modul matematika ii - lilyasusanti.lecture.ub.ac.id · pada bab vii dibahas tentang persamaan...

MODUL

MATEMATIKA II

Oleh:

Dr. Eng. LILYA SUSANTI

DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

FAKULTAS TEKNIK

JURUSAN TEKNIK SIPIL

2016

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmatNya sehingga kami

dapat menyelesaikan Modul Mata Kuliah Matematika II ini. Modul ini merupakan bagian

dari media bahan ajar yang dimaksudkan untuk meningkatkan pemahaman mahasiswa

terhadap materi perkuliahan yang disampaikan, khususnya mata kuliah Matematika II.

Modul ini disusun dalam sembilan bab. Bab I memperkenalkan fungsi dari beberapa

peubah. Bab II membahas derivaif parsial. Deret Taylor dan Mclaurin dibahas pada bab III.

Selanjutnya, nilai ekstrim fungsi dijelaskan pada bab IV. Bab V membahas integral rangkap 2

dan Bab VI mengulas integral rangkap 3. Pada bab VII dibahas tentang persamaan diferensial

dan bab VIII membahas deret tak hingga. Bab terakhir yaitu Bab IX membahas tentang

transformasi Laplace.

Kami menyadari bahwa dalam penyusunan modul ini masih terdapat banyak

kekurangan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat kami harapkan untuk

bahan penyempurnaan di masa mendatang. Semoga modul ini dapat memberikan manfaat

kepada siapapun yang berminat untuk memperdalam Matematika II khususnya dalam bidang

teknik sipil.

Hormat kami,

Penyusun

BAB I FUNGSI DARI BEBERAPA PEUBAH

1.1 Jenis Fungsi Peubah

Fungsi dengan 1 Peubah

Merupakan jenis fungsi dengan 1 buah peubah. Contoh: y = 2x + 3 (Fungsi tersebut

mempunyai 1 buah peubah yaitu x)


Merupakan jenis fungsi dengan 2 buah peubah. Contoh: z = 2x + 3y (Fungsi tersebut

mempunyai 2 buah peubah yaitu x dan y)


Merupakan jenis fungsi dengan 3 buah peubah. Contoh: y = 2x1 + 3 x2 + x3 (Fungsi tersebut

mempunyai 3 buah peubah yaitu x1, x2 dan x3)

Fungsi dengan Peubah Banyak

Merupakan jenis fungsi dengan lebih dari 3 peubah (sejumlah n-peubah). Contoh: y = 2x1 + 3

x2 + x3 + ...... + xn (Fungsi tersebut mempunyai n buah peubah yaitu x1sampai dengan xn)

Catatan: Fungsi yang bisa digambarkan dalam koordinat Cartesian adalah fungsi dengan 1

dan 2 peubah karena hanya terdapat 3 sumbu dalam koordinat ruang kartesian. Dalam mata

kuliah Matematika II ini hanya akan dibahas tentang fungsi 2 peubah.

1.2 Domain Fungsi 2 Peubah

Tinjaulah 2 fungsi di bawah:

a) f(x,y) = 3x2 + y

2

b) g(x,y) = 1/√xy

Domain dari fungsi f(x,y) adalah seluruh titik pada bidang koordinat xy. Sedangkan domain

dari fungsi g(x,y) adalah semua titik pada kuadran I dan III bidang xy karena nilai bilangan

dalam akar tidak boleh negatif agar tidak menghasilkan bilangan imajiner. Nilai yang

menghasilkan bilangan akar positif adalah kuadran I (x+ dan y+) dan III (x- dan y-).

Contoh:

Tentukan domain fungsi f(x,y) = √(25 – x2 – y

2)

Jawab:

Domain dari fungsi tersebut adalah himpunan semua titik yang memenuhi 25 – x2 – y

2 0

atau x2 + y

2 25. Karena x

2 + y

2 = 25 adalah persamaan lingkaran, maka domain nya adalah

semua titik yang terletak pada dan didalam lingkaran dengan jari-jari 5.

1.3 Grafik Fungsi 2 Peubah

Contoh:

Gambarkan grafik fungsi z = √(25 – x2 – y

2).

