MODUL II

MODEL MATEMATIK DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL GETARAN

PENDAHULUAN

Pada modul ini, akan dibahas beberapa pokok yang berkaitan dengan model matematik dan

persamaan diferensial antara lain konsep pemodelan statik, konsep pemodelan dinamik, dan

persamaan differensial pada tiap system getaran. Manfaat dari pembelajaran ini adalah agar

mahasiswa memiliki konsep yang jelas tentang pemodelan yakni kemampuan menyederhanakan

persoalan yang kompleks tentang getaran sehingga dapat dianalisa dengan mudah dengan dalil-

dalil atau hukum-hukum yang ada, sedangkan hubungan antara model fisik murni dengan solusi

matematis yang tepat dimungkinkan oleh adanya model matematis yang merupakan simbol

untuk menggambarkan model subtitusi ideal yang mencakup semua asumsi untuk model fisik

dalam bentuk persamaan matematik. Pemodelan fisik bermakna menyederhanakan struktur real

yang berdimensi kompleks dengan asumsi-asumsi dan idealisasi yang sesui guna memperoleh

solusi matematis yang diperlukan.

Modul 2 ini dapat dipelajari apabila mahasiswa telah selesai mempelajari modul 1, hal ini

karena pemodelan dapat dilakukan apabila mahasiswa mengetahui sumber penyebab getaran

beserta karakteristiknya. Untuk itu setelah mempelajari modul ini diharapkan mahasiswa dapat :

Mampu menjelaskan model matematik dan persamaan Differensial

Agar modul ini dapat Anda pelajari dengan baik, maka perhatikan petunjuk belajar

berikut ini:

Modul ini dapat Anda pelajari dalam waktu 1 sampai 3 jam.

Dalam mempelajari setiap bagian, jangan lupa mengerjakan latihan/tugas yang telah

disediakan. Dengan mengerjakannya anda akan mengetahui seberapa jauh anda telah

menguasai isi yang terkandung dalam kegiatan belajar ini.

Pelajari sekali lagi uraiannya, terutama bagian yang kurang Anda pahami, sehingga benar-

benar jelas.

Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang penguasaan suatu pekerjaan dengan

membaca secara teliti.

II-1

Setelah anda mempelajari modul ini, selanjutnya kerjakan tes formatif dan evaluasi dengan

baik, benar dan jujur sesuai dengan kemampuan anda.

Bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan

pengetahuan tambahan.

URAIAN MATERI

Kegiatan Belajar 2.1 Konsep Pemodelan Pada Masalah Statik

Secara umum penyelesaian masalah mekanika statik didasarkan pada hukum

kesetimbangan Newton yakni kesetimbangan antara gaya-gaya luar (aksi) dan gaya-gaya dalam

(reaksi). Prinsip ini digunakan untuk menentukan keamanan atau kestabilan struktur. Untuk jenis

statika tertentu (statically determinated structures) tiga persamaan keseimbangan statika harus

dipenuhi. persamaan keseimbangan statika tersebut diperoleh dari model-model yang berkaitan

dengan semua hal yang membentuk keseimbangan (struktur, aksi/beban dan reaksi) .

Dalam dimensi sebenarnya, beban yang bekerja dan struktur sesungguhnya bersifat 3

- dimensi. Pada struktur bangunan misalnya terdapat elemen non-struktur seperti dinding

tembok, jendela, pintu, eternit, ducting AC dan sekat-sekat yang sulit untuk digenerelaisasi

sebagaimana struktur utama seperti balok dan kolom. Elemen non-struktur akan membuat

persoalan menjadi kompleks. Pada jembatan misalnya, terdapat balok utama, plat pantai, balok

penghubung, tempat pejalan kaki, sandaran serta bermacam-macam kendaraan yang lewat

diatasnya. Persoalan menjadi kompleks secara 3-dimensi sebagaimana dijumpai pada bangunan

gedung.

Untuk menyelesaikan persoalan statika tersebut maka umumnya diperlukan

penyederhanaan-penyederhanaan. Struktur yang sesungguhnya kemudian dibuat ideal yang

selanjutnya direpresentasikan sebagai model. Beban roda kendaraan misalnya, kemudian di

model sebagai beban terpusat/beban titik yang secara visual ditunjukan oleh sebuah anak panah.

