modul matek 2
TRANSCRIPT
-
8/20/2019 Modul Matek 2
1/96
MODUL MATEMATIKA EKONOMI 2
LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR
FAKULTAS EKONOMI
UNIVERSITAS GUNADARMA
PERIODE ATA 12/13
-
8/20/2019 Modul Matek 2
2/96
MATEK 2 Hal. 2 Periode ATA 12/13
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL………………………………………………………… 1
DAFTAR ISI………………………………………………………………… 2
KATA PENGANTAR…………………………………………………….... 5
DERIVATIF…………………………………………………………………. 5
1. Konsep Dasar Derivatif………………………………………………... 5
2. Hubungan Antara Fungsi Dan Derivatifnya………………………. 9
3. Penerapan Ekonomi………………………………………………….. 10 3.1 elastisitas ………………………………………………………….. 10
3.1.1 Elastisitas Harga………………………………………………. 10
3.1.2 Elastisitas Permintaan…………………………………………11
3.1.3 Elastisitas Penawaran………………………………………… 15
3.1.4 Elastisitas Produksi……………………………………………. 20
3.1.5 Elastisitas Biaya……………………………………………….. 24
3.1.6 Elastisitas Penerimaan……………………………………….. 29
3.1.7 Laba Maksimum……………………………………………….. 35
INTEGRAL TAK TENTU…………………………………………………. 35
1. Konsep Dasar Integral…………………………………………………. 35
2. Penerapan Ekonomi…………………………………………………… 36
2.1 Fungsi Biaya……………………………………………………….. 36
2.2 Fungsi Penerimaan……………………………………………….. 38
2.3 Fungsi Utilitas……………………………………………………… 41
2.4 Fungsi Produksi…………………………………………………… 42
2.5 Fungsi Konsumsi dan Tabungan……………………………….. 45
INTEGRAL TENTU……………………………………………………… 52
-
8/20/2019 Modul Matek 2
3/96
MATEK 2 Hal. 3 Periode ATA 12/13
1. Konsep Dasar Integral Tentu……………………………………….. 52
2. Penerapan Ekonomi………………………………………………… 52
a. Surplus Konsumen……………………………………………… 53
b. Surplus Produsen……………………………………………….. 60
FUNGSI TRANSEDENTAL 1…………………………………………. 70
1. Konsep Dasar Transedental……………………………………….. 70
2. Penerapan Ekonomi………………………………………………... 72
2.1 Model Bunga Majemuk………………………………………… 73
2.2 Model Pertumbuhan……………………………………………. 78
FUNGSI TRANSEDENTAL 2…………………………………………. 82
1. Kurva Gompertz……………………………………………………... 82
2. Kurva Belajar………………………………………………………… 85
DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………. 90
-
8/20/2019 Modul Matek 2
4/96
MATEK 2 Hal. 4 Periode ATA 12/13
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat,
hidayah, dan karunia yang diberikan-Nya, sehingga penulis dapat
menyelesaikan modul ini tepat pada waktunya. Dalam usaha meningkatkan
kegunaan modul ini kepada mahasiswa dan meningkatkan mutu pengajaran
dalam perkuliahan, maka modul ini dapat digunakan untuk memenuhi
kebutuhan mahasiswa dalam pembelajaran.
Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modulpraktikum sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini
dapat meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai
pedoman bagi mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi.
Selain itu, modul ini juga dapat digunakan sebagai dasar suatu pandangan
mahasiswa melihat keadaan perekonomian dan disesuaikan dengan teori-
teori ekonomi yang ada.
Dengan penuh kesadaran, bahwa modul praktikum ini masih perlu
disempurnakan lagi, sehingga saran dan kritik untuk penyajian serta isinya
sangat diperlukan. Akhir kata, kami ucapkan terimakasih kepada tim Litbang
Matematika Ekonomi 2 - Laboratorium Manajemen Dasar yang turut
berpartisipasi dalam penulisan modul praktikum ini.
Akhir kata, penyusun mengucapkan terima kasih kepada semua pihak
yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung.
Jakarta, 2012
Tim Litbang ATA 12/13
-
8/20/2019 Modul Matek 2
5/96
MATEK 2 Hal. 5 Periode ATA 12/13
DERIVATIF
1. KONSEP DASAR TURUNAN
Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi
sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang
bersangkutan. Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi
diferensi, dimana : x 0.
y
Jika y = f ( x ), maka
Δy = f ( xo + Δx ) - f ( xo )
Δx x
Δy / Δx merupakan hasil bagi perbedaan atau koefisien diferensi dan
menggambarkan tingkat perubahan variabel terikat dari fungsi y = f ( x ),
dirumuskan : y = f (x) = lim Δy/Δx = lim f (x + Δx) f(x)Δx 0 Δx 0 Δx
1.1 Kaidah Diferensiasi
Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi :
1. Diferensiasi fungsi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y’ = 0
Contoh : y = 4 maka y’ = 0
2. Diferensiasi fungsi linear
Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y’ = b
Contoh : y = 25 + 12x maka y’ = 12
3. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = axn, dimana a adalah konstanta, maka y’ = n.a xn-1
-
8/20/2019 Modul Matek 2
6/96
MATEK 2 Hal. 6 Periode ATA 12/13
Contoh : y = 5x4 maka y’ = 5.4x4-1 = 20x3
4. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi
Jika y = Jika y = u ± v dimana u = g(x) dan v = n (x), maka y’ = u’ ± v’
Contoh : y = 8x3 – 8x2
u = 8X3 , u’ = 8.3x3-1 = 24x2
v = – 8x2, v’ = -8.2x2-1 = -16x
karena y’= u’ ± v’
maka y’ = 24x2 – 16x
5. Diferensiasi perkalian
a. Perkalian fungsi dan konstanta
Jikay = k.u
, dimanau = g (x)
, makay’= k.u’
Contoh : y = 8.7x2
u = 7x2 u’ = 7.2x = 14x
karena y’ = k.u’
maka y’ = 8.14x = 112x
b. Perkalian fungsi
Jika y = u.v , dimana u = g (x) dan v = h (x),
maka y’ = u’.v + u.v’
Contoh : y = ( 2x6 – 2 )( 3x3 – 7 )
u = ( 2x6 – 2 ) u’ = 2.6x6-1 = 12x5
v = ( 3x3 – 7 ) u’ = 3.3x3-1 = 9x2
karena y’ = u’.v + u.v’
maka y’ = (12x5)(3x3 – 7) + (2x6 – 2)(9x2)
= 36x8 – 84x5 + 18x8 – 18x2
y’ = 54x8 – 84x5 – 18x2
6. Diferensiasi hasil bagi fungsi
Jika y = u , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y’ = u’.v – u.v’
v v2
Contoh : y = (9x2 – 5) maka y’ = (18x)(4x3 – 6) – (9x2 – 5)(12x2)
(4x3 – 6) (4x3 – 6)2
-
8/20/2019 Modul Matek 2
7/96
MATEK 2 Hal. 7 Periode ATA 12/13
y’ = 72x4 – 108x – 108x5 + 60x3
(4x3 – 6)2
y’ = -108x5 – 72x4 – 60x3 -108x
(16x6 – 48x3 + 36)
7. Diferensiasi fungsi komposisi ( dalil rantai )
Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g (x) ], maka
dy = dy . du
dx du dx
contoh : y = ( 6x2 + 4 )2
misalkan : u = 6x2 +4 , sehingga y = u2
du / dx = 12x dy / du = 2umaka dy = dy . du = 2u . 12x = 2 (6x
2 + 4) (12x) = 144x
3 + 96x
dx du dx
contoh: y = √3x2 + 4x – 5
y = (3x2 + 4x - 5)1/2
misalkan : u = 3x2 + 4x -5 , sehingga y = u1/2
du/dx = 6x + 4 dy/du = ½ u-1/2
maka dy = dy . du
dx du dx
= ½ u-1/2. (6x + 4)
= ½ (3x2+ 4x -5)
-1/2 . (6x + 4)
= 1 . 1 . (6x + 4)
2 √3x2 + 4x – 5
= 6x + 4
2√3x2 + 4x – 5
8. Derivatif tingkat tinggi
Derivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan mendiferensiasikan
sebanyak n kali.
