modul pd bab i

52
BAB I PERSAMAAN DIFFERENSIAL TINGKAT SATU DERAJAT SATU 1.1 Persamaan-persamaan Differensial Yang Mudah Bentuk umum : dy dx =φ ( x ) ; . . . . . . . . . . . . . (1) φ ( x)= fungsi dari x Dapat diubah menjadi : dy =φ ( x ) dx y= φ ( x) dx +C ; (C = konstanta integrasi) Atau : y=f ( x ) +C ; (adalah jawab umum dari persamaan differensial (1)). Contoh soal : 1. Tentukan jawab persamaan differensial : dy dx =2 x 3 +3 x+1 Jawab : dy dx =2 x 3 +3 x+1 . . . . . . . . . . . . . (1) boleh ditulis : dy =¿ (2 x 3 + 3 x+ 1 ¿ dx maka y=( 2 x¿¿ 3 +3 x +1) dx + C ¿ ¿ 2 3 x 3 + 3 2 x 2 + x+C 1

Upload: eskas

Post on 09-Aug-2015

70 views

Category:

Documents


4 download

DESCRIPTION

persamaan diffrensial R.h. riogilang

TRANSCRIPT

Page 1: Modul PD BAB I

BAB I

PERSAMAAN DIFFERENSIAL TINGKAT SATU DERAJAT SATU

1.1 Persamaan-persamaan Differensial Yang Mudah

Bentuk umum : dydx

=φ ( x ); . . . . . . . . . . . . . (1)

φ ( x )= fungsi dari x

Dapat diubah menjadi :

dy=φ ( x )dx

y=∫φ ( x )dx+C ; (C = konstanta integrasi)

Atau : y=f ( x )+C ; (adalah jawab umum dari persamaan differensial (1)).

Contoh soal :

1. Tentukan jawab persamaan differensial :

dydx

=2 x3+3 x+1

Jawab :

dydx

=2 x3+3 x+1 . . . . . . . . . . . . . (1)

boleh ditulis : dy=¿ (2 x3+3 x+1¿dx

maka y= ∫ (2 x¿¿3+3 x+1)dx+C ¿

¿23

x3+ 32

x2+x+C

∴ y ¿23

x3+ 32

x2+x+C (adalah jawab umum dari pers. diff (1) ).

2. Tentukan jawab persamaan differensial :

dydx

= 1

a2−x2

Jawab :

dydx

= 1

a2−x2. . .. . . .. . .(1)

1

Page 2: Modul PD BAB I

boleh ditulis : dy=¿ 1

a2−x2dx

maka y= ∫1

a2−x2x . . .. . . .. . .(2)

untuk menyelesaikan (2), integran dipisahkan sebagai berikut :

1

a2−x2= 1

(a+x )(a−x)= A

a+x+ B

a−x

¿A (a−x)

a+x+

B(a+x)a−x

→ 1≡ A (a−x )+B (a+x )

1 ≡ ( A+B ) a+( B−A ) x

⟶ ( A+B ) a=1 , B−A=0

A+B=1a

B=A⟶ A=B= 12 a

(2 )menjadi : y=∫ [ 12 a (a+ x )

+ 12a (a−x ) ]dx

¿ 12 a

ln (a+ x )− 12 a

ln (a−x )+C1

¿ 12 a

ln Ca+ xa−x

⟶¿

∴ jawab P.D. ; y = 1

2 alnC

a+xa−x

3. Tentukan jawab persamaan differensial :

dydx

=sin3 xcos x

Jawab :

dydx

=sin3 xcos x

Boleh ditulis : dy=sin3 x cos x dx

Maka y= ∫ sin3 xcos x dx+C

¿ ∫ sin3 x d sin x+C

2

Page 3: Modul PD BAB I

¿ 14

sin4 x+C

∴ jawab P.D. ; y = 14

sin4 x+C

1.2 Variabel – variabel Yang Dapat Dipisahkan

Bentuk umum: P (x, y)dx + Q (x, y)

Dapat dijadikan bentuk- bentuk:

1) M (x)dx + N (y)dy = 0 dan

∫M (x )dx +∫N ( y)dy = C

M(x) = suatu fungsi hanya dari x

N (y) = suatu fungsi hanya dari y

2) M(x) . R(y)dx + N(x) . S(y)dy = 0

Dibagi dengan R(y) . N(x)

Menjadi:

M (x)N (x )

dx+S ( y )R( y )

dy=0. dan

∫ M (x)N ( x)

dx+∫ S( y)R( y)

dy=C . atau

∫ S( y )R( y )

dy=−∫ M (x )N (x)

dx+C

M(x) & N(x) adalah fungsi-fungsi dari x

S(y) & R(y) adalah fungsi-fungsi dari y

Contoh soal:

Carilah jawab persamaan differensial:

1. ( x3+2 x ) dx+(3 y2+ y+1 ) dy=0

Jawab:

( x3+2 x ) dx+(3 y2+ y+1 ) dy=0, maka

3

Page 4: Modul PD BAB I

: (1 – x2)(4 + y2)

∫ ( x3+2 x ) dx+∫ ( 3 y2+ y+1 ) dy=C1

14

x4+x2+ y3+ 12

y2+ y=C1 atau

C=4 C1

x4+4 x2+4 y3+2 y2+4 y=C

2.dydx

=x2 y4

Jawab: dydx

=x2 y4

boleh ditulis : dy=x2 y4 dx

dipisahkan menjadi : dy

y4=x2dx , atau

dy

y4−x2dx=0

maka ∫ dy

y 4−∫ x2 dx=C1

−1

3 y3−1

3x2=C1 atau

−13 (x

3+1

y3 )=C1

C=−3 C1

Jawab : x3+ 1

y3=C

3.dydx

= 4 x+xy2

y−x2 y

Jawab : dydx

= 4 x+xy2

y−x2 y

boleh ditulis : (y – x2y)dy = (4x + xy2)dx

(y – x2y)dy - (4x + xy2)dx = 0

y(1 – x2)dy – x(4 + y2)dx = 0

y

4+ y2dy− x

1−x2dx=0

4

Page 5: Modul PD BAB I

maka ∫ y

4+ y2dy+∫ x

x2−1dx=C1

12

ln (y2+4 ¿+ 12

ln (x2−1¿=C1

C = ln e2C1

atau ( y2+4 ¿ (x2−1¿=C

4. (x2+4¿ dydx

=( y+2 ) ¿ )

Jawab :

(x2+4¿ dydx

=( y+2 ) ¿ )............................................... (1)

(x2+4¿ dydx

=( y+2 ) ¿ )dx

1y+2

dy= x+√ x2+4x2+4

dx

maka ∫ 1y+2

dy=∫ xx2+4

dx+∫ √ x2+4x2+4

dx+C1

atau ∫ 1y+2

dy=12∫ d (x2+4)

x2+4+¿∫ 1

√ x2+4dx+C1 ¿

ln ( y + 2 )= 12

ln ( x2+4 )+∫ 1

√x2+4dx+C1................................... (2)

untuk ∫ 1

√ x2+4dx=¿ mis: x = 2z

dx = 2 dz

∴∫ 1

√ x2+4dx=¿ ∫ 2dz

2√z2+1dz=ln ¿¿¿ )

