modul 5. planaritas (2x pert)

8/17/2019 Modul 5. Planaritas (2x Pert)

1/44

Modul 5

Planaritas

Drs. Emut, M.Si

ada Modul 4, Anda telah mempelajari koleksi jenis graf yang disebut

pohon. Anda pun telah mempelajari sifat-sifat pohon dan bermacam-

macam pohon. Salah satu sifat yang menarik dalam pohon G (p,! adalah

hubungan antara banyaknya simpul dan banyaknya rusuk, yakni p " # $.

Sifat ini dan sifat lainnya akan digunakan dalam pembahasan modul-modul

selanjutnya. %leh karena itu Anda diharapkan untuk selalu memahami dan

mengingat konsep-konsep penting tersebut.

P

&alam Modul ' ini, akan dibahas sifat planaritas dari suatu graf. Graf

planar G (p,! adalah suatu koleksi graf yang dapat dibentangkan atau

dipancangkan dalam sebuah bidang datar dengan sifat tidak ada dua rusuk

yang berpotongan. &i samping definisi graf planar, akan dibicarakan juga

tentang ciri-ciri graf planar, rumus uler, genus, graf polihedral, dan diakhiri

dengan graf infinit.

Setelah menyelesaikan modul ini Anda diharapkan akan memiliki

kemampuan-kemampuan sebagai berikut)

$. menjelaskan perbedaan antara graf planar dan graf sebidang*

+. menghitung banyaknya daerah suatu graf planar*

. menjelaskan daerah terhubung sederhana*

4. menjelaskan rumus uler pada graf sebidang serta perluasan rumus itu*

'. menjelaskan baha graf bipartit lengkap - ( ,! dan graf lengkap '

( ! adalah nonplanar*

/. menjelaskan mengapa hanya terdapat lima graf polihedral*

0. menghitung banyaknya rusuk, titik, dan sisi setiap polihedral*

1. menjelaskan makna genus untuk suatu permukaan*

2. menjelaskan graf-graf yang bergenus $*

$3. menjelaskan daerah terhubung sederhana (+-sel! pada torus*

PENDAHULUAN


2/44

5.2 Pengantar Teori Graph

$$. menggambarkan beberapa graf lengkap yang dapat dipancangkan pada

bola dan torus*

$+. menuliskan beberapa rumus tentang graf-graf nonplanar*$. menjelaskan graf-graf dual dan graf-graf infinit*

$4. menggambarkan beberapa graf teroidal.

emampuan tersebut sangat penting bagi semua guru matematika SM.

&engan kemampuan ini cakraala matematika Anda akan menjadi semakin

luas dan akan menambah rasa percaya diri dalam mengajar serta bergaul.

&ampak positip lain, Anda akan makin cinta terhadap bidang studi

matematika ini dan akan tumbuh rasa bangga terhadap tugas mengajar matematika sendiri. ondisi ini akan dapat memoti5asi Anda untuk

meningkatkan profesionalitas kerja, khususnya pengabdian Anda dalam

mengajar.

ntuk membantu Anda menguasai kemampuan di atas, dalam modul ini

akan disajikan pembahasan dalam dua egiatan 6elajar (6! sebagai

berikut)

egiatan 6elajar $ ) Graf 7lanar dan Graf Sebidang.

egiatan 6elajar + ) Genus suatu Graf dan Graf &ual.

Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul ini, ikuti

petunjuk belajar sebagai berikut)

$. Bacalah dengan cermat bagian pendahuluan modul ini sampai Anda

memahami apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini.

+. Baca sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dan

kata-kata yang Anda anggap baru. 8angan terkejut jika Anda belum

memahami pada pembacaan yang pertama.. Tangkaplah pengertian demi pengertian dari isi modul ini melalui

pemahaman sendiri dan tukar pikiran dengan mahasisa lain atau

dengan tutor Anda.

4. 8ika pada pembacaan yang pertama dan Anda belum paham adalah

kejadian yang wajar . 9oba ulangi lagi. Gunakan alat-alat bantu pensil

dan kertas untuk coret-coret bilamana diperlukan.

'. Mantapkan pemahaman Anda melalui diskusi mengenai hasil

pemahaman Anda dalam kelompok kecil atau bersama tutor.


3/44

Kegiatan Belajar 1

Graf Planar dan Graf Sebidang

onsep utama dalam teori graf adalah planaritas dan bilangan kromatik.

ombinasi kedua konsep itu memunculkan permasalahan pelik yang

terkenal dengan) Masalah mpat :arna. 7ada egiatan 6elajar $ ini akan

didiskusikan konsep planaritas.

K

GRAF PLANAR DAN GRAF SEBIDANG

Suatu graf planar G (p,q) adalah graf yang dapat digambarkan di bidang

datar sehingga tidak ada dua rusuknya yang berpotongan kecuali pada

simpul-simpulnya.

Contoh

&iberikan suatu graf G (',2!, sebagai berikut.

Gambar '.$

Graf G di atas, dapat digambarkan pada bidang datar dengan beberapa

bentuk. Gambar '.$ (a! merupakan salah satu gambar graf G dengan rusuk-

rusuk yang berpotongan. ;amun demikian, G dapat digambarkan pada

bidang datar tanpa adanya perpotongan rusuk-rusuknya kecuali pada simpul-

simpulnya, sebagaimana terlihat pada Gambar '.$ (b!. Menurut definisi

diketahui baha G adalah graf planar.

Graf planar yang telah digambar di bidang datar sedemikian rupa sehinggatidak ada dua rusuknya yang berpotongan disebut graf sebidang .


4/44

8adi, graf pada Gambar '.$ (a! adalah bukan graf sebidang, akan tetapi graf

pada Gambar '.$ (b! adalah graf sebidang.

Misalkan G adalah graf sebidang dan perhatikanlah bagian-bagian bidang datar yang ditinggalkan setelah kita mengangkat rusuk-rusuk dan

simpul-simpul dari G (boleh dibayangkan baha bidang tempat gambar di

buat dari tanah liat!. 7otongan-potongan bidang terhubung ini disebut daerah

(region! dari G. &aerah dalam G terdiri atas + jenis yaitu daerah dalam dan

daerah luar . Setiap graf sebidang senantiasa mempunyai satu daerah luar.

Simpul-simpul dan rusuk-rusuk dari G yang bertemu dengan daerah


5/44

&engan cara yang sama diperoleh der( der (

ondisi ini bukan suatu kebetulan, sebab setiap graf sebidang G (p,!

dengan r daerah berlaku hubungan p ? # r " +. 7ersamaan tersebut

merupakan temuan Matematikaan @eonard uler yang dikenal dengan

Teorema "uler untuk graph sebidang .

RUMUS EULER DAN PERLUASANNYA

Teorema #$$ (!umus "uler)

8ika G (p,! adalah graf sebidang terhubung yang mempunyai r daerah

maka p - # r " +.

Catatan

Graf G (p,! sebidang terhubung adalah syarat perlu untuk berlakunya p - #

r " +, tetapi bukan syarat perlu dan cukup. Maksudnya, jika berlaku p - # r

" +, belum tentu graf G (p,! sebidang terhubung. ita buktikan rumus uler

tersebut.