Jawab:

Dari subbab sebelumnya telah dijelaskan bahwa domain dari fungsi z = √(25 – x2 – y

2) adalah

semua titik yang terletak pada dan didalam lingkaran dengan jari-jari 5. Maka penggambaran

grafiknya adalah:

z = 0√(25 – x2 – y

2) = 0 x

2 + y

2 = 0 (lingkaran dengan jari-jari 5 pada bidang xy)

x = 0z = √(25 – y2) z

2 + y

2 = 25 (lingkaran dengan jari-jari 5 pada bidang yz)

y = 0z = √(25 – x2) z

2 + x

2 = 25 (lingkaran dengan jari-jari 5 pada bidang xz)

z = 3√(25 – x2 – y

2) = 3 x

2 + y


z = 4√(25 – x2 – y

2) = 4 x

2 + y


Nilai dari z tidak boleh negatif karena hasil dari ruas kanan akan selalu positif.

Soal latihan:

Tentukan domain dan gambarkan grafik fungsi 2 peubah z = 49 – x2 – y

2.

BAB II DERIVATIF PARSIAL

2.1 Pengertian Derivatif Parsial

Bila f adalah fungsi dari x dan dinotasikan sebagai f(x) maka turunan dari fungsi tersebut dinotasikan

sebagai f’(x) = df/dx

Bila f adalah fungsi dari x dan y (2 variabel), maka turunan pertama dari fungsi f dapat dicari untuk

masing-masing atau keseluruhan dari 2 variabel tersebut. Masing-masing turunan tersebut dinamakan

turunan parsial.

x

yxfyxxf

x

yxf

x

),(),(lim

),(

0

y

yxfyyxf

y

yxf

y

),(),(lim

),(

0

Catatan:

Jika fungsi f diturunkan terhadap x maka y dianggap konstanta

Jika fungsi f diturunkan terhadap y maka x dianggap konstanta

Contoh:

426),(

12),(

43),(

4

223

224

xyyxy

yxf

yyxx

yxf

yxyyxyxf

2.2 Derivatif Parsial Tingkat Tinggi

Merupakan derivatif parsial dengan pangkat lebih dari satu

2

2

x

f

x

f

xff

xxxx

xy

f

x

f

yff

yxyx

2

yx

f

y

f

xff

xyxy

2

2

2

y

f

y

f

yff

yyyy

Contoh:

Tentukan semua turunan parsial orde 2 dari persamaan w = x3y

2 – xy

5

Jawab:

422

422

33

2

243

2

2

2522

56dan 56

20252

63

yyxxy

wyyx

yx

w

xyxy

wxyyx

y

w

xyx

wyyx

x

w

Soal latihan:

Tentukan semua turunan parsial orde 2 dari persamaan:

a) w = 5x4y

2 – 6xy + 3

b) w = 7x7 + 6y

2 + 2xy

c) w = ex cos y

d) w = cos x + sin y

BAB III DERET TAYLOR DAN MCLAURIN

3.1 Deret Taylor

Bentuk:

nn

axn

afax

afax

afax

afafxf )(

!

)(...)(

!3

)(''')(

!2

)('')(

!1

)(')()( 32

Contoh:

Tentukan deret Taylor orde 2 dari f(x) = ln x pada a = 1 dan gunakan untuk memperkirakan nilai ln

(0,9) dan ln (1,5). Bandingkan hasilnya dengan nilai eksak.

Jawab:

f(x) = ln x f’(x) = 1/x f’’(x) = -1/x2

f(1) = 0 f’(1) = 1 f’’(x) = -1

Maka f(x) = 0 + (x-1) – ½(x-1)2

= -1/2x2 + 2x – 3/2

ln (0,9) = -1/2(0,9)2 + 2(0,9) – 3/2 = -0,105

ln (1,5) = -1/2(1,5)2 + 2(1,5) – 3/2 = 0,375

Hasil eksak:

ln (0,9) = -1/2(0,9)2 + 2(0,9) – 3/2 = -0,1054

ln (1,5) = -1/2(1,5)2 + 2(1,5) – 3/2 = 0,4055

Latihan soal:

Carilah polinom Taylor orde 3 pada x = 1 untuk f(x) = x3 – 2x

2 + 3x + 5 dan perlihatkan bahwa ia

mewakili f(x) secara eksak.

3.2 Deret Mclaurin

Deret Mclaurin biasanya digunakan untuk menghitung pendekatan fungsi trigonometri yang

radiannya kecil. Semakin besar nilai radiannya maka kesalahannya juga akan semakin besar.

Bentuk dari deret Mclaurin ini sama dengan deret Taylor namun nilai a = 0.

nn

xn

fx

fx

fx

ffxf )(

!

