODUCTION

1.1 - Exposé de la problématique

1 2- ftude bibliopphique

1.3- Objectif de cette Ctude

1.4- Description de l'dément de stockage de chaleur

1 -5- >Iéthodologie

Chapitre 2- MODÉLISATION DANS LE CAS DE L'EAU

2.1- FORMULATION THÉORIQCE ET ÉQUATIONS '4 RÉSOLDRE

2.1.1 - Hypothèses

1.2.2- Équations de conservation de lli.nergie

1.2.3- Conditions aux limites

2.2.4- Conditions initiales

2.2- MODÈLE NUMÉRIQCE DE RESOLCTION

2.2.1 - Discrétisiltion et résolution numérique de I'6quation 7.1

2.2.1- Résolution numérique de I'Çquation 2.2

2.2.3- Algorithme de calcul

2.3- VALIDATION DL: MODÈLE 'ILMERIQUE

Chapitre 3- É T ~ E PARAMÉTRIQUE DANS LE CAS DE L'EAU

3.1- Objectifs de L'étude paramétrique

3.2- Détermination des épaisseurs des couches de béton et d'eau

3.3- Épaisseur minimale de la couche dkau

3.4- Détermination du niveau de température de l'eau

3.5- Importance du rayonnement thermique

Chapitre 4- MODÉLISA~ON DANS LE CAS DE LX PARAFFINE N-OCTADÉCXNE

4.1- FORML~LXTION THÉORIQUE ET ÉQUATIONS A RÉSOUDRE

4.1.1 - Hypothèses

4.12- Équations de consenration de I'Cner_oir

4.1.3- Conditions aux limites

4.2- MODELE NUMÉIUQUE DE RÉSOLUTION

4.2.1- Discrétisation et résolution numérique de lt6quation de I'energie

4.2.2- Algorithme de calcul

4.3- VALIDATION DU MODÈLE iILMERIQLTE

4.3-1- Validation par comparaison à Iri solution analytique

4.3.1.1 - Problème de S tephan pour un "bloc" de MCP fondanr

ri partir de la gauche

4.3.1.7- Application i la fusion d'une couche de pürtiftine n- oçtiidCctine

4.32- Validation du modèle i l'aide de résultats expérimentaux

4.3.1.1 - Description de l'expérience

4.3.3.2- Résultats et commentaires

Chapitre 5- ÉTUDE PARA~MÉTRIQL~E DANS LE CAS DE LA PARAFFINE

Y-OCTADÉCANE

5.1- OBJECTiFS DE L'ÉTUDE PARAMETRIQUE

3.2- DÉTERMNATION DES ÉPAISSEURS DES COUCHES DE BÉTON

ET DE PARAFFTNE

52.1 - Determination de I'Cpnisseur de la couçlie \il ~Cricurr de bCton

5.2.2- Détermination des épaisseurs des couches de prtraftlne et de béton

au bas

5.3- ÉPAISSEUR MINLIALE DE LA COUCHE DE MCP

5 .4 TEMPÉRATURE MAXIMALE ATTEINTE AU SEIN DE

LA PARAFFINE

5.5- CONSOMMATION D'ÉNERGIE ELECTRIQUE

5.6- COMPARAISON AVEC LX CONFIGURATION PRÉCÉDENTE

(CAS DE L'EAU)

5.6.1- Sur le plan inergétique

5.6.1- Encombrement du système

5.6.3- D isponibilité-prix

CONCLUSION

ANNEXE A

AXNEXE B

BIBLIOGRAPHIE

LISTE DES FIGURES

Figure 1. I - Profil de consommation horaire d'énergie électrique pour une résidence

Figure 1.2- Différentes couches composant la dalle chauffante

Figure 2.1- Domaine do intégration pour les couches de béton

Figure 2.2- Dispositif expérimental

Figure 2.3- Température de l'eau en fonction du temps pour différents pas de temps

et pour dx = 1 mm

Figure 2.4- Température de l'eau en fonction du temps

Figure 2.5- Erreur relative en fonction du temps

Figure 3. L .a- Température maximale au plancher en fonction de I'épaisseur de la coucne

supérieure de béton

Figure 3. Lb- Température minimale au plancher en fonction de l16paisseur de ln couche

supérieure de béton

Figure 3.2- Écart maximal de température en fonction de llCpaisseur de la couche déau

( l'épaisseur de la couche inférieure de béron étant fixée

Figure 3.3- Consommation d'çlectricité en fonction de llCpaisseur de la couche d'eau

i I'épaisseur de la couche inférieure de héton Ctant fixée >

Figure 3.4- Écart maximal de température en fonction de llCpaisseur de la couche d'eau

I I'épaisseur de 1a couche supérieure de biton itant tixée i

Figure 3.5- Consommation d'électricité en fonction de I'ipaisseur de Ia couche d'eau

i I'épaisseur de la couche supérieure de béton Ctant tixée i

Fisure 3.6- Variation de la consommation d'électricité et de l'tcan maximal de

température en fonction de l'épaisseur de la couche d'eau

Figure 3.7- Varilition de I'épaisseur de la couche d'eau en fonction de Ia température

minimale au plancher

Figure 3.8.a- Niveau minimal de la température tïxie pour I'eau

Figure 3.S.b- Énergie cédée i l'air de la pièce en fonction du temps pour diffkrentes

valeurs de la puissance de la source

Figure 3.8.c- Température de l'eau en fonction du temps pour différentes valeurs

de la puissance de la source

Figure 3.8.d- Énergie cédée à I'air en fonction du temps pour une température de l'eau

tïxée à 303 K

Figure 3.8.e- Évolution de la température au plancher en fonction du temps pour

différentes épaisseurs de la couche d'eau

Figure 3.9- Énergie cédée à l'air pour un plancher rayonnant et pour un piancher

non rayonnant

Figure 3.10- Température à la surface de la dalle pour un plancher rayonnant et pour

un plancher non rayonnant

Figure 4.1- Position du front de fusion en fonction du temps pour différents maillages

et différents pas de temps

Figure 4.2- Dispositif expérimental

Figure 4.3- Température de la paraffine au point d'abscisse x = 10 mm en fonction du

rrrnps pour k,= 0.149

Figure 4.4- Température de la paraffine au point d'abscisse x = 10 mm en fonction du

temps pour k,= 0.325

Figure 4.3- Erreur relative en fonction du temps

Figure 5.1- Température minimale au plancher en fonction de I'epaisseur de la couche

de paraffine

Figure 5.2- Température minimale au plancher en toncrion de I'Cpaisseur de la couche

de paraffine pour différentes Cpiiisseurs de Ia couc hr supCrieure de b t ton

Figure 5.3- Température maximale au plancher en fonction de 1'6paisseur de la couche

de paraffine

Figure 5.4- Température maximale au plancher en fonction des Cpaisseurs des couches

de paraffine et de béron

Figure 5.5- Écart maximal de température au plancher en fonction des épaisseurs des

couches de paraffine et de béton

Figure 5.6- Tempér~ture minimale au plancher en fonction de 1'~paissrur de la couche

mm de paraffine pour une Cpaisseur de la couche supérieure de btion dt 1-

Figure 5.7- Température maximale au plancher en fonction de I'iipaisseur de la couche

de paraffine pour une épaisseur de la couche supéfieure de béton de 95 mm

Figure 5.8- Écart maximal de température au plancher en fonction de l'epaisseur de la

couche de paraffine

Figures 5.9.a.b et c- Fraction fondue en fonction du temps

Figure 5.lO.a- Chaleur sensible et chaleur latente Cchangées par la paraftïne au cours

des cycles de stockage-déstockage ( cas optimum 1

Figure 5.10.6- Chaleur lacente mise en jeu en fonction du temps pour diffirentes

Spaisseun de la couche de paraffine

Figure 5. l 1- Évolution de la température au plancher en fonction du temps pour

différentes 6paîsseurs de la couche de paraffine

Figure 5 . 1 2 ~ - Température maximale de la paraftlnt en fonction de son 6paisseur

Figure j. L2.b- Température maximale de la paraffine en fonction de la puissance de

chauffage

Figure 5.1 3- Température au plancher pour les deux types de dalle

contiyration optimale

LISTE DES TABLEAUX

Tableau 2.1 - Propriétés physiques du béton 17

Tableau 2.2- Propriétés physiques du Plexigias 2 1

Tableau 3.1- Sens de variation de différents paramètres de conception de la dalle chauf'tmre 25

Tableau 3.2- Résultats illustrant I'imponance du rayonnement thermique 36

Tableau 4.1- Propriétés physiques de la paraffine n-octadécane 53

NOMENCLATURE

Superficie de la daile chauffante [ ml 1

Chaleur massique [ J k g K ]

Épaisseur de la couche supérieure de béton [ m ]

Épaisseur de la couche inférieure de béton [ rn 1

Fraction liquide

Coefficient dWCchange de chaleur par convection naturelle

à l'interface béton-eau [ w / ~ ' K 1

Coefficient d'échange de chaleur par convection naturelle

h l'interface béton-air [ w / ~ ' K 1

Enthalpie sensible volumique [.J/mSJ

Enthalpie volumique torde [Dm '1

Coefficient moyen d'ichange de chaleur par convection [ w / ~ : K ]

Conductivité thermique [ W m . K 1

Chaleur latente de fusion [J/kgl

Matériaux à changement de phase

Nombre de Nusselt

Yombre de Nusselt moyen

Flux de chaleur [ ~ l m ' ]

Source de chaleur [W/rn']

Puissance calorifique dégagée par la source chaude [ W 1

Nombre de Rayleigh

Terme source dans l'équation d'inergie ieq. 2. i ) [ W m 1

Terme provenant de la décomposition du terme source

Léq. A j ) [ ~ f m ' ]

Facteur provenant de la dkomposi tion dtr terme source

ikq. .A61 [M'/m. KI

TOL

h

c'

L'

i.. E

csp

!

min

mas

num

P

R

\

11.. W

'lombre de S tephan

Température [ K j

Température de U r dans la pièce chauffée

Température du béton [ K 1

Température de fusion de la paraffine [KI

Température moyenne des deux surfrices en contact avec I'eau [ K j

Température des parois environnantes i hçes intérieures des murs de

la pièce chauffée J

Température expérimentale

Température numérique

Tolérance ( écart toléré pour Iri convergence du crilc~il )

Bkton

Convection

Eau

Est

Expérimental

Liquide

Minimum

Maximum

Yumérique

Point reprksentant it: volume de contrôle considiré

Rayonnement

Surface. solide

Ouest

LETTRES GRECQUES

Diffusivité thermique [ m'/s 1

Incrément

Incrément

Émissivi té

Masse volumique [ kg/m 1

Constante de Stefan-Boltzmann [ W r n ' . ~ - ]

Coefficient d'expansion volumique [K.' 1

Viscosité cinématique [kg/m.s

Solution de l'équation transcendantale 4.43

Chapitre 1

INTRODUCTION

Actuellement au Québec. le chauffage par plinthe électrique est très utilisé en hiver. Ce

qui fait qu'en période de pointe ( entre 7h et 8h et entre -Oh et E h environ ). les appels de

puissance peuvent être trop élevés ( figure 1.1 ). Ces pics de puissance demandée en période

de pointe causent à Hydro-Québec de nombreux problèmes sur le plan de la production et du

transport de l'électricité et engendrent des coûts Çlevés de l'énergie. I

HEURE

Figure 1.1 - Profil de consommation horaire d'éner~ie dectriaue pour une résidence

Une Jrs solutions possibles pour pallier ü ce problème est de réduire la demande ur:

puissance Çlectrique dûe aux systèmes de chaufhge pendant I r s périodes de pointe en la

déplaçant vers les heures de la journée où il y ii moins de demande dg6nergie. Ceci est possible

d c r à un système de stockage d'énergie qui est capable d'emmagasiner de la chaleur pendant C

les heures creuses de la journée et de la restituer ensuite durant les périodes de fone demande

ii'gnrrgie électrique.

Les ~iccumulateun de chaleur les plus couramment utilisis jusqu'â présent sont ceux

qui emmagasinent lgÇnergie sous forme de chaleur sensible gricr. i des matériaux ayant une

chaleur massique relativement importante i par exemple ies briques .Ces cippareils «nt

cependant de gros inconvénients:

- ils sont volumineux et lourds,

- ils doivent etre portes à haute temperature I 700 à 800°C 1. ce qui occasionne des

pertes importantes de chaleur pendant la période de htockiige. et ce malgré Ir volume

important d'isolant qu'ils nicessitent.

Une autre iqon de stocker de I'Çnerpie calorifique consiste i utiliser des matiriaux i

changement de phase i MCP ). L'knergie est dors rmrnrig~sinke sous forme de chaleur latente

zrice à la fusion de ces matCriaux. puis restituke air rnilieii ambianc grrice il leur soliditicrition. 6

L e choix d'un MCP dont la chaleur latente est ClrvCe et donr ia temperature de changement de

phase est proche Je la température xnbiante permet IL la fois de riduire considSrablement

l'encombrement de l'appareil et les pertes thermiques pendant la période de ~tockrige.

Cependant. les syst~rnes de srockagr d'çnrrgict par chaleur Iatents ne sont pas trés répandus

car leur conception est freinée par la complexitC des phénomènes de transfert thermiques qui

i e déroulent en leur sein.

Des ktiides théoriques et exptkimentales sont clctudIernt.nt en cours iiu sein du groupe

THERlMAUS afin de mieux comprendre ces phinomènes complexes. et ce dans le but ultime

de concevoir un ;iccumulateur de chaleur de ce type qui puisse Ctre utilisé clans le secteur

résidentiel.

Plusieurs options d'un tel accumulateur sont en cours d ' h d e :

- ~icçumulatrur de forme pürüllClépipédique ii une mi plusieurs couches de MCP.

- accumulateurs cylindriques ( cylindres concentriques ou Cchangeurs de chaleur ri

tubes et calandre 1.

Plusieurs dispositions possibles sont Cgalement 6tudiCes: venicaie. horizontale.

appareils destinés à Stre placés contre un mur. au plafond. dans le plancher ... Des études

comparatives ( performances. compacité. etc ... ) avec d'autre types d'accumulateurs sont aussi

abordées. Ce projet s'inscrit justement dans ce cadre.

Les ctudes aussi bien expérimentales que numériques qui ont Cté réalisées ;LU courant

Jcs années Y0 et des dernières années ont pris en considération sunout des Cléments de

-tockage cylindriques et planaires. Dans la contiguration cylindrique on trouve principalement

les déments consistant en deux cylindres concentriques contenant siparément le MCP et Ir

tluide criloporteur .et les Cchangeurs de chaleur J tubes et calandre ( le tluide caloporteur

circulant dans les tubes et le MCP dons la calondrei. La configuration planaire consiste en une

du plusieurs couches de MCP autour desquelles circ~ile en conuxtion Libre ou forcée Ir tluide

caloporteur.

Spürrow et Boüdbent [ 11. dans leur Ctude cxpérimrntalr d'un Climrnt di: stockage

q-lindrique 5 chaleur tatente disposé wnicalement. ont mis en Cvidcncc le rôle important joué

pa r la convection naturelle lors de la fusion du MCP. [Is ont montre qu'au début de la tUsion

Ir mode de transkn de chaleur dominant est la conducrion i le front de fusion est paralléle aux

parois du cylindre]. mais qu'après lin certain temps la convection naturelle devient dominante:

- l'interface solide-liquide s'incline de plus en plus pu- rapport aux parois du cylindre

a u fur et ;i mesure de 1'~voiution de la fusion.

