modul minitab

1

Created by :

Reza Septiani Pontoh

MODUL PANDUAN PENGGUNAAN MINITAB 14

DALAM ANALISIS DATA

DAFTAR ISI

1 PENGANTAR STATISTIKA & PENGENALAN MINITAB...........................................41.1 Pendahuluan.................................................................................................................4

1.1.1 Input Data..............................................................................................................42 STATISTIKA DESKRIPTIF..............................................................................................6

2.1 Meringkas Data............................................................................................................62.2 Menyajikan Data..........................................................................................................7

2.2.1 Histogram..............................................................................................................72.2.2 Boxplot..................................................................................................................82.2.3 Steam and Leaf......................................................................................................92.2.4 Plot.........................................................................................................................9

3 STATISTIKA DASAR.....................................................................................................103.1 Satu Gugus Data Contoh............................................................................................103.2 Dua Gugus Data Contoh ............................................................................................12

4 ANALISIS REGRESI.......................................................................................................134.1 Regresi Linier.............................................................................................................134.2 Regresi Bertatar..........................................................................................................16

4.2.1 Prosedur Stepwise...............................................................................................164.2.2 Forward Selection................................................................................................174.2.3 Backward Elimination.........................................................................................17

4.3 Regresi Terbaik (Best Regression).............................................................................184.4 Regresi Percobaan Satu Faktor Bertaraf kualitatif.....................................................194.5 Regresi Percobaan Satu Faktor Bertaraf Kuantitatif.................................................214.6 Regresi Percobaan Tiga Faktor Bertaraf Kualitatif dan Kuantitatif.....................24

5 REGRESI DAN MASALAH PELANGGARAN ASUMSI.............................................285.1 Heteroskedastisitas (Heteroscedasticity)....................................................................285.2 Autokorelasi (Serial Independen)...............................................................................33

5.2.1 Metode Kuadrat Terkecil Terboboti (Weighted Least Square)...........................345.2.2 Transformasi model.............................................................................................35

5.3 MULTIKOLINIERITAS............................................................................................366 PERANCANGAN PERCOBAAN....................................................................................41

6.1 KLASIFIKASI PERLAKUAN..................................................................................426.1.1 Rancangan Perlakuan..........................................................................................426.1.2 Rancangan Lingkungan.......................................................................................43

6.2 PERCOBAAN FAKTORIAL....................................................................................436.2.1 Percobaan Dua Faktor RAL................................................................................436.2.2 Percobaan Dua Faktor RAK................................................................................456.2.3 Percobaan Dua Faktor RBSL..............................................................................46

6.3 RANCANGAN PETAK TERPISAH ( Split Plot Design).........................................466.4 RANCANGAN BLOK TERPISAH ( Split Block Design or Strip Plot Design)......47

7 PENGUJIAN ASUMSI.....................................................................................................487.1 Pengujian Keaditifan Model.......................................................................................507.2 Pengujian Kenormalan Galat......................................................................................507.3 Pengujian Kehomogenan Ragam...............................................................................507.4 Pengujian keacakan/kebebasan galat..........................................................................51

8 TRANSFORMASI DATA................................................................................................528.1 Transformasi untuk data tunggal................................................................................52

Tangga transformasi Tukey.................................................................................................52

2

8.2 Transformasi untuk k buah data sample bebas...........................................................538.2.1 Transformasi logaritma ( log Y ).........................................................................538.2.2 Transformasi akar kuadrat ( √Y )........................................................................538.2.3 Transformasi Arcsin ( Sin-1√Y)..........................................................................54

8.3 Transformasi Dalam Regresi Linear Sederhana ........................................................559 REGRESI LOGIT DAN PROBIT.....................................................................................55

9.1 Regresi Logit .............................................................................................................559.1.1 Model Logit.........................................................................................................569.1.2 Pengujian Parameter............................................................................................569.1.3 Intepretasi Koefisien............................................................................................57

9.2 Regresi Probit.............................................................................................................609.2.1 Intepretasi koefisien.............................................................................................609.2.2 Kriteria pemilihan Model Terbaik.......................................................................60

9.3 Perbedaan Logit dan Probit........................................................................................619.4 Perbedaan Regresi Linier dan Logistik......................................................................61

10 ANALISIS MULTIVARIATE........................................................................................6310.1 ANALISIS KOMPONEN UTAMA.........................................................................6310.2 ANALISIS KORESPONDENSI..............................................................................63

10.2.1 Analisis korespondensi sederhana.....................................................................6310.2.2 Analisis korespondensi berganda......................................................................65

10.3 ANALISIS GEROMBOL........................................................................................6810.3.1 Konsep Jarak.....................................................................................................6810.3.2 Metode Perbaikan Jarak....................................................................................68

3

1 PENGANTAR STATISTIKA & PENGENALAN MINITAB

Dalam berbagai literatur, statistik atau. statistic dapat diartikan sebagai penduga parameter, dimana parameter disini dapat berupa rata-rata, standar deviasi, proporsi dan lain-lain. Sementara itu Statistika atau statistics adalah suatu disiplin ilmu yang mempelajari metode pengumpulan data, menganalisis (termasuk pendugaan parameter) dan menarik kesimpulan dari data tersebut.

Data dibagi ke dalam kelompok menurut sumbernya, yaitu data primer dan data sekunder. Data primer adalah data yang berasal dari sumber asli dan dikumpulkan secara khusus untuk menjawab pertanyaan penelitian kita. Data sekunder adalah data yang berasal dari hasil survey pihak lain.

Statistika adalah salah satu alat untuk membantu para pengambil kebijakan dalam membuat keputusan. Pengambilan keputusan ini umumnya didasarkan atas informasi yang tersedia dari data contoh. Untuk mengetahui prosedur pengambilan keputusan tersebut terlebih dahulu diperlukan pengertian-pengertian dasar tentang konsep dan teori statistika. Konsep-konsep dan tahapan-tahapan yang harus dimiliki oleh seorang peneliti dalam melakukan penelitiannya, yaitu:

1. Pendefinisian masalah2. Pendefinisian populasi3. Penentuan peubah / variabel4. Teknik penarikan contoh5. Pembuatan alat ukur6. Metode analisis7. Interpretasi hasil analisis8. Kesimpulan9. Penyajian hasil analisis

1.1 PendahuluanPaket program MINITAB merupakan perangkat lunak yang dapat digunakan

sebagai media pengolahan data yang menyediakan berbagai jenis perintah sehingga memungkinkan proses pemasukkan data, manipulasi data, pembuatan grafik, peringkasan nilai-nilai numerik dan analisis statistika.

MINITAB memiliki dua sesi primer yaitu worksheet (lembar kerja) untuk melihat dan mengedit lembar kerja, serta sesi command yang merupakan layar untuk menampilkan hasil. Perintah-perintah MINITAB dapat diakses melalui menu, kotak dialog dan perintah interaktif. Perintah interaktif ditulis pada sesi command.

1.1.1 Input DataREAD : Perintah READ selain digunakan untuk memanggil atau membaca

data dari File ASCII juga dapat digunakan untuk memasukkan data melalui keyboard. Tulislah setiap baris data pada satu baris baru dan pisahkan masing-masing angka dengan spasi atau koma dan akhiri dengan END.

Contoh : MTB > READ C2 C3 DATA> 2 4

DATA> 3.5 27 DATA> 1 12 DATA> END

SET : Perintah SET digunakan untuk memasukkan data ke suatu kolom.

Contoh : MTB > SET C6 DATA> 2 7 9 DATA> 3.8 22 DATA> END

Beberapa cara meringkas penulisan data melalui perintah SETDATA> 1 : 4 1 2 3 4

4

DATA> 1 : 3 / .5 1 1.5 2 2.5 3DATA> 3(1) 1 1 1DATA> 2(1:3) 1 2 3 1 2 3 DATA> (1:3) 2 1 1 2 2 3 3DATA> 2 (1: 3) 2 2 1 2 3 2Contoh: MTB> SET C6 DATA> 1 : 3 / .5

DATA> END

LET : Perintah LET digunakan untuk perhitungan aritmatik, bisa juga digunakan untuk mengganti atau memperbaiki nilai dalam kolom.

LET E = ekspresi aljabarContoh: MTB> LET C1 (3) = 4

MTB> LET C4 = (C1-MEAN(Cl))**2 MTB> LET K2= SUM (ABSO(Cl-MEAN (C1)))

Ekspresi aljabar didalam format perintah tersebut adalah :1. Operasi aritmatik ( +, -, *, /, **, =, ~=, >, <, <=, => )2. Fungsi : ABSOLUTE, EXPO, MINIMUN, ROUND, SUM, COUNT, MEDIAN,

STDEV, RANK, SORT, MEAN, PARSUM, SQRT, SSQPerintah fungsi selalu diikuti dengan tanda kurung → MTB> SQRT (C5)

DELETE & ERASE : DELETE berfungsi untuk menghapus baris, sedangkan ERASE digunakan untuk menghapus kolom.

Contoh: MTB> DELETE 2,4 C1-C3

MTB> ERASE C1

INSERT : berfungsi untuk menyisipkan baris data pada lembar kerja.Contoh: MTB> INSERT 2,3 Cl-C2

DATA> 56 8 DATA> END

COPY : Perintah COPY digunakan untuk menggandakan data.Contoh : NAMA JK BB TB

JOAN 2 135 66HENRI 1 155 70MARY 2 125 64

5

SUSAN 2 115 65JAMES 1 145 64

MTB> COPY 'NAMA' 'JK' 'BB' 'TB' C12-C14;SUBC> USE 'JK'=l. (perintah ini sama dengan OMIT 'JK'=2.)Hasilnya :

CODE : untuk menggandakan sekaligus mengganti beberapa nilai STACK DAN UNSTACK : Perintah STACK digunakan untuk menggabungkan kolom atau konstanta diatas kolom atau konstanta yang lain, UNSTACK digunakan untuk memecah atau memisahkan isi sebuah atau beberapa kolom ke dalam beberapa kolom atau konstanta. Subcommand yang digunakan untuk memecah adalah SUBSCRIPTS.

2 STATISTIKA DESKRIPTIF

Statistika deskriptif adalah bidang statistika yang membicarakan metode mengumpulkan, meringkas/menyederhanakan dan menyajikan data sehingga dapat memberikan informasi. Mengumpulkan data dapat dilakukan dengan cara:

1. Penelitian2. Observasi

Ukuran yang digunakan dalam meringkas data:1. Ukuran pemusatan ( mean, median, modus, kuartil)2. Ukuran penyebaran ( ragam, range, jarak antar kuartil)

Penyajian data dapat berupa :1. Tabulasi2. Grafik ( histogram, boxplot (diagram kotak garis), steam and

leaf (diagram dahan daun), plot) Peringkasan dan penyajian data yang baik akan sangat membantu dalam menganalisis data selanjutnya. Dan membantu dalam mengambil kesimpulan secara deskriptif.

2.1 Meringkas DataTahapan menggunakan menu MINITAB :

Klik Stat > Basic Statistics > Display Descriptive Statistics Variables : isi dengan peubah yang akan dideskripsikan klik Graph : pilih Histogram of Data with normal curve klik Statistics : checklist nilai-nilai statistic yang ingin

ditampilkan Klik OK!

Contoh :Data hasil yang diperoleh dari varietas padi lokal (ton/ha):4.0, 4.0, 5.5, 6.0, 7.5, 4.8, 6.1, 4.5, 4.5, 5.0,4.0, 5.3, 5.1, 5.8, 5.9. 6.5, 7.5, 7.5, 4.0, 4.5

Masukkan data diatas pada kolom C1 Kemudian ikuti tahapan menggunakan menu MINITAB diatas

6

Keterangan :N : Banyak dataMean : RataanMedian : Nilai tengah setelah data terurut dari terkecil hingga

terbesarTrMean : Rataan Terpangkas, yaitu rataan setelah data terkecil

dan terbesar dipotong masing-masing 5%StDev : Simpangan Baku/ akar dari ragamSE Mean : Rataan Galat Baku/ Simpangan Baku bagi NMin/Max : Nilai terkecil/terbesar setelah data terurutQ1/Q3 : kuartill/kuartil3

hasil

Frequency

876543

4

3

2

1

0

Mean 5.4StDev 1.183N 20

Histogram (with Normal Curve) of hasil

Interpretasi : Dengan Histogram dapat dilihat apakah data menyebar normal atau tidak.

Histogram diatas menunjukan bahwa data tidak menyebar normal tetapi cenderung menjulur ke kanan. Sedangkan kotak-kotak tersebut memiliki interval yang sama yaitu 0.5 dan tinggi kotak menunjukkan frekuensi nilai-nilai yang berada pada interval tersebut.

2.2 Menyajikan Data

2.2.1 HistogramPenyajian dalam bentuk Histogram memberikan gambaran frekuensi untuk

setiap nilai atau selang nilai tertentu dari peubah yang diamati secara visual.

7

Descriptive Statistics: hasil

Variable N Mean SE Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximumhasil 20 5.400 0.265 1.183 4.000 4.500 5.200 6.075 7.500

Tahapan menggunakan menu MINITAB : Klik Graph > Histogram Pilih bentuk histogram yang akan ditampilkan Graph Variables : isi dengan variabel yang akan dibuat histogram Klik Label jika ingin memberi judul histogram Klik Multiple Graph untuk memilih tampilan histogram (overlay lebih dari 1

variabel atau separate) Klik OK!

Contoh :Data hasil yang diperoleh dari vareitas padi lokal (ton/ha):4.0, 4.0, 5.5, 6.0, 7.5, 4.8, 6.1, 4.5. 4.5, 5.0,4.0,5.3,5.1, 5.8 , 5,9,6.5, 7.5, 7.5, 4.0, 4.5

Masukkan data di atas pada kolom Cl, beri judul kolom Hasil (ton/ha) Kemudian ikuti tahapan menggunakan menu MINITAB diatas

hasil (ton/ ha)

Frequency

7.57.06.56.05.55.04.54.0

4

3

2

1

0

histogram hasil (ton/ ha)

2.2.2 BoxplotPenyajian dalam bentuk Boxplot tidak menampilkan data asli, tetapi

menampilkan : Kesimetrisan penyebaran data, dapat dilihat dari apakah kotak terbagi dua

oleh garis median sama besar atau tidak, dan apakah 'ekor' bawah dan 'ekor' atas sama panjang atau tidak.

Keanehan data, jika data pengamatan berada di luar batas BB1 dan BA1, disebut pencilan minor, dan jika data pengamatan berada di luar batas BB2 dab BA2 disebut data ekstrim.

Keterangan :Q1 : Nilai Kuartil 1, nilai yang menyekat kumpulan data yang telah

diurutkan, dimana data yang lebih kecil dari Q1 sebanyak 25% dan data yang lebih besar dari Q1 sebanyak 75%.

Q2 : Nilai Kuartil 2, sama dengan median, merupakan nilai pembatas

8

50% data disebelah kiri Q2 dan 50% data di sebelah kanan Q2.Q3 : Nilai Kuartil 3, nilai yang menyekat kumpulan data yang telah

diurutkan, dimana data yang lebih kecil dari Q3 sebanyak 75% dan data yang lebih besar dari Q3 sebanyak 25%.

BA1 = Q3 + 3/2(Q3-Q1) BB1 = Q1 - 3/2(Q3-Q1)BA2 = Q3 + 3(Q3-Q1) BB2 = Q1 - 3(Q3-Q1)

Tahapan menggunakan menu MINITAB : Klik Graph > Boxplot Pilih bentuk histogram yang akan ditampilkan Graph Variables : isi dengan variabel yang akan dibuat boxplot Klik Label jika ingin memberi judul boxplot Klik OK!

Contoh :Gunakan data contoh Histogram, kemudian ikuti tahapan di atas

hasi

l (to

n/ha)

8

7

6

5

4

BOXPLOT HASIL (TON/ HA)

2.2.3 Steam and LeafMemungkinkan pengguna mendapat lebih banyak informasi dibandingkan

dengan penyajian Histogram, karena diagram dahan daun menyajikan data asli dari setiap objek pengamatan. Tahapan menggunakan menu MINITAB :

Klik Graph > Steam-and-leaf Graph Variables : isi variabel yang akan dibuat steam and-leaf Klik OK!

Contoh: Gunakan data Histogram, ikuti langkah diatas

2.2.4 PlotMenggunakan plot harus ada dua variabel, sehingga data tersebut dapat

diplotkan antara kedua variabel tersebut.Tahapan menggunakan menu MINITAB :

9

Stem-and-Leaf Display: hasil (ton/ha)

Stem-and-leaf of hasil (ton/ha) N = 20Leaf Unit = 0.10 4 4 0000 8 4 5558(3) 5 013 9 5 589 6 6 01 4 6 5 3 7 3 7 555

Klik Graph > Plot Graph Variables : isi Y dengan variabel yang akan diplotkan (Cl)

dan X dengan peubah lain (C2) Klik Label jika ingin memberi judul plot serta klik pada bagian data labels jika

ingin menampilkan tipe label pada plot (klik use y-value labels). Klik OK!

Contoh : Gunakan data Histogram, dengan tambahan data lokasi penanaman padi :

1, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 3. 1 = Jawa Barat, 2 = Jawa Tengah, 3 = Jawa Timur Tempatkan data tambahan di atas pada kolom C2, kemudian ikuti tahapan di atas

3 STATISTIKA DASAR

3.1 Satu Gugus Data ContohMINITAB menyediakan fasilitas untuk melakukan pengujian hipotesis (pengujian

nilai tengah) dan membuat selang kepercayaan. Beberapa kriteria yang harus diperhatikan:

1. Jika ukuran contoh besar (n>30) atau ragam populasi diketahui, maka statistik uji yang digunakan statistik uji z.

2. Jika ukuran contohnya kecil (n<30) dan ragam populasi tidak diketahui, maka statistik uji yang digunakan statistik uji t.

Bentuk hipotesis yang diuji :1. H0 : μ = μ0 vs H1 : μ ≠ μ0

2. H0 : μ = μ0 vs H1 : μ > μ0

3. H0 : μ = μ0 vs H1 : μ < μ0

sedangkan selang kepercayaan (1-α) 100% bagi nilai tengah popuJasi adalah:

10

)( )2/( xzx σα± dimana : x = nilai tengah contoh

xσ = galat baku nilai tengah x

Langkah-langkah menggunakan menu MINITAB untuk Uji Z : Klik Stat > BasicStatistcs > 1-Sample z Variables : isi dengan peubah C1 atau hasil(ton/ha) Test Mean : isi dengan nilai tengah populasi yang

dihipotesiskan (5.2) Standar deviation : isi dengan simpangan baku populasi (1.2) Klik options : pilih taraf nyata pada confident level dan

hipotesisnya pada alternative

Intepretasi :Hipotesis yang diuji adalah Ho : μ = 5.0 vs H1 : μ ≠ 5.0. Setelah dilihat dari nilai

P-value teryata nilainya lebih besar dari taraf nyata 0.05 yang berarti terima H0 atau μ = 5.0.Langkah-langkah menggunakan menu MINITAB untuk Uji T :

Klik menu Stat > Basic Statistics > 1-Sample t Variables : isi dengan peubah C1 Test Mean : isi dengan nilai tengah populasi yang

dihipotesiskan (5.2) Klik options : pilih taraf nyata pada confident level

hipotesisnya pada alternative

Intepretasi :

11

One-Sample Z: hasil (ton/ha)

Test of mu = 5.2 vs not = 5.2The assumed standard deviation = 1.2

Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI Z Phasil (ton/ha) 20 5.40000 1.18322 0.26833 (4.87409, 5.92591) 0.75 0.456

One-Sample T: hasil (ton/ha)

Test of mu = 5.2 vs not = 5.2

Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI T Phasil (ton/ha) 20 5.40000 1.18322 0.26458 (4.84624, 5.95376) 0.76 0.459

Hipotesis yang diuji adalah Ho : μ = 5.0 vs H1 : μ ≠ 5.0. Setelah dilihat dari nilai P-value teryata nilainya lebih besar dari taraf nyata yang kita tentukan yaitu sebesar 0.05 yang berarti terima H0.

3.2 Dua Gugus Data Contoh Jika ingin melakukan uji kesamaan dua nilai tengah dan selang kepercayaan

untuk beda nilai tengah populasi bagi dua gugus data contoh digunakan uji t dengan perintah TWOSAMPLE (jika 2 gugus data contoh diletakkan pada kolom terpisah) atau TWOT (jika 2 gugus data diletakkan pada satu kolom dan kolom lain dituliskan koding dari gugus contoh).

Bentuk hipotesis yang diuji :1. H0 : μ1 = μ2 vs H1 : μ1 ≠ μ2

2. H0 : μ1 = μ2 vs H1 : μ1 > μ2

3. H0 : μ1 = μ2 vs H1 : μ1 < μ2

Contoh: Kita ingin menguji apakah nilai tengah antara variabel di C1 dan C2 sama, dan kita mengujinya pada taraf nyata sebesar 0.05

Langkah-langkah dalam MINITAB : Klik Stat > Basic statistics > 2-sample t Klik Samples in different columns:

Masukkan kolom mana yang akan diuji (C1 dan C2) Klik "Assume equal variances" jika kita mennganggap bahwa ragam populasi

sama Klik options : pilih taraf nyata pada confident level serta

hipotesisnya pada alternative.

Interpretasi :Hipotesis yang diuji adalah Ho : μhasil = μlokasi vs H1 : μhasil ≠ μlokasi. Setelah dilihat

dari nilai P-value teryata nilainya lebih kecil dari taraf nyata yang kita tentukan yaitu sebesar 0.05 yang berarti tolak H0 atau nilai tengah hasil tidak sama dengan nilai tengah lokasi.

12

Two-Sample T-Test and CI: hasil (ton/ha), lokasi

Two-sample T for hasil (ton/ha) vs lokasi

N Mean StDev SE Meanhasil (ton/ha) 20 5.40 1.18 0.26lokasi 14 2.071 0.917 0.25

Difference = mu (hasil (ton/ha)) - mu (lokasi)Estimate for difference: 3.3285795% CI for difference: (2.55990, 4.09725)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 8.82 P-Value = 0.000 DF = 32Both use Pooled StDev = 1.0829

4 ANALISIS REGRESI

Dalam MINITAB terdapat fasilitas untuk analisis regresi yaitu regresi linier, regresi bertatar (stepwise regression), regresi terbaik (best regression), dan regresi kekar (robust regression). Disini hanya akan dibahas tentang regresi linier, bertatar dan terbaik.

