modul matematika limit fungsi

7/26/2019 Modul Matematika Limit Fungsi

1/10

www matematika pas blogspot com

E-learning matematika, GRATIS

1

Penyusun : Edi Sutarto S.Pd.

Editor : Drs. Keto Susanto M.Si. M.T. ; Istijab S.H. M.Hum.

Imam Indra Gunawan S.Si.

A.

DefinisiIstilah limit diartikan pendekatan.

Dalam penulisannya dituliskan: x 2, dibaca x mendekati 2, artinya:

nilai x = 1,999.,(2 ) limit kiri atau bisa juga nilai x = 2,000.1,(2 + ) limit kanan.

Contoh :1. Diketahui fungsi f(x) = 2x +3

Untuk x = 2, maka nilai fungsi f(2) = 2(2) + 3 = 7

Untuk x 2, maka nilai fungsi:F(1,9999) = 2(1,9999) + 3 = 3,9998 + 3 = 6,9998, atau

F(2,0001) = 2(2,0001) + 3 = 4,0002 + 3 = 7,0002Kedua nilai fungsi tersebut mendekati bilangan 7

Dapat disimpulkan untuk f(x) = 2x + 3, maka 732lim2 =+ xx artinya untuk x 2,

nilai f(x) mendekati 7

2. Diketahui fungsi f(x) =3

322

x

xx.Untuk x = 3, maka nilai fungsi

f(3) =33

369

=

0

0( bentuk

0

0disebut bentuk tak tentu).

Pada fungsi f(x) =3

322

x

xx.=

)3(

)1)(3(

+

x

xx

Untuk x 3 , maka nilai fungsi:

f(2,9999) =39999,2

)9999,2)(39999,2(

= 3,9999

f(3,0001) =30001,3

)10001,3)(30001,3(

+= 4,0001.

Dapat disimpulkan , untuk f(x) =3

322

x

xx., maka :

3limx 3

322

x

xx= 4.

Artinya untuk x3, nilai f(x) = 4.Secara umum:

LmendekatixfaxjikaartinyaLxfax

)(,,)(lim =

B.

Bentuk Tentu, bentuk Tak Tentu dan bentuk yang tidak terdefinisi

Dalam hasil pendekatan nilai fungsi, didapat 3 bentuk yaitu:

1. Bentuk Tentu :

Hasil pendekatan nilai fungsi yang berupa bilangan real tertentu. Bentuk inimerupakan jawaban dari semua soal-soal limit.

2. Bentuk Tak Tentu.

Hasil pendekatan nilai fungsi yang berupa bentuk: ,0

0

,.0, dan

lainnya.Bentuk tak tentu menghasilkan banyak jawaban.

Pada penyelesaian limit, bila nilai fungsi menghasilkan bentuk tak tentu maka

harus diubah (bentuk fungsi) menjadi bentuk tentu.3. Bentuk yang tidak didefinisikan

H il d k il i f i b b ka


2/10



2

C.Teorema Limit

1. ccax

=lim

2. nn

ax

ax =

lim

3. )(lim)(lim xfcxfcaxax

=

4. [ ]

=

)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf

axaxax

5. [ ]

=

)(lim)(lim)().(lim xgxfxgxf

axaxax

6.)(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

=

7. [ ]n

ax

n

axxfxf

=

)(lim)(lim

8. nax

n

axxfxf )(lim)(lim

=

Penggunaan teorema limit

Contoh. Carilah nilai dari:

a. 2

26lim x

x

b. )3(lim 2

3+

xx

x

Jawaban:

a. 96)16(6)4(6lim66lim 22

2

2

2====

xx

xx

b. )3(lim 2

3+

xx

x=

+

3limlim.lim

33

2

3 xxx

xx = 9(3+3) = 54

Latihan 1

1.24

6lim

x

x

x

2. 4 3

28lim +

x

x

3. 423

1)5(lim xx

x+

D Penyelesaian LimitI. Penyelesaian limit aljabar di x a

a. Subtitusi langsung.

Contoh:Tentukan nilai limit fungsi berikut:

1. )83(lim3

xx

262

limx


3/10



3

Jawaban:

1. )83(lim3

xx

= 3(3)-8 = 1

2.5

62lim

2 +

x

x

x

=52

6)2(2

+

=

7

2

3.

231.41)34(lim 33

1=+=+

xx

x

4. 0333lim

3==

x

x

b. Pemfaktoran dan menyederhanakan

Jika dengan cara subtitusi langsung didapat bentuk tak tentu0

0,maka dapat

diselesaikan dengan cara memfaktorkan dan menyederhanakan bentuk:

)().(

)().(lim

xvax

xuax

ax

=

)(

)(lim

xv

xu

ax=

)(

)(

av

au

Contoh :

Tentukan nilai dari limit berikut:

1.1

2lim

2

1 +

x

xx

x 2.