Derivatif ke-n dilambangkan : dny atau f n(x) atau dn (y)
dxn dx
-
8/20/2019 Modul Matek 2
8/96
MATEK 2 Hal. 8 Periode ATA 12/13
Contoh : y = 5x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 + x maka
y’ atau dy / dx = 25x4 + 16x3 + 9x2 + 4x + 1
y’’atau d2y/+ d2y = 100x3 + 48x2 + 18x + 4 ………..dst
9. Diferensiasi implisif
Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0
suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x , kemudian dari
persamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx .
Contoh : xy2 - x2 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka :
1.y2 + x.2y dy/dx – 2x + dy / dx = 0
( 2xy + 1 ) dy/dx = - y2 + 2x
dy/dx = - y2 + 2x2xy + 1
10. Derivatif fungsi logaritmik
y = ln x dy/dx = 1/x
y = ln u , dimana u = g (x)
dy = du . 1 = u
dx dx u u
y = alog x dy/dx = 1/ aln a
Contoh : jika y = ln ( 3 – 3x2 ) maka tentukan dy / dx
u = 3 – 3x2
du / dx = u’ = -6x
dy = u’ = -6x
dx u 3 – 3x2
11. Derivatif fungsi eksponensial
y = ex dy/dx = ex
y = ax dy/dx = ax ln a
12. Derivatif fungsi trigonometrik
Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah :
y = sin x dy/dx = cos x
-
8/20/2019 Modul Matek 2
9/96
MATEK 2 Hal. 9 Periode ATA 12/13
y = cos x dy/dx = - sin x
y = tg x dy/dx = sec2 x
y = ctg x dy/dx = - cosec2 x
y = sec x dy/dx = sec x . tg x
y = cosec x dy/dx = - cosec x . ctg x
Catatan : sec x = 1 / cos x
cos x = 1 / sin x
2. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA
2.1. Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal
Langkah – langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normaladalah :
1. Tentukanlah titik singgung ( Xo , Yo )
2. Cari koefisien arah m = f ‘ (x)
3. Cari Garis singgung dengan rumus : y - yo = m (x – xo)
4. Cari Garis Normal dengan rumus : y - yo = -1 ( x – xo )
m
Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis
Singgung kurva
2.2. Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun
1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika f (x) > 0
2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f (x) < 0
3. Nilai stasioner
Jika diketahui y = f (x) , maka pada f (x) = 0 , titik (x , y) merupakan Nilai
Stasioner
Jenis – jenis Titik Stasioner adalah :
Jika f (x) > 0, maka (x , y) merupakan titik balik minimum
Jika f (x) < 0, maka (x , y) merupakan titik balik maksimum
Jika f (x) = 0, maka (x , y) merupakan titik balik belok
-
8/20/2019 Modul Matek 2
10/96
MATEK 2 Hal. 10 Periode ATA 12/13
Contoh : Diketahui TR = 100Q - 5Q2 , tentukanlah nilai maksimum atau
minimum dari fungsi tsb !
Jawab : Karena TR’ = 0
Maka TR’ = 100 – 10Q = 0
10Q = 100 jadi Q = 10
TR = -10 (TR < 0, merupakan titik balik maksimum)
Nilai Maksimum TR = 100Q - 5Q2
= 100(10) - (10)2
= 900
3. PENERAPAN EKONOMI
3.1 ELASTISITAS
3.1.1 Elastisitas harga
Adalah perbandingan antara perubahan relative dari jumlah dengan
perubahan relative dari harga.
Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang
digunakan yaitu :
1. Elastisitas titik ( point elasticity)
2. Elastisitas busur ( Arc Elasticity)
Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.
Kelemahannya : timbulnya tafsiran ganda.
ƞ =
∙
ƞ =
∙
ƞ =
∙
Elastisitas titik dan busur dipakai untuk menghitung :
a. Elastisitas harga permintaan, ƞd < 0 (negative)
ƞ = = ∙
-
8/20/2019 Modul Matek 2
11/96
MATEK 2 Hal. 11 Periode ATA 12/13
b. Elastisitas harga penawaran, ƞs > 0 (positif )
Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan :
ƞ > 1 = elastis
ƞ < 1 = inelastis
ƞ = 1 = unitary elastis
ƞ = 0 = inelastis sempurna
ƞ = ∞ = elastis tak hingga
3.1.2 Elastisitas Permintaan
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang
diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan
dinyatakan dengan Qd = f(p), maka elastisitas permintaannya
Contoh soal :
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 40 -
40P2. Tentukanlah elastisitas permintaan pada saat P = 2 ?
Dik : Qd = 40 – 40P2
Qd’ = -80P
P = 2
Dit : ŋd ?
Jawab :
nd = Qd’ x P / Qd
= -80P x P / 40 - 40P2
= -80P2/ 40 - 40P
2
= -80(2)2 / 40 - 40(2)2
nd = Qd’ ∙
-
8/20/2019 Modul Matek 2
12/96
MATEK 2 Hal. 12 Periode ATA 12/13
= 2.6667 elastis
Analisis : Jadi Elastisitas Permintaan sebesar 2,7 pada saat harga
produk sebesar Rp 2 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka
barang yang diminta akan turun sebanyak 2,7%.
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH
1. Buka aplikasi EC – Math
2. Pilih Derivatif
-
8/20/2019 Modul Matek 2
13/96
MATEK 2 Hal. 13 Periode ATA 12/13
3. Pilih Mencari Elastis Permintaan
4. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter
-
8/20/2019 Modul Matek 2
14/96
MATEK 2 Hal. 14 Periode ATA 12/13
5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini.
Masukkan angka-angka yang diketahui:
Koefisien P^2 = -40
Koefisien P^1 = 0
-
8/20/2019 Modul Matek 2
15/96
MATEK 2 Hal. 15 Periode ATA 12/13
Konstanta = 40
P = 2
Kemudian tekan Enter satu persatu data kemudian tekan tombol Clear
6. Maka hasilnya adalah sebagai berikut.
3.1.3. Elastisitas Penawaran
Adalah suatu koefisian yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah
barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika
fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f (p), maka elastisitas
penawarannya :
Contoh soal :
Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = 2P2 -
42. Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp 2/ unit.
Bagaimana sifat elastis penawaran tersebut, analisislah !
ns = Qs’ ∙
-
8/20/2019 Modul Matek 2
16/96
MATEK 2 Hal. 16 Periode ATA 12/13
Dik : Qs = 2P2 – 42
Qs’ = 4P
P = Rp 2/ unit
Dit : Elastisitas penawaran?
Jawab : ns = Qs’ . P
Qs
= 4P . P
2P2 – 42
= 4(2) . 2
2(2)2 – 42
= 16 / -34 = - 0,47 = - 0,5 Inelastis Analisis : Jadi Elastisitas Penawaran sebesar 0,5 pada saat harga
produk sebesar Rp 2 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka
barang yang ditawarkan akan bertambah sebanyak 0,5%
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH
1. Buka aplikasi EC – Math
-
8/20/2019 Modul Matek 2
17/96
MATEK 2 Hal. 17 Periode ATA 12/13
2. Pilih Derivatif
3. Pilih Mencari Elastis Penawaran
-
8/20/2019 Modul Matek 2
18/96
MATEK 2 Hal. 18 Periode ATA 12/13
4. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter
5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini.
-
8/20/2019 Modul Matek 2
19/96
MATEK 2 Hal. 19 Periode ATA 12/13
Masukkan angka-angka yang diketahui:
Koefisien P^2 = 2
Koefisien P^1 = 0
Konstanta = -42
P = 2
Kemudian tekan Enter satu persatu data kemudian tekan tombol Clear
6. Maka hasilnya adalah sebagai berikut.
-
8/20/2019 Modul Matek 2
20/96
MATEK 2 Hal. 20 Periode ATA 12/13
3.1.4 Elastisitas Produksi
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah
keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah
masukan (input) yang digunakan. Jika fungsi produksi dinyatakan
dengan p = f(x), maka elastisitas produksinya :
Contoh soal :Diketahui Fungsi Produksi suatu barang ditunjukkan oleh P = 5x2 – x .
Hitunglah elastisitas pada x=4 dan analisislah !
Dik : P = 5x2-x
P’ = 10x - 1
np = P’ ∙
-
8/20/2019 Modul Matek 2
21/96
MATEK 2 Hal. 21 Periode ATA 12/13
x = 4
Dit : np?