Model : Yt = α + βXt + Ut

Asumsi yang mendasari pendugaan model regresi linier dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu :

Ut adalah random variable (peubah acak) dengan nilai rata-rata Ut [E(Ut)] = 0, untuk semua t.

Homoskedastisitas (kehomogenan ragam) yang berarti untuk setiap sisaan ragamnya sama. Untuk semua t, Var (Ut) = σ2.

Tidak ada auto korelasi dalam sisaan. Tidak terdapat hubungan atau korelasi antara beberapa atau semua variabel

bebas (multikolinearitas) Untuk setiap t, Ut menyebar Normal (0, σ2)

4.1 Regresi LinierRegresi Linier adalah persamaan regresi yang menggambarkan hubungan

antara peubah bebas (X, independence variable) dengan peubah tak bebas (Y, dependence variable) dimana hubungan keduanya dapat digambarkan sebagai suatu garis lurus.

Berikut adalah contoh menganalisis data menggunakan regresi linier. Suatu telaah dilakukan untuk mengevaluasi sejauh mana pengaruh biaya yang dikeluarkan untuk iklan terhadap hasil penjualan, dikumpulkan data biaya iklan dan hasil penjualan sebagai berikut :

No Biaya Hasil No Biaya Hasil

1 40 385 7 40 490

2 20 400 8 20 420

3 25 395 9 50 560

4 20 365 10 40 525

5 30 475 11 25 480

6 50 440 12 50 510

Jika diasumsikan hubungan antara biaya iklan dengan hasil penjualan dapat dinyatakan sebagai persamaan linier sederhana, dugalah persamaan garis tersebut apakah biaya iklan memberikan pengaruh yang nyata terhadap hasil penjualan.

Langkah-langkah dalam MINITAB: Peubah respon (Hasil) disimpan di kolom pertama (C1) dan peubah penjelas

(Biaya) di kolom berikutnya (C2) Klik Stat > Regression > Regression Response : Masukkan peubah respon (Hasil) Predictors : Masukkan peubah bebas (Biaya) Klik Graphs :

• Residual for plots : pilih Regular• Residual plots : pilih four in one

Klik Options : • Display, pilih variance inflation factor• Predictions intervals for new observations : isi nilai X = 35• Confidence interval: 95• Storage : Fits

Klik Result : Pilih option kedua regression equation, table .... Klik storage : Checklist pada residuals.

13

Interpretasi :Dari output diatas dapat diperoleh beberapa informasi, persamaan regresi yang

diperoleh adalah Hasil = 344 + 3.22 Biaya, dimana setiap

kenaikan satu satuan biaya akan menaikkan hasil sebesar 3.22 satuan. Dari nilai-p untuk koefisien biaya dapat disimpulkan bahwa biaya mempunyai pengaruh yang nyata terhadap perubahan hasil (nilai-p < 0.05), kemudian dari R-Sq diperoleh kesimpulan bahwa model hanya mampu menerangkan 40.3% dari keragaman data tetapi dari anova model diperoleh informasi bahwa model sudah cukup baik atau tepat untuk menginterpretasikan data (nilai-p < 0.05)

Output selanjutnya adalah bila kita ingin melihat nilai dugaan y (hasil) dari suatu nilai x (biaya) tertentu pada persamaan regresi yang telah kita peroleh. Dalam kasus ini kita ingin menduga hasil pada biaya sebesar 35 (x = 35.00), pada biaya sebesar 35 maka hasil yang diperoleh sebesar 456.4

14

Regression Analysis: Hasil versus Biaya

The regression equation isHasil = 344 + 3.22 Biaya

Predictor Coef SE Coef T PConstant 343.71 44.77 7.68 0.000Biaya 3.221 1.240 2.60 0.027

S = 50.2257 R-Sq = 40.3% R-Sq(adj) = 34.3%

Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 17030 17030 6.75 0.027Residual Error 10 25226 2523Total 11 42256

Predicted Values for New ObservationsNewObs Fit SE Fit 95% CI 95% PI 1 456.4 14.5 (424.0, 488.8) (339.9, 572.9)Values of Predictors for New ObservationsNewObs Biaya 1 35.0

ResidualP

erc

ent

100500-50-100

99

90

50

10

1

Fitted Value

Resi

dual

500475450425400

50

0

-50

-100

Residual

Fre

quency

50250-25-50-75-100

3

2

1

0

Observation Order

Resi

dual

121110987654321

50

0

-50

-100

Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values

Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data

Residual Plots for Hasil

Plot sisaan untuk hasil diatas dapat digunakan untuk pengujian asumsi. Plot normal probability ... digunakan untuk uji asumsi kenormalan; plot residual versus the fitted values (plot sisaan dan dugaan) menunjukkan kehomogenan ragam sisaan, jika plot membentuk suatu pola acak atau lebar selang homogen maka diindikasikan sisaan bersifat homogen; plot residuals versus the order ... menunjukkan keacakan galat. Dari plot diatas maka ketiga asumsi tersebut telah terpenuhi.

Kemudian bila ingin mengetahui apakah model regresi ordo berapa yang tepat bisa menggunakan menu fitted line plot, tapi hanya terbatas sampai model cubic. Dari langkah ini juga dipeloreh plot regresinya.

Langkah-langkah dalam MINITAB: Klik Stat > Regression > Fitted Line Plot Response (Y) : Masukkan peubah respon (Hasil) Predictors (X) : Masukkan peubah bebas (Biaya) Type or Regression Model : Misal pilih Cubic

15

Polynomial Regression Analysis: Hasil versus Biaya

The regression equation isHasil = - 337.4 + 66.03 Biaya - 1.800 Biaya**2 + 0.01630 Biaya**3

S = 53.9014 R-Sq = 45.0% R-Sq(adj) = 24.4%

Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 3 19013.4 6337.80 2.18 0.168Error 8 23242.9 2905.36Total 11 42256.2

Sequential Analysis of VarianceSource DF SS F PLinear 1 17030.0 6.75 0.027Quadratic 1 456.1 0.17 0.693Cubic 1 1527.2 0.53 0.489

Biaya

Hasi

l

50454035302520

550

500

450

400

350

S 53.9014R-Sq 45.0%R-Sq(adj) 24.4%

Fitted Line PlotHasil = - 337.4 + 66.03 Biaya

- 1.800 Biaya**2 + 0.01630 Biaya**3

interpretasi :Dari output terlihat bahwa hanya model linear yang nyata, sehingga untuk

data ini model yang tepat adalah model regresi linear atau berordo satu.Ulangi langkah diatas (Fitted Line Plot) tapi pilih model linear.

Biaya

Hasi

l

50454035302520

550

500

450

400

350

S 50.2257R-Sq 40.3%R-Sq(adj) 34.3%

Fitted Line PlotHasil = 343.7 + 3.221 Biaya

4.2 Regresi BertatarRegresi bertatar digunakan untuk memilih secara otomatis peubah bebas yang

dapat menerangkan peubah dengan baik berdasarkan statistic F maksimum. Ada tiga metode yang dapat didukung oleh MINITAB dalam menganalisis data menggunakan regresi bertatar ini, yaitu :

4.2.1 Prosedur StepwiseAdapun langkah-langkah untuk melakukan prosedur ini yaitu :

Pada setiap tahap dihitung statistik F untuk setiap prediktor dalam model. Jika nilai F lebih kecil dari Alpha to remove (A REMOVE), maka peubah yang

nilai statistik F-nya paling kecil dikeluarkan dari model Persamaan regresi yang baru dihitung dan hasilnya dicetak Jika tidak ada lagi prediktor yang dikeluarkan dari model, maka dihitung

statistik F prediktor yang tidak termasuk dalam model.

16

Regression Analysis: Hasil versus Biaya

The regression equation isHasil = 343.7 + 3.221 Biaya

S = 50.2257 R-Sq = 40.3% R-Sq(adj) = 34.3%

Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 17030.0 17030.0 6.75 0.027Error 10 25226.2 2522.6Total 11 42256.2

Nilai F yang paling besar dimasukkan kedalam model jika lebih besar dari Alpha to enter (A ENTER).Jika tidak ada lagi prediktor yang dapat ditambahkan ke dalam model, prosedur

stepwise dihentikan.

4.2.2 Forward SelectionSama dengan prosedur stepwise, tetapi tanpa ada prediktor yang dikeluarkan

dari model. Untuk forward selection, gunakan nilai A to remove = 0.

4.2.3 Backward EliminationTahapan untuk melakukan prosedur ini yaitu :

Masukkan prediktor Keluarkan prediktor dengan menggunakan prosedur stepwise Tidak ada prediktor yang dimasukkan kembali ke dalam model Gunakan nilai A to enter = 10000 dan tuliskan semua prediktor pada sub

perintah ENTER

Contoh kasus :Suatu survey dilakukan terhadap 17 rumah sakit di sekitar Jabotabek. Peubah-peubah yang diamati dalarn survey tersebut adalah :

X1 = banyaknya pasien rata-rata per hariX2 = banyaknya pelayanan sinar-X per hariX3 = tempat tidur yang terisi per bulanX4 = banyaknya penduduk disekitarnya yang mungkin memerlukan

fasilitasX5 = rata-rata lamanya pasien dirawat (opname) dalam hariY = banyaknya jam kerja per bulan yang dipakai di rumah sakit

tersebut.

Secara lengkap data hasil survey tersebut disajikan sebagai berikut :

No X1 X2 X3 X4 X5 Y

1 15.6 2463.0 472.9 18.0 4.5 566.5

2 44.0 2048.0 1339.7 9.5 6.9 696.8

3 20.4 3940.0 620.2 4.3 4.3 1033.2

4 18.7 6505.0 568.3 36.2 3.9 1603.6

5 49.2 5723.0 1497.6 35.2 5.5 1611.4

6 44.9 11520.0 1365.8 24.0 4.6 1613.3

7 45.5 5779.0 1687.0 43.3 5.6 1854.2

8 59.3 5969.0 1639.9 46.7 5.2 2160.6

9 94.4 8461.0 2872.3 78.7 6.2 2305.6

10 182.0 21106.0 366.1 180.5 6.2 3503.9

11 96.0 13313.0 2912.0 60.9 5.9 3571.9

12 131.4 10771.0 3921.0 103.7 4.9 3741.4

13 127.2 15543.0 3865.7 126.8 5.5 4026.5

14 252.9 36194.0 7684.1 157.7 7.0 10343.8

15 409.2 34703.0 12446.3 169.4 10.8 11732.2

16 463.7 39204.0 14098.4 331.4 7.1 15414.9

17 510.2 86533.0 15524.0 371.6 6.4 18845.4

Langkah-langkah : Klik Stat > Regression > Stepwise Respon : Masukkan peubah responnya (Y) = C6 Predictors : Masukkan peubah penjelas (X) = C1 - C5

17

Interpretasi Output :Dari hasil output diatas dapat diketahui bahwa dengan menggunakan metode

stepwise, peubah bebas yang berpengaruh nyata terhadap respon yaitu X1, X2, X3 dan X5. Hal ini diketahui dari nilai p-value pada step ke-4 lebih kecil dari nilai α = 15. Nilai R-Sq = 98.81% pada step ke-4 menunjukkan bahwa model regresi diatas sudah baik.

Pada contoh diatas digunakan α = 0.15 (default), jika ingin merubah taraf nyata tetap gunakan langkah diatas. Taraf nyata bisa dirubah melalui icon methods ... pada alpha to enter dan alpha to remove. 4.3 Regresi Terbaik (Best Regression)

Regresi terbaik digunakan untuk meregresikan satu peubah respon pada semua kemungkinan kombinasi subset peubah-peubah prediktor dan kemudian memilih subset terbaik untuk setiap ukuran (size). Informasi model terbaik ini dipilih berdasarkan nilai R-square terbesar. Pada setiap regresi subset terbaik ditampilkan statistik, yaitu : R-sq, adj R-sq, s dan C-p. Jika model difit tanpa konstanta, R-sq dan adj R-sq tidak ditampilkan.Contoh :Dari data pada contoh sebelumnya, ingin dicari kombinasi peubah yang terbaik dalam memodelkan hubungan X dan Y dengan menggunakan regresi terbaik (Best Regression).Langkah-langkahnya yaitu :

Klik Stat > Regression > Best Subsets Response : masukkan peubah respon (Y) = C6

18

Stepwise Regression: Y versus X1, X2, X3, X4, X5

Alpha-to-Enter: 0.15 Alpha-to-Remove: 0.15Response is Y on 5 predictors, with N = 17

Step 1 2 3 4Constant -106.082 -118.446 2.008 1375.574

X1 33.7 24.0 9.1 13.3T-Value 18.72 6.97 1.99 2.76P-Value 0.000 0.000 0.068 0.017

X2 0.081 0.079 0.059T-Value 3.10 4.26 2.92P-Value 0.008 0.001 0.013

X3 0.51 0.51T-Value 3.87 4.20P-Value 0.002 0.001

X5 -279T-Value -1.81P-Value 0.096

S 1163 927 656 606R-Sq 95.90 97.56 98.87 99.11R-Sq(adj) 95.62 97.22 98.61 98.81Mallows C-p 37.7 19.1 5.0 4.0

Free Predictors : masukkan peubah bebas (X) = C1 - C5

Interpretasi Output :Jika dilihat dari outputnya, maka dapat disimpulkan bahwa :

Kombinasi 3 peubah X terbaik yaitu X2, X3, X4 dengan nilai R-Sq(adj) = 98.8%

Kombinasi 4 peubah X terbaik yaitu X1, X2, X3, X5 dengan nilai R-Sq(adj) = 98.8%

4.4 Regresi Percobaan Satu Faktor Bertaraf kualitatifAnalisis regresi percobaan satu faktor bertaraf kualitatif pada dasarnya serupa

dengan analisis ragam yang mengkaji perbedaan nilai rata-rata terhadap perlakuan atau taraf kontrol. Variabel penjelas pada model regresi ini adalah (t-1) buah variabel dummy, apabila taraf faktor kualitatif tersebut ada t buah taraf.Contoh : Percobaan RAL untuk mengetahui pengaruh pencampuran bensin terhadap penggunaan bahan bakar mobil yang diukur melalui jarak tempuh perliter (km/l). Perlakuan yang dicobakan ada 4 macam dimana A sebagai kontrol.

teknik pencampuran

A B C D

jarak tempuh per liter

10 13 14 14

11 11 12 11

8 10 11 10

7 9 10 11

9 10 13 10

total 45 53 60 56

rata-rata 9 10.6 12 11.2

Sesuai ketentuan umum pada regresi dari factor bertaraf kualitatif maka kita bangun 4 - 1 = 3 peubah dummy: D1, D2, D3

19

Best Subsets Regression: Y versus X1, X2, X3, X4, X5

Response is Y Mallows X X X X XVars R-Sq R-Sq(adj) C-p S 1 2 3 4 5 1 95.9 95.6 37.7 1163.2 X 1 95.6 95.3 42.0 1210.8 X 2 98.5 98.3 7.3 722.57 X X 2 98.1 97.8 13.0 828.30 X X 3 99.0 98.8 3.3 614.43 X X X 3 98.9 98.6 5.0 656.26 X X X 4 99.1 98.8 4.0 605.65 X X X X 4 99.0 98.7 5.1 634.31 X X X X 5 99.1 98.7 6.0 632.43 X X X X X

no D1 D2 D3 Yketerangan

taraf ulangan

1 0 0 0 10 A 1

2 0 0 0 11 A 2

3 0 0 0 8 A 3

4 0 0 0 7 A 4

5 0 0 0 9 A 5

6 1 0 0 13 B 1

7 1 0 0 11 B 2

8 1 0 0 10 B 3

9 1 0 0 9 B 4

10 1 0 0 10 B 5

11 0 1 0 14 C 1

12 0 1 0 12 C 2

13 0 1 0 11 C 3

14 0 1 0 10 C 4

15 0 1 0 13 C 5

16 0 0 1 14 D 1

17 0 0 1 11 D 2

18 0 0 1 10 D 3

19 0 0 1 11 D 420 0 0 1 10 D 5

1D =

)B dari(bukan lain pengamatanuntuk 0

B tarafdari pengamatan jika 1

2D =

)C dari(bukan lain pengamatanuntuk 0

C tarafdari pengamatan jika 1

2D =

)D dari(bukan lain pengamatanuntuk 0

D tarafdari pengamatan jika 1

Langkah-langkah : Klik Stat > Regression > Stepwise Respon : masukkan peubah responnya (Y) Predictors : masukkan peubah penjelas, yaitu : D1 D2 D3

Output :

20

Regression Analysis: Y versus D1, D2, D3

The regression equation isY = 9.00 + 1.60 D1 + 3.00 D2 + 2.20 D3

Predictor Coef SE Coef T PConstant 9.0000 0.7071 12.73 0.000D1 1.600 1.000 1.60 0.129D2 3.000 1.000 3.00 0.008D3 2.200 1.000 2.20 0.043

S = 1.58114 R-Sq = 37.7% R-Sq(adj) = 26.0%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F PRegression 3 24.200 8.067 3.23 0.051Residual Error 16 40.000 2.500Total 19 64.200

Interpretasi :Dari output diatas untuk uji koefisien regresi diperoleh informasi bahwa rata-

rata perlakuan B tidak berbeda nyata dengan rata-rata respon dari control (A). sedangkan rata-rata respon untuk perlakuan C dan D pada taraf nyata 5% berbeda nyata dengan rata-rata respon perlakuan A.

Dari persamaan diatas diperoleh informasi bahwa rata-rata respon dari perlakuan C lebih tinggi sebesar 3.00 dari rata-rata respon perlakuan A serta perlakuan D mempunyai rata-rata respon lebih tinggi dari rata-rata respon perlakuan A sebesar 2.20.

4.5 Regresi Percobaan Satu Faktor Bertaraf KuantitatifModel regresi percobaan satu faktor bertaraf kuantitatif sering dirumuskan

dalam bentuk fungsi polynomial. Persamaan regresi polynomial yang menyatakan hubungan antara variable respon (Y) dan taraf-taraf kuantitatif (X) dengan ordo q dapat dinyatakan sebagai berikut :

εββββ +++++= qqXXXY ...2

210

contoh :Percobaan pengaruh temperatur terhadap daya aktifitas baterai yang diukur

pada suatu satuan waktu. 5 Perlakuan diulang sebanyak 4 ulangan dengan rancangan acak lengkap (RAL).

temperatur (F) 0 25 50 75 100

daya baterai

55 63 70 73 68

53 61 65 71 65

52 62 69 70 63

54 60 68 74 67

total 214 246 272 288 263 1283

rata-rata 53.50 61.50 68.00 72.00 65.75 64.15

Dilakukan analisis ragam sebelum membangun model regresi pengaruh temperature terhadap daya aktifitas baterai.Langkah-langkah dengan minitab :

Klik Stat > ANOVA > General Linear Model Responses : isi dengan kolom Respon yang akan diperiksa. Model : isi dengan kolom variabel bebas yang sesuai dengan

rancangan yang digunakan (temperatur)

Interpretasi :

Dari output diatas terlihat bahwa temperatur berpengaruh nyata terhadap respons daya aktivitas baterai, dimana R-Sq juga menunjukkan bahwa model mampu merepresentasikan data sebesar 94.24%.

Langkah selanjutnya adalah membangun model regresi yang tepat, dengan terlebih dahulu melihat arah kecenderungan atau tebaran data.

21

General Linear Model: dayabaterai versus temperatur

Factor Type Levels Valuestemperatur fixed 5 0, 25, 50, 75, 100

Analysis of Variance for dayabaterai, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F Ptemperatur 4 797.80 797.80 199.45 61.37 0.000Error 15 48.75 48.75 3.25Total 19 846.55

S = 1.80278 R-Sq = 94.24% R-Sq(adj) = 92.71%

Langkah-langkah dengan minitab : Klik Graph > Scatter Plot Pilih bentuk histogram yang akan ditampilkan Y variables : isi dengan kolom Respon (daya baterai). X variables : isi dengan kolom variabel bebas (temperatur)

temperatur

dayabate

rai

100806040200

75

70

65

60

55

50

tebaran data temperatur terhadap daya aktivitas baterai

Dari tampilan diatas tampak bahwa model regresi yang cocok dengan data adalah regresi nonlinear. Perlakuan temperatur merupakan faktor kuantitatif berjarak sama diantara berbagai taraf temperatur yang dicobakan, maka untuk memudahkan perhitungan analisis regresi dilakukan transformasi menjadi peubah code sebagai berikut :

( )

( ) 2

2

min

min

TT

TTTX

maks

maksii −

+−= =

50

50−= i

i

TX

temperatur tem_code dayabaterai

temperatur

tem_code dayabaterai

0 -1 55 50 0 69

0 -1 53 50 0 68

0 -1 52 75 0.5 73

0 -1 54 75 0.5 71

25 -0.5 63 75 0.5 70

25 -0.5 61 75 0.5 74

25 -0.5 62 100 1 68

25 -0.5 60 100 1 65

50 0 70 100 1 63

50 0 65 100 1 67

Kemudian kita bentuk model regresi yang cocok pada percobaan ini, karena faktor temperatur mempunyai 5 taraf maka model regresi nonlinear yang yang mungkin terbentuk hanya sampai pada ordo 4 (kuartik). Untuk mengetahui model regresi ordo berapa yang digunakan bisa dilakukan memalaui SAS atau MINITAB.

