MODUL V

MEMBANDINGKAN RATA-RATA POPULASI

Suatu penelitian sering ingin membandingkan suatu populasi dengan nilai statistic

tertentu atau membandingkan suatu populsi dengan populasi lain. Minitab menyediakan

beberapa metode utnuk melakukan analisis statistic ini.

Uji Rata-rata Populasi dengan sampel Besar

Uji Rata-rata Populasi dengan sampel Kecil

5.1 Uji Rata-rata Populasi

Dalam statistika, uji hipotesis dilakukan untuk membandingkan rata-rata suatu

populsi. Salah satu metode uji hipotesisnya adalah uji t dan uji z. Uji t

33

Uji 2 arahHipotesis:

Statistik uji:

Daerah penolakan

Uji 1 arahHipotesis:

Statistik uji:

Daerah penolakan atau

Asumsi:Data mendekati distribusi normal

Uji 2 arahHipotesis:

Statistik uji:

Daerah penolakan

Uji 1 arahHipotesis:

Statistik uji:

Daerah penolakan atau

Derajat Bebas (df) = n – 1Dimana n adalah jumlah dataAsumsi:Data mendekati distribusi normal

Uji 1 arahHipotesis:

Statistik uji:

Daerah penolakan atau

Asumsi:Data mendekati distribusi normal

menggunakan statistika t dan uji z menggunakan statistika z. Uji t digunakan

apabila jumlah sample kurang dari 30 . Dan standar deviasi populasi

tidak diketahui. Sebaliknya, statistika z digunakan jika jumlah sample besar

dan standar deviasi populasi diketahui. Kedua statistic dapat

digunakan apabila data mengikuti atau mendekati distribusi normal dengan

parameter tertentu. Bila data tidak memenuhi asumsi tersebut maka kedua uji tidak

bisa digunakan.

Sebagai contoh data yang digunakan terdapat pada table 5.1, yaitu data rasio

panjang tulang terhadap lebar tulang lengan atas dari fosil suatu species. Para

arkeolog meyakini bahwa rasio dapat digunakan untuk menentukan jenis spesies

binatang tertentu. Sebelumnya mereka telah menemukan spesies A yang memilki

rata-rata rasio panjang tulang terhadap lebar tulang adalah 8.5.

Tabel 5.1 Data rasio panjang terhadap lebar pada tulang lengan atas

10.73 9.07 10.33 9.848.48 9.57 9.94 8.378.52 6.23 6.66 8.868.91 10.48 9.39 9.898.93 10.02 11.67 9.179.38 9.20 9.98 9.178.89 9.29 8.07 6.858.71 9.41 9.35 9.938.87 10.39 9.17 8.1711.77 8.38 8.30 12.008.80

Sumber: Mendenhall, W. dan Sincich, T.,1995. Statistics for Engineering and The Sciences, Practice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey

Untuk membuktikan bahwa keempatpuluh satu spesies sama dengan spesies A,

maka kita perlu melakukan uji rata-rata rasio panjang tulang terhadap lebar tulang

fosil yang telah ditemukan. Dari penelitian standar deviasi tidak diketahui, maka

yang akan digunakan adalh uji t. Tahap-tahap melakauakan uji t dalam Minitab

adalah:

1. Pilih Stat > Basic Statistic > 1-Sample t.

2. Dalam kotak dialog masukkan varibel Rasio ke dalam kotak di bawah Varibel.

34

Dalam analisis, rata-rata rasio data dalam table akan dibandingkan dengan rasio

spesies A, yaitu 8.5. cara melakukannya adalah:

3. Isikan 8.5 ke dalam Test mean.

4. pilih Graph untuk menampilkan output dalam bentuk grafik.

5. beri tanda cek pada Histogram of Data.

6. Kemudian klik OK

Gambar 5.1 Kotak Dialog 1 sampel t

Interpretasi output

Gambar 5.2 dan 5.3 menunjukkan output analisisnya. Output 5.2 menunjukkan

nilai-nilai statistic seperti rata-rata, standar deviasi dan selang kepercayaan 95%

untuk rata-rata.