23 1

2

1

1lim

xxx

3.

5

25lim

2

2

x

x

x

Jawaban:

1. Dengan subtitusi langsung:0

0

11

2)1()1( 2=

+

(bentuk tak tentu)

1

2lim

2

1 +

x

xx

x=

)1(

)2)(1(lim

1 +

+

x

xx

x= -3

2. 21 1

2

1

1lim

xxx = 21 1

21lim

x

x

x

+

= )1)(1(

1lim

1 xx

x

x +

= 2

1

3.5

25lim

2

2

x

x

x=

)5(

)5)(5(lim

2

+

x

xx

x= 10.

Pemfaktoran bentuk khusus:

))((22 bababa +=

2233 )(( babababa ++= )

2233 )(( babababa ++=+ )

Latihan 2

Tentukan nilai setiap limit berikut:

1.23

4lim

2

2

2 +

xx

x

x 7.

33

2

limax

axx

ax

2.6

44lim

2

2

2 +

+

xx

xx

x 8.

3

3lim

3

x

x

x

3.2

8lim

2

3

2 +

+

xx

x

x 9.

4

4

2

1lim

22

xxx

4.

1

1lim

2

3

1

x

x

x

10.

3)31(

3)3(lim

2

2

+

++

xaax

axax

ax

51253

lim2 xx

11xx 183

lim2 +


4/10



4

c.Mengalikan dengan faktor sekawan

Jika dalam subtitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu maka cara penyelesaian limitbentuk akar adalah dengan mengalikan faktor sekawan.

Bentuk kawan:

x - a bentuk kawan dari x + a, dan sebaliknyax - a bentuk kawan dari x + a, dan sebaliknya

x - a bentuk kawan dari ax+ , dan sebaliknya

bax + bentuk kawan dari bax ++ , dan sebaliknya

Contoh soal:Tentukan nilai limit dari:

1.1

1lim

1

x

x

x 2.

x

x

x

442lim

0

+

3.

2

2

1 1

13lim

x

xx

x

+

Jawaban:

1.1

1lim

2

x

x

x.

)1)(1(

)1(lim

1

1

1 +

=

+

+

xx

x

x

x

x=

2

1

11

1=

+

2.)442(

)442(.

)442(lim

0 ++

+++

x

x

x

x

x.=

)442(

)44(4lim

0 ++

+

xx

x

x=

)442(

4lim

0 ++

xx

x

x

= 122

4=

+

3. 2

2

1 1

13lim

x

xx

x

+

= 2

2

1 1

)1(3lim

x

xx

x

++

.

)1(3)1(3

2

2

+++

+++

xxxx =

+++

++

))1(3)(1(

)1(3lim

22

22

1 xxx

xx

x=

))1(3)(1(

123lim

22

22

1 +++

+

xxx

xxx

x

=4

1

)4(2

2

)1(3)(1)(1(1

)1(2lim

21==

++++

xxxx

x

x

Latihan 3. Tentukan nilai limit berikut!

1.3

9lim

9

x

x

x

2.x

x

x 42lim

0

3.2

143lim

2

+

x

x

x

4.h

xhx

h

+

0lim

5.315

133lim

1 +

xx

xx

x

II. Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar di x a. Membagi dengan variable pangkat tertinggiMembagi dengan variable pangkat tertinggi digunakan saat x dan ditemui bentuk

tak tentu

.


5/10



5

Contoh soal:

Tentukan nilai dari setiap limit berikut:

1.xxx

xxx

x 876

553lim 23

23

+

+

=

33

2

3

3

33

2

3

3

876

553

lim

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x+

+

=

2

2

876

553

lim

xx

x

x

x +

+

= 006

003

+

+= 2

1

2.xxx

xxx

x ++

+

24

23

53

1042lim =

44

2

4

4

44

2

4

3

53

1042

lim

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x++

+

=

003

000

++

+= 0

3.32

132lim

2

23

+

+

xx

xx

x

=

333

2

33

2

3

3

32

132

lim

xx

x

x

x

xx

x

x

x

x+

+

=

000

002

+

+= =

0

2

b. Perkalian sekawan (bentuk khusus yang memuat ba )Cara ini digunakan jika dijumpai bentuk tak tentu Cara penyelesaian; kalikan dengan bentuk sekawannya sehingga berubah menjadi

bentuk

dan selesaikan dengan cara seperti cara bagian a.

Contoh soal:


1. 1426lim 22 +++

xxxxx

2. xxxxx

32lim 22 +

3. 13212lim 22 +++

xxxxx

Jawaban:

1. 1426lim 22 +++

xxxxx

.