Beban orang-orang yang sedang mengikuti kuliah/rapat didalam ruangan selanjutnya dimodel

sebagai beban terbagi rata. Balok jembatan berikut perangkatnya kemudian dimodel menjadi

suatu garis lurus. Dukungan yang menumpu balok jembatan juga dimodel misalnya sebagai

dukungan sendi maupun roll. Hasil pemodelan statik tersebut diekspresikan sebagai model fisik

(physical model). Seperti tampak pada gambar 2.1

II-2

Model fisik struktur bangunan statik sesungguhnya terdiri atas struktur utama (lateral load

resisting system) dan elemen non-struktur (non-structural element). Namun karena keduanya

mempunyai sifat-sifat dan kualitas bahan yang berlainan, maka akan membentuk perilaku

struktur yang kompleks secara 3 dimensi. Untuk memudahkan analisis statik maka elemen non-

struktur biasanya tidak diperhitungkan pada saat analisis struktur statik. Dengan demikian, model

fisik struktur portal (frame) misalnya sering dianggap tanpa dinding tembok dimana secara

keseluruhan berfungsi sebagai portal terbuka (open frame).

Setelah model fisik ditentukan secara lengkap dan betul maka pengembangan selanjutnya

adalah membuat model matematik. Model matematik adalah model suatu persoalan sehingga

penyelesaian persoalan tersebut dapat dilakukan secara lebih jelas/mudah dengan memakai

prinsip-prinsip matematik. Model matematik ini diperlukan tidak hanya pada persoalan statik

tetapi juga pada masalah dinamik.

Model matematik adalah salah satu teknik dalam persoalan keteknikan (engineering

problem). Penyederhanaan atau anggapan yang ada pada matematik ditetapkan sedemikian

sehingga diperoleh suatu ketelitian yang cukup tanpa adanya kesalahan yang berarti.

Kegiatan Belajar 2.2 Konsep Pemodelan Pada Masalah Dinamik

II-3

Dinamik memiliki makna berubah-ubah setiap waktu (time-varying) sehingga beban dinamik

adalah beban yang memiliki besar, arah dan titik kerja yang berubah-ubah setiap waktu,

akibatnya respon dinamik struktur yang dibebani beban dinamik berupa tegangan dan defleksi

yang terjadi juga berubah-ubah setiap waktu. Dengan demikian solusi masalah dinamik pasti

berbeda dengan solusi masalah statik.

Konsep Derajat Kebebasan (Degree Of Freedom, DOF)

Karena beban dinamik berubah-ubah setiap waktu (time-varying), maka dibutuhkan suatu sistem

koordinat yang independent atau koordinat bebas untuk menetapkan susunan atau posisi model

pada setiap saat. Apabila suatu titik yang ditinjau mengalami perpindahan tempat secara

horisontal, vertikal, dan ke samping, misalnya, maka sistim tersebut mempunyai 3 derajat

kebebasan artinya titik yang bersangkutan dapat berpindah secara bebas dalam 3 arah. Jika suatu

elemen struktur dimisalkan terbangun dari serangkaian titik yang kontinu dan dibebani beban

dinamik maka jumlah koordinat untuk menentukan posisi masing-masing titik setiap saat

sepanjang elemen menjadi tak terhingga banyaknya. Jumlah koordinat bebas minimum untuk

menyatakan posisi titik -titik tersebut setiap saat disebut dengan jumlah derajat kebebasan

(degrees of freedom, DOF). Jumlah DOF dari suatu sistem struktur dinamik akan menentukan

kompleksitas solusi yang diperoleh.

Elemen kontinum memiliki jumlah DOF tak terhingga sehingga solusinya tentu tentu

sangat kompleks dan mahal. Untuk alasan tertentu elemen kontinum tersebut dimodelkan hanya

terdiri dari beberapa titik atau diasumsikan sebagian masa menggumpal pada beberapa titik

(lumped mass) sehingga terbentuk sistem diskrit. Setiap titik gumpalan tersebut selanjutnya

diijinkan hanya bergerak pada beberapa arah tertentu sehingga diperoleh model yang lebih

sederhana dengan jumlah DOF nya tereduksi menjadi beberapa derajat kebebasan (multi degree

of freedom, MDOF), dan untuk keadaan tertentu elemen struktur hanya diwakilkan oleh satu

titik yang disebut massa tergumpal ( lumped mass) yang diijinkan bergerak hanya pada satu arah

sehingga disebut struktur berderajat kebebasan satu ( single degree of freedom, SDOF).

