MODUL XI

SELANG KEPERCAYAAN UNTUK KEPERCAYAAN

Taksiran suatu parameter populasi dapat diberikan berupa taksiran titik atau berupa

taksiran selang.

Taksiran titik suatu parameter populasi merupakan nilai tunggal θ suatu statistik .

Sebagai contoh, nilai suatu statistik , dihitung dari suatu ukuran n, merupakan

taksiran titik parameter populasi . Statistik yang digunakan untuk mendapatkan

taksiran titik penaksir.

Taksiran selang untuk dari suatu populasi ialah suatu selang yang berbentuk

, di mana tergantung pada nilai statistik . Biasanya = , dengan

kata lain tergantung pada . Atau dan , dengan k ditentukan

dari distribusi sampel .

Catatan :

parameter adalah konstanta dari suatu distribusi yang nilainya tertentu tapi tidak

diketahui, misalnya .

perbedaan sampel (berlainan) memberikan nilai yang berbeda, ini

mengakibatkan penaksiran selang bagi parameter berbeda pula.

Misalkan dari suatu distribusi sampel dapat ditentukan , sedemikian sehingga

. Maka dengan peluang ini, sampel acak yang

diambil akan menghasilkan suatu selang yang mengandung .

Contoh : Misalkan . Artinya, yang dihitung berdasarkan sampel

acak yang diambil, disebut selang kepercayaan 95%, dengan kata lain kita percaya 95%

bahwa selang yang dihitung mengandung parameter yang sesungguhnya dari populasi.

A. SELANG KEPERCAYAAN PADA DISTRIBUSI NORMAL

Perhatikan gambar di atas. Selang kepercayaan adalah selang pada

daerah yang diaksir, yaitu antara dan . Misalkan ambil , maka

. Jadi, selang kepercayaan 95% adalah selang antara dan . Nilai

dinamakan nilai kritis dan diambil dari tabel normal. Di bawah ini beberapa nilai

kritis z untuk beberapa nilai yang sering digunakan.

Nilai

1% = 0.01 -2.57

5% = 0.05 -1.96

10% = 0.10 -1.64

B. SELANG KEPERCAYAAN PADA DISTRIBUSI T

Perhatikan gambar di bawah ini

Penggunaannya sama dengan selang kepercayaan pada distribusi normal. Nilai t dapat

dilihat dari tabel t, dengan v menyatakan derajat kebebasan dan menyatakan

berapa persen selang kepercayaan yang diinginkan. Perhatikan besarnya v

untuk data yang berasal dari 1 populasi : v = n - 1

untuk data yang berasal dari 2 populasi yang saling bebas atau tidak berpasangan

: .

C. PERINTAH-PERINTAH MINITAB UNTUK SELANG KEPERCAYAAN

Z INTERVAL K % C1 . . . C2

81

Digunakan untuk mencari selang kepercayaan K %, data berasal dari 1 populasi

dengan nilai diketahui.

Bentuk selang tersebut adalah :

Di mana : = mean data

n = ukuran sampel

z = nilai dari tabel normal untuk K %

T INTERVAL K % C1 . . . C2

Digunakan untuk mencari selang kepercayaan K %, data berasal dari 1 populasi

dengan tidak diketahui, atau data berasal dari populasi berpasangan dengan

dan tidak diketahui.

Bentuk selang tersebut adalah :

Di mana : = mean data

s = standar deviasi sampel

n = ukuran sampel

t = nilai dari tabel t untuk K % dan derajat kebebasan (n-1)

D. CONTOH SOAL

1. Sebuah mesin menghasilkan potongan logam berbentuk silinder. Sampel

beberapa potongan diukur dan ternyata diameternya : 1.01, 0.97, 1.03, 1.04,

0.99, 0.98, 0.99, 1.01 dan 1.03. Hitunglah selang kepercayaan 99% untuk rataan

diameter potongan yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya

hampir normal.

Jawab:

MTB > set C1DATA > 1.01 0.97 1.03 1.04 0.99 0.98 0.99 1.01 1.03DATA > endMTB > tinterval 99.0 C1

N MEAN STDEV SEMEAN 99.0 PERCENT C.IC1 9 1.00556 0.02455 0.00818 (0.97809, 1.03302)

82

2. Data berikut menyatakan waktu putar film yang diproduksi dua perusahaan

film.

Waktu (menit)

Perusahaan A 103 94 110 87 98 88

Perusahaan B 97 82 123 92 175 118

Hitunglah selang kepercayaan 90% untuk selisih kedua rataan waktu putar film

yang diproduksi kedua perusahaan. Anggap bahwa waktu putar berdistribusi

hampir normal.

Jawab:

MTB > read C1 C2DATA > 103 97DATA > 94 82DATA > 110 123DATA > 87 92DATA > 98 175DATA > 88 118DATA > endMTB > let C3 = C2 – C1MTB > tinterval 90 C3

N MEAN STDEV SEMEAN 90.0 PERCENT C.IC3 6 -17.8 32.5 13.3 (-44.6, 8.9)

E. LATIHAN

1. Ambil sampel acak sebanyak 100, dari distribusi normal baku, dan tentukan

selang kepercayaan 90%, 95% dan 99%. Lakukan juga untuk sampel dari N(0,

4) dan N(0, 16). Apa yang dapat anda simpulkan!

Buat juga perhitungannya secara manual untuk selang kepercayaan 90% dgn

N(0, 4). (Gunakan tabel normal)

2. Tujuh botol yang mirip masing-masing berisi asam sulfat sebanyak 9.8, 10.2,

10.4, 9.8, 10.0, 10.2 dan 9.6 liter. Carilah selang kepercayaan 95% untuk

rataan isi botol semacam itu, bila distribusinya dianggap hampir normal.

Lakukan pula perhitungan secara manual. (Gunakan tabel t)

83

3. Suatu perusahaan menyatakan bahwa sejenis diet baru akan menurunkan berat

badan seseorang rata-rata 4.5 kg dalam 2 minggu. Berat tujuh wanita yang

menggunakan diet ini dicatat sebelum dan sesudah jangka waktu 2 minggu.

1 2 3 4 5 6 7Berat sebelum 58.5 60.3 61.7 69.0 64.0 62.6 56.7Berat sesudah 60.0 54.9 58.1 62.1 58.5 59.9 54.4

Hitung selang kepercayaan 95% untuk selisih rataan berat, dan perhatikan

apakah pernyataan perusahaan tersebut benar? Anggap distribusi berat hampir

normal.

4. Pemerintah memberikan dana ke jurusan pertanian 9 universitas untuk menguji

kemampuan menghasilkan dua varietas padi. Tiap varietas ditanam di petak

sawah yang sama luasnya di tiap universitas dan hasilnya, dlm kg per detik sbb:

Universitas1 2 3 4 5 6 7 8 9

Varietas A 38 23 35 41 44 29 37 31 38Varietas B 45 25 31 38 50 33 36 40 43

Hitunglah selang kepercayaan 95% untuk rataan selisih hasil kedua jenis,

anggap bahwa distribusi hasil hampir normal. Jelaskan mengapa kedua varietas

perlu dibuat berpasangan dalam soal ini. Buat juga perhitungan manualnya.

(Gunakan tabel t)

84

SELANG KEPERCAYAAN

1 POPULASI 2 POPULASI

diketahui tdk diketahui berpasangandr pop. normal (n < 30)

, tdk diketahui

=

X X

distribusi distribusi t distribusi t normal

85