Gambar 5.2 Hasil uji rata-rata 1-sample t

Hipotesis

Hipotesis pada analisis adalah:

H0 : Rata-rata rasio tulang

H1 : Rata-rata rasio tulang

Dugaan (hipotesis) awal adalah keempat uluh satu fosil yang telah ditemukan sama

dengan spesies A. Sebaliknya, hipotesis alternative mengatakan bahwa keempat

puluh satu fosil yang telah ditemukan tidak sama dengan spesies A.

35

One-Sample T: Rasio

Test of mu = 8.5 vs not = 8.5

Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI T PRasio 41 9.24732 1.20245 0.18779 (8.86778, 9.62686) 3.98 0.000

Daerah Penolakkan

Uji 1 arah:

Tolak hipotesis awal apabila atau

Uji 2 arah:

Tolak hipotesis awal apabila

Gambar 5.3 Histogram Rasio

Interprestasi Output Uji Rata-rata Populasi

Analisis menggunakan level toleransi sebesar 5% dan uji 2 arah. Tabel distribusi

t memperlihatkan nilai dengan derajat bebas n-1 = 41 – 1 = 40 sebesar

2.021. Gambar 5.2 menunjukkan nilai statistic T sebesar 3.98. Apabila statistic T

pengamatan dibandingkan dengan statistic , statistic T lebih besar. Ini berarti

kesimpulannya adalah menolak hipotesis awal jaid, uji 2 arah menunjukkan bahwa

keempat puluh satu fosil tulang yang telah ditemukan tidak sama dengan jenis

spesies A.

5.2 Membandingkan Rata-rata Dua Populasi dalam Satu Percobaan

Untuk menggambarkan uji antara 2 populasi, akan menggunakan ilustrasi

dalam Tabel 5.2 yang merupakan data pengukuran waktu respons antara 2 jenis disc

drive 1 dan disc drive 2. Jenis disc dirve 1 memperoleh 13 pengamatan, sedangkan

disc drive 2 memperoleh 12 pengamatan. Peneliti ingin membandingkan kedua

jenis disc drive.

36

Tabel 5.2 Waktu respons 2 jenis Disc Drive

Disc Drive 1 Disc Drive 2

59 60 47 71 48 4492 73 33 38 41 3954 75 61 47 68 34

102 74 53 40 7573 84 63 60 86

Tahap-tahap analisis data dalam Minitab sebagai berikut:

1. Pilih Stat > Basic Statistics > 2-Sample t

Gambar 5.4 Kotak Dialog 2-Sample t

2. Pilih Sample in difference columns

3. Dalam First masukkan variable Disk 1

4. Dalam Second masukkan variable Disk 2

5. Analisis mengasumsikan varian populasi adalah sama.

Cara melakukan uji t yang mengasumsikan bahwa varian populasi adalah sama:

6. Beri tanda cek pada Assume equal variance

7. Klik tomobl Graph

8. Pada kotak dialog, beri tanda cek pada Boxplot of Data

9. Selanjutnya, klik OK.

37

Gambar 5.5 Hasil Uji Rata-rata dua sample independen

Gambar 5.6 Boxplot Disc Drive 1 dan Disc Drive 2

Hipotesis

Hipotesis untuk tabel adalah

Hipotesis awal (H0) mengatakan bahwa rata-rata waktu respons disc drive 1 sama

dengan rata-rata waktu respon disc drive 2. sebaliknya, hipotesis alternative (H1)

mengatakan bahwa rata-rata waktu respons disc drive 1 tidak sama dengan rata-rata

waktu respons disc drive 2.

Daerah Penolakan

38

Two-Sample T-Test and CI: Disc Drive 1, Disc Drive 2

Two-sample T for Disc Drive 1 vs Disc Drive 2

N Mean StDev SE MeanDisc Drive 1 13 68.2 18.7 5.2Disc Drive 2 15 53.8 15.8 4.1

Difference = mu (Disc Drive 1) - mu (Disc Drive 2)Estimate for difference: 14.430895% CI for difference: (1.0468, 27.8148)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 2.22 P-Value = 0.036 DF = 26Both use Pooled StDev = 17.1831

Interpretasi Output Uji Rata-rata 2 Sampel Independen

Gambar 5.7 Daerah penolakan pada distribusi t untuk = 5% dan df=40

Uji rata-rata dua sampel independent akan menggunakan level toleransi sebesar

5%. Derajat bebas (df) pada penelitian adalah 26. Tabel distribusi t menunjukkan

nilai statistic t0.05/2 pada df =26 sebesar 2.056. Output 5.5 memperlihatkan statistic T

hasil pengamatn adalah 2.22./ bila dilihat pada grafik penolakan gambar 5.7

menunjukan bahwa statistic T(2.22) jatuh di daerah penolakan. Hasil menunjukan

bahwa waktu respons disc drive 1 tidak sama dengan waktu respons disc drive 2.