II-4

Konsep Model Matematik Pada Sistem SDOF

Untuk memodelkan sistem dinamik secara matematik maka diperlukan hukum-hukum atau dalil-

dalil yang berkaitan dengan gerakan dari setiap massa yakni

a. Hukum Gerak Newton

Hukum Newton yang kedua menyatakan bahwa laju perubahan momentum setiap masa sama

dengan gaya yang bekerja pada massa tersebut atau dirumsukan sebagai berikut :

(2.1)F : Resultan Gaya

m : Massa

v : Kecepatan

x : Jarak

t : Waktu

b. Prinsip D’ Alembert

Prinsip d’Alembert sering dipakai untuk menyusun persamaan diferensial gerakan suatu

massa (differential equation of motions). Prinsip d’Alembert’s mengatakan bahwa keseimbangan

dinamik suatu massa atau sistem yang sedang bergerak dapat diperoleh dengan menambahkan

sebuah gaya fiktif pada gaya luar yang sedang bekerja pada massa tersebut dengan arah yang

berlawanan. Gaya imajiner tersebut biasanya disebut gaya inersia maka persamaan

kesetimbangan gerak adalah

Total masa tingkat sistem lumped mass

Model lumped mass sistem SDOF

1 DOF

Gambar 2.2 Pemodelan sistem koordinat

II-5

II-6

F F imajiner = -m.aArah gerak F

(2.2)

Kedua hukum ini menjadi dasar pembuatan model matematika.

a. Model Matematik Struktur SDOF Tanpa Redaman (Undamped System)

Terlihat pada gambar 2.4.a adalah sebuah model fisik struktur bangunan 1-tingkat

menopang beban gravitasi berupa beban merata dan beban horizontal dinamik (Pt). Akibat

beban P(t), struktur akan bergoyang ke kanan lalu ke kiri. Berdasarkan konsep pemodelan

dinamik karena gerakan yang terjadi hanya pada arah horisontal maka struktur bangunan tersebut

dimodelkan sebagai sistem struktur SDOF. Dua parameter yang mempengaruhi besar kecilnya

goyangan yaitu massa (m) dan kekakuan kolom (k) selanjutnya disebut karakteristik dinamik

struktur. Terlihat bahwa semakin kaku kolom maka goyangan massa akan semakin kecil dan

sebaliknya.

Gambar 2.4 Pemodelan Struktur SDOF

Model matematik beban gravitasi seperti gambar 2.4.a selanjutnya formulasikan sebagai

suatu massa m, yang dihitung menurut,

a. Struktur real b. Model matematik c. Hubungan gaya dan perperpindahan

Gambar 2.3 Kesetimbangan Dinamik

II-7

m = Wg

(2.3)

dimana W adalah berat beban dan g adalah percepatan gravitasi

Model matematis massa struktur tersebut selanjutnya disimbolkan sebagai suatu kotak

dengan massa m bergerak diatas landasan melalui roda-rodanya seperti tampak pada gambar

2.4.b. dimana gesekan antara roda-roda dengan landasannya dianggap tidak ada. Gerakan massa

m akibat beban dinamik P(t) tersebut sebetulnya dipengaruhi oleh kekakuan kolom. Secara

matematis perilaku kekakuan kolom diasumsikan seperti pegas elastik sehingga digunakan

simbol pegas seperti terlihat pada gambar 2.4.b. Sehingga hubungan antara simpangan horizontal

y(t) yang terjadi, gaya yang bekerja dan sifat pegas yang linier tampak seperti pada gambar 2.4.c

yang diukur dari posisi massa saat diam.

Kekakuan kolom sebenarnya adalah fungsi langsung dari sistim pengekangan pada ujung-

ujung kolom (jepit murni, sendi atau jepit berotasi). Modulus elastic E, momen inersia I, dan

berbanding terbalik secara kubik dengan panjang kolom h sehingga kekakuan kolom sangat

dipengaruhi oleh panjang kolom. Gambar 2.4.b adalah model matematik suatu struktur yang

tidak mempunyai redaman.

b. Model Matematik Struktur SDOF Dengan Redaman

Benda yang bergerak di permukaan bumi umumnya akan mengalami resistensi baik karena

gesekan dengan benda-benda sekelilingnya maupun oleh peristiwa intern yang ada pada benda

bersangkutan. Dengan adanya resistensi gerakan itu maka gerakan benda lambat laun akan

melemah, sebagaimana tampak pada gambar 2.5.b. Hal ini terjadi karena adanya mekanisme

penyerapan energy yang disebut redaman. Model matematik redaman biasa diberi simbol C.