6ukti

ita gunakan induksi matematik atas banyaknya rusuk .

(i! 8ika G graf sebidang terhubung dengan banyak rusuk " $, maka G

adalah pohon sehingga banyaknya simpul p " + (ingat p " #$! dan

memiliki banyaknya daerah r " $. Akibatnya, diperoleh p - # r " + - $

# $ " +. 8adi rumus benar untuk " $.

(ii! &iasumsikan rumus benar untuk graf terhubung dengan banyak simpul

p, banyak rusuk " k dan banyak daerah r, yakni, p - k # r " +.


6/44

(iii! Akan dibuktikan rumus juga benar untuk " k # $. Ambillah sebarang

graf terhubung sebidang G dengan banyak simpul p, banyak rusuk

" k # $, dan banyak daerah r. Akan dibuktikan baha p - (k # $! # r " +. Ada dua kasus yang mungkin, yaitu untuk G pohon

dan G bukan pohon.

%asus $

8ika G pohon maka berlaku rumus p " # $ sehingga didapat p " k # $ # $ "

k # + dan memiliki r " $. &engan demikian diperoleh p - (k#$! # r " (k#+! -

(k#$! # $ " +. 8adi rumus benar untuk " k # $.

%asus &$

Misalkan G bukan pohon. arena G terhubung dan bukan pohon maka G

mempunyai sikel S. 7ilih salah satu rusuk e pada S. 7andang G - e adalah

graf terhubung dengan banyak simpul p, dan banyak rusuk (k#$! - $ " k, dan

banyak daerah r - $, sebab sebuah rusuk adalah batas dua daerah. arena G -

e mempunyai rusuk sebanyak k, menurut asumsi pada (ii!, rumus benar untuk

graf G - e, sehingga) p - k # (r - $! " + menjadi p - (k#$! # r " +. 8adi, berlaku

untuk G bukan suatu pohon.6erdasarkan bukti tersebut, diperoleh kesimpulan baha persamaan

p # ? r " + berlaku untuk setiap banyak rusuk dan terbuktilah eorema

'.$.

Teorema #$&$

8ika G adalah graf sebidang terhubung dengan banyak simpul p, p B ,

dan banyak rusuk maka berlaku C p - /.

Catatan.

ontra positif dari teorema ini adalah jika B p - / maka graf G (p, ! tidak

terhubung planar. on5ersnya belum tentu benar* artinya, jika dalam graf G

(p,! berlaku C p-/, maka G(p,! belum tentu planar terhubung. Sekarang

kita buktikan eorema '.+.

6ukti

6ukti dengan teknik langsung. ntuk p " , paling banyak . 8adi rumus benar. Misalkan G adalah graf terhubung sebidang dengan p B 4. Misalkan

banyak daerah adalah r. Setiap daerah paling sedikit dibatasi oleh rusuk,


7/44

jadi r daerah paling sedikit dibatasi oleh +D banyaknya rusuk (setiap rusuk

menjadi batas + daerah!. arena banyaknya rusuk adalah , maka

≥ rD+ atau r ≤ +D ($!Menurut eorema '.$, p - # r " +, (+!

($! masuk (+!, menjadi p - # +D ≥ +yakni p - # + B /

atau C p - /.

Teorema #$'$

Graf bipartit lengkap ,

adalah non planar

6ukti

ndaikan ,

planar. @ihat Gambar '.(a!. 6anyaknya simpul p " /,

banyaknya rusuk " (./!D+ " 2. Menurut eorema '.$, p - # r " +,

sehingga r " + - / # 2 " '. 8ika ,

planar, maka satu daerah yang terjadi

paling sedikit dibatasi oleh 4 rusuk. 8adi + B 4r dan karena " 2, maka

$1 ≤ 4r atau r ≤ 2D+, yang tentu saja kontradiksi dengan r " '. 7engandaianharus diingkar.

Gambar 5.3.

Teorema #$$

Graf lengkap ' adalah non planar.

6ukti

arena G adalah graf lengkap ' maka dipeorleh p " ' dan " ' ('-$!D+ "$3. Akibatnya, didapat p ? / " . ' ? / " 2 C " $3. Menurut kontrapositif


8/44

dari eorema '.+ didapat jika B p ? / maka G bukan graf terhubung

planar. 8adi, ' adalah graf non planar .

Teorema #$#$

Setiap graf planar G memuat suatu simpul 5 sedemikian rupa sehingga

deg 5 C '.

Catatan

ontra positif dari eorema '.'. adalah jika setiap simpul dalam G berderajat

/ atau lebih maka G adalah graf non planar.

6ukti

Andaikan semua simpul dalam G (p,! berderajat / atau lebih maka

menurut eorema 8abat tangan didapat + " > der (5! E > / " /p sehingga

E p. 7ada sisi lain, menurut eorema '.+ diperoleh ≤ p ? /, sehingga C p. Fal ni kontradiksi dengan E p. Akibatnya, pengandaian salah,

sehingga tidak semua simpul berderajat / atau lebih. &engan kata lain,

terdapat suatu simpul 5 dalam G dengan deg 5 ≤ '.

SUBDIVISI SUATU GRAF

Misalkan G suatu graf. Graf subdi*isi G adalah suatu graf yang

diperoleh dari G dengan memasukkan simpul-simpul berderajat + ke dalam

rusuk-rusuk dari G (beberapa pengarang menyebutnya dengan konfigurasi

atau kontraksi!.

Contoh &

&iberikan graf, yaitu graf G, F dan =, sebagaimana pada Gambar '.4. Graf

F adalah suatu graf yang diperoleh dari G dengan memasukkan dua simpul

berderajat dua, yakni u dan 5. Menurut definisi, F merupakan graf subdi5isi

dari G, sedangkan = bukan graf subdi5isi dari G.

u

5


9/44

Gambar '.4.

Sekarang akan dibicarakan teorema yang sangat terkenal dalam teorigraf, yakni eorema urato5ski. Akan tetapi, buktinya terlalu panjang untuk

disajikan di sini. 6ukti teorema dapat dilihat, antara lain pada 6erge, 9.

dalam Hhe heory of Graph and ts ApplicationsI, 8ohn :iley and Sons,

;e Jork, $2/+ atau pada @iu, 9.@, H +ntroduction to Combinatorical

athematicsI, McGra-Fill 9ompany, ;e Jork, $2//.

Teorema #$ (Teorema %uratowski)

Suatu graf G adalah planar jika dan hanya jika G tidak memuat subgraf yang isomorphik dengan ,

atau ' atau sebarang subdi5isi dari

, atau

'.

Contoh '

Graf bipartet lengkap ,4, yakni ,4 adalah graf non planar karena ,4

memuat ,.

GRAF PLATONIK (GRAF POLIHEDRAL)

Graf platonik adalah graf planar yang memiliki sifat) semua simpulnya

berderajat sama, yakni d$, dan semua daerahnya dibatasi oleh banyak rusuk

yang sama, yakni d+, dengan ketentuan d

$ B , d

+ B . Graf platonik adalah

HkerangkaI dari polihedral pejal atau masif. ;ama-nama seperti) polihedral,

polihedron, benda platonik, dan bidang banyak teratur sering dipakai secara

sinonim.

