Fyzikalnı praktikum FJFI CVUT v Praze

Uloha c. 2 : Merenı modulu pruznosti v tahua modulu pruznosti ve smyku

Jmeno: Ondrej TichacekDatum merenı: 7.12.2012

Pracovnı skupina: 6 Klasifikace:Kruh: ZS 6

Cast I

Modul pruznosti

1 Zadanı

1. Zmerte zavislost relativnıho delkoveho prodlouzenı ∆ll oceloveho dratu na napetı pri zatezovanı a od-

lehcovanı dratu a sestrojte graf teto zavislosti. Vypocıtejte metodou nejmensıch ctvercu modul pruznostiv tahu oceloveho dratu.

2. Zmerte zavislost pruhybu z na velikosti sıly F pri zatezovanı i odlehcovanı oceloveho nosnıku a narysujtegraf teto zavislosti. Metodou nejmensıch ctvercu vypocıtejte modul pruznosti v tahu. O zpusobu zpracovanıvysledku metodou nejmensıch ctvercu se doctete v prıloze dokumentu [1].

3. V prıprave odvod’te vzorec pro plosny moment setrvacnosti obdelnıkoveho prurezu sırky a a vysky b.

4. Zmerte zavislost uhlu zkroucenı ϕ oceloveho dratu na velikosti kroutıcıho momentu pri postupnem zvetsovanıa postupnem zmensovanı tohoto momentu. Vysledky merenı vyneste do grafu. Metodou nejmensıch ctvercuvypoctete modul pruznosti ve smyku G dratu.

5. Na torznım kyvadle zmerte moment setrvacnosti zakladnıho systemu I0 a modul pruznosti ve smyku Goceloveho dratu. Dobu torznıch kmitu zmerte postupnou metodou.

6. V prıprave odvod’te vzorce pro vypocet modulu pruznosti ve smyku G a momentu setrvacnosti zakladnıhosystemu torznıho kyvadla I0.

2 Vypracovanı

2.1 Pouzite prıstroje

Stojan s indikatorovymi hodinami a ocelovym dratem, zarızenı na merenı pruznosti v tahu z pruhybu nosnıku,zarızenı na merenı modulu pruznosti ve smyku z torze dratu statickou a dynamickou metodou, mikrometr,kontaktnı merıtko, stopky s pametı (mobilnı telefon), sada zavazı, vahy

2.2 Teoreticky uvod

Pruzne vlastnosti homogennıho izotropnıho telesa definujı pri malych deformacıch dve nezavisle materialovekonstanty, ktere muzeme libovolne zvolit napr. z nasledujıcıch trı – modul pruznosti v tahu (Younguv modul)E, Poissonovo cıslo µ nebo modul pruznosti ve smyku G. Ty si definujeme na dvou jednoduchych prıkladech.

1. Mejme hranol nebo valec o prurezu S a delce l. Jedna podstava je upevnena, ve smeru podelne osy pusobısıla F , ktera vyvola prodlouzenı delky l o ∆l. Mezi napetım F

S a deformacı (relativnım prodlouzenım) ∆ll

pak platı vztahF

S= E

∆l

l. (1)

Tento vztah se nazyva Hookuv zakon a definuje materialovou konstantu E – modul pruznosti v tahu(Younguv modul).

1

Protahujeme-li tento hranol v jednom smeru, pak ve smeru kolmem k protahovanı se jeho rozmery (napr.a, b pro hranol resp. r pro valec) zmensujı podle zakona

∆a

a=

∆b

b= µ

∆l

l, resp.

∆r

r= µ

∆l

l, (2)

kde µ je Poissonovo cıslo, ktere je opet materialovou konstantou a jeho hodnota lezı v intervalu⟨0, 1

2

⟩.

Hodnoty 12 nabyva pro nestlacitelne materialy.

Obrazek 1: Schema smyku [1]

2. Mejme krychli o hrane l. Dolnı podstava je upevnena, v hornı pusobı sıla F , ktera hornı podstavu posune odelku δ (viz obrazek 1). Puvodne pravy uhel se zmenı o γ. Mezi smykovym napetım a smykovou deformacıcharakterizovanou uhlem smyku γ platı vztah

F

S= G

δ

l, (3)

ktery muzeme pro male posunutı δ ( tan γ ≈ γ) napsat ve tvaru

F

S= Gγ. (4)

Tımto definujeme tretı materialovou konstantu G – modul pruznosti ve smyku.