)0(...)(

!3

)0(''')(

!2

)0('')(

!1

)0(')0()( 32

Contoh:

Cari polinom Mclaurin orde 4 untuk ex dan cos x. Kemudian gunakan hasilnya untuk

memperkirakan nilai dari e0,2

dan cos (0,2).

Jawab:

f(x) = ex f’(x) = e

x f’’(x) = e

x f’’’(x) = e

x f

iv(x) = e

x

f(0) = 1 f’(0) = 1 f’’(0) = 1 f’’’(0) = 1 fiv(0) = 1

f(x) = cos x f’(x) = -sin x f’’(x) = -cos x f’’’(x) = sin x fiv(x) = cos x

f(0) = 1 f’(0) = 0 f’’(0) = -1 f’’’(0) = 0 fiv(0) = 1

42

432

)(!4

1)(

!2

11cos

)(!4

1)(

!3

1)(

!2

1)(

!1

11

xxx

xxxxe x

e0,2

= 1,2214

cos (0,2) = 0,980067

Nilai eksak:

e0,2

= 1,2214

cos (0,2) = 0,9999

Soal latihan:

Carilah polinom Mclaurin orde 4 untuk f(x) = 1/(1-x) dan gunakan untuk memperkirakan

nilai f(0,1).

3.3 Deret Taylor Fungsi 2 Peubah

Deret Taylor orde 2 untuk fungsi z(x,y) pada titik (a,b) adalah:

2

),(

2

2

),(

22

),(2

2

),(),(

)())((2)(!2

1

)()(!1

1),(),(

byy

zbyax

yx

zax

x

z

byy

zax

x

zbazyxz

bababa

baba

Contoh:

Carilah deret Taylor orde 2 pada titik (2,1) untuk fungsi z(x,y) = x3 + 3y – y

3 – 3x.

Jawab:

0

633

633

2

2

22

2

22

yx

z

yy

zy

y

z

xx

zx

x

z

0

60

129

(2,1)k Untuk titi

2

2

2

2

2

yx

z

y

z

y

z

x

z

x

z

Masukkan ke persamaan deret Taylor didapatkan hasil z(2,1) = 4

Latihan soal:

Carilah deret Taylor orde 2 pada titik (3,2) untuk fungsi z(x,y) = 5x3 + 3 x

2y + 4y

3.

BAB IV NILAI EKSTRIM FUNGSI

Nilai ekstrim dapat diketahui dari kurva turunan pertama

0

0),(

y

f

x

fyxfz

Dari persamaan diatas dapat diperoleh nilai (x0,y0)

Syarat cukup adanya nilai ekstrim:

0,,,2

00

2

0000 yxfyxfyxf XYYYXX

Harga z = f(x0,y0) maksimum jika fxx(x0,y0) < 0 atau fyy(x0,y0) < 0

Harga z = f(x0,y0) minimum jika fxx(x0,y0) > 0 atau fyy(x0,y0) > 0

Contoh:

Selidiki apakah fungsi z = 28 + x2 + 2xy + 4y

2

Jawab:

2

882

222

2

2

2

2

2

yx

f

y

fyx

y

f

x

fyx

x

f

Titik kritis fx = 2x + 2y = 0

0

x

f

fy = 2x + 8y = 0

0

y

f

Dengan proses eliminasi dan substitusi dari 2 persamaan di atas didapatkan nilai titik kritis

(x,y) = (0,0)

Syarat adanya ekstrim:

minimum ekstrim012282

0,,,

2

2

00

2

0000

yxfyxfyxf XYYYXX

Nilai minimum z:

z = 28 + x2 + 2xy + 4y

2 = 28 + 0 + 0 + 0 = 28

Soal latihan:

Tentukan titik ekstrim, macam dan harga ekstrim dari fungsi f(x,y) = x2 - 2x + y

2/4

BAB V INTEGRAL RANGKAP 2

Pandang fungsi z = f(x,y) kontinu dalam daerah tertutup D pada bidang xoy dimana daerah D dibatasi

oleh:

Kurva y = f(x) dan kurva y = g(x) dimana f(x) < g(x)

Garis lurus x = a (AC) dan garis lurus x = b (BD) dimana a < b

y

x

D

x=a x=b

y=f(x)

y=g(x)

Maka untuk mencari luasan daerah D adalah:

dxdyyxfdxdyyxf

xgy

xfyD

bx

ax

),(),(

)(

)(

Untuk menyelesaikan integral di atas, f(x,y) diintegrasikan terlebih dahulu terhadap y dengan

memandang x konstan lalu kemudian hasilnya diintegrasikan terhadap x dari a ke b. Batas

integral yang berupa persamaan harus diselesaikan terlebih dahulu sebelum menyelesaikan

batas integral yang berupa angka. Persamaan tersebut disebut dengan integral lipat 2.