= ln ¿¿ )

(2) menjadi ln ( y + 2 )= 12

ln ( x2+4 )+ln ¿¿ )+ ln C

y+2 = (√ x2+4¿¿¿ )C

y = 12

C(x √x2+4+x2+4¿−2

5

: (x2+4¿ ( y+2 )

Page 6: Modul PD BAB I

5. dydx

=cotg x tg y

Jawab; dydx

=cotg x tg y

dy=cotg x tg y dy

dy

tg y=cotg x dx

Maka ∫ dytg y

=∫ cotg x dx+C

ln sin y=ln sin x+ ln C

∴sin y=C sin x

6. Hitunglah : xdydx

+2 y2=2

Jawab: xdydx

+2 y2=2

xdydx

=2−2 y2

x dy=(2−2 y2 ) dx→

: x (2−2 y2)

dy

2−2 y2=dy

x

Maka 12∫

dy

1− y2=∫ dx

x+C

12

ln1+ y1− y

+ ln C=2 ln x (C=C2)

atau x4=C

1+ y1− y

1.3. Persamaan Differensial Homogen

Bentuk umum:P ( x , y ) dx+Q (x , y ) dy=0 . . .. . .(1)

6

Page 7: Modul PD BAB I

dinamakan Persamaan Differensial Homogen bila P(x , y) dan Q(x , y) homogen

dan berderajat sama. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan substitusi v=yx

atau

y=vx

dy=v dx+xdv

P ( x , y ) P ( x , vx )=xm(R (v ))

Hingga

Q ( x , y ) Q ( x , vx )=xm(S (v ))

(1) menjadi :

xm . R ( v )dx+xm S (v ) (v dx+x dv )=0

atau [ R (v )+v S ( v ) ]dx+S ( v ) x dv=0.

dxx

+S(v )

R (v )+v S(v )dv=C .

Maka ∫ dxx

+∫ S (v )R ( v )+v S (v )

dv=C . ( adalah P.D. variabel terpisah)

Contoh soal :

Carilah jawab Persamaan Deferensial :

1. dydx

=4 x2+3 y2

2xy

Jawab : dydx

=4 x2+3 y2

2 xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 1 )

Boleh ditulis : 2 xy dy=¿ ( 4 x2+3 y2 ) dx

(homogen dengan derajat 2).

( 4 x2+3 y2 ) dx−2xy dy=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( 2 )

Substitusikan v=yx

y=vx

dy=v dx+xdv

Pers. (2) menjadi

( 4 x2+3 v2 x2 ) dx−2vx2 (v dx+x dv )=0

( 4 x2+3 v2 x2−2v2 x2) dx−2vx2 dv=0

7

: x2

: xm

dipisahkan

Page 8: Modul PD BAB I

( 4+3 v2−2 v2 ) dx−2vx dv=0

Atau ¿

dxx

− 2 v

4+v2 dv=0

maka ∫ dxx

−∫ 2 dv2

v2+4=C1

ln x−ln ( v2+4 )=C1

ln x+ln C=ln (¿v2+4 )¿

C x=v2+4 tukar v=yx

∴C x= y2

x2 +4

C x2= y2+4 x2

2. dydx

= xe y / x+ yx

Jawab : dydx

= xe y / x+ yx

………….………………………...(1)

Boleh ditulis : x dy=( x e y / x+ y ) dx……………………(2)

(Homogen dengan derajat 1)

substitusi : v= yx

, y=vx

dy=v dx+xdv

Ke dalam (2) : x (v dx+ xdv )=( xe− v+vx ) dx

x (v dx+ xdv )−( xe− y+vx ) dx=0

( xv− xe−v−vx ) dx+x2dv=0

−x e−v dx+x2 dv=0

−1x

dx+ev dv=0

maka− ∫1x

dx+ ∫ ev dv=C1

8

: x (4+v¿¿2)¿

: x2 e−v

Page 9: Modul PD BAB I

−ln x+ev=C1

ev=ln x+C1

ln ev=ln ¿¿

v=ln ¿

∴ yx=ln ¿

y=x ln ¿¿

3. dydx

=√x2+ y2+ yx

Jawab:dydx

=√x2+ y2+ yx

Boleh ditulis : (√x2+ y2+ y )dx=x dy

(√x2+ y2+ y )dx−x dy=0

substitusi : v= yx

,atau y=vx

dy=v dx+xdv

Pers (2) menjadi :

(√x2+v2 x2+vx )dx−x (vdx+x dv)=0

(√x2+v2 x2+vx−vx )dx−x2dv=0

¿

1x

dx− 1

√1+v2dv=0

maka ∫1x

dx− ∫1

√1+v2dv=C1

ln x−ln ¿¿

ln (v+√v2+1 )=ln x+ ln C

v+√v2+1=C x

9

Page 10: Modul PD BAB I

ganti v= yx

maka :yx+√ y2

x2+1=Cx

yx+ 1

x√ y2+x2=Cx

y+√ x2+ y2=C x2

1.4 Persamaan Differensial Dengan Koefisien-Koefisien Linear

A. Bentuk Umum :

(ax+by+c ) dx+( px+qy+r ) dy=0 …… …………………… ..(1)

1) Bila c = 0 , r = 0, maka (1) menjadi:

(ax+by+c ) dx+( px+qy+r ) dy=0 adalah Persamaan Differensial Homogen

dengan substitusi

t= yx

2) Bila ( px+qy )=k (ax+by ) ; ( k = bil.konstanta) maka (1) menjadi:

(ax+by+c ) dx+[k (ax+by )+r ]dy=0 ………… ..…………….(2)

Misalkan ax+by=z atau a dx+b dy=dz

(2) menjadi ( z+c ) dx+ (kz+r )( dz−a dxb )=0 atau

(z+c− kaz+rab )dx+ kz+r

bdz=0 ( adalah P.D variabel-variabel terpisah).

3) Bila ap

≠bq

, c ≠0 ,r ≠ 0

I. Dengan menggunakan variable baru.

ax+by+c=u dengan |a bp q|≠ 0

px+qy+r=v

Dan didapat : a dx+b dy=du

p dx+qdy=dv

10

Page 11: Modul PD BAB I

Maka dx=|du bdv q||a bp q|

= q du−b dv

aq−bp

dy = |a dup dv||a bp q|

=a dv−p duaq−bp

Masukkan harga-harga dx dan dy ke dalam persamaan (2), didapat persamaan

differensial homogen.

(qu−pv )du+ (av+bu ) dv=0 , substitusi z=uv

.

II. Dengan mengambil bentuk-bentuk.

ax+by+c=0

px+qy+r=0 adalah persamaan 2 garis yang berpotongan.

Misalkan titik potong kedua garis itu (x1,y1), dengan substitusi :

X= x-x1 atau x = X+ x1 ; dx= dX

Y = y-y1 atau y = Y + y1 ; dy = dY

ke dalam persamaan (1) didapat:

(aX+bY)dX +(pX+qY)dY = 0. (adalah persamaan differensial homogen,

dengan substitusi v=YX

).