Mezi temito materialovymi konstantami platı vztah

G =E

2(1 + µ). (5)

Vzhledem k pracovnım ukolum probereme ze slozitejsıch deformacı ohyb nosnıku a torzi valce.

2.2.1 Ohyb nosnıku

Mejme prımy nosnık delky l a libovolneho prurezu ohnuty podle obrazku 2. Chceme stanovit vztah mezi silamipusobıcı na nosnık, jeho rozmery a tvarem a materialovymi konstantami charakterizujıcımi pruzne vlastnostimaterialu.

Protoze vysledek nezavisı na tvaru, budeme uvazovat nosnık kruhoveho prurezu. Dale se omezıme na prıpad,kdy bude polomer prohnutı mnohem vetsı nez tloust’ka nosnıku.

Material na vnitrnı strane je stlacen, na vnejsı roztazen a uvnitr nosnıku je plocha, ktera nenı ani roztazenaani stlacena. Tuto plochu nazyvame neutralnı. Tato plocha prochazı ”tezistem”prurezu, jestlize se nosnık ne-protahuje nebo nestlacuje jako celek (cisty ohyb).

Predstavme si kratky prıcny usek nosnıku delky l (viz obrazek 3). Jeho deformace je znazornena na obrazku??

Deformace je umerna vzdalenosti od neutralnı plochy. Prodlouzenı ∆l je tedy umerne y (viz obrazek 3).Tato umernost se da popsat rovnicı

∆l

l=y

R, (6)

2

Obrazek 2: Ohyb nosnıku [1]

Obrazek 3: Neutralnı plocha, deformace nosnıku pri ohybu [1]

kde R je polomer ohybu nosnıku a y je vzdalenost od neutralnı plochy (kladna je-li popisovany bod nad neutralnıplochou, zaporna je-li pod nı – viz obr 3). Tedy napetı v nekterem malem pasu v blızkosti y je popsane vztahem

∆F

∆S= E

y

R. (7)

Uvazujeme-li sıly pusobıcı na libovolny prıcny prurez, pak na nej pusobı sıly namırene na jednu stranynad neutralnı plochou a na druhou stranu pod neutralnı plochou (obr. 3). Tato dvojice sil pusobı ohybovymmomentem. Celkovy moment M pusobıcı na jednom prıcnem prurezu S uvazovane casti nosnıku vypocıtamepodle vztahu

M =

∫SydF, (8)

coz podle rovnice 7 muzeme zapsat jako

M =E

R

∫Sy2dS (9)

Vyraz ∫y2dS (10)

nazyvame ”moment setrvacnosti”geometrickeho prıcneho prurezu vzhledem k vodorovne ose prochazejıcı jeho”tezistem”a dale jej budeme oznacovat pısmenem I. Dostavame tedy

M =EI

R(11)

Nynı vypocıtame pruhyb nosnıku, ktery je podepreny na britech ve vzdalenosti L (viz obr. 4)

3

Obrazek 4: Ohyb nosnıku podepreneho na britech [1]

Oznacıme si z pruhyb nosnıku v bode x. Krivost 1R libovolne krivky z(x) je dana vztahem

1

R=

d2zdx2[

1 +(

dzdx

)2] 32

. (12)

Protoze uvazujeme pouze male pruhyby, aproximujeme

1 +

(dz

dx

)2

≈ 1 (13)

a dostavame1

R=

d2z

dx2. (14)

Zanedbame-li vlastnı tıhu nosnıku, je ohybovy moment M(x) dan vztahem

M(x) =F

2

(L

2− x). (15)

Dosazenım za M(x) dostavamed2z

dx2=

F

2EI

(L

2− x). (16)

Resenım teto rovnice je (s pocatecnımi podmınkami: pro x = 0 je dzdx = 0 a pro x = L/2 je z = 0)

z(x) =F

2EI

(Lx2

4− x3

6

)− FL3

48EI. (17)

Pruhyb uprostred nosnıku, tj. pro x = 0 je tedy

z(0) = − FL3

48EI. (18)

Nynı odvodıme plosny moment setrvacnosti obdelnıkoveho prurezu sırky a a vysky b

I =

∫Sy2dS =

∫ b/2

−b/2ay2dy =

ab3

12(19)

