modul materi 1 mat
DESCRIPTION
modul matematikaTRANSCRIPT
Standar Kompetensi
MODUL : IA.Pengukuran Sudut dengan Satuan Derajat dan Radian1. Pengukuran sudut dalam satuan derajat
Definisi : 1 putaran penuh = 360 derajat, atau
1 derajat (1) = putaran penuh
1 derajat = 60 menit, ditulis 1 = 601
1 menit = 60 detik, ditulis 11 = 6011
2. Ukuran sudut dalam satuan radian (rad)
Ukuran sudut dalam radian adalah perbandingan antara panjang busur didepan sudut pusat lingkaran dengan panjang jari-jari lingkaran.
Definisi:
Satu radian adalah besarnya sudut pusat lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari dan sebuah busur yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran tersebut
Karena panjang busur lingkaran (keliling lingkaran) = 2( r, maka ukuran sudut 1 putaran penuh = 2( rad.
3. Hubungan ukuran sudut dalam derajat dengan radian
a. ukuran sudut 1 putaran penuh dalam derajat adalah 360
b. Panjang busur 1 (satu) lingkaran penuh atau keliling lingkaran adalah 2(r, maka ukuran sudut 1 putaran penuh dalam radian adalah 2( rad.
Jadi : 360 = 2( rad, atau
2( rad = 360
( rad = 180 atau 180 = ( rad
c. Dari 180 = ( rad, didapat:1) 1 = rad
2) 1 rad = dengan ( = 3,14
1 rad =
( 57,3 atau
( 57 181
Soal untuk didiskusikan
1. Ubahlah kedalam satuan radian.a. 30 = b. 210 =
c. 240 =
2. Ubahlah kedalam satuan derajat.a. =
c. 1 =b. 2 rad =
d. 3,5 rad =3. Diketahui sebuah lingkaran dengan titik pusat P dan jari-jari r. Jika panjang busur AB adalah sepertiga keliling lingkaran berapa radian besar sudut APB?4. Diketahui lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r. Jika sudut pusat POQ adalah 1 rad, berapa perbandingan antara busur PQ dengan keliling lingkaran?5. Sebuah roda sepeda berputar sebesar 2 radian. Bila jari-jari roda sama dengan 28 cm, berapa jarak tempuh roda?B. Perbandingan Trigonometri dari suatu Sudut Segitiga Siku-siku1.Sinus, cosinus dan tangen segitiga siku-siku
Pada segitiga ABC siku-siku di C didefinisikan:(1) sin A = =
(2) cos A = =
(3) tan A = =
Disamping itu ada relasi berkebalikan:(1) sec A = = (2) (2) cosec A = = (3) (3) cotan A = =
2. Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut- sudut khususa. Untuk sudut 300 dan 600Perhatikan gambar berikut!
Pada gambar di atas ( ABC adalah segitiga sama sisi, sehimgga (A = (B = (C = 60Misal : AB = AC = BC = 2 AD = garis bagi, garis berat, dan garis tinggi.
Sehingga : ( BAD = ( DAC = 30, BD = DC = 1, AD = , (ADB = 90
Perhatikan ( ABD yang siku-siku di D.
(1) sin 30 = ..
(4) sin 60 = ..(2) cos 30 = ..
(5) cos 60 = ..(3) tan 30 = ..
(6) tan 60 = ..b. Untuk sudut 450Perhatikan gambar berikut!
Pada gambar diatas ( ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki, dengan AB = BC = 1. (A = (C = 45 (B = 90 dan AC =
(1) sin 45 = ..(2) cos 45 = ..(3) tan 45 = ..Dari 1 dan 2 di atas dapat dibuat tabel:asin acos atan a
300
450
600
Soal untuk didiskusikan1. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B. Jika (A = 60 dan AB = 6 tentukan panjang sisi yang lain.2. Carilah nilai perbandingan trigonometri sudut yang lain dan sudut lancip, jika diketahui :
a. sin
EMBED Equation.3 =
b. cos
EMBED Equation.3=
c. tan
EMBED Equation.3 =
3. Pada segitiga ABC diketahui A = 90, hitunglah unsur yang lain,jika :
a. B = 30 dan b = 10 cm.
b. C = 60 dan c = 20 cm
4. Diketahui segitiga ABC siku-siku di C dan a = b. Tentukan unsur-unsur yang belum diketahui jika : a. c = 20 cm.b. a = 15 cmc. b= 25 cm
5. Perhatikan gambar berikut!
Dari gambar di atas tentukan nilai p!