22

Langkah-langkah dalam MINITAB : Klik Stat > Regression > Regression Response (Y) : Masukkan peubah respon (daya baterai) Predictors (X) : Masukkan peubah bebas (X X2 X3 X4)

Output :

Interpretasi :

Dari anova model terlihat bahwa model sudah sangat tepat dalam merepresentasikan data serta diperoleh R-Sq yang tinggi. Sementara itu untuk uji koefisien secara parsial hanya samapai ordo 3 yang nyata sehingga kita ulangi langkah diatas tetapi hanya kita gunakan model kubik atau ordo 3.Langkah-langkah dalam MINITAB:

Klik Stat > Regression > Regression Response (Y) : Masukkan peubah respon (daya baterai) Predictors (X) : Masukkan peubah bebas (X X2 X3)

Output :

Interpretasi :

23

Regression Analysis: dayabaterai versus x, x**2, x**3

The regression equation isdayabaterai = 68.6 + 12.0 x - 8.86 x**2 - 5.83 x**3

Predictor Coef SE Coef T PConstant 68.5786 0.6243 109.85 0.000x 11.958 1.702 7.03 0.000x**2 -8.8571 0.9576 -9.25 0.000x**3 -5.833 1.888 -3.09 0.007

S = 1.79154 R-Sq = 93.9% R-Sq(adj) = 92.8%

Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 3 795.20 265.07 82.59 0.000Residual Error 16 51.35 3.21Total 19 846.55

Regression Analysis: dayabaterai versus x, x**2, x**3, x**4

The regression equation isdayabaterai = 68.0 + 12.0 x - 3.87 x**2 - 5.83 x**3 - 4.50 x**4

Predictor Coef SE Coef T PConstant 68.0000 0.9014 75.44 0.000x 11.958 1.713 6.98 0.000x**2 -3.875 5.649 -0.69 0.503x**3 -5.833 1.900 -3.07 0.008x**4 -4.500 5.028 -0.90 0.385

S = 1.80278 R-Sq = 94.2% R-Sq(adj) = 92.7%


Dari model regresi ordo 3 ini terlihat bahwa dari anova untuk model diperoleh informasi bahwa model sudah sangat tepat dalam merepresentasikan data (nilai-p < 0.05) serta diperoleh R-Sq yang tinggi (93.9%). Sementara itu untuk uji koefisien secara parsial terlihat bahwa semua koefisien untuk semua variabel nyata sehingga kita putuskan untuk menggunakan model regresi polynomial ordo 3 atau model regresi kubik.

Usaha menemukan model regresi polynomial yang lebih cepat dan mudah bisa dengan menggunakan contrast polynomial orthogonal pada program SAS. Dimana untuk n = 5, koefisien polynomial orthogonalnya sebagai berikut :

temperatur totalkoefisien kontras ortogonal

linear kuadratik kubik kuartik

0 214 -2 2 -1 1

25 246 -1 -1 2 -4

50 272 0 -2 0 6

75 288 1 -1 -2 -4

100 263 2 2 1 1

4.6 Regresi Percobaan Tiga Faktor Bertaraf Kualitatif dan Kuantitatif.

Model regresi dengan satu faktor bertaraf kuantitatif dan dua faktor bertaraf kualitatif, katakanlah masing-masing faktor sebanyak tiga taraf. Proses pemodelan regresi dapat dilakukan bertahap :

1. model sederhana untuk mengkaji pengaruh utama faktor kuantitatif A, ingin dikaji sampai derajat dua (ordo dua).

212110 XXY βββ ++=

Y = respon hasil pengamatan (variabel dependent)

1X = bentuk pengaruh linear faktor kuantitatif A2

1X = bentuk pengaruh kuadratik faktor kuantitatif A

2. model sederhana untuk mengkaji pengaruh utama faktor kualitatif B, maka dibangun 3-1 = 2 variabel dummy (D)dengan b1 sebagai kontrol.

24130 DDY βββ ++=

1D =

)b dari(bukan lain pengamatanuntuk 0

b tarafdari pengamatan jika 1

2

2

2D =

)b dari(bukan lain pengamatanuntuk 0

b tarafdari pengamatan jika 1

3

3

tahap kedua diperoleh model regresi :

24132

12110 DDXXY βββββ ++++=

3. model sederhana untuk mengkaji pengaruh utama faktor kualitatif C, maka dibangun 3-1 = 2 variabel dummy (D)dengan c1 sebagai kontrol.

46350 DDY βββ ++=

24

3D =

)c dari(bukan lain pengamatanuntuk 0

c tarafdari pengamatan jika 1

2

2

4D =

)c dari(bukan lain pengamatanuntuk 0

c tarafdari pengamatan jika 1

3

3

tahap ketiga diperoleh model regresi :

463524132

12110 DDDDXXY βββββββ ++++++=4. langkah terakhir merumuskan bentuk pengaruh interaksi antara faktor A, B,

dan C. Hanya dikaji interaksi antar faktor pada tingkat derajat pertama, sehingga interaksi bentuk kuadratik tidak diperhatikan. Dalam kasus ini dirumuskan interaksi X1, D1, D2, D3 dan D4 dengan tidak perlu mengkaji interaksi diantara taraf-taraf faktor kualitatif (D1D2 dan D3D4) karena lebih penting untuk mengkaji interaksi antar taraf dari faktor yang berbeda.Model lengkap yang mengkaji pengaruh 3 faktor, satu faktor bertaraf kuantitatif

dan dua faktor bertaraf kualitatif dengan masing-masing faktor tiga taraf.

218117463524132

12110 DXDXDDDDXXY βββββββββ ++++++++=

εββββββ +++++++ 42143213411231114110319 DDDDDDDDDXDX

pada model tidak melibatkan bentuk interaksi diantara ketiga faktor, dalam prakteknya bentuk interaksi bisa saja dimasukkan untuk diuji secara statistik.Contoh :Percobaan pengaruh pemupukan nitrogen ((0, 50, 100) kgN/ha), manajemen pertanaman (m1_minimum, m2_optimum, m3_intensif) serta jenis varietas (v1, v2, v3)

pemupukan (N)manajemen

(M)varietas

(V)

ulangan ke-rata-rata

1 2

n1

m1

v1 3.32 3.864 3.592

v2 6.101 5.122 5.612

v3 5.355 5.536 5.446

m2

v1 3.766 4.311 4.039

v2 5.096 4.873 4.985

v3 7.442 6.462 6.952

m3v1 4.66 5.915 5.288

v2 6.573 5.495 6.034

v3 7.018 8.02 7.519

n2

m1

v1 3.188 4.752 3.97

v2 5.595 6.78 6.188

v3 6.706 6.546 6.626

m2 v1 3.625 4.809 4.217

v2 6.357 5.925 6.141

v3 8.592 7.646 8.119

m3v1 5.232 5.17 5.201

v2 7.016 7.442 7.229

v3 8.48 9.942 9.211

n3

m1

v1 5.468 5.788 5.628

v2 5.442 5.988 5.715

v3 8.452 6.698 7.575

m2v1 5.759 6.13 5.945

v2 6.398 6.533 6.466

25

v3 8.662 8.526 8.594

m3

v1 6.215 7.106 6.661

v2 6.953 6.914 6.934

v3 9.112 9.14 9.126

Untuk entri data seperti pada kasus-kasus sebelumnya, dimana faktor yang bertaraf kualitatif akan ditransformasi dan faktor bertaraf kualitatif akan di-dummy.

Langkah-langkah dalam MINITAB: Peubah Respon disimpan di C5 dan peubah-peubah penjelas di kolom

berikutnya Klik Stat > Regression > Regression Response : Masukkan peubah respon (C5) Predictors : Masukkan peubah bebas (C6-C19) Klik Graphs :

• Residual for plots : pilih Regular• Residual plots : pilih four in one

Klik Options : • Display, pilih variance inflation factor

Klik Result : Pilih option kedua regression equation, table .... Klik storage : Checklist pada residuals. Klik OK!

26

Regression Analysis: respon versus X1, X1**2, ...

The regression equation isrespon = 4.46 + 0.865 X1 - 0.094 X1**2 + 0.337 D1 + 1.32 D2 + 1.44 D3 + 2.15 D4 + 0.127 X1D1 - 0.065 X1D2 - 0.472 X1D3 + 0.011 X1D4 - 0.311 D1D3 + 1.00 D1D4 - 0.426 D2D3 + 0.750 D2D4

Predictor Coef SE Coef T P VIFConstant 4.4595 0.2844 15.68 0.000X1 0.8652 0.2348 3.68 0.001 5.0X1**2 -0.0942 0.1819 -0.52 0.607 1.0D1 0.3367 0.3638 0.93 0.360 4.0D2 1.3197 0.3638 3.63 0.001 4.0D3 1.4413 0.3638 3.96 0.000 4.0D4 2.1522 0.3638 5.92 0.000 4.0X1D1 0.1267 0.2572 0.49 0.625 2.0X1D2 -0.0649 0.2572 -0.25 0.802 2.0X1D3 -0.4718 0.2572 -1.83 0.074 2.0X1D4 0.0106 0.2572 0.04 0.967 2.0D1D3 -0.3110 0.5144 -0.60 0.549 3.6D1D4 1.0028 0.5144 1.95 0.058 3.6D2D3 -0.4255 0.5144 -0.83 0.413 3.6D2D4 0.7502 0.5144 1.46 0.153 3.6

S = 0.630067 R-Sq = 87.8% R-Sq(adj) = 83.4%


Residual

Perc

ent

1.00.50.0-0.5-1.0

99

90

50

10

1

Fitted Value

Resi

dual

10864

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

Residual

Fre

quenc

y

1.20.60.0-0.6-1.2

16

12

8

4

0

Observation Order

Resi

dual

50454035302520151051

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0



Residual Plots for respon

interpretasi :Dari pengujian secara parsial diatas, bentuk kuadratik dari X1 serta bentuk

interaksi antar variabel bebas tidak nyata. Oleh karena itu model bisa disederhanakan dengan hanya terdiri dari bentuk yang nyata saja, sehingga diperoleh model regresi baru :

45342312110 DDDDXY ββββββ +++++=

kemudian dilakukan analisis regresi untuk model diatas dengan bantuan MINITAB, diperoleh model dugaan regresi :

Interpretasi :Dari output diatas dapat diperoleh beberapa informasi, nilai-p untuk masing-

masing koefisien peubah bebas mempunyai pengaruh yang nyata terhadap perubahan hasil (nilai-p < 0.05), kemudian dari R-Sq diperoleh kesimpulan bahwa model mampu menerangkan 83.4% keragaman data serta dari anova model diperoleh informasi bahwa model sudah cukup baik atau tepat untuk menginterpretasikan data (nilai-p < 0.05)

Faktor pemupukan berpengaruh positif terhadap hasil, dimana setiap peningkatan satu taraf pemupukan pada range 0 sampai 100 akan meningkatkan hasil sebesar 0.732 ton/ha. Pada faktor manajemen diperoleh informasi bahwa manajemen optimum memberikan nilai rata-rata produksi lebih tinggi sekitar 0.567 ton/ha dari menajemen minimum serta manajemen intensif memberikan nilai rata-rata produksi lebih tinggi sekitar 1.428 ton/ha dari menajemen minimum.

27

Regression Analysis: respon versus X1, D1, D2, D3, D4

The regression equation isrespon = 4.28 + 0.732 X1 + 0.567 D1 + 1.43 D2 + 1.20 D3 + 2.74 D4

Predictor Coef SE Coef T P VIFConstant 4.2837 0.2013 21.28 0.000X1 0.7321 0.1103 6.64 0.000 1.0D1 0.5673 0.2205 2.57 0.013 1.3D2 1.4279 0.2205 6.48 0.000 1.3D3 1.1958 0.2205 5.42 0.000 1.3D4 2.7365 0.2205 12.41 0.000 1.3

S = 0.661529 R-Sq = 83.4% R-Sq(adj) = 81.7%


Pada faktor varietas diperoleh informasi bahwa varietas_2 memberikan nilai rata-rata produksi lebih tinggi sekitar 1.195 ton/ha dari varietas_1 (kontrol) serta varietas_3 memberikan nilai rata-rata produksi lebih tinggi sekitar 2.736 ton/ha dari varietas_1. Selain informasi di atas, dari nilai VIF juga memperlihatkan bahwa tidak adanya multikolinearitas di dalam variabel-variabel tersebut (VIF < 10.0)

Model persamaan regresi diatas juga bisa digunakan dalam peramalan produksi dari kombinasi perlakuan tertentu. Sebagai contoh, ingin meramalkan hasil produksi dari varietas_3 dengan manajemen intensif serta pemupukan 50 N/ha. Maka ditetapkan besaran-besaran X1=0, D1=0, D2=1, D3=0, D4=1, sehingga diperoleh :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 448.81 2.74 0 1.20 1 1.43 0 0.567 0 0.732 4.28 =+++++=YE

dengan demikian dapat diramalkan bahwa hasil produksi dari kombinasi perlakuan diatas adalah 8.448 ton/ha.

5 REGRESI DAN MASALAH PELANGGARAN ASUMSI

Dalam melakukan analisis regresi kadang kita lupa melakukan pengujian terhadap data yang akan dianalisis, terutama yang melibatkan uji nyata. Dalam analisis regresi asumsi-asumsi yang mendasari harus terpenuhi, yang apabila tidak dipenuhi akan berakibat uji yang kita lakukan menjadi tidak efisien dan kesimpulan yang didapat berbias.Model Persamaan Regresi :

Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + β3X3i + ... + βpβpi + εi

Bila dituliskan dalam bentuk matriks : εβ+=XY

Y merupakan vektor peubah respon yang berukuran nx1, matriks X merupakan matriks peubah penjelas ditambah intersep (1) berukuran nxk, dan β merupakan vektor koefisien regresi yaitu parameter yang ingin diduga. Vektor ini berukuran kx1 sedangkan ε adalah vektor galat berukuran nx1.

=

ny

y

y

Y...

2

1

;

=

npn

p

p

XX

XX

XX

X

...1

............

...1

...1

1

221

111

;

=

pβ

ββ

β...

1

0

;

=

nε

εε

ε...

2

1

Catatan : k = p + 1 (k = banyak peubah + 1 buah peubah intersep)Beberapa asumsi yang terdapat dalam analisis regresi:

εi menyebar saling bebas mengikuti sebaran normal dengan uji nilai tengah atau E(εi) = 0 dan ragam (σ2

ε) Ragam galat homogen atau tidak terjadi masalah heteroskedastisitas, artinya

keragaman bersifat konstan untuk setiap periode waktu Galat pada waktu ke-t tidak memiliki hubungan dengan galat pada waktu

sebelumnya Tidak ada hubungan antar peubah X [E(Xi,Xj) = 0, untuk semua i ≠ j] atau pada

waktu sebelumnya εi bersifat bebas terhadap peubah X, E(εi, Xi)

Dalam berbagai kasus sering ditemukan adanya pelanggaran terhadap asumsi persamaan regresi. Misalnya dalam peubah-peubah ekonomi seringkali datanya mengandung korelasi antar peubah itu sendiri yang dipengaruhi oleh waktu, data yang berbentuk cross panel dimana masalah heteroskedastisitas sering terjadi. Diperlukan analisis untuk mendeteksi pelanggaran asumsi maupun perlakuan terhadap data agar dapat diuji dan memberi informasi.

5.1 Heteroskedastisitas (Heteroscedasticity)Heterokesdastisitas adalah sebuah kondisi dimana keragaman galat (σ2

ε) tidak sama untuk setiap t, dimana t=1, 2,3 ,..,n. Artinya keragaman galat tidak konstan atau ragam galat merupakan suatu bentuk fungsi dari i dengan dengan fungsi (σ2

εt). Hal ini

28

akan berakibat ketidakefisienan pengujian yang akan kita lakukan, karena keragaman galat merupakan fungsi dari t, maka akan berpengaruh pada keragaman koefisien penduga, sehingga statistik uji t untuk tiap peubah menjadi tidak valid. Hal ini pun dapat mengakibatkan analisis yang kita lakukan menghasilkan model yang bertentangan dengan teori yang berlaku Cara mendeteksi heteroskedastisitas :

Misalkan kita ingin menguji apakah model persamaan linier antara peubah X dan Y mengandung heterokesdastisitas. Gunakan data Pengeluaran dan Pendapatan sebagai peubah respon (Y) dan peubah penjelas (X).

NoPendapatan per Kapita

(X)Impor per Kapita (Y) No

Pendapatan per Kapita (X)

Impor per Kapita (Y)

1 0.159 0.012 16 1.147 0.114

2 0.242 0.068 17 1.456 0.129

3 0.245 0.112 18 1.572 0.281

4 0.329 0.048 19 2.544 0.454

5 0.394 0.165 20 3.083 0.440

6 0.433 0.118 21 4.211 0.996

7 0.475 0.112 22 4.556 1.408

8 0.534 0.152 23 5.002 1.639

9 0.570 0.182 24 6.324 3.872

10 0.715 0.114 25 6.329 0.695

11 0.961 0.356 26 6.800 1.096

12 0.963 0.115 27 8.372 1.986

13 0.998 0.195 28 8.400 3.142

14 1.056 0.469 29 8.894 2.481

15 1.077 0.460 30 9.640 0.838

Cara mendeteksi :Asumsi yang berlaku : Jumlah pengamatan (sekurang-kurangnya) dua kali jumlah variabel bebas

dalam model εi nir-otokorelasi dan berdistribusi normalSusun hipotesis :

H0 : Tidak terdapat heteroskedastisitasH1 : Terdapat heteroskedastisitas

a. Urutkan data semua peubah berdasarkan peubah bebas (variabel X) dari data terkecil ke data yang besar. Perintah : Membuat peringkat pada variabel X Klik Data > Rank Rank data in : isi dengan peubah bebas (X) yang dijadikan

patokan pengurutan data Store Rank in : isi dengan C3 (kolom yang masih kosong)

Mengurutkan X dan Y mengikuti urutan variabel X dari kecil ke besar Klik Data > Sort

29

Sort Column : isi dengan peubah yang akan diurutkan By column : isi dengan C3 (rank) Store sorted column : pilih option ketiga, isi dengan kolom

yang masih kosong

b. Bagi data contoh tersebut menjadi dua bagian yang sama besar, bila perlu buang bagian tengah pengamatan.Perintah :MTB > delete 13:18 C4 C5 # delete baris ke 13-18 pada C4 dan C5 #MTB > set C7 # membuat subscripts untuk membagi data #

DATA > (1:2)12DATA > end

Klik Data > Unstack Colomn unstack the data in : isi dengan kolom data peubah yang sudah

diurutkan yang hendak dibagi menjadi dua bagian yang sama besar (C4 dan C5).

Using subscripts in : isi dengan kolom subscripts (C7) Store unstacked data : pilih After last colomn in use. Checklist [√] pada Name the colomn containing the unstacked data

c. Regresikan masing-masing bagian data yang telah dipisahkan.Langkah 1 : regresikan peubah Y bagian PERTAMA (yang tadi sudah dibagi) dengan pasangan peubah X-nya. Klik Stat => Regression Responses : isi dengan peubah sort_Y_1 ( peubah Y terurut) Predictors : isi dengan peubah sort_X_1 (peubah X terurut) Klik Storage : Checklist [√] pada MSE, agar nilai Mean Square

Error (MSE) menjadi konstanta MSE1

30

output :

Langkah 2: Regresikan peubah Y bagian kedua (yang tadi sudah dibagi) dengan pasangan peubah X-nya. Klik Stat > Regression > Regression Responses : isi dengan peubah sort_Y_2 ( peubah Y terurut) Predictors : isi dengan peubah sort_X_2 ( peubah X terurut) Klik Storage : Checklist [√] pada MSE, agar nilai Mean Square

Error (MSE) menjadi konstanta. MSE2Output :

d. Hitung nilai Statistik uji F yakni: 1

2

MSE

MSEFhit =

Jika Fhit > F0.10

−−

2

2kcn

maka tolak Ho.n = banyak datac = banyak data yang dihilangkank = banyak parameter

31

Regression Analysis: sort_Y_1 versus sort_x_1

The regression equation issort_Y_1 = 0.0187 + 0.221 sort_x_1

Predictor Coef SE Coef T PConstant 0.01873 0.04223 0.44 0.667sort_x_1 0.22080 0.07511 2.94 0.015

S = 0.0660190 R-Sq = 46.4% R-Sq(adj) = 41.0%


Durbin-Watson statistic = 2.95307

Regression Analysis: sort_Y_2 versus sort_x_2

The regression equation issort_Y_2 = 0.241 + 0.218 sort_x_2

Predictor Coef SE Coef T PConstant 0.2409 0.8606 0.28 0.785sort_x_2 0.2179 0.1309 1.66 0.127

S = 1.01591 R-Sq = 21.7% R-Sq(adj) = 13.9%



Klik Calc > Calculator Store Result in Variable : isikan kolom yang masih kosong Expression : isikan MSE2/MSE1

Klik Data > Display Data ... to display : isi dengan MSE1 dan MSE2

output (di window session):Data DisplayMSE1 0.004359MSE2 1.032

F-hit 236.795F-hit > F tabel = F0.1(10,10) = 2.32 (dilihat dari tabel F)Keputusan :Tolak Ho, atau model ini mengandung heteroskedastisitas.

Cara Mengatasi Masalah Heteroskedastisitas adalah dengan transformasi Model. Sesungguhnya yang mengalami heteroskedastisitas adalah model persamaan linier dimana terkait dengan peubah X dan Y. Sehingga salah satu cara untuk mengatasi heteroskedastisitas adalah dengan mentransformasi peubah X dan Y dengan Fungsi Log Linier.Bentuk fungsi menjadi : Ln Y = 0β + Ln X + ie

Cara mentransformasi model :1. Transformasi peubah X :

Klik Calc > Calculator Store result in variabel : masukkan kolom c3 (atau kolom yang

masih kosong) Expression : isi dengan fungsi yang ingin kita lakukan,

cari di Function > Natural log, kemudian isikan variabel X (Pendapatan per Kapita).

klik OK ! Beri nama kolom Ln X.

2. Transformasi peubah Y :Langkahnya sama seperti yang diatas. Beri nama kolom Ln Y

3. Buat peringkat atau rangking bagi peubah Ln Pendapatan per Kapita Klik Manip > Rank Rank data in : isi dengan peubah bebas (Ln X) yang dijadikan

patokan pengurutan data Store Result in : isi dengan C5 (kolom yg masih kosong) klik OK ! Beri nama kolom C5 dengan Rank

Langkah berikutnya sama seperti sebelumnya, hingga didapat F-hitung. Kemudian bandingkan dengan F tabel.

32

Kesimpulan:

F-hit = 1.03503 < F-tabel (F0.1

−−

2

2kcn

= 2.32), disimpulkan model sudah tidak lagi mengandung heteroskedasitas.