4

Obrazek 5: Torze valce kruhoveho prurezu [1]

2.2.2 Torze valce kruhoveho prurezu

Mejme valec kruhoveho prurezu o delce L a polomeru R, jehoz hornı podstava je upevnena a spodnı je vucinı stocena o uhel ϕ (viz obrazek 5) Tato deformace se nazyva torze. Pro torzi definujeme velicinu α, ktera senazyva mırou torze a je to uhel stocenı dvou kolmych prurezu vzdalenych od sebe o jednotkovou delku. Platıtedy vztah

ϕ = Lα. (20)

Predstavme si elementarnı hranol vyrıznuty z valce o delce rdψ, sırce dr a vysce dl (viz obrazek 6). Tentohranol je pri torzi posunut, otocen a zdeformovan. Neuvazujeme-li posunutı a otocenı kolem podelne osy valce,prodela kazdy elementarnı hranol smyk. pro elementarnı hranol vzdaleny o r od osy valce je posunutı spodnıpodstavy vuci hornı

δ = rαdl (21)

a pro uhel smyku

γ =δ

dl= rα. (22)

Z Hookova zakona pro smyk dostaneme silove pusobenı vyvolavajıcı vyse popsanou deformaci. Uvazujmesmykove napetı τ pusobıcı na na podstave elementarnıho valce.

τ = Grα (23)

Prıspevek prıslusne sıly k vyslednemu silovemu momentu M je dan vyrazem

dM = rτdS, (24)

kde dS je plocha podstavy elementarnıho hranolu. Platı

dS = rdψdr. (25)

Vsechny tyto momenty majı smer osy valce, pro celkovy moment sil M vyvolavajıcı torzi valce charakterizovanouuhlem α platı vztah

M =

∫ 2π

0

∫ R

0

rτdψdr = Gα

∫ 2π

0

∫ R

0

r3dψdr = GαπR4

2(26)

Dosadıme-li z (20), prechazı tento vzorec na tvar

M = GπR4

2Lϕ = Kϕ, (27)

kde konstanta K se nazyva direkcnı moment.

5

Obrazek 6: Smyk elementarnıho hranolu vyrıznuteho z valce pri torzi [1]

2.3 Postup merenı

Pro vsechna merenı budeme potrebovat sadu zavazı. Nejdrıve tedy urcıme jejich presne hmotnosti.

2.3.1 Merenı modulu pruznosti v tahu E z prodlouzenı dratu

Modul pruznosti v tahu oceloveho dratu budeme merit z delkoveho prodlouzenı ∆l v zavislosti na napetı. Dratje napınan silou F realizovanou vahou zavazı, ktere je zavesene na jednom konci, druhy konec je upevnen.Drat nejdrıve vypneme zavazım o hmotnosti priblizne 1 kg. Pak zmerıme jeho delku a prumer. Vlastnı merenızavislosti (1) probıha nasledovne.

� Na indikatorove hodiny, ktere visı na konci lanka, zavesıme zavazı o zname hmotnosti. Pri zavesovanıdavame pozor, abychom nezatahli za drat vlastnı silou, mohlo bychom ovlivnit merenı (vzhledem k hys-terezi).

� Poklepeme na hodiny tak, aby se rucicka presunula na novou polohu (v hodinach pusobı velke vnitrnıtrenı).

� Odecteme hodnotu.

Cely postup opakujeme pro kazde nove pridane zavazı. Ve chvıli, kdy zavazı dojdou, zacneme je postupnesundavat a opet merıme vychylku na indikatorovych hodinach.

Prurez dratu se pri zatızenı menı, ovsem nemusıme ho brat v uvahu. Presnost naseho merenı prumeru (zjehoz hodnoty urcujeme prurez) je mensı, nez jeho zmena pri zatızenı a bez nej. Toto jsme experimentalne urcili.

2.3.2 Merenı modulu pruznosti v tahu E z pruhybu nosnıku

Nosnık – kovova tyc obdelnıkoveho prurezu je podeprena na dvou britech vzdalenych od sebe o delku L.Tuto delku zmerıme. Zaroven zmerıme rozmery obdelnıkoveho prurezu, tj. sırku a vysku. Zatızıme-li tuto tycuprostred silou F realizovanou opet zavazım, pak pruhyb tyce ve stredu je dan rovnicı (18).