Marilah kita analisis apa saja polihedral itu. Misalkan G (p,! adalah graf platonik dengan banyak daerah r.

$. 6erdasarkan eorema 8abat tangan, diperoleh baha jumlah dari derajat

simpul-simpul yaitu pd$ sama dengan + banyaknya rusuk, yaitu +.

(ingat ) > deg (5! " + !. 8adi pd$ " + atau " (pd$!D+

+. 6anyaknya daerah adalah r, dan setiap daerah dibatasi oleh d+ rusuk.

Maka banyaknya rusuk adalah rd+D+. 8adi kita peroleh " rd+D+.

8ika kita gunakan hasil pada ($!, maka (pd$!D+ " rd+D+ atau r " (d$Dd+!p.

. Menurut


10/44

edua ruas dikalikan dengan +d+ sehingga

+d+ p ? d$ p d+ # +d$ p " 4d+

atau (+d$ # +d+ ? d$d+!p " 4d+4. arena p dan 4d

+ adalah bilangan bulat positif, maka dari hasil dalam (!

dapat disimpulkan baha +d$ # +d

+ - d

$d

+ B 3. etaksamaan ini dapat

dianalisis selanjutnya sebagai berikut)

d$d

+ - +d

$ - +d

+ # 4 C 4

(d$ - +! (d

+ - +! C 4.

'. arena d$ B , d

+ B , maka ada pasangan-pasangan d

$ dan d

+ tertentu

saja yang memenuhi ketaksamaan itu. 7erhatikanlah abel di baah iniuntuk berbagai nilai d$ dan d

+ yang memenuhi (4! beserta nilai p, dan r

yang terkait.

d1 d2(3)

p=4d2/(2d1+2d2-d1d2)

(1)

q=d1p/2

(2)

r=(d1/d2)p

Nama

Polihedron

3 3 p = 12/3 = 4 q = 6 r = 4Tetrahedron = bidang

4 teratur

3 4 p = 16/2 = q = 12 r = 6 !e"#ahedron = bid$ 6teratur = "ubu#

3 % p = 2&/1 = 2& q = 3& r = 12'ode"ahedron =

bidang 12 teratur

4 3 p = 12/2 = 6 q = 12 r = "tahedron = bidang

teratur

% 3 p = 12/1 = 12 q = 3& r = 2&"o#ahedron =

bidang 2& teratur

6enda-benda platonik diberi nama menurut banyaknya daerah. Sebagai

catatan, jika benda platonik masif atau dimensi maka daerah ini adalah

KsisiL dinotasikan S, simpul disebut Ktitik-sudutL, dilambangkan , dan rusuk

tetap diberi nama KrusukL benda itu, dilambangkan dengan


11/44

Gambar '.'.

Gambar polihedral pejal diperlihatkan pada Gambar './. di baah ini


12/44

Gambar 5.6.

Contoh

6uktikanlah baha graf terhubung planar G dengan banyak simpul

kurang dari $+ mempunyai suatu simpul dengan derajat paling banyak 4.

Catatan

ontra positif dari 9ontoh 4 adalah jika G suatu graf dengan banyak simpul

kurang dari $+ dan setiap simpulnya berderajat ' atau lebih.

7enyelesaian

Bidang-12 teraturDodekahedron


13/44

Akan dibuktikan dengan teknik kontra positif. 6erdasarkan ketentuan

diketahui baha graf G (p,!, dengan p ≤ $$. ndaikan untuk setiap simpul 5

di G berderajat ' atau lebih, yakni, deg 5 B ' untuk setiap 5 di G. Akibatnya, banyaknya rusuk di G lebih dari '.$$ " ''. Menurut eorema 8abat tangan

diperoleh + B '' atau B +1. &ari pihak lain, menurut eorema '.+, didapat

C p - / " - / " +/. ontradiksi. 7engandaian harus diingkar, yaitu tidak

semua simpul berderajat ' atau lebih. &engan kata lain, terdapat simpul

dalam G dengan derajat 4 atau kurang.

Contoh

Selidikilah, apakah graf pada Gambar '.0.(a! merupakan graf planar

7enyelesaian

Mula-mula carilah sirkuit yang terpanjang . ita peroleh sirkuit itu

adalah a, f, c, h, d, g, e, a yang memuat semua ke delapan simpul. Sekarang

cobalah menambahkan keempat rusuk-rusuk yang lain, ah, bf, cg, dan de.

&engan cara mengambil simetri dalam-dan-luar, kita dapat memulai dengan

menggambar ah, di sebelah dalam. @ihat Gambar '.0(b!. emudian, bf dan

cg harus berada di sebelah luar. Artinya, G dapat digambarkan dalam bidangdatar sehingga tidak terdapat rusuk-rusuk yang berpotongan kecuali pada

simpul-simpul. 8adi, G adalah graf planar.

Gambar 5.7.

Contoh #

6uktikanlah baha graf 7etersen (yakni graf reguler- dengan $3

simpul! adalah non planar. @ihat Gambar '.1(a!.


14/44

Gambar '.1

6ukti

Graf dalam Gambar '.1 mempunyai p " $3, " ($3.!D+ " $'. Menurut

eorema '.+, C p - / atau $' C .$3 - / " +4. 8adi memenuhi eorema '.+.

Maka graf 7etersen planar. Bukti ini salah. Sebab kon5ers dari teorema tidak

berlaku. Mohon Anda amati lagi eorema '.+ dengan teliti. 6ukti yang benar

adalah sebagai berikut.ita coba mencari subdi5isi , atau ' (eorema urato5ski!.

7erhatikan dua himpunan simpul M " N$, +, O dan ; " Na, b, cO. Fimpunan

simpul membentuk , . ernyata terdapat F suatu graf bagian dari graf

7eterson dan merupakan graf subdi5isi ,. epatnya, F diperoleh dari ,

dengan memasukkan 4 simpul berderajat dua, yaitu simpul u, 5, dan y.

(7erhatikan Gambar '.1 (b!!. 6erdasarkan eorema urato5ski disimpulkan

baha graf 7eterson merupakan graf nonplanar.

lternatif$ ndaikan graf tersebut terhubung planar. &aerah-daerah yangterbentuk dibatasi oleh paling sedikit 4 rusuk. 8ika banyaknya daerah adalah r

maka banyaknya rusuk 4rD+ " +, atau r " . 8adi r " " $'. Menurut

eorema '.$ (


15/44

.en/elesaian 0

&alam ikosahedron (bidang-+3 teratur! dimensi didapat r " +3 dan setiap

daerah (sisi! merupakan KsegitigaL sehingga " +3 . D+ " 3. &enganeorema uler, diperoleh p " ? r # + " 3 ? +3 # + " $+. emudian,

banyaknya garis yang menghubungkan dua simpul adalah $+ . $$ D + " //.

8adi, banyaknya garis diagonal " // - 3 " /.

