MODUL IX

DISTRIBUSI PELUANG KONTINU

A. DISTRIBUSI NORMAL (GAUSS)

Distribusi peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah

distribusi normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng seperti gambar

di bawah, yang mengambarkan berbagai kumpulan data yang muncul di alam,

industri, dan penelitian.

Distribusi normal sering disebut pula distribusi Gauss, untuk menghormati Gauss

(1777-1855). Suatu peubah acak X yang distribusinya berbentuk lonceng tadi disebut

peubah acak normal. Atau ditulis . Distribusi normal, bergantung pada

dua parameter dan . Fungsi padat peluang (pdf) peubah acak normal X dengan

rataan . Dan variansi ialah:

Dengan mengamati grafik serta memeriksa turunan pertama dan kedua dari f(x) dapat

diperoleh lima sifat kurva normal berikut:

1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada

(atau median );

2. Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui rataan .

3. Kurva mempunyai titik belok pada . Cekung ke bawah bila

dan cekung ke atas untuk harga x lainnya;

4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila harga x bergerak

menjauhi baik ke kiri maupun ke kanan;

5. Seluruh luas di bawah kurva dan di atas sembu datar dengan 1.

62

Catatan: Dalam praktek/kehidupan sehari-hari, sulit sekali ditemukan suatu

kasus/kejadian yang benar-benar berdistribusi normal (atau . Kurva

setiap distribusi peluang kontinu atau fungsi padat dibuat sedemikian rupa sehingga

luas dibawah kurva diantara kedua ordinat sama dengan peluang peubah acak

X mendapat harga antara dan . Jadi:

Dinyatakan dengan luas daerah yang diarsir. Berikut adalah gambar dari persamaan

diatas;

Tabel Normal.

Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi padat normal maka

dibuat tabel luas kurva normal untuk rataan nol dan variansi 1. Dalam hal ini

dibutuhkan untuk suatu transformasi untuk peubah acak x yang mempunyai rataan

dan variansi .

Transformasi tersebut merupakan pemusatan dan pembakuan terhadap x, yaitu:

Sehingga z berdistribusi normal dengan rataan nol dan variansi 1. Distribusi peubah

acak normal dengan rataan nol dan variansi 1 disebut distribusi normal baku

(standar).

Catatan: simpangan baku = deviasi standar.

Tabel normal baku berisi informasi tentang z dan dimana

63

fungsi distribusi kumulatif dari z.

Plot berdistribusi peluang normal berbentuk seperti huruf ‘S’. Untuk mempermudah

analisa kenormalan, maka digunakan skor normal, yaitu : .

Yang gunanya adalah untuk menguji apakah data yang kita peroleh itu bersitribusi

normal atau tidak, dengan melihat apakah plotnya bergaris lurus atau tidak. Catatan:

untuk jumlah data yang sama dan saling berbeda nilainya satu sama lainnya, maka

nilai skornya sama.

Contoh : a. 50 60 70 80 90

b. 35 45 55 65 75

Untuk a dan b , keduanya mempunyai nilai skor yang sama tapi berbeda datanya.

Perintah-perintah pada Minitab melalui window session adalah sebagai berikut:

MTB > random 20 C1;

SUBC> normal 0 1.

MTB > nscore C1 C2

MTB > plot C2*C1;

SUBC> symbol.

Gambar 9.3 Scatterplot bilangan berdistribusi normal dengan normal score.

MTB > cdf C1 C5

64

MTB > plot C5*C1;

SUBC> symbol.

Gambar 9.4 Scatterplot dari cdf berdistribusi normal

TB > invcdf C5 C6

MTB > Plot C6*C1;

SUBC> Symbol.

Gambar 9.5 Scatterplot dari invcdf berdistribusi normal

Berikut ini adalah sebagian dari table normal baku:

65

1. Masukkan data C1 melalui window session. Langkah-langkahnya:

MTB > set C1

DATA > -.5 : 1.5 / .1

DATA > END.