5.2 Autokorelasi (Serial Independen)Salah satu asumsi yang harus terpenuhi suatu model persamaan linier adalah

nilai galat/error ( )te antara satu pengamatan dengan pengamatan yang lain harus

saling bebas. Hal inilah yang menyebabkan nilai Cov antara keduanya 0. ( ) 0,cov 1 =−tt ee . Jika asumsi ini tidak terpenuhi maka akan terjadi korelasi antar galat

atau yang disebut autokorelasi, biasanya masalah autokorelasi terjadi pada data deret waktu dimana peubah penjelasnya merupakan periode waktu (t).

ttt etXZ +++= 210 βββ

Misalkan:1. Data penjualan mobil dari tahun ke tahun2. Data ekspor import produk non migas di Negara-negara Asia Tenggara3. Data pertumbuhan ekonomi Indonesia

Konsekuensi yang terjadi bila mengabaikan autokorelasi adalah Uji hipotesis menjadi tidak valid, atau kesimpulan yang diambil dari data yang mengandung autokorelasi tidak sesuai dengan yang seharusnya. Cara mendeteksi adanya Autokorelasi korelasi adalah menggunakan Statistik Durbin WatsonMisal: Data yang digunakan adalah data Produksi Pangan Ekspor (employ.MTW)

Langkah-langkahnya yaitu :1. Set peubah ’waktu’ dengan pada C4 dari 0 sampai 60.2. Regresikan data Trade dengan Food dan Metals

Klik Stat > Regression > Regression Response : masukkan peubah Trade Predictors : masukkan peubah Food dan Metals Klik Option : Checklist pada Durbin Watson Statistic

output :

33

Regression Analysis: Trade versus Food, Metals

The regression equation isTrade = 67.1 + 0.225 Food + 5.90 Metals

Predictor Coef SE Coef T PConstant 67.05 22.03 3.04 0.004Food 0.2255 0.2336 0.97 0.339Metals 5.9001 0.5034 11.72 0.000

S = 11.2084 R-Sq = 74.8% R-Sq(adj) = 74.0%

Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 2 21302 10651 84.78 0.000Residual Error 57 7161 126Total 59 28463


interpretasi :Statistik Durbin Watson sebesar 0.442. Nilai ini lebih kecil dibandingkan nilai

dt = 1.514 dari tabel Durbin Watson. Disimpulkan terdapat autokorelasi dalam data Produksi Pangan ekspor.

Cara mengatasi autokorelasi adalah dengan melihat hubungan antar peubah deret waktu yang secara teoritis memiliki hubungan.Misalnya: Hubugan antara tingkat pendapatan nasional (Yt) dengan tingkat konsumsi agregat

(Ct) Dengan bentuk fungsi : tt YbbC 10 += Hubungan antara besarnya volume perdagangan (Trade) dengan tingkat penjualan

bahan pangan dan tingkat penjualan metals (besi tambang).Dengan bentuk model : Trade (t) = b0 + b1Food(t) + b2 Metals(t)

5.2.1 Metode Kuadrat Terkecil Terboboti (Weighted Least Square)Ketika terjadi autokorelasi antar galat, maka berarti telah terjadi perubahan

keragaman model setiap periode waktu atau Vεσ 2 . Dimana V adalah matriks

diagonal yang elemennya tidak sama, sehingga galat ( ε ) tidak memiliki kesamaan keragaman. Elemen dari diagonal matriks V-1 disebut sebagai pembobot (weighted). Pembobot ini berfungsi untuk menghilangkan pengaruh peubah time series sehingga pendugaan yang didapatkan lebih valid dan yang diambil bersifat efisien.

Dalam prakteknya cukup sulit untuk menentukan elemen matriks V secara pasti, dan dalam penerapan metode kuadrat terkecil terboboti ini pembobot (weighted) ditentukan dari pendugaan dari data, atau secara subjektif ditentukan oleh analis.

Kuadrat Terkecil Terboboti (WLS) adalah sebuah alternatif dalam melakukan transformasi untuk memperbaiki ketidaksamaan ragam dari model yang dibangun oleh metode kuadrat terkecil (Ordinary Least Square)Langkah analisis : Masih menggunakan data awal (employ.mtw) Tambahkan pada kolom selanjutnya nilai pembobot (weighted)

Dimana nilai pembobot ini ditentukan oleh peneliti. Klik Stat > Regression > Regression Klik Option : Pada Weights Masukkan peubah pembobot yang

ukurannya sama dengan peubah respon.

Klik Display : checklist Durbin-Watson statistic, untuk melihat apakah model ini masih mengandung autokorelasi.

NB: Jika model tersebut masih mengandung autokorelasi, maka pilih jenis pembobot lainnya.

34

5.2.2 Transformasi modelSalah satu penyebab model mengandung autokorelasi adalah karena tidak

dimasukkannya peubah yang sesungguhnya memiliki pengaruh nyata terhadap respon. Dikarenakan model ini dipengaruhi oleh waktu, maka bisa jadi respon juga dipengaruhi oleh peubah penjelas pada waktu t-i, dimana (i = 1,2.,3,..).Contoh : Membuat model dimana peubah responnya adalah 'Trade' dan peubah penjelasnya adalah Foodt, Foodt-1, Sehingga model dugaan sebagai berikut :

Tradet = B0+ B1Tradet-1+ B2Foodt+ B3foodt-1

Cara menganalisis menggunakan MINITAB: 1. Salin peubah 'Trade', ‘Food'. 'Metals' yang ada dalam kolom C1, C2, C3 ke

kolom C5, C6, C7 pada baris ke-2 dengan menggunakan perintah:MTB > let C5 = LAG('Trade')MTB > let C6 = LAG('Food')MTB > let C7 = LAG('Metals')

2. Beri nama kolom C5, C6, C7 dengan Trade_1, Food_1, Metals_1 3. Regresikan peubah 'Trade' terhadap Trade_1, Food_1, Metals_1

Klik Stat > Regression > Regression Responses : isi dengan Trade Predictors : isi dengan Trade_1, Food_1, Metals_1 Klik Options : checklist pada Durbin Watson statistic.

4. Lihat pada nilai Durbin Watson statistic, jika sudah tidak berautokorelasi dan R-sq sudah mendekati 1. plot galat berdasarkan waktu, jika sudah tidak membentuk plot musiman berarti model sudah tepat.

Output :

35

Regression Analysis: Trade versus Trade_1, Food_1, Metals_1

The regression equation isTrade = 6.4 + 0.821 Trade_1 + 0.143 Food_1 + 1.07 Metals_1

59 cases used, 1 cases contain missing values

Predictor Coef SE Coef T PConstant 6.37 14.46 0.44 0.661Trade_1 0.82090 0.08503 9.65 0.000Food_1 0.1431 0.1404 1.02 0.312Metals_1 1.0742 0.5721 1.88 0.066

S = 6.63820 R-Sq = 91.2% R-Sq(adj) = 90.8%



Interpretasi :Stattistic Durbin Watson sebesar 1,53. Nilai ini lebih besar jika dibandingkan

nilai dt = 1.514 dari tabel Durbin-Watson. Disimpulkan tidak terdapat autokorelasi dalam data Produksi Pangan ekspor.

5.3 MULTIKOLINIERITASMultikolinear adalah hubungan linear yang kuat antara peubah-peubah bebas

dalam persamaan regresi berganda. Adanya multikolinearitas menyebabkan pendugaan koefisien regresi tidak nyata. Walaupun nilai R-Squarenya tinggi, tanda koefisien regresi tidak sesuai dengan teori dan dengan Ordinary Least Square (OLS) atau lebih dikenal dengan Metode Kuadrat Terkecil (MKT), pendugaan koefisien regresi mempunyai simpangan baku yang sangat besar.

Untuk mendeteksi terjadinya multikolinearitas dapat dilihat dari nilai VIF (Variance Inflation Factor). VIF dihitung dari matriks korelasi peubah bebas yang telah dibakukan satuannya. Hubungan antar VIF dan kolinearitas adalah melalui hubungan:

21

1

RVIF

−=

Dimana R2 adalah koefisien determinasi dari regresi X pada peubah bebas lainnya. Nilai VIF yang lebih besar dari 10 menunjukkan gejala multikolinearitas (Ryan, 1997)

Pendugaan koefisien regresi dengan menggunakan metode MKT dalam keadaan multikolinear cenderung memberi hasil yang tidak stabil. Metode yang dapat digunakan untuk mengatasi multikolinear adalah dengan metode regresi komponen utama.

Analisis regresi komponen utama merupakan suatu analisis kombinasi antara analisis regresi dan analisis komponen utama. Dalam penggunaan metode regresi komponen utama, jika seluruh komponen utama dimasukkan dalam persamaan regresi maka akan dihasilkan model yang setara dengan yang diperoleh dengan MKT (Jollife, 1986).

Metode regresi komponen utama diawali dengan mengoperasikan pada peubah bebas yang dibakukan. Misalnya, matriks Z berasal dari matriks X yang terpusat dan terskalakan dengan :

( )2

1

jj

jjjjj

S

XXZ

−=

Suku-suku komponen utama PCi merupakan kombinasi linear antara matrik Z dengan vektor a dalam bentuk :

kkjjjj XaXaXaPC +++= .....2211

Prinsip dasar dari metode regresi kornponen utama adalah menggunakan skor komponen utama. yang terpilih sebagai peubah bebas. Komponen-komponen utama tersebut saling ortogonal. Dengan demikian metode regresi komponen utama merupakan analisis regresi dari peubah respon terhadap komponen-komponen utama. yang saling tidak berkorelasi. MKT digunakan untuk memperoleh pendugaan bagi Y sebagai fungsi dari peubah-peubah PCi yang terpilih. Persamaan regresi komponen utama dinyatakan sebagai :

36

ppSCbSCbSCbbY ++++= ....22110

Dengan SC adalah skor komponen utama.

Berdasarkan 2 persamaan diatas, persamaan regresi komponen utama dapat ditransformasi ke peubah asal yang dibakukan, sehingga persamaan regresi dengan peubah bebas yang dibakukan adalah :

ppZZZY ββββ ++++= ....22110

Dengan : 00 b=βpjpjjk bababa +++= ....2211β

Langkah-langkah analisis :1. Data diregresikan dengan Metode Kuadrat Terkecil (MKT) untuk memeriksa

koefisien parsial, pemeriksaan sisaan dan analisis.2. Pemeriksaan multikolinearitas antar peubah bebas.3. Mengatasi masalah multikolinearitas dengan Regresi Komponen Utama.4. Algoritma regresi komponen utama adalah :

Pembakuan satuan pengukuran sehingga komponen utama diperoleh dengan menurunkan dari matriks korelasi R.

Dari komponen utama akan diperoleh skor komponen utama yang diregresikan dengan peubah tak bebas menggunakan MKT.

Pemeriksaan koefisien regresi komponen utama secara parsial. Pemilihan koefisien regresi yang nyata dan akar ciri yang besar. Substitusi persamaan regresi komponen utama dengan koefisien yang telah

dipilih kedalam peubah baku. Transformasi peubah baku kedalam peubah asalnya. Pemeriksaan sisaan.

x1 x2 x3 x4 y

9.75 6.50 1.61 0.65 67.5010.50 10.25 2.00 0.75 68.9011.25 11.90 2.50 0.90 70.6512.60 11.75 2.70 1.15 73.6011.90 11.00 2.25 0.95 71.8915.20 13.50 3.25 1.75 84.5012.25 12.00 2.90 1.05 72.3412.90 12.60 3.00 1.00 77.6514.30 13.20 3.10 1.70 80.2513.25 12.90 3.05 1.25 79.8715.30 14.00 3.25 1.80 86.758.90 9.25 1.90 0.60 65.75

10.60 10.50 1.95 0.50 70.2017.25 15.00 3.50 2.00 89.2516.90 14.90 3.40 1.95 85.00

Langkah-langkah menggunakan MINITAB:1. Regresikan data tersebut

Klik Stat > Regression > Regression Response : Masukkan peubah respon (y) Predictors : Masukkan peubah bebas (x1 x2 x3 x4) Klik Options: pada Display, pilih variance inflation factor Klik Result : Pilih option kedua regression equation, table ....

37

Regression Analysis: y versus x1, x2, x3, x4

The regression equation isy = 41.7 + 2.35 x1 - 0.248 x2 + 2.05 x3 + 1.57 x4

Predictor Coef SE Coef T P VIFConstant 41.658 6.345 6.57 0.000x1 2.347 1.066 2.20 0.052 24.7x2 -0.2483 0.8428 -0.29 0.774 12.2x3 2.052 3.526 0.58 0.573 16.0x4 1.569 4.492 0.35 0.734 18.1

S = 2.02669 R-Sq = 94.9% R-Sq(adj) = 92.9%

Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 4 763.97 190.99 46.50 0.000Residual Error 10 41.07 4.11

Interpretasi :Dari output analisis regresi diatas terlihat adanya informasi yang kontradiktif.

Dari anova model terlihat bahwa model sangat tepat atau bagus dalam menjelaskan data (nilai-p < 0.05) serta nilai R-Sq yang sangat tinggi yaitu sebesar 94.4%, tetapi koefisien masing-masing variabel penjelas tidak ada yang nyata atau variabel-variabel tersebut tidak mempunyai pengaruh yang nyata terhadap respon. Nilai VIF dari masing-masing variabel juga sangat besar (VIF > 10.0) yang berarti ada multikolinearitas di dalam variabel-variabel bebasnya.

2. Lihat korelasi antar peubah bebasnya Klik Stat > Basic statistics > Correlation Variables : Masukkan peubah-peubah bebas yang ingin dilihat

korelasinya (x1-x4) Checklist pada display p-value

38

Correlations: x1, x2, x3, x4

x1 x2 x3x2 0.909 0.000x3 0.933 0.952 0.000 0.000x4 0.969 0.864 0.911 0.000 0.000 0.000

Cell Contents: Pearson correlation P-Value

Interpretasi :Dari matrix korelasi terlihat bahwa antar peubah penjelas terdapat korelasi

yang besar atau terdapat multikolinearitas pada peubah penjelas

3. Melakukan analisis komponen utama Klik Stat > Multivariate > Principal component Variables : isi dengan variable yang diamati (C1-C4) Number of component : isi dengan banyaknya komponen utama yang

akan dikeluarkan dan nilainya, maksimal sebanyak variabel.

Type of Matrix• Correlation : Jika antar variabel memiliki satuan skala beda• Covariance : Jika antar variabel memiliki skala yang sama

Klik Storage• Coefficients : Untuk menyimpan vektor ciri masing-masing

komponen utama dalam kolom yang kosong C19-C23• Score : Untuk menyimpan skor masing-masing komponen

utama dalam kolom yang kosong Masukkan C24-C28

Beri nama C6-C9 dengan PC1 sampai PC4Beri nama C10-C13 dengan score1 sampai score4 Output : Eigen value : Akar ciri dari komponen ke-i. Proportion : Menerangkan besarnya keragaman yang dapat

diterangkan oleh komponen ke-i. Cumulative : Menerangkan keragaman kumulatif yang dapat

diterangkan oleh komponen utama ke-i sampai ke-j.Lihat dari nilai cumulative, jika lebih dari 75% cukup sampai score itu saja yang diregresikan.

4. Regresi komponen utama Klik Stat > Regression Regresikan Y (C5) dengan score1 (C10)

• Klik storage : checlist di coefficient• Klik result : pilih option kedua

Pada worksheet akan muncul colom coef1 (C14) yang merupakan koefisien persamaan regresi. Untuk keperluan operasi matrix dalam mengembalikan ke

39

Principal Component Analysis: x1, x2, x3, x4

Eigenanalysis of the Correlation Matrix

Eigenvalue 3.7694 0.1625 0.0442 0.0239Proportion 0.942 0.041 0.011 0.006Cumulative 0.942 0.983 0.994 1.000

Variable PC1 PC2 PC3 PC4x1 -0.506 0.340 0.357 -0.708x2 -0.494 -0.639 0.507 0.301x3 -0.504 -0.318 -0.781 -0.187x4 -0.497 0.612 -0.075 0.611

peubah asal maka buang baris pertama di kolom coef1 (C14) yang merupakan nilai konstanta regresi.

Interpretasi :Dari output analisis regresi komponen utama dengan peubah bebas score1

diatas terlihat bahwa model sangat tepat atau bagus dalam menjelaskan data (nilai-p < 0.05) serta nilai R-Sq yang sangat tinggi yaitu sebesar 92.4%, koefisien variabel penjelas (score1) nyata atau variabel (score1) tersebut mempunyai pengaruh yang nyata terhadap respon. Karena hanya digunakan satu variabel penjelas (score1) maka nilai VIF tidak keluar karena secara otomatis tidak ada multikolinearitas.

5. Mengembalikan ke peubah asalLangkah : Klik di Window SESSION

• Pilih menu editor kemudian aktifkan enable command• pada session window muncul MTB >

a. Buat matriks M1 yang isinya Vektor-vektor ciri (PC1) Klik Data > copy > Column to matrix Copy from column : isi dengan vector ciri (c6) Store copied data : ..., in matrix isi dengan m1

b. Buat matriks M2 yang isinya koefisien dari regresi skor KU Klik Data > copy > Column to matrix Copy from column : isi dengan koef score dari regresi

yang telah di hilangkan konstantanya (c14)

Store copied data : ..., in matrix isi dengan m2

c. Kalikan matriks M1 dan M2, simpan hasilnya di M3 Klik Calc > matrix > arithmetic Pilih multiply : isi m1 by m2, mengalikan m1 dan m2 Store result : isi dengan m3Matriks M3 tersebut merupakan koefisien-koefisien regresi yang baru, sedangkan untuk konstanta sama dengan persaman regresi skor komponen utama

d. Mencetak m3, bisa lewat session atau dicetak di worksheet Klik Data > copy > matrix to columns Copy from matrix : isi dengan m3 Store copied data : ..,in column isi dengan C16 (optional)ikuti langkah berikut :

a. MTB > copy c6 m1b. MTB > copy c14 m2c. MTB > mult m1 m2 m3

40

Regression Analysis: y versus score1

The regression equation isy = 76.3 - 3.76 score1

Predictor Coef SE Coef T PConstant 76.2733 0.5588 136.49 0.000score1 -3.7552 0.2979 -12.60 0.000

S = 2.16435 R-Sq = 92.4% R-Sq(adj) = 91.9%


d. MTB > print m3Matrix M31.898681.855271.890891.86520

Didapat persamaan baru : Y = 76.3 + 1.89868 Z1 + 1.85527 Z2 + 1.89089 Z3 + 1.8652 Z4

6. Menghitung t-hitung atau signifikansi dilakukan dengan excel.

7. Persamaan diatas masih dalam bentuk baku, sehingga perlu transformasi ke dalam bentuk X. Transformasi dapat dilakukan di excel atau di minitab. Konstanta untuk persamaan ini didapat dari koefisien regresi dalam bentuk

baku dikali dengan negatif rataan dibagi dengan standar deviasinya. Ini dihitung untuk semua peubah penjelas. Kemudian untuk mendapat konstantanya hasil semua tadi ditambahkan dengan konstanta persamaan regresi dalam bentuk baku.

Untuk koefisien regresinya, koefisien regresi dalam bentuk baku dibagi standar deviasi masing-masing.

Sehingga kita dapat persamaan regresi :

Y = 44.0938 + 0.752055 X1 + 0.827165 X2 + 3.08215 X3 + 3.63309 X4

6 PERANCANGAN PERCOBAAN

Perancangan percobaan adalah suatu uji atau sederetan uji baik itu menggunakan statistika deskriptif maupun statistika inferensia. Yang bertujuan untuk mengubah input menjadi output yang merupakan respon dari percobaan tersebut.

Pada dasarnyarancangan percobaan merupakan pengaturan pemberian perlakuan kepada satuan-satuan percobaan dengan maksud agar keragaman respon

41

yang ditimbulkan oleh keadaan lingkungan dan keheterogenan bahan percobaan yang digunakan dapat diwadahi dan disingkirkan sehingga yang berpengaruh terhadap respon hanya perlakuan yang diberikan.

6.1 KLASIFIKASI PERLAKUAN

6.1.1 Rancangan PerlakuanMerupakan rancangan yang berkaitan dengan bagaimana perlakuan perlakuan dibentuk dan diberikan ke satuan percobaan

1. Satu Faktor2. Dua Faktor

a. Percobaan FaktorialBersilang

Penelitian pengaruh pemberian pupuk N dan K terhadap produksi gabah. Pupuk K terdiri dari 3 taraf (K1, K2, dan K3) dan pupuk N terdiri dari 4 taraf (N1,N2,N3, dan N4). Sehingga ada 12 kombinasi perlakuan, dan bila ada 3 ulangan maka ada 36 unit percobaan. Jadi penekanan perlakuan faktorial bersilang adalah interaksi antara faktor-faktornya.

TersarangPenelitian terhadap pengaruh obat para sitamol dan obat X terhadap perkembangan bakteri. Parasitamol yang diberikan dengan dosis250g, 500g, dan 750g serta obat X dengan dosis 300g, 600g, dan 900g. dalam hal ini dosis tersarang atau khas untuk jenis obat tertentu.

b. Split PlotBentuk khusus dari rancangan faktorial, dimana kombinasi perlakuan

tidak diacak secara penuh. Factor petak utama diacak terlebih dahulu terhadap satuan percobaan dan factor anak petak diacak didalam petak utama. Misal percobaan 2 faktor (varietas : V1, V2 serta kalium : K1, K2) dengan 2 ulangan pada RAL. Kalium sebagai petak utama dan varietas sebagai anak petak.

V1 V2 V1 V2V2 V1 V2 V1

K1 K0 K0 Contoh diatas dengan RAK sebanyak 3 blok.

c. Split Blok/ Strip PlotRancangan Blok Terpisah mirip dengan Split Plot , namun dalam split

blok kedua faktor menjadi petak utama. Pengaruh perlakuan yang ditekankan dalam rancangan ini adalah pengaruh interaksi. Penempatan taraf-taraf kedua faktor dilakukan saling bersilangan, sebagai misal jika taraf-taraf factor A diacak dalam plot-plot searah lajur maka taraf-taraf factor B diacak dalam plot-plot searah baris.Bagan percobaan dalam percobaan 2 faktor (A dan B) dengan masing-masing 3 taraf.Langkah pengacakan :1. pilih kelompok secara acak2. tempatkan taraf-taraf factor A secara acak pada setiap kelompok

mengikuti plot lajur3. tempatkan taraf-taraf factor B secara acak pada setiap kelompok

mengikuti plot baris3. Tiga Faktor

a. FaktorialBersilang; Tersarang; Campuran (bersilang dan tersarang)

42

b. Split-Split Plot

6.1.2 Rancangan LingkunganBerkaitan dengan kondisi lingkungan atau diluar perlakuanyang akan mempengaruhi respon satuan percobaan.