Jawab : np = P’. X
P
= (10x - 1) . X
5x2 - x
= 10x2 – x
5x2 – x
= 10 (4)2 – 4
5 (4)2 – 4
= 2,05 Analisis : Jadi Elastisitas produksi sebesar 2,05 pada saat jumlah
masukan produk sebesar Rp 4/unit .
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH
1. Buka aplikasi EC – Math
2. Pilih Derivatif
-
8/20/2019 Modul Matek 2
22/96
MATEK 2 Hal. 22 Periode ATA 12/13
3. Pilih Mencari Elastis Produksi
4. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter
-
8/20/2019 Modul Matek 2
23/96
MATEK 2 Hal. 23 Periode ATA 12/13
5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini.
Masukkan angka-angka yang diketahui:
Koefisien X^2 = 5
Koefisien X^1 = -1
-
8/20/2019 Modul Matek 2
24/96
MATEK 2 Hal. 24 Periode ATA 12/13
Konstanta = 0
X = 4
Kemudian tekan Enter satu persatu data kemudian tekan tombol Clear
6. Maka hasilnya adalah sebagai berikut.
3.1.5 BIAYA
Biaya Total ( TC )
Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau
memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya
tetap atau biaya variabel.
Dimana :
TC = Total cost
VC = Variabel cost
FC = Fixed cost
TC = F(Q) atau TC = FC + VC
-
8/20/2019 Modul Matek 2
25/96
MATEK 2 Hal. 25 Periode ATA 12/13
Q = Quantitas
Biaya Rata – rata (AC)
Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang
atau jasa pada tingkat produksi total.
Biaya Marginal ( MC)
Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat
pertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tingkat produksitertentu.
Contoh soal :
Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan tas PT. Galau Terus di
tunjukkan oleh persamaan TC = 50Q3 + 50Q2 - 50Q + 50. Tentukanlah
besarnya biaya total, biaya rata-rata, dan biaya marginal pada saat
kuantitas 5 unit ? berikan anlisisnya !
Dik : TC = 50Q3 + 50Q
2 - 50Q + 50
Q = 5
Dit : TC, AC dan MC pada Q = 5
Jawab :
TC = 50(5)3 + 50(5)2 – 50(5) + 50
= 6250 + 1250 – 250 + 50= 7300
AC = TC / Q
= 7300 / 5
= 1460
AC = TC / Q
MC = TC’ =
-
8/20/2019 Modul Matek 2
26/96
MATEK 2 Hal. 26 Periode ATA 12/13
MC = TC’
TC’ = 150Q2 + 100Q – 50
Maka besarnya MC
MC = 150(5)2 + 100(5) – 50
= 3750 + 500 – 50 = 4200
Analisis : jadi pada saat perusahaan memproduksi sebesar 5 unit maka
biaya total yang dikeluarkan sebesar Rp 7300 dengan biaya rata – rata
sebesar Rp 1460 dan biaya marginal Rp 4200.
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH
1. Buka aplikasi EC – Math
2. Pilih Derivatif
-
8/20/2019 Modul Matek 2
27/96
MATEK 2 Hal. 27 Periode ATA 12/13
3. Pilih Mencari Fungsi Biaya
4. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 3 kemudian tekan Enter
-
8/20/2019 Modul Matek 2
28/96
MATEK 2 Hal. 28 Periode ATA 12/13
5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini.
Masukkan angka-angka yang diketahui:
Koefisien Q^3 = 50
Koefisien Q^2 = 50
Koefisien Q^1 = -50
-
8/20/2019 Modul Matek 2
29/96
MATEK 2 Hal. 29 Periode ATA 12/13
Konstanta = 50
P = 5
Kemudian tekan Enter satu persatu data kemudian tekan tombol Clear
6. Maka hasilnya adalah sebagai berikut.
3.1.6 PENERIMAAN
Penerimaan Total (TR)
Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.
Penerimaan Rata – rata (AR)
Adalah hasil dari penerimaan perunit yang diperoleh dari penjualan
suatu barang/jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi average revenue
sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.
TR = F(Q) = P ∙ Q
AR = TR / Q = (P ∙ Q) / Q =
-
8/20/2019 Modul Matek 2
30/96
MATEK 2 Hal. 30 Periode ATA 12/13
Penerimaan Marginal ( MR )
Adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat
pertambahn penjualan atau unit barang/jasa pada suatu kuantitas
tertentu.
Contoh Soal :
Fungsi penerimaan perusahaan makanan ringan ditunjukkan oleh P =
45Q + 2 bagaimanakah persamaan penerimaan totalnya. Berapakah
besarnya penerimaan total harga jual per unit jika penjualan sebesar 20unit, tentukanlah penerimaan rata – rata dan penerimaan marginalnya ?
berikan analisinya !
Dik : P = 45Q + 2
Q = 20
Dit : TR, AR dan MR pada saat Q = 20
Jawab :
TR = P x Q
= (45Q + 2) x Q = 45Q2 + 2Q
TR = 45(20)2 + 2(20)
= 18000 + 40
= 18040
AR = TR / Q
= 18040 / 20 = 902
MR = TR’
TR’ = 90Q + 2Maka besarnya MR
MR = 90Q + 2
= 90(20) + 2
= 1802
MR = TR’ =
-
8/20/2019 Modul Matek 2
31/96
MATEK 2 Hal. 31 Periode ATA 12/13
Analisis : Jadi penerimaan total pada saat perusahaan menjual 20 unit
adalah 18040, penerimaan rata-rata sebesar 902, dan penerimaan
marjinal sebesar 1802 yang berarti terjadi penambahan penerimaan
sebesar 1802 setiap penambahan penjualan.
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH
1. Buka aplikasi EC – Math
2. Pilih Derivatif
-
8/20/2019 Modul Matek 2
32/96
MATEK 2 Hal. 32 Periode ATA 12/13
3. pilih mencari fungsi Penerimaan
Karena P = 45Q + 2, maka TR = P . Q = (45Q + 2) . Q = 45Q2 + 2Q
4. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter
-
8/20/2019 Modul Matek 2
33/96
MATEK 2 Hal. 33 Periode ATA 12/13
Maka akan muncul tampilan di bawah ini.
Masukkan angka-angka yang diketahui:
Koefisien Q^2 = 45
Koefisien Q^1 = 2
Konstanta = 0
Q = 20
Kemudian tekan Enter,
Maka hasilnya adalah sebagai berikut.
-
8/20/2019 Modul Matek 2
34/96
MATEK 2 Hal. 34 Periode ATA 12/13
-
8/20/2019 Modul Matek 2
35/96
MATEK 2 Hal. 35 Periode ATA 12/13
3.1.7 LABA MAKSIMUM
Terdapat tiga pendekatan perhitunan laba maksimum yaitu :
1. Pendekatan totalitas (totality approach)
2. Pendekatan rata-rata (average approach)
3. Pendekatan marginal (marginal approach)
Pada bagian ini kita hanya akan membahas perhitungan laba
maksimum dengan pendekatan marginal (marginal approach).
Perhitungan laba dilakukan dengan membandingkan biaya marginal
(MC) dan pendapatan marginal (MR). laba maksimum akan tercapai
pada saat MR = MC.
Laba (phi) = TR – TC. Laba maksimum tercapai bila turunan pertamafungsi (δn/δQ) sama dengan nol dan nilainya sama dengan nilai turunan
pertama TC ( δTC/δQ atau MC ). Sehingga MR – MC = 0 dengan
demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau kerugian
minimum) bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR = MC.
Contoh soal :
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = -250Q
+ 20000 dengan biaya variabel yang berupa persamaan VC = 20Q2-
2000Q+500. biaya tetap yang dikeluarkan perusahaan sebesar Rp.
25000, tentukanlah pada tingkat penjualan berapa laba perusahaan
maks dan berapa besarnya laba tersebut? analisislah !
Dik : P = -250Q + 20000
VC = 20Q2-2000Q+500
FC = 25000
MR = -5000Q + 15000
Dit : Q pada saat laba maks? Analisis ?