- la partie solide diminue de hauteur et s'amincit de plus en plus ;i sa partie supérieure

pour ressembler de plus en plus 5 un cône au sommet It5gèrement arrondi.

Cette itude ;L montré aussi que:

- le taux de fusion du MCP augmente :ivec I'2cat-t cntrc la température de paroi cc la

xmperaturc de hision.

- le wus rctroidissement Ju MCP r~ilentit Ic iws de i.iic;lon cc rtiduit ainsi 1Ynttrgie

\rockie dans 1s MCP.

D'autre part. Saito et Utaka [11. ont Çtudié expérimentalement et analytiquement le

comportement d'un élément de stockage cylindrique vertical avec de I'cau comme fluide

caloporteur. La variation du flux de chaleur. I'Cvolution de Ikterface solide-liquide ainsi que

le temps nécessaire pour le stockage d'énergie sont mesurés pour différentes hauteurs de

I'eltment. La convection naturelle est mise en Cvidence et visudiséc. Lin modèle analytique

tenant compte de Ia convection naturelle ri Cté dtveloppt ctr les résultats de se rnodkle sont en

bonne concordance avec les résultats expérimentaux. II a ;té montré notamment que :

- le temps ntcessaire 5 iü fusion complètc du kICP est dans tous les cas inférieur au

temps calculé i l'aide de modèles analytiques qui ne riennent compte que de la conducrion

dans le MCP.

- la convection naturelle a lieu surtout dans lü partie inférieure de la phase liquide 4

côté de la phase solide tandis qu'clle est rrès faible dam la partie supérieure où il n - y n plus de

phase solide.

Une itude analytique Je la tirsion d'iin MCP dans Lin cylindre vertical chauffc

isothermiquement 4 travers toutes les parois a 6té rt'tèctukr par W u et Lacroix.[31. Les

résultats importants de crtte étude sont que:

- le taux de trrinsfert de chaieur Ii travers la paroi supérieure (qui se fait essentielIement

par conduction idiminue au fur et 4 mesure de. I'2volution de l'interface solide-liquids iusqu-3

atteindre la valeur zero.

-les taux de transfert de chaleur sont beaucoup plus importants üu voisinage de h paroi

inférieure où In convection de BCnard x'itiiblit. Dr plus crtte convection de Bénÿrd se

dçclenche plus tôt que dans le cas où le chauffage s r h i t uniquement i. travers Iü paroi

inférieure.

Toujours dans la configuration cylindrique mais crtte fois-ci dans Is cris horizontai.

d'autres travaux ont i té menés surtout dans le but d'6tudier le comportement des :MCP dans

les khangeurs i tubes et calandre ( WlCP dans la calandre et tluide caioporteur dans les tubesi

011 les Gchangeurs doubIe-tube avec Le MCP dans 1-cspace annulaire (ILI dans le tube intérieur.

o u l'inverse [-LI. [6].

Hinta et Nishida [SI ont effectué des triivaux expérimentaux et analytiques dans

lesquels ils ont considéré un éIérnent de MCP contenu dans un cylindre horizontal chauffé i

travers la paroi par de l'eau à température constante circulant tout autour. L'anaiyse

i numérique) des phénomènes de tnnsfen thermiques ri été faite i Ikide d'une cq conductivité

thermique equivdente >> de la phase liquide. Cette conductivité Cquiwlente est estimée i partir

des résultats de la convection narurellr entre deux cylindres concentriques horizontaux.

Les résultats analytiques et expérimentaux concordent en ce qui concerne le taux de

fusion pour un large domaine du nombre de Rayleigh. I l est montré egalement que dans le cas

2tudié l'effet de la convection naturelle sur le micanisrne de fusion peut Ctre nCgligC pour des

nombres de Rayleigh tels que Ril, < 10'. Dans Ic cas de cylindres liorizontaux. la dimension

idiarnètrei de 1'6lérnent de stockage est déterminante en ce qui concerne l'importance de la

convection naturelle: plus les dimensions sont tlevées plus la convection naturelle joue lin

rôle important : elle peut par contre devenir négligeable lorsque les dimensions sont faibles.

Farid et Husirin [7]. ont étudié expérimentalement et analytiquement Lin ClCrnent planaire

qui consiste en plusieurs couches de MCP indépendantes. Le stockage de lu chaleur dans It:

MCP est fait par I'intermédiaire d'déments électriques chauffants. et de l'air circulant entre

Iss couches permet le déstockage. L e trmsfert Je chaleur ii travers le blCP est supposi

~inidimensionnel (ce qui est justifie par le fait que I'Zpaisseur des couches est très t'riible

cieunt Ieur hauteur). La convection naturelle clans 1;i phase liquide a t.tk prise en compte i

l'aide d'une conductivité thermique effective calculk i partir de la conductivitti k. cis Iri phase

liquide utilisant la corrélation : k, = k, C Ra' oii C et n sont des constantes determinées par

comparaison entre des résultats expérimentaux et des r6sultats théoriques. II a 6té trouvé que

pour des nombres de Rayleigh allant jusqu'i lu-. les wleurs de C et de n sont respectivement

de 0.1 et 0.23. Les résultats montrent entre autre que 20 ti 50% de la résistance thermique

totale s r trouve dans I'air de circulation. Cr qui iuggère qu'il h u r autant que possible

augmenter la turbulence dans l'air servant au dktockage citin d'arnéliorer Ir transfert de

chaleur.

I

Laouadi . Lacroix et Galanis [8J . ont développé et utilisé un modèle basé sur la

conduction unidimensionnelle pour itudier les performances d'un accumulateur de chaleur

plan qui consiste en une couche de .MCP de deux centimètres d'épÿisseur isolée

thermiquement d'un côté. L e stocka_re de chaleur s'effectue grrice à des résistances électriques

chauffantes placées dans le :MCP juste au dessous de l'isolant. Le déstockage vers

I'cnvironnernent se fait par radiation et/ou par convection. Cette itude a montré que cette

unité peut Etre chargée et déchargée deux fois par jours et pourrait donc servir pour déplacer

les pics dus aux appels de puissance en période de pointe vers les heures creuses de la joiimée.

.Autres résultats de cette Stude:

- lorsque la puissance Clectrique de shliuifape augments. la ternpCrüture de I'ClÇment

augmente tandis que le temps de stockage diminue ri que le temps de destockage augmente.

- Les pertes de chaleur augmentent aussi avec la puissance de chauffage et atteignent

une valeur maximale à la fin de la période de stockage.

- La performance de l'unité dépend tonement de la puissance rilectrique de chaufhge

et du coeftkient de transfert de chaleur vers I'snvironnernent.

Cn modèle numérique pour la prédiction du comportement thermique d'une unitt

multi-couches de stockage d06nergie par chaleur Iritente a ité dGveloppk par Brousseau et

Lacroix [9]. Des sources de chaleur ilectriqiies sont distribuees iiniforrnernent dans [es

couches de MCP de cette unité et fournissent la puissance nécessaire pour le stockage de

chaleur. Le déstockage est effectue par une circulation d'air autour des diments de MCP.

Cette Ctude a mis en Cvidence que le phénomkne de stockage comporte trois Ctapes:

- stockage par chaleur sensible dans Ir 'VICP wlide.

- stockage par chaleur latente au début de la fusion.

- stockage sirnultanné par chaleur sensible et par chaleur latente dans Ic 3ICP liquide.

Quant au déstockage. il comporte quatre 6tape.i:

- déstockage par chaleur sensible dans le MCP liquide.

- désrockii~e par chaleur sensible au début de la resoliditication du ;MCP.

- extraction de la chaleur du 4ICP par refroidissen~enr de celui-ci et de [a phase

solide,

- dèstockrigr par chaleur sensible de la phase >t>lide.

Comparés aux systèmes de stockage d'tnergie par chaleur sensible. pour une même

quantité d'énergie stockée. les accumulateurs d'énergie par chdeur latente sont plus compacts

( moins encombrants 1. Cependant un inconvénient majeur des :MCP est Ieur I'aibIe

conductivité thermique qui empêche un transfert de chaleur suffisant [ors du déstockage (5

cause de la couche de solide qui se forme tout de wite après 1s début de la pCriode de

distockage et qui impose la conducrion comme mode d't:change de chaleur avec

l'environnement). Cet inconvéniant peut titre en partir diminuC par l'utilisation d'liilrttrs

implantées dans le MCP pour améliorer I'Çchange de chaleur \ur la surticr d'6change entre le

MCP et I'environnement.

L'amélioration du transfert thermique par l'utilisation d'ailettes verticales dans le cas de

tubes horizontaux a 6té examinée par Eftekhlir . HaJ-Seikh et Lou [ 101 . Le coefficient

d'expansion thermique 61evé et Iri f'riible \.iscositk du bICP choisi i paraftine P 1 16 i

engendrent un nombre de Rayleigh wftisamrnent grand pour declencher et itablir la

convection naturelle dans la phase liquide du .MCP. r.1 ce même pour des Jiffirences de

temperature faibles. La convection naturelle est f;nvoriske au maximum afin de pouvoir limiter

Ir nombre d'riilettes a utiliser: il est vrai que les ailettes favorisent le transfert de chaleur ainsi

que le taux de fusion. mais un trop grand volume occupé par le métal pourrait réduire

iensibIement 13 quantité de MCP utilisée et donc mssi la qiiantit6 d'cnergie stockée.

Par ailleurs Henze et Humphrey [ 1 1 1. ont présenté lin modtle numtrique simpliLE pour

la prédiction de la fraction de MCP fondue et la hrme de l'interr'rice solide-liquide en fonction

ciu temps. Les résultats du modèle qui sont cn bonne ccincordance avec les résultats

c.up&imentriux montrent que pour obtenir des I l u s 21evC.i avec ilne cenaine quantité de MCP

et de métal. i l est préférable d'avoir des ailettes fines sr serrées plutôt que des ailettes ipaisses

et plus écartées.

Khaihori et. Ramadhyrini [13. ont itudié l'effet. des ailettes sur Ir phénomène de la

fusion et des cycles de fusion et de solidification Jans le cris d'un cylindre vertical. Des

expériences ont 6té faites dans le cris sans ailettes et dans Ir: cas avec ailettes et mettent en

evidence l'effet de la convection naturelle dans Ics deux cas . L-effet di1 sous refroidissement

ii <té 6galement Ctudii et les conclusions ont Gte les s~iiunres:

- Lorsque le MCP est sous refroidi. le transfert de chaleur total est plus faible que dans

le cas sans sous refroidissement. et l'amélioration du transfert de chaleur dû à la convection

naturelle et aux ailettes est amoindrie.

- La configuration cylindrique dans le cas sans ailettes est à dticonseiller pour le design

J u n appareil de stockage d'energie i chaleur latente. Le cylindre ailetté est un bien meilleur

choix.

Une autre &tude intéressante sur l'effet combiné de la convection naturelle et des

ailettes dans un système planaire d'accumulation d'Cne-ie par chaleur latente ii CtÇ réalisée

par Saito . 'ingakubo. Utaka. et Karayama [ 13 1. Les r&ultats aussi bien expérimentriux que

théoriques montrent que:

- Lon du distockap. le tlux de chaleur dtkroit considérablement nu fur et 1 mesure que

Ia phase solide augmente. Sa valeur moyenne est f~ibls comparée i celle obtenue lors du

processus de stockage.

- L'amélioration du transfert thermique dû à la convection naturelle baisse

crriduellement avec l'augmentxion du nombre d'ailettes. - - 11 existe un rapport optimal entre la hauteur H des ailettes et leur largeur D i H/D i

pour lequel le flux de chaleur moyen est maximal.

Une autre itude comparative i numérique et rlsptkirnentrile I sntre tubes ailettk et non

ailettés immergés dans du MCP ri 2tk réalisée pur [srnail [Hl. Les courbes donnant le

pourcentage de masse solidifiée en fonction du temps «nt tiré tracées pour des tubes ailettés et

iton ailettés. et pour différents paramètres tels que Ir nombre d'ailetres. leur hauteur. leur

tpaisseur. la différence sntre la température de paroi et la température de changement de

phase. Ces courbes montrent que:

- L'Çpaisseur des ailettes n'n presque pas cl'intlurnce sur le taus de solidification et

peut donc ztre négligée de ce point de vue.

- Plus l'appareil est compact. moins le taux de wlidification est grand.

- Le taux de soliditïcarion augmente avec le taux de surchauffe du MCP.

Sasaeuchi . Yyoshida. Nakashima [ l5 1 ont prouvé expérimentalement et

.tnalytiqurment que lors de la holidification. Ic tlux de chaleur decroit beaucoup moins

rapidement dans le cas avec ailetres. et que çttllrs-ci tiivorisent l'effet de la variation du débit

du tluidc criloponeur.

Une autre étude plus approfondie compwant des tubes a ailettes lon@udinales. et à

ailettes radiales. et des tubes non ailettés a été faite par K-Sasagushi [16] et complète l'ttude

précédente par le résultat important suivant: Les accumulateurs d'enersie avec des tubes

ailettés radialement sont plus performants que ceux qui ont des cubes ailettés

[ongitudindernent. ces derniers ttant eux même plus performants que des accumulateurs à

tubes non ailettés.

Toujours dans le cas des Cchmgeurs 5 tubes et calandre. Lacroix (171 a prouvé

iinalytiquernent ( à l'aide d-lin modèle bidimensionnel büsé sur la mithode enthalpique I et a

\.Crifié par une sirie d'expériences que l'utilisation d'ailettes annulaires autour Jcs tubes est

plus efficace pour des débits modérés de tluide caloponeur i debits compris entre 0.00 15 kg.3

et 0.0 15 kg.s ' J et une ciifference de température i ['entrée de I'ichangeur d'environ 5 K.

Lrn autre type d'ailettes h Sté Çtudiç par Saito et Hong [ I SI dans Ic cris d'unités

planaires: ce sont les ailettes à fentes < en anglais .. split tins ). Les expériences ont prouvé

que ce genre J'ailettes augmente Ir taux de fusion par rapport aux ailettes horizontales

continues. En examinant I'intluencr de 1-inclinaison des ailettes par nippon i l'horizontale. i l

a Cré trouvé que cela n'améliore pas Ir taux de fusion.

Cornini et Nonino [ 12 ] ont CrudiC analytiquement et expérirnenralrrnent J r s dalles

chauffantes consistant en une couche de béton isol5-e themiquement par le bris et dans

laquelle sont encastrés des tubes. De l'eau maintenue une température de 30°C environ

circule 5 l'intérieur de ces tubes et constitue la source de chaleur. L*n moditls analytique et un

modèle numérique bas6 sur la méthode aux Cltments finis ont C r i dçveloppis. Cn "coefficient

de convection Cquivalent" tenant compte du coefficient Je con\.sction Ii la ?;urhce de la dalle

et de la conductiviti thermique du biton. ri Cté dStïni pour 12 partie supérieure de la dalle. Je

même que pour la partie inférieure isolanr-béton et la partie centrale eau-tube. Les résultats de

ces deux modèles ont tté trouvés en bonne concordance entre eus et avec les résultats

expérimentaux.