Cara lain$

Sebuah simpul 5 berdekatan (berikatan! dengan ' simpul yang merupakan

KrusukL. Fal itu berakibat, banyaknya simpul yang berjauhan (merupakan

rusuk tetapi jauh! adalah $+ - $ - ' " /. arena p " $+ simpul (titik! maka

banyaknya diagonal " $+ . /D+ " /.

$! Apakah perbedaan antara graf planar dan graf sebidang

+! 6erdasarkan graf F, pada Gambar '.4, buktikan baha jumlah dari

derajat daerah-daerah dalam F sama dengan + kali banyaknya rusuknya.

! 8ika graf G (p,! terhubung dan P p ? /, maka G (p,! planar.

6enarkah 8elaskan jaaban AndaQ

4! 6uktikan, jika G (p,! suatu graf planar, terhubung dengan p E 4 dan

tidak memuat sikel segitiga maka P +p ? 4.

'! unjukkan baha +,$4 adalah suatu subdi5isi dari +,$3.

7eriksa dan teliti kembali jaaban Anda, sekarang cocokkan jaaban

dengan kunci jaaban berikut ini.

LATIHAN

ntuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,

kerjakanlah latihan berikutQ


16/44

.etunjuk 1awaban 2atihan

$! Graf planar adalah graf yang dapat digambar dalam bidang datar dengan

cara demikian sehingga tidak ada dua rusuk yang berpotongan,

sedangkan graf sebidang adalah graf planar yang telah digambar di

bidang datar tanpa ada dua rusuk yang berpotongan. Setiap graf sebidang

merupakan graf planar dan tidak berlaku sebaliknya.

+! Graf F (0,0! dan memiliki + daerah yaitu daerah dalam


17/44

Graf planar adalah graf yang dapat digambar pada bidang datar

sedemikian hingga tidak ada dua rusuk saling berpotongan, kecuali pada

simpul, sedang graf sebidang adalah graf planar yang telah digambar

pada bidang datar. Graf bipartet lengkap , dan graf lengkap ' adalah

graf non planar. Semua graf yang memuat graf yang isomorfik dengan

' atau , atau graf subdi5isi dari ' atau , adalah non planar .8ika graf G (p,! terhubung sebidang, maka berlaku rumus uler

yaitu p ? # r " +, dengan r adalah banyaknya KdaerahL dalam graf

sebidang itu. 7erluasan eorema uler adalah jika graf G (p,! terhubungdan planar maka berlaku C p ? /. ntuk meneliti planaritas suatu graf

G (p,! dapat digunakan kontra positif eorema '.+. Selain itu, dapat

pula dengan menggambar langsung dengan langkah-langkah sebagai

berikut)

$. 9arilah sirkuit terpanjang di G yang memuat semua simpulnya.

+. Gambarlah rusuk-rusuk yang belum dipakai dengan cara simetri-

dalam-dan-luar.

$! entukan banyaknya simpul dan derajat daerah < dari graf G pada

Gambar '.$3, di baah ini.

Gambar '.$3

A. 2 simpul, der(

ANGKUMAN

TE! "#MATI" 1

7ilihlah satu jaaban yang paling tepatQ


18/44

+! Manakah di antara graf-graf G, F, dan dalam Gambar '.$$ yang

merupakan graf non planar

A. G dan F

6. G dan

9. F dan

&. tidak ada

! 6erapakah nilai der(


19/44

9. + dan

&. dan 4

'! 8ika G (p,! adalah graf terhubung planar, maka gambar penyajian graf

sebidangnya ada bermacam-macam bentuk yang mungkin. 6anyaknya

daerah r dari graf sebidang yang disajikan adalah)

A. tergantung cara penggambaran

6. tergantung dapat digambar atau tidaknya

9. banyak daerahnya sama

&. tergantung sirkuitnya

/! 7erhatikanlah graf sebidang pada Gambar '.$. 3egi-n adalahdaerah dalam graf sebidang yang batasannya ada sebanyak n rusuk.

6anyaknya segi-, segi-4 dan segi-' dalam graf G adalah

Gambar '.$

A. $ segi-, $ segi-4 dan $ segi-'

6. $ segi-, $ segi-4 dan + segi-'

9. + segi-, $ segi-4 dan $ segi-'

&. + segi-, $ segi-4 dan + segi-'

0! 6ilangan pemotongan dari graf G, dinotasikan c(G! adalah bilangan

minimum dari pasangan-pasangan rusuk yang berpotongan jika G

digambar dalam bidang datar. Akibatnya, jika G suatu graf planar maka

c(G! " 3. 6esarnya nilai dari c( '! adalah ...

A. $

6. +

9.

&. '

•


20/44

1! Graf G disebut graf kritis jika G graf non planar tetapi subgrafnya G ? 5

adalah planar, untuk sebarang simpul 5 di G. &iantara graf berikut yang

merupakan graf kritis adalah ..A. /6. , dan '9. ,4 dan /&. Setiap graf subdi5isi dari ' atau ,

2! 6erapakah banyaknya diagonal ruang pada dodekahedron dimensi

A. $3

6. 43

9. /&. $33

$3! 6erapakah banyaknya diagonal ruang terpanjang pada dodekahedron

dimensi

A. $3

6. 43

9. ''

&. $33

9ocokkanlah jaaban Anda dengan unci 8aaban es =ormatif $ yang

terdapat di bagian akhir modul ini. Fitunglah jaaban yang benar.

emudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda terhadap materi egiatan 6elajar $.

Arti tingkat penguasaan) 23 - $33 " baik sekali

13 - 12 " baik

03 - 02 " cukup C 03 " kurang

ingkat penguasaan "8umlah 8aaban yang 6enar

T$338umlah Soal


21/44

Apabila mencapai tingkat penguasaan 13 atau lebih, Anda dapat

meneruskan dengan egiatan 6elajar +. Bagus! 8ika masih di baah 13,

Anda harus mengulangi materi egiatan 6elajar $, terutama bagian yang belum dikuasai.


22/44

Kegiatan Bela jar $

Genus suatu Graf, Graf Dual,dan Graf Infinit

PEMANCANGAN

6eberapa aspek dalam teori graf terkait sangat erat dengan beberapa

cabang matematika seperti topologi, khususnya pada pokok bahasanKpermukaan atau luasan topologiL. Sebenarnya, kita telah mendiskusikan

hubungan antara graf dan permukaan tersebut pada egiatan 6elajar $, yaitu

ketika kita mempelajari graf planar. ;amun demikian, kita akan perluas dan

perdalam hubungan antara graf planar dengan luasan bola dan sejenisnya.

elah kita ketahui baha hanya kelompok graf tertentu yang dapat kita

gambar di bidang datar sedemikian rupa sehingga tidak ada rusuk-rusuknya

yang berpotongan terkecuali pada simpul-simpulnya. elompok inilah yang

disebut graf planar. 7enggambaran yang demikian itu disebut suatu pemancangan (embedding ! dari graf itu di bidang datar. idaklah terlalu sulit

untuk memahami baha graf-graf planar mana yang dapat dipancangkan

pada pemukaan suatu bola. Graf bola adalah graf-graf yang dapat

dipancangkan pada permukaan sebuah bola tanpa ada dua rusuk yang

berpotongan.