Boxplot pada gambar 5.6 menunjukan bahwa waktu respons disc drive 1 lebih cepat

dibandingkan waktu respons disc drive 2, yang terlihat dari posisi rata-rata waktu

responsdisc drive 1 lebih tinggi dari pada rata-rata waktu respons disc drive 2.

5.3 Membandingkan Varian dua Populasi

Suatu penelitian tidak mengukur rata-ratanya, tetapi juga varian datanya yang

menunjukkan penyebaran data. Ada 2 metode utnuk melakukan uji dengan

menggunakan varian, yaitu uji varian suatu populasi dan uji rasio antara 2 varian.

Uji varian suatu populasi digunakan untuk menguji kesesuaian varian suatu data

dengan varian tertentu. Aapaun uji rasio varian digunakan apabila 2 populasi yang

variannya akan dibandingkan. Kedua metode sama-sama mensyaratkan distribusi

yang mendasari data adalah distribusi normal.

Sebagai ilustrasi, agar mudah memahami mengenai uji rasio antarvarian maka

kita akan menggunakan data pada table 5.2.

39

Daerah penolakan

Daerah penolakan

Uji varian 2 populasi

Langkah-langkah untuk melakukan uji varian 2 populasi dalam Minitab adalah:

1. PIlih Stat > Basic Statistics > 2 variances

Gambar 5.8 Kotak Diaolg 2 Varians

2. Pilih Samples in different columns

3. Dalam First, Isikan Dsik 1

4. Dalam Second, isikan Disk 2

5. Selanjutnya klik OK

40

Uji 2 arahHipotesis:

Statistik uji:

Daerah penolakan

Uji 1 arahHipotesis:

Statistik uji:

Daerah penolakan

Derajat Bebas

Hipotesis

Hipotesis pada analisis adalah:

Hipotesis awal (H0) menduga bahwa varian waktu respons disc drive 1 sama dengan

waktu respons disc drive 2.

Daerah Penolakan

Derajat bebas (df) pengamatan adalah

Interpretsi Output Uji Rasio Varian

Gambar 5.9 Output hasil perbandingan varian waktu respons 2 jenis disc drive

Pada output dapat terlihat bahwa nilai statistic F adalah 1.39 . Pada table distribusi F

nilai . Nilai F masih berada di atas nilai statistic F hasil pengamatan.

Oleh karena itu, kesimpulan hasil uji adalah varian waktu respons disc drive 1 dan

varian disc drive 2 secara statistic tidak berbeda.

Pada gambar 5.9 tampak bahwa varian waktu respons disc drive 1 sebesar

, sedangkan varians waktu respons disc drive 2 sebesar

. Secara matematis varian berbeda, namun secara

statistis telah terbukti bahwa kedua varian waktu respon tidak berbeda.

41

Test for Equal Variances: Disc Drive 1, Disc Drive 2 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations N Lower StDev UpperDisc Drive 1 13 12.7930 18.6599 33.3688Disc Drive 2 15 11.0945 15.8078 26.7933

F-Test (normal distribution)Test statistic = 1.39, p-value = 0.548

Levene's Test (any continuous distribution)Test statistic = 0.11, p-value = 0.740

Pada gambar 5.10menunjukkan 2 jenis grafik yaitu dotplot (grafik bagian atas)

dan boxplot (grafik bagian bawah). Pada grafik memperlihatkan penyebaran waktu

respons disc drive 1 tidak berbeda jauh dengan penyebaran waktu respons disc drive

2.

Gambar 5.10 Grafik hasil Perbandingan varian waktu respons 2 jenis disc drive

42