1. Rancangan Acak Lengkap (RAL)RAL merupakam metode dengan pengacakan secara lengkap sehingga

setiap satuan percobaan memiliki peluang yang sama untuk mendapat setiap perlakuan. RAL hanya cocok bagi percobaan dengan satuan percobaan yang homogen.

2. Rancangan Acak Kelompok (RAK)RAK digunakan jika keheterogenan unit percobaan berasal dari satu

sumber keragaman. Pengelompokan dilakukan dengan tujuan untuk memperoleh keragaman setiap kelompok yang minimal dan keragaman antar kelompok maksimal, diharapkan dari pengelompokan ini resp[onyang muncul pada setiap kelompok hanya diakibatkan oleh perlakuan .

3. Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL)RBSL digunakan jika kehetrogenan unit percobaan berasal berasal dari 2

sumber keragaman. Syaratnya adalah jumlah pengelompokan berdasar baris dan kolom harus sama.

6.2 PERCOBAAN FAKTORIAL

6.2.1 Percobaan Dua Faktor RALPenelitian produksi 3 varietas (V1, V2, dan V3) yang diberikan 4 dosis pupuk N (N1,N2,N3, dan N4). Sehingga ada 12 kombinasi perlakuan, dan bila ada 3 ulangan maka ada 36 unit percobaan.

Model : ( ) ijkijjiijk ABBAY εµ ++++=

Hipotesis yang diuji : pengaruh utama faktor A

0...: 210 ==== aAAAH (faktor A tidak berpengaruh)

:1H paling sedikit ada satu i dimana 0≠iA atau faktor A mempunyai pengaruh yang nyata terhadap respon

pengaruh utama faktor B pengaruh sederhana (interaksi) faktor A dan faktor B

ANOVAsumber Db JK KT E (KT) Fhit

model tetap

A a-1 JKA KTA ( ) ( )122 −+ ∑ aAbr iεσ KTA/KTG

B b-1 JKB KTB ( ) ( )122 −+ ∑ bBar jεσ KTB/KTG

AB (a-1)(b-1) JKAB KTAB ( ) ( ) ( )1122 −−+ ∑∑ baABr ijεσ KTAB/KTG

RAB (ijk)

Galat/ ijkε ab(r-1) JKG KTG 2εσ

Total abr-1 JKT

( ) ijkijjiijk ABBAY εµ ++++=model acak

A a-1 JKA KTA 222AAB brr σσσ ε ++ KTA/KTAB

B b-1 JKB KTB 222BAB arr σσσ ε ++ KTB/KTAB

43

AB (a-1)(b-1) JKAB KTAB 22ABrσσ ε + KTAB/KTG

Galat ab(r-1) JKG KTG 2εσ

Total abr-1 JKTmodel campuran (A acak dan B tetap)

A a-1 JKA KTA 22Abrσσ ε + KTA/KTG

B b-1 JKB KTB ( )( ) ( ) ( )11 222 −+−+ ∑ bBarbbr iABσσ ε KTB/KTAB

AB (a-1)(b-1) JKAB KTAB ( )( ) 22 1 ABbbr σσε −+ KTAB/KTG

Galat ab(r-1) JKG KTG 2εσ

Total abr-1 JKT

Keterangan : a = banyak taraf faktor A b = banyak taraf faktor B r = banyak ulangan

Contoh :Data diatas adalah data dari balai karantina yang ingin mengetahui pengaruh

pemberian fumigasi dengan berbagai dosis (0,16,32,48,62;g/m3) dengan lama fumigasi yang berbeda (2 dan 4 jam) terhadap daya kecambah benih tomat. Metode pengecambahan yang digunakan adalah Growing On Test. Unit percobaan yang digunakan diasumsikan homogen.Langkah-langkah analisis dengan minitab :


rancangan yang digunakan model = lama dosis lama*dosis.333

lama fumigasi

(jam)

ulangan dosis fumigasi (g/m3)rata-rata

0 16 32 48 64

2

1 96 92 92 74 50

2 98 88 94 74 50

3 94 90 84 68 54

rata-rata 96 90 90 72 51.333 79.87

4

1 90 88 78 0 0

2 94 92 82 0 0

3 92 94 74 0 0

rata-rata 92 91.333 78 0 0 52.27rata-rata 94 90.667 84 36 25.67 66.07

output :

44

General Linear Model: RESPON versus LAMA, DOSIS

Factor Type Levels ValuesLAMA fixed 2 2, 4DOSIS fixed 5 0, 16, 32, 48, 64

Analysis of Variance for RESPON, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PLAMA 1 5713.2 5713.2 5713.2 691.11 0.000DOSIS 4 25459.2 25459.2 6364.8 769.94 0.000LAMA*DOSIS 4 6258.1 6258.1 1564.5 189.26 0.000Error 20 165.3 165.3 8.3Total 29 37595.9

S = 2.87518 R-Sq = 99.56% R-Sq(adj) = 99.36%

Intepretasi Output :Dari hasil output diatas dapat diketahui bahwa lama fumigasi mempengaruhi/

berpengaruh nyata terhadap daya kecambah benih tomat, demikian juga dengan pemberian dosis dan interaksi antara lama fumigasi dan pemberian dosis fumigasinya.Hal ini diketahui dari nilai p-value-nya yang lebih kecil dari nilai α = 0. 05

Intepretasi Output :Dari hasil output diatas dapat diketahui bahwa lama fumigasi mempengaruhi/

berpengaruh nyata terhadap daya kecambah benih tomat, demikian juga dengan pemberian dosis dan interaksi antara lama fumigasi dan pemberian dosis fumigasinya.Hal ini diketahui dari nilai p-value-nya yang lebih kecil dari nilai α = 0. 05

6.2.2 Percobaan Dua Faktor RAK

Model : ( ) ijkkijjiijk KABBAY εµ +++++=Hipotesis yang diuji : pengaruh utama faktor A pengaruh utama faktor B pengaruh sederhana (interaksi) faktor A dan faktor B pengaruh pengelompokan

ANOVAsumber db JK KT E (KT) Fhit

model tetap

A a-1 JKA KTA ( ) ( )122 −+ ∑ aAbr iεσ KTA/KTG



Blok r-1 JKK KTK 22Kabσσ ε + KTK/KTG

Galat (ab-1)(r-1) JKG KTG 2εσ

Total abr-1 JKT

( ) ijkkijjiijk KABBAY εµ +++++=model acak

A a-1 JKA KTA 222AAB brr σσσ ε ++ KTA/KTAB






A a-1 JKA KTA 22Abrσσ ε + KTA/KTG


AB (a-1)(b-1) JKAB KTAB ( )( ) 22 1 ABbbr σσε −+ KTAB/KTG



45

Total abr-1 JKT

Langkah-langkah analisis dengan minitab :Langkah pengujian sama persis dengan RAL, hanya berubah di model.


rancangan yang digunakan Model = Blok A B A*B.

6.2.3 Percobaan Dua Faktor RBSLRBSL dilakukan apabila keheterogenan unit percobaan berasal dari dua

sumber keragaman. Pengelompokan dilakukan 2 arah yaitu berdasar baris dan kolom. Misal:

Percobaan di perbukitan, pengelompokan berdasar arah kemiringan dan arah mata angin.

Percobaan efektifitas jenis mesin, pengelompokan berdasar shift kerja dan operator.

Syarat dari RBSL adalah jumlah pengelompokan berdasar baris dan kolom harus sama. RBSL jarang dilakukan pada percobaan 2 faktor karena jika kombinasi perlakuan yang digunakan besar maka unit percobaannya juga sangat besar, untuk rancangan 2 faktor RBSL masih dapat diterapkan bila taraf-taraf faktor yang digunakan tidak terlalu besar misal 2x3 atau 3x3

Model : ( ) ( ) ijklkijjiklij LKABBAY εµ ++++++=

6.3 RANCANGAN PETAK TERPISAH ( Split Plot Design)

Model : ( ) ijkijjikiijk ABBUAY εµ +++++=

ijkY = nilai pengamatan pada faktor A taraf ke-i dan faktor B taraf ke-j serta ulangan ke-k

µ = rataan umum

iA = pengaruh utama faktor A

ikU = komponen acak dari petak utama, menyebar normal ( )2,0 UσjB = pengaruh utama faktor B

( ) ijAB = pengaruh komponen interaksi faktor A dan faktor B

ijkε = pengaruh acak yang menyebar normal ( )2,0 εσ

Hipotesis: sama seperti pada rancangan faktorial RAL.


model tetap

A a-1 JKA KTA ( ) ( )1222 −++ ∑ aAbrb iUσσ ε KTA/KTGa

Galat (a) / RA(ik)

a (r-1) JKGa KTGa 22Ubσσ ε +



Galat (B) / RAB(ijk)

a(b-1)(r-1) JKGb KTGb 2εσ

Total abr-1 JKT

( ) ijkijjikiijk ABBUAY εµ +++++=model acak

46

A a-1 JKA KTA 2222AABU brrb σσσσ ε +++ **

Galat (a) a (r-1) JKGa KTGa 22Ubσσ ε +


AB (a-1)(b-1) JKAB KTAB 22ABrσσ ε + KTAB/KTGb

Galat (b) a(b-1)(r-1) JKGb KTGb 2εσ


A a-1 JKA KTA 222AU brb σσσ ε ++ KTA/KTGa

Galat (a) a (r-1) JKGa KTGa 22Ubσσ ε +


AB (a-1)(b-1) JKAB KTAB ( )( ) 22 1 ABbbr σσε −+ KTAB/KTGb

Galat (b) a(b-1)(r-1) JKG KTGb 2εσ

Total abr-1 JKT

** = Fhit faktor A model acak = BA KTGKTABKTG

KTA−+

Langkah-langkah analisis dengan minitab : Klik Stat > ANOVA > General Linear Model Responses : isi dengan kolom Respon yang akan diperiksa. Model : isi dengan kolom variabel bebas yang sesuai dengan

rancangan yang digunakan Model = A ulangan(A) B A*B.

6.4 RANCANGAN BLOK TERPISAH ( Split Block Design or Strip Plot Design)

Model : ( ) ijkijjkjikikijk ABVBUAKY εµ +++++++=


model tetapBlok r-1 JKK KTK

A a-1 JKA KTA ( ) ( )1222 −++ ∑ aAbrb iUσσ ε KTA/KTGa

Galat (a) / RA(ik)

(a-1) (r-1) JKGa KTGa 22Ubσσ ε +

B b-1 JKB KTB ( ) ( )1222 −++ ∑ bBara jVσσ ε KTB/KTGb

Galat(b) / RA(jk) (b-1)(r-1) JKGb KTGb 22

Vaσσ ε +

AB (a-1)(b-1) JKAB KTAB ( ) ( ) ( )1122 −−+ ∑∑ baABr ijεσ KTAB/KTGc

Galat(c) / AB(ijk)

(a-1)(b-1)(r-1) JKGc KTGc 2εσ

Total abr-1 JKT

( ) ijkijjkjikikijk ABVBUAKY εµ +++++++=model acak

Blok r-1 JKK KTK

A a-1 JKA KTA 2222AABU brrb σσσσ ε +++ *

Galat (a) (a-1) (r-1) JKGa KTGa 22Ubσσ ε +

B b-1 JKB KTB 2222BABV arra σσσσ ε +++ **

Galat(b) (b-1)(r-1) JKGb KTGb 22Vaσσ ε +


c

47

Galat(c) (a-1)(b-1)(r-1) JKGc KTGc 2εσ


Blok r-1 JKK KTK

A a-1 JKA KTA 222AU brb σσσ ε ++ KTA/KTGa

Galat (a) (a-1) (r-1) JKGa KTGa 22Ubσσ ε +

B b-1 JKB KTB ( )( ) ( ) ( )11 2222 −+−++ ∑ bBarbbVa iABV σσσ ε KTB/KTGb

Galat(b) (b-1)(r-1) JKGb KTGb 22Vaσσ ε +

AB (a-1)(b-1) JKAB KTAB ( )( ) 22 1 ABbbr σσε −+ KTAB/KTGc

Galat(c) (a-1)(b-1)(r-1) JKGc KTGc 2εσ

Total abr-1 JKT

* = Fhit faktor A model acak = CA KTGKTABKTG

KTA−+

** = Fhit faktor B model acak = CB KTGKTABKTG

KTA−+

Langkah-langkah analisis dengan minitab :Langkah pengujian persis faktorial RAL, hanya berubah di model.


rancangan yang digunakan Model = A ulangan(A) B ulangan(B) A*B.

7 PENGUJIAN ASUMSI

Asumsi-asumsi yang mendasari analisis ragam yang perlu diperhatikan agar pengujian menjadi shahih adalah :

a. Model bersifat aditifDalam hal ini komponen-komponen penyusun model harus bersifat aditif

atau bersifat dapat dijumlahkan sesuai dengan model yang dibangun. Setiap rancangan percobaan mempunyai model matematika yang disebut model linier aditif. Dalam kenyataannya, bila model tidak bersifat aditif maka perlu dilakukan transformasi. Ketidakaditifan model akan mengakibatkan keheterogenan ragam galat sehingga ragam galat gabungan yang diperoleh sedikit tidak efisien, untuk selang kepercayaan pengaruh perlakuan dapat memberikan tingkat nyata palsu untuk perbandingan nilai tengah.

b. Komponen galat bersifat homogen.Keheterogenan ragam galat dapat memberikan respon yang erotik dari

beberapa perlakuan tertentu. Keheterogenan galat akan mengakibatkan berkurangnya keefisienan pendugaan beda-beda pengaruh antar t perlakuan. Selain itu juga mempengaruhi kepekaan uji-uji nyata.

c. Galat menyebar normal

48

Galat harus menyebar normal karena uji yang digunakan adalah uji-F. Sebaran F diturunkan dari sebaran chi-square yang diturunkan dari sebaran normal.

d. Komponen galat bersifat acak/bebasGalat percobaan harus bersifat bebas atau tidak ada korelasi antar galat.

Galat yang tidak bebas akan mengakibatkan uji nyata yang kita lakukan dapat mengecoh dalam mengambil keputusan

Untuk pengujian asumsi, software Minitab menyediakan fasilitas yang lebih mudah. Dan sebelum kita melakukan uji formal, terlebih dahulu lakukan pengujian secara grafis dan pemunculan residual. Tapi sebelum melakukan pengujian asumsi, harus dibentuk dulu model dari rancangan percobaan.

Langkah-langkah pengujian grafis dan pemunculan residu : Klik Stat > ANOVA > General Linear Model Responses : isi dengan kolom Respon yang akan diperiksa, bisa

lebih dari satu respon sekaligus. Model : isi dengan kolom variabel bebas yang sesuai dengan

rancangan yang digunakan Klik graphs : pilih Residual serta pada residual plots pilih

four in one. Klik storage : klik di residuals. Klik results : untuk menentukan output yang ingin ditampilkan,

klik di analysis of variance table klik OK pada kotak dialog general linear model.

Output :

Residual

Perc

ent

5.02.50.0-2.5-5.0

99

90

50

10

1

Fitted Value

Resi

dual

1007550250

5.0

2.5

0.0

-2.5

-5.0

Residual

Fre

quency

420-2-4-6

10.0

7.5

5.0

2.5

0.0

Observation Order

Resi

dual

30282624222018161412108642

5.0

2.5

0.0

-2.5

-5.0



Residual Plots for RESPON

interpretasi (eksploratif): Hasil plot Residuals versus the order of the data yang berbentuk acak

menunjukkan bahwa residual bersifat bebas. Jika plotnya membentuk pola tertentu, ini berarti residual tidak bersifat bebas.

Hasil plot residuals versus the fitted values yang tidak menunjukkan pola tertentu mengindikasikan bahwa ragam residual bersifat homogen. Tetapi jika ada pola tertentu yang terbentuk, hal ini mengindikasikan keheterogenan ragam residual.

Hasil plot normal probability plot of the residuals yang membentuk pola garis lurus menunjukkan bahwa residual menyebar normal. Jika tidak, maka berarti residual tidak menyebar normal.

Dengan pengujian secara grafis, terkadang kita mengalami keraguan untuk menetukan ada tidaknya pola yang terbentuk pada grafik.Untuk mengatasi masalah

49

itu, maka diperlukan pengujian secara formal.

7.1 Pengujian Keaditifan ModelAdanya ketakaditifan dalam model akan mengakibatkan keheterogenan

ragam galat. Dan sayangnya, baik Minitab maupun SAS tidak menyediakan menu untuk melakukan pengujian ini, sehingga kita melakukannya dengan menggunkan Excel atau dihitung secara manual.Untuk menguji keaditifan model kita gunakan uji Tukey sebagai berikut:

2...

2...

2

)()()( YYYYr

QJK

ji

NONADITIF −Σ−Σ=

dimana : r = banyak ulangan.

ijji YYYYYQ ))(( ...... −−Σ=

)()(

)(

/ galatgalat

nonaditifhitung dbJK

JKF =

Apabila ),1( dbgalathitung FF α≤ maka keaditifan model dapat diterima, selainnya tolak keaditifan model.

7.2 Pengujian Kenormalan Galat

Galat harus menyebar normal karena uji yang digunakan adalah uji-F. Sebaran F diturunkan dari sebaran chi-square yang diturunkan dari sebaran normal, tidak terpenuhinya asumsi ini akan mengakibatkan kasimpulan yang tidak akurat dan berbias.Hipotesis yang akan diuji adalah:

H0 : galat menyebar normalH1 : galat tidak menyebar normal

Langkah-langkah pengujiannya sebagai berikut: Klik Stat > Basic Statistic > Normality Test Variable : isi dengan kolom sisaan yang akan diperiksa (RESI1),

Test of Normality diisi dengan memilih salah satu uji, kita pilih Ryan-Joiner. kemudian klik OK

Setelah keluar hasilnya, kita lihat p-value, apabila p-value > α maka dapat disimpulkan bahwa ragam galat menyebar normal, begitu pula sebaliknya.

RESI1

Perc

ent

5.02.50.0-2.5-5.0-7.5

99

95

90

80

70

605040

30

20

10

5

1

Mean

>0.100

-1.18424E-14StDev 2.388N 30RJ 0.974P-Value

Probability Plot of RESI1Normal

Keputusan: Dengan menggunakan uji kenormalan Ryan-Joiner, nilai-p > 0.10 sehingga

terima H0 atau asumsi kenormalan galat terpenuhi

7.3 Pengujian Kehomogenan Ragam

Keheterogenan galat akan mengakibatkan berkurangnya keefisienan pendugaan beda-beda pengaruh antar t perlakuan. Selain itu juga mempengaruhi kepekaan uji-uji nyata.

50

Hipotesis yang akan diuji adalah:H0 : Ragam galat homogenH1 : Ragam galat tidak homogen

Langkah-langkah pengujiannya sebagai berikut: Klik Stat > ANOVA > Test for Equal Variance Response : isi dengan kolom respon yang akan diperiksa, pengisian kolom

ini hanya boleh untuk satu respon, tidak boleh lebih. Factors diisi dengan kolom faktor yang digunakan. Ingat! Yang dimasukkan hanya faktornya saja, sedangkan kelompoknya tidak. Setelah semua terisi dengan benar, kemudian klik OK

Setelah keluar hasilnya, kita lihat p-value, apabila p-value > α maka dapat disimpulkan bahwa ragam galat homogen, begitu pula sebaliknya.

95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs

LAMA DOSIS

4

2

64

48

32

16

0

64

48

32

16

0

100806040200

Bartlett's Test

0.716

Test Statistic 3.41P-Value 0.844

Levene's Test

Test Statistic 0.68P-Value

Test for Equal Variances for RESPON

Keputusan : Dari uji Bartlett diperoleh nilai-p = 0.844 > 0.05 sehingga terima H0 atau asumsi kehomogenan galat terpenuhi pada taraf nyata 5%.

Pada output ditemukan dua nilai-p yaitu uji bartlett untuk data yang menyebar normal serta uji lavenne untuk data yang tidak menyebar normal. Jika kedua uji memberi kesimpulan yang beda maka perlu untuk menguji kenormalan respon. Langkah pengujian sama dengan poin b hanya yang dimasukkan adalah kolom respon. Jika respon menyebar normal maka kesimpulan yang benar adalah pada uji bartlett, dan sebaliknya.

7.4 Pengujian keacakan/kebebasan galatGalat percobaan harus bersifat bebas atau tidak ada korelasi antar galat.

Galat yang tidak bebas akan mengakibatkan uji nyata yang kita lakukan dapat mengecoh dalam mengambil keputusan. Dalam hal ini tidak ada pengujian formalnya, jadi digunakan plot residuals versus the order of the data yang telah ditunjukkan di atas. plot sisaan versus order data menunjukkan pola acak, jadi asumsi kacakan galat terpenuhi

Tampilan secara visual untuk data yang interaksinya nyata dapat dilakukan dengan mengeluarkan plot interaksinya.

Stat > ANOVA > Interaction Plot Responses : Masukkan peubah responnya (Y) = C4 Factors : Masukkan masing-masing faktor = C 1 C2

51

DOSIS

Mean

644832160

100

80

60

40

20

0

LAMA24

Interaction Plot (data means) for RESPON

interpretasi :Respon tertinggi diberkan pada kombinasi factor dosis 0 dengan faktor lama 2

jam. Dari sini juga bias terlihat bahwa antara factor lama dan factor dosis terjadi interaksi, hal ini ditunjukkan oleh slope antara kedua berbeda.

8 TRANSFORMASI DATA

Setelah proses pengujian asumsi secara grafis selesai dan ada asumsi yang tidak terpenuhi maka perlu dilakukan transformasi data. Tujuan dari transformasi suatu data adalah memudahkan dalam intepretasi, mendukung kesimetrikan atau mendukung kestabilan/kehomogenan ragam. Tujuan yang lain adalah melinearisasikan suatu persamaan garis serta menyederhanakan struktur dari data

Transformasi merupakan usaha untuk merubah data asli dan atau skala data (John D. Emerson dan Michael A. Soto), sementara itu menurut David Griffith transformasi atau re-expression adalah menampilkan data dalam bentuk skala yang berbeda.