Jawab :
TR = P x Q
= (-250Q + 20000)Q
= -250Q2 + 20000Q
-
8/20/2019 Modul Matek 2
36/96
MATEK 2 Hal. 36 Periode ATA 12/13
TC = VC + FC
= (20Q2-2000Q+500) + 25000
= 20Q2 - 2000Q + 25500
laba = TR – TC
= (-250Q2 + 20000Q) – (20Q2 - 2000Q + 25500)
= -270Q2 + 22000Q - 25500
laba maks = laba’
= -540Q + 22000
540Q = 22000
Q = 40,74 = 41
Q = 41, laba = -270Q2 + 22000Q + 25500= -270 (41)2 + 22000(41) - 25500
= -453870 + 902000 - 25500
= 422630
Analisis :
berawal dari tingkat penjualan sebesar 41 unit, diperoleh laba sebesar
Rp. 422630
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN
SOFTWARE EC-MATH
1. buka software ec-math seperti tampilan dibawah ini
-
8/20/2019 Modul Matek 2
37/96
MATEK 2 Hal. 37 Periode ATA 12/13
2. pilih menu derivatif
3. Pilih mencari fungsi laba
-
8/20/2019 Modul Matek 2
38/96
MATEK 2 Hal. 38 Periode ATA 12/13
Kemudian masukan data-data yg ada di soal, maka akan muncul
-
8/20/2019 Modul Matek 2
39/96
MATEK 2 Hal. 39 Periode ATA 12/13
INTEGRAL TAK TENTU
1. Konsep Dasar Integral
1.1 Pengertian Integral tak tentu
Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral,
yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Integral tak tentu adalah
kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang berhubungan dengan
proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan dari fungsinya
diketahui.
1.2 Rumus Integral tak tentu
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari
integral atau turunan-antinya, yaitu F(x). Bentuk umum integral dari f (x)
adalah :
keterangan :
k = konstanta pengintegralan
f(x) dx = diferensial dari F(x)
f(x) = integran
F(x) = integral particular
F(x) + k = fungsi asli
Formula pangkat integral tak tentu, yaitu :
n ≠ 1
∫ f(x) dx = F(x) + k
∫Xn Dx = Xn + 1 + k
n + 1
-
8/20/2019 Modul Matek 2
40/96
MATEK 2 Hal. 40 Periode ATA 12/13
2. Penerapan Ekonomi
Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari
persamaan fungsi dari total suatu variable ekonomi apabila persamaan
fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya
merupakan turunan dari fungsi total.
2.1 Fungsi Biaya
Contoh soal :
Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukan oleh MC = 4Q2 + 2Q +
5. Nilai konstanta adalah 4. Hitunglah persamaan biaya total dan
biaya rata- ratanya!
Dik : MC = 4Q2 + 2Q + 5
c = 4
Dit : persamaan TC dan AC ?Jawab :
TC = ∫ MC dQ
= ∫ 4Q2 + 2Q + 5 dQ
= 4/3Q3 + Q2 + 5Q + c
= 4/3Q3 + Q2 + 5Q + 4
AC = TC / Q
= (4/3Q3 + Q2 + 5Q + 4) / Q
= 4/3Q2 + Q + 5 + 4/Q
Analisis : maka diperoleh persamaan biaya totalnya adalah TC =
4/3Q3 + Q2 + 5Q + 4 dan biaya rata-ratanya yaitu AC = 4/3Q2 + Q + 5
+ 4/Q
Biaya Total (TC) = f (Q) atau ∫ MC dQ
Biaya Rata-rata (AC) = TC / Q
-
8/20/2019 Modul Matek 2
41/96
MATEK 2 Hal. 41 Periode ATA 12/13
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN
SOFTWARE EC-MATH
1. Masuk ke software EC MATH, kemudian pilih integral tak tentu
2. Pilih fungsi biaya
3. Karena diketahui banyaknya variable pada MC adalah 2, maka
pilih yang 2 variabel. Kemudian masukan nilai konstanta pada
kolom FC, dan masukan persamaan MC
-
8/20/2019 Modul Matek 2
42/96
MATEK 2 Hal. 42 Periode ATA 12/13
4. Kemudian pilih calculate, maka akan keluar hasil TC dan AC
-
8/20/2019 Modul Matek 2
43/96
-
8/20/2019 Modul Matek 2
44/96
MATEK 2 Hal. 44 Periode ATA 12/13
2. Pilih fungsi penerimaan
3. Karena banyaknya variable pada MR adalah 1, maka pilih yang
satu variable. Kemudian masukan persamaan MR pada kolom
MR
-
8/20/2019 Modul Matek 2
45/96
MATEK 2 Hal. 45 Periode ATA 12/13
4. Kemudian pilih calculate, maka akan keluar hasil persamaan TR
dan AR
2.3 Fungsi Utilitas
Utilitas total (U) = f(Q) atau ∫ MU dQ / Q
-
8/20/2019 Modul Matek 2
46/96
MATEK 2 Hal. 46 Periode ATA 12/13
Contoh soal :
Jika diketahui seorang konsumen buah aren memiliki utilitas marginal
MU = 442Q + 55Q4 + 24Q5. Tentukanlah persamaan utilitas total dari
konsumen tersebut dan berapakah nilai utilitas total pada saat Q = 2
dan c (konstanta) sebesar nol...
Diketahui : MU = 442Q + 55Q4 + 24Q5
Q = 2
c = 0
Ditanya : U dan nilai U saat Q=2
Jawab : U = ∫ MU dQ
= ∫ (442Q + 55Q
4
+ 24Q
5
) dQ= 221Q
2 + 11Q
5+ 4Q
6+ c
= 221Q2 + 11Q5 + 4Q6 + 0
= 221Q2 + 11Q5 + 4Q6
Saat Q=2, maka
U = 221(2)2 + 11(2)5 + 4(2)6
= 221 (4) + 11 (32) + 4 (64)
= 1492
Analisa : Dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa
fungsi utilitas total perusahaan tersebut adalah U = 221Q2 + 11Q5 +
4Q6dan nilai utilitas total pada saat Q=2 adalah 1492
2.4 Fungsi Produksi
Contoh soal :
Produk total (TP) = ∫ MP dP
Rata-rata roduk AP = TP / Q
-
8/20/2019 Modul Matek 2
47/96
MATEK 2 Hal. 47 Periode ATA 12/13
Produk marginal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP = 3Q2 +
18Q + 2. Carilah persamaan produk total dan produk rata-ratanya!
Dik : MP = 3Q2 + 18Q + 2
Dit : persamaan TP dan AP ?
Jawab :
TP = ∫ MP dP
= ∫ 3Q2 + 18Q + 2 dP
= Q3 + 9Q2 + 2Q + C
AP = TP / Q
= (Q3 + 9Q2 + 2Q) / Q
= Q
2
+ 9Q +2 Analisis : Jadi besarnya persamaan produksi total perusahaan
tersebut adalah TP = Q3 + 9Q2 + 2Q dan persamaan produksi rata-
ratanya adalah AP = Q2 + 9Q +2
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN
SOFTWARE EC-MATH
1. Masuk ke software EC MATH, kemudian pilih integral tak tentu
2. Pilih Fungsi produksi
-
8/20/2019 Modul Matek 2
48/96
MATEK 2 Hal. 48 Periode ATA 12/13
3. Karena pada MP banyaknya variable adalah 2, maka pilih yang
2variabel. Masukan persamaan MP pada kolom MP
4. Kemudian pilih calculate, maka akan muncul hasil persamaan TP
dan AP
-
8/20/2019 Modul Matek 2
49/96
MATEK 2 Hal. 49 Periode ATA 12/13
2.5 Fungsi Konsumsi dan Tabungan
Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan
fungsional terhadap pendapatan nasional (Y)
Karena Y = C + S, maka :
Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi dan tabungan masing-
masing adalah integral dari marginal propensity consumption dan
autonomous saving.
MPC ≥ 0,5
C = f Y = a + bY
S = - a + 1 – b Y
C = ∫ MPC dY = F(Y) + k k = a
-
8/20/2019 Modul Matek 2
50/96
MATEK 2 Hal. 50 Periode ATA 12/13
Karena sebagian besar pendapatan kita digunakan untuk
mengkonsumsi dan sisanya untuk menabung.
Contoh Soal
1. Diketahui konsumsi otonomus adalah 54 miliar dan besarnya MPC
sebesar 0,55. Maka bagaimanakah fungsi konsumsi, tabungan, dan
pendapatan nasional nya?
Dik : c = 54
MPC = 0,55
Dit : C, S, dan Y?