Pruhyb nosnıku budeme merit mikroskopem s okularnım mikrometrem. Pruhyb o jeden dılek odpovıda0.0253 mm. Vzhledem k tomu, ze nosnık vibruje, ryska, kterou v mikroskopu pozorujeme, osciluje. Snazıme setedy odecıst strednı hodnotu.

6

Obrazek 7: Zarızenı pro merenı modulu pruznosti ve smyku statickou metodou [1]

2.3.3 Merenı modulu pruznosti ve smyku G torzı dratu statickou metodou

Modul pruznosti ve smyku dratu delky L a polomeru R stanovıme ze vztahu (27). Moment sil M , ktere torzivyvolavajı je indukovan zavazım, ktere zavesujeme na kladky, podle obrazku 7. Polomer kladky, ktera zpusobujetento moment je a, zavazı na jedne kladce m1, na druhe kladce m2. Moment tıhovych sil je tedy

M = (m1 +m2)ga, (28)

kde g je tıhove zrychlenı. Zavazı m1 a m2 volıme v ramci moznostı stejne velka.Uhel ϕ pro vzorec (27) merıme prımym odectenım ze stupnice uhlomeru.

2.3.4 Merenı modulu pruznosti ve smyku G torzı dratu dynamickou metodou

Na spodnı konec dratu delky L a polomeru R (tyto hodnoty zmerıme) je upevnena tyc, na kterou je moznepridavat do ruznych vzdalenostı zavazı valcoviteho tvaru. I moment setrvacnosti tyce a prıdavnych zavazı, I0moment setrvacnosti samotne tyce a ∆I moment setrvacnosti zavazı. Platı

I = I0 + ∆I (29)

Stocıme-li drav v rovine kolme k ose dratu, bude na tyc pusobit moment sıly M = Kϕ. Tento moment stacıtyc zpet do rovnovazne polohy. Vychylıme-li na pocatku tyc o urcity uhel, zacne se pohybovat podle pohyboverovnice

Id2ϕ

dt2= −Kϕ, kde K =

GπR4

2L. (30)

Tato rovnice ma obecne resenı ve tvaru

ϕ = A sin

(√K

It+ ϕ0

), (31)

kde A a ϕ0 jsou integracnı konstanty.My budeme ovsem merit pouze periodu kmitu, ktera je dana vztahem

T = 2π

√I

K(32)

Ze znalosti doby kmitu torznıho kyvadla tedy muzeme vypocıtat modul pruznosti ve smyku podle

G =8πLI

T 2R4(33)

7

Obrazek 8: Zarızenı pro merenı modulu pruznosti ve smyku dynamickou metodou [1]

Protoze nezname moment setrvacnosti samotne tyce, odvodıme vztah pro jeho urcenı z period kmitu tycesamotne a tyce s prıdavnym zavazım. Protoze platı

IiT 2i

= konst., (34)

kde index i reprezentuje stavy ruznym prıdavnym zavazım, mame

I0T 2

0

=I

T 2=I0 + ∆I

T 2. (35)

Celkove tedy

I0 = ∆IT 2

0

T 2 − T 20

. (36)

Moment setrvacnosti duteho valce vzhledem k ose prochazejıcı tezistem je

Iv =M

4(R2 + r2 +

h2

3), (37)

kde M je hmotnost, R a r vnejsı resp. vnitrnı polomer, h vyska valce.Pri vlastnım merenı budeme merit okamziky, kdy se bude ”cinka”resp. tycka na konci dratu nachazet ve

vyznacne poloze – v klidu.V nasem experimentalnım usporadanı vypocteme ∆I podle vztahu

∆I =M

2(R2

2 +R21 +

H2

3) +

m

2(r2

1 + r22 +

h2

3) + 2M(a+

H

2)2 + 2m(a+H +

h

2)2, (38)

kde a je vzdalenosti velkeho valce od osy kyvadla, m je hmotnost maleho valce, r1 jeho vnejsı polomer, r2 jehovnitrnı polomer, h jeho vyska. Analogicky pro velky valec (pro nej platı velka pısmena).