D'autre part Shoenfelder [ 21 ] possède un brevet d'invention d'une dalle chauffante

constituée d'une brique creuse en béton spécialement conçu dans laquelle est confinée de la

paraffine. L'originalité de cette invention tient surtout à l'introduction de métai sous forme de

poudre et de débris dans le béton. et sous forme de g d l e dans la paraffine. ce qui augmente

considérablement la conductivité thermique de I'ensernblr de la dalle chauffante.

Les appareils décrits précédemment . qii'ils soient de configuration cylindrique ou

planaire seraient destinés à être installés ri I'intérieur des pièces o u locaux i chauffer ( contre

un mur par exemple J . et dans ce cas i l est nécessaire que l'appareil ne prenne pas trop de

volume. Autrement dit . le problème d'encombrement doit Stre pris en compte. L'ne hqon

d'eviter ce problème d'encombrement serait de concevoir lin systkrne d'~iccurnu1rition de

chaleur q u i puisse Stre encastré definitivement dans le plancher.

L'objectif de ce travail est justement d'étiidier Lin diment de stockage de chaleur plan.

disposé horizontalement et destiné à Ctre encastré dans le plancher. Cependant i l faudra hire

un choix entre l'eau ou Ir MCP comme élément de stockage de chaleur. Dans Ic premier cris.

i I h'agira d'un dément de stockage d'znergie par chaleur sensible. Jans Ir: wcond cas d'un

ilément de stockage d'energir par chaleur Latente.

Cne Ctude pÿriimtitrique sera faite dans Ics deux cas afin Je diterminer lequel parmi

ces Jeux types d'accumulateur de chaleur est le plus iidCq~nt pour I'application particulière

des planchers chauffants.

1.4- DESCRIPTION DE L-ÉLÉMENT DE STOCKAGE DE CHALEUR

L'éEment de stockage de chaleur qu'on se propose J'Ctudier est de configuration

planaire ( fig. 1.2 1. II s'agit sssentieilement d'une enceinte piir~lldtpipèdique creuse en

béton. contenant de I'cau ou de Ia pariffine L les deux cas seront étudies siparément).

L c stockage de chaleur sr hit par l'intermédiaire de résistances dectnques de très faible

\.durne réparties uniformément au fond de la couche d'eau ou de paraftine (selon 1s cos

Ctudié). à la limite avec la couche inférieure de béton. Le déstockage s'effectue par convection

naturelle au contact de l'air de la pièce. et par rayonnement.

Un ensemble de ces <c ddlles » en béton disposées côte i côte et encastrées dans te

plancher d'une maison constituera un système de chauffage de celle-ci. Or pour chauffer une

maison standard. il faut lui fournir m e puissance calorifique d'environ 10 kW par superficie

de 100 m:. c'est à dire 100 Watts par rn' de surface. Si ['on choisit de placer 9 dalles par m' de

wrhce. ia puissance qu'on devra fournir par dalle est d-environ I l Watts. et les dimensions

d'une dalle seront alon 0.33 m sur 0.33 m. Les épaisseurs des couches inférieure et supérieure

de béton entre lesquelles se trouvera la couche d'eau ( ou de paraftïne ainsi que l'tpaisseur

de cette dernière seront déterminées lors de 1'6tude paramétrique i chapitres 3 et 5 ). Qumt à

I't5paisseur des parois latérales. fixons la 5 k m i Ir seul rôle de ces parois est de contenir l'eau

ou Ia parafine i .

Béton non isolant I

I I

I

I

Eau ou paraffine Béton isolant

Isolant

Résistance chauffante

Figure 1.2- DifErentes couches composant [ r i dalle chriutfmte.

Les chapitre 2 et 3 seront consacres au cris de la ec daHe chauWinte 0 avec des sources

de chaleur ( résistances électriques immergées dans de l'eau.

Le chapitre 2 concernera Iri modélisacion théorique r gquations i resoudre. modèle

numérique de résolution de ces kquations t sr sa validation par des résultats expérimentaux.

LI: chapitre 3 serri consacré à une étude pararnétrique qui devra aboutir ~ caractériser la

drille chauffante.

Les chapitres 4 sr 3 traiteront de la dalle chaufF~nte avec miirces de chaleur Clrctriques

plongées dans Ia paraffine n-octridécane. Ces chapitre3 seront structurés à peu près de la meme

hqon que Iss chapitres 3 et 4: modèle théorique. validation du moddr théorique. Aude

pararnétrique.

Au chapitre 6. il s'agira de Lire un choix entre les deux types de dalle après une

confrontation des résultats obtenus r r une analyse qualitative et quanritative. Cnr conclusion

r i î i ~ ~ ; ~ .

Chapitre 2

2.1.1- Hypothèses

1. Le transfert de chaleur dans le béton se fait par conduction dans la direction venicde x

seulement (conduction unidimensionnelle i en régime instationnaire.

2. Le béton est homogène.

3. Les propriétés thermiques de l'eau et du béton sont indépendantes de la température (les

écarts de température sont relativement faibles).

4. La face inférieure de la dalle est isolée thermiquement ( paroi adiabatique 1.

5. La chaleur est transmise de la surface supérieure vers l'air de la pièce par convection

naturelle et par rayonnement.

6. '4 l'interface béton-eau. I'échange de chaleur se fait par convection naturelle.

7 . La température de l'eau est supposée uniforme â chaque instant.

1.1.2- Équations de conservation de ['énergie

Compte tenu des hypothèses précédentes. on a:

- Pour te béton:

où k. est la conductivité thermique du béton. (C,), sa chaleur massique. p sa densité et S le terme

source.

- Pour I'eau:

A est la surface d'échange de chaleur en m'.

K la hauteur de la couche d'eau en m.

h le coefficient d'échange de chaleur en w/~ :K.

Ta la température de l'eau . Q , la puissance calorifique dégagée par la source de chÿleur en Watts.

T,", la température moyenne des deux surfaces horizontales en contact avec I'eau : si (Th),

et (Th), sont les températures des surfaces inférieure et supérieure en contact avec l'eau. alors T.d,

est égai [(Th), + (Th): 1 1 2.

Le coefficient moyen d'échange de chaleur par convection naturelle h_ i IÏnterface

béton-eau est kvaiué ri l'riide de la corrélation empirique suivante valide pour une enceinte

rectangulaire fermée horizontale [U] :

où R+, est le nombre de Rayirigh et où les propriétés physiques sont évaluées i la température

moyenne des deux surfaces d'échange.

2.1.3- Conditions aux limites

- Frontière béton-isolant: paroi adiabatique

- Aux interfaces béton-eau:

où Ta est la température de l'eau.

T, la température du béton à ['interface considSrée.

- .i l'interface béton-air: Le transfert de chaleur Je ia dalle de béton vers Ir milieu

environnant se fait par convection natureIle et rayonnement. On a donc:

où T,.xr et Tadn sont prises égales à 20°C et W C respectivement. h, est le coefficient de transfert

par rayonnement. et h, le coefficient de convection à I'interfrice béton-air. estime 2 l'aide de la

corrélation empirique suivante [XI . valable dans le cris d'uns plaque horizontale chauffée par le

L ttanr la longueur caractéristique de la "dalle" < assimilce i une plaque horizontale chauffée par

Ir bas ). tgale au rapport de sa surface à son périmètre.

2.1.4- Conditions initiales

.i l'instant initial. c'est i dire à I'instant précis oii l'on commence i chauffer. les couches de

héton et d'eau sont supposies Ctre ;i 13 tempCr~ture de IYC.

2.2.1- Discrétisation et résolution numérique de l'équation de l'énergie 2.1:

Pour résoudre I'équation L I . on utilise In méthode des volumes tinis combinée avec un

schéma implicite. Les couches inHrieure et supérieure de béton sont discrétisées de La façon

suivante:

Figure 2. l -Domaine d' intégration pour les couches de béton.

Après intégration dans un volume de conrrôle et dans Le temps. I'Gquation 2.1 prend la

forme suivante:

et ce pour chaque noeud du maillage. ce qui donne Lin système linéaire tridiagonal i résoudre. Les

ditails du calcul se trouvent dans l'annexe A.

2.2.2- Résolution numérique de l'équation 2.2:

L'intégration de l'équation 2.2 dans le temps mSne ri:

l'indice indiquant la valeur de la température de l'eau Tc au temps précédent.

2.2.3-Algorithme de calcul:

Il s'agit de résoudre à tour de rôle les équations couplées de diffusion de chaleur dans le

béton 1.1 et l'équation d'accumulation de chaleur dans l'eau 2.2. .i chaque pas de temps.

I'équation 2.1 pour le béton est résolue en chaque noeud sous la forme 2.8 5 l'aide d'un résoluteur

de systèmes linéaires tridiagonaux TDMA. suivi de la résolution de I'Çquation 2.1 écrite sous la

forme 2.9. La convergence est atteinte lorsque ces deux équations sont satisfaites simultanément.

ce qui est généralement réalisé en deux ou trois itérations avec une tolérance de 10?

Les propriétés physiques des bétons urilisCs (béton normlll porteur non isolant et béton

isolant) sont données dans le tableau suivant:

Tableau 2.1 - Prouriétés ~hvsiaues des bétons utilisés.

I Proprié tés

Densité [kg/m;] :

Conductivité fW/m. KI :

Béton normal Béton isolant

Début çl + Initiaikation avec des valeurs de T

I estimées l I

-

Calcul des coefficients du système linéaire tridiagonal 2.8

suivi de sa résolution à l'aide du TDMA :

Calcul de la distribution de température dans le béton

Résolution de I'équation 7.9 :

Calcul de la température de l'eau

Non

1 Calcul de la quantité de chaleur cédée à l'air 1 et de la consommation d'électricité

Non

Impression des résultats 1

Pour valider le modèle numérique. un montage expérimental a été érigé et des expériences

ont été faites au laboratoire THERMALE

Une enceinte en PLexiglas disposée horizontrilement ( figure 3.2 ). de dimensions

intérieures 40 mm de longueur par 20 mm de largeur et par 26 mm de hauteur est remplie

complètement d'eau. L'épaisseur du fond de l'enceinte est de I?. mm et celle de la paroi supérieure

est de 3 mm. La source de chaleur consiste en des résistances électriques de 1.5 mm de largeur

disposées h 15 mm l'une de l'autre dans l'eau et au tond de l'enceinte. Les parois latérales et le

fond de l'enceinte sont recouverts d'un isolant thermique ( polystyrène de 2-54 cm d'épaisseur

pour réduire autant que possible les pertes de chaleur. Des ihermocouples installés dans I'çau. sur

Ics parois latérales et horizontales permettent de mesurer la température de l'eau. la température

sur le dessus de l'enceinte. ainsi que les pertes de chaleur par les parois lat6rales et Ie fond. et ce ri

des intervalles de temps réguliers. Lü puissance électrique de chauffage fournie au niveau des

résistances électriques est de 15 ~ / m : . et ce pendant une durée de stockage de 8 heures. rrrnps au

bout duquel le courant électrique est coupé. Ce qui marque Ir début de la période de déstockage

qui s'cfiectue par convection naturelle au contact de ['air ambiant et par rayonnement vers

1 'environnement.

Ordinateur P.C. Cane d'ricqu isi ton

de Jrinncirs

Rkistrince chauffante

Enceinte en plexiglas isolir par le fond et les parois Iritér~les

Ficure 2.2- Dispositif e~o&imentril

Avant de passer à la comparaison entre ies résultats numériques et les résultats

expérimentaux, nous avons déterminé à l'aide du modèle théorique les pas de temps et d'espace dt

et dx convenables. La figure 2.3 montre qu'un pas de temps de 60s pour un pas d'espace de 2 mm

donne des résultats suffisamment précis.

Figure 2.3- ~ern~érature de l'eau en fonction du temps pour différents pas de temps et pour dx=2mm

Temps [heures]

- s 3

_m 298

O

2 3 - 2 \a 296 - a

E

Pour ce maillage et ce pas de temps. nous avons simulé l'expérience décrite ci-dessus à

l'aide du modèle théorique. Les coefficients de transfert de chaleur par convection naturelle entre

l'eau et les parois intérieures de l'enceinte, ainsi que celui entre la paroi supérieure et I'air

environnant ont été calculés à l'aide des corrélations empiriques 1.3 et 7.7 [Irl]. et ont été trouvés

respectivement égaux à 125 et 4 w/~' .K. Les propriétés physiques du Plexiglas utilisées se

trouvent dans le tableau suivant:

+ 294

292

290 20 30 60 80 100 1 20

-

-

7

Pas de temps [SI - - 60 - - - - - 10 - - -- 30 - ---- 120

*'

Tableau 2.2- Propriétés phvsiaues du Plexiolas.

1 Chaleur spécifique [J/kg.K] : I

Densité [kg/m3] à 30 OC:

P

Conductivité [W/m.K] :

k

1 180

Les résultats de cette simulation ainsi que les résultats expérimentaux sont représentés sur

la figure 2.4. La figure 2.5 représente l'évolution de l'erreur relative ( numérique par rapport à

l'expérimental ) en fonction du temps. Ces deux figures montrent une bonne concordance entre

les deux types de résultats. Ce qui permet d'affirmer que le modèle numérique est validé

expérimentalement.

Figure 2.4- ~ern~6rature de l'eau en fondion du temps

O 2 4 6

Temps [heures]

Figure 2.5- erreur relative en fonction du temps

O 2 4 6 8 1 O

Temps [heures]

Chapitre 3

ÉTUDE PARAMÉTRIQUE DANS LE CAS DE L'EAU

3.1 - OBJECTIFS DE L'ÉTUDE PARAMÉTRIQUE:

Pour des raisons de confort. la dalle chauffante doit être exploitée de telle façon que:

- la température maximale sur le plancher ne dépasse pas 28 à 30°C [20] , [ E l ,

- I'écart entre la température maximale et la température minimale atteintes sur le

plancher ion des cycles de stockage et de déstockage soit le plus faible possible.

De plus on veut:

- que la consommation d'électricité nécessaire au chauffage se fasse en dehors des heures

de forte demande,

- que cette consommation d'électricité soit minimale.

Compte tenu de cela. il s'agit dors essentiellement de déterminer:

- les épaisseurs optimales des couches de béton.

- l'épaisseur optimale de la couche d'eau.

- la température minimale que doit atteindre I'eau pour que le chauffage soit suffisant ( la

température minimale à la surface de la dalle doit être supérieure ou égale à 20°C ).

Pour atteindre ces objectifs. on a choisi la "stratégie de stockage" suivante:

Étant donné que les périodes de forte demande d'électricité se situent entre 7 heures et 8

heures le matin et entre 20 heures et 22 heures le soir. on dispose de 8 heures de temps continu

(entre 12 heures et 6 heures du matin par exemple) pour stocker I'énergie électrique sous forme de

chaleur latente essentiellement dans un "matériau à changement" ( MCP ) tel que la paraffine. Les

16 heures restantes de la journée comprenant les heures de pointe ( heures de forte demande

d'électricité ) seront réservées au désrockage de la chaleur emmagasinée durant la période de

stockage précédente. Ce qui nous amène. dans toutes les simulations numériques à couper le

counnt ( puissance fournie par la source de chaleur égale zéro ). après 8 heures continues de

stockage. Cependant. durant ces 8 heures de stockage. si la température de I'eau atteint une

température maximale fixée d'avance ( par exemple 30 OC ). le courant est égaiement coupé

automatiquement.

