LIMIT FUNGSI

A. Pengertian Limit

Istilah limit dalam matematika hampir sama artinya

dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai limit sering dikatakan

sebagai nilai pendekatan.

1. Pengertian limit secara intuitif

Untuk memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikan

contoh berikut:

- Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1, untuk x bilangan real.

Berapakah nilai f(x) jika x mendekati 2?

Penyelesaian

Untuk menentukan nilai f(x) jika x mendekati 2, kita pilih nilai-

nilai x disekitar 2 (baik dari kiri maupn dari kanan). Kemudian, kita

tentukan nilai f(x) seperti terlihat pada tabel berikut:

X 1.

8

1.

9

1.9

5

1.9

6

1.9

7

1.9

8

1.9

9

2 2.0

1

2.0

2

2.0

3

f(x

)

4.

6

4.

8

4.9 4.9

2

4.9

4

4.9

6

4.9

8

5 5.0

2

5.4 5.0

6

Dari tabel di atas, tampak bahwa jika x mendekati 2 dari

kiri, f(x) mendekati 5 dari kiri, sedangkan jika x mendekati

2 dari kanan, f(x) mendekati 5 dari kanan.

Apabila kita lukis, grafik fungsi f(x) = 2x + 1, untuk

x mendekati 2 tampak seperti gambar berikut.

Ternyata nilai f(x) terus menerus mendekati 5 jika x

terus menerus mendekati 2. Di dalam matematika,

pernyataan tersebut dapat ditulis dengan

(2x + 1) = 5

- Tentukan nilai

Penyelesaian

Fungsi f(x) = terdefinisi untuk semua x bilangan

real, kecuali x = 1. Kita tentukan fungsi f(x)

untuk x mendekati 1 seperti pada tabel berikut:

x 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 1 1.1 1.2 1.3

2x2 + x –

3

-

1.68

-

1.32

-0.92 -0.48 -

0.24

5

0 0.5

2

1.0

8

1.6

8

1 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.05 0 0.1 0.2 0.3

4.2 4.4 4.6 4.8 4.9 0

0

5.2 5.4 5.6

5

1

12

0 2X

Y

Dari tabel di atas tampak bahwa jika x mendekati 1 dari

kini, nilai f(x) mendekati 5 dari arah kiri. Demikian pula x

mendekati 1 dari arah kanan, nilai f(x) mendekati 5 dari arah

kanan. Untuk x = 1, nilai f(x) = (tidak tentu, atau tidak

terdefinisi). Oleh karena itu, dapat kita tulis = 5.

Dari kedua contoh di atas, dapat kita peroleh pengertian

limit fungsi secara intuitif yaitu sebagai berikut:

Misalkan f adalah fungsi dalam variabel x dan L adalah

bilangan real. Pernyataan

f(x) = L

Artinya untuk x mendekati a (tetapi x ≠a), nilai f(x)

mendekati L.

2. Pengertian Limit secara aljabar

Selain pengertian secara intuitif, pengertian limit juga

dapat dijelaskan secara aljabar. Misalkan f adalah fungsi yang

terdefinisi pada interval tertentu yang memuat a, kecuali di a

sendiri, sedangkan L adalah suatu bilangan real.

Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x

mendekati a, ditulis f(x) = L jika dan hanya jika untuk

setiap bilangan kecil ε > 0 terdapat bilangan δ > 0

sedemikian rupa sehingga jika 0 < |x-a| <δ maka |f(x)-L| <ε.

Pernyataan tersebut dinamakan definisi limit secara umum.

3. Pengertian limit fungsi di titik tak berhingga

Misalkan jangkauan nilai x adalah x1, x2, x3, ……..xn, dengan x1 <

x2 < x3, <……..berlaku sebagai berikut;

a. x dikatakan menjadi tak terhingga positif (x + ∞) jika

nilai x selalu menjadi lebih besar daripada nilai x positif

yang telah ditetapkan, betapapun besarnya. Misalnya, x

+ ∞ pada barisan 1,2,3

b. x dikatakan menjadi tak terhingga (x - ∞) jika nilai x

selalu menjadi lebih kecil daripada nilai x negatif yang

telah ditetapkan, betapapun kecilnya. Misalnya x - ∞

pada barisan -1, -2, -3,…

c. x dikatakan menjadi tak terhingga (x ∞) jika |x| ∞

d. fungsi f dikatakan menjadi tak terhingga positif jika f(x)

= + ∞

e. fungsi f dikatakan menjadi tak terhingga negatif jika

f(x) = - ∞

f. fungsi f dikatakan menjadi tak terhingga jika f(x) = ∞

contoh:

Tentukan

Penyelesaian:

Misalkan nilai-nilai x yang mendekati 3 (x3) adalah

2,85, 2,89, 2,95, 2,99……atau 3,001, 3,01, 3,1……

Dengan demikian, makin besar nilai x, nilai makin besar.

Makin kecil nilai x, nilai makin kecil.

Jadi = ∞

B. Menghitung Nilai Limit Fungsi Aljabar

Setelah kita mempelajari definisi limit suatu fungsi, kita dapat

menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan definisi

limit secara umum maupun secara intuitif seperti di atas. Akan

tetapi, ada beberapa cara yang lebih sederhana untuk

menentukan limit, antara lain:

a. Substitusi;

b. Memfaktorkan

c. Merasionalkan penyebut

1. Menentukan limit dengan substitusi

Nilai suatu fungsi f untuk x mendekati a, dengan a bilangan

real, dapat ditentukan dengan substitusi, yaitu mengganti

nilai x dengan a. namun apabila hasilnya , atau (∞-∞),

cara ini tidak dapat diterpakan secara langsung. Fungsi yang

diambil limitnya itu perlu disederhanakan lebih dahulu.

Perhatikan contoh berikut.

Hitunglah nilai limit fungsi berikut:

Penyelesaian

=

2. Menentukan limit dengan memfaktorkan

Misalkan terdapat bentuk . Seperti yang telah

disinggung sebelumnya, apabila x = a disubstitusikan pada

fungsi yang diambil limitnya tersebut mengakibatkan

(tak tentu), cara substitusi tidak dapat diterapkan

secara langsung. Oleh karena itu, fungsi tersebut perlu

disederhanakan lebih dahulu dengan memfaktorkan f(x) dan

g(x) sehingga keduanya mempunyai faktor yang sama.

Selanjutnya, faktor yang sama itu dihilangkan sehingga

diperoleh bentuk yang lebih sederhana seperti berikut:

dengan Q (a) ≠0.

Contoh:

3. Menentukan limit dengan merasionalkan penyebut

Apabila dalam suatu fungsi yang akan ditentukan nilai

limitnya sulit disederhanakan karena memuat penyebut yang

tidak rasional, kita perlu merasionalkan penyebutnya lebih

dahulu. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan telah

kita pelajari di kelas 1, antara lain:

a. Pecahan berbentuk dikalikan dengan sehingga

diperoleh

b. Pecahan berbentuk dikalikan dengan

sehingga diperoleh

Contoh:

= 2