2.4 Namerene hodnoty

8

m [g]

100.78 ± 0.01101.10 ± 0.01101.60 ± 0.01100.80 ± 0.01100.86 ± 0.01100.78 ± 0.0199.86 ± 0.01

100.24 ± 0.01100.84 ± 0.0187.30 ± 0.01

100.38 ± 0.01100.28 ± 0.01100.64 ± 0.01100.84 ± 0.01

Tabulka 1: Hmotnosti zavazı

m0 [g] L [m] R [mm] S [m2]

968± 1 0.99± 0.001 0.1± 0.005 (3.1± 0.3) · 10−8

Tabulka 2: Merenı modulu pruznosti v tahu E z prodlouzenı dratu: hodnoty pro vypocet modulu pruznosti vtahu. m0 je pocatecnı zatızenı dratu, L jeho delka, R polomer a S prurez.

m [g] ∆L [mm] FS [GPa] ∆L

L [1]

0.00 0.00 0.000000 0.0000100.78 0.17 0.000172 0.0315201.88 0.33 0.000333 0.0630303.48 0.50 0.000505 0.0948404.28 0.66 0.000667 0.1262505.14 0.83 0.000838 0.1577605.92 1.00 0.001010 0.1892705.78 1.18 0.001187 0.2204806.02 1.35 0.001359 0.2517906.86 1.50 0.001515 0.2832994.16 1.64 0.001657 0.3104

1094.54 1.86 0.001879 0.34181194.82 1.98 0.001995 0.37311295.46 2.14 0.002162 0.40451396.30 2.32 0.002343 0.43601295.46 2.16 0.002177 0.40451194.82 1.98 0.002000 0.37311094.54 1.82 0.001833 0.3418994.16 1.65 0.001662 0.3104906.86 1.52 0.001530 0.2832806.02 1.35 0.001364 0.2517705.78 1.19 0.001202 0.2204605.92 1.02 0.001030 0.1892505.14 0.85 0.000859 0.1577404.28 0.68 0.000687 0.1262303.48 0.52 0.000525 0.0948201.88 0.36 0.000359 0.0630100.78 0.19 0.000192 0.0315

0.00 0.01 0.000015 0.0000

Tabulka 3: Merenı modulu pruznosti v tahu E z prodlouzenı dratu: namerene hodnoty prodlouzenı dratu delkyL o ∆L pri zatızenım zavazı o hmotnosti m

9

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

ΔL/

L [1

0-4

]

F/S [MPa]

zatěžování odlehčování

Obrazek 9: Merenı modulu pruznosti v tahu E z prodlouzenı dratu: graf zavislosti relativnıho prodlouzenı ∆LL

na sıle F vyvolavajıcı toto prodlouzenı delene plochou S

L [m] dılek [mm] I a [mm] b [mm]

0.497± 0.001 0.0253 (3.270± 0.006) · 10−10 9.97± 0.005 3.96± 0.005

Tabulka 4: Merenı modulu pruznosti v tahu E z pruhybu nosnıku: pomocne hodnoty pro vypocet modulupruznosti v tahu. L je delka nosnıku, I plosny moment setrvacnosti prıcneho prurezu, a sırka nosnıku, b jehovyska, ”dılek”oznacuje konstantu rozmeru dılku

m [g] dılek [1] z [mm] F [N]

0.00 0.00 0.0000 0.000100.78 0.90 0.0228 0.989201.88 1.85 0.0468 1.980303.48 2.80 0.0708 2.977404.28 3.75 0.0949 3.966505.14 4.70 0.1189 4.955605.92 5.70 0.1442 5.944705.78 6.70 0.1695 6.924806.02 7.65 0.1935 7.907906.86 8.60 0.2176 8.896806.02 7.70 0.1948 7.907705.78 6.75 0.1708 6.924605.92 5.80 0.1467 5.944505.14 4.80 0.1214 4.955404.28 3.85 0.0974 3.966303.48 2.80 0.0708 2.977201.88 1.90 0.0481 1.980100.78 0.90 0.0228 0.989

0.00 0.00 0.0000 0.000

Tabulka 5: Merenı modulu pruznosti v tahu E z pruhybu nosnıku: namerene hodnoty. m je hmotnost zavazı, zpruhyb nosnıku, F sıla pusobıcı na nosnık,

10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

z [m

m]