MODUL : II
C. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berrelasi
1. Perhatikan gambar berikut!
Definisi :
Jika diketahui P(x, y), jarak OP = r dan sudut yang dibentuk OP dengan sumbu X positif adalah ( maka :
(1) sin ( = (2) cos ( = (3) tan ( =
Soal untuk didiskusikan
Perbandingan trigonometri sudut-sudut kuadrantal1. Perhatikan gambar berikut!
Jika P pada sumbu X positif maka P (x, 0). Sehimgga < XOP = ( = 0. Jika OP = r, maka:
(1) sin ( = sin 0 = = .
(2) cos ( = cos 0 = .. = = .(3) tan ( = tan 0 = = = .
2. Perhatikan gambar berikut!
Jika P pada sumbu Y positif maka P(0, y). Sehingga < XOP = ( = 90. Jika OP = r, maka:
(1) sin ( = sin 90 = = ..(2) cos ( = cos .. = = = (3) tan ( = tan .. = .= .. = .3.Perhatikan gambar berikut!
Jika P pada sumbu X negatif maka P (-x, 0). Sehingga < XOP = ( =.Jika OP = r, maka :(1) sin ( = sin = = (2) cos ( = cos . = = . = (3) tan ( = tan .. = = . = 4.Perhatikan gambar berikut!
Jika P pada sumbu Y negatif maka P (0, -y). Sehingga (< XOP = ( = .. Jika OP = r, maka :(1) sin ( = sin.0 = = ..(2) cos ( = cos . =. = = . = (3) tan ( = tan = = = . = .
5. Lengkapilah tabel berikut :
sin
cos
tan
00
900
1800
2700
3600
6. Lengkapilah table berikut :P(x, y)
dikuadranBesar Sudut
Tanda AljabarYang bernilai positif
xyrsin
cos
tan
I0 < ( < 90+++
II
III
IV
2. Perbandingan trigonometri sudut-sudut berpenyikuPerhatikan gambar berikut!
Diketahui titik A(x, y). Segitiga OAB siku-siku di B. Jika XOA = ( dan OAB = (,
maka ( = (nyatakan dalam (). Jika OP = r, maka :.(1) sin ( =
(5) sin ( =
(2) cos ( =
(6) cos ( =
(3) tan ( =
(7) tan ( =
(4) cotan ( =
(8) cotan( =
Karena ( = .., maka terdapat hubungan-hubungan:
(1) sin ( = . ( sin () = (2) cos ( = .. ( cos () =
(3) tan ( = ... ( tan (...) = (4) cotan( = ( cotan(...) = 3. Perbandingan trigonometri sudut-sudut berrelasi(1) Perhatikan gambar di bawah ini!
Bayangan titik P(x, y) oleh pencerminan terhadap sumbu y adalah (-x, y). Jika OP = O= r, XOP = ( dan XO= (, lengkapilah titik-titik berikut!
O
(1) sin ( = ..
(4) sin ( = ...
(2) cos ( = .
(5) cos ( =
(3) tan ( = .
(6) tan ( = Karena ( = 180-.. maka terdapat hubungan hubungan
(1) sin ( = sin ( ( sin (180 - ) = ..
(2) cos ( = .. ( cos ( ..-.) = .
(3) tan ( = ( tan (.-.) = .
(2) Perhatikan gambar di bawah ini! Kemudian lengkapilah titik-titik berikut!
Bayangan titik P(x, y) oleh pencerminan terhadap titik O adalah (,..) Jika OP = O= r, XOP = ( dan XO = ( maka :
(1) sin ( = ..
(4) sin ( = ...
(2) cos ( = .
(5) cos ( =
(3) tan ( = .
(6) tan ( =
Karena ( = 180 +.. maka terdapat hubungan-hubungan
(1) sin ( = .( sin (180 + ) =
(2) cos ( = .( cos (..+..) = .