Contoh Soal :

Hitunglah jawab Persamaan Differensial.

1. (x+y+1)dx + (2x+2y+1) dy = 0

Jawab:

(x+y+1)dx + (2x+2y+1) dy = 0 ………………………………..(1)

Ternyata : 2x+2y= 2(x+y) ; (dalam hal ini k = 2)

(1) Boleh ditulis

(x+y+1)dx + [2(x+y)+1] dy = 0 ……………………………..(2)

Misalkan : x+y = z dx+dy=dz

dy= dz – dx

11

Page 12: Modul PD BAB I

persamaan (2) menjadi:

(z+1)dx + (2z+1)(dz-dx) = 0

(z+1-2z-1)dx + (2z+1)dz =0

-z dx+(2z+1)dz = 0

: z

-dx +2 z+1

zdz=0

-dx +(2+1z¿dz = 0

Maka −∫dx+∫(2+¿ 1z)dz=C ¿

−x+2 z+ ln z=C ganti z=x+ y

−x+2 x+2 y+ln ( x+ y )=C

x+2 y+ ln ( x+ y )=¿C

2. (x + 2y – 1 ) dx + (2x – y – 7 ) dy = 0

jawab :

a. (x + 2y – 1 ) dx + (2x – y – 7 ) dy = 0……………………………..(1)

mis : x + 2y – 1 = u dx + 2 dy = du

maka

2x – y – 7 = v 2 dx – dy = dv

dx = |du +2dv −1||1 22 −1|

= −du−2 dv

−1−4 =

du+2 dv5

dy = |1 du2 dv|

|1 22 −1|

= dv−2 du

−5 =

2 du−dv5

harga – harga dx dan dy dimasukan kedalam persamaan (1)

u ( du+2 dv5 )+v ( 2 du−dv

5 )=0

x 5

12

Page 13: Modul PD BAB I

u (du+2dv )+v (2 du−dv )=0

(u+2v )du+ (2u−v ) dv=0………………………… (2)

( P.D Homogen )

subtitusi : u=v . z

maka du=v dz+z dv .

(2) menjadi

( vz+2v ) ( v dz+z dv )+(2 vz−v ) dv=0

( v2 z+2 v2 ) dz+( v z2+2 vz+2 vz−v ) dv=0

v2 ( z+2 ) dz+v ( z2+4 z−1 ) dv=0

: v2 ( z2+4 z−1 )z+2

z2+4 z−1dz+ dv

v=0

maka ∫ z+2

z2+4 z−1dz+∫ dv

v=C1

12∫ d ( z2+4 z )

z2+4 z−1+∫ dv

v=C1

12

ln ( z2+4 z−1 )+ln v=C1

ln ( z2+4 z−1 )+ln (v )2=2C1

z=uv

ln v2( u2

v2 +4uv−1)=2C1

ambil 2 C1 = ln C

u2+4 uv−v2 = C ganti harga – harga u dan v

( x+2 y−1 )2+4 (x+2 y−1 ) (2 x− y−7 )−(2 x− y−7 )2=C

( x2+4 y2+1+4 xy−2 x−4 y ) (8 x2−4 xy−28 x+16 xy−8 y2−56 y−8x+4 y+28 ) (−4 x2− y2−49+4 xy+28 x−14 y )=C1

5 x2+20 xy−5 y2−10 x−70 y−20=C1

x2+4 xy− y2−2 x−14 y=C (C=15

C1+4)13

Page 14: Modul PD BAB I

b. ( x+2 y−1 ) dx+ (2x− y−7 ) dy=0

Penyelesaian dengan cara II.

( x+2 y−1 ) dx+ (2x− y−7 ) dy=0………………………………………( 1 )

Ambil bentuk-bentuk :

x+2 y−1=0

2 x− y−7=0Pers. 2 garis yang berpotongan

Maka x=|1 27 −1||1 22 −1|

= −1−14−1−4

=3

y=|1 12 7|

|1 22 −1|

=7−2−5

=−1

∴ titik potong kedua garis (3,-1)

Mis : X=x−3 x=X+3 dx=dX

Y= y+1 y=Y−1 dy=dY

Masukan dalam persamaan ( 1 )

( X+3+2Y −2−1 ) dX+(2 X+6−Y +1−7 ) dY=0

( X+2 Y ) dX+(2 X−Y ) dY=0

Adalah persamaan differensial homogen.

Subtitusikan y=vX .

Dan seterusnya.

Didapat jawaban : x2+4 xy− y2−2 x−14=0

1.5. Persamaan Differensial Exact

Bentuk umum :

P ( x , y ) dx+Q (x , y ) dy=0 . . .. . . . (1 )

Adalah persamaan differensial exact, bila ruas kiri adalah differensial dari f ( x , y )= 0

df ( x , y )=ϑfϑx

dx+ ϑfϑy

dy=0

14

Page 15: Modul PD BAB I

P=ϑfϑx

;Q= ϑfϑy

Maka ϑPϑy

= ϑ 2 fϑx ϑy

; ϑQϑx

= ϑ 2 fϑy ϑx

Bila persamaan (1) adalah P.D. exact, berlakulah : ϑPϑy

=¿ ϑQϑx

Sebaliknya : bila ϑPϑy

=¿ ϑQϑx

, maka P dx+Q dy=0 adalah P.D exact.

Contoh soal :

Hitunglah jawab dari Persamaan Differensial

1. (2 x+3 y )dx+(3 x+4 y )dy=0

Jawab :

(2 x+3 y )dx+(3 x+4 y )dy=0 .. . . .. . (1 )

P= (2 x+3 y );Q=(3 x+4 y )

Tinjau: ϑPϑy

=3 ; ϑQϑx

= 3. Ternyata ϑPϑy

=¿ ϑQϑx

Maka persamaan (1) adalah P.D exact

p=ϑfϑx

=(2 x+3 y ) ;Q=ϑfϑy

(3 x+4 y )

Tentu f ( x , y )¿∫ (2 x+3 y ) dx+C ( y )

¿ x2+3xy+C ( y )

Didapat ϑfϑy

= 3 x+C' ( y )≡ 3x+4 y

C ' ( y )=4 y

C ( y )=∫ 4 y dy=2 y2+C1

∴ Jawab: f ( x , y )=x2+3xy+2 y2=C

2. 2 xy dx+( x2+1 ) dy=0

Jawab :

15

Page 16: Modul PD BAB I

2 xy dx+( x2+1 ) dy=0 .. . . .. . (1 )

P=2 xy ; Q=x2+1

Tinjau :∂ P∂ y

=2 x ;∂ Q∂ x

=2x ternyata ∂ P∂ y

=∂ Q∂ x

=2 x

Maka pers. (1) adalah P.D. exact.

P= ∂ f∂ x

=2xy , Q= ∂ f∂ y

=x2+1

Tentu f ( x , y )=∫2 xy dx+C ( y )

¿ x2 y+C ( y )

Didapat :∂ f∂ y

=x2+C ' ( y )=x2+1.

C ' ( y )=1 C ( y )=∫ dy= y+C1

∴Jawab: f ( x , y )=x2 y+ y=C .