F [N]

zatěžování odlehčování

Obrazek 10: Merenı modulu pruznosti v tahu E z pruhybu nosnıku: graf zavislosti prohnutı nosnıku v jehostredu o vzdalenost z na v temze mıste pusobıcı sıle F

R [mm] L [m] a [m]

0.995± 0.0005 0.996± 0.001 0.0205± 0.0001

Tabulka 6: Merenı modulu pruznosti ve smyku G torzı dratu statickou metodou: pomocne hodnoty. R je polomerdratu, L jeho delka, a je polomer kladky ktera pomocı zavazı vyrabı moment sıly M

m [g] M [Nm] ϕ [1]

0.00 0.0000 0.000201.56 0.0405 0.471404.26 0.0813 0.768605.92 0.1219 1.152807.00 0.1623 1.553

1007.66 0.2026 1.9721209.14 0.2432 2.3741007.66 0.2026 2.304807.00 0.1623 2.025605.92 0.1219 1.536404.26 0.0813 1.082201.56 0.0405 0.541

0.00 0.0000 0.000

Tabulka 7: Merenı modulu pruznosti ve smyku G torzı dratu statickou metodou: namerene hodnoty. m jehmotnost zavazı, M je moment sıly, ϕ je uhel pootocenı – torze dratu.

11

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

ϕ [

1]

M [Nm]

zatěžování odlehčování

Obrazek 11: Merenı modulu pruznosti ve smyku G torzı dratu statickou metodou: graf zavislosti uhlu torznıdeformace dratu ϕ na momentu sıly pusobıcı na drat M . Zde je dobre patrna hystereze.

a [m] R [mm] L [m] ∆I [kgm2] I0 [kgm2] I [kgm2]

0.1075± 0.0005 0.25± 0.005 0.535± 0.001 0.00449± 0.00004 0.000436± 0.000008 0.00493± 0.00004

Tabulka 8: Merenı modulu pruznosti ve smyku G torzı dratu dynamickou metodou: hodnoty pro vypocet modulupruznosti ve smyku. a je vzdalenost velkeho zavazı od stredu (tj. od mısta uchycenı dratu), R je polomer dratu, Ljeho delka, ∆I je moment setrvacnosti samotnych zavazı vypocteny podle vztahu (38), I0 je moment setrvacnostikyvadla bez zavazı vypocteny podle vztahu (36), I = ∆I + I0 je moment setrvacnosti kyvadla se zavazım

M [kg] m [kg] H [mm] h [mm] R1 [mm] R2 [mm] r1 [mm] r2 [mm]

0.12718 0.04495 7.987 7.927 24.95 3.23 15.00 3.23±0.00001 ±0.00001 ±0.005 ±0.005 ±0.005 ±0.005 ±0.005 ±0.005

Tabulka 9: Merenı modulu pruznosti ve smyku G torzı dratu dynamickou metodou: hodnoty pro vypocetmomentu setrvacnosti. Male pısmeno prıslusı malemu zavazı, velke pısmeno zavazı velkemu. Pro male zavazıtedy je m hmotnost, h jeho vyska, r1 resp. r2 jeho vnejsı resp. vnitrnı polomer. Analogicky pro velke zavazı.

12

t1 [s] t0 [s] T1 [s] T0 [s]

14.29 4.34 14.277 4.25128.62 8.66 14.267 4.23242.93 12.82 14.261 4.23057.29 17.02 14.200 4.23671.33 21.15 14.302 4.25485.64 25.54 14.240 4.23699.73 29.75 14.273 4.252

114.15 33.97 14.271 4.242128.30 38.33 14.248 4.236142.65 42.50 14.252 4.233157.06 46.85171.29 50.98185.54 55.12199.29 59.38214.35 63.69228.04 67.90242.46 72.27256.86 76.39270.78 80.69285.17 84.83

T1 T0

14.26± 0.03 4.240± 0.009

Tabulka 10: Merenı modulu pruznosti ve smyku G torzı dratu dynamickou metodou: namerene hodnoty casut1, t0, ve kterych bylo kyvadlo ve vyznacne poloze, periody T1, T0 vypoctene postupnou metodou. Index 1 znacıkyvadlo s prıdavnym zavazım, index 2 bez prıdavneho zavazı