Jawab :
C = ∫ MPC dY= ∫ 0,55 dY
= 0,55Y + c = 0,55Y + 54
S = Y – C
= Y – (0,55Y + 54)
= 0,45Y – 54
Y = C + S
= (0,55Y + 54) + (0,45Y - 54)
Analisis : Dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa
fungsi konsumsi adalah C = 0,55Y + 54 miliar, fungsi tabungan S =
0,45Y – 54 miliar, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y =
(0,55Y + 54) + (0,45Y - 54)
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN
SOFTWARE EC-MATH
1. Masuk ke software EC MATH, kemudian pilih integral tak tentu
-
8/20/2019 Modul Matek 2
51/96
-
8/20/2019 Modul Matek 2
52/96
MATEK 2 Hal. 52 Periode ATA 12/13
4. Kemudian pilih calculate, maka akan muncul hasil persamaan C,
S, sedangkan untuk persamaan Y dapat anda temukan sendiri.
-
8/20/2019 Modul Matek 2
53/96
MATEK 2 Hal. 53 Periode ATA 12/13
2. Bagaimanakah fungsi konsumsi, tabungan dan pendapatan nasional
sebuah negara jika diketahui autonomous saving-nya sebesar -42
miliyar dan MPS = 0.2 !
Dik : s = -42 miliyar
MPS = 0.2
MPC = 1 – MPS
= 1 – 0.2 = 0.8
Dit : C, S dan Y ?
Jawab : S = ∫ MPS dY
= ∫ (0.2) dY
= 0.2Y + c= 0.2Y - 42 miliar
C = Y – S
= Y – (0.2Y – 42)
= 0.8Y + 42
= 0.8Y + 42 miliar
Y = C + S
= (0.8Y + 42) + (0.2Y - 42)
Analisis : Dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa fungsi
konsumsi adalah C = 0.8Y + 42 miliar, fungsi tabungan S = 0.2Y + 42
miliar, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y = (0.8Y - 42)
(0.2Y + 42)
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN
SOFTWARE EC-MATH
1. Masuk ke software EC MATH, kemudian pilih integral tak tentu
-
8/20/2019 Modul Matek 2
54/96
MATEK 2 Hal. 54 Periode ATA 12/13
2. Pilih Fungsi tabungan
3. Isi besarnya konsumsi otonoum pada kotak k = a = -42, dan
masukan besarnya MPC = 0,2
-
8/20/2019 Modul Matek 2
55/96
MATEK 2 Hal. 55 Periode ATA 12/13
4. Kemudian pilih calculate, maka akan muncul hasil persamaan C,
S, sedangkan untuk persamaan Y dapat anda temukan sendiri.
-
8/20/2019 Modul Matek 2
56/96
MATEK 2 Hal. 56 Periode ATA 12/13
INTEGRAL TENTU
1. Konsep Dasar Integral Tentu
Integral Tentu (definit) merupakan suatu konsep yang
berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batasan-
batasan (limit) nya sudah ditentukan.
Rumus Integral tertentu :
Keterangan :
a = x = batas minimum
b = y = batas maksimum dimana a < b
Contoh :
Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan nilai a = 2 dan
nilai b = 5 pada persamaan 5x2 + 4x + 2 dx !
Jawab :
5x2 + 4x + 2 dx = 52 5/3 x3 + 2x2 + 2x
= 5/3 (5)3 + 2 (5)2 + 2 (5) - 5/3 (2)3 + 2 (2)2 + 2 (2)
= 268,33 – 25,33
= 243
2. Penerapan Integral Tentu Dalam Ekonomi
Integral Tentu (definit) banyak aplikasinya didalam bisnis dan ekonomi
; konsep surplus konsumen dan surplus produsen mewakili dua macam
aplikasinya.
b
f x dx F x b
a F b F a
a
-
8/20/2019 Modul Matek 2
57/96
MATEK 2 Hal. 57 Periode ATA 12/13
a. Surplus Konsumen
Yaitu cerminan suatu keuntungan lebih yang dinikmati oleh
konsumen tertentu dimana ia sebenarnya mampu membayar lebih
tinggi dari harga pasar (Pe). Besarnya surplus konsumen (Cs)
ditunjukkan oleh luas area dibawah kurva permintaan (P=f(Q)) tetapi
diatas tingkat harga pasar (Pe).
Catatan : Untuk mencari besarnya suplus konsumen yang
digunakan adalah fungsi permintaan.
Rumus Surplus Konsumen :
Keterangan :
Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar
Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar
^P = Tingkat harga pada saat Q=0
Contoh Soal :
Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang pada perusahaan
PT. Kece masing-masing ditunjukkan dengan fungsi sebagai
berikut : Qd = 22 – 2P dan Qs = -5 + P. Jika Bapak Sukimin
sebagai konsumen, hitunglah besarnya surplus konsumen yang
diperoleh dan analisislah !
Jawab :
- Cara 1
Dik : Qd = 22 – 2P dan Qs = -5 + PDit : Cs?
Jawab :
Qd = Qs Pe = -9 => Qe = -5 + P
22 - 2P = -5 + P Qe = -5 + 9
e ^P
Cs =
f (Q) dQ – Qe . Pe =
f (P)
dP
-
8/20/2019 Modul Matek 2
58/96
MATEK 2 Hal. 58 Periode ATA 12/13
3P = 27 Qe = 4
Pe = 9
Karena fungsi permintaan masih dalam bentuk fungsi (P) :
Qd = 22 – 2P , untuk mengunakan rumus pertama kita ubah dulu
menjadi fungsi (Q) => Pd = 11 – 0,5Q , sehingga :
Pd = 11 – 0,5Q Jika Q = 0 => ˆP = 11
P = 0 => Q = 22
Qe
Cs = f (Q) dQ – Qe . Pe
0
= 40 11 – 0,5Q dQ – (4 . 9)
= [-0,25Q2 + 11Q]40 - 36
= [-0,25 (4)2 + 11 (4) ] – [-0,25 (0)2 + 11(0) ] - 36
= 40 – 36 = 4
Analisis : Jadi, Bapak Sukimin memperoleh surplus sebesar Rp. 4
karena bapak Sukimin dapat membeli barang dengan harga Rp. 9 ,
Padahal sebenarnya ia sanggup membayar lebih tinggi dari harga
keseimbangan pasar.
LANGKAH –LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH :
a. Klik software EC-Math pada desktop,kemudian akan muncul
tampilan seperti dibawah ini :
-
8/20/2019 Modul Matek 2
59/96
MATEK 2 Hal. 59 Periode ATA 12/13
b. Kemudian klik materi Integral Tentu untuk menyelesaikan
soal diatas,lalu akan muncul tampilan seperti dibawah ini :
-
8/20/2019 Modul Matek 2
60/96
MATEK 2 Hal. 60 Periode ATA 12/13
c. Untuk menyelesaikan soal diatas dengan Cara 1 (fungsi (Q) ),
pilihlah submateri Surplus Konsumen 1 dengan cara diklik,
kemudian inputlah data yang diperlukan sesuai dengan soal diatas
ke dalam software seperti dibawah ini :
* Keterangan :
- Untuk menggunakan Surplus Konsumen 1, apabila pada soal yang
diketahui adalah fungsi (P), ubahlah fungsi tersebut menjadi fungsi
(Q) terlebih dahulu.
- Pilih jumlah variabel Q sesuai dengan banyaknya koefesien yang
ada pada fungsi (Q).
- Nilai Qe dan Pe dihitung secara manual jika pada soal
belum diketahui.
d. Setelah data yang dibutuhkan diinput ke dalam software,klik hitung
untuk mengetahui hasilnya, maka akan muncul outputnya seperti
berikut :
-
8/20/2019 Modul Matek 2
61/96
MATEK 2 Hal. 61 Periode ATA 12/13
- Cara 2
Dik : Qd = 22 – 2P dan Qs = -5 + P
Dit : Cs?
Jawab :
Qd = Qs Pe = -9 => Qe = -5 + P
22 - 2P = -5 + P Qe = -5 + 9
3P = 27 Qe = 4
Pe = 9
Qd = 22 – 2P Jika Q = 0 => ^P = 11
P = 0 => Q = 20
^P
Cs = f (P) dPPe
= 119[22 - 2P] dP
= [22P – P2]119
= [22 (11) – 1 (11)2] – [22 (9) – 1 (9)2]
-
8/20/2019 Modul Matek 2
62/96
MATEK 2 Hal. 62 Periode ATA 12/13
= 121 – 117 = 4
Analisis : Jadi, Bapak Sukimin memperoleh surplus sebesar Rp. 4
karena Bapak Sukimin dapat membeli barang dengan harga Rp. 9 ,
Padahal sebenarnya ia sanggup membayar lebih tinggi dari harga
keseimbangan pasar.