Contoh:

Selesaikan integral lipat 2 berikut

dxdyyxx

)(

11

0

Jawab:

2

1

6

3

2

1

2

1

2

3

2

1

2

1

))(()(

1

0

32

1

0

2

11

0

2

11

0

11

0

xxx

dxxx

dxyxy

dxdyyxdxdyyx

x

xx

Soal latihan:

Selesaikan integral lipat 2 berikut.

1. dxdyyx

y

y

)(

22

1

2. dxdyxy

x

x

2

1

0 2

5.1 Perhitungan Luas Daerah dengan Integral Lipat 2

Contoh:

Hitung besarnya luasan daerah yang dibatasi oleh integral lipat dua dxdy

x

x

2

3/1

3

1

.

Jawab:

y

x

D

x=1 x=3

y=1/3 x

y=2x

667,66

1

)3

12(

)(

3

1

22

1

0

2

3/1

3

1

2

3/1

3

1

2

3/1

3

1

xx

dxxx

dxy

dxdydxdy

x

x

x

x

x

x

Latihan soal:

Hitung besarnya luasan daerah yang dibatasi oleh integral lipat dua dxdy

x

x

22

1 2

.

5.2 Pembalikan Urutan Pengintegralan

Batas integral lipat dua bisa dibalik dan akan tetap menghasilkan besar luasan yang sama.

Jika pada awal persamaan, batas arah sumbu y berupa persamaan dan batas arah sumbu x

berupa angka yang berarti integral arah y harus diselesaikan terlebih dahulu sebelum

menyelesaikan integral arah x, maka urutan pengintegralan dapat dirubah dengan batas

sumbu x berupa persamaan dan batas arah sumbu y berupa angka yang berarti integral arah x

harus diselesaikan terlebih dahulu sebelum menyelesaikan integral arah y. Keduanya akan

menghasilkan nilai luasan yang sama.

Contoh:

Balik urutan pengintegralan dan hitung besarnya luasan daerah yang dibatasi oleh integral

lipat dua dxdy

x

x

2

3/1

3

1

.

Jawab:

y

xy=1/3 I

II

III

y=1y=2

x=3y

x=1/2y

667,64/1322/3

2/131312

)( )( )(

6

2

22

1

1

3/1

2

6

2

2

1

1

3/1

3

2/1

6

2

3

1

2

3/1

3

1

1

3/1

3

2/1

6

2

3

1

2

3/1

3

1

1

3/1

2

3/1

3

1

yyyyy

dyydydyy

dyxdyxdyx

dydxdydxdydxdxdy

y

y

y

yx

x

Latihan soal:

Balik urutan pengintegralan dan hitung besarnya luasan daerah yang dibatasi oleh integral

lipat dua dxdy

x

x

22

1 2

.

5.3 Integral Lipat 2 dalam Koordinat Polar

Integral lipat dua dalam koordinat cartesian bisa dirubah menjadi integral dalam

koordinat polar dengan melakukan transfer batas integral yang dalam koordinat cartesian

menjadi batas koordinat polar. Hubungan yang berlaku adalah :

x = r cos φ

y = r sin φ

Jika suatu daerah integrasi S dibatasi oleh φ1 = α dan φ2 = β (α <β) dan lengkungan r1 = r1(φ)

dan r2 = r2(φ) dimana r1(φ) < r2(φ), maka bentuk integral lipat dua nya adalah:

rdrdrfrdrdrf

rr

rrS

),(),(

)(

)(

22

11

2

1

Untuk menyelesaikan integral arah φ, maka r dianggap konstan dan sebaliknya. Jika batas

integral tidak ada yang berupa persamaan maka penyelesaian dapat dilakukan dari batas mana

saja namun bila salah satu batas integral berupa persamaan maka batas tersebut harus

diselesaikan terlebih dahulu sebelum menyelesaikan batas integral dalam bentuk angka.