II-8

Gambar 2.5 Model Matematik Struktur Yang Teredam

Terdapat beberapa jenis redaman (C) yang dikenal yaitu:

1. Redaman Struktural( Structural Damping)

Redaman struktural adalah redaman akibat gesekan internal molekul-molekul di dalam

bahan, atau gesekan antara bagian-bagian struktur dengan alat-alat penyambung, atau

gesekan antar struktur dengan system tumpuan sehingga jenis bahan, jenis alat penyambung,

kwalitas sambungan serta kondisi tumpuan akan berpengaruh terhadap kekuatan/gaya

redaman C.

2. Redaman Coulomb (Coulomb Damping)

Coulomb damping adalah redaman akibat gesekan antar sesama benda padat, misalnya

gesekan antara suatu kotak dengan lantai. Besarnya gaya redam C ini bergantung pada

besarnya gaya normal N dan kooefisien gesek permukaan. Gaya redam tersebut dinyatakan

dalam.

(2.4)

3. Redaman Viscous (Viscous Damping)

Viscous Damping adalah redaman akibat gesekan antara benda padat dengan benda cair/gas

(air,minyak,olie, udara). Contohnya adalah gerakan torak didalam silinder yang dilumasi,

gerakan perahu diatas air, gerakan kendaraan diatas jalan raya dan goyangan struktur akibat

beban dinamik, sehingga model matematik redaman redaman viscous adalah berupa gerakan

torak dalam silinder. Humar (1988) mengatakan bahwa untuk material yang mempunyai

koefisien redaman viscous relatif kecil, maka gaya redam C sistim dapat dihitung dengan

rumus,

II-9

(2.5)

c adalah koefisien rendaman dan y adalah kecepatan gerakan.

Koefisien redaman c biasa dinyatakan dengan rasio redaman (damping ratio). Setiap jenis

material dan tingkat respon struktur akan mempunyai rasio redaman yang berbeda. Efektivitas

gaya redam C seperti pada pers. 2.5 akan bergantung pada lamanya pembebanan. Semakin

singkat waktu pembebanan seperti ledakan, maka efektivitas penyerapan energinya atau redaman

menjadi relatif kecil. Redaman yang efektif akan banyak mengurangi atau mengeliminasi

goyangan. Redaman viskos umumnya dipakai untuk respon suatu struktur yang dipengaruhi oleh

frekuensi beban (frekuensi dependent). Contohnya adalah beban gempa bumi.

Model matematik suatu struktur yang mempunyai redaman selengkapnya adalah seperti

pada gambar 2.4.c. Pada gambar tersebut, suatu massa m yang bergerak di atas landasan akibat

beban dinamik P(t) , gerakannya akan dikendalikan oleh kekakuan pegas k, dan koefisien

redaman c. Gaya pegas dan gaya redam akan bekerja secara berlawanan dengan arah gerakan.

Hal inilah yang memungkinkan bangunan kembali seperti pada posisi semula setelah bergoyang

akibat gempa bumi atau oleh beban dinamik yang lain.

Konsep Pemodelan Shear Building Pada Struktur MDOF

Untuk struktur bangunan bertingkat banyak yang hanya diijinkan bergerak ke arah

horisontal akibat beban gempa, maka umumnya terdapat 3-macam pola gerakan yang

dipengaruhi oleh kombinasi antara kelangsingan struktur, jenis struktur utama penahan beban

dan jenis bahan yang dipakai. Pola gerakan yang pertama adalah Tipe gerakan yang didominasi

geser (shear mode) atau pola goyangan geser. Pola gerakan seperti ini terjadi pada bangunan

bertingkat dengan portal terbuka sebagai sruktur utama. Perilaku struktur portal adalah relatif

fleksibel, sementara plat-plat lantai relatif kaku terhadap arah horisontal. Pola gerakan ini tampak

seperti pada Gambar 2.6.a.