)1426(

)1426(

22

22

++++

++++

xxxx

xxxx=

1426

)14()26(lim

22

22

++++

+++

xxxx

xxxx

x=

1426

110lim

22 ++++

+

xxxx

x

x, karena

pangkat tertinggi pembilang = 1

Dan pangkat tertinggi penyebut = 1 karena xx =2 , maka:

=

22

141

261

110

lim

xxxx

x

x++++

+

= 5

2

10=

2 xxxxx

32lim 22 + . )32(

)32(

22

22

xxxx

xxxx

++

++=

22 2


6/10



6

3232

3112

41

lim

xxxx

x

x++

=

0

1=

3. 13212lim 22 +++

xxxxx

.)13212(

)13212(

22

22

++++

++++

xxxx

xxxx

13212

)132()12(lim

22

22

++++

+++

xxxx

xxxx

x=

13212

2lim

22

2

++++

xxxx

xx

x=

432432

2

132121

211

lim

xxxxxx

xx

x++++

=

0

1= -

4. rqxpxcbxaxx

++++

22lim , dengan cara yang sama seperti diatas di

peroleh hasil (3 kemungkinan):

Jika nilai a = p maka nilai dari limitnya =a

qb

2

Jika nilai a < p maka nilai dari limitnya = Jika nilai a > p maka nilai dari limitnya =

Latihan 4.


1.2

2

3410

576lim

xx

xx

x +

+

5. 142lim 22 ++

xxxxx

2.)34)(13(

)32(lim

2

+

xx

x

x 6. 23lim 2 ++

xxx

x

3.323

57lim

2 +

+ xx

x

x 7. 729)13(lim 2 ++

xxx

x

4.

xxx

x

x 412

6lim

2++

8.

xx

xx

x 7

)43()32(lim

5

32

+

+

.

II.Limit Fungsi Trigonometri

Teorema:

1sin

limsin

lim00

== x

x

x

x

xx

1tan

limtan

lim00

== x

x

x

x

xx

a. menyelesaikan limit fungsi trigonometri bentuk0

0

Contoh soal:



7/10



7

Jawab:

1.x

x

x 3

sinlim

0= )

3

1(1

3

1sinlim

0=

x

x

x=

3

1

2. x

x

x 3sinlim

0 =)3

1(13

1.3sin

3lim

0 = x

x

x= 3

1

5.x

x

x 3sin

2sinlim

0= )1)(1(

3

2

3sin

3

2

2sinlim

3

2

3

2

2

3.

3sin

2sinlim

00==

x

x

x

x

x

x

x

x

xx=

3

2

7.xx

x

x sin3

2cos1lim

0

=

3

2)1)(1(

3

2

sin

sinsinlim

3

2

sin3

sin2lim

0

2

0===

x

x

x

x

xx

x

xx

b. menyelesaikan limit fungsi trigono bentuk ( )

Limit bentuk ( ) dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk0

0

contoh soal:Tentukan nilai dari limit berikut:

)tan(seclim

2

xx

x

=

)2

sin(

)2

(2

1sin).

2(

2

1cos2

lim

)2

sin(

sin2

sin

limcos

sin1lim)

cos

sin

cos

1(lim

2222x

xx

x

x

x

x

x

x

xxxxx

+=

=

=

=2 cos 02

1cos

2

1).

22(

2

1==+

c. menyelesaikan limit fungsi trigonometri bentuk (0. ) dapat diselesaikan dengan

mengubahnya ke bentuk0

0.

Contoh soal:

1. xxx

2

1tan)1(lim

1

= =

=

)2

1

2

1sin(

2

1sin)1(

lim

2

1cos

2

1sin)1(

lim11 x

xx

x

xx

xx

2.

2

2

1

1.2

1

sin1

)1(2

1sin

2

1

sin)1(lim

1==

x

xx

x

== oOo ==


8/10



8

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

LATIHAN SOAL

Pilihlah salah satu jawaban yang paling

benar!

1. Nilai 4

65

lim 2

2

2

+ x

xx

x =

A.4

1

B.8

1

C.8

1

D. 1

E.4

5

2. Nilaixx

x+x

x 3

183

3im

2

2

l

adalah

A. 0

B. 1C. 2D. 3E. 6

3. Nilai6

8

2Lim

2

3

+ tt

t

t=

A. 0

B.3

4

C.5

12

D.4

5

E.

4 Nilai

+

82

3

4

2lim

222 xxxx=

A.12

7

B.4

1

C.12

1

D.24

1

E. 0

5 Jikaf(x) =4

22

2

x

xxmaka

2lim

xf(x)

= A. 0

B. C.2

D.2

1

E. 2

6. Nilai4

2

4lim

t

t

t=

A. 1B.

4

1

C.3

1

D.2

1

E4

3

7. Nilai74

9lim

2

2

3 +

x

x

x= ...