Contoh:

Dengan merubah ke koordinat polar, hitung dxdyyxB

3

1

221 dimana B adalah suatu

lingkaran dengan jari-jari dan titik pusat (0,0)

Jawab:

x = r cos φ dan y = r sin φ

2222

222222

1)sin(cos1

sincos11

rr

rryx

x

y

1

1

Batas:

α = 0 dan β = 2π

r1 = 0 dan r2 = 1

2r-du/ dr dan dr -2r dU maka r-1 ; Misal

11

2

2

1

0

2

0

3

1

22

U

drdrrdxdyyxB

3

2

3

1

3

2

2

1-

2

2

0

1

0

2

32

0

2/1

1

0

2

0

d

Ud

r

dUrUd

Latihan soal:

Rubah ke dalam koordinat polar dan hitung dxdyyx

xaa

22

00

22

5.4 Perhitungan Luas Daerah dengan Integral Lipat 2 Koordinat Polar

Contoh:

Hitung besarnya luasan daerah yang dibatasi oleh persamaan garis r cos φ = 1 dan lingkaran r

= 2 dengan pusat (0,0).

Jawab:

x

y

21

60ᵒ

α = 0 dan β = π/3

r1 = 1/cos φ dan r2 = 2

2

cos/1

3/

0

2

cos/1

3/

0

rdrd

drdrL

32

1

3

2sec4

2

1

2

1

3/

0

2

2

cos/1

2

3/

0

d

rd

Latihan soal:

Dengan menggunakan koordinat polar, hitung luasan yang dibatasi oleh x2+y

2 = 2x, x

2+y

2 =

4x, y = x dan y = 0.

5.5 Titik Berat Bidang Homogen

Koordinat titik berat ( yx, ) dari daerah D dengan luas L = D

dxdy memenuhi hubungan

sebagai berikut:

MyLx dimana My = D

xdxdy

MxLy dimana Mx = D

ydxdy

Sehingga,

D

D

dxdy

xdxdy

x dan

D

D

dxdy

ydxdy

y

Contoh:

Cari koordinat titik berat dari daerah yang dibatasi oleh y = 3x2 – 6x dan y = 2x – x

2.

Jawab:

x

y

1

-3

2

3/16)84(

)(

1

0

2

2

63

2

0

2

63

2

0

2

2

2

2

dxxx

dxy

dxdyL

xx

xx

xx

xx

3/16)48(

x)(

1

0

32

2

63

2

0

2

63

2

0

2

2

2

2

dxxx

xdxy

dxdyxMy

xx

xx

xx

xx

267,4)41616(

2

1

)(

1

0

432

2

63

2

2

0

2

63

2

0

2

2

2

2

dxxxx

xdxy

dxdyyMx

xx

xx

xx

xx

13/16

3/16

D

D

dxdy

xdxdy

x

8,03/16

267,4

D

D

dxdy

ydxdy

y

Latihan soal:

Cari koordinat titik berat dari daerah yang dibatasi oleh y = 6x - x2 dan garis y = x.

5.6 Momen Inersia Bidang Datar Homogen

Momen inersia daerah D terhadap sumbu x:

Ix = )(

2

D

dxdyy

Momen inersia daerah D terhadap sumbu y:

Iy = )(

2

D

dxdyx

Momen inersia terhadap titik (0,0)

I0 = )(

22 )(D

dxdyyx = Ix + Iy

Contoh:

Cari momen inersia Ix dan Iy dari daerah yang dibatasi oleh garis y = x dan y = x2.

Jawab:

y=xy=x2

y

x

Batas: x = 0 dan x = 1

y = x2 dan y = x

28/1)3

1

3

1(

3

1

x)(

1

0

63

3

1

0

2

1

0

2

2

dxxx

dxy

dxdyyIx

x

x

x

x

20/1)(

x)(

1

0

43

2

1

0

2

1

0

2

2

dxxx

dxxy

dxdyxIy

x

x

x

x

Catatan:

Urutan batas integral bisa dirubah menjadi persamaan x = f(y) dan akan menghasilkan nilai

momen inersia yang sama

Latihan soal:

Cari momen inersia Ix, Iy dan I0 dari daerah yang dibatasi oleh garis y = x2, x = 2 dan y = 1.

BAB VI INTEGRAL RANGKAP 3

)(

),,(R

dVzyxf merupakan bentuk integral rangkap tiga, yaitu suatu fungsi yang terdiri dari

3 variabel bebas dalam daerah tertutup R yang terdiri dari titik-titik (x,y,z) dimana fungsinya

bernilai tunggal dan kontinu. Tunggal artinya hanya mempunyai 1 buah penyelesaian dan

kontinu artinya merupakan perluasan dari gagasan integral tunggal dan rangkap.