3. (2 x y2+2 x ye2 x+e2x y)dx+(2 x2 y+x e2 x ) dy=0

Jawab :

(2 x y2+2 x ye2 x+e2x y)dx+(2 x2 y+x e2 x ) dy=0 .. . . .. . (1 )

P=2 x y2+2 x ye2 x+e2 x y ; Q=2 x2 y+x e2 x

Tinjau :∂ P∂ y

=4 xy+2 x e2 x+e2 x ;

∂ Q∂ x

=4 xy+e2x+2 xe2 x

Ternyata ∂ P∂ y

=∂ Q∂ x

Ternyata pers. (1) adalah P.D. exact.

P= ∂ f∂ x

=2 xy , Q= ∂ f∂ y

=x2+1

Maka f ( x , y )=∫(4 xy+2 x e2 x+e2 x )dx+C ( y )

¿(x¿¿2 y2+x ye2x− ye2 x+ 12

ye2 x )+C ( y )¿

¿(x¿¿2 y2+x ye2x−12

ye2 x )+C ( y ) ¿

16

Page 17: Modul PD BAB I

Didapat : Q= ∂ f∂ y

=2 x2 y+xe2 x+C' ( y )−12

e2 x ≡ 2 x2 y+ xe2 x

C ' ( y )=12

e2 x C ( y )=1

2ye2 x+C1

∴Jawab: f ( x , y ) ¿ x2 y2+x ye2 x−12

ye2 x+ 12

ye2 x

¿ x2 y2+x ye2 x

¿C

1.6. Faktor Integrasi

Jika P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0……….(1)

tidak exact, maka kita selalu menjadikannya persamaan differensial exact, dengan

memperbanyak persamaan (1) dengan suatu fungsi u(x , y), sehingga:

u P dx + u Q dy = 0……….(2)

Adalah persamaan differensial exact dan berlakulah:

∂(u P)∂ y

= ∂(uQ)

∂ x atau

u ∂ P∂ y

+ P ∂u∂ y

= u ∂Q∂ x

+ Q ∂u∂ x

u (∂ P∂ y

- ∂ Q∂ x

) = Q ∂ u∂ x

- P

∂u∂ y

Dari persamaan ini harga u dapat dicari. Dan setelah harga u dimasukkan dalam

persamaan (2) terjadilah Persamaan Differensial Exact, dan dapat diselesaikan

seperti bab 1.5.

Contoh soal:

Carilah jawab Persamaan Defferensial:

1. (x+ y)dx + dy = 0 mempunyai factor integrasi hanya fungsi dari x.

Jawab:

(x+ y)dx + dy = 0 ……….(1)

faktor integrasi u = u(x);

maka ∂ u∂ x

+ d udx

, ∂u∂ y

= 0.

17

Page 18: Modul PD BAB I

hingga u(∂ P∂ y

- ∂ Q∂ x

) = Q ∂ u∂ x

- P ∂u∂ y

P = x+ y, Q = 1.

menjadi u(1-0) = 1. d udx

- 0

u = d udx

---- d uu

= dx

ln u = x = ln ex

∴u = ex

persamaan (1) dikalikan dengan ex

ex (x+ y)dx + ex dy = 0 ……….(2)

∴P’ = ex (x+ y) dan Q’ = ex

tinjau ∂ P '∂ y

= ex, ∂ Q'∂ x

= ex

∴ ∂ P'∂ y

= ∂ Q'∂ x

benar (2) sudah exact.

tentu ƒ (x , y) = ∫ ex dy+C (x ) .

= y ex + C(x)

didapat : P’ = ∂ f∂ x

= y ex + C’(x) ≡ x ex + y ex

maka C’(x) = xex

C(x) = ∫ x ex dx = ∫ xd ex

= x ex –ex + C

∴Jawab/pendapaatan P.D. (1)

ƒ (xy) = ex y + x ex- ex = C.

2. (xy 2 + y)dx + x dy = 0

Mempunyai factor integrasi hanya tergantung dari (xy).

Jawab: (xy2 + y)dx + x dy = 0 ……….(1)

factor integrasi fungsi dari xy atau u = u(z) = u(xy).

∴ ∂ u∂ x

= ∂ u∂ z

. ∂ z∂ x

= u’ (z) . y.

18

Page 19: Modul PD BAB I

∂u∂ y

= ∂ u∂ z

. ∂ z∂ y

= u’ (z) . x.

Maka: u(∂ P∂ y

- ∂ Q∂ x

) = Q ∂ u∂ x

- P ∂u∂ y

= Qy . u’ (z) – Px .u’ (z)

u' (z)u

= ∂ P∂ y

−∂ Q∂ x

Qy−Px =

(2 xy−1 )−1

xy−( x2 y+xy )

=2 xy

−x2 y2 = −2xy

= −2

z

∂ uu

= −2

z dz ln u = -2 ln z

= 1

z2 = 1

x2 y2

Persamaan (1) dikali 1

x2 y2

1

x2 y2 (xy 2 + y)dx + 1

x2 y2 x dy = 0. Atau ( 1x

+ 1

x2 y )dx +

1

x y2 dy = 0

ƒ = ∫( 1x¿

+1

x2 y)dx+C( y )¿

= ln x - 1xy

+ C(y).

∂ f∂ y

= 1

x y2 + C’(y) ≡ 1

x y2

C’(y) ≡ 1

x y2 -1

x y2 = 0

C’(y) ≡ C.

∴ƒ ≡ ln x - 1xy

= C. atau x y ln x – 1 =C x y.

3. (5x2y + y3)dx + (5xy2 + x3) dy = 0

Mempunyai faktor integrasi hanya tergantung dari x 2 + y 2.

Jawab: (5x2y + y3)dx + (5xy2 + x3) dy = 0 …(1)

19

Page 20: Modul PD BAB I

Faktor integrasi: u = u (z)

= u (x2 + y2)

∂ u∂ x

= ∂ u∂ z

. ∂ z∂ x

= u’ (z) . 2x.

∂u∂ y

= ∂ u∂ z

. ∂ z∂ y

= u’ (z) . 2y.

Maka u (∂ P∂ y

- ∂ Q∂ x

) = Q .u’(z). 2x – P .u’ (z) .2y atau

u' (z)u

= ∂ P∂ y

−∂Q∂ x

2 xQ−2 yP =

(5 x2+3 y2 ) – (5 y2+3 x2)(10 x2 y2+2x 4 ) – ¿¿

= 2 x2 – 2 y2

2 x4 – 2 y 4 = x2− y2

( x2+ y2 ) (x2− y2)

= 1

x2+ y2 = 1z

.

Maka ∂ uu

= 1z

dz; ln u = ln z

u = z = x2+ y2

persamaan (1) dikalikan dengan (x2+ y2¿.

¿¿ + y2 ¿ (5 x¿¿2 y+ y3)dx¿ + ¿ 5 x y3+x3 ¿dy = 0.

(5 x¿¿4 y+x2 y3+5 x2 y3+ y5)dx¿ + (5 x¿¿3 y2+5 x y4+x5+ x3 y2)dy ¿ = 0.

(5 x¿¿4 y+6 x2 y3+ y5)dx ¿ + (5 x y 4+6 x3 y2+x5)dy = 0.