LANGKAH – LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-
MATH :
a. Klik software EC-Math pada desktop,kemudian akan
muncul tampilan seperti dibawah ini :
b. Kemudian klik materi Integral Tentu untuk menyelesaikan
soal diatas,lalu akan muncul tampilan seperti dibawah ini :
-
8/20/2019 Modul Matek 2
63/96
MATEK 2 Hal. 63 Periode ATA 12/13
c. Untuk menyelesaikan soal diatas dengan Cara 2 (fungsi (P) ),
pilihlah submateri Surplus Konsumen 2 dengan cara diklik,
kemudian inputlah data yang diperlukan sesuai dengan soal diatas
ke dalam software seperti dibawah ini :
-
8/20/2019 Modul Matek 2
64/96
MATEK 2 Hal. 64 Periode ATA 12/13
* Keterangan :
- Untuk menggunakan Surplus Konsumen 2, apabila pada soal yang
diketahui adalah fungsi (Q), ubahlah fungsi tersebut menjadi fungsi
(P) terlebih dahulu.
- Pilih jumlah variabel Q sesuai dengan banyaknya koefesien yang
ada pada fungsi (Q).
- Nilai ^P dan Pe dihitung secara manual jika pada soal
belum diketahui.
d. Setelah data yang dibutuhkan diinput ke dalam software,klik hitung
untuk mengetahui hasilnya, maka akan muncul outputnya sepertiberikut :
-
8/20/2019 Modul Matek 2
65/96
MATEK 2 Hal. 65 Periode ATA 12/13
Gambar kurva Cs :
b. Surplus Produsen
Yaitu mencerminkan suatu keuntungan lebih yang dinikmati
oleh produsen tertentu dimana ia sebenarnya mampu mejual
barang yang ditawarkan lebih rendah dari harga pasar (Pe).
Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan oleh luas area diatas
kurva penawaran (P = f(Q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar
(Pe) rentang wilayahnya dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas
bawah dan Q = Qe sebagai batas atas.
Catatan : Untuk mencari besarnya suplus konsumen yang
digunakan adalah fungsi penawaran.
Rumus Surplus Produsen :
Qe Pe
Ps = Qe . Pe –
f (Q) dQ =
f (P) dP
0 ^ P
P
11
0 Q4
9
22
Surplus konsumen atau
luas area berikut sebesar 4
-
8/20/2019 Modul Matek 2
66/96
MATEK 2 Hal. 66 Periode ATA 12/13
Keterangan :
Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasar
Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar
^P
= Tingkat harga pada saat Q=0
Contoh soal:
Dalam sebuah Toko AlayMart diketahui fungsi penawaran alat
kosmetik ditunjukkan oleh persamaan Ps = 25 + Q dan kuaantitas
keseimbangan 5 pack. Berapakah besarnya surplus yang diperoleh
oleh Miss. Cihuy sebagai penjual kosmetik serta Analisilah !
Jawab :
- Cara 1Dik : P = 25 + Q
, Qe = 5
Dit : Ps?
Jawab :
Qe = 5 => P = 25 + Q
= 25 + 5
Pe = 30
P = 25 + Q Jika Q = 0 => ˆP = 25
P = 0 => Q = - 25
Qe
Ps = Qe . Pe - f (Q) dQ0
= (5 . 30) -
5
0 25 + Q dQ= 150 - 0,5Q2 + 25Q50
= 150 - [0,5 (5)2 + 25 (5)] – [0,5 (0)2 + 25 (0)]
= 150 – (12,5 + 125)
= 12,5 13
-
8/20/2019 Modul Matek 2
67/96
MATEK 2 Hal. 67 Periode ATA 12/13
Analisis : Jadi, Miss. Cihuy memperoleh surplus sebesar Rp. 13
karena Miss. Cihuy dapat menjual barang dengan harga Rp. 30.
Padahal sebenarnya ia sanggup menjual dengan harga yang lebih
rendah dari harga keseimbangan pasar.
LANGKAH – LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-
MATH :
a. Klik software EC-Math pada desktop,kemudian akan muncul
tampilan seperti dibawah ini :
b. Kemudian klik materi Integral Tentu untuk menyelesaikan
soal diatas,lalu akan muncul tampilan seperti dibawah ini :
-
8/20/2019 Modul Matek 2
68/96
MATEK 2 Hal. 68 Periode ATA 12/13
c. Untuk menyelesaikan soal diatas dengan Cara 1 (fungsi (Q) ),
pilihlah submateri Surplus Produsen 1 dengan cara diklik,
kemudian inputlah data yang diperlukan sesuai dengan soal diatas
ke dalam software seperti dibawah ini :
-
8/20/2019 Modul Matek 2
69/96
MATEK 2 Hal. 69 Periode ATA 12/13
* Keterangan :
- Untuk menggunakan Surplus Produsen 1, apabila pada soal yang
diketahui adalah fungsi (P), ubahlah fungsi tersebut menjadi fungsi
(Q) terlebih dahulu.
- Pilih jumlah variabel Q sesuai dengan banyaknya koefesien yang
ada pada fungsi (Q).
- Nilai Qe dan Pe dihitung secara manual jika pada soal
belum diketahui.
d. Setelah data yang dibutuhkan diinput ke dalam software,klik hitung
untuk mengetahui hasilnya, maka akan muncul outputnya seperti
berikut :
-
8/20/2019 Modul Matek 2
70/96
MATEK 2 Hal. 70 Periode ATA 12/13
- Cara 2
Dik : P = 25 + Q , Pe = 5
Dit : Ps?
Jawab :
Qe = 5 => P = 25 + Q
= 25 + 5
Pe = 30
Karena fungsi penawaran masih dalam bentuk fungsi (Q) :
P = 25 + Q , untuk mengunakan rumus kedua kita ubah dulu
menjadi fungsi (P) => Qs = P – 25 , sehingga :
Qs = P – 25 Jika Q = 0 => ˆP = 25
P = 0 => Q = -25
Pe
Ps = f (P) dP^P
-
8/20/2019 Modul Matek 2
71/96
MATEK 2 Hal. 71 Periode ATA 12/13
= 30 25[P - 25] dP
= [-25P + 0,52]3025
= [-25 (30) – 0,5 (30)2] – [-25 (25) – 0,5 (25)2]
= -300 – (-312,5)
= 12,5 13
Analisis : Jadi, Miss. Cihuy memperoleh surplus sebesar Rp. 13
karena Miss. Cihuy dapat menjual barang dengan harga Rp. 30.
Padahal sebenarnya ia sanggup menjual dengan harga yang lebih
rendah dari harga keseimbangan pasar.
LANGKAH – LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH :
a. Klik software EC-Math pada desktop,kemudian akan muncul
tampilan seperti dibawah ini :
b. Kemudian klik materi Integral Tentu untuk menyelesaikan
soal diatas,lalu akan muncul tampilan seperti dibawah ini :
-
8/20/2019 Modul Matek 2
72/96
MATEK 2 Hal. 72 Periode ATA 12/13
c. Untuk menyelesaikan soal diatas dengan Cara 2 (fungsi (P) ),
pilihlah submateri Surplus Produsen 2 dengan cara diklik,
kemudian inputlah data yang diperlukan sesuai dengan soal diatas
ke dalam software seperti dibawah ini :
-
8/20/2019 Modul Matek 2
73/96
MATEK 2 Hal. 73 Periode ATA 12/13
* Keterangan :
- Untuk menggunakan Surplus Produsen 2, apabila pada soal yang
diketahui adalah fungsi (Q), ubahlah fungsi tersebut menjadi fungsi
(P) terlebih dahulu.
- Pilih jumlah variabel Q sesuai dengan banyaknya koefesien yang
ada pada fungsi (Q).