(3) tan ( = ..( tan (.+) = .c. Perhatikan gambar di bawah ini, kemudian lengkapilah titik-titik berikut!
Bayangkan titik P (x, y) oleh pecerminan terhadap sumbu x adalah (, ) Jika OP = O= r, XOP = ( dan XO= ( maka :
(1) sin (=
(4) sin =..
(2) cos (=
(5) cos =..
(3) tan ( = ..
(6) tan =..
a. Karena maka terdapat hubungan-hubungan :
(1) sin =
sin(360o - ) = ..(2) cos = ...
cos( - ) = .
(3) tan =
tan( - ) = .b. Karena maka terdapat hubungan-hubungan :
(1) sin =
sin() = ..(2) cos = ...
cos( ..) = .
(3) tan =
tan() = .Soal untuk didiskusikan:
1. Tentukan perbandingan trigonometri dengan sudut penyiku dari :
a. sin 40
c. . tan 20
b. cos 60
d. cos
2. Tentukan perbandingan trigonometri dengan sudut pelurusnya dari :
a. sin 150
c. tan 105
b. cos 135
d. cos
3. Tentukan perbandingan trigonometri dengan sudut lancipnya dari :
a. sin 210
c. tan 225
b. cos 240
d. cos
4. Tentukan nilai dari :a. sin 330
e. sin (-60)0
b. cos 300
f. cos (-315)0
c. tan
g. tan(-225)0
d. cos
h. tan(- )
5. Buktikan bahwa : sin (90+ ) = cos
6. Sederhanakanlah !
+
MODUL : III
D. Rumus-rumus yang menghubungkan sin A, cos A dan tan A
Perhatikan gambar di atas!Diketahui A (x, y), OA = r , ( XOA =
(1) sin =
(2) cos =
Perhatikan gambar!
1. x2 + y2 = r 2 (r cos )2 + (r sin )2 = r 2 r 2 cos 2 + r 2 sin2 = r 2 cos2 + sin2= 1
atau cos2= 1- sin2
sin2 = 1 cos2
2. tan = =
3. cotan =
4. Dari bentuk :
cos2 + sin2= 1 ( Jika kedua ruas dibagi sin2 dan sin 0 )
(5. Dari bentuk :
cos2 + sin2= 1 (kedua ruas dibagi cos2)
(Soal untuk didiskusikan
1. Diketahui sin = dengan sudut di kuadran I, tentukan cos dan tan
2. Jika cos = - dengan sudut tumpul (sudut di kuadran II), tentukan sin dan tan
3. Diketahui cotan = dan sudut di kuadran III, tentukan cos dan sin
4.Jika tan = 2,4 dengan berada di kuadran III dan tan = 0,75 dengan sudut lancip. Tentukan :
a. sin.cos - cos .sin
b. cos . cos + sin. sin
5.Jika sin = dan cos = - ( sudut lancip dan sudut tumpul )
Hitunglah :
E.Identitas Trigonometri
Rumus-rumus :
Dapat dipakai untuk membuktikan identitas trigonometri
Soal untuk disdiskusikan
Buktikan Identitas Trigonometri berikut :
1. (cos A + sin A)2 2cos A sin A = 1
2.
3. (cos A + sin A)(cos A sin A) = 2cos2A - 1
4. cos4A sin4A = cos2A sin2A
5.
6.