Contoh

Gambar '.$4(a! menunjukkan graf bola yang dihasilkan dari pemancangangraf 4 pada pemukaan bola.

(a! (b!


23/44

Gambar 5.14.

6erdasarkan pengertiannya, dapat dipahami baha graf-graf bola

dan graf-graf planar adalah tepat sama (ekui5alen!. Secara umum, setiap graf dapat dipancangkan pada ruang dimensi-.

Torus

6entuk permukaan lain yang memainkan peran cukup penting dalam

topologi adalah permukaan bentuk donat yang disebut torus. Suatu

permasalah yang menarik untuk dijaab yaitu apakah suatu graf planar dapat

dipancangkan pada torus dan sifat-sifat apakah yang dimilikinya. 8aaban

dari permasalahan ini dijelaskan dalam bentuk contoh +.

Contoh &

Gambar '.$4(b! di atas, menunjukkan pemancangkan graf lengkap 4 pada

torus.

8ika G adalah graf yang dipancangkan pada suatu torus, maka daerah-

daerah dari G adalah potongan-potongan terhubung dari torus yang tertinggal

setelah simpul-simpul dan rusuk-rusuk dari G diangkat. (ngat kembalidefinisi KdaerahL dalam kasus graf sebidang!. &alam kasus 4 yang

dipancangkan pada Gambar '.$4(b!, terdapat 4 daerah.

Menurut definisinya, semua daerah adalah terhubung, apakah graf-graf

itu dipancangkan pada bola atau pun pada torus. Akan tetapi, suatu daerah

dapat juga memiliki sifat penting lainnya. Suatu daerah disebut terhubung

sederhana ( simpl/ connected ! jika sebarang kur5a tertutup sederhana (seperti

elips atau lingkaran! dapat Ksecara kontinu disusutL dalam daerah itu sehingga

menjadi sebuah titik di daerah itu. &aerah yang demikian juga disebut &-sel .

&aerah +-sel ini secara topologik ekui5alen dengan ruang dimensi-+ pada

ruang uclid. mpamanya, daerah < dalam Gambar ',$4(b!, adalah bukan

daerah terhubung sederhana, sebab jika kita mempunyai kur5a tertutup

sederhana 9 seperti tampak pada daerah


24/44

halnya bagi graf-graf terhubung yang dipancangkan pada permukaan torus.

Artinya, tidak setiap graf planar terhubung yang dipancangkan pada torus

selalu menghasilkan daerah yang terhubung. Suatu graf disebut toroidal apabila graf itu dapat dipanjangkan pada torus.

Contoh '

Graf planar 4 adalah toroidal, sebagaimana terlihat pada Gambar '.$4 (b!.

Secara umum berlaku baha setiap graf planar adalah toroidal. Akan tetapi

kon5ers pernyataan ini adalah salah. Maksudnya terdapat graf-graf non

planar yang tidak dapat dipancangkan pada permukaan torus. Salah satu

contohnya adalah ' (yang non planar! dapat dipancangkan pada torusseperti diperlihatkan pada Gambar '.$'.

Gambar 5.15.

M#$gga%&ar 'aa Torus

9ara lain menggambar graph pada torus sering terbukti menyenangkan.

7ertama-tama perhatikan bagaimana mengonstruksi torus. ita mulai dengan

persegi panjang, dan kemudian kita gulung dalam bentuk tabung. emudian

kita tekuk bidang alas dan atas ini sehingga melekat lagi, sehingga akhirnya

diperoleh suatu torus. Gambar '.$/ menjelaskan masalah ini.


25/44

Gambar '.$/.

Sekarang menggambar graph yang akan dipancangkan. 7ada persegi

panjang dalam Gambar '.$0(a!, titik-titik yang berlabel A, nanti pada torus

akan menjadi titik yang sama, demikian juga titik berlabel 6. 8adi, ' dapat

dipancangkan pada torus seperti dalam Gambar '.$0(b!.

Gambar '.$0.

G#$us

&alam topologi, suatu torus juga dikenal sebagai bola dengan satu

KpeganganL (handle!, seperti ditunjukkan dalam Gambar '.$1(a!. ita

mengatakan baha torus dan bola dengan satu pegangan adalah Kekui5alensecara topologisL atau Khomeomorphik L. 6anyaknya pegangan suatu

permukaan (bola! disebut genus dari permukaan itu. &engan genus γ (G!dari graph G mempunyai genus bilangan γ , dimaksudkan genus terkecil darisemua permukaan di mana graph G dapat dipancangkan. arena permukaan

bola dan bidang datar adalah ekui5alen topologis, maka graph-graph genus 3

adalah graph-graph planar. Graph dengan genus $ adalah graph-graph

nonplanar yang dapat dipancangkan pada torus.

Contoh

Graph non planar ' merupakan graph dengan genus $, sebagaimana

disajikan pemancangannya pada gambar '.$1 berikut.


26/44

Gambar '.$1.6erdasarkan definisi genus maka ' akan dapat dipancangkan pada

permukaan yang mempunyai genus lebih dari $. &apat dengan mudah Anda

menunjukkan baha , dapat dipancangkan pada permukaan genus $, dan

tentu saja berlaku untuk permukaan bergenus +, seperti ditunjukkan dalam

Gambar '.$1(b!.

Anda telah mengetahui rumus uler yang menyatakan hubungan antara

banyaknya simpul p, banyaknya rusuk dan banyaknya daerah r dari graph

sebidang G(p,!.


27/44

Teorema

8ika G(p,! adalah graph terhubung dengan p B , maka

γ (G! B D/ ? pD+ # $

Teorema #

Genus dari graph lengkap p, γ ( p!, p B 4, dinyatakan dengan rumus)

γ ( p! "$+

4!,!(p(p −−,

dengan pembulatan ke atas jika nilainya γ (G! B 3.

Contoh #

Graph / mempunyai genus $ sebab γ ( '! " ('-!('-4!D$+ " $D/ B 3 sehingganilainya dibulatkan ke atas, yaitu γ ( '! " $.

Teorema

Genus dari graph bipartit lengkap m,n, γ ( m,n!, dinyatakan denganrumus)

γ (Km,n) =( !( +!

, , +4

m n

m n

% %

&

dengan pembulatan ke atas jika nilainya B 3.

Contoh

Graph 4,4 mempunyai genus $ sebab γ ( '! " (4-!(4-+!D4 " $D+ B 3 sehingganilainya dibulatkan ke atas, yaitu γ ( 4,4! " $.

Gra' Dua"

Multigraph sebidang M disebut juga sebagai peta. &ua daerah di M

dikatakan berdekatan jika kedua daerah itu mempunyai sebuah rusuk

persekutuan.