II-10

Gambar 2.6. Pola goyangan pada struktur bertingkat

Pola gerakan kedua adalah pola gerakan yang didominasi oleh lentur (flexural mode)

seperti tampak pada gambar 2.6.b. Tipe Bangunan seperti ini mempunyai struktur dinding yang

kaku baik pada frame-walls atau cantiliver wall yag kedua-duanya dijepit secara kaku pada

fondasinya sehingga berperilaku seperti struktur dinding kantilever, maka gerakannya mengikuti

prinsip lentur.

Pola goyangan yang ketiga adalah kombinasi diantara dua pola gerakan diatas atau seperti

tampak pada gambar 2.6.c. struktur portal terbuka yang dikombinasikan dengan struktur dinding

(structural walls) yang tidak terlalu kaku berkemungkinan mempunyai perilaku gerakan

kombinasi.

Untuk analisis dinamika struktur bertingkat, pola pertama yang umumnya diadopsi, artinya

dimana struktur dianggap cukup fleksibel dengan lantai-lantai tingkat yang relatif kaku, sehingga

diasumsikan bahwa hanya terdapat satu derajat kebebasan pada setiap tingkat. Untuk itu

diperlukan asumsi-sumsi sebagai berikut:

1) Massa struktur dianggap terkonsentrasi pada tiap lantai tingkat dan dikonsentrasikan pada

satu titik pada elevasi tingkat ( lumped mass) yakni massa struktur akibat berat sendiri, beban

berguna, beban hidup dan berat kolom pada ½ tingkat dibawah dan diatas tingkat yang

bersangkutan. Tujuannya adalah untuk mereduksi DOF sehingga lebih sederhana model

matematiknya.

II-11

2) Lantai-lantai tingkat dianggap sangat kaku sehingga tidak terjadi rotasi pada sambungan

balok dan kolom. Dengan demikian lantai tingkat tetap horisontal sebelum dan sesudah

terjadi penggoyangan.

3) Beban aksial kolom dan efek P-delta diabaikan.

Bangunan dengan anggapan-anggapan atau perilaku tersebut diatas disebut shear building.

Berdasarkan prinsip tersebut maka setiap tingkat hanya mempunyai satu derajat kebebasan.

Portal bangunan yang mempunyai n tingkat berarti akan mempunyai n derajat kebebasan.

Gambar 2.7 Model lumped mass sistem MDOF

3 DOF

II-12

P(t)m m

k2 K

P(t)

k1

Sistem redaman

a. Model fisik redaman b. Model SDOF c. Model matematik

Fs

FD

FI P(t)

d. Model free body

Kegiatan belajar 2.3. Persamaan Diferensial pada struktur SDOF.

Setelah model matematik diperoleh selanjutnya adalah menyusun persamaan diferensial.

Sebagai contoh menara tadon air (water tower) adalah salah satu contoh bangunan dengan

derajat kebebasan tunggal (SDOF). Sebelum menurunkan persamaan diferensial gerakan maka

dibuat dulu model fisik, model matematik dilanjutkan dengan menyusun persamaan diferensial

gerakan seperti tampak pada gambar 2.8.

Pada gambar 2.8.a tersebut tampak bahwa P(t) adalah beban dinamik. Struktur seperti pada

gambar 2.8.a kemudian digambar model fisik secara ideal seperti tampak pada gambar 2.8.b.

selanjutnya dibuat model matematik struktur SDOF seperi gambar 2.8.c yaitu gambar yang telah

memperhatikan pemodelan-pemodelan seperti yang dibahas sebelumnya dengan notasi m, c dan

k, berturut-turut adalah massa, koefisien redaman dan kekakuan kolom.

Apabila beban dinamik P(t) seperti tampak pada gambar 2.8.c bekerja ke arah kanan, maka

akan terdapat perlawanan pegas, damper dan gaya inersia. Gambar 2.8.d adalah gambar

keseimbangan dinamik yang bekerja pada massa m. Gambar tersebut pada umumnya disebut free

body diagram. Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut,

maka dapat diperoleh hubungan,

Gambar 2.8 Pemodelan sistem dinamik

II-13

F I + FD + F s = P(t)

(2.6)

Yang mana,

F I = m. y = Gaya

FD= c. y= Gaya

F s= k.y = Gaya

Yang mana, F I, FD, FS berturut-turut adalah gaya inersia, gaya redam dan gaya pegas,

sedangkan y, y,dan y berturut-turut adalah percepatan, kecepatan dan simpangan.