- Nilai ^P dan Pe dihitung secara manual jika pada soal
belum diketahui.
d. Setelah data yang dibutuhkan diinput ke dalam software,klik hitung
untuk mengetahui hasilnya, maka akan muncul outputnya seperti
berikut :
-
8/20/2019 Modul Matek 2
74/96
MATEK 2 Hal. 74 Periode ATA 12/13
Gambar kurva Ps :
25
5
30
- 25
P
Q
0
-
8/20/2019 Modul Matek 2
75/96
MATEK 2 Hal. 75 Periode ATA 12/13
c. Surplus Konsumen dan Surplus Produsen Dalam Grafik
-
8/20/2019 Modul Matek 2
76/96
MATEK 2 Hal. 76 Periode ATA 12/13
FUNGSI TRANSEDENTAL 1
1. KONSEP TRANSEDENTAL
Konsep transedental merupakan hubungan matematis yang menyatakan
hubungan ketergantungan. Konsep ini berguna untuk menentukan tingkat
pertumbuhan pada periode yang akan datang. Yang termasuk ke dalam
fungsi transedental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi
trigonometric, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional. Namun,
pokok pembahasan dalam modul ini hanya pada fungsi eksponensial dan
fungsi logaritmik.
1.1. FUNGSI EKSPONENSIAL
Fungsi eksonensial adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat
variabel bebas.
Bentuk fungsi eksponensial yang paling sederhana adalah :
dimana : n > 0
Bentuk fungsi eksponensial yang lebih umum adalah :
dimana : n ≠ 0
e = 2,71828
k, c adalah konstanta
Contoh soal :
Tentukanlah titik potong kurva eksponensial y = e0,45x - 2 pada masing-
masing sumbu dan hitunglah f(2)!
Jawab :
Pada sumbu x ; y = 0
e0,45x – 2 = 0
y = nx
y = ne x + c
Ln e = 1
-
8/20/2019 Modul Matek 2
77/96
MATEK 2 Hal. 77 Periode ATA 12/13
e0,45x = 2
Ln e0,45x = Ln 2
0,45x Ln e = Ln 2
0,45x = 0,693
x = 1,54
Titik potongnya (1,54 ; 0)
Pada sumbu y ; x = 0
y = e0,45(0) – 2
y = e0 – 2
y = 1 – 2
y = -1Titik potongnya (0 , -1)
Untuk x = 2
y = e0,45(2) – 2
y = e0,9 – 2
y = 2,46 – 2
y = 0,46
Ttitik potongnya (2 ; 0,46)
1.2. FUNGSI LOGARITMIK
Fungsi logaritmik merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial,
Dengan kata lain, fungsi logaritmik merupakan fungsi yang variabel
bebasnya merupakan bilangan logaritma.
Bentuk funngsi logaritmik yang paling sederhana :
dimana : n > 0
n ≠ 1
Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum :
dimana : x > -1
y =
n
logx
y = a ln(1+x) + b
-
8/20/2019 Modul Matek 2
78/96
MATEK 2 Hal. 78 Periode ATA 12/13
Contoh Soal :
Tentukanlah titik potong kurva logaritmik y = -0,2 Ln(1 + x) + 0,4 pada
masing-masing sumbu dan hitunglah f(2)!
Jawab :
Pada sumbu x ; y = 0
-0,2 Ln(1 + x) + 0,4 = 0
-0,2 Ln(1 + x) = -0,4
Ln(1 + x) = 2
1 + x = e2
1 + x = 7,389
x = 6,389Titik potongnya (6,389 ; 0)
Pada sumbu y ; x = 0
y = -0,2 Ln(1 + 0) + 0,4
y = -0,2 Ln 1 + 0,4
y = -0,2 (0) + 0,4
y = 0,4
Titik potongnya (0 ; 0,4)
Untuk x = 2
y = -0,2 Ln(1 + 2) + 0,4
y = -0,2 Ln 3 + 0,4
y = -0,2 (1,099) + 0,4
y = -0,22 + 0,4
y = 0,18
Titik potongnya (2 ; 0,18)
2. PENERAPAN EKONOMI
Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan
fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang
-
8/20/2019 Modul Matek 2
79/96
-
8/20/2019 Modul Matek 2
80/96
MATEK 2 Hal. 80 Periode ATA 12/13
Selanjutnya, apabila bunga dimajemukkan secara kontinu selama satu
tahun (m sangat besar / bunga diperhitungkan secara terus menerus
atau sering), maka jumlah di masa mendatang Fn adalah :
dimana : e = 2,71828
Bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung (continuous
compound interest ). Bunga majemuk sinambung dalam kasus pinjam-
meminjam seringkali dipraktekkan oleh para “pelepas uang” atau
“rentenir” atau “lintah darat” yang kadang-kadang menetapkan atau
memperhitungkan bunga atas uang yang dipinjamkannya secara harian
(m = 360
). Oleh karena itu, model ini dapat pula disebut “model lintahdarat”
Contoh soal :
Pak Hasan menabung di Bank sebesar Rp. 5.000.000 dengan bunga 5%
per tahun. Berapakah besarnya nilai uang pak Hasan setelah 4 tahun,
jika bunga diperhitungkan :
a. setiap semester
b. setiap per jam
Jawaban :
Dik : P = 5.000.000
i = 5% = 0,05
m = 2 (semester)
n = 4
Dit : F4 semester dan per jam
Jawab :
a. setiap semester
Tanpa menggunakan logaritma
F4 = 5.000.000 (1 + (0,05/2))2*4
F4 = 5.000.000 (1,025)8
F4 = 5.000.000 (1,2184)
Fn ≈ P.e .n
-
8/20/2019 Modul Matek 2
81/96
MATEK 2 Hal. 81 Periode ATA 12/13
F4 = 6.092.000
Dengan menggunakan logaritma
F5 = 5.000.000 (1,025)8
F5 = 5.000.000 (1,218)
Log F4 = log 5.000.000 + log 1,2184
Log F4 = 6,699 + 0,0857
Log F4 = 6,7847
F4 = 6.091.159
Analisis :
Jadi, besarnya nilai uang pak Hasan setelah 4 tahun, jika bunga
diperhitungkan setiap semester adalah Rp. 6.092.000
b. Bunga dibayar setiap jam
Tanpa menggunakan logaritma
F4 = P . ei.n
F4 = 5.000.000 x (2,71828)0,05*4
F4 = 5.000.000 x (2,71828)0,2
F4 = 5.000.000 x 1,2214
F4 = 6.107.000
Dengan menggunakan logaritma natural
F5 = 5.000.000 x (2,71828)0,2
F5 = 5.000.000 x 1,2214
Ln F4 = ln 5.000.000 + ln 1,2214
Ln F4 = 15,425 + 0,1999
Ln F4 = 15,6249 ≈ 15,625
F4 = 6.107.328,491
Analisis :
Jadi, besarnya nilai uang pak Hasan setelah 4 tahun, jika bunga
diperhitungkan setiap semester adalah Rp. 6.092.000, dan jika bunga
diperhitungkan setiap jam adalah Rp 6.107.000
-
8/20/2019 Modul Matek 2
82/96
MATEK 2 Hal. 82 Periode ATA 12/13
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN
SOFTWARE EC-MATH
1. Buka software EC-Math , lalu klik Transedental
2. Klik lagi Transedental, lalu pilih Model Bung a Majemuk
-
8/20/2019 Modul Matek 2
83/96
MATEK 2 Hal. 83 Periode ATA 12/13
3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu klik hasil maka akan
muncul jawaban dari data yang diketahui.
Catatan :
-
8/20/2019 Modul Matek 2
84/96
MATEK 2 Hal. 84 Periode ATA 12/13
Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software EC-
Math mengalami perbedaan karena pada perhitungan secara manual
menggunakan 3 angka dibelakang koma, sedangkan pada software
EC-Math tidak.
2.2 Model Pertumbuhan
Model pertumbuhan tak lain juga merupakan bentuk fungsi
eksponensial. Model ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel
kependudukan, tetapi juga dapat diterapkan untuk menaksir variabel-
variabel lain yang berkenaan dengan pertumbuhannya.
dimana :
Pt = Jumlah penduduk pada tahun ke - t
t = Jumlah tahun
P1 = Jumlah pada tahun pertama (basis)
r = Persentase pertumbuhan per tahun
Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala
macam variabel sehingga jalan pikiran kita tidak semata-mata terpaku
pada persoalan kependudukan, maka perlu sedikit perubahan notasi
menjadi :
dimana :
N = Variabel yang sedang diamati
r = persentase pertumbuhan per satuan waktu
t = indeks tahun
Pt = P1 . Rt-1 R = 1 + r
Nt = N1 . Rt-1 R = 1 + r
-
8/20/2019 Modul Matek 2
85/96
MATEK 2 Hal. 85 Periode ATA 12/13
Contoh soal :
Produk Domestik Bruto Indonesia pada tahun 1985 menurut harga
konstan tahun 1971 tercatat sebesar Rp. 20.504 milyar. Jika dalam
periode 1985 – 1989 perekonomian bertumbuh dengan rata-rata 4%
per tahun, berapa PDB Indonesia pada tahun 1989?