Contoh 4

7erhatikan graph pada Gambar '.$2(a!, daerah r $ dan r + berdekatan,

sedangkan r $ dan r tidak.7erhatikan multigraph sebidang M. &alam setiap daerah di M kita

pilih sebuah titik, dan jika dua buah daerah mempunyai rusuk persekutuan,


28/44

kedua titik yang telah dipilih itu hubungkan dengan sebuah kur5a melalui

(memotong! rusuk persekutuan itu. ur5a-kur5a ini dapat digambar dengan

cara demikian rupa sehingga setiap dua kur5a tidak berpotongan. Maka kita peroleh peta (multigraph! baru MV, yang disebut dual dari M, sedemikian

sehingga setiap simpul dari MV bersesuaian dengan tepat satu daerah di M.

Gambar '.$2(b! menunjukkan dual dari peta M pada Gambar '.$2(a!. Mudah

dilihat baha setiap daerah di MV tepat memuat sebuah simpul di M dan

setiap rusuk di MV akan berpotongan tepat pada simpul di M dan sebaliknya.

Maka peta M adalah dual dari peta MV

Gambar 5.1.

Graph dual mempunyai banyak penerapan misalnya pada permasalahan

graph euler, permasalahan pearnaan (simpul, rusuk atau daerah!. Masalah

pearnaan graph akan dibicarakan pada Modul /.

Gra' Las Ta*r$gga (I$+$)

7ada subbabb ini akan dibicarakan sebuah jenis graph, yaitu graph latis

takberhingga (infinit!. &efinisi graph infinit 2&, adalah sebagai berikut.

Simpul-simpul adalah titik-titik dalam bidang datar yang absis dan

ordinatnya bilangan bulat. &ua buah simpul dikatakan berdekatan jika kedua

simpul itu mempunyai jarak geometrik sama dengan satu satuan panjang.

Sebagian dari graph @+ dilukiskan pada Gambar '.+3. Fal itu karena

banyaknya simpul dalam @+ adalah takberhingga sehingga tidak mampu

melukis seluruh gambar graphnya.

r $

r +

r


29/44

Gambar 5.2!.

&alam graph infinit kita tidak dapat mempunyai sikel Familton seperti

didefinisikan dalam Modul , egiatan 6elajar $, sebab sikel hanyalah

mempunyai simpul-simpul yang banyaknya finit. Akan tetapi, jika kita

memikirkan sikel Familton sebagai Kfaktor-+L terhubung dari suatu graph, hal

ini dapat bermakna bagi graph infinit seperti halnya untuk graph finit. ntuk

graph finit, suatu faktor-+ terhubung adalah sikel hamilton, dan untuk graph

infinit, faktor-+ itu adalah lintasan terentang tanpa batas. &engan kata lain,

lintasan itu adalah infinit di kedua arahnya. ita akan menamakan lintasan

terentang demikian ini sebagai garis 5amilton$ &alam suatu graph infinit

terdapat beberapa garis Familton. &engan kata lain, eksistensi garis

Familton dalam suatu graph infinit adalah tidak tunggal.

Contoh 6

&iberikan graph infinit @+ sebagaimana tertuang pada Gambar '.+$ berikut.

Salah satu garis Familton dari @+ adalah lintasan yang digambarkan dengan

garis tebal. Sedangkan Gambar '.++ memperlihatkan penguraian atau

dekomposisi @+ ke dalam dua garis.

Gambar 5.21 Gambar 5.22


30/44

ntuk memperluas definisi sirkuit uler dalam graph infinit maka

diperlukan suatu modifikasi. Suatu sirkuit "uler adalah jalur uler yang

infinit pada kedua arahnya. &engan kata lain, sirkuit euler adalah jalur yangmemuat setiap rusuk dan setiap simpul dari graph infinit dan tidak

mempunyai simpul permulaan atau simpul akhir. &engan istilah yang lebih

praktis, graph infinit dengan garis "uler dapat dibuat dari sepotong kaat

yang panjangnya tak berhingga.

Gambar '.+ memperlihatkan contoh sederhana dari suatu garis uler

dalam @+. Gambar garis uler dalam Gambar '.+4, semakin komplek atau

sangat ruet. ;amun demikian, kedua garis uler ini memiliki keteraturan

sehingga masing-masing membentuk simetri-putar. 6erdasarkan Gambar '.+ diperoleh pusatnya adalah titik tengah dari rusuk di tengah. Fal ini

berakibat baha jika Anda memutar gambar itu $13o mengelilingi pusatnya,

gambar itu tetap kelihatan sama. 7ada Gambar '.+4 pusat dari simetri-putar

adalah simpul dimana kedua garis hamilton berpotongan. Artinya, jika Anda

memutar 23o maka kedua garis hamilton itu bertukar tempat.


Sirkuit uler dan jalur uler kedua-duanya telah didefinisikan untuk

graph finit. elah kita lihat bagaimana memodifikasi definisi keduanya dalam

graph infinit. 7ertama, dalam graph finit, lintasan uler mempunyai dua titik

ujung, sedangkan dalam graph infinit kita dapat membuangnya salah satu.

edua, suatu jalur dalam graph infinit memuat setiap rusuk dari graph itu

tepat satu kali, disebut jalur "uler satu-arah. 8elaslah baha y sebagai

simpul ujung harus mempunyai derajat ganjil, dan simpul-simpul lainnya

harus berderajat genap. etapi, hal ini tidaklah cukup. Anda hendaknya

mencari jalur uler satu-arah dalam graph sarang labah-labah infinit pada

Gambar '.+'.


31/44


Suatu jalur 5amilton satu-arah dalam graph infinit adalah lintasan yang

panjangnya infinit, bermula pada suatu simpul W dan melalui setiap simpul

dari graph itu. &erajat dari W tidak menjadi masalah.

LATIHAN

ntuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,

kerjakanlah latihan berikutQ


32/44

$! Apakah yang dimaksud dengan pemancangan (embedding ! suatu graph

dan gambarkan pemancangan dari ,+ pada torus

+! Apakah yang dimaksud dengan Kgraph bolaL.

! Apakah graph toroidal itu Apakah graph G,4 yang merupakan subdi5isi

dari , merupakan toroidal.

4! Apakah yang dimaksud dengan Kdaerah terhubung sederhanaL atau

daerah +-sel itu

'! Apakah yang dimaksud dengan KhomeomorphikL dua atau lebih

permukaan

/! Apakah genus suatu permukaan itu Apa pula genus graph G

0! Apakah graph dual dari graph G dan tentukan graph dual dari 4

1! &alam graph @+, suatu garis Familton adalah pohon terentang yang

setiap simpul-simpulnya hanya berderajat dua. 9arilah pohon terentang

dari @+ sedemikian rupa sehingga tidak mempunyai simpul-simpul

berderajat +.

2! 9arilah subgraph terentang dalam @+ di mana setiap simpulnya berderajat

.

$3! 9ari penguraian atau dekomposisi dari @+ ke dalam empat faktor-$.

$$! 9arilah penguraian atau dekomposisi dari @+ ke dalam subgraph-

subgraph yang isomorphik dengan

a. graph segi-4 atau 94

b. 9g

c. 9$+

d. mumnya 94t

$+! 6uktikanlah baha tidaklah mungkin menguraikan @+ ke dalam

subgraph-subgraph yang isomorphik dengan 9/.