8.1 Transformasi untuk data tunggalSebaran yang tidak normal pada data tunggal dapat ditransformasi

sedemikian sehingga data tersebut memiliki distribusi yang berbentuk baku, yaitu: simetrik, berpuncak tunggal, menyempit ke kiri dan menyempit ke kanan. Cara melakukan transformasi :1. Tentukan sari numeriknya . Hal ini dapat dilakukan dengan membuat stem-

and- leaf plot nya terlebih dahulu 2. Buat box plot nya berdasarkan sari numeric tersebut3. Berdasarkan stem-and-leaf, sari numeric dan box plot tersebut amatilah

bentuk distribusi data tersebut, apakah bentuk distribusinya menceng ke kiri, simetris dan atau menceng ke kanan.

4. Gunakan tangga transformasi Tukey untuk memilih transformasi yang sesuai bagi bentuk distribusinya.

Tangga transformasi TukeyDidasarkan pada penjenjangan bentuk sebaran / distribusi datanya.

Jenjang transformasi TukeyJenjang Bentuk distribusiPertama Menceng ke kiri secara kuatKedua Menceng ke kiri sedangKetiga Menceng ke kiri lemahKeempat Simetris Kelima Menceng ke kanan secara kuatKeenam Menceng ke kanan sedangKetujuh Menceng ke kanan lemah

Bentuk distribusi yang simetris tidak perlu ditransformasi, karena sudah sesuai dengan bentuk baku. Sedangkan untuk jenjang yang lain perlu ditransformasi.

52

Untuk kelompok distribusi yang menceng ke kanan, transformasinya didasarkan kepada fungsi monoton naik dengan turunan pertama yang semakin membesar. Contoh: Y* = Yk dengan k= 2, 3, 4,...Fungsi-fungsi tersebut akan merenggangkan data-data yang berharga besar dan merapatkan data-data yang berharga kecil.

Untuk kelompok distribusi yang menceng ke kiri, transformasinya didasarkan kepada fungsi monoton naik dengan turunan pertama yang semakin mengecil.Contoh: Y* = Yk dengan k < 1 , Y* = log Y, Y* = -1/ Y, dll.

Fungsi-fungsi tersebut akan merenggangkan data-data yang berharga kecil dan merapatkan data-data yang berharga besar.

8.2 Transformasi untuk k buah data sample bebasUntuk k buah data sample bebas seperti data dalam rancangan percobaan,

ada beberapa tipe transformasi yang sering digunakan. Yaitu :

8.2.1 Transformasi logaritma ( log Y )Transformasi logaritma digunakan jika rataan setiap sample

sebanding/proporsional dengan rentangan/simpangan bakunya (ragam sebanding dengan kuadrat rataan sample) atau bila pengaruh perlakuan bersifat multiplikatif. Kondisi ini secara umum ditentukan oleh data yang meliputi range yang luas.

Dalam transformasi logaritma, untuk data yang bernilai nol atau data bernilai kecil (kurang dari 10) maka nilai tersebut perlu ditambah satu sehingga menjadi log (Y+1).

Contoh:

perlpetak

rataan Simp baku ragam1 2 3 4

12345

9469

27

128

1569

0564

10

1125

10

5.54.5

7.256

16

5.922.895.5

2.168.04

358.33

30.254.67

64.67

Dari tabel terlihat bahwa rata-rata data lebih proporsional terhadap simpangan bakunya dibanding dengan ragamnya. Dengan demikian transformasi yang tepat adalah transformasi logaritma. Dan karena terdapat nilai nol serta nilai yang kecil, maka transformasi log nya menjadi log (Y+1).

8.2.2 Transformasi akar kuadrat ( √Y )

Transformasi akar kuadrat digunakan untuk data yang mempunyai rataan cenderung sebanding / proporsional terhadap ragamnya. Kondisi ini biasanya terjadi pada data pada nilai pengamatan yang kecil, misalnya pengamatan terhadap peristiwa yang jarang terjadi (mengikuti sebaran poisson).

Disamping itu, transformasi akar kuadrat dapat digunakan untuk data persentase 0%-30% atau 70%-100%, tetapi tidak keduanya. Persentase diperoleh dari nisbah nilai pengamatan terhadap total pengamatan. Jika sebagian besar datanya bernilai kecil, khususnya bila nol maka transformasi yang digunakan adalah √(Y+1/2)

Contoh:

perl% pengamatan sbl trans % pengamatan sesudah trans1 2 3 1 2 3

12345

11.46 7.6311.65 9.02 6.09

5.518.765.418.937.81

4.88 8.00 3.8510.26 5.88

3.832.963.413.002.47

2.302.962.322.99

2.8

2.362.831.963.202.43

Karena data tersebut mempunyai persentase 0%-30% maka menggunakan transformasi akar kuadrat.

53

8.2.3 Transformasi Arcsin ( Sin-1√Y)

Transformasi arcsin tepat digunakan untuk data proporsi yang dinyatakan sebagai persentase dengan ketentuan sebagai berikut:

Data persentase yang perlu ditransformasi adalah persentase yang diperoleh dari nisbah terhadap total.

Misal: x = banyaknya produk yang cacatN = total produk

Maka persentase produk yang cacat adalah Nx

Data persentase yang berada dalam range 30%-70% tidak perlu ditransformasi

Data persentase yang berada pada range 0%-100%

Untuk data yang bernilai 0% diganti dengan n41 , sedangkan untuk data

yang bernilai 100% diganti dengan n41100 −

Transformasi untuk data dari k sample bebas, selain memiliki karakteristik yang telah disebutkan diatas, terdapat beberapa karakteristik transformasi lainnya. Dalam hal ini membandingkan k sample bebas tersebut hanya dengan pembandingan masing-masing tarafnya. Transformasi yang perlu dilakukan adalah menentukan satu transformasi untuk semua k sample yang berkaitan. Hal ini dapat dilakukan dengan menganggap hubungan antara sebaran dengan taraf berbentuk linear, sehingga dapat digunakan tangga transformasi Tukey.

Karakteristik yang dapat dijadikan pijakan adalah : Jika harga sebaran cenderung naik dengan naiknya taraf maka gunakan

transformasi:X* = √X, X* = X3, X* = X4 Atau X* = - 1 / X2

Jika harga sebaran cenderung turun dengan naiknya harga taraf, maka gunakan transformasi:X* = Xk, k = 2, 3, 4 Atau X* = 10x

Untuk lebih jelasnya, langkah-langkah yang digunakan adalah: Hitung tarafnya, kemudian hitung log (taraf) untuk setiap sample

bebas/perlakuan Hitung sebaran dan log (sebaran) untuk setiap perlakuan Dengan menggunakan hubungan linier antara log(sebaran) dengan

log(taraf), yang berarti:

Hitung koefisien b, harga b akan menentukan transformasi yang dipilih

BA

BA

TlogTlog

SlogSlogb

−−

=

keterangan:TA = harga taraf terbesarTB = harga taraf terkecilSA = harga sebaran pada contoh TA

SB = harga sebaran pada contoh TB

Jika b bernilai positif, maka transformasi yang digunakan:Koefisien Arah b

disekitarBentuk

transformasi0.5 X* = √X1 X* = log X

1.5 X* = - 1 / X2 X* = - 1 / X2

54

log (sebaran) = a + b log (taraf)

Jika harga b negatif, transformasi yang digunakan adalah:X* = Xk dengan k = 2, 3, 4, ...

Makin kecil harga b, makin besar harga k yang perlu dicoba.

8.3 Transformasi Dalam Regresi Linear Sederhana

Salah satu usaha untuk mempertinggi kualitas model, dapat dilakukan dengan memperbesar harga R2. Hal ini dapat dilakukan dengan cara menyisihkan data pencilan dan atau dengan transformasi data.

Kualitas R2 yang rendah dapat pula terjadi karena asumsi kenormalan dilanggar. Dalam hal ini, variabel tak bebas Y dan atau variabel bebas X perlu ditransformasi. Langkah yang dapat diambil adalah:

Buat dan amati stem-and-leaf, sari numeric dan box plot dari data X dan Y Pilih transformasi untuk data X dan Y, berpedoman pada:

Bentuk kurva ket

Transformasi X

Transformasi Y

X turunY naik

Log X- 1/ Xdsb

Y2

Y3

dsb

XturunY turun

Log X- 1/ Xdsb

Log Y- 1 / Xdsb

X naikY turun

X2

X3

dsb

Log Y- 1 / Xdsb

X naikY naik

X2

X3

dsb

Y2

Y3

dsb

Misalkan hasil transformasi untuk X dan Y adalah X* dan Y*, lakukan regresi linear terhadap X* dan Y* (jika terdapat pencilan hindari menggunakan MKT)

Apabila regresi dari X* dan Y* memberikan harga R2 yang memuaskan, maka proses pemodelan telah selesai. Bila belum maka ulangi tiga langkah terakhir.

9 REGRESI LOGIT DAN PROBIT

Analisis regresi digunakan untuk melihat hubungan antara satu atau lebih peubah penjelas dengan peubah respon. Model regresi yang digunakan tergantung dari peubah respon yang digunakan. Peubah respon dapat berupa peubah kuantitatif maupun peubah kualitatif. Pada penelitian sosial peubah yang diamati sebagian besar merupakan data kategorik termasuk data biner. Model yang sering digunakan untuk menganalisis peubah respon berskala biner (dikotomous/binary) adalah model logit dan model probit (Greene, 1990).

Model logit dan model probit merupakan dua model regresi yang saling dapat menggantikan yang satu dengan yang lain untuk menganalisis peubah respon biner (Jeff Wu, 1985). Oleh karena itu sering hanya dibuat salah satu model tanpa mempertimbangkan model lain yang mungkin akan menghasilkan model yang lebih sesuai.

Perbedaan antara model regresi linear dengan regresi logit probit dicerminkan pada model parameter dan penggunaan asumsi.

9.1 Regresi Logit

55

Regresi logit merupakan teknis analisis data yang dapat menjelaskan hubungan antara. peubah respon yang memiliki dua kategori dengan satu atau lebih peubah penjelas berskala kontinu atau kategori (Hosmer dan Lamesow, 1989).

9.1.1 Model LogitModel peluang regresi logistik dengan p faktor (peubah penjelas) adalah:

( ) ( ) ( )( )pp

pp

xx

xxxxYE

ββββββ

π++++

+++===

..exp1

..exp

110

110

Transformasi logit dari π(x) adalah : ( ) ( )( )

−

=x

xxg

ππ

1ln

Dimana komponen g(x) yang merupakan bagian komponen sistematik tersebut, dapat dituliskan dalam fungsi linear dari peubah penjelas :

( ) pp xxxxg ββββ ++++= ....22110

Jika terhadap p peubah bebas dengan peubah ke-j merupakan peubah kategori dengan k nilai, maka peubah boneka sebanyak k-1. Maka model transformasi logitnya menjadi :

( ) pp

k

ujuju xxxxg

j

ββββ ++++= ∑−

=

1

1110 ....

Dimana: jx = bebas ke-j dengan tingkatan kj

1−jk = Peubah boneka

juβ = Koefisien peubah boneka = 1, 2,3 ...kj-1

Dalam Pendugaan parameter digunakan metode kemungkinan maksimum (maximun likelihood) (Agresti, 1990)Dimana fungsi kemungkinan maksimum:

[ ]∏=

−−=n

i

yi

yi

ii xxL2

1)(1)()( ππβ

Untuk menduga iβ maka maksimumkan )(βL . Untuk memudahkan perhitungan, dilakukan pendekatan logaritma, sehingga fungsi log kemungkinannya sebagai berikut :

[ ][ ] [ ]{ }∑

=

−−+=

=n

iiiii xyxyL

LL

1

))(1(ln)1()(ln)(

)(ln)(

ππβ

ββ

Nilai dugaan iβ dapat diperoleh dengan membuat turunan pertama )(βL terhadap

iβ = 0, dengan i = 1, 2, 3, ...pUntuk memperoleh penduga. kemungkinan maksimum bagi parameter-parameter dari model, secara teknis digunakan metode kuadrat terkecil terboboti secara iterative (iteratively reweighted least squares) (McCullagh dan Nelder, 1989)

9.1.2 Pengujian Parameter

Pengujian terhadap parameter-parameter model dilakukan sebagai upaya untuk memeriksa kebaikan model. Uji kebaikan model merupakan suatu pemeriksaan apakah nilai yang diduga dengan peubah didalam model lebih baik atau akurat dibandingkan dengan model tanpa peubah tersebut (Hosmer dan Lemeshow, 1989).

56

Dengan kata lain diadakan pengujian hipotesis statistik dalam menentukan apakah peubah-peubah bebas dalam model mempunyai hubungan yang nyata dengan peubah responnya.

Menurut Hosmer dan Lemeshow (1989), untuk mengetahui peran seluruh peubah penjelas di dalam model secara bersama-sama dapat digunakan uji nisbah kemungkinan yaitu uji G berdasarkan hipotesis :

0...: 210 ==== pH βββ:1H paling sedikit ada satu 0≠jβ (j = 1, 2, …, p)

Sedangkan rumus umum untuk uji-G :

−=

kL

LG 0ln2 Dengan kriteria uji :

><

=0

2,

02

,

,

,

tolakH

terimaHG

p

p

α

α

χχ

Dengan 0L = fungsi kemungkinan tanpa peubah penjelas dan kL = fungsi kemungkinan dengan peubah penjelas. Statistik G mengikuti sebaran khi kuadrat dengan derajat bebas p.

Sedangkan untuk uji nyata parameter secara parsial dapat digunakan uji-Wald. Statistik uji-Wald adalah :Hipotesis : 0:0 =jH β vs :1H 0≠jβ

Dengan jβ̂ merupakan penduga jβ ( )js β̂ dan adalah dugaan galat baku dari jβ .

Statistik uji Wald mengikuti sebaran normal baku.

9.1.3 Intepretasi KoefisienMenurut Hosmer dan Lemeshow (1989), koefisien. model logit ditulis sebagai

jβ = g(x+1) - g(x). Parameter iβ mencerminkan perubahan dalam fungsi logit g(x) untuk perubahan satu unit peubah bebas x yang disebut log odds. Log odds merupakan beda antara dua penduga. logit yang dihitung pada dua nilai (misal x = a dan x = b) yang dinotasikan sebagai:

( )[ ] ( ) ( )bxgaxgbaLn =−==,ψ ( )baj −= *β

Sedangkan penduga rasio-odds adalah: ( ) ( )[ ]baba j −= *exp, βψSehingga jika a-b = 1 maka ( )βψ exp= . Rasio-odds ini dapat diintepretasikan sebagai kecenderungan Y =1 pada x =1 sebesar ψ kali dibandingkan pada x =0.Contoh Kasus:

Pengaruh perokok dan berat badan terhadap denyut nadi. Dibawah ini data 92 responden yang diukur denyut nadi (resting pulse), status perokok (smokes), dan berat badan (weight)

Resting Pulse

Smokes Weight

Resting Pulse

Smokes Weight

Resting Pulse

Smokes Weight

Low No 140 Low No 145 Low Yes 164

Low No 145 High Yes 150 Low No 140

Low Yes 160 Low Yes 112 Low No 142

Low Yes 190 Low No 125 High No 136

Low No 155 Low No 190 Low No 123


High No 150 Low Yes 170 High No 130



Low No 138 Low Yes 150 High Yes 131

High Yes 160 Low Yes 145 Low No 120


High Yes 153 Low No 155 Low No 125

57

Low No 145 Low No 150 High Yes 135

Low No 170 Low Yes 155 Low No 125

Low No 175 Low No 150 High No 118

Low Yes 175 High Yes 180 Low No 122

Low Yes 170 Low No 160 Low No 115

Low Yes 180 Low No 135 Low No 102




Low No 130 Low Yes 150 High No 116

Low Yes 185 Low No 148 Low Yes 108

High No 140 High No 155 High No 95

Low No 120 Low No 150 High Yes 125

Low Yes 130 High Yes 140 Low No 133

High No 138 Low No 180 Low No 110

High Yes 121 Low Yes 190 High No 150

Low No 125 High No 145 Low No 108

High No 116 High Yes 150

Langkah-langkah menggunakan MINITAB: Klik Stat > Regression > Binary Logistic Regression Response : masukkan RestingPulse Model : masukkan Smokes dan Weight Factors (optional) : masukkan Smokes Klik Graph : pilih Delta chi-square vs probability dan Delta

chi-square vs leverage Klik option : pada Link Fuction pilih Logit Klik Result : pilih In addition, list of factor level values ...

output :

58

Binary Logistic Regression: RestingPulse versus Smokes, Weight

Link Function: Logit

Response Information

Variable Value CountRestingPulse Low 70 (Event) High 22 Total 92

Factor InformationFactor Levels ValuesSmokes 2 No, Yes

Logistic Regression Table Odds 95% CIPredictor Coef SE Coef Z P Ratio Lower UpperConstant -1.98717 1.67930 -1.18 0.237Smokes Yes -1.19297 0.552980 -2.16 0.031 0.30 0.10 0.90Weight 0.0250226 0.0122551 2.04 0.041 1.03 1.00 1.05

Log-Likelihood = -46.820Test that all slopes are zero: G = 7.574, DF = 2, P-Value = 0.023

Intepretasi Output:1. Dilihat dari nilai uji-G dengan p-value = 0.023 < nilai α = 0.05, dapat

disimpulkan bahwa peubah bebas (X) berpengaruh terhadap peubah respon (Y)2. Dilihat dari nilai uji Wald (Z), yaitu :

Nilai parameter 1β dengan nilai-p = 0.031 < nilai α = 0.05, dapat disimpulkan bahwa koefisien peubah X1 (smokes) nyata

Nilai parameter 2β dengan nilai p = 0.041 < nilai α = 0.05, dapat disimpulkan bahwa koefisien peubah X2 (Weight) nyata.

Dilihat dari nilai Rasio Odds yaitu:

59

Goodness-of-Fit Tests

Method Chi-Square DF PPearson 40.8477 47 0.724Deviance 51.2008 47 0.312Hosmer-Lemeshow 4.7451 8 0.784Brown:General Alternative 0.9051 2 0.636Symmetric Alternative 0.4627 1 0.496

Table of Observed and Expected Frequencies:(See Hosmer-Lemeshow Test for the Pearson Chi-Square Statistic)

GroupValue 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TotalLow Obs 4 6 6 8 8 6 8 12 10 2 70 Exp 4.4 6.4 6.3 6.6 6.9 7.2 8.3 12.9 9.1 1.9High Obs 5 4 3 1 1 3 2 3 0 0 22 Exp 4.6 3.6 2.7 2.4 2.1 1.8 1.7 2.1 0.9 0.1Total 9 10 9 9 9 9 10 15 10 2 92

Measures of Association:(Between the Response Variable and Predicted Probabilities)

Pairs Number Percent Summary MeasuresConcordant 1045 67.9 Somers' D 0.38Discordant 461 29.9 Goodman-Kruskal Gamma 0.39Ties 34 2.2 Kendall's Tau-a 0.14Total 1540 100.0

• Untuk peubah X1 (Smokes), kecenderungan seorang perokok (smokes yes) untuk terjadinya resting pulse sebesar 0.3 kali dari orang yang tidak merokok (smokes no).Dengan kata lain seorang perokok memiliki kecenderungan resting pulse high.

• Untuk peubah X2 (Weight), kecenderungan resting pulse low meningkat sebesar 1.03 ketika weight naik 1 satuan. Dengan kata lain semakin bertambah weight maka resting pulse semakin rendah.

Jadi fungsi linear dari peubah penjelas kasus diatas adalah g(x) = -1.987 - 1.1930 X1 + 0.02502 X2 sehingga regresi logistik dengan 2 faktor (peubah penjelas) adalah :

( ) ( ) ( )( )pp

pp

xx

xxxxYE

ββββββ

π++++

+++===

..exp1

..exp

110

110

( ) ( ) ( )( )21

21

0.02502X 1.1930X - 1.987-exp1

0.02502X 1.1930X - 1.987-exp

+++

=== xxYE π

9.2 Regresi ProbitApabila diketahui peubah respon yang digunakan berupa data proporsi atau

peubah biner, fungsi hubung yang dapat digunakan adalah fungsi hubung probit. Model probit adalah sebagai berikut :

( )xx βα +Φ=ΠDimana Φ(.) adalah sebaran normal kumulatif, α dan β parameter yang harus

diduga. xπ adalah sebuah peluang yang terletak antara 0 dan 1 untuk semua nilai x dan untuk semua nilai parameter.Sebaran peluang yang digunakan dalam fungsi probit ini adalah sebaran normal baku (McCullagh dan Nelder,1989)

( )( )( )

∫∞−

−==

xg s

dsexgF 21

2

2

1

ππ

Dimana s adalah peubah acak yang menyebar normal baku dan i= 1,2,....n.

Sehingga : ( ) ( )iFxg π1−=F adalah sebaran normal kumulatif dengan :

( ) ippii xxxxg ββββ ++++= ...22110

9.2.1 Intepretasi koefisienKoefisien probit adalah pengaruh dari perubahan satu unit X pada peluang

normal kumulatif dari Y. Koefisien ini adalah pengaruh pada Z scores. Tetapi peluang dari Y bukan fungsi linear dari Z, tapi fungsi normal kumulatif Z. Pengaruh dari perubahan satu unit X pada peluang Y tergantung pada level X, sehingga perlu dipilih beberapa level X sebagai titik acuan. Interpretasi koefisien model probit dilakukan dengan melihat tanda sendiri. Jika koefisien yang diperoleh positif, maka kecenderungan Y=1 lebih besar pada peubah bebas X=1 dibandingkan dengan X=0.

9.2.2 Kriteria pemilihan Model TerbaikBeberapa hal yang menjadi kriteria dalam memilih model terbaik dari dua

model yang diperbandingkan adalah dengan membandingkan antara dugaan dan amatan melalui Kuadrat Tengah Galat (KTG), SK 95%, pendugaan parameter, nilai R2 menggambarkan plot antara dugaan galat dengan dugaan X dan nilai kebaikan suainya 2χ . Selain itu, masing-masing model diuji dengan menggunakan uji Wald.KTG yang digunakan dalam hal ini adalah :

60

( ) ( )1

ˆ

1

ˆ 2

1

2

−−−

=−−

−= ∑∑

=

pn

y

pn

yyKTG ii

n

iii π

Semakin kecil kuadrat tengah galat yang diperoleh maka model semakin baik.