Dik : N1 = 20.504
t = 5
r = 4% = 0,04
R = 1 + 0,04 = 1,04
Dit : N5 = … ?
Jawab :Tanpa menggunakan logarima
Nt = N1 x R(t-1)
N5 = 20.504 x 1,04(5-1)
N5 = 20.504 x 1,17
N5 = 23.989
Dengan menggunakan logaritma
N5 = 20.504 x 1,04(5-1)
N5 = 20.504 x 1,17
Log N5 = log 20.504 + log 1.17
Log N5 = 4,312 + 0,068
Log N5 = 4,38
N5 = 23.988,33
Analisis :
Jadi, PDB Indonesia pada tahun 1989 adalah Rp, 23.989 milyar.
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN
SOFTWARE EC-MATH
1. Buka software EC-Math , lalu klik Transedental
-
8/20/2019 Modul Matek 2
86/96
MATEK 2 Hal. 86 Periode ATA 12/13
2. Klik lagi Transedental, lalu pilih Model Pertumb uhan Majemuk
-
8/20/2019 Modul Matek 2
87/96
MATEK 2 Hal. 87 Periode ATA 12/13
3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu klik hasil maka akan
muncul jawaban dari data yang diketahui.
Catatan :
Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software EC-
Math mengalami perbedaan karena pada perhitungan secara manualmenggunakan 3 angka dibelakang koma, sedangkan pada software
EC-Math tidak.
-
8/20/2019 Modul Matek 2
88/96
MATEK 2 Hal. 88 Periode ATA 12/13
Fungsi Transedental 2
1. Kurva Gompertz
Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat
secara eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu
peningkatannya sangat kecil atau bahkan tidak berarti meskipun waktu terus
berjalan.
di mana :
N = Jumlah variabel yang diamati.
c = Batas jenuh pertumbuhan.
a = Proporsi pertumbuhan awal.
r = Tingkat pertumbuhan rata-rata (0 < r
-
8/20/2019 Modul Matek 2
89/96
MATEK 2 Hal. 89 Periode ATA 12/13
Jawab :
N = c a^(r^t)
N = 5400 . 0,44^(0,4^4)
N = 5400 . 0,44^0,0256
Log N = log 5400 + 0,0256 log 0,44
Log N = 3.73239376 + 0,0256 .(-0.356547323)
Log N = 3,723266149
N = 5288
Analisis : Dengan produksi awal sebanyak 2.400 bungkus dan rata-rata
pertumbuhan 40% didapatkan jumlah permen karet tahun ke-4 sebanyak
5.288 bungkus.
Jumlah produksi tahun ke-4 masih dibawah produksimaksimum perusahaan yaitu 5.400 bungkus..
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-
MATH
1. Buka software EC MATH, lalu klik mater i transendental , kl ik
transendental
-
8/20/2019 Modul Matek 2
90/96
MATEK 2 Hal. 90 Periode ATA 12/13
2. Lalu pilih icon model kurva gomp ertz
3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan
muncul jawaban dibawah data diketahui.
-
8/20/2019 Modul Matek 2
91/96
MATEK 2 Hal. 91 Periode ATA 12/13
Catatan
Hasil pada cara manual dibandingkan dengan software mengalami
perbedaan, hal itu di karenakan bahwa pada software menggunakan angka
di belakang koma sedangkan pada cara manual tidak menggunakan
pembulatan.
2. Kurva Belajar ( Learning Curve)
Metode ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi untuk
menggambarkan prilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan
variabel waktu.
Bentuk dasar :
ket : k, m, s > 0
Konstanta m melambangkan batas jenuh y, atau y tertinggi yang dapat
tercapai
.
Prilaku Produksi :
di mana :
P = Produksi persatuan waktu setelah t satuan waktu.
Pm = Kapasitas produksi maksimum persatuan waktu.
Ps = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi
(pada t = 0).
t = Indeks waktu.
r = Tingkat pertumbuhan produksi.
Prilaku Biaya :
y = m - se - kv
P = Pm – Ps. e – r.
-
8/20/2019 Modul Matek 2
92/96
MATEK 2 Hal. 92 Periode ATA 12/13
di mana :
C = Biaya total persatuan waktu.
Cm =Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan)
persatuan waktu.
Cs = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0).
t = Indeks waktu.
r = Persentase kenaikan biaya persatuan waktu.
Contoh Soal :
Sebuah mesin pencetak batu bata dapat memproduksi maksimal 200 unit
batu bata. Pada awalnya mesin tersebut hanya mampu beroperasi 54% dari
kapasitas yang ditentukan. Joko yang mempunyai mesin tersebut yakin
bahwa produksi dapat ditingkatkan 4% setiap bulannya. Tentukanlah :
a. Bentuklah persamaan perilaku produksi bulanan mesin cetak tersebut !
b. Berapa kaleng batu bata yang dihasilkan pada produksi perdananya ?
c. Berapa produksi batu bata per bulan setelah mesin tersebut dioperasikan
selama 5 bulan ?
d. Analisislah !
Dik : Pm = 200 r = 0,04
Ps = 46 % (200) = 92 t = 5
Dit :
a. Persamaan P ?
b. Produksi Perdana ?
c. P12 ?
d. Analisis !
Jawab :
C = Cm – Cs . e – r.t
-
8/20/2019 Modul Matek 2
93/96
MATEK 2 Hal. 93 Periode ATA 12/13
a. Persamaan Prilaku Produksi Cetakan.
P = Pm - Ps . e - r . t
P = 200 – 92 . e – 0,04. t
b. Jumlah perdana cetakan / produksi.
54 % x 200 = 108
c. Jumlah produksi batu bata yang dapat dioptimalkan
P = 200 – 92 . e – 0,04. t
= 200 – 92 . e – 0,04. 5
= 200 – 92 . ( 0,8187 )
= 200 – 75,3204
= 124,68d. Analisis : Jadi hasil produksi batu bata yang dioptimalkan setelah 5 bulan
adalah sebanyak 125 unit batu bata dari awal produksi sebanyak 108 unit.
Hal ini berarti ada peningkatan dalam optimalisasi produksi selama 5 bulan
sebanyak 17 unit.
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-
MATH
1. Buka materi software EC MATH, lalu klik mater i transendental , kl ik
transendental .
-
8/20/2019 Modul Matek 2
94/96
MATEK 2 Hal. 94 Periode ATA 12/13
2. Lalu pilih icon model kurva belajar (learning curve)
-
8/20/2019 Modul Matek 2
95/96
MATEK 2 Hal. 95 Periode ATA 12/13
3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan
muncul jawaban dibawah data diketahui.
Catatan
Hasil pada cara manual dibandingkan dengan software mengalami
perbedaan, hal itu di karenakan bahwa pada software menggunakan angka
di belakang koma sedangkan pada cara manual tidak menggunakan
pembulatan.
-
8/20/2019 Modul Matek 2
96/96
DAFTAR PUSTAKA
Dumairy (1995). Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, edisi kedua.
Penerbit : BPFE Yogyakarta
Universitas Gunadarma, Buku Diktat Matematika Ekonomi , 2002.
Alpha C.Chiang , Kevin Wainwraight .Dasar-dasar Matematika Ekonomi
.Jilid 1
Bambang Kustituanto, 1994 , “Matematika Ekonomi” , Yogyakarta ;Gunadarma
Hedwigis Esti Riyanti, “Matematika Ekonomi Bisnis” , Grasindo
Kalangi, Joseph Bintang. 2006. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta :
Salemba Empat.
Johannes dan Budiono Sri Handoko. 1986. Pengantar Matematika untuk
Ekonomi. Jakarta : LP3ES
Modul Matematika Ekonomi 2 , Lab. Manajemen Dasar Periode ATA
2011/2012.