ƒ (x , y) = ƒ (5 x¿¿4 y+6 x2 y3+ y5)dx ¿ + C(y)

= x5 y+2 x3 y3+ y5 x+C( y)

∂ƒ∂ y

= x5+6 x3 y2+5 y4 x+C' ( y ) ≡ 5 xy4+6 x3 y2+x5 ¿dx

C’(y) = 0 C(y) = C1

∴ ƒ (x , y) = x5 y+2 x3 y3+ y5 x=C

= xy ( x4+2 x2 y2+ y4 )=C . C=−C1

20

Page 21: Modul PD BAB I

∴ ƒ (x , y) = xy ¿

Pada penyelesaian soal-soal mengenai faktor integrasi ada 2 hal yang harus

diperhatikan.

a. Pada soa-soal mengenai factor integrasi telah dicantumkan / ditentukan

faktor-faktor integrasinya.

Misalnya : mempunyai faktor integrasi hanya fungsi dari x,

Mempunyai factor integrasi tergantung dari y, atau

u(y), u(x y ), u(x2+ y2¿, dan lain-lain.

b. Pada soal-soal mengenai faktor integrasi tidak dicantumkan mengenai

jenis dari factor integrasinya sehingga kita harus mencari sendiri, jenis

apa yang sesuai dengan soal tersebut.

Dalam hal (a), kita boleh langsung masukan jenis dari factor integrasinya ke dalam

persamaan.

u( ∂ P∂ y

−∂ Q∂ x )=Q

∂ u∂ x

−P∂u∂ y

Hingga harga diri factor integrasi u dapat diperoleh (seperti contoh soal 1, 2, 3).

Dalam hal (b) kita belum mempunyai rumus untuk langsung memperoleh jenis dan

harga faktor integrasi yang sesuai. Sungguhpun demikian kita bisa mencari jenis dan

harga dari factor integrasi dengan memperhatikan ketentuan yang tercantum di

bawah ini.

1) Bila faktor integrasinya hanya tergantung dari x maka :

u = u(x), ∂ u∂ x

= dudx

dan ∂u∂ y

= 0

maka rumus factor integrasiya menjadi :

u( ∂ P∂ y

−∂ Q∂ x )=Q

dudx

−0

atau duu

= ( ∂ P∂ y

−∂Q∂ x )

Qdx

sebaliknya bila suatu soal, harga dari

21

Page 22: Modul PD BAB I

( ∂ P∂ y

−∂Q∂ x )

Q terdapat fungsi, adalah fungsi dari x saja maka factor

integrasinya hanya funsi dari x

2) Bila faktor integrasinya hanya tergantung dari y maka

u = u(y), ∂ u∂ x

=0 dan ∂u∂ y

= dudy

maka rumus facktor integrasinya menjadi

u( ∂ P∂ y

−∂ Q∂ x )=¿ 0 - P

dudy

atau duu

= ( ∂ P∂ y

−∂Q∂ x )

−Pdy.

Sebaliknya bila suatu soal harga dari

( ∂ P∂ y

−∂Q∂ x )

−P terdapat fungsi adalah suatu fungsi dari y saja. Maka factor

integrasi hanya fungsi dari y.

3) Bila faktor integrasinya hanya tergantung dari (x±y).

Maka u = u(z) = (x±y).

∂ u∂ x

= ∂ u∂ z

.∂ z∂ x

= u'(z).dzdx

= u’(z)

∂u∂ y

= ∂ u∂ z

.∂ z∂ y

= u'(z).dzdy

= ± u’(z)

Maka rumus factor integrasi menjadi

u( ∂ P∂ y

−∂ Q∂ x )=¿ Q.u’(z) – P.u’(z)

= (Q±P). u’(z)

Atau duu

= ( ∂ P∂ y

−∂Q∂ x )

Q ± Pdz

Sebaliknya bila suatu soal harga dari

22

Page 23: Modul PD BAB I

( ∂ P∂ y

−∂Q∂ x )

Q ± P tedapat fungsi adalah suatu fungsi dari (x±y) saja maka factor

integrasi hanya tergantung dari (x±y).

4) Bila faktor integrasi hanya tergantung dari (x,y) atau u= u(z) = x(xy) maka

∂ u∂ x

= ∂ u∂ z

.∂ z∂ x

= u'(z).dzdx

= u’(z).y

∂u∂ y

= ∂ u∂ z

.∂ z∂ y

= u'(z).dzdy

= u’(z).x

Maka rumus factor integrasi menjadi

u( ∂ P∂ y

−∂Q∂ x ) = Q.y.u’(z) – P.x.u’(z)

= (Qy-Px)u’(z).

Maka u' (z)

u = ( ∂ P

∂ y−∂Q

∂ x )Qy−Px

jadikan fungsi dari z

Atau duu

= ( ∂ P∂ y

−∂Q∂ x )

Qy−Px dz

Sebaliknya bila suatu soal harga dari

( ∂ P∂ y

−∂Q∂ x )

Qy−Px terdapat fungsi, adalah sesuatu fungsi dari (x y) saja. Maka factor

integrasi hanya tergantung dari ( x y).

Bila faktor integrasi hanya tergantung dari ( x2+y2) atau u = u(z) = ( x2+y2)

maka

∂ u∂ x

= ∂ u∂ z

.∂ z∂ x

= u'(z).dzdx

= u’(z).2x

∂u∂ y

= ∂ u∂ z

.∂ z∂ y

= u'(z).dzdy

= u’(z).2y

Maka rumus factor integrasi menjadi :

u( ∂ P∂ y

−∂Q∂ x ) = Q. u’(z).2x – P.u’(z).2y

= (2x.Q-2y.P)u’(z).

23

Page 24: Modul PD BAB I

Atau u' (z)

u = ( ∂ P

∂ y−∂Q

∂ x )2 xQ−2 yP

jadikan fungsi z

duu

= ( ∂ P∂ y

−∂Q∂ x )

2 xQ−2 yP dz

Sebaliknya bila suatu soal harga dari

( ∂ P∂ y

−∂Q∂ x )

2 xQ−2 yP terdapat fungsi adalah suatu fungsi dari ( x2+y2) saja, maka

factor integrasi hanya tergantung dari ( x2+y2)

Berdasarkanrumus di atas ternyata yang memedakan factor integrasinya

tergantung dari :

( ∂ P∂ y

−∂Q∂ x ) ………………………………………..(1)

α dan β yang harus dicari demikian hingga (1) dapat membentuk sama

dengan salah satu dari ketentuan (rumus diatas).