$! &itentukan bilangan bulat t B $, buktikanlah baha @+ dapat diuraikan ke

dalam subgraph-subgraph yang isomorphik dengan 8t, yaitu yang

panjangnya t.

$4! raikan @+ ke dalam

a. tiga subgraph terhubung b. tiga subgraph terhubung isomorphik


33/44

$'! ita definisikan M+ adalah latis terdiri atas titik-titik dengan koordinat

bulat di dalam bidang datar sedemikian rupa sehingga titik-titik yang

jarak geometrinya √+ adalah berdekatan. Apakah ;+ terhubung$/! ita definisikan ;+ sebagai latis yang terdiri titik-titik dengan koodinat

bulat di dalam bidang datar sedemikian rupa sehingga titik-titik dengan

jarak geometri √' adalah berdekatan. Apakah ;+ terhubung

.etunjuk 1awaban 2atihan

$! 7emancangan suatu graph adalah penggambaran suatu graph pada

permukaan bidang datar atau permukaan bola dengan syarat tidak adadua rusuk berpotongan (terkecuali pada simpul!.

7emancangan ,+ pada torus, tersaji pada Gambar '.+0 di baah ini

Gambar '.+1

+! Graph bola adalah graph-graph yang dapat dipancangkan pada

permukaan sebuah bola tanpa ada dua rusuk yang berpotongan.! Suatu graph disebut toroidal apabila graph itu dapat dipancangkan pada

torus.

Graph bipartet lengkap , adalah troidal sebab dapat dipancangkan

pada torus, seperti terlihat pada Gambar '.+1 berikut.


34/44

Gambar '.+1

4! &aerah terhubung sederhana adalah daerah pada pemancangan graph

pada permukaan dengan sifat setiap kur5a tertutup sederhana dapatdisusut menjadi sebuah titik yang berada di titik itu.

'! Fomeomorphik dua atau lebih permukaan adalah dua permukaan atau

lebih yang secara topologi ekui5alen

/! Genus suatu permukaan adalah banyaknya pegangan pada suatu

permukaan. Genus suatu graph adalah banyaknya pegangan minimal

suatu permukaan sehingga G dapat dipancangkan pada permukaan itu.

0! Graph dual dari G adalah graph GV sedemikian rupa sehingga setiap

daerah di G bersesuaian dengan setiap simpul GV, setiap dua daerah berdekatan pada G bersesuaian dengan dua simpul berdekatan pada GV

dan sebaliknya. &ual dari 4 yaitu 4V seperti terlukis pada Gambar '.+2

berikut.

4 4V

Gambar '.+2

1! 7erhatikan Gambar '.+$. 7ohon terentang dari @+ yang memiliki

simpul-simpul yang tidak berderajat dua dapat dilukis seperti pada

Gambar '.+$, tetapi setiap kali berbelok meleati dua baris atau kolom.

Fal itu berakibat titik-titik pada baris dan kolom menjadi berderajat 4.

2! &engan cara yang analog, sebagaimana Gambar '.+$, tetapi setiap kali berbelok meleati satu barisDatau kolom.


35/44

$3! 7erhatikan Gambar '.++ yang menjelaskan tentang dekomposisi @+

kedalam dua garis Familton. ntuk menguraikan @+ ke dalan 4 faktor-$

dapat dilakukan secara analog, bedanya dengan loncat KduaL.$$! 6entuk dekomposisi dari @+ terhadap subgraph yang isomorphik dengan

94 akan berbentuk bujursangkar berisi satu. Sedangkan dekomposisi @ +

yang isomorphik dengan 91 akan berbentuk bujursangkar berisi dua.

&engan cara yang sama (analog!, dekomposisi @+ terhadap subgraph

yang isomorphik dengan 94t akan berbentuk bujursangkar yang berisi t,

untuk suatu t bilangan cacah.

$+! arena dekomposisi @+ akan berupa bujursangkar maka tidak akan kita

temukan suatu bujursangkar berisi 4t yang mempunyai keliling /, t bilangan cacah.

$! a. ntuk menguraikan @+ kedalam bentuk tiga subgraph terhubung maka

dapat dilakukan dengan melukis dua garis Familton.

b. Sedangkan untuk menguraikan (dekomposisi! @+ kedalam bentuk tiga

subgraph terhubung isomorphik maka dapat dilakukan dengan

melukis tiga garis Familton

$4! 6enar. Anda dapat membuktikan dengan mendefinisian ;+ dengan

simpul-simpul sebagai titik-titik pada bidang uclid dan dua simpuldikatakan berdekatan jika kedua simpul berjarak √+. Maka setiap duasimpul pada ;+ akan terdapat jalur yang menghubungkannya.

$'! 6enar, analog soal no. $4.


36/44

Graph infinit atau latis infinit adalah graph sebidang dengan banyak

simpul infinit atau takhingga. &efinisi lintasan, jalur, sikel dan sirkuit

untuk graph infinit ada sedikit perubahan dari yang didefinisikan pada

graph finit.

Setiap graph sebidang dapat dipancangkan pada permukaan sebuah

bola. 6idang datar dan permukaan bola adalah homeomorphik. Graph-

graph nonplanar tak dapat dipancangkan pada permukaan bola, akan

tetapi dapat dipancangkan pada permukaan bola yang diberi KpeganganL.

6anyaknya pegangan pada permukaan bola disebut genus permukaanitu. 7ermukaan bola dan bidang datar adalah permukaan dengan genus 3

(nol!. orus adalah permukaan berbentuk kue donat dan permukaan ini

homeomorphik dengan permukaan bergenus $. Genus graph terhubung

G adalah banyaknya pegangan minimal sedemikian sehingga graph G

dapat dipancangkan di permukaan itu. Graph bipartit ,, graph-graph

lengkap ', /, dan 0 adalah graph bergenus $ sehingga dapat

dipancangkan pada torus atau pada permukaan bola berpegangan $.

$! Misalkan ' dipancangkan pada sebuah torus. 6anyaknya daerah

terhubung sederhana pada ' adalah

A.

6. 4

9. '

&. /

+! 8ika , dipancangkan pada permukaan bola dengan genus $, maka

banyaknya daerah -+ sel adalah ....

A.

6. 4

9. '

&. /

! 8ika , dipancangkan pada permukaan bola genus +, maka banyaknya

daerah terhubung sederhana adalah ....A. +

6.

ANGKUMAN

TE! "#MATI" $

7ilihlah satu jaaban yang paling tepatQ


37/44

9. 4

&. '

4! Misalkan G adalah graph planar terhubung. 6anyaknya daerah yang

diperoleh jika G dipancangkan pada permukaan dan banyaknya daerah

jika G dipancangkan pada suatu torus adalah ....

A. sama banyak

6. tidak sama

9. lebih banyak pada bola

&. lebih sedikit pada bola

'! 8ika G(p,! adalah graph terhubung dapat dipancangkan pada sebuah bidang dan banyaknya daerah yang terjadi adalah r, maka p - # r " +.