Apabila persamaan 2.) tersebut disubstitusikan pada persamaan a.7) maka akan diperoleh,

m. y + c. y + ky = P(t) (2.7)

atau,

Persamaan 2.7 adalah persamaan differensial gerakan massa suatu struktur SDOF yang

memperoleh pembebanan dinamik P(t). Pada masalah dinamik, yang sangat penting adalah

simpangan horisontal tingkat atau dalam persamaan tersebut adalah y(t). Simpangan horisontal

tingkat akan berpengaruh secara langsung terhadap momen kolom maupun momen balok.

Berdasarkan prinsip mekanika maka pada ujung-ujung kolom terebut akan timbul momen lentur

sebesar,

(2.8)

Dengan M adalah momen ujung kolom, E adalah modulus elstik bahan, I adalah momen inersia

potongan, h adalah panjang kolom dan y(t) adalah simpangan horisontal.

Berdasarkan persamaan 2.8 maka tampak bahwa semakin besar simpangan horisontal y(t)

maka momentum lentur yang terjadi pada ujung-ujung kolom semakin besar. Oleh karena itu

penyelesaian persamaan 2.7 yang terpenting adalah mencari simpangan horisontal y(t).

Persamaan Diferensial Pada Berbagai Macam Tipe Getaran Pada Struktur SDOF

II-14

Secara umum gerakan massa suatu struktur dapat disebabkan oleh adanya gangguan luar

maupun adanya suatu nilai dari awal (initial conditions). Sebagai contoh, massa yang berada

diujung atas tiang bendera ditarik sedemikian rupa sehingga mempunyai simpangan awal sebesar

yo dan apabila gaya tarik tersebut dilepas maka tiang bendera akan bergoyang/bergetar ke kanan

dan kekiri. Peristiwa gerakan massa akibat adanya simpangan awal yo (dapat juga kecepatan

awal seperti itu biasa disebut dengan getaran bebas (free vibration system). Sebaliknya, apabila

goyangan suatu struktur disebabkan oleh gangguan luar maka peristiwa seperti itu biasa disebut

getaran dipaksa (forced vibration system).

Pada model matematik seperti yang telah dibicarakan sebelumnya, gerakan suatu massa

diredam oleh suatu mekanisme gerakan suatu piston didalam silinder ( dasphot) . Gerakan massa

struktur yang memperhitungkan adanya gaya redam disebut sistem redaman (dumped system).

Namun demikian, suatu struktur kadang-kadang dianggap tidak mempunyai redaman atau

undamped systems.

Keempat tipe getaran tersebut adalah free vibration dan forced vibration yang dikombinasikan

dengan undamped dan damped system akan dibahas secara lebih rinci.

a. Persamaan Differensial Getaran Bebas Struktur SDOF

Getaran ini bukan disebabkan oleh beban luar atau gerakan tanah akibat gempa, tetapi akibat

adanya nilai awal (initial conditions), misalnya simpangan awal yo dan kecepatan awal yo.

Sedangkan P(t) = 0, maka persamaan diferensial untuk free vibration systems adalah

1. Getaran bebas tanpa redaman (undamped free vibration ). Pada getaran bebas tanpa redaman

nilai c = 0. Sehingga persamaan diferensial gerakan massa akan menjadi,

m. y + k.y = 0

(2.9)

2. Gerakan bebas yang teredam (damped free vibrations). Pada getaran bebas yang teredam,

energi atau nilai koefisien redaman c tidak sama dengan nol, sehingga persamaan

diferensialnya menjadi,

m. y + c. y + k.y = 0 (2.10)

b. Persamaan Differensial Getaran Dipaksa Struktur SDOF

II-15

Getaran dipaksa adalah getaran yang diakibatkan oleh adanya gaya luar ataupun adanya

getaran tanah akibat gempa. Dalam hal ini nilai P(t) tidak sama dengan nol. Getaran dipaksa

inipun dapat dikategorikan dalam dua golongan yaitu:

1. Getaran dipaksa yang tidak teredam (c = 0)

Persamaan diferensial untuk getaran dipaksa yang tidak diredam adalah,

m. y + k.y = P(t) (2.11)

2. Getaran dipaksa yang teredam

Persamaan diferensial untuk jenis ini adalah,

m. y + c. y + k.y = P(t) (2.12)

Kegiatan Belajar 2.4. Periode Getar T, Frekuensi Sudut (ω) dan Frekuensi Alam

Pada kondisi kondisi getaran bebas tanpa redaman (undamped free vibration system) maka

persamaan diferensial gerakannya adalah,

m. y + k.y = 0 (2.13)

Persamaan 2.13 adalah persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien konstan

yaitu ditunjukkan oleh konstanta m dan k. Disebut persamaan homogen karena suku sebelah

kanan adalah nol. Persamaan 2.13 akan menghasilkan gerakan yang periodik dan harmonik.