Contoh soal :

Hitunglah factor integrasi dan jawaban dari P.D :

1. ( x3+x y4 ¿dx+2 y3 dy=Q

Jawab :

(x¿¿3+xy4)dx+2 y3 dy=¿¿ 0 ………………………………………(1)

∂ P∂ y

= xy4 , ∂ Q∂ x

= 0

∂ P∂ y

−∂ Q∂ x

= xy4

faktor integrasinya dapat ditentukan dari bentuk

( ∂ P∂ y

−∂Q∂ x )

αQ−βP = xy4

αQ−βP dengan memperhatikan hara dari P dan Q , α dan β

dapat ditentukn demikian hingga dapat memenuhi salah satu dari rumus

factor integrasi :

24

Page 25: Modul PD BAB I

Yaitu ( ∂ P∂ y

−∂Q∂ x )

Q =

xy 4

2 y3 = 2x ( α = 1, β = 0)

Maka duu

= ( ∂ P∂ y

−∂Q∂ x )

Q dx = 2xdx

Ln u = ∫2 xdx+C=x2=ln ex2

Faktor integrasinya u = ln e x2

( fungsi dari x).

Persamaan (1) dikalikan dengan ex2

ex2

(x¿¿3+xy4)dx+2 y3dy=¿¿ 0

Tinjau ∂ P '∂ y

= 4 xy3e x2

(exact)

∂ Q'∂ x

= 4 xy3e x2

maka f(x,y) = ∫ ex2

2 y3dy +C(x)

¿ 12

ex2

y4+C(x)

P’ = ∂ f∂ x

= xy4 ex2

+C(x) = x3 ex2

+xy4 ex2

C(x)= x3 ex2

C(x) = x3 ex2

dx = ∫ x3

2 x dex2

= 12∫ x2d ex2

Mis : z = x2

= 12

∫ zd ez = 12

( zez−ez) + C1

= 12

( x2 ex2

−ex2

¿ + C1

f(x,y) = 12

ex2

y4+ 12

ex2

( x2−1 )=C

= 12

ex2

( y4+x2−1 )=C

= y4+x2−1=C e− x2

25

Page 26: Modul PD BAB I

2. (y3−2 x2 y ¿dx+(2 xy2−x3 ) dy=0

Jawab :

(y3−2 x2 y ¿dx+(2 xy2−x3 ) dy=0 ………………(1)

∂ P∂ y

= 3y2 – 2x2

∂ Q∂ x

= 2 y2−3 x2

x2+ y2

Faktor integrasinya dapat ditentukan dari

∂ P∂ y

−∂ Q∂ x

αQ−βP = x2+ y2

αQ−βP

Dengan memperlihatkan harga P dan Q, αdan β ditentukan sedemikian hingga

memenuhi salah satu dari rumus faktor integrasi yaitu

∂ P∂ y

−∂ Q∂ x

αP−βQ= x2+ y2

yQ−xP =

x2+ y2

(2 xy3−x3 y )−(x y3−2 x3 y )

= x2+ y2

x y3+x3 y = x2+ y2

xy (x2+ y2) =

1xy

Maka duu

= ∂ P∂ y

−∂ Q∂ x

yQ−xP dz =

1z

dz ( z = xy)

Ln u = ln z u = z = (x,y)

∴Faktor integral adalah u = u (z) = u (xy) = xy.

( 1 ) dikalikan dengan u = xy.

xy ( y3 −¿ 2 x3 y ¿dx + xy (2xy2 −¿ x3¿dy = 0

f ( x , y ) = f (xy4 −¿ 2x2 y2 )dx + C(y)

= 12

x2 y 4 −¿ 12

x4 y4 + C(y)

∂ f∂ y

= 2x3 y3 −x4 + C '(y) = 2x2 y3−x4 y

C ' (y) = 0 C(y) = C1

26

Page 27: Modul PD BAB I

f (x , y ) = 14

x2 y 4 −¿ 12

x4 y3 = -c1

atau ≡ x2 y 4−x4 y2 = C.

3. ( 2 + 2 y3 )dx + ( 3xy2)dy = 0

Jawab :

( 2 + 2y3)dx + 3xy2 dy = 0

∂ P∂ y

−¿ ∂ Q∂ x

= 6y2 −¿ 3y3 3y2.

Faktor integrasinya dapat ditentukan dari :

∂ P∂ y

−∂ Q∂ x

αQ−βP = 3 y2

αQ−βP

Dengan memperhatikan harga P dan Q. α dan β dapat ditentukan sedemikian,

hingga memenuhi ialah satu rumus faktor integrasi.

Maka duu

= ∂ P∂ y

−∂ Q∂ x

Q dx =

1x

dx

Ln u = ln x u = x.

∴ Faktor integrasinya u = x.

Persamaan (1) dikalikan dengan u = x.

x ( 2 + 2y3)dx + x ( 3xy2 )dy = 0

∴ f (x,y) = ∫3 x2 y2 dy+C (x).

¿ x2 y3+C (x)

∂ f∂ x

= 2xy3 + C ' (x) = 2x + 2xy3

C '(x) = 2x

C '(x) = ∫2 x dx+C1

= x2 + C1

27

Page 28: Modul PD BAB I

∴ f (x,y) = x2y3 + x2 = C

¿ x2 ( y3 + 1) = C

4. ( 3xy + y2 )dx + ( 3xy + x2 )dy = 0

Jawab :

( 3xy + y2 )dx + ( 3xy + x2 ) dy = 0 ………………………(1)

∂ P∂ y

−¿ ∂ Q∂ x

= ( 3x + 2y ) – ( 3y + 2x ) = x – y

Faktor integrasinya dapat ditentukan dari

∂ P∂ y

−∂ Q∂ x

Q−P = x− y

¿¿ =

x− y

x2+ y2 = 1

x+ y

Maka :

duu

= ∂ P∂ y

−∂ Q∂ x

Q−P dz =

1z

dz. Atau ln u = ln z

u = z = x + y

(1) Dikalikan dengan ( x + y )

( x + y ) ( 3xy + y2 )dx + ( x + y ) ( 3xy + x2 )dy = 0

( 3x2y + 3xy2 + xy2 + y3 )dx + ( 3x2y + 3xy2 + x3 + x2y )dy = 0.

f = ∫¿¿x2y + 3xy2 + xy2 + y3 )dx + C(y).

x3y + 42

x2 y2 + xy3 + C (y).

∂ f∂ y

= x3 + 4x2y + 3xy2 + C '(y) = 4x2y + 3xy2 + x3

C ' (y) = 0 C(y) = C.

∴ f = ( x3y + 2x2y2 + xy3 = C

≡ xy ( x2 + 2xy + y2 ) = C.

atau ( x + y )2 xy = C.

5. ( 5x2y + 4x + y3 )dx + ( 5xy2 + 4y + x3 )dy = 0

28

Page 29: Modul PD BAB I

Jawab :

( 5x2y + 4x + y3 )dx + ( 5xy2 + 4y + x3 0dy = 0 …………..(1)

∂ P∂ y

−¿ ∂ Q∂ x

= ( 5x2 + 3y2 ) – ( 5y2 + 3x2 ) = 2 ( x2 – y2 )

Faktor integrasi ditentukan dari

∂ P∂ y

−∂ Q∂ x

αQ−βP Dengan memperlihatkan harga P dan Q. α dan β dapat ditentukan

sedemikian hingga memenuhi salah satu rumus dari faktor integrasi.

yaitu :

∂ P∂ y

−∂Q∂ x

2 xQ−2 yP = 2(x2− y2)

¿¿

= 2(x2− y2)2(x4− y4)

= x2− y2

( x2+ y2 ) (x2− y2) =

1

x2+ y2

Maka u' (z)

u =

∂ P∂ y

−∂Q∂ x

2 xQ−2 yP =

1

x2+ y2 , u = u (z) = u ( x2+ y2¿.

duu

= 12

dz u = u (x2+ y2¿.