3.2- DETERMINATION DES ÉPAISSEURS DES COUCHES DE BETON ET D'EAU:

Dans une première approche. on a fixé I'épaisseur de la couche inférieure de béton. et on zi

fait varier l'épaisseur de la couche supérieure ainsi que I'épaisseur de la couche d'eau au cours

d'une sirie de cycles de stockage et de déstockage s'italant sur une durée de 170 heures. Les

figures 3.1 .a et 3.1 .b montrent que lorsque I'épaisseur de la couche supérieure de béton augmente.

la température maximale au plancher diminue tandis que sa température minimale au, =mate.

Ceci peut être explique de [a façon suivante: si on fournit ( au cours de la période de stockage par

exemple ) une même quantité de chaleur à une plus grande masse de béton 5 partir d'une même

température initiale. la température h a l e de cette masse de béton sera moins Clevée. En

particulier la température maximale sera moins élevée. En effet. soit T, la température moyenne

initiale des deux couches de béton de masses respectives ml et m. Tb, et T,, leurs températures

finales respectives à la fin de la période de stockage. Au cours de cette période de stockage. la

quantité de chaleur fournie aux deux masses de béton s'exprime par:

et aussi par:

Or Q, = Q2 . donc si a-> m! . alors T,, > T,, ( on suppose aussi que C,, = Cr: ).

De même. si on retire ( au cours de la période de déstockage par exemple ) la même

quantité de chaleur à une plus grande masse de béton i partir de la même température initiale. la

température finale de cette masse de béton sera pius élevée. En particulier la température

minimale atteinte sera plus devée.

i Figure 3.1 .a- ~em~6rature maximale du plancher en fonction de l'épaisseur de la couche supérieure de béton 1

I pour une épaisseur de la couche d'eau de 3 cm I

3 4 5 6 7 8 9

Épaisseur de la couche supérieure de beton [cm]

- . - - - - .. . . -- - - . - - - - -

~ igure 3.1 .b- ~empérature minimaie au plancher en fonction de l'épaisseur de la couche supérieure de béton pour une gpaisseur de la couche d'eau de 3 cm

3 4 5 6 7 8 9

Épaisseur de fa couche supérieure de béton (cm]

La température maximale atteinte diminuant et la température minimale atteinte

augmentant avec la masse de bétoc, l'écart entre les deux, défini comme l'écart maximal de

température au plancher sera d'autant plus faible que la masse de béton augmente.

La figure 3.2 confirme aussi ce résultat et montre en plus que l'écart maximal de

température au plancher diminue aussi avec l'augmentation de l'épaisseur de la couche d'eau. En

effet, si la masse d'eau augmente. une partie de I'inergie fournie par la source de chaleur s e n

absorbée par la masse d'eau rajoutée et ne contribuera donc pas à augmenter la température du

béton qui atteindra dors des températures moins élevées. Au cours d'un refroidissement au

contact de l'air ambiant, le béton continue de recevoir de [a chaleur de la part de L'eau ( qui est

plus chaude ). et cette quantité de chaleur reçue est d'autant plus grande que la masse dweau est

importante: ce qui explique que le béton atteindra des températures moins basses.

Sur la figure 3.3. on peut voir que la consommation d'électricité diminue Ionque

ITÇpaisseur de la couche supéneure de béton augmente. et qu'elle augmente lorsque l'épaisseur de

la couche d'eau augmente. En effet, plus l'épaisseur de la couche supérieure est importante plus

le refroidissement de l'eau est freiné ( car l'eau est alors moins exposée B la température de l'air

ambiant qui est la température la plus basse ). L'eau aura donc moins besoin d'être réchauffée.

c'est-à-dire qu'elle demandera moins de chaleur pour atteindre sa température maximale de

fonctionnement. On consommera donc moins d'électricité. Par contre. lorsque I'ipaisseur de la

couche d'eau augmente. sa masse augmente aussi: on aura donc besoin de plus de chaleur pour

élever sa température jusqu-à son niveau maximal de fonctionnement. On consommera donc plus

d'électricité dans ce cas.

On a donc intérêt 5 augmenter autant que possible l'épaisseur de la couche supérieure de

béton. Quand au choix de ['épaisseur de la couche d'eau. il faudra faire un compromis. vu que

l'augmentation de celle-ci entraine une diminution de la différence maximale de température au

plancher et une augmentation de la consommation d'électncité. Cependant, on ne peut pas se

permettre d'avoir un plancher trop epais malgré l'avantage dans tous les cas d'augmenter

l'épaisseur de la couche supérieure de béton. En effet. le "Code national du batiment" [JI fixe

l'épaisseur minimale des planchers en béton des résidences à 75mm pour la dalle proprement dite.

- -. . - - - - . - - - - - .. - - - - a -. . - - . - - - - - Figure 3.2- Écart max. de température en fonction de 1'6paisseur de la couche d'eau a

0.010 0.020 0.030 0.040 0.950 Épaisseur couche d'eau [rn]

- -. -. - - -

0.020 0.030 0.040

Épaisseur couche d'eau [ml

plus 2Omm pour la chape d'usure qui vient s'ajouter directement sur la dalle. Ce qui fait 95 mm de

béton au minimum au dessus de la couche d'eau. On ne peut donc choisir une épaisseur inférieure

à 95rnrn de béton au dessus de la couche d'eau. Comme cette épaisseur nous pan î t déjà assez

importante. et donne par ailleurs des résultats satisfaisants du point de vue thermique. dors fixons

celle-ci à 95rnrn.

Faisons maintenant varier l'épaisseur de la couche inférieure ainsi que l'épaisseur de la

couche d'eau. On peut voir sur la figure 3.4 que. comme dans le cas précédent. l'écart maximum

de température au plancher diminue lorsque I'Cpaisseur de la couche inférieure de béton

augmente et/ou lorsque l'épaisseur de la couche d'eau augmente. Ceci s'explique de la. même

faqon que pour le cas précédent. D'autre part. la figure 3.5 montre que la consommation

d'électricité augmente avec l'épaisseur de la couche inférieure de béton ainsi qu'avec Epaisseur

de la couche d'eau. On peut expliquer cela par le fait qu'il faut uns quantité de chaleur

supplémentaire pour chauffer le béton et/ou l'eau mjoutés.

Le tableau 3.1 récapitule les résultats énoncés ci-dessus et montre que si l'on a pu choisir

assez rapidement I'Çpaisseur de la couche supérieure de béton. i l n'en est pas de même pour

IYpaisseur de la couche inférieure et de la couche d'eau.

Tableau 3.1 - Sens de variation de différents mramètres de conce~tion de la (( dalle chauffante ».

AT maximum au

plancher

Consommation

d'électricité

Épaisseur de la couche inférieure de

béton fixée

Épaisseur de la

zouche supérieure

de béton

Épaisseur de la

couche d'eau

Épaisseur de la couche supérieure de

béton fixée

Épaisseur de la

couche inft5rÏeure

de béton

Épaisseur de la

couche d'eau

Figure 3.4- Écart rnarde température au plancher en fonction de ldpaisseur de la couche d'eau 1 1

0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 Épaisseur de la couche d'eau [ml

- - - - -

Figure 3.5- Consommation d'electricite en fonction de I'epaisseur de la couche d'eau

0.020 0.030 0.040

Épaisseur de la couche d'eau [ml

-- ---- - A - - - - - . - -- - - .

figure 3.6- Variation de la conxunmation dcelectrïcit8 et de l'écart max de temphrature en fonction de I'6paisseur de la coudie d'eau

Épaisseur de la couche d'eau [rn] i

-- Figure 3.7- Variation de l'épaisseur de la couche d'eau en fonction de la température min. au plancher 1

1

~ernpérature minimum du plancher [l<l - - - -- -- -

Pour choisir ces deux paramètres. on a réuni dans la figure 3.6 les graphes des variations

de la consommation d'électricité et de la différence maximale de température en fonction de

l'épaisseur de la couche d'eau. La consommation d'électricité augmentant et l'écart maximum de

température au plancher diminuant lorsque l'épaisseur de la couche d'eau augmente. et vu

l'objectif fixé de choisir des épaisseurs qui minimisent ces grandeurs. on est amené à choisir une

solution de compromis. Cette solution de compromis se trouve 5 l'intersection des courbes de

consommation et d'écart maximum de température. De plus. parmi toutes les solutions

correspondants aux points d'intersection des séries de courbes de la tigure 3.6. la meilleure est

éviderment celle qui donne les plus faibles valeurs de la consommation d'ilectricité et d'écart

maximum de température. Cette solution qu'on pourrait qualifier d'optimale est: 0.027 rn pour

I'Zpaisseur de la couche d'eau. et 0.03 m pour celle de Iri couche de béton. En effet. ces valeurs

assurent le meilleur compromis entre ces deux grandeurs qui varient dans des sens contraires.

3.3- ÉPAISSEUR MINIMALE DE LA COUCHE D'EAU:

La figure 3.7 montre que pour chaque valeur de l'épaisseur de la couche inférieure de

béton ( l'épaisseur de la couche supérieure étant fixée B 95 mm ). il y a une valeur minimale de

l'épaisseur de la couche d'eau en dessous de laquelle le chauffage ne serait pas suffisant. Par

exemple. pour l'épaisseur de 30 mm de béton au bas. I'Cpaisseur minimale de la couche d'eau

pour que le chauffage soit suffisant est de 16 mm. En effet. pour une valeur inférieure i 16 mm. la

température du plancher descendrait au dessous de 293 K ( 20°C ) qui est la température de l'air à

i'intérieur de la pièce. I! y aurait alors un tlux de chaleur dans le sens inverse au sens désiré ( l'air

chaufferait d o n le plancher au lieu du contraire ). Lü ligne d'épaisseur minimale » délimite la

zone des épaisseurs de la couche d'eau non permises ( zone à gauche de cette ligne ).

3.4- DÉTERMINATION DU NIVEAU DE TEMPERATURE DE L'EAU:

On veut que le chauffage soit:

- suffisant: La température de l'air doit être maintenue à 20°C par un flux de chaleur

constamment dirigé du plancher vers l'air et non l'inverse.

- pas trop intense: La température du plancher ne doit en aucun cas dépasser 30°C.

Dans le cas de la « dalle chauffante » dont les dimensions ont été précédemment

déterminées ( paragraphe 3.2 ). la figure 3.8.a montre que la température maxirnaie de l'eau doit

être fixée au moins à 300 K. sinon. à certains moments le plancher sera plus froid que l'air

ambiant ; et ce même si I'on augmente considénblemenr la puissance de la source de chauffage:

en effet. comme le montre la figure 3.8.b. pour une température maximale de l'eau fixée à un

niveau inférieur à 300 K ( en l'occurrence 299 K ). même lorsqu-on augmente la puissance de la

source. Le flux de chaleur devient négatif vers la tin de la période de déstockage et au début de la

période de stockage. ce qui veut dire que trop de chaleur a été extraite à l'air de la pièce qui voit

dors SB température passer au dessous de 20°C. Ceci est dû au hit que lorsqu'on augmente la

puissance de chauffage. la température maximale fixée pour l'eau est atteinte plus vite pendant la

période de stockage ( figure 3.8.c j. Or dès que l'eau atteint cette température. le courant

electrique alimentant la source de chaleur est coupé. ce qui fait que lorsque cette température

maximale est fixée trop bas. la quantité de chaleur transférée vers I'liir devient insuffisante pour

maintenir sa température constamment à 10°C. Par contre. comme le montre la figure 3.8.d. si

I'on fixe la température maximale de l'eau à un niveau supérieur ù 300 K. le Aux de chaleur

transféré vers l'air est toujours positif, même pour une puissance de chauffage relativement

faible.

Figure 3.8.a- Niveau minimal de ta température fixée pour Veau

r [ " " j 7 - - . T m . l r 7 , @ = 25 watt&

EH = 9.5 cm 1'.

€6 =3cm H = 2.7 cm /' Qe = '1 20 Watts

P 1 1

Qe = 1 1 Watts

~empérature maxime fixée pour l'eau (1(1

- - - T

Figure 3.8.b &ergie céd& à l'air de la pi&e en fonction du temps pour différentes valeurs de ia puissance de la source

1 ' 1 " 1 !

1 Figure 3.8.c- ~ e m ~ & a t u r e de l'eau en fonction du temps I

de I'eau ri& a 303 K

l figure 3.8.4- Energie c&& à l'air en fonction du temp pour une température

I

1

Enfin, la figure 3.8.e montre l'évolution de la température au plancher en fonction du

temps pour différentes épaisseurs de la couche d'eau. L'écart maximal de température au plancher

diminue bien avec Ilaugmentation de L'épaisseur de la couche d'eau comme le montre également la

figure 3.4.

Figure 3.8.e- Évolution da la température au plancher en fonction du temps pour différentes épaisseurs de la couche d'eau

Temps [heures]

La dalle chauffante aura finalement les caractéristiques suivantes:

- Dimensions:

- Surface horizontale de forme carrée de 0.33 m de côté.

- Épaisseur de la couche supérieure de béton: EH = 0.095 m.

- Épaisseur de la couche inférieure de béton: EB = 0.03 m.

- Épaisseur de la couche d'eau: H = 0.027 m.

- Type de béton:

- couche inférieure: béton isolant et porteur de densité égale à 1200 kg/m3 [BI,

- couche supérieure: béton normal de densité 2300 kgm' [25].

- Puissance de chauffage: P = 1 I Watts.

- Écart maximal de température au plancher: 3.8 OC.

- Consommation d'électricité: 1415.2 kl/m2 en 10 jours.

3.5- IMPORTANCE DU RAYONNE-MENT THERMIQL'E

Dans le but d'évaluer I'imponance du rayonnement thermique. différents paramètres ont

Cté calculés dans le cas de la dalle chauffante retenue ( paragraphe 3.4 1. Les résultats de ce calcul

dans le cas où le rayonnement est considéré et dans le cas contraire sont résumés dans le tableau

3.3.

Tableau 3 -2- Résultats illustrant 1' importance du ravonnement thermiaue.

Rayonnement

négligé: e = O

Rayonnement

considéré: e = 0.9

Erreur commise si

on néglige le

rayonnement

Énergie cédée à

l'environnement

(air + parois) en

1 20 heures

[k~lrn']

Consommation

d'ilectricité [kJl

- - - - - - - -- - - -

Température

minimale du

plancher [OC]

Température

maximale du

piancher ["Cl

Ces résultats ainsi que les figures 3.9 et 3.10 montrent que le rayonnement joue un rôle

important dans les phénomènes de transfert therrpiques étudiés ici et qu'on ne peut par

conséquent pas le négliger.

On remarque en particulier que la quantité de chaleur cédée à l'air est nettement plus

imponante dans le cas où le rayonnement n'est pas considéré. De même. la température du

plancher est plus grande dans ce cas ( figure 3.10 ). Ceci peut être expliqué par le fait qu'en

négligeant le rayonnement, on néglige du même coup la quantité de chaleur transférée par

radiation. Or. si celle-ci n'est pas évacuée. elle s'accumule au niveau du plancher et élève

considérablement sa température. Le plancher étant ainsi plus chaud que dans le cas où le

rayonnement est pris en compte. va transmettre plus de chaleur vers l'air environnant par

convection naturelle.