Berdasarkan atas respon tersebut maka penyelesaian persamaan 2.13 diasumsikan dalam bentuk

Y = A.sin(ω.t)

(2.14)

A adalah amplitudo simpangan atau suatu koefisien yang nilainya bergantung pada kondisi

awal (initial value). Dari persamaan tersebut juga diperoleh turunan pertama dan kedua yakni :

y=¿ -ω.A.cos(ω.t)

y = ω2.A.sin(ω.t) (2.15)

Substansi persamaan 2.15 kedalam persamaan 2.14 akan didapat,

{k−ω2 . m }.A.sin(ω.t) = 0 (2.16)

II-16

Nilai A dan sin( t) tidak selalu sama dengan nol, maka nilai yang sama dengan nol

adalah,

{k−ω2 . m } = 0 (2.17)

Maka akan diperoleh,

= √ km

(2.18)

T = 2 πω

(2.19)

f = 1T

(2.20)

Yang mana adalah angular frequency (frekuensi sudut) dalam rad/dt, T adalah undamped

free vibration period dalam detik, dan f adalah natural frequency dalam cps (cycle per second)

atau hertz.

LATIHAN SOAL.

1. Tentukan frekuensi sudut dari sebuah struktur dengan massa 10 kg.dt2/cm dan kekakuannya

adalah 250 kg/cm.

2. Tentukan periode struktur dari soal 1?

3. Tentukan frekuensi natural dari soal 1?

4. Tentukan persamaan gerak dari struktur berikut jika mengalami beban dinamis P(t).

5. Tentukan sifat-sifat dari gerakan bebas teredam.

II-17

g

P(t)

ck

RANGKUMAN

1. Model matematis dari struktur adalah idealisasi gambar untuk analisa

2. Jumlah derajad kebebasan jumlah koordinat minimum untuk menentukan posisi suatu titik

setiap saat

3. Diagram free body diagram yang terpisah yang menunjukkan keseimbangan sistem

PENUTUP

TES FORMATIF

1. Apa yang dimaksud dengan SDOF

2. Apa yang dimaksud dengan MDOF

3. Jelaskan tentang model matematik

4. Sebutkan karakteristik dinamik struktur SDOF

5. Tentukan persamaan diferensial dari model matematis berikut :

UMPAN BALIK TINDAK LANJUT

Cocokan jawaban anda dengan Kunci Jawaban. Hitunglah jawaban anda yang benar, kemudian

gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi Modul

2.

Rumus

II-18

Wg

P(t)

fDfsky

Tingkat Penguasaan= Jumlah jawaban anda yang benar5

×100%

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:

90 – 100 % = baik sekali

80 – 89 % = baik

70 – 79 % = cukup

< 70 % = kurang

TINDAK LANJUT

Bila anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan ke materi

selanjutnya. Tetapi bila tingkat penguasaan anda masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi

materi modul 1, terutama bagian yang belum anda kuasai.

KUNCI JAWABAN

1. SDOF adalah sistem struktur yang memiliki derajat kebebasan satu

2. MDOF adalah struktur yang memiliki beberapa derajat kebebasan

3. Model matematik adalah model idealisasi untuk memudahkan analisa

4. Karakteristik dinamik dari struktur SDOF adalah, massa, kekakuan, dan redaman.

5. Jawab :

a. Gambar free body diagram

b. Terapkan hukum Newton dan Prinsip D’Alembert

II-19

;

c. Bentuk persamaan diferensial gerakan :

Gaya berat akibat berat sendiri, W, dapat dieliminasi jika deformasi sistem diukur

terhadap posisi keseimbangan statik dimana . Sehingga persamaan dapat ditulis

dalam bentuk : dimana

II-20