2. Pilih Calc > Probability Distribution > normal

3. Pada kotak dialog pilih cumulative distribution

4. Masukkan C1 sebagai input column dan C2 sebagai optional storeage.

5. Selanjutnya OK.

66

Catatan : bila subcommand tidak ditulis maka mintab dengan sendirinya memberikan

nilai (default) sama dengan normal 0.1.

Diketahui x berdistribusi normal dengan . Carilah peluang bahwa x

mendapat harga antara 45 dan 62.

Row z Phi (z)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0.308538

0.344578

0.382089

0.420740

0.460172

0.500000

0.539828

0.579260

0.617911

0.655422

0.691462

0.725747

0.758036

0.788145

0.815940

0.841345

0.864334

0.884930

0.903200

0.919243

0.933193

67

Jawab:

Suatu mesin membuat alat tahanan listrik dengan rataan tahanan 40 ohm dan

simpangan baku 2ohm. Misalkan bahwa tahanan berdistribusi normal dan dapat

diukur sampai derajat ketelitian yang diinginkan. Berapakah peluangnya sebuah alat

mempunyai tahanan melebihi 43 ohm?

Jawab:

Peluang sebuah alat mempunyai melebihi 43 ohm adalah sebesar luas daerah yang

diarsir pada kurva normal berikut:

B. Hampiran Normal Terhadap Binomial (atau Poisson)

Peluang binomial dapat diperoleh langsung dari rumus Atau dari tabel bila

n kecil. Bila n besar dan tidak ada dalam daftar yang tersedia, maka peluang binomial

dihitung dengan cara hampiran.

Teorema : bila x peubah acak binomial dengan rataan dan variansi ,

maka bentuk limit distribusinya:

Bila maka berdistribusi normal baku

Catatan : untuk dan harga p yang sangat kecil, maka peluang binomial dapat

dihampiri oleh peluang distribusi poisson , sehingga membentuk

persamaan (*) berubah menjadi :

68

Contoh:

X berdistribusi binomial Ditanyakan ?

Jawab:

1. Dengan menggunakan rumus binomial

2. Dengan menggunakan hampiran normal:

C. Latihan.

1. Buat table normal baku (standar) untuk z = -2.0, -1.9, …, 1.9, 2.0.

2. Suatu jenis baterai mobil rata-rata berumur 3.0 tahun dengan simpangan baku 0.5

tahun. Bila dianggap umur baterai berdistribusi normal, carilah peluang suatu

baterai tertentu akan berumur kurang dari 3.2 tahun?

3. Menghitung peluang. Kerjakan langkah-langkah berikut:

Generate 10 sampel random dari distribusi normal (15,4);

69

Urutkan sample tersebut dari kecil hingga besar;

Lakukan pemusatan dan pembakuan terhadap sample tersebut;

Hitung:

i.

ii.

iii.

Dengan data ke I yang telah diurutkan (petunjuk : gunakan tebl pada

nomor 1 diatas).

4. Suatu proses menghasilkan sejumlah barang yang 10% cacat. Bila peluang 100

barang diambil secara acak dari proses tersebut, berapakah peluang bahwa

banyaknya yang cacat melebihi 13? (petunjuk – Gunakan hampiran normal)

5. Peluang seseorang sembuh dari suatu operasi jantung (yang rumit) adalah 0.9.

berapakah pelluang bahwa anatara, dan termasuk, 84 dan 95 dari 100 orang yang

dioperasi akan sembuh? (petunjuk : gunakan hampiran normal).

6. Suatu pengukuran dipakai untuk menolak semua suku cadang yang ukurannya

tidak memenuhi ketentuan 3.50 +- d . diketahui bahwa pengukuran tersebut

berdistribusi normal dengan rataan 1.50 dan simpangan baku 0.2 . tentukanlah

harga d sehingga ketentuan tersebut mencakup 95% seluruh pengukuran

70