Temps [heures]

Figure 3.1 0- ~empérature à la surface de la dalle pour un plancher rayonnant et un plancher non rayonnant

Émissivite - - - - - E=@.9

E = 0.0

20 40 60 80 i 00 120

Temps [heures]

Chapitre 4

MODÉLISATION DANS LE CAS DE LA PARAFFINE N-OCTADÉCANE

4.1.1- Hypothèses

1. Le transfert de chaieur dans le béton et dans le MCP se fait par conduction dans

la direction verticale x seulement ( conduction unidimensionnelle en régime

instationnaire-

2. Le béton et le MCP sont homogènes et isotropes.

3. Les propriétés thermiques du MCP et du béton sont indépendantes de la température

(les écarts de température scnt relativement faibles). Elles peuvent toutefois être

différentes pour les phases solide et liquide du iMCP (Tableau 4.1 ).

4. Les effets associés à la différence entre les masses volumiques des phases liquide et

solide sont négligés (pas de mouvement du MCP).

5. La face inférieure de la dalle est isolée thermiquement ( paroi adiabatique i .

6. La chaleur est transmise de la surface supérieure vers Ià i r de la pièce par convection

naturelle et rayonnement.

7. Le MCP change de phase à température constante et les phases liquide et solide sont

séparées par une interface plane à cette température.

8. La chaleur latente est constante et est libérée ou absorbée ii la température de

changement de phase.

4.1.2- Équations de conservation de l'énergie

cause du fait que la paraffine n-octadécane change de phase au cours de l'exploitation du

système. la "méthode enthalpique" [26] a été choisie pour la formulation et le traitement de

l'équation de l'énergie. Que ce soit pour le MCP ( paraffine n-octadécane ) ou le béton. compte

tenu des hypothèses précédentes. on peut écrire l'équation de l'énergie sous la forme suivante:

où l'enthalpie volumique totale H. fonction de la température T peut être décomposée comme

somme de l'enthalpie sensible ( ou chaleur sensible ) h(T) et de la chaieur latente

et où q"' est la puissance fournie par la source de chaleur lorsqu'elle existe: dans Ir cas traité ici

q"' = O aussi bien dans le béton que dans la paraffine. Cependant un tlux de chaleur est fourni au

niveau de l'interface béton bas - paraffine (figure 1 . 3 .

Mettant (4.3) dans (4.1 ). on obtient

d (h) d f , - d ( k g ] + q t t t tp , L---

d t d t d x

ou bien

a étant la diffusivité thermique du matériau considéré (MCP ou béton selon le cas) Cgale B Wpc.

et p'et f, désignant respectivement la masse volumique de la phase solide et la frocrion liquide

locale (dans le cas où le matériau considéré change de phase).

Lorsque le changement de phase s'effecrue à température constante T=T,,, ( comme dans le

cas étudié ici ), alors

Dans le cas du béton, f, = O et q" = O . donc l'équation (4.4) s'écrit

L'enthalpie sensible peut s'écrire

T

hm=/ P T"

où T, est une température de reférence q u i désigne ici la température de fusion du MCP considéré

( en l'occurrence la paraffine n-octadécane ). Si pc est constant comme c'est Ir cüs dans [a

présente étude ( d'après l'hypothèse 3 posée précédemment ). dors on aura

De plus. si l'on pose Tm= O. dors on pourra écrire

h(T)= p c T

L'ichelle de température est ainsi décalée de TYn. et i l hudra en tenir compte dans les calculs.

4.1.3- Conditions aux limites

- Frontière béton - isolant ( .u = O 1: paroi adiabatique

- À l'interface béton bas - paraffine:

Cette équation peut être retrouvée en faisant tendre Ax vers O dans l'équation B 17 de

I'annexe B.

- À l'interface béton haut - paraffine:

- .i 1' interface béton - air:

Le transfert de chaleur de la dalle de béton vers le milieu environnant se fait par convection

naturelle et rayonnement. On a donc:

avec

où h, est le coefficient de transfert par rayonnement.

T, la température du béton au niveau du plancher.

T,_ la température des parois environnantes entourant la dalle. supposée constante et égale à

13°C. et

h, le coefficient de convection à l'interface bCton - air. estimé à l'aide de la même corrélation

empirique que dans le cas de l'eau [?A]:

L étant la longueur caractéristique de la dalle égale au rapport de sa surface à son périmètre.

h Il

Utilisant la relation (4.7). on peut remplacer T par - + T,,, . et 1'Cquation (4.1 1 ) devient P

toutes les températures étant exprimées en degrés K.

4.2- MODÈLE NUMÉRIQUE DE RÉSOLUTIOS

4.2.1- Discrétisation et résolution numérique de l'équation de l'énergie:

II s'agit de l'équation 4.4 dans le cas de la paraffine. et de l'équation 4.5 dans le cas du

béton. Pour résoudre ces équations, an utilise. comme dans le cas de l'eau, la méthode des

volumes finis combinée avec un schéma implicite.

La dalle chauffante sera discrétisée en volumes de contrôle comme indiqué dans le schéma

suivant représentant le domaine d'intégration pour les couches de béton et de MCP:

Pour la couche de p&ne. l'équation de I'Çnergie s'écrit sous la forme 4.3. Intégrant cette

équation dans un volume de contrôle et dans le temps. elle prend la forme suivante:

Comme dms le cas précédent. on tombe sur un système linéaire tridiagonal ù résoudre. Les

détails de caicul se trouvent dans l'annexe B.

1.2.2-Algorithme de calcul:

L'équation de 1-énergie est résolue sous la forme 4-14 pour le MCP et pour ie béton. Dans

le cas de la paraffine. à chaque itération le résoluteur TDMA résoud IWZquation 4.14. et tout de

suite après. une mise à jour de la fraction liquide est effectuée (formule .... de I'annexe B ) avant de

passer au test de convergence; tandis que dans le cas du béton 1. il n'y a pas lieu de calculer la

fraction liquide: le résoluteur TDMA fournit le champs d'enthalpie. et juste après on passe au test

de convergence.

Début u 1 initialkation des variables I

1 Calcul des coefficients des systèmes linéaires tridiagonaux

l(pour le béton et le MCP). i.r. calcul des coefficients de I'equation

algébrique 4.15 en chaque noeud

Résolution du système 4.15 à l'aide du résoluteur TDMA:

calcul des champs d'enthalpie et de fraction liquide (pour le MCP)

f

Mise à jour de la fraction liquide

1 nouvelles vdeurs de f, (pour le MCP)

Non

1 Impression des résultats I

La tolérence prise en compte pour déclarer la convergence ( ou la non convergence ) est de

10" comme indiqué sur l'organigramme de calcul ci-dessus.

Le modèle numérique est validé de deux façons:

- par comparaison à la soiution analytique de Neumann au problème de Stephan [27]: le

problème posé au pangraphe 4.3.2 est résolu analytiquement. puis h ['aide du modèle numérique

proposé. Les deux solutions sont ensuite comparées.

- expérimentalement en comparant les résultats théoriques aux résultats expérimentaux.

4.3.1- Validation par comparaison à la solution analytique:

1.3.1 . 1 - Problème de Stephan our un bloc D de MCP fondant ri partir de la pauche:

II s'agit de la fusion d'un bloc semi-intini ( O 2 x 2 = ) d'un MCP pure. initialement *i Iri

température de fusion T = Tm. On lui impose une température constante Tl- > T,, à la frontière

ouest ( I = O ). et il est isolé panout ailleurs. On suppose que toutes les propriétés

thermophysiques sont constantes: p. c,. k.. .. y . = k,/pc, sont des constantes ( l'indice .< , référant

C la phase liquide). De plus. durant la fusion. la phrise solide est supposée irre i la température de

fusion T3, de même que l'interface liquide-solide ( qui est par oillrurs supposCe plane ).

On suppose de plus que le transfert de chaleur se fait uniquement par conducrion à trwers

le MCP.

La solution analytique à ce problème est la << solution classique de Neumann .b [27].

D'après cette référence. la position du front de fusion est donnée par:

où est la solution de « I'Cquation transcendantale .b suivante:

où St, est le nombre de Stephan égal à c,ilT,-/L. avec

S .

2 f - À' h À erf(Âi = - i A-- +--- t.. . f i [ 3.1 S.2! 7-31

Une approximation analytique utile de Iii rxinr i. de I'6quation transcendantale i 4.43 est

donnée par:

Cette approximation engendre une erreur inférielire i 1% pour O < S, < 0.53 1 pour le cri';

de la fusion d'un bloc de paraffine n-octadécane St = 0.109 i . ct inRrieure ii 5'7 pour 0.33 < Sr <

4.33 [27].

4.3.1.2- .A~~lication 5 la fusion d'une couche de parrifilne n-octadécane:

Une couche de MCP ( paraffine n-ocradécane i de 4 cm d'ipaisseur ( ordre de grandeur

utilisé dans 1'Çtude paramétrique ) est initialement i l'titrir solide et i la tempénirure de 28 =C qu i

est aussi sa température de fusion. La « face ouest )> est wumise ri une température constante de

35 OC. tandis que la <t face est w est supposée isolCe rherrniquement ( adiabatique J.

La position du front de fusion en fonction du temps 1 Cté déterminée rinülytiqurment h

l'aide de l'équations (1.42). puis numériquement à l'aide du modèle proposé.

La figure 4.1 montre la position du front de fusion en fonction du temps pour différents

maillages et différents pas de temps. On constate qu'un pas de temps de 5s pour un maillage de

8! noeuds ( dx = 0.5 mm ) donne une cc courbe numérique )k très proche de la .. courbe

analytique D: L'ican entre les deux est inférieur i 1 %.

Figure 4.1 - Position du front de fusion en fonction du temps pour différents marllages

et différents pas de temps

Temps [heures]

4.3.2- Validation du modèle à l'aide de résultats expérimentaux:

4.3 -2.1 - Descri~tion de l'expérience:

Le montage expérimental est à peu près le même que dans le cris de l ' eu comme ClCrnent

de stockage de chaleur: ['enceinte parallélépipédique en Plexiglas disposée horizontalement. de

dimensions intérieures 40 mm de longueur par 70 mm de largeur et par I-lmm de hauteur contient

13 mm de paraffine n-octadécane initialement à 20.5 'C. Les résistances chnufî3ntes en cuivre

d'épaisseur négligeable et au nombre de 19 sont disposées au tond Je l'enceinte. et iine plaque

d'aluminium de 0.2 mm d'ipaissrur rsr installée sur ces résistances afin de rendre Ir Hux de

chaleur dégagé uniforme ( figure 4.2 ): i l a eté irerifié i ['aide des 3 thrrmocouples collés sur la

plaque d'aluminium que la température de celle-ci est uniforme.

Thermocouples

. Ordinateur P.C.

I I I 1 1 Carte d'acquisiton 1 1 1 1 1 de données

Enceinte en plexiglas isolée par le fond et les parois latérales

Un thennocouple placé à 10 mm de la plaque chauffmte permet de relever I'évolution

temporelle de la temperature de la paraffine en ce point. Les pertes de chaleur à travers les parois

laréraies et le fond de ['enceintes sont évaluées h l'aide de 4 thennocouples: 2 disposés de chaque

côté d'une des parois latérales. et 2 autres de chaque côté de la paroi du fond. En effet. il y a des

pertes de chaleur par les parois malgré que celle-ci sont recouvertes d'un isolant thermique

( polystyrène] de 2.54 cm d'épaisseur.

La puissance électrique fournie à la source de chaleur est de 280 Wrn:.

Le temps de stockage d'énergie est de 3 heures et 55 minutes. ce qui a permis la fusion

complète du MCP et une surchauffe de la phase liquide. Le distockage de chaleur par convection

naturelle et par rayonnement vers l'environnement a duré 16 heures environ.

4.3.2.2- Résultats et commentaires:

L'Cvolution temporelle de la température au point situé 5 IO mm du fond de l'enceinte a

ité Cgalement déterminée à l'aide du modèle théorique. Les caractéristiques physiques du

Plexiglas et de la paraffine n-octadécane utilisées J;ins Ir code numerique sr trouvent dans les

tableaux 7.1 et 4. L respectivement. Les pas de temps et d'espace sont ceux déterminés dans le

paragraphe précédent t dt = 5s et dx = 0.5 mm 1. Le çoefticient de trmsfert de chaleur par

convection naturelle h, entre lü surface supérieure de l'enceinte et ['air environnant a CtC estimé à

l'aide de la même corrélation utilisée dans le cas de I'cau ( Gquation 2.7 ct a et6 rrouvt Cgtii i 4

Wm'. K-

La figure 4.3 représente les résultats expérimentaux en çompürüison avec les résultats

numériques obtenus avec une conductivité thermique k: de la phase liquide basCe sur la

çonduction pure ( O. 149 Wm.K ). On remarque que I'Cvolution générale des phénomènes de

stockage et de déstockage est assez bien prédit. mais qu'il y ri un certain écart entre les résultats

du point de vue quantitatif: pour la "courbe numérique". la fusion commence plus tôt et se

termine plus tard. les tsmpCratures atteintes au cours de ln surchauffe de ln phase liquide sont

nettement plus élevées.

- - --

Figure 4.3- ~ernpérature de la paraffine au point d'abscisse x=l Omm en fonction du temps pour kL=O. 149 I

f i / '\ ~ésultats

- I ! M . - i ':,

- Numenques i - ~xp6rimentaux

-

i 4 L

-

A 4 \

t 4- &

4 , -

O 5 10 15 20

Temps [heures]

figure 4.4- Température de la paraffine au point d'abscisse x=l Omm en fonction du temps

pour k L=0.325

Temps [heures]

Cet écart entre résultats numériques et résultats expérimentaux tient au fait que jusqu'à

présent. le modèle numérique ne tient compte que de la conduction et ignore I i i convection

naturelle qui en réalité joue un rôle important dans les phénomènes de transfert de chaleur qui ont

lieu dans la phase liquide du MCP.

Pour remédier à cette lacune. et tenir compte de la convection naturelle qui ri lieu dans la

phase liquide. une conductivité thermique effective k; a C d introduite sous la forme proposée par

Fxid et Husian [ 7 1:

k, = ( C Ra" i kt,

Ra étant le nombre de Rayleigh base sur I'kpaisseur de tu couche de kt phrise liquide:

o ù T,, est Iri température de la plaque chauffante de l'ordre de 32 'C. et H I'Cpaissrur de Ia souche

tondue.

La relation (4.46) est valable pour des nombres de Rayleigh inferieurs ou çgaux 5 10- [7].

Une application numérique de la formule (4.47) tenant compte des caract6ristiqurs

physiques consignées au tableau 4.1 donne un nombre de Rayleigh de 193735 qui est bien

inférieur i IO-.

Pour déceminer la conductivitk effective k! . nous avons riu_oment6 progressivement k.

jusqu'à ce que les résultats numériques correspondent t i ~ i mieux aux résultats sxpCrimrnraux. Le

résultat obtenu en prenant k, = 0.325 est illustré par la figure 4.4. Pour cette valeur de k, cr pour n

= 0.25 [7]. on peut obtenir le coefficient C de I'iquation (4.461 :

C = k, / (Ra)': 0.149

C = 0.325 / 0.149 r 1937381""

= 0.1

On retrouve la valeur de C déterminke par Fxid et Husim 171.

La bonne concordance des résultats théoriques avec les résultats expérimentaux. après la

prise en compte de la convection naturelle ( par l'adoption d'une conductivité effective k, )

confirme l'existence de cette dernière ainsi que son importance. L'écart relatif entre ces résultats

i i.r le rapport ( ITc~,-T~umI/T~,p ) * 100 ) est représenté à chaque instant à la figure 1.5. On remarque

que bien qu'il soit assez modéré. cet écart est plus important lorsquïl correspond ~ la chaleur

zsnsibfe ( par exemp!e la température maximale atteinte i 1a tin de Iri période de stocka, ae est de 2

' C moins élevée dans le cas des résultats expérimentaux 1. Ceci peut s'expliquer par le fait que

lors de la période de stockage de chaleur. l'expansion \rolumique de la paraffine chasse ['air

relativement chaud qui se trouvait entre la couche de MCP et la paroi supérieure de l'enceinte.