Bentuk integral rangkap 3 untuk perhitungan volume dalam koordinat kartesian adalah:

dvzyxf

b

a

xy

xy

yxz

yxzz

),,(

)(

)(

),(

),(

2

1

2

Batas integral yang berupa persamaan dengan variabel terbanyak diselesaikan terlebih

dahulu, baru kemudian menyelesaikan batas integral dengan variabel yang lebih sedikit dan

terakhir menyelesaikan integral dengan batas angka.

Contoh:

Selesaikan persamaan integral lipat tiga dxdydzxz

z zy

1

0 0 0

22

Jawab:

5,73

2

5

1

2

1

3

2

5

1

2

1

2

1

2

1

66

1

0

6

0

533

1

0

5

1

0 0

222

1

0 0

0

2

1

0 0 0

1

0 0 0

22

2222

dzzzz

dzyzzyzy

dydzzzy

dydzzx

dydzdxxzdxdydzxz

z

z

zzy

z zyz zy

Latihan soal:

Selesaikan persamaan integral lipat tiga dxdydz

x

2

0

6

0

4

0

2

6.1 Volume Benda

Volume benda dapat dihitung menggunakan integral lipat tiga sebagai berikut.

Volume benda dalam koordinat cartesius = )(R

dxdydz

Volume benda dalam koordinat tabung = )(R

dzrdrd

Volume benda dalam koordinat bola= )(

2 sinR

ddrdr

Contoh:

Cari volume benda yang dibatasi oleh tabung x2 + z

2 = 4, bidang xoz, garis y = x dan bidang

xoy yang terletak pada oktan pertama.

Jawab:

3/843

2

2

1-

U2

1-

2

22x-4 U:Misal

4

4

4

2

0

2/32

2

0

1/2

2

0

2/1

2

2

0

2

0

2

0

2

2

0 0

2

2

0 0

4

0

2

0 0

4

0

22

x

dU

x

dUxU

x

dUdxxdxdU

dxxx

dxyx

dxdyx

dydxdzxzdxdydz

x

x

x xx x

Latihan soal:

Cari volume dari daerah V yang dibatasi oleh tabung parabolis z = 4 – x2 dan bidang-bidang

x = 0, y = 0, y = 6, z = 0.

6.2 Koordinat Titik Berat Benda

Koordinat titik berat benda dapat dinyatakan dalam integral lipat tiga sebagai berikut:

dv

xdv

M

Mx

zy0

dv

ydv

M

My zx0

dv

zdv

M

Mx

yx0

BAB VII PERSAMAAN DIFERENSIAL

7.1 Persamaan Diferensial Orde 1

Penyelesaian persamaan diferensial orde 1 dapat dilakukan menggunakan metode:

Integral langsung

Pemisahan variabel

Substitusi y=vx

Menggunakan faktor integral

dll

Metode Integral Langsung

Contoh:

Selesaikan persamaan diferensial 563 2 xxdx

dy

Jawab:

cxxxdxxxy

dxxxdyxxdx

dy

53563

563563

232

22

Latihan soal:

Selesaikan persamaan diferensial 45 3 xdx

dyx

Metode Pemisahan Variabel

Contoh:

Selesaikan persamaan diferensial 1

2

y

x

dx

dy

Jawab:

cxyy

xdxdyy

xdxdyy

xdx

dyy

y

x

dx

dy

22

2

1

21

21

211

2

Latihan soal:


12

y

x

dx

dyxy

Metode Substitusi y=vx

Digunakan bila persamaan diferensial tidak bisa diselesaikan menggunakan metode integrasi

langsung dan pemisahan variabel. Substitusikan y=vx dengan v merupakan fungsi dari x

kemudian diferensiasikan terhadap x.

Contoh:

Selesaikan persamaan diferensial x

yx

dx

dy

2

3

Jawab:

Axx

y

x

yvvxyAxv

Axv

cxv

dxx

dvv

dxx

dvv

v

dx

dvxv

v

dx

dvx

v

dx

dvxv

x

yx

dx

dy

v

x

vxx

x

yx

dx

dvxv

dx

dyvxy

x

yx

dx

dy

2

2

)1(

)1(

lnln1ln2

ln1ln2

1

1

21

1

2

2

1

2

31

2

31

2

3

2

31

2

3

2

3

2

3

Latihan soal:

Selesaikan persamaan diferensial xy

yx

dx

dy 22

Metode Faktor Integral

Digunakan untuk menyelesaikan bentuk persamaan QPydx

dy dimana P dan Q adalah

fungsi dari x atau konstanta. Untuk menyelesaikan bentuk persamaan tersebut, kalikan kedua

ruasnya dengan faktor integrasi yang bentuknya adalah Pdx

e .