∴ faktor integrasinya u = u (x2+ y2) = x2+ y2

Persamaan (1) dikalikan dengan ( x2+ y2¿.

( x2+ y2¿ ( 5x2y + 4x + y3 )dx + ( x2+ y2¿ ( 5xy2 + 4x + x3 )dy = 0

( 5x2y + 4x3 + x2y3 + 5x2y3 + 4xy2 + y5 )dx + 5 x3y2 + 4x2y + x4 + 5xy4 + 4y3 +

x3y2 ) dy = 0.

(5x4y + 6x2y3 + 4x3 + 4xy2 + y5 ) dx + ( 5xy4 + 6x3y2 + 4y3 + 4x2y + x3 )dy = 0

f (x,y) = f (5x4y + 6x2y3 + 4x3 + 4xy2 + y3)dx + C(y)

¿ x5y + 2x3y3 + x4 + 2x2y2 + xy3 + C(y)

∂ f∂ y

=¿ x5 + 6x3y2 + 4x2y + 5xy4 + C '( y)

¿ 5xy4 + 6x3y2 + 4y3 + 4x2y + x5 C ' ( y ) = 4y3

C (y) = y4 + C1

29

Page 30: Modul PD BAB I

∴ f (x , y ) = x5y + 2x3y3 + x4 + 2x2y2 + xy2 + y4 = C.

= xy ( x4 + 2x2y3 + y2 ) + (x4 + 2x3y2 + y4) = C

= (xy + 1 ) (x2 + y2 )2 = C

1.7 Persamaan Differensial Linear

Bentuk umum:

y '+P y=Q ……………………………… ……………………………………… (1)

P dan Q adalah fungsi-fungsi dari x.

Cara pemecahan:

I. Cara Bernaulli.

Misalkan y=u . v :u , vmasing-masing fungsi dari x

→ y '=u' . v+u . v'

Maka persamaan (1) menjadi:

u' . v+u . v '+P . uv=Q

v (u'+P . u )+u . v '=Q

Syarat ambil (u'+P .u )=0 atauu . v '=Q ………… ..(2)

Maka: u'u

=−P atau

dudxu

=−P

→duu

=−P dx;∫ duu

=−∫P dx

ln u=−P dx=ln e−∫ Pdx

∴u=e−∫ Pdx

(2) menjadi u v '=Q → e−∫ Pdx

. v '=Q

→ v '=Q .e−∫P dx

∴ v=∫e−∫ Pdx

.Q dx+C

y=u . v=e−∫ Pdx [∫e

−∫ Pdx. Q dx+C]

II. Cara Lagrange (merubah konstanta integrasi)

30

Page 31: Modul PD BAB I

dydx

+P y=Q …… ………………………………………… ………… (1 )

Ambil dydx

+P y=Q → dy=−P . y dx ataudyy

=−P dx

ln y=−∫ p dx+C1=ln e−∫Pdx+ln C

∴ y=C e−∫ P dx

→ pandang C sebagai fungsi x

→ y=C ( x ) e−∫ P dx…………………… ……………………………(2)

Maka ln y=−∫P dx+ lnC ( x )

Diff. ke x→1y

dydx

=−P+ 1C (x )

.d C(x )

dx

Maka dydx

= yC (x )

.d C( x)

dx−Py

dydx

+Py=C ( x ) . e

−∫Pdx

C (x ).

d C (x)dx

¿e−∫ Pdx

.d C (x)

dx≡Q

Di dapat : d C (x )

dx=e∫

PdxQ

Maka C ( x )=∫ e∫Pdx

. Q dx+D

(2) menjadi: y=e−∫P dx

.[∫ e∫Pdx

.Q dx+D ]

Contoh soal :

1.dxdy

− yx=x

Jawab :

dxdy

− yx=x ,(P=−1

x,Q=x)

Dengan rumus : y=e−∫P dx . [ e∫Pdx .Q dx+C ]

¿e−∫ 1

xdx

.[ e∫ 1x

dx

. x dx+C ]¿ x [∫ 1

x. x dx+C ]=x ( x+C )

∴ y=x2+Cx

31

Page 32: Modul PD BAB I

Dengan cara lagrange :

dxdy

− yx=x …………………… .. (1 )

ambil dxdy

− yx=0→

dyy

=dxx

,

didapat ln y=¿ ln x+ ln C ¿

atau y=Cx atau y=C ( x ) . x… …………… .. (2 )

pandang C sebagai fungsi dari x.

Maka : ln y=¿ ln x+ ln C ¿ (Diff. ke x)

1y

dydx

= 1C (x )

.dC ( x )

dx+ 1

x

→dydx

= yC ( x )

.dC ( x )

dx+ y

x

dydx

− yx=

C ( x ) . xC ( x )

.dC ( x )

dx≡ x

→ xdC ( x )

dx=x .maka d C ( x )=dx

C ( x )=x+C

2. y= (x+C ) . x=x2+Cx

y=x2+Cx (adalah kumpulan parabola yang melalui titik

pusat sumbu koordinat).

32

Page 33: Modul PD BAB I

Gambar 1

3. (sin2 x− y ) dx−tg x dy=0.

Jawab :

a. (sin2 x− y ) dx−tg x dy=0

Dapat ditulis (sin2 x− y ) dx=tg x dy

→dydx

= sin2 x− ytg x

= sin2 xtg x

− ytg x

∴ dydx

+ ytg x

=sin x cos x

(P= 1tg x

, Q=sin x cos x¿¿).y=e

−¿∫ P dx [∫e∫Pdx

.Qdx+C ]¿

¿e−∫ 1

tg xdx

. [∫e∫ 1

tg xdx

. sinx cos x dx+C ]∫ 1

tg xdx=∫ cos x

sin xdx= lnsin x

→ ∫ e−∫ 1

tg xdx=e−ln sin x

¿1

sin x

∴ y= 1sin x [∫ sin x , sin xcos x dx+C ]

¿1

sin x [∫ sin2 xd sin x+C ]

y=C

sin x+ 1

3sin2 x

Atau 3 y sin x=sin3 x+C .(C=3 C)

b. Dengan cara Lagrange

(sin2 x− y ) dx−tg x dy=0

Jawab :

33

Page 34: Modul PD BAB I

(sin2 x− y ) dx−tg x dy=0………………. (1)

(sin2 x− y ) dx=tg x dy .

dydx

= sin2 x− ytg x

= sin2 xtg x

− ytg x

atau dydx

+ ytg x

=sin x cos x

ambil : dydx

+ ytg x

=0 → dydx

=− ytg x

dyy

=−1tg x

dx

Maka ln y=−ln sin x+C ;C=ln C

¿ lnC(x )sin x

→ atau y=C (x)sin x

….(2)

ln y=ln C(x )−lnsin x

→1y

dydx

= 1C( x)

.dC (x)

dx− 1

tg x

. y

dydx

+ ytg x

= yC( x)

.d (Cx)

dx,( y=

C ( x )sin x

)

=C(x )sin x

.1

C (x).d C(x )

dx

¿ sin x cos x

→1

sin x.

dC (x)dx

=sin x cos x

d C (x )dx

=sin2 x cos x

C ( x )=∫sin2 x cos x dx+C

=13

sin2 x+C

(2) menjadi : y=

13

sin2 x+C

sin xatau3 y sin x=sin3 x+C

34

Page 35: Modul PD BAB I

1.8 Persamaan Bernaulli

Bentuk Umum:

y '+Py=Q yn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

P dan Q adalah fungsi-fungsi dari x ,n ≠ 0 , n ≠ 1.