Une petite quantité de chaleur est ainsi soustraite h la paraffine durant son expansion. Le

programme de calcul théorique ne tient pas compte de ceia. D'où I'ican en question.

Tableau 4.1 - Propriétés ohvsioues de la paraffine n-octadécane [ 1 1 ].[ 17].[2S]

Densité [kg/rni] à 30 OC

liquide : pL

solide : p,

Chaleur latente [mg] : L l 243.5~ 10'

Chaleur spécifique U/kg.K] :

-liquide: c!-

- solide : c,

Conductivité Wlrn.iS1 :

- liquide : E;!.

- so[ide : k,

coefficient d'expansion [K '1 : P 1 0 . 9 ~ 10 '

Point dlSbullition : I 165.56 =C

Viscosité dynamique [kg/rn.s] : p

( S O T )

Point d'inilammation :

---

3 . 8 ~ 10 '

317°C

Figure 4.5- Erreur relative en fonction du temps

Temps [heures]

Chapitre 5

5.1- OBJECTIFS DE L'ÉTUDE PARAMETRIQUE:

Les contraintes itanr les mêmes que dans le cas de l'eau ( parqaphe 3.1 1. il faudra

déterminer les epaisseurs optimales des couches de beton et de paraffine.

La stratégie de stockage est la même que dans le cas de l'eau: le stockage dure 8 heures et

s'effectue pendant la période de faible demande d'drctricité et le déstockage dure 16 heures.

5.2- DETERMINATION DES ÉPAISSEURS DES COUCHES DE BÉTON ET DE

PARAFFINE:

52.1- Détermination de l'épaisseur de la couche supérieure de béton:

Une démarche analogue i celle suivie dans le cas de l'eau comme agent de stockage

ci'thergie a été adoptée. D'abord. I'tipaisseur de Iri couche inférieure de béton itant tïxée. on fait

varier l'épaisseur de la couche supérieure et celle de la couche de MCP ! paraffine n-octadécane)

au cours d'une série de cycles de stockage et de désrockage s'étalant sur une durée de 240 heures

i 10 jours ). c'est à dire le double de celle choisie dans le cas de l'eau. et ce parce que le régime

périodique stable met plus longtemps i s'établir dans le cas de la paraffine.

La figure 5.1 montre I'evoiution de la température minimale f Tmin 1 au plancher en

fonction de Epaisseur de la couche de MCP pour une épaisseur de 3 cm pour la couche inférieure

de béton et de 7 cm pour celle de la couche supérieure. On distingue 3 zones. les zones i et 2

dtant séparées par Lin "point anguleux" où il y a un changement brusque de la pente de la courbe.

. -- - - - - - - - - - - -- - - - - -

Figure 5.1 - ~empérature minimale au plancher en fonction de 116paisseur de la couche de paraffine.

Zone 2

Épaisseurs des couches de béton [cm]

haut: 7 bas: 3

Zone 3

0.01 0 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070

Epaisseur de la couche de paraffine [ml - - - - - -

- - .

Figure 5.2- ~ernpérature minimale au plancher en fonction de 1'6paisseur de la couche de paraffine

/

Epaisseur de ta couche supérieure de béton [cm] - 5cm - 7cm - 8cm + 9.5 cm - I l c m

Epaisseur de ta coucre de paraffine [ml

Pour des épaisseurs inférieures à cefie correspondant au point A ( zone 1 ). l'augmentation

de Tmin est uès rapide. puis entre A et B. cette augmentation devient très lente. Ceci peut être

expliqué de la façon suivante:

La zone I correspond à des épaisseurs de MCP telles que la totalité de celui-ci fond

pendant les 8 heures de stockage. La paraffine liquide obtenue lors de la fusion est d'autant plus

surchauffée au dessus de la température de hsion que ?ion épaisseur est faible. Ai la fin de la

fusion du LMCP une certaine quantité de chaleur y est emmagasinée sous forme latente. puis

pendant le reste du temps de stockage. de I'tnergie continue 5 :: erre emmagasinée sous forme de

chaleur sensible du liquide. Ce qui fait que durant ia période de déstockage i 9 la t7n de laquelle

Tmin est atteinte 1. cette chaleur sensible de surchauffe du MCP liquide va Ctre la première à être

dégagée et a diffuser à travers le béton. ensuite c'est au tour de la chaleur latente d'être libérée

jusqu'h soiidification complète du MCP. D'autre put. il y' ;i d'autant plus de chaleur latente

emmagasinée dans le LMCP ( chaleur qui sera ensuite libérée lors du déstockage ,. que l'épaisseur

de celui-ci est grande. C'est ce qui explique la monttc de plus en plus rapide de Tmin au fur et à

mesure que l'épaisseur de la couche de MCP augmente dans cette zone.

Pour une épaisseur de MCP égale B ce!le correspondant au point A i limite entre les zones

1 et 2 ). il y' a fusion complète du MCP mais pas de s~irchauffe de celui-ci. du moins pas de

surchauffe du MCP se trouvant dans Ir volume de contrôle le plus haut.

Dans la zone 7. c'est i dire pour des Cpaissrurs de MCP comprises entre les points ,A et B.

I'Cnergie fournie par la source de chaleur pendant les Y heures de stockage ne suftira pas pour

faire fondre toute la paraffine: une couche solide qui ne fond jamais apparaîtra sur la couche de

MCP liquide et agira comme un isolant thermique: en effet sa conductivité thermique qui est de

0.35 W/m.K est 4 fois moins élever que celle du biton qui est de 1 . 1 Wm.K. Cette couche de

MCP solide de mauvaise conductivité thermique s'interpose entre le plancher béton , et les

couches chaudes avoisinant la source de chaleur. Ceci ainsi que l'absence de Ia phase liquide dans

les couches supérieures de MCP. et donc aussi l'absence de chaleur sensible de cette phase tdans

cerre zone 2) explique le rdrntissement brutal de l'augmentation de ia température minimale

atteinte au plancher.

Enfin. dans la zone 3. la diminution de Tmin s'explique par le fait qu'6 partir d'une

certaine épaisseur de la couche de MCP correspondant au point B. In couche de paraffine qui

reste solide devient sut'fisümrnent épaisse pour que le Rux de chüleur transféré de la source vers le

plancher devienne plus faible que celui évacué p u le plancher vers l'environnement.

La figure 5.2 montre l'évolution de la température minimale au plancher en fonction de

I'Spaisseur de la couche de .MCP pour une épaisseur de la couche inférieure de béton de 3 cm et

pour différentes valeurs de I'ipaisseur de la couche supérieure de béton. On remarque que ies

courbes obtenues se croisent deux à deux. c'est % dire que pour des épaisseurs de la couche de

MCP relativement faibles. Tmin est d'autant plus grande que I'Cpaisseur de la couche supérieure

de béton est grande. C'est l'inverse qui se produit lorsque l'épaisseur de la coiiche de MCP

dipasse la valeur correspondant au point de croisement des courbes. POLK tl.~pliquer cela.

sonsidérons deux courbes quelconques. par exemple celles correspondant aux valeurs 5 cm et 1 I

cm de I'epaisseur de la couche supérieure de béton. Ces deux courbes se croisent au point D.

Lorsque l'épaisseur de la couche de MCP est inférieure à celle correspondance au point D.

deux cris se présentent:

- Premier cas: L'Spaisseur de la couche de paraftÏne est infirieure ri celle correspondant au

point C ( fig. 5.2 1:

Dans ce cas. la quantité de parafine est la mème pour les deux cris de figure ( 5 cm et 1 1

cm r . D'autre part. si on suppose que l'on "dt5stocke" la meme quantite de chaleur i partir de 13

rnt2me température moyenne initiale pour les deux masses Je bCton. alors on peur eçrire:

- pour 5 cm de béron:

- pour 1 1 cm de béton:

où T et T. désignent respectivement la température initiale et Ia tempkrature finale

moyennes de la masse de biton. et où les indices 5 et II rtitèrenc aux Cpaisseurs des couches de

tititon.

Et comme Q, = Q,,, alors

Or ml, > m.. donc on en déduit que T,. > T,, , . en particulier ( Tmin 1, > ( Tmin i. !.

Deuxième cris: L'ipaisseur de MCP est comprise entre [es abscisses des points C et D

t t-ig.5.2):

Mors pour 5 cm de béton. on est en plein dans la zone 1 où la température minimale du

plancher Tmin augmente rapidement avec l'tipaisseur Je Ia couche de MCP comme nous ['avons

explique précédemment ( fig.5.1 1. Par contre. pour 1 1 cm de béton. on est en plein dans la zone 2

où l'existence d'une couche solide de MCP qui ne change pris Je phas rrilentit fortement

l'augmentation de Tmin. Cette température minimale au p h c h e r Tmin augmentant très

rapidement dans le "cas 5 cm de béton" et très lentement dans le "cas I l cm de biton". les deux

courbes correspondantes vont forcément se croiser en un point où Tmin est la méme dans les

deux cas ( point D. figure 5.2 i.

EnLin. pour des Çpaissrurs de MCP supérieures à celle correspondantes au poinr D. la

situation décrite ci-dessus se renverse et c'est la température minimale correspondante i 5 cm de

béton qui devient supérieure 4 celle correspondante i I l cm de béton: en effet. dans le premier

cris r 5cm de béton,. l'épaisseur de la couche holide de MCP qui ne change pas de phase est

beaucoup plus faible que dans le second cas. donc la résistance i la diffusion de chaleur est aussi

plus faible: pour 5 cm de béton. cette couche solide n'iippar~it lors du stockage que pour des

epaisseurs de LMCP supCrieures 5 i Y mm ( valeur qui correspond ~ Iü quantité de MCP qu i change

effectivement de phase ). tandis que pour 1 i cm de béton. 8 mm de paraftine seulement peuvent

fondre. Autrement dit. l'épaisseur de la couche de ;MCP qui ne fond pris est de 1 O mm plus grande

Jans le " c a 1 1 cm de béton". C'est ce qui explique que Tmin soit plus hiblt: dans ce dernier cos.

Le schéma suivant est peur Ctre plus explicite:

Béton haut

1 MCP solide: conductivité k, 1 f h x 1 MCP liquide: conductivité 1

Béton bas

Si AT est 13 diffirence de température entre les hces supérieure et in firieure de la couche

de MCP solide. Ic !lux de chaleur 5 travers cette couche s'exprime par:

AT a=-ks- -3x

Le flux @ est d'aurant plus faible cet donc aussi l'min, que k, est hible et que I16paisseur

l x est importante.

La tigiire 5.3 montre l'6voIution de la tempérziture maximum atteinte au plancher ( notée

Tm= i en fonction de 1'6paisseur de .VCP pour ilne ipaisseur de la couche Je MCP de 7 cm. L e

point anguleux A correspond au mëme point anguleux de la figure 5. l ( i l correspond exactement

IL [a même epaisseur de MCP qui est de 12 mm dans ce cas 1,. Pour des Gpriisseurs de MCP plus

grandes que celle correspondant ;iu point A. Trnax diminue lorsque l'ipaisseur de 4ICP

augmente, En effet. lorsque cette derniere augmente. la quantite cir chaleur emmagasinée dans Ir

MCP Lors de la période de stockase augmente proportionnellement. Et comme la quantité totale

d'tkergie fournie par la source de chaleur à I'ensemble du Eton et du MCP pendant les Y heures

de stockage d'énergie reste invariable i en effet. contrairement au "CLS de l'eau". i l n'y a pas de

coupure de courant au cours de la période de stockage i. alors la quantitti de chaleur emmagasinée

clans le béton va diminuer. C s qui va baisser le niveau de temperature atteint par le bSton. en

particulier Tmax va aussi baisser.

Lorsque I1Cpaisseur de la couche de MCP est infirieure Ii celle correspondante au point A.

~ellç-ci i de moins de 1 'C 1. Ceci peut Are expliqué Li l'aide de ILL figure 5.1: on remarque que

Jtins 1ü mcmc plage ~.ariation de llCpaissrur de la couche de 3ICP que dans Iri figure 5.3 ( c'est ri

i Figure 5.3- ~empémture maximale au plancher en fonction de l'épaisseur d e la couche d e paraffine

Epaisseurs des couches de beton [cm] haut: 7

bas: 3

Epaisseur de la couche de paraffine [ml

Figure 5.4- ~empérature maximale au plancher en fonction des épaisseurs des couches

de paraffine et de beton.

Épaisseur de la couche de paraffine [ml

dire pour des épaisseurs de ,MCP inférieures 5 13 mm pour une couche supérieure de béton

épaisse de 7 cm ). l'augmentation de Trnin est d'abord relativement lente. ensuite très rapide

jusqu'au point A ( figure 5.1 ) Cette augmentation relativement forte de Trnin sur un faible

intervalle a pour conséquence l'augmentation de Tmax dans le même intervalle i figure 5.3 ): la

température Tmax est en effet atteinte au plancher à la fin d'une période de stockage ayant comme

température initiale Trnin i qui est la température la plus base atteinte au plancher i la fin de la

période de déstockage précédente ).

D'autre pan. la figure 5.4 montre que (exception hite pour les faibles Cpaisseurs de la

couche de MCP où Tmin augmente d'abords lentement puis très rapidement comme mentionné

précédemment 'i. Trnm diminue avec I'augmentütion de l'epaisseur de la couche supérieure de

béton. Ceci s'explique de La même facon que dans le CLS de l'eau comme agent de stockage

d'knergie ( paragraphe 3.2. page 28 ).

La fisure 5.5 est la résultante des figures 5.2 et 5.4 puisqu'ellc représente les courbes

"Ccm maximal de température au plancher" en fonction de I'Cpaisseur de la couche de paraffine.

et que cet "Ccan maximal de température au plancher" est défini comme la différence entre les

températures maximale et minimale atteintes au plancher. On voit sur cette tïgure q u e cet Ccan

maximal de température décroît lorsque lëpciissrur de la couche de parÿffine augmente d o u

lorsque iëptiisseur de la couche supérieure de béton augmente. Cr q u i fait q u e comme dans Is

"cas de I'eau". on a intkrêt à choisir une epaisseur Je la couche supérieure de M o n aussi grande

que possible. Pour les mêmes raisons que dans le cas de l'eau < piirÿgrdphe 3.2. page 32 >. fixons

cette tipaisseur i 95 mm et faisons varier I'Çpaisseur de la couche infirieure de béton ainsi que

celie de la couche de paraffine.

- p p p

Figure 5.5- Écart maximal de température au plancher en fonction des épaisseurs des couches

de paraffine et de béton I i

supérieure de béton [cm] . 5cm -- 7cm - 8cm c- 9.5 cm - I l c m - 15cm

Épaisseur da la couche de paraffine [ml

5.2.2- Détermination des épaisseurs des couches de paraffine et de béton au bas:

La figure 5.6 montre I'évolution de la température minimale au plancher Tmin en fonction

de l'épaisseur de la couche de paraffine pour différentes valeurs de l't5paisscur de la couche

inférieure de béton ( ceile de la couche supérieure itant fixée i 95 mm 1.