2.5 Diskuze a Zaver

Podle ukolu 1 jsme metodou nejmensıch ctvercu urcili modul pruznosti v tahu oceloveho dratu na (190 ± 20)GPa. Ve vztahu F

S = a∆LL + b jsme urcili pomocı metody nejmensıch ctvercu parametr a na 186.8 a parametr

b na −0.0015. Tato hodnota je blızka 0 v pomeru k hodnotam FS a je mozne tedy pocıtat parametr c ze vztahu

FS = c∆L

L , ktery predstavuje modul pruznosti v tahu E.Modul pruznosti v tahu oceloveho nosnıku byl podle ukolu urcen metodou nejmensıch ctvercu na (317± 3)

GPa. Ve vztahu z = aF + b jsme urcili pomocı metody nejmensıch ctvercu parametr a na 2.46565 · 10−5 aparametr b na −1.32063 · 10−6. Tato hodnota je blızka 0 v pomeru k hodnotam z. Modul pruznosti v tahu pak

vypocıtame podle vztahu E = L3

48KIModul pruznosti ve smyku oceloveho dratu jsme statickou metodou urcili na (61 ± 2) GPa. Ve vztahu

M = aϕ + b jsme urcili pomocı metody nejmensıch ctvercu parametr a na 0.0945 a parametr b na −0.0023.Tato hodnota je blızka 0 v pomeru k hodnotam M . Modul pruznosti ve smyku pak vypocıtame podle vztahuG = 2KL

πR4 .U jineho dratu jsme to urcili modul pruznosti ve smyku dynamickou metodou podle vztahu (33) na 83± 7

GPa. Pri vypoctu jsme pouzili postupne metody.Hodnoty modulu pruznosti v tahu jsme zmerili radove spravne, ale nase odchylka od spravne hodnoty ≈

210 GPa [3] je pomerne znacna. Vypoctena chyba merenı je v prvnım prıpade zpusobena hlavne nepresnostıv urcovanı polomeru dratu. Odchylka od spravne hodnoty je v druhem prıpade nejspıse zpusobena nepresnymodectem polohy z. Pro najitı chyby tohoto parametru bychom ovsem museli provest merenı vıcekrat.

Hodnoty modulu pruznosti ve smyku jsou presnejsı, spravna hodnota je priblizne 80 GPa [3]. Pri merenıstatickou metodou jsme k teto hodnote nedospeli, ovsem vıcerym merenım bychom urcite zjistili, ze hodnotachyby merenı je vyssı nez spocıtana na zaklade pouze jednoho. V prıpade metody dynamicke nam spravnahodnota v intervalu namerena hodnota ± chyba merenı lezı. Merenı by ovsem mohlo byt presnejsı, urcovalibychom periodu kmitu naprıklad elektronicky.

13

Cast II

Zpracovanı vysledkuPro statisticke zpracovanı budeme potrebovat nasledujıcı vztahy [2]:

� Aritmeticky prumer

x =1

n

n∑i=1

xi (39)

� Smerodatna odchylka

σx =

√√√√ 1

n− 1

n∑i=1

(xi − x)2, (40)

kde xi jsou jednotlive namerene hodnoty, n je pocet merenı, x aritmeticky prumer a σx smerodatnaodchylka.

Jedna-li se o neprıme merenı, spocıtame vyslednou hodnotu a chybu dle nasledujıcıch vztahu:Necht’

u = f(x, y, z, . . .) (41)

x = (x± σx), y = (y ± σy), z = (z ± σz), . . . ,

kde u je velicina neprımo urcovana pomocı prımo merenych velicin x, y, z, . . .Pak

u = f(x, y, z, . . .)

σu =

√(∂f

∂x

)2

σ2x +

(∂f

∂y

)2

σ2y +

(∂f

∂z

)2

σ2z + . . . (42)

u = (u± σu),

3 Pouzita literatura

Reference

[1] Kolektiv KF, Navod k uloze: Modul pruznosti [Online], [cit. 17. prosince 2012]http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/98/mod resource/content/4/2 Modul pruznosti.pdf

[2] Kolektiv KF, Chyby merenı [Online], [cit. 17. prosince 2012]http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby-o.pdf

[3] J. Mikulcak a kol., Matematicke, fyzikalnı a chemicke tabulky & vzorce. Prometheus, Praha 2009.ISBN 978-80-7196-264-9

14