A. 0B. 5C. 6,5

D. 8E.

8 Nilai3

124lim

3

++

x

xx

xadalah

A. 77

1

B. 714

1

C. 0

D. 77

1

E. 714

1

9 Nilaixx

xx

x +

0lim =

A. 0B.

21

C. 1D. 2

E.

10 Nilai2

2

0 11lim

x

x

x +=

A. 2

B. 0C.1D.2E. -3


9/10



9


11 Nilai dari

xxxxx

5434 22lim +

adalah A. 0

B. 1C. 2D. 4E. 8

12 Nilaix

lim (3x 2) 529 2 + xx

= A. 0

B.3

1

C.1

D.3

4

E. 35

13. Nilai Nilai

)7315lim ++

xxx

=

A. B. 8C. 6D. 2E. 0

14 Nilaix

x

x 3sin

5sinLim

0=

A. 1

B. 0C.1

D.5

3

E.3

5

15 Nilait

t

t 2

3tan

0Lim

adalah

A. 0B. 1C. 3

D.3

2

E. 23

16 Nilai Nilai( ) ( )

103

2sin6lim

22

++

xx

xx

x=..

A.3

4

B.7

4

C.5

2

D. 0E. 1

17 Nilai =+

xx

xx

x cos

3sinsin

0lim

A. 0

B. 1C. 2D. 3E. 4

18 Nilai21 1

1lim

x

x

x

=

A.2

1

B. 0

C.4

1

D. 1

E. 419 Jikaf(x) =x

2 1, maka

( ) ( )p

x- fx+pf

p 0lim

sama dengan

A. 0B. 1C. 2D. 2xE.x3

20 Diketahuif(x) =

3

1

5

2

x

, maka

p

xfpxf

p

)()(lim

0

+

=

A.

3

4

5

2

x

B.

3

2

5

2

x

C.

3

2

15

2

x

D.

3

2

15

2

x

E

3

4

15

2

x


10/10



10


Mengapa Cina Sangat BerprestasiDalam Olimpiade Matematika Internasional?

Sejak pertama kali mengikuti Olimpiade Matematika Internasional (International MathematicalOlympiad) tahun 1985 di Joutsa, Finlandia sampai dengan IMO tahun 2008 di Madrid, Spanyol, siswa-siswa sekolah menengah dari Cina telah berhasil mengumpulkan 101 medali emas, 26 perak dan 5perunggu. Bandingkan dengan Indonesia yang sampai sekarang baru berhasil mendapat 3 medali perak

dan 12 perunggu sejak pertama kali ikut IMO tahun 1988 di Canbera, Australia.Faktor-faktor apa saja yang menyebabkan siswa-siswa Cina menjadi sangat luar biasa dalam IMO? Yang

paling utama adalah sistem pendidikan di Cina yang dapat membuat siswa sangat tertarik dengan

matematika dan dapat mengidentifikasi siswa-siswa yang potensial dalam bidang tersebut. Dalam hal

inilah Cina sangat unggul.

Guru-guru matematika di Cina tidak memerlukan banyak pelatihan dalam pengembangan

profesinya, tetapi mereka sangat spesialis dan mau bekerja keras dalam mendalami profesinya. Faktor

lain yang sangat berpengaruh adalah banyak sekali guru matematika di Cina yang menggemari dan

menggeluti kompetisi matematika. Cina mempunyai jaringan pelatih khusus untuk kompetisi matematika di

seluruh negeri yang dapat mengidentifikasi dan membimbing siswa-siswa yang berbakat matematika.

Setiap tahun lebih dari 10 juta siswa sekolah menengah di Cina yang berpartisipasi dalam kompetisi

matematika. Menurut Zuming Feng (team leader tim IMO Amerika Serikat) yang dilahirkan dan dibesarkan

di Cina sebelum berimigrasi ke Amerika Serikat, di Cina terdapat banyak sekali guru matematika sekolahmenengah di Cina yang mengabdikan profesinya khususnya dalam kompetisi matematika.

Kemampuan matematika yang mendalam juga menjadi syarat dalam ujian masuk perguruan tinggi di

Cina. Soal ujian tersebut selalu terdiri dari tiga atau lima soal matematika yang berbentuk pembuktian.

Sebagai akibatnya siswa-siswa Cina sudah terbiasa menghadapi soal-soal matematika level olimpiade.

Faktor terakhir adalah sistem pembinaan yang sangat keras untuk menghadapi IMO. Meskipun tidak

melalui model pelatihan jangka panjang, siswa-siswa yang mewakili Cina di IMO paling sedikit harus

melewati sepuluh tes yang selevel dengan IMO

modul matematika limit fungsi

Documents