Jika ( )∑=

−n

iii yy

1

2ˆ dapat digunakan digunakan sebagai jumlah kuadrat galat, maka

R2 dapat digunakan sebagai ukuran kebaikan suai model yaitu:

( )

( )∑

∑

=

=

−

−−=

n

iii

n

iii

yy

yR

1

2

1

2

2

ˆ

1π

9.3 Perbedaan Logit dan ProbitLogistik berdasarkan pada peubah kualitatif menggunakan sebaran binomial.

Sedangkan probit berdasarkan peubah kualitatif menggunakan sebaran normal kumulatif. Dalam prakteknya hampir selalu menghasilkan hasil yang sama. Logit mungkin lebih mudah untuk diinterpretasikan.

9.4 Perbedaan Regresi Linier dan LogistikPerbedaan regresi linier dan logistik terletak pada dua hal yaitu:1. Selang nilai E(Y|X)2. Model RegresinyaRegresi Linear : ( ) +∞≤≤∞− XYE

Regresi Logistik : ( ) 10 ≤≤ XYE

Regresi Linear : ( ) ε+= XYEY

Dimana : ( ) pp xxxXYE ββββ ++++= ...22110 dan ( )2,0~ σε N

Regresi Logistik : ( ) ε+= XYEY

Dimana : ( ) ( )( )

( )xg

xg

e

exXYE

+==

1π dan

( ) pp xxxxg ββββ ++++= ...22110 Contoh Kasus:Sama dengan contoh kasus pada regresi logit

Langkah-langkah menggunakan MINITAB: Klik Stat > Regression > Binary Logistic Regression. Response : masukkan RestingPulse Model : masukkan Smokes Weight. Factors (optional) : masukkan Smokes Klik Options : pada Link Fuction pilih Normal/Probit Klik Result : Pilih In addition, list of factor level ...

output :

61

Binary Logistic Regression: RestingPulse versus Smokes, Weight

Link Function: Normit

Response Information

Variable Value CountRestingPulse Low 70 (Event) High 22 Total 92

Factor Information

Factor Levels ValuesSmokes 2 No, Yes

Logistic Regression Table

Predictor Coef SE Coef Z PConstant -1.20106 0.976437 -1.23 0.219Smokes Yes -0.703780 0.325031 -2.17 0.030Weight 0.0150848 0.0070250 2.15 0.032

Log-Likelihood = -46.734Test that all slopes are zero: G = 7.746, DF = 2, P-Value = 0.021

Intepretasi :1. Dilihat dari nilai uji-G dengan p-value = 0.021 < nilai α = 0.05, dapat

disimpulkan bahwa peubah bebas (X) berpengaruh nyata terhadap peubah respon (Y)

2. Dilihat dari nilai uji Wald (Z), yaitu: Nilai parameter 1β dengan nilai-p = 0.030 < nilai α = 0.05 dapat

disimpulkan bahwa koefisien peubah X1 (Smokes) nyata. Nilai parameter 2β dengan nilai-p = 0.032 < nilai α = 0.05, dapat

disimpulkan bahwa koefisien peubah X2(Weight) nyata.3. Intepretasi koefisien model probit dilakukan dengan melihat tanda koefisien itu

sendiri. Untuk X1 koefisien yang diperoleh negatif, maka kecenderungan resting pulse

low (Y=1) lebih kecil pada peubah bebas smokes yes (X1=l) dibandingkan dengan smokes no (X1=0).

Untuk X2 koefisien yang diperoleh positif, maka kecenderungan resting pulse low (Y= 1) akan naik searah dengan kenaikan peubah bebas weight.

62

Goodness-of-Fit TestsMethod Chi-Square DF PPearson 40.5980 47 0.733Deviance 51.0291 47 0.318Hosmer-Lemeshow 5.8452 8 0.665

Table of Observed and Expected Frequencies:(See Hosmer-Lemeshow Test for the Pearson Chi-Square Statistic) GroupValue 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TotalLow Obs 4 5 7 9 8 7 11 8 9 2 70 Exp 4.5 5.7 6.9 7.3 6.9 8.9 11.8 7.9 8.3 1.9High Obs 5 4 3 1 1 4 3 1 0 0 22 Exp 4.5 3.3 3.1 2.7 2.1 2.1 2.2 1.1 0.7 0.1Total 9 9 10 10 9 11 14 9 9 2 92

Measures of Association:(Between the Response Variable and Predicted Probabilities)

Pairs Number Percent Summary MeasuresConcordant 1046 67.9 Somers' D 0.38Discordant 462 30.0 Goodman-Kruskal Gamma 0.39Ties 32 2.1 Kendall's Tau-a 0.14Total 1540 100.0

Jadi fungsi linear dari peubah penjelas kasus diatas adalah g(x) = -1.2011 - 0.7038X1 + 0.015085X2 ; sehingga model peluang regresi probit dengan 2 faktor (peubah penjelas) adalah :

( )( )( )

∫∞−

−==

xg s

dsexgF 21

2

2

1

ππ

Kesimpulan :Regresi Logit dan probit digunakan untuk mengetahui hubungan antara peubah

respon berskala biner (dicotomous/binary) dengan beberapa peubah penjelas yang bersifat kategorik atau kontinu. Model logit dan model probit merupakan dua model regresi yang saling dapat menggantikan satu dengan yang lain. Oleh karena itu sering hanya dibuat salah satu model tanpa mempertimbangkan model lain yang mungkin akan menghasilkan model yang lebih sesuai.

10 ANALISIS MULTIVARIATE

10.1 ANALISIS KOMPONEN UTAMATelah dibahas pada bagian multikolinearitas

10.2 ANALISIS KORESPONDENSIDigunakan jika kita ingin melihat hubungan antar peubah kategorik secara

visual dimensi ganda. Korespondensi digunakan untuk menggambarkan sebuah tabel Kontingensi. Analisis korespondensi dibagi 2 yaitu analisis korespondensi sederhana dan berganda.

10.2.1 Analisis korespondensi sederhanaDigunakan bila hanya 2 peubah kategorik yang ingin dilihat hubungannya.

Contoh:Seorang peneliti ingin mengetahui bagaimana hubungan suatu disiplin ilmu atau akademik dengan beberapa kategori latar belakang keuangan yaitu A sampai E. Didapatkan hasil sebagai berikut:

A B C D E Akademik Fund

3 19 39 14 10 Geologi A

1 2 13 1 12 biokimia B

6 25 49 21 29 kimia C

3 15 41 35 26 zoologi D

10 22 47 9 26 fisika E

3 11 25 15 34 teknik

1 6 14 5 11 mikrobiologi

0 12 34 17 23 biologi

2 5 11 4 7 statistik

2 11 37 8 20 matematika

Tahapan menggunakan menu MINITAB: Klik Stat > Multivariate > Simples Correspondence Analysis Input Data : pilih Columns of a Contingency Table isi dengan

data A-E (C1-C5) Rownames : isi dengan Akademik Colomn name : isi dengan Fund Klik Graph : klik Symmetric plot showing rows and columns. klik Results: klik Contingency Table

63

Output :

64

Simple Correspondence Analysis: CT1, CT2, CT3, CT4, CT5

Contingency Table

A B C D E TotalGeology 3 19 39 14 10 85Biochemistry 1 2 13 1 12 29Chemistry 6 25 49 21 29 130Zoology 3 15 41 35 26 120Physics 10 22 47 9 26 114Engineering 3 11 25 15 34 88Microbiology 1 6 14 5 11 37Botany 0 12 34 17 23 86Statistics 2 5 11 4 7 29Mathematics 2 11 37 8 20 78Total 31 128 310 129 198 796

Analysis of Contingency Table

Axis Inertia Proportion Cumulative Histogram 1 0.0391 0.4720 0.4720 ****************************** 2 0.0304 0.3666 0.8385 *********************** 3 0.0109 0.1311 0.9697 ******** 4 0.0025 0.0303 1.0000 *Total 0.0829

Row Contributions

Component 1ID Name Qual Mass Inert Coord Corr Contr 1 Geology 0.916 0.107 0.137 -0.076 0.055 0.016 2 Biochemistry 0.881 0.036 0.119 -0.180 0.119 0.030 3 Chemistry 0.644 0.163 0.021 -0.038 0.134 0.006 4 Zoology 0.929 0.151 0.230 0.327 0.846 0.413 5 Physics 0.886 0.143 0.196 -0.316 0.880 0.365 6 Engineering 0.870 0.111 0.152 0.117 0.121 0.039 7 Microbiology 0.680 0.046 0.010 -0.013 0.009 0.000 8 Botany 0.654 0.108 0.067 0.179 0.625 0.088 9 Statistics 0.561 0.036 0.012 -0.125 0.554 0.01410 Mathematics 0.319 0.098 0.056 -0.107 0.240 0.029

Component 2ID Name Coord Corr Contr 1 Geology -0.303 0.861 0.322 2 Biochemistry 0.455 0.762 0.248 3 Chemistry -0.073 0.510 0.029 4 Zoology -0.102 0.083 0.052 5 Physics -0.027 0.006 0.003 6 Engineering 0.292 0.749 0.310 7 Microbiology 0.110 0.671 0.018 8 Botany 0.039 0.029 0.005 9 Statistics -0.014 0.007 0.00010 Mathematics 0.061 0.079 0.012

Component 1

Com

ponent

2

0.500.250.00-0.25-0.50

0.50

0.25

0.00

-0.25

-0.50

E

D

C

B

A

Mathematics

StatisticsBotany

Microbiology

Engineering

Physics

ZoologyChemistry

Biochemistry

Geology

Symmetric Plot

interpretasi :Dari output juga ditampilkan lagi table kontingensi pada data dia atas, pada

analisis table kontingensi terlihat dari tabel ukuran 10x5 diringkas menjadi 4 komponen. Output selanjutnya adalah Row Contributions yang memberikan interpretasi 2 komponen. Coord menunjukkan koordinat uatama dari baris. Corr menunjukkan kontribusi komponen pada inertia baris, dimana komponen 1 mampu merepresentasikan Zoology and Physics dengan baik. Contr menunjukkan kontribusi baris terhadap masing-masing sumbu, dimana Zoology and Physics mempunyai kontribusi tertinggi pada komponen 1.

Kecenderungan kedekatan antara peubah akademik dan fund dapat dilihat di symmetric plot diatas. Terlihat bahwa untuk akademik zoology cenderung berhubungan kuat dengan fund D serta engeenering sangat dekat kaitannya dengan fund E. Selanjutnya untuk peubah-peubah lainnya dapat dilihat sendiri kedekatannya.

10.2.2 Analisis korespondensi berganda

Digunakan bila lebih dari 2 peubah kategorik yang ingin dilihat hubungannya.Contoh: Seorang peneliti ingin mengetahui pola penggunaan telepon selular (HP) dikalangan mahasiswa dan damapknya terhadap biaya hidup dan Indeks Prestasi Kumulatif (IPK). Diperoleh data sebagai berikut :

65

Column Contributions Component 1 Component 2ID Name Qual Mass Inert Coord Corr Contr Coord Corr Contr 1 A 0.587 0.039 0.187 -0.478 0.574 0.228 -0.072 0.013 0.007 2 B 0.816 0.161 0.110 -0.127 0.286 0.067 -0.173 0.531 0.159 3 C 0.465 0.389 0.094 -0.083 0.341 0.068 -0.050 0.124 0.032 4 D 0.968 0.162 0.347 0.390 0.859 0.632 -0.139 0.109 0.103 5 E 0.990 0.249 0.262 0.032 0.012 0.006 0.292 0.978 0.699

Peubah punya/Tidak HP memiliki dua kategori yaitu punya dan tidak. Misalkan kita beri kode 1 untuk punya dan 2 untuk tidak. Peubah SMS/minggu memiliki 3 kategori yaitu 0-5, 5-10, dan 10-15. Misalkan kita beri kode 1,2, dan 3 untuk ketiganya. Demikian juga dengan peubah biaya hidup perbulan dan IPK yang masing-amsing memilki 4 kategori dengan kode masing-masing 1,2,3 dan 4. Cara entry data kedalam MINITAB adalah sebagai berikut:

c1 c2 c3 c4 c5

1 3 4 2 punya

1 2 3 3 tidak

2 1 2 3 0-5

1 3 3 1 10-15

1 2 2 3 15-20

2 2 2 4 <Rp 250.000

2 1 1 3 Rp 250.000-Rp 500.000

2 2 3 2 Rp 500.000-Rp 1.000.000

1 3 4 4 > Rp 1.000.000

2 1 3 3 < 2.00

1 3 4 1 2.00-2.50

1 2 3 3 2.50-3.00

1 2 3 3 > 3.00

1 3 3 3

1 2 4 2

1 2 3 4

2 1 2 3

1 3 4 3

1 3 3 4

2 2 3 4

Tahapan menggunakan menu MINITAB Klik Stat > Multivariate > Multiple Correspondence Analysis Categorical Variables : isi dengan C1, C2, C3, dan C4. Category Names : isi dengan C5. Number of Components : isi dengan angka 2 Klik Graphs : pilih Display Colomn Plot

output :

66

Multiple Correspondence Analysis: C1, C2, C3, C4

Analysis of Indicator Matrix

Axis Inertia Proportion Cumulative Histogram 1 0.6657 0.2959 0.2959 ****************************** 2 0.3912 0.1738 0.4697 ***************** 3 0.3016 0.1340 0.6038 ************* 4 0.2538 0.1128 0.7166 *********** 5 0.2319 0.1031 0.8196 ********** 6 0.1834 0.0815 0.9011 ******** 7 0.1314 0.0584 0.9595 ***** 8 0.0592 0.0263 0.9858 ** 9 0.0319 0.0142 1.0000 *Total 2.2500

Column Contributions

Component 1

Com

ponent

2

1.51.00.50.0-0.5-1.0-1.5-2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

> 3.00

2.50-3.00

2.00-2.50

< 2.00

> Rp 1.000.000

Rp 500.000-Rp 1.000.000

Rp 250.000-Rp 500.000

<Rp 250.000

10-15

5-10

0-5

tidak punya

Column Plot

interpretasi :Terlihat bahwa mahasiswa yang ber-SMS 10-15 kali/minggu cenderung memilki pengeluaran diatas Rp. 1.000.000 dan ber-IPK kurang dari 2.00. Lalu Mahasiswa yang punya HP cenderung ber-IPK 2.00-2.50. Dan selanjutnya untuk peubah-peubah lainnya dapat dilihat sendiri kedekatannya.

67

Component 1ID Name Qual Mass Inert Coord Corr Contr 1 punya 0.653 0.163 0.039 0.593 0.653 0.086 2 tidak 0.653 0.088 0.072 -1.101 0.653 0.159 3 0-5 0.869 0.050 0.089 -1.617 0.654 0.196 4 5-10 0.694 0.113 0.061 -0.041 0.001 0.000 5 10-15 0.744 0.088 0.072 0.977 0.514 0.126 6 <Rp 250.000 0.416 0.013 0.106 -1.970 0.204 0.073 7 Rp 250.000-Rp 500.000 0.320 0.050 0.089 -1.127 0.318 0.095 8 Rp 500.000-Rp 1.000.000 0.291 0.125 0.056 0.101 0.010 0.002 9 > Rp 1.000.000 0.580 0.063 0.083 1.093 0.398 0.11210 < 2.00 0.388 0.025 0.100 1.303 0.189 0.06411 2.00-2.50 0.079 0.038 0.094 0.655 0.076 0.02412 2.50-3.00 0.351 0.125 0.056 -0.558 0.311 0.05813 > 3.00 0.255 0.063 0.083 0.202 0.014 0.004

Component 2ID Name Coord Corr Contr 1 punya 0.002 0.000 0.000 2 tidak -0.005 0.000 0.000 3 0-5 -0.927 0.215 0.110 4 5-10 0.920 0.693 0.243 5 10-15 -0.653 0.230 0.095 6 <Rp 250.000 -2.004 0.211 0.128 7 Rp 250.000-Rp 500.000 0.100 0.003 0.001 8 Rp 500.000-Rp 1.000.000 0.530 0.281 0.090 9 > Rp 1.000.000 -0.739 0.182 0.08710 < 2.00 -1.338 0.199 0.11411 2.00-2.50 0.141 0.004 0.00212 2.50-3.00 -0.200 0.040 0.01313 > 3.00 0.851 0.241 0.116

10.3 ANALISIS GEROMBOLAnalisis gerombol merupakan suatu metode dalam analisis peubah ganda yang

bertujuan untuk mengelompokkan n satuan pengamatan ke dalam k gerombol dengan k < n berdasarkan p peubah, sehingga unit-unit pengamatan dalam satu gerombol. mempunyai sifat-sifat yang lebih mirip dibandingkan dengan unit pengamatan lain yang terdapat dalam gerombol yang berbeda.

10.3.1 Konsep JarakPenggerombolan didasarkan pada ukuran jarak sebagai ukuran kemiripan antar

unit pengamatan (Duran & Odell, 1972). Konsep-konsep jarak yang digunakan dalam analisis gerombol adalah jarak euclid, jarak mahalanobis, jarak manhattan, jarak pearson, jarak kuasa dan jarak chebycev. Konsep jarak yang paling sering digunakan adalah euclid dan mahalanobis.

1.1.1.1 Jarak Euclideanjika antar peubah memiliki satuan yang sama dan tidak saling berkorelasi. Jika terdapat korelasi maka transformasi deagan menggunakan AKU. Tetapi menurut Cronbach & G Gleser dalam Hartigan, jarak euclid antara dua pengamatan dengan atau tanpa transformasi komponen utama akan sama bila seluruh komponen utama digunakan.

( ) 21

1

2

−= ∑

=

P

ijkikij YXd

Dimana Dij = jarak antara objek ke-i dengan objek ke-jXij = Nilai objek ke-i pada peubah kYjk = Nilai objek ke-j pada peubah kP = Banyaknya peubah yang diamati

1.1.1.2 Jarak MahalanobisDigunakan jika ada. korelasi antar peubah

( ) ( )jijiij XXsXXd −−= −1|

Dimana:dij = Jarak antara objek ke-i dengan objek ke-jXi = vektor-vektor nilai objek ke-iXj = vektor-vektor nilai objek ke-jS = Matriks ragam peragamJarak mahalanobis jarang digunakan karena tanpa informasi awal dari gerombol-gerombol yang ada nilai S, tidak dapat ditentukan. Jika situasi pengukuran yang digunakan antar peubah tidak sama, maka sebelum dilakukan penghitungan jarak perlu dilakukan transformasi kedalam bentuk baku (Z).

10.3.2 Metode Perbaikan JarakProses penggabungan dilakukan dengan. memperbaiki matriks jaraknya.

Beberapa metode perbaikan jarak yang dapat digunakan :Metode Pautan Tunggal (Single Linkage)

Pada metode ini jarak antara dua gerombol merupakan jarak terdekat antara pengamatan di dalam satu gerombol dengan pengamatan di dalam gerombol lainnya. Digunakan jika pengguna memperkirakan memiliki kelompok dengan jarak antar kelompoknya panjang. Metode ini merupakan metode yang paling sederhana diantara metode perbaikan jarak lainnya. Pada setiap tahap perbaikan jarak, setelah gerombol, misal U dan V digabungkan, jarak antara (UV) dan gerombol lainnya, misal W, adalah sebagai berikut: d(UV)W = min {dUW,dVW}

68

Nilai d(UV)W jarak terdekat antara anggota gerombol (UV) dan W.

a. Metode Pautan Lengkap (Complete Lingkage )Metode ini pada dasarya sama dengan metode pautan tunggal. Perbedaannya, pada metode ini jarak antara dua gerombol merupakan jarak terjauh antara pengamatan di dalam satu gerombol dengan pengamatan didalam gerombol lainnya. Pada metode pautan lengkap digunakan untuk kelompok yang padat dimana tidak ada dua objek yang berjauhan. Setelah gerombol U dan V digabungkan, jarak antara gerombol (UV) dan gerombol lain ditentukan sebagai berikut:

d(UV)W = max {dUW,dVW}Nilai d(UV)W jarak terjauh antara anggota gerombol (UV) dan W.

b. Metode Pautan Rataan (Average Lingkage)Metode ini mendefinisikan jarak antara dua gerombol merupakan rata-rata semua pasangan yang mungkin antar pengamatan dalam suatu gerombol dengan pengamatan di dalam gerombol lainnya. Pada metode pautan rataan, setelah gerombol U dan V digabungkan rata-rata jarak antara gerombol (UV) dan gerombol lain, misal W didefinisikan sebagai berikut:

( )( ) WUV

i kik

WUV NN

dd

∑∑=

Keterangan: dik = jarak antara objek ke-i pada gerombol (UV) dan objek ke-k

pada gerombol W N(UV) = jumlah pengamatan dalam gerombol (UV) NW = jumlah pengamatan dalam gerombol W

c. Metode CentroidDalam analisis statistika, nilai tengah seringkali menjadi statistik pemusatan gugus data. Baik uji-t maupun analisis ragam biasa digunakan untuk mengidentifikasi perbedaan antar kelompok, dengan menguji perbedaan nilai tengahnya. Konsep seperti ini sama dengan metode centroid yaitu penggabungan dua gerombol dilakukan dengan menggunakan dua gerombol yang paling dekat/mirip vektor nilai tengahnya (centroid). Persamaan untuk metode centroid, ditentukan sebagai berikut:

pqqp

pqr

qp

ppr

qp

ptr d

NN

Nd

NN

Nd

NN

Nd

++

++

+=

Dengan p dan q adalah gerombol baru yang digabungkan (dilambangkan dengan t) dan r adalah gerombol lainnya. dtr = jarak antara gerombol baru yang digabungkan (t) dan (r) dpr = jarak objek pada gerombol p dan objek pada gerombol r dqr = jarak objek pada gerombol q dan objek pada gerombol r dpq = jarak objek pada gerombol p dan objek pada gerombol q Np = Jumlah objek dalam gerombol p Nq = Jumlah objek dalam gerombol q

d. Metode WardMetode ini memperkenalkan suatu metode penggerombolan dengan tujuan menggabungkan dua gerombol yang meminimumkan total jumlah kuadrat galat dalam kelompok. Pada metode ini jarak antara dua gerombol merupakan kuadrat galat (JKG). Persamaan untuk metode Ward, ditentukan sebagai berikut:

∑ ∑∑= ==

−=

k

j

n

iij

j

n

iij

jj

Xn

XJKG1 11

2 1

Dengan: Xij = Nilai objek ke-i pada gerombol ke-j

69

k = jumlah gerombol pada setiap tahap nj = jumlah objek pada gerombol ke-j

X.3.3. Metode Penggerombolana. Penggerombolan Hirarki

Metode penggerombolan hirarki biasanya digunakan bila jumlah gerombol yang diinginkan sudah diketahui. Metode hirarki dibagi menjadi dua, yaitu yang bersifat mengelompokkan (agglomerative) dan yang bersifat memecah (divisive).