8ika G(p,! adalah graph terhubung dan dapat dipancangkan pada sebuah

torus sedemikian rupa sehingga setiap daerah dari r daerah /ang terjadi

adalah terhubung tunggal, berapakah nilai p # - r

A.

6. +

9. $

&. 3

/! Menurut eorema $, jika G(p, ! adalah graph terhubung yang dapat

dipancangkan pada permukaan bola, dan mempunyai daerah

sebanyak r, maka nilai p - # r adalah ....

A. 3

6. $

9. +

&.

0! Menurut eorema ', genus graph lengkap 1 adalah ....

A. $6. +

9.

&. 4

1! Menurut eorema /, genus graph bipartit /,/ adalah ....

A. $

6. +

9.

&. 4

2! 8ika genus graph lengkap n yaitu γ ( n! " 0 maka nilai n adalah


38/44

A. $3

6. $$

9. $+&. tidak ada

$3! Menurut eorema dan eorema /, banyaknya daerah jika graph bipartit

lengkap ',' dipancangkan pada permukaan bergenus adalah ....

A. $$

6. $3

9. 2

&. 1

9ocokkanlah jaaban Anda dengan unci 8aaban es =ormatif + yang

terdapat di bagian akhir modul ini. Fitunglah jaaban yang benar.

emudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda terhadap materi egiatan 6elajar +.

Arti tingkat penguasaan) 23 - $33 " baik sekali

13 - 12 " baik

03 - 02 " cukup

C 03 " kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 13 atau lebih, Anda dapat

meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! 8ika masih di baah 13,

Anda harus mengulangi materi egiatan 6elajar +, terutama bagian yang

belum dikuasai.

ingkat penguasaan "8umlah 8aaban yang 6enar

T$338umlah Soal


39/44

"un#i $a%aban &es '(rmatif

Tes 7ormatif

$! 9. p " ' simpul dan der(

/! &. + segi-, $ segi-4 dan + segi-'

0! A, $

1! 6. , dan '

2! &. $33. &alam dodekahedron, r " $+, setiap daerah (sisi! merupakan

KsegilimaL sehingga " $+.'D+ " 3, p " + # - r " +3. 6anyaknya

garis hubung antara dua titik " +3.$2D+ " $2D+ " $23. Setiap sisi

mempunyai (' - !.'D+ " ' diagonal sisi. 6anyaknya diagonal sisi

" $+.' " /3. 8adi banyaknya diagonal ruang " $23 - 3 - /3 " $33.

Cara lain

Setiap titik Kberdekatan dengan 2 titik lain (ini menjadi rusuk atau

diagonal sisi. 8adi setiap titik KberjauhanL dengan $3 titik lainnya

(merupakan diagonal ruang!. 6anyaknya diagonal ruang "

$3.+3D+ " $33.

$3! A. $3. &iagonal terpanjang diperoleh dari dua titik yang KberhadapanL.

arena banyaknya titik " +3, jadi yang berhadapan " $3 pasang.

Tes 7ormatif &

$! 9 '. &aerah terhubung sederhana dari hasil pemancangan ' pada

torus adalah daerah yang melekat pada bola. 7erhatikan dengan

seksama Gambar '.+0 (a!.


40/44

+! 6. . 7ermukaan bola dengan genus $ adalah permukaan bola yang

memiliki pegangan $. Maka pemancangan ' pada permukaan bola

bergenus $ adalah daerah-daerah yang melekat pada bola. &etailnya

tersaji pada Gambar '.+0(b!.

! 6. +. 7emancangan , pada permukaan bola bergenus +, terlukis pada

Gambar '.+1. 6anyaknya daerah terhubung sederhananya adalah +.

Gambar '.+1

4! A. arena G suatu graph planar terhubung maka banyaknya daerah

terhubung sederhana pada pemancangan graph G pada permukaan

bola dan torus adalah sama.

'! &. 3. Anda gunakan eorema dan karena G(p,! bergenus $ maka

didapat p ? # r " + ? + γ (G! " + ? +.$" 3

/! 9. +. 6erdasarkan eorema $ didapat p ? # r " + ? + n, dengan n banyaknya genus. arena permukaan bola adalah permukaan

bergenus 3 maka diperoleh p-#r " + ? +.3 " +

0! 6. +. arena 1 sehingga didapat p "1 maka diperoleh

γ ( 1! "$+

4!,!(p(p −−" (1-!(1-4!D$+ " 'D B 3.

&engan menggunakan eorema ', dan mengingat γ ( 1!" 'D B 3sehingga dibulatkan keatas, yaitu γ ( 1!" +.

1! 9. . &engan menggunakan eorema / didapat


41/44

γ (K5,7) =( !( +!

, , +4

m nm n

% %&

" ('-!(0-+! D 4 " 'D+.arena γ ( ',0! " 'D+ B 3 maka γ ( ',0! " . (pembulatan keatas!.

2! &. tidak ada, karena γ ( n! " 0 maka menurut eorema ' didapat0 " (n-4!(n-!D$+ sehingga 14 " (n-4!(n-!. arena jika

γ ( n! B 3 maka pembulatan ke atas sehingga persamaan menjadi 140+ P (n-4!(n-! P 14. Fal ini berakibat, tidak ada nilai n cacah yang

memenuhi pertidaksamaan ini.

$3! 6. $3. Menurut eorema /, diperoleh γ ( ','! " ('-!('-+! D 4 " D+sehingga γ ( ','! " +. emudian, substitusi γ ( ','! " + ke eorema dan diperoleh r " + ? p # - γ ( ','! " + ? $3 # +3 ? + " $3.


42/44

Daftar Pusta)a

9hartrand, Gary, and @esniak, @inda. ($21/!. Graph 8 9igraph$ Second

dition. 6elmont, 9alifornia) :adsorth. nc.

@ipschutW, Seymour. ($20/!. 9iscrete athematics. SchaumLs %utline Series.

;e Jork) McGra-Fill.

@iu, 9.@. ($21'!. "lements of 9iscrete athematics. ;e Jork) McGra-

Fill.


43/44

G@%SA


44/44

Genus dari suatu permukaan adalah banyaknya pegangan dalam permukaan

bola.

Genus dari graph terhubung G adalah banyaknya pegangan (genus! terkecildari semua permukaan dimana graph G dapat dipancangkan pada

permukaan tersebut.

5eksahedron adalah suatu bidang / teratur

5omeomorphik adalah ekiu5alen secara topologi

+kosahedron adalah suatu bidang 4 teratur

%urato*ski (teorema! ) Suatu graph G adalah planar jika dan hanya jika G

tidak memuat subgraph yang isomorphik dengan ' atau , atau

sebarang subdi5isi dari , dan '.

2atis (infinity! adalah suatu graph (X,! dengan X(G! )himpunan simpul-simpulnya adalah himpunan titik-titik dalam uclid yang absis yang

ordinatnya bilangan cacah dan (G! adalah himpunan rusuk dan setiap

dua simpul berikatan jika kedua simpul memiliki jarak geometri sama

dengan satu satuan panjang.

modul 5. planaritas (2x pert)

Documents