Trnin augmente lorsque l'épaisseur de la couche de paraffine augmente. Le changement

mue au cris brusque de la pente des courbes . ainsi que leur croisement s'explique d'une hqon analot

précédent où l'on faisait varier l'épaisseur de la couche supérieure de béton ( Ligure 5.1 >:

Soit F le point de croisement des courbes correspondant aux épaisseurs de 3 cm et 6 cm

par exemple (figure 5.6) et E le point de changement de pente de la courbe correspondant h 3 cm

de béton au bas. c'est à dire (comme expliqué au paragraphe 52.1). le point correspondant o ln

fusion complète du LMCP sans surchauffe de celui-ci.

-

Figure 5.6- ~ernpérature minimale au plancher en fonction de 116paisseur de la couche de paraffine

pour une hpaisseur de la couche sup6rieure de béton de 9.5crn

Épaisseur de la couche

inférieure de béton [cm]

/

Epaisseur de la couche de paraffine [ml

Figure 5.7- Température maximale au plancher en fonction de l'épaisseur de la couche de paraffine pour une épaisseur de la couche supérieure de béton de 9.5cm

-

Epaisseur de la couche

infeneure de beton [cm]

cpaisseur de la couche de paraffine [ml

Pour des épaisseur de iMCP inférieures i celle correspondant au point F. la température

minimale atteinte au plancher Tmin diminue avec I'aupmentation de l'épaisseur de la couche

inférieure de béron. Ceci peut être expliqué par le fait que lorsque cette dernière augmente. une

panie de L'énergie totale fournie 5 la dalle sera absorbée par la masse rajoutée: moins de chaleur

sera emmagasinée dans la couche supérieure de béton qui verra alors sa température minimale

baisser i la tin de la période de déstockage. Ceci est Cvidemment valable tant que la couche de

MCP solide qui apparaît au dessus de la phase liquide n'a pas atteint une certaine valeur telle que

I'6paisseur totale r solide + liquide ) corresponde au point F. Comme nous l'avons expliqué au

paragraphe 5.2.1. lorsque I'Çpaisseur de la couche de 41CP dépasse celle correspondant au point

de changement de pente des courbes i point E pour la courbe correspondant i 3 cm de béton au

bas ). une couche de MCP solide "incapable de fondre" se forme au dessus de la phase liquide et

s'oppose ù la diffusion de chaleur vers la couche supérieure de M o n i plancher 1. Ceci arrive

lorsque l'énergie fournie au niveau de la source de chaleur est insuffisante pour faire fondre Ia

totalité de la couche de iMCP. Dès que cette couche de MCP solide apparait au dessus de la phase

liquide. un ralentissement quasi-immédiat de l'augmentation de Tmin intrn*ienr i figures 5.1. 5.1.

5.6 1. suivi après le point F. d'un renversement de 1a.siruation: pour des Cpalsseurs de la couche de

MCP inférieures à celle correspondant au point F. Tmin décroit avec l'augmentation de l'épaisseur

de la couche inférieure de béton. tandis que pour des epaisseurs de la couche de MCP sirpérieures

i cette valeur c'est le contraire qui se produit.

La figure 5.7 montre l'Civolution de la tsmpthture maximale norit. Tmax atteinte au

plancher en tonction des ipaisseurs de la couche de paraffine et de béton ( couche infirieure J.

L'rillure et le comportement des courbes est Ic même que dans le cas précédent ( tïgure 5.4 ) et

s'explique de la même façon. Ajoutons que Tmas baisse lorsque Epaisseur de la couche

inférieure de béton augmente car alors pendant Ir: stockage d'inergie. une part de chaleur plus

importante sera absorbée par cette couche inférieure et ne contribuera pas à Clewr la température

au niveau du piancher.

Enfin. la figure 5.8 est la résultante des figures 5.6 et 5.7. L'ican maximal de température

au plancher diminue avec I'riugmentation de I'Spriisscur de la couche dc paraffine. L e croisement

des courbes s'explique par Le croisement des courbes de la figure 5.6 ( expliqué aux pages 67. 68.

Fguie 5.8- Ecart maximal de température au plancher en fonction de l'épaisseur de la couche de paraffine.

/

Epaisseur de la couche inférieure de béton [cm]

0.005 0.010 0.01 5 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040

Épaisseur de la couche de paraffine [rn]

Les courbes tracées jusqu'ici ne nous permettent pas de hire un choix définitif de

l'epaisseur de la couche inférieure de béton. Pour ce hire. il faudra d'abords déterminer

l'épaisseur optimale de la couche de MCP.

DCfinissons I'Cpaisseur optimale de la couche de MCP comme celle qui permet de stocker

le maximum d'énergie sous forme latente et le minimum d'énergie sous forme sensible puisque Ir

choix même des MCP comme éléments de stockage d16nergie est tait dans ce but. Autrement dit.

cette ipaisseur optimale est celle qui correspond 9 la fois i la fusion complète du MCP avec un

minimum de surchauffe de celui-ci. et i sa solidification cornpliite i au cours du déstocka, ~e 1 avec

un minimum de sous-refroidissement.

L'épaisseur de la couche supérieure de béton ttant fixCe à la valeur déterminée

précédemment qui est 95 mm. on simule plusieurs cycles de fusion et de solidification en faisant

varier l'épaisseur de la couche de MCP et celle de la couche inférieure de béton. Les résultats

obtenus sont illustrés par les figures 5.9.a. 5.9.b et 5.9.c ( la figure 5.9.b étant la restriction de la

figure 5.9.a un intervalle de temps où le régime est périodique stable ). Ces figures montrent la

variation de la fraction fondue en fonction du temps pour différentes ~rilsurs de lëpaisseur de la

couche de paraffine. et pour des épaisseurs de la couche inférieure Je béton de 3 cm et 4 cm

respectivement ( des simulations semblables ont kté faites aussi pour 5. 6. rir 7 cm d'épaisseur de

la couche inférieure de béton ). On peut constater que seule Ia courbe correspondante i 9 mm de

paraffine. entre une couche supérieure et une couche inférieure de bCton de 95 et 30 mm

d'épaisseur respectivement. répond bien aux exigences fixées: e n effet. on voit qu'il y a fusion

complète de la paraffine (durant la période de stockage) et solidification compl~te de celle-CI

t durant la période de déstockage 1. On peut constater sur I r s figures 3.9.a et b que la totalité de Iü

paraffine change de phase i puisque la fracrion liquide oscille entre les vcileurs O et 1 et arteinr ces

dernières 1. et ce avec très peu de chaleur sensible mise en jeu par mppon ii la chaleur latente

comme le montre la figure 5.lO.a. De plus. la figure 5.lO.b montre que la chaleur latente mise en

jeu lors des changements de phase du MCP dans Ir cxs où l't5paisseur de kICP est de 9 mm est

plus importante que dans Ir cris où elle est de 8 mm i les autres cas ttrint Cvidemment h diminer

car ils ne correspondent pas à un changernenr de phase de la tocalite de la paraffine 1.

Figure 5.9.a- Fraction fondue en fonction du temps. Épaisseur de la couche

de paraffine [mm] Épaisseur des couches de béton [mm] - 15 haut: 95 - IO - 9 bas: 30

Temps [heures]

H Figure 5.9.b- Fraction fondue en fonctton du ternos. Epaisseur de la couche

de paraffine [mm] Épaisseurs des couches ae béton [mm] - 15 haut: 95 - 10 - 9 bas: 30

Temps [heures]

- . - . . A -- . - - -. . - -. . . -

/ Figure 5.9.~- Fraction fondue en fonction du temps.

Epaisseur béton bas: 40 mm

50 100 150 200

Temps [Heures]

Figure 5.10.a- Chaleur sensible et chaleur latente échang6es par la paraffine au cours des cycles de stockage-déstockage (cas optimum)

7 \ - - - - - - Chaleur latente . 1

Chaleur sensible -. - - - ' 1

- , Chaleur totale

Temps [neures]

f - 1 - sap%? no samap?ju! ) s a l q q s y i iuos ~ a q ~ u e l d np neaqu ne a~nic~?duxa~ el ap suo!ioni~ng

sa1 anb ai!p Inah 8113 -1uauialnas 3, c-1 ap isa !nb ~ a q m q d ni: a~nie~?duiai ap px.~~!>reu!

~ 1 1 1 ~ ? , 1 ap aiucpuodsa~os mapz al a~i!ruum ap i a u a d g-- no s a ~ n z g xnr moiad u 2

ces différentes courbes. c'est h dire au point correspondant 9 la tusion complète du MCP sans

surchauffe de cdui-ci.

La t?_oure 5 1 1 représente I'évoiution de Iri rempérririire au ~1ancht.r en tbncrion du temps

pour différentes Èpaisseurs de la couche de MCP et pour dsa epai'eurs ries couches inlerieure et

iupérieure de Eton tixtes respecrivement i 30mm et 95 mm. L e changement de pente après un

temps très coun pendant [ri pkriode de déstockage correspond rtu p s a g s Ju r&-oidissement par

chaleur sensible du .MCP iiquide légèrement surchauff" ( environ lcC de surchauffe ) au

dtistockage par chaieur Iatente essentiellement ( soliditication du >ICP liquide i la température de

changement cis ?hase: autour de ZS "C i .

Figure 5.1 1 -Évolution de la température au plancher en fonction du temps pour différentes épaisseurs

de la couche de paraffine

t 1 1

[ Epaisseur de la couche

Temps [heures]

.i présent. on peut conclure que notre drille optimale aura Ies caractéristiques

dimensionnelles suivantes:

- Surface horizontale de forme carrée de 0.33 m de côté.

- Épaisseur de la couche supérieure de béton normal: EH = 0.093 m.

- Épaisseur de la couche inférieure de béton isolant: EB = 0.03 m.

- Épaisseur de la couche de paraffine n-octadécane: H = 0.009 m.

- Écart maximal de température nu plancher: 1.3"C

- Consommation d'énergie dectrique: 3380 kjlm' par jour.

Les autres caractéristiques I puissance de chauffage. type de bkton 1 iont les meme que

dans le "cas de l'eriu".

De mème que dans le cas de l'eau et pour les mimes raisons. la rrrnpériiture du plancher

doit etre tout le temps supérieure ou égaie i la température de I'air de Ia piece i c'est à dire 2O'C i.

Les figures 5.2 et 5.6 permettent de déterminer 1°6paisssur minimale possible de MCP

pour chaque valeur de IOÇpaisseur de la couche supérieure ( l'épaisseur de la couche inférieure

Ctant fixée 1 ou vice-verp. On peut vérifier i l'aide de la figure 5.2 que l'ipaissrur de la couche de

paraffine Je notre dalle optimale est nettement suptrieiire i 1'2püisssur minimale possible qui est

J e 5 mm dans ce cris.

Bien que les températures d'intlammation et d'Çvaponition de Ia panftine n-octadécane

iont assez Clrvée (3 17T et 165.56'C respectivement 1. i l faut vtritler que la plus basse de ces

trrnpénitures ne soit jamais atteinte lors du fonctionnement du système. La figure 5 . 1 2 ~ donne

ilne idée des ternpériitures maximales atteintes par Iri paraffine pour LI ne puissance de chauffage

de 100 ~ l m ' . On peut Cgalement vérifier ii l'aide Je cette fipure que la température maximale

ritreinte dans le cris Je Iri dalle optimale est Je W C seulement.

Figure 5.1 2.a- ~ernpérature maximale de ia paraffine en fonction de son épaisseur

0.005 0.01 O 0.01 5 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040

Épaisseur de la couche de paraffine [ml

Dans le cas de la dalle optimale. la figure 5.l2.b donne la température maximale de la

paraffine en fonction de la puissance de chauffage. Elle nous renseigne ainsi sur la valeur de la

puissance de chauffage à ne pas dépasser pour ne pas atteindre la température d'évaporation de la

paraffine Ion de l'exploitation du système et ainsi éviter sa détérioration. On constate néanmoins

qu'on est loin d'atteindre cette température avec les puissances utilisées pour le chauffage des

maisons.

5.5- CONSOMMATION D'ÉNERGIE ÉLECTRIQUE:

On a pu noté que ce paramètre a joué un rôle dans la dçtermination de la dalle optimale

dans le cas de l'eau. mais pas dans le cas de la paraffine. La raison de cela rsr que dans le cas

précédent. la température maximale de I'cau était tixée ii 30°C et le courant était automatiquement

coupé lorsque cette température était atteinte. Ce qui fair que lorsqu'on intégrait la puissance

6lecrrïque consommée sur l'intervalle de temps réei de consommation pour obtenir 1'Cnergie

consommée dans cet intervalle. la valeur de certe integrale dçpendait des paramètres Ctudies

i ipciisseurs des différentes couches. etc ... 1. P x contre dans le cas present. la limitation du niveau

de température porte non pas sur l'élément de stockage d'énergie ( La paraffine 1. mais directement

sur le plancher: en effet. guidés par les résiiltats de l'etude précédente. on ti choisit de limiter la

température du plancher à 25°C. Or. i l se trouve que cette température n'est jamais atteinte au

plancher dans le cas Ctudié et avec la puissance de chauffage choisie. ct ce pour toutes Ies plages

où nous avons fait varier les épaisseurs des différentes couches qui composent la dalle chauffante.

Ce qui fait que Ir courant électrique n'est jamais coupé pendant les Y heures de stockage. Ainsi. Ir

temps d'intégration réel est tout le temps de Y heures par jour pour la période de stockage. La

consommation d'hergie Clectriqur par rn' de surfricc pour N jours est. dons Ir cas présent.

calculée de la tàqon suivante:

Cette énergie électrique consommée ne dépend pas des paramètres du problème tels que

les épaisseurs des couches de béton et de MCP. Pour chaque jour. sa vdeur est constante et égale

à 2880.1 o3 ~/m'.

Le calcul ayant été fait dans les deux cris konfigurrition avec de l'eau et du béton comme

éléments de stockage d'tnergie et con t ' i g~~ t ion avec un MCP et du béton r . il s'agit maintenant de

faire la companison entre les deux configurations optimales obtenues. NOLIS nous proposons de

les comparer sur les volets suivants: Cnergétique. dimensions et encombrement. disponibilitC--

5.6.1- Sur le plan énergétique:

Une comparaison des consommations en tinergie ilectrique sur une période de dix jours

i avec 8 heures de stockage et 16 heures de déstockage par jour dans les deux cas I donne:

- dans le cas de l'eau: X l 5 . 3 Wm'.

- dans le cas de la paraffine n-octadécane: ZSSO. Id/rn'.

Comme on pouvait s'y attendre. 1'6nergie Clectrique consommtie est plus Faible dans Ir cas

de l'eau ( le calcul donne environ 167~ de difiZrence entre les deux 1. Cet ticrirr purement

théorique est imputable surtout ri ['hypothèse hite dans le cris de l'eau. Li savoir que ta température

de celle-ci est uniforme 5 chaque instant. En rt'fst cette hypothèse revient à dire que l'eau voit sa

température changer instantanément et uniformément sur tour le volume qu'elle occupe: et par

exemple dès que sa température atteint 30°C. le courant électrique est instantanCrnent coupé.

Cette hypothèse revient à négliger toute "inertie" er tout "temps de rt?ponse". Cc q u i s'Cloigne

assez de la réalité qui veut que tout phénorntne physique prenne un crnain temps pour sr faire. en

particulier la diffusion de la chaleur. On peut donc s'attendre i ce qu'en réalité. cet kar t soit

nettement inférieur 5 la valeur théorique de 16%.