7. tan A cotan A =
8. + = 2 sec
EMBED Equation.3
1 rad
r
O r
r
A
C
B
c
b
a
A
2
B
D
C
2
30
60
(3
1
1
A
B
C
45
1
1
(2
B
C
D
A
10cm
p
4 cm
30
cos2 A + sin2A =1
cos2 A = 1-sin2 A
sin2A = 1- cos2A
tan A = EMBED Equation.3
cotan A = EMBED Equation.3
1 + tan2 ( = sec2 (
1 + cotan2 ( = cosec2 (
a
EMBED CorelDRAW.Graphic.10
EMBED CorelDRAW.Graphic.10
(
(
-y
y
x
x
P
P
y
(
(
- x
P1
y
y
P
x
x
B(
r(
y(
x(
A(x, y)
Y
X
O
(
(
P (0,-y)
x
0
(
y
P (-x,0)
x
(
0
y
X
(
P (o,y)
Y
0
P (x,0)
X
Y
O
((
y
P(x,y)
r
x
Y
O
X
1Matematika Dasar II 13
_1319136293.unknown
_1376405677.unknown
_1376420265.unknown
_1376422821.unknown
_1487746335.unknown
_1487780838.unknown
_1487781674.unknown
_1487822592.unknown
_1487780839.unknown
_1487757404.unknown
_1487757413.unknown
_1487750658.unknown
_1376424549.unknown
_1376426867.unknown
_1376427113.unknown
_1376449103.unknown
_1376427134.unknown
_1376427090.unknown
_1376424587.unknown
_1376424656.unknown
_1376424558.unknown
_1376424450.unknown
_1376424539.unknown
_1376423462.unknown
_1376422281.unknown
_1376422641.unknown
_1376422678.unknown
_1376422364.unknown
_1376422157.unknown
_1376422169.unknown
_1376422146.unknown
_1376420144.unknown
_1376420203.unknown
_1376420257.unknown
_1376420161.unknown
_1376405895.unknown
_1376419953.unknown
_1376405824.unknown
_1319136317.unknown
_1319136321.unknown
_1319171918.unknown
_1319174621.unknown
_1319174697.unknown
_1319174756.unknown
_1319175486.unknown
_1319174655.unknown
_1319171941.unknown
_1319171733.unknown
_1319171897.unknown
_1319136322.unknown
_1319136319.unknown
_1319136320.unknown
_1319136318.unknown
_1319136313.unknown
_1319136315.unknown
_1319136316.unknown
_1319136314.unknown
_1319136295.unknown
_1319136312.unknown
_1319136294.unknown
_1319136054.unknown
_1319136070.unknown
_1319136078.unknown
_1319136086.unknown
_1319136099.unknown
_1319136289.unknown
_1319136292.unknown
_1319136102.unknown
_1319136288.unknown
_1319136101.unknown
_1319136088.unknown
_1319136098.unknown
_1319136087.unknown
_1319136082.unknown
_1319136084.unknown
_1319136085.unknown
_1319136083.unknown
_1319136080.unknown
_1319136081.unknown
_1319136079.unknown
_1319136074.unknown
_1319136076.unknown
_1319136077.unknown
_1319136075.unknown
_1319136072.unknown
_1319136073.unknown
_1319136071.unknown
_1319136062.unknown
_1319136066.unknown
_1319136068.unknown
_1319136069.unknown
_1319136067.unknown
_1319136064.unknown
_1319136065.unknown
_1319136063.unknown
_1319136058.unknown
_1319136060.unknown
_1319136061.unknown
_1319136059.unknown
_1319136056.unknown
_1319136057.unknown
_1319136055.unknown
_1319134981.unknown
_1319136040.unknown
_1319136048.unknown
_1319136050.unknown
_1319136051.unknown
_1319136049.unknown
_1319136046.unknown
_1319136047.unknown
_1319136042.unknown
_1319136043.unknown
_1319136045.unknown
_1319136041.unknown
_1319136036.unknown
_1319136038.unknown
_1319136039.unknown
_1319136037.unknown
_1319136034.unknown
_1319136035.unknown
_1319135087.unknown
_1165833130.unknown
_1165838105.unknown
_1197022240.unknown
_1319134927.unknown
_1197022885.unknown
_1197620728.unknown
_1197022286.unknown
_1165838886.unknown
_1165858858.unknown
_1165859357.unknown
_1165990119.unknown
_1197021680.unknown
_1165990078.unknown
_1165859311.unknown
_1165838949.unknown
_1165838264.unknown
_1165838819.unknown
_1165838131.unknown
_1165837966.unknown
_1165838053.unknown
_1165838083.unknown
_1165838031.unknown
_1165837695.unknown
_1165837738.unknown
_1165777393.unknown
_1165777542.unknown
_1165832358.unknown
_1165832759.unknown
_1165777495.unknown
_1165774857.unknown
_945649434.unknown