Contoh:

Selesaikan persamaan diferensial xeydx

dy 25

Jawab:

xxxxxx

xxx

x

xx

ceeyceyedxedye

dxedyeeydx

d

ydx

dyey

dx

dy

ePeydx

dy

527575

757x5

2x5x5x5x5x2

5x

22

7

1

7

1

e

ee5eee5

eadalah yaintegrasinfaktor sehingga5x Pdx

Qdan 55

Latihan soal:


dy 43

7.2 Persamaan Diferensial Orde 2

Bentuk 02

2

cydx

dyb

dx

yda

Penyelesaian dari persamaan integral dengan bentuk di atas tergantung pada bentuk akar

persamaan karakteristiknya.

Kedua akar riil dan berbeda

y=Aem

1x + Be

m2

x

Contoh:


2

ydx

dy

dx

yd

Jawab:

xx BeAey

mm

mm

mmydx

dy

dx

yd

32

21

2

2

2

3dan 2

0)3)(2(

065065

Kedua akar riil dan sama

y=em

1x (A+ Bx)

Contoh:


2

ydx

dy

dx

yd

Jawab:

)(

3dan 3

0)3)(3(

096096

3

21

2

2

2

BxAey

mm

mm

mmydx

dy

dx

yd

x

Kedua akarnya kompleks

m = ja

y = eax

(Acos βx + Bsin βx)

Contoh:


2

ydx

yd

Jawab:

072

2

ydx

yd

a = 1 b = 0 c = 7

72

42

2,1 ja

acbbm

a = 0 β = √7

y=eax

(Acos βx + Bsin βx)

y = (Acos √7x + Bsin √7x)

Latihan soal:


2

ydx

dy

dx

yd

Bentuk )(2

2

xfcydx

dyb

dx

yda

Penyelesaian dari bentuk persamaan diferensial di atas terdiri dari penyelesaian fungsi

komplementer dan integral khusus.

Penyelesaian fungsi komplementer, yaitu dengan menganggap ruas kanan sama

dengan nol, sehingga penyelesaiannya sama dengan bentuk 02

2

cydx

dyb

dx

yda

yaitu sesuai dengan bentuk akar persamaan karakteristiknya

Penyelesaian integral khusus, yaitu menggunakan bentuk umum dari ruas kanan.

y = Cx2 + Dx + E

y = Ceax

y = C cos ax + D sin ax

Sehingga penyelesaian totalnya y = fungsi komplementer + integral khusus

Contoh:

1. Ruas kanan berupa fungsi polinom berderajat 2


2

2

30 xydx

dy

dx

yd

Jawab:

2

2

2

30 xydx

dy

dx

yd

Penyelesaian fungsi komplementer:

Ruas kiri:m2 – m – 30 = 0

(m-6)(m+5) = 0

m1 = 6 dan m2 = -5

y = Ae6x + Be-5x

Penyelesaian integral khusus:

Bentuk ruas kanan adalah fungsi polinom berderajat 2

y = Cx2 + Dx + E

dy/dx = 2Cx + D

d2y/dx2 = 2C

2C - (2Cx+D) – 30 (Cx2 + Dx + E) = x2

2C – 2Cx – D – 30Cx2 – 30Dx – 30E = x2

– 30Cx2 + (-2C – 30D)x + (2C – D – 30E) = x2

-30C = 1 C = -1/30

(-2C – 30D) = 0 D = 1/450

(2C – D – 30E) = 0 E = -31/13500

Sehingga penyelesaian totalnya adalah:

y = Ae6x + Be-5x – 1/30x2 + 1/450x – 31/13500

Soal latihan:


2

2

23 xydx

dy

dx

yd

2. Ruas kanan berupa fungsi eksponensial


dy

dx

yd 5

2

2

44914

Jawab:

xeydx

dy

dx

yd 5

2

2

44914


Ruas kiri:m2 + 14m + 49 = 0

(m+7)(m+7) = 0

m1,2 = -7

y = e-7x (A+ Bx)


Bentuk ruas kanan adalah fungsi eksponensial

y = Ce5x

dy/dx = 5Ce5x

d2y/dx2 = 25Ce5x

[25 Ce5x + 70 Ce5x + 49 Ce5x = 4 e5x] /e5x

25C + 70C + 49C = 4

144C = 4 C = 1/36

j3

y = e5x/36


y = e-7x (A+ Bx) + e5x/36

3. Ruas kanan berupa fungsi trigonometri

Selesaikan persamaan diferensial xydx

dy

dx

yd2sin2106

2

2

Jawab:

xydx

dy

dx

yd2sin2106

2

2


Ruas kiri:m2 + 6m + 10 = 0

m1,2 =

a = -3 dan β = 1

y = e-3x (A cos x + B sin x)