Par contre du point de vue du confort. la paraffine n-octadécane est plus avanta, oeuse:

1.3"C d'écart au maximum entre la température maximale et la température minimale atteintes au

niveau du plancher, contre 3.8"C dans le cas de I'eau ( figure 5.13 ).

Figure 5.1 3- ~em~érature au plancher pour les deux types de dalle (configuration optimale)

- pour I'eau --Y gourlaparaffine

80 1 O0 120 140 160

Temps [heures]

56.2- Encombrement du système:

Sur le plan des dimensions du système ( tpaisseurs des différentes couches composant la

dalle chauffante ). les résultats obtenus montrent que les couches de béton ont les mêmes

épaisseurs dans les deux cas. Par contre l'épaisseur de l'ilément principal de stockage d'énergie I

couche d'eau ou de paraffine ) est beaucoup moins Clevée dans le second cas: 9 mm d'épaisseur

pour la couche de paraffine contre 27 mm pour la couche d'eau. Mais ou total. la dalle avec In

paraffine n-octadicane est de 18 mm seulement moins Cpaisse que celle avec de I'eau. Cc qui

représente 1 1.8% d'écart entre les deux.

Lonqu'on regarde le prix de la paraffine n-octadécrine à 99% pure( plus de 60 dollars CLS

par kg ), on constate qu'il est malheureusement très élevé ( sûrement 5 cause de son niveau de

pureté ). Heureusement. pour l'appl ication présente on n'est pas ob1 ige d'utiliser une paraffine

aussi pure et aussi chère: il existe sur le marché des paraffines dont I r s propriétés sont très

proches de celle étudiée et qui sont B des prix très abordables.

D'autre pan. sur le plan sécurité. on sait que les paraffines sont cles produits assez

infiiimmablcs. et il hudra en tenir compte lors de lü conception et de la réalisation du système.

CONCLUSION

Ce travail entre dans le cadre de la recherche et de l'itude d'une solution au problème

de surcharge des réseaux de distribution d'électricité en période de pointe. Une des solutions

est d'emmagasiner de I'eneqie dans un ou des matériaux adéquats durant les heures creuses.

pour la restituer ensuite aux heures de forte demande d'électricité ( heures de pointe 1. Dans ce

travail. il est proposé d'emmagasiner de lfCnergie dans une "dalle" de forme parallélépipédique

creuse en béton contenant l'élément principal de stockage de chaleur qui est soit de l'eau soit

de la paraffine n-octadécane. Cette dalle serait destinée i faire partie intégrante du plancher.

Les deux options ont été étudiées puis comparées.

Les chapitres 2 et 3 ont été consacrés i l'etude de la dalle chauffante avec de ['eau

co mme élément principal de stockage d'énergie:

La modélisation du système composé de trois couches I une couche de béton isolant au

bas, une cotiche de béton non isolant au haut et une couche d'eau entre les deux ) a été

effectuée au chapitre 7. Se basant sur l'hypothèse que la diffusion de chaleur ne se fait que par

conduction dans le béton et dans Iri seule direction verticale ( système unidimensionnel ).

I'equation de l'énergie a été formulée pour les couches de béton et pour la couche d'eau. tenant

compte dans ce cris de la convection naturelle aux interfaces béton-eau.

L'Cquation de diffusion de chaleur dans le béton a 2té résolue à l'aide d'une méthode

aux volumes finis combinée avec un schéma implicite. Le modele proposé a 6té validé 5 l'aide

Je mesures expérimentales.

Une analyse paramétrique de la dalle chauffante contenant de l'eau a été faite au

chapitre 3. L'objectif principal de cette analyse était de determiner les épaisseurs optimales des

couches de béton et d'eau sur la base de trois exizences principales:

- minimiser l'écart maximal de température au plancher i maximiser le confort i.

- minimiser La consommation d'énergie électrique.

- conformité du système avec le "code nationaI du bitiment".

IL a Gté montré que I'Ccan maximal de trmpCrature au plancher décroît avec

l'augmentation des Cpaisseurs des couches de béton et d'eau. tandis que Ia consommation

d'électricité décroît avec I'augmentation de 1'Cpaisseur de la couche supérieure de béton et

augmente avec l'épaisseur de la ccrche kférieure de béton et avec celle de la couche d'eau

(tableau 3.1)-

À partir de l i il a été trouvé que la dalle optimde est composée d'une couche

inférieure de béton isolant de 30 mm d'épaisseur. d'une couche supérieure de béton non isolant

de 95 mm d'épaisseur. et d'une couche d'eau de 27 mm d'épaisseur.

Pour cette "daile optimale". il a été également montré que la température maximale de

I'eau doit Etre fixée à un niveau minimum de 300 K ( 27°C ) pour que Ir chauffage soit

suffisant. et ce même si l'on augmente considérablement la puissance de la source de chaieur.

D'autre pan. pour des Cpaisseurs données des couches inférieure et supérieure de

béton. il existe une valeur de l'épaisseur de Iri couche d'eau en dessous de laquelle le

chauffage devient insuffisant ( pour une puissance donnée de la source de chaleur 1.

II a été également mis en evidence au chapitre 3. ['importance du rayonnement

thermique: l'énergie thermique rayonnée représente. dans Ic cas de Iri dalle retenue i oprimisCe i

35% de I'Cnegie totale emmagasinée.

Les chapitres 4 et 5 ont Cté consacres à llCtude de la dalle chaufhntr avec de la

paraffine n-octadécane comme élément principal de stockage de chaleur. La modélisation du

système B été effectuée au chapitre 4. et comme dans le "cris de l'eau". i l a i t i suppose que la

diffusion de chaleur 5 travers les couches de béton et la couche de MCP s'effectue uniquement

par conduction et dans la seule direction \*erticalr. Cependant. i l ri Gté constaté lors de la

comparaison entre les résultats numiriques et les r6suItats expérimentaux que dans la phase

liquide. la convection naturelle joue un rôle important. Cr qui nous a amené B prendre en

compte ce phénomène par l'adoption d'un "çoeftïcient de çonduction effectif'. afin que les

résultats théoriques coïncident mieux avec 12s résultats expérimentaux.

LfÇquation d'énergie a été posée et traitée à l'aide de la méthode enthalpique qui est

plus appropriée aux problèmes de changement de phase. Une méthode aux volumes finis

combinée avec un schéma implicite a et6 utilisée pour Ia résolution de cette équation.

Dans le cas de la paraffine. la validation di1 modéle théorique a tté hite B la fois

analytiquement et par comparaison avec des résultats expérimentaux.

Au chapitre 5, une analyse paramétrique a été faite. dans le double but de comprendre

la cinétique des transfert thermiques au sein du système et de trouver les dimensions

optimales des différentes couches qui le composent. En plus des trois exigences citées

précédemment dans le cas de I'eau. une quatrième condition a été ajoutée dans le cas de la

paraffine: le stockage et le déstockage de chaleur dans le iMCP doit se faire essentiellement

par chaleur latente. ou tout au moins avec un minimum de chaleur sensible. En effet, il a été

constaté que si L'épaisseur de :MCP est trop faible. une pm importante de chaleur est

emmagasinée sous forme de chaleur sensible et par conséquent I'Ccxt de température au

plancher pouvait être assez important. Par contre si l'épaisseur de la couche de .MCP est trop

Clevée. une couche de MCP solide. isolante et qui ne change pas de phase reste en permanence

au dessus de celle qui change &e phase et encombre inutilement le système.

La "dalle optimale" déterminée au cours de cette analyse possSde les dimensions

suivantes: 30 mm pour l'épaisseur de la ouche inférieure de béton isolant. 95 mm pour celle de

la couche supérieure de béton porteur. et 9 mm pour la couche de MCP (paraffine n-

octadécane). Ces 9 mm de paraffine sont tels qu'ils fondent cornplitement durant les 8 heures

de stockqe avec une très légère surchauffe (moins de 15C). et se resolidifient complètement

sans sous-refroidissement durant les 16 heures de distockage. Cette dalle optimale est donc

telle qu'elle a les dimensions les plus faibles possibk avec un maximum d'inergie stocké par

chaleur latente dans le .MCP. D'autre part elle réalise un Scart de température maximal au

plancher le plus faible possible ( L .3"C). donc un maximum de confort.

Une comparaison entre les deux types de dalle ri également eté hice au chapitre 5 ou

nous avons conclut que l'utilisation de la paraffine donne une dalle plus compacte (moins

epaisse). beaucoup plus confortable. mais aussi beaucoup plus chère qu'une dalle contenant de

l'eau.

Entln. ri l'issue de ce travail on peut dire que certaines hypothèses telles que

I'unidirnensionnalité du système. l'uniformité de la température de I'eau à chaque instant. la

non considération des effets dus à la différence entre les masses volumiques des phases

liquide et solide ont permis de simplifier énormément Ir trivail et d'obtenir quand même des

résultats intéressants et. ri notre avis pas très loin de Iri réalité. Néanmoins. pour compléter

cette etude. il serait souhaitable de construire une drills chaurhnté en Iabor~toire et d'itudier

expérimentalement le comportement de celle-ci afin de pouvoir évaluer l'écart avec cette

étude théorique. On pourrait également dans une autre étude théorique considérer !a

convection naturelle dans la phase liquide du .MCP en incluant les effets tridimensionnels

engendrés par la différence entre les masses volumiques des phases liquide et solide. car la

comparaison faite dans la présente étude entre les résultats théoriques (basés sur la conduction

pure) et les résultats expérimentaux obtenus en laboratoire montre que mème lorsque la

couche de ;MCP est faible. la convection natureUe dans la phase liquide peut ne pas être

négligeable.

ANNEXE A

Si on intègre l'équation 7.1. page 13 dans un volume de contrôle et dans le temps. on peut

obtenir la forme suivante:

( A l )

où l'indice = indique ia valeur de la variable au temps pricédent. et où S, . et S;, proviennent de la

décomposition du terme source: S = Sr + S, T,.

Compte tenu des conditions aux limites. on a:

- à fa frontière isolée:

Avec la condition de flux de chaleur imposé:

qu i est réalisée par exemple s i k=O (isolant parhit 1. Equation 2.1 devient:

k. , - 0 . a, . = - car k., =O ox .,

Par identifictition avec les iquririons A2 i .-W. on obtient:

"' - O ( car à ia frontière isolée q"= O S, =-- 4 x

- aux frontières avec l'eau:

On a la condition mixte:

k ? c'est-à-dire : q" = hiT" -TL i = T ( ~ . i -TJ

O

Éliminant T, ( Température i l'interface ouest I entre ces deux relations. on obtient:

L'iquation ( 3.1 ) devient alors:

arTp = a r T ' b

As a;, = 1)'-

At

Par identification avec Ies Squations A2 à A6. on obtrent:

- Frontière avec l'air environnant:

Béton - Air

-4 la frontière Est. on a 11i condition:

D'autre part:

Combinant (A36 et (227). on aboutit i:

- kh, h; =

b + 6 ( h , i h , )

- kh, h~ =

k t S ( h : sh,)

k., k, 4- =--

6x, LX

P u identification avec les equritions XZ i -46. un obtient:

ANNEXE B

Pour la couche de paraffine. I'equation de I'inergir s'zcrit sous la forme 4.4 (page 40).

Intégrant cette équation dans un volume de contrôle et dans Ie temps. on obtient:

d'où

il h --lr f 3 h \ c !-a 3 t-, j j t J j d ~ d t - 1 j PL--- J t d ~ ..i : 3 t

t u x \ a 'ci -.i l r i t

h, - h, t h , - h ; ) A x = u A t - U A h, - h, - p Lr 6,. - f.p )A\

A\ LK

où h; et f,; désignent respectivement l'enthalpie et In fraction liquide au temps précédent. avec

ou bien

h, = h , + c r R f h,, -3, + h , ) - p L , f , , - f i , )

Si l'on regroupe les termes de ccttc tiquation sous forme tridiagonale. c'est i dire sous la

forme

on obtient:

et où f; est la kem' ivaluation de la fraction liquide au noeud P.

.i chaque itération. un résoluteur de systèmes linéaires tridiagonaus iTDMA> est utilise

pour résoudre le système d'équations linéaires ( 8 8 1. s u i ~ i d'une mise h jour de la fraction liquide f.

[26]: après la (k+ 1 )""' application du résoluteur TDMA au système linéaire ( BS 1. on rk;irr;tn_oe ce

dernier de la fqon suivante:

Si le changement de pliase a lieu au voisinage du noeud P h e . si O < f < 1

estimation de La fraction liquide doit être mise ri jour de telle façon que 1s membre

l'équation (B9) soit nui. et on obtient:

J. dors la k"'"'

de gauche de

Soustrayant membre à membre les équations (B9) et (B 10). on obtienr lri mise i jour de la

fraction liquide où Ir changement de phase se produit:

En pratique cette mise iî jour est effectuée 5 chaque noeud. après la k'"' holution du systEme

linéaire t B8). Pour tenir compte du fait que l'équation i B 1 1 ) n'est pas adéquate pour tous I r s

noeuds ( ceux pour lesquels il n'y a pas de changement de phase au temps t considéré J. on

complète cette équation par la correction suivante:

Pour les couches de béton. Equation dWÇnergie prend la forme ( 4 . 5 ~ page 4 1. Inttgrant

cetre equation dans un volume de contrôle et dans le temps. on obtient

& s r à dire la même equation que pour le 41CP (Gq~iation BS) avec f = O. u et R dant Ics

crnndeurs définies précédemment. Sous forme tridiagonale. l'tquation B 1 I z'icrit b

Compte tenu des ci~nditions aux lirnitcs. un a:

- à Ia frontière isolée:

De la même façon que pour I'Çquation 4.4. intégrons I'iquation d'tnergie 4.5 Jans le demi

volume de contrôle de largeur Ad?: en suivant Iii même démarche. on obtient:

avec

- I'intert-ace béton bas- paraffine:

Si ori intègre l'équation d'énergie dans le demi volume de contrôle côté béton. et compte

tenu du flux q," fourni au niveau de l'interface (vers le béton 1. on obtient

De même si l'on intègre l'équation de I'inergir dans Ie demi volume de contrôle côté

paraffine et compte tenu du flux q",,,., fourni au niveau de I'intertLçe i vers Iü paraffine 1. on obtient

En faisant la somme membre à membre de ces deux dernikrcs equacions et sachant que

q" Ctant le flux de çhrileiir fourni au niveau de l'inrerîixe tx qui diffuse aussi bien dans le beton

que dans la paraffine. on obtient:

." h- p LI t-,,, - t,, ) T ' q " l

Regroupant les termes de cette iqurition sous forme tridiagonale. on obtient:

Par identification avec l'équation B7. on a:

- à l'interhce paraffine- hCton haut:

L'ne démarche analogue B la précédente donne

avec

- À l'interface héton - air:

Béton haut

Intégrant l'équation de 1'6nergie 4.5 dans Irt demi volume de contrôle représenté ci-dessus.

on aura:

avec

d h ' h \ 1 I ' 1, ) I j

'i - i i a r j b 0.y = h,[(- +T. -L + h R l 7 ! +T,, -T.,,~ ;

Pc 1, 1 ; \ pc I ,

Mettant B2L et 624 dans B2 1. on obtient

Regroupant les termes sous forme tridiagonale. puis identifiant avec I'iquntion 87. on

obtient:

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