Cara Pemecahan:

a. (1) dibagi dengan yn →y '

yn +P

yn−1 =Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

Misalkan z= y1−n →dzdx

=(1−n ) y−n dydx

Maka dydx

= 1(1−n )

yn dzdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)

(3) ke dalam (2) 1

(1−n ).

yn

yn

dzdx

+Pz=Q

Atau : dzdx

+(1−n ) Pz= (1−n ) Q

Adalah P.D. linier

Selanjutnya dengan cara Bernaulli dan Lagrange

b. y '+Py=Q yn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

Dengan memisalkan:

y=u . v (u , v=fungsi−fungsidari x)

→ y '=u' v+uv ' ;

(1) Menjadi : u' v+uv '+Puv=Q un vn

u ( v'+Pv )+u' v=Q un vn . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

Syarat ambil : v '+Pv=0 atau u' v=Q un vn

→∫ dvv

=−∫P dx

35

Page 36: Modul PD BAB I

ln v=ln e−∫ Pdx

∴ v=e−∫ Pdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)

(2 ) menjadi u' v=Q un vn atau u'

un =vn−1 Q

∫ du

un=∫ y n−1 Q dx

¿ 1(1−n )

u1−n=∫ e (1−n)∫ Pdx Q dx+C

atau u1−n=(1−n )∫ e(1−n )∫P dx

Q dx+C

sedang y=u . v→ y1−n=u1−n v1−n

Contoh Soal:

1. xdydx

+ y=x y3

Jawab : xdydx

+ y=x y3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

1

y3

dydx

+ 1

xy2=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(2)

(P= 1x

, Q=1)

Mis: z=1

y3 dzdx

=−2

y3

dydx

Atau 1

y3

dydx

=12

dzdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)

(3) Ke dalam (2) −12

dzdx

+ zx=1

36

→ y1−n=(1−n )e (n−1 )∫Pdx [∫ e(1−n)∫ Pdx

Q dx+C]

: x y3

Page 37: Modul PD BAB I

dzdx

−2 zx

=−2 (adalah P.D. Linier)

a. Dengan rumus

z=e−∫ Pdx [∫ e∫P dx .Q dx+C ]

∫P dx=∫ 2x

dx=2 ln x e+¿∫ Pdx=e ln x2

= x2

¿

e−¿∫Pdx=e lnx−2

= 1x2¿

z=x2[∫−2

x2dx+C]

¿ x2[∫−2x

+C]1

y2=2 x+C x2 atau y2 (2 x+C x2 )=1

b. Dengan lagrange

dzdx

−2 zx

=−2

Ambil : dzdx

−2 zx

=0dzdx

=2 zx

dzz

=2dxx

ln z=2 ln x+C1

ln z=lnC x2 z=C ( x ) . x2

Pandang C suatu fungsi dari x

Atau ln z=lnC ( x )+ ln x2

Diff. ke x

1z

dzdx

= 1C (x)

d C(x )dx

+ 2x

37

Page 38: Modul PD BAB I

dzdx

−2 zx

= zC (x)

.d C(x )

dx=

C (x )x2

C (x).d C (x)

dx

¿ x2 d C(x )dx

=−2

Maka d C ( x )=−2 dx

x2

C ( x )=2x+C2

∴ z=( 2x+C2) . x2= 1

y2(C2=C)

y2 (C x2+2 x )=1

Penyelesaian dengan cara II (Rumus)

xdydx

+ y=x y3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

Jawab : xdydx

+ y=x y3

Boleh ditulis dydx

+ yx= y3(P=1

x,Q=1 , n=3)

Rumus

y1−3=(1−3 ) .e(3−1)∫ 1

xdx[e

(1−3 )∫ 1x

dx.1dx+C ]

1

y2=−2. x2 .[∫ 1

x2dx+C ]

¿−2x2 .[−1x

+C] y2 (2x−2C x2 )=1

(C=−2c )

∴ y2 (2 x−2C x2)=1

2. x dy+ y dx=xy2 dx

Jawab :

x dy+ y dx=xy2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

38

y1−n=(1−n ) . e(n−1 )∫Pdx [e (1−n)∫ Pdx

. Q dx+C]

Page 39: Modul PD BAB I

: x dx

dydx

+ yx= y2(P=1

x,Q=1)

: y2

1

y2

dydx

+ 1x . y

=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2)

Misalkan y−1=z dzdx

= 1

y2

dydx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)

(3) Ke dalam (2) dzdx

+ zx=1atau

dzdx

− zx=−1

Didapat z=e−∫ Pdx [∫ e∫P dx .Q dx+C ] ∫P dx=−∫ 1

xdx=−ln x=ln

1x

∴ e−∫Pdx=e ln x=x , e∫ Pdx= 1x

∴ z=x .[∫ 1x

.−dx+C ]¿−x ln x+Cx

¿1y=−x ln x+Cx

maka pendapatan : y (– x ln x+Cx )=1

atau xy ln x+1=Cxy

penyelesaian dengan cara (II) atau rumus:

x dy+ y dx=x y2 dx

Jawab:

x dy+ y dx=x y2 dx

Atau dydx

+ yx= y2(P=1

x,Q=1 , n=2)

39

Page 40: Modul PD BAB I

Rumus : y1−n=(1−n ) . e(n−1 )∫Pdx [e (1−n)∫ Pdx

. Q dx+C]

y1−2=(1−2 ) . e(2−1)∫ 1

xdx[e

(1−2)∫ 1x

dx.1 dx+C ]

1y=−x (∫ 1

xdx+C )

¿−x ( ln x+C )

−xy (ln x+C )=1

xy ln x+1=C xy

3. xdydx

+ y=(x3+x ) y3

jawab : xdydx

+ y=( x3+ x ) y3

ataudydx

+ yx=( x2+1 ) y3

P=1x

, Q=x2+1 , n=3

Rumus:

∴ y1−3= (1−3 ) . e(3−1 )∫ 1

xdx[e

(1−3 )∫ 1x

dx.(x2+1)dx+C ]

1

y2=−2 e2 ln x [∫e−2 ln x . ( x2+1 ) dx+C ]

¿−2 x2 .[∫ 1

x2( x2+1 ) dx+C ]

¿−2x2(x−1x+C )

−1=2 y2 ( x3−x+C x2 )

y2 (2x+C x2−2 x3 )=1

40

C=−C

y1−n=(1−n ) . e(n−1 )∫Pdx [e (1−n)∫ Pdx

. Q dx+C]

(C=−2C)