Bentuk ruas kanan adalah fungsi trigonometri

y = C cos 2x + D sin 2x

dy/dx = -2C sin 2x + 2D cos 2x

d2y/dx2 = -4C cos 2x – 4D sin 2x

Substitusi:

-4C cos 2x – 4D sin 2x + 6(-2C sin 2x + 2D cos 2x) + 10(C cos 2x + D sin 2x)

= 2 sin 2x

(6C + 12D) cos 2x + (6D – 12C) sin 2x = 2 sin 2x

(6C + 12D) = 0 ...(a)

(6D – 12C) = 2 ...(b)

Substitusi persamaan (a) dan (b) menghasilkan C = -2/15 dan D = 1/15

y = 1/15 (sin 2x – 2 cos 2x)


y = e-3x (A cos x + B sin x) + 1/15 (sin 2x – 2 cos 2x)

BAB VIII DERET TAK HINGGA

Definisi: Jumlah suku dari barisan tak hingga yang dinyatakan dengan:

nn sssss ...321

Dimana setiap deret dihubungkan dengan jumlah bagian dari barisan.

nn ssssS

sssS

ssS

sS

...321

3213

212

11

Jika lim sn = s (hingga), maka disebut deret konvergen dan s adalah jumlahnya

Jika n

lim sn tidak ada, maka disebut deret divergen (atau jika sn semakin besar atau kecil

tanpa mendekati suatu limit)

Contoh:

Buktikan jika a > 1 maka n

lim an = ~

Jawab:

Pilih M > 0, misal a = 1 + b

Mnbbnn

nbbann

1...

!2

111 2

Jika mb

Mn maka secara ringkas terdapat bilangan bulat positif terbesar m dalam

b

M

maka barisan ini divergen

Latihan soal:

Selidiki kekonvergenan deret berikut: ,...32

1,

16

1,

8

1,

4

1,

2

1

BAB IX TRANSFORMASI LAPLACE

Transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat digunakan secara

mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. Dengan menggunakan transformasi

Laplace, dapat diubah beberapa fungsi umum seperti fungsi sinusoida, fungsi sinusoida

teredam, dan fungsi eksponensial menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks s. Bila

persamaan aljabar dalam _ dipecahkan, maka penyelesaian dari persamaan diferensial

(transformasi Laplace balik dari variabel tidak bebas) dapat diperoleh dengan menggunakan

tabel transformasi Laplace.

Suatu kelebihan metode transformasi Lapalace adalah bahwa metode ini

memungkinkan penggunaan teknik grafis untuk meramal kinerja sistem tanpa menyelesaikan

persamaan diferensial sistem. Kelebihan lain metode transformasi Laplace adalah

diperolehnya secara serentak baik komponen transien maupun komponen keadaan tunak.

Secara sederhana prosedur dasar pemecahan menggunakan metode transformasi

Laplace adalah:

Persamaan diferensial yang berada dalam kawasan waktu (t), ditransformasikan ke

kawasan frekuensi (s) dengan transformasi Laplace. Untuk mempermudah proses

transformasi dapat digunakan tabel transformasi laplace.

Persamaan yang diperoleh dalam kawasan s tersebut adalah persamaan aljabar dari

variabel s yang merupakan operator Laplace.

Penyelesaian yang diperoleh kemudian ditransformasi-balikkan ke dalam kawasan

waktu.

Hasil transformasi balik ini menghasilkan penyelesaian persamaan dalam kawasan

waktu.

Secara umum Transformasi Laplace digunakan mentransformasikan sinyal atau sistem dari

kawasan waktu ke kawasan-s.

dtetfsFtfL st

0

)()()(

Fungsi F(s) adalah transformasi Laplace dari f(t) yang adalah suatu frekuensi s, s = s+ jw

L disebut operator Laplace

Contoh:

Tentukan transformasi Laplace dari fungsi f(t) = e-at

.

Jawab:

Latihan soal:

Hitunglah transformasi Laplace dari f(t) = At

modul matematika ii - lilyasusanti.lecture.ub.ac.id · pada bab vii dibahas tentang persamaan...

Documents