Metode hirarki yang bersifat agglomerative dimulai dengan mengasumsikan bahwa setiap objek merupakan satu gerombol. Jadi pada tahap awal, jumlah gerombol sama dengan jumlah objek. Setelah itu objek yang paling mirip atau dekat digabungkan menjadi satu gerombol. Proses ini berlanjut sampai semua objek bergabung menjadi satu gerombol. Untuk yang bersifat divisive prosesnya berlawanan dengan yang bersifat agglomerative. Pada tahap awal semua objek berada dalam satu gerombol. Setelah itu objek yang memiliki sifat paling beda atau tidak mirip dipisah membentuk satu gerombol yang lain. Proses ini berlanjut sampai semua objek masing-masing membentuk satu gerombol.

Dalam metode penggerombolan hirarki matriks jarak kemiripan hasil penggerombolan dapat disajikan dalam bentuk dendogram atau diagram pohon. Untuk menentukan banyaknya gerombol yang dibentuk dilakukan pemotongan gerombol pada selisih jarak penggabungan terbesar (Dunn & Everitt, 1982). Namun hal ini tidak mutlak. Pemotongan dendogram juga tergantung pada tujuan penggerombolan dan informasi awal mengenai data, sehingga menghasilkan gerombol-gerombol yang bermakna.

Algoritma standar yang bisa digunakan dalam penggerombolan (Johnson & Wichern, 1988) adalah:1. Menghitung ukuran kemiripan/ketakmiripan antara pasangan objek ke-i dan

ke-j yang disusun dalam bentuk matriks2. Gabungkan dua individu yang memiliki jarak terdekat menjadi gerombol.3. Memperbaharui matriks jarak antar gerombol dengan memakai salah satu

dari berbagai metode perbaikan jarak, setiap metode mempunyai kriteria pengoptimalan tertentu.

4. Mengulangi langkah 2 dan 3 sampai terbentuk hanya satu gerombol yang beranggotakan n individu.

Contoh:Sebuah perusahaan sereal melakukan identifikasi terhadap 12 merk sereal untuk sarapan yang selama ini dijual dengan tujuan akan mendapatkan kelompok-kelompok sereal dengan karakteristik kandungan nutrisi yang mirip, diperoleh data sebagai berikut :

Merek Protein Karbohidrat Lemak Kalori VitaminA

Life 6 19 1 110 0

Grape Nuts 3 23 0 100 25

Super Sugar Crisp 2 26 0 110 25

Special K 6 21 0 110 25

Rice Krispies 2 25 0 110 25

Raisin Bran 3 28 1 120 25

Product 19 2 24 0 110 100

Wheaties 3 23 1 110 25

Total 3 23 1 110 100

Puffed Rice 1 13 0 50 0

Sugar Corn Pops 1 26 0 110 25

Sugar Smacks 2 25 0 110 25

Tahapan menggunakan MINITAB : Klik Stat > Multivariate > Cluster Observations

70

Variables or distance matrix : isi dengan kolom yang diisi data numerik di atas atau karakteristik yang diamati

Linkage Method : pilih Complete Distance Measure : pilih Euclidean Checklist Standardize Variables, karena satuan pengukuran variabel berbeda

sehingga perlu distandarisasi. Number of Clusters : 1(default) Checklist Show Dendogram, untuk menampilkan dendogram

output :

71

Cluster Analysis of Observations: Protein, Carbo, Fat, Calories, VitaminA

Standardized Variables, Euclidean Distance, Complete LinkageAmalgamation Steps

Number Number of obs. of Similarity Distance Clusters New in newStep clusters level level joined cluster cluster 1 11 100.000 0.00000 5 12 5 2 2 10 95.784 0.25289 3 5 3 3 3 9 89.009 0.65935 3 11 3 4 4 8 76.943 1.38316 6 8 6 2 5 7 74.321 1.54046 2 3 2 5 6 6 64.404 2.13535 7 9 7 2 7 5 62.837 2.22937 1 4 1 2 8 4 55.956 2.64215 2 6 2 7 9 3 43.502 3.38929 2 7 2 9 10 2 23.455 4.59184 1 2 1 11 11 1 0.000 5.99891 1 10 1 12

Final PartitionNumber of clusters: 1 Within Average Maximum cluster distance distance Number of sum of from from observations squares centroid centroidCluster1 12 55 1.92217 4.31911

Observations

Sim

ilarity

109786111253241

0.00

33.33

66.67

100.00

Dendrogram with Complete Linkage and Euclidean Distance

Pemotongan dendogram terserah dari tujuan kita, yang penting pemotongannya bermakna. Kalau belum ada gambaran berapa gerombol yang akan dibentuk bisa dengan melihat distance level, pemotongan dilakukan pada selisih 2 distance level yang terbesar. Dari output diatas dengan melihat distance level pemotongan dilakukan pada 2 cluster.

Ulangi tahapan cluster diatas : Number of Clusters : 2 Klik storage : pada cluster memebrship column isi dengan kolom yang

kosong (C7), sebagai petunjuk observasi masuk ke gerombol 1 atau 2 agar mempermudah interpretasi.

output :

72

Cluster Analysis of Observations: Protein, Carbo, Fat, Calories, VitaminA

Standardized Variables, Euclidean Distance, Complete LinkageAmalgamation Steps

Number Number of obs. of Similarity Distance Clusters New in newStep clusters level level joined cluster cluster 1 11 100.000 0.00000 5 12 5 2 2 10 95.784 0.25289 3 5 3 3 3 9 89.009 0.65935 3 11 3 4 4 8 76.943 1.38316 6 8 6 2 5 7 74.321 1.54046 2 3 2 5 6 6 64.404 2.13535 7 9 7 2 7 5 62.837 2.22937 1 4 1 2 8 4 55.956 2.64215 2 6 2 7 9 3 43.502 3.38929 2 7 2 9 10 2 23.455 4.59184 1 2 1 11 11 1 0.000 5.99891 1 10 1 12

Final PartitionNumber of clusters: 2

Within Average Maximum cluster distance distance Number of sum of from from observations squares centroid centroidCluster1 11 34.6494 1.67541 2.79204Cluster2 1 0.0000 0.00000 0.00000

Cluster Centroids

Variable Cluster1 Cluster2 Grand centroidProtein 0.101487 -1.11636 0.0000000Carbo 0.229900 -2.52890 0.0000000Fat 0.061546 -0.67700 0.0000000Calories 0.280306 -3.08337 -0.0000000VitaminA 0.093048 -1.02353 -0.0000000

Distances Between Cluster Centroids

Cluster1 Cluster2Cluster1 0.00000 4.71175Cluster2 4.71175 0.00000

Interpretasi :Analisis cluster di atas menggunakan variabel yang telah distandarkan, menggunakan konsep jarak Euclidean serta metode jarak complete. Dari output ditampilkan langkah-langkah penggabungan antar objek, kemudian dibentuk 2 cluster. Cluster pertama terdiri dari 11 objek serta cluster dua hanya terdiri 1 objek. Perbedaan karakteristik antara dua cluster tersebut dapat dilihat dari bagian cluster centroid. Dari bagian tersebut terlihat bahwa cluster dua mempunyai kandungan nustrisi, dalam hal ini kandungan protein, carbohidrat, lemak, kalori dan vitaminA yang lebih tinggi dari cluster dua.

Observations

Sim

ilarity

109786111253241

0.00

33.33

66.67

100.00

Dendrogram with Complete Linkage and Euclidean Distance

2. Penggerombolan Non HirarkiMetode non hirarki digunakan apabila jumlah satuan pengamatannya besar dan

jumlah gerombol yang diinginkan sudah diketahui sebelumnya. Metode yang paling sering dipakai adalah metode K-rataan. Algoritma K-rataan MacQueen (Johnson & Wichern, 1988) adalah:.1 Pembentukan k gerombol awal dan menentukan pusat gerombol awal..2 Membentuk gerombol sementara dengan menghitung jarak setiap objek ke pusat

gerombol dan mengelompokkan setiap objek ke dalam gerombol berdasarkan pusat gerombol terdekat atau jarak yang digunakan biasanya adalah jarak euclid.

.3 Setelah gerombol sementara terbentuk hitung rataan dan jumlah kuadrat tiap-tiap gerombol yang terbentuk. Nilai rataan ini merupakan pusat gerombol yang baru.

73

.4 Ulangi langkah 2 sampai jumlah kuadrat tiap gerombol sekecil mungkin dan tidak ada lagi perpindahan gerombol.

Contoh Non-HirarkiSeorang peneliti ingin mengelompokkan beruang hitam berdasarkan profil beruang menjadi 3 kategori ukuran, yakni :

Name Age Month Sex Head.L Head.W Neck.G Length Chest.G Weight Obs.No

Allen 19 7 1 10 5 15 45 23 65 1

Berta 19 7 2 11 6.5 20 47.5 24 70 1

Berta 20 8 2 12 6 17 57 27 74 2

Berta 23 11 2 12.5 5 20.5 59.5 38 142 3

Berta 29 5 2 12 6 18 62 31 121 4

Clyde 19 7 1 11 5.5 16 53 26 80 1

Clyde 20 8 1 12 5.5 17 56 30.5 108 2

Doc 55 7 1 16.5 9 28 67.5 45 344 1

Doc 67 7 1 16.5 9 27 78 49 371 2

Quincy 81 9 1 15.5 8 31 72 54 416 1

Kooch * 10 1 16 8 32 77 52 432 1

Charlie 115 7 1 17 10 31.5 72 49 348 1

Charlie 117 9 1 15.5 7.5 32 75 54.5 476 2

Charlie 124 4 1 17.5 8 32 75 55 478 3

Charlie 140 8 1 15 9 33 75 49 386 4

Geraldine 104 8 2 15.5 6.5 22 62 35 166 1

Fannie 100 4 2 13 7 21 70 41 220 1

Adam 70 9 1 15 6.5 28 78 45 334 2

Dieter 56 7 1 15 7.5 26.5 73.5 41 262 1

John 51 4 1 13.5 8 27 68.5 49 360 1

Palmer * 4 1 15.5 7 29.3 76 53 416 2

Xeronda 57 9 2 13.5 7 20 64 38 204 1

Clara 53 5 2 12.5 6 18 58 31 144 1

Abe * 6 1 12 8.3 18.5 60.3 32 122 1

Eugene 68 8 1 16 9 29 73 44 332 1

Floyd 8 8 1 9 4.5 13 37 19 34 1

Kim 44 8 2 12.5 4.5 10.5 63 32 140 1

Ichabod 32 8 1 14 5 21.5 67 37 180 1

Lorie 20 8 2 11.5 5 17.5 52 29 105 1

Mighty 32 8 1 13 8 21.5 59 33 166 1

Oliver 45 9 1 13.5 7 24 64 39 204 1

Oliver 56 8 1 14.5 7.5 26.5 66 40 250 2

Ness 9 9 2 9 4.5 12 36 19 26 1

Pete 21 9 1 13 6 19 59 30 120 1

Pete 21 9 1 13 6 19 59 30 114 2

Pete 30 9 1 13.5 6.5 23 66.5 38 210 3

Robert 177 9 1 16 9.5 30 72 48 436 1

Smokey 57 9 2 12.5 5 19 57.5 32 125 1

Smokey 67 7 2 12.5 6 19 57 34 152 2

Smokey 69 9 2 12.5 6.5 19.5 61 36 176 3

Tozia 81 9 2 13 5 20 61 33 132 1

Tozia 84 8 2 13.5 5 18.5 57 35 180 2

Unser 21 9 1 13 5 17 54 28 90 1

Unser 23 11 1 13 5.5 20.5 57.8 34.5 140 2

Viking 9 9 1 10 4 13 40 23 40 1

Walt 45 9 1 16 6 24 63 42 220 1

Xavier 9 9 1 10 4 13.5 43 23 46 1

Xavier 18 6 1 11 5 15 45 25 60 2

74

Yogi 33 9 1 13.5 6 22 66.5 34 154 1

Zelda 57 9 2 13 5.5 17.5 60.5 31 116 1

Tahapan menggunakan MINITAB : Klik Stat > Multivariate > Cluster K-Means Variables : isi dengan peubah 'head.l' sampai 'weight' Number of cluster : berapa banyak gerombol yang terbentuk tergantung

kepada peneliti. Pada kasus ini isi dengan angka 3 yang berarti akan terbentuk 3 gerombol

Checklist Standardize variables, karena setiap peubah belum tentu memiliki satuan yang sama

Klik Storage : Isi kotak Cluster membership column dengan kolom yang masih kosong (C12) sebagai petunjuk observasi masuk ke gerombol 1,2 atau 3.

output :

Perhatikan kolom C12! Observasi 1 termasuk gerombol 1, observasi 2 termasuk gerombol 1, observasi 3 termasuk observasi 2, dan seterusnya.

Interpretasi :

75

K-means Cluster Analysis: Head.L, Head.W, Neck.G, Length, Chest.G, Weight

Standardized Variables

Final PartitionNumber of clusters: 3 Within Average Maximum cluster distance distance Number of sum of from from observations squares centroid centroidCluster1 9 8.704 0.900 1.422Cluster2 26 29.498 0.982 1.887Cluster3 15 19.948 1.117 1.724

Cluster Centroids GrandVariable Cluster1 Cluster2 Cluster3 centroidHead.L -1.4801 -0.1316 1.1161 0.0000Head.W -1.0275 -0.3086 1.1515 -0.0000Neck.G -1.1194 -0.3650 1.3044 0.0000Length -1.6182 -0.0694 1.0911 -0.0000Chest.G -1.3333 -0.2557 1.2433 0.0000Weight -1.1092 -0.3945 1.3494 -0.0000

Distances Between Cluster Centroids

Cluster1 Cluster2 Cluster3Cluster1 0.0000 2.6411 6.1145Cluster2 2.6411 0.0000 3.6208Cluster3 6.1145 3.6208 0.0000

Analisis cluster di atas menggunakan variabel yang telah distandarkan, dengan tujuan membagi objek-objek diatas ke dalam 3 cluster. Cluster pertama terdiri dari 9 objek, cluster dua terdiri 26 objek serta cluster tiga terdiri 15 objek. Perbedaan karakteristik antara ketiga cluster tersebut dapat dilihat dari bagian cluster centroid. Dari bagian tersebut terlihat bahwa ke-50 beruang tersebut dikelompokkan berdasarkan ukuran tubuhnya, dimana beruang yang masuk kedalam cluster satu mempunyai ukuran tubuh yang kecil, kemudian cluster dua terdiri dari beruang dengan ukuran tubuh sedang serta beruang dengan ukuran tubuh besar akan masuk kedalam cluster tiga.

X.4 ANALISIS DISKRIMINAN

Analisis diskriminan adalah teknik statistika untuk mengelompokkan atau mengklasifikasikan suatu pengamatan atao observasi berdasar karakteristik observasi kedalam satu kelompok dari beberapa kelompok dari beberapa kelompok yang telah dilakukan sebelumnya.

Masalah yang sering dihadapai dalam multivariate adalah bagaimana mendapatkan faktor penentu yang membedakan populasi atau memperoleh kombinasi linear yang menunjukkan ukuran pembeda dalam nilai tengah populasi tersebut. Analisis ini merupakan suatu metode untuk menghasilkan pemisah yang terbaik antara berbagai macam kelompok. Analisis diskriminan pertama kali diperkenalkan oleh Sir Ronald Fisher dan merupakan teknik statistika yang paling sering dipakai untuk meneliti kumpulan-kumpulan dari suatu masalah.

Contoh : Dalam rangka mengatur penangkapan ikan salmon, sangat diinginkan bisa mengidentifikasi apakah ikan yang tertangkap berasal dari Alaska atau Kanada. Lima puluh ikan diambil dari setiap tempat, dan pertumbuhan diameternya diukur ketika ikan-ikan itu hidup di air tawar dan ketika hidup di air laut. Tujuannya adalah untuk mengetahui apakah ikan yang tertangkap di kemudian hari berasal dari Alaska atau dari Kanada (Minitab, Inc).

Langkah-langkah dalam Minitab : Buka worksheet EXH_MVAR.MTW. gunakan kolom SalmonOrigin,

Freshwater, dan Marine. Taruh pada C1,C2,dan C3. Klik Stat > Multivariate > Discriminant Analysis. Groups : isi dengan Salmon Origin. Predictors : isi dengan Freshwater dan Marine. Klik OK!!

Output :

76

Linear Discriminant Function for Groups

Alaska CanadaConstant -100.68 -95.14Freshwater 0.37 0.50Marine 0.38 0.33

Summary of Misclassified Observations

SquaredObservation True Group Pred Group Group Distance Probability 1** Alaska Canada Alaska 3.544 0.428 Canada 2.960 0.572 2** Alaska Canada Alaska 8.1131 0.019 Canada 0.2729 0.981 12** Alaska Canada Alaska 4.7470 0.118 Canada 0.7270 0.882 13** Alaska Canada Alaska 4.7470 0.118 Canada 0.7270 0.882 30** Alaska Canada Alaska 3.230 0.289 Canada 1.429 0.711 32** Alaska Canada Alaska 2.271 0.464 Canada 1.985 0.536 71** Canada Alaska Alaska 2.045 0.948 Canada 7.849 0.052

Discriminant Analysis: SalmonOrigin versus Freshwater, Marine

Linear Method for Response: SalmonOriginPredictors: Freshwater, Marine

Group Alaska CanadaCount 50 50

Summary of classification True GroupPut into Group Alaska CanadaAlaska 44 1Canada 6 49Total N 50 50N correct 44 49Proportion 0.880 0.980

N = 100 N Correct = 93 Proportion Correct = 0.930

Squared Distance Between Groups Alaska CanadaAlaska 0.00000 8.29187Canada 8.29187 0.00000

Interpretasi :Dari summary of classification, terlihat bahwa dasar pengelompokan telah mengelompokkan dengan benar sebesar 90.5%, sehingga disimpulkan pengelompokan yang dilakukan telah terandal. Pada square distance ... menampilkan ukuran antar group serta fungsi linear dari masing-masing group juga ditampilkan, misal fungsi linear untuk group Alaska adalah Alaska = -100.68 + 0.37*Freshwater + 0.38*Marine serta untuk group Canada diperoleh fungsi Canada = -95.14 + 0.50*Freshwater + 0.33*Marine. Output selanjutnya adalah ringkasan dari kesalahan dalam klasifikasi data asal, hal ini dilihat dari nilai probabilitinya dimana suatu pengamatan akan masuk pada group dengan nilai probability paling besar.

Kasus selanjutnya adalah apabila ada pengamatan baru sehingga diperlukan pendugaan pengamatan baru tersebut masuk ke group mana. Missal ada pengamatan baru dengan nilai pengamatan x1 =(103,405) serta x2 = (94,372).Langkah-langkah dalam Minitab :

Masukkan nilai pengamatan baru, misal pada C5(FW) dan C6(M) Ulangi langkah analisis diskriminan diatas Klik Options : Predict group membership for, isi dengan

variabel objek yang baru ( F dan M )

77

output :

Interpretasi :Dari output diatas kedua pengamatan baru tersebut akan masuk ke group alaska, hal ini bisa dilihat juga dari nilai probabilitynya.

X.5 ANALISIS BIPLOT

Analisis Biplot diperkenalkan oleh Gabriel pada tahun 1971. Pada dasarnya, analisis ini merupakan suatu alat statistika yang menyajikan posisi relatif n objek pengamatan dengan p peubah secara slinultan dalam dua dimensi. Dari analisis ini dapat dikaji hubungan antara pengamatan dan peubah. Selain itu juga menunjukkan hubungan antar peubah dan kesamaan antar pengamatan serta dapat dilihat juga penciri masing-masing objek.

Dengan menggunakan biplot akan diperoleh visualisasi dari segugus objek dan peubah dalam bentuk grafik bidang datar. Data yang digunakan dalam metode biplot dapat berupa data rataan atau data asli.

Biplot merupakan teknik statistika deskriptif dimensi ganda yang dapat disajikan secara visual dengan menyajikan secara simultan segugusan objek pengamatan dan peubah dalam suatu gugus pada suatu bidang datar sehingga ciri-ciri peubah dan objek pengamatan serta posisi relatif antar objek pengamatan dengan peubah dapat dianalisis (Jollife, 1986 & Rawlings, 1988). Dari tampilan biplot tersebut ada beberapa informasi yang dapat diperoleh, yaitu: 1. Kedekatan antar objek/kedekatan letak (posisi) dua buah objek

diinterpretasikan sebagai kemiripan sifat dua objek. Semakin dekat letak dua buah objek maka sifat yang, ditunjukkan oleh nilai-nilai peubahnya semakin mirip.

2. Panjang vektor peubah sebanding dengan keragaman peubah tersebut. Semakin panjang vektor peubah maka keragaman peubah tersebut semakin tinggi.

3. Nilai sudut antara dua vektor peubah menggambarkan korelasi kedua peubah. Semakin sempit sudut yang dibuat antara dua peubah maka semakin tinggi korelasinya. Jika sudut yang dibuat tegak lurus maka korelasi keduanya rendah. Sedangkan jika sudutnya tumpul (berlawanan arah) maka korelasinya negatif

4. Nilai peubah pada suatu objek dapat menginformasikan keunggulan dari setiap objek. Objek yang terletak searah dengan arah dari suatu peubah maka nilai peubah objek tersebut diatas nilai rata-rata, dan sebaliknya.

……………………………… (seperti output diatas) Prediction for Test Observations SquaredObservation Pred Group From Group Distance Probability 1 Alaska Alaska 0.586 0.907 Canada 5.130 0.093 2 Alaska Alaska 3.014 0.847 Canada 6.440 